北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步练习题（附答案）1．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）A．B．C．D．2．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s＝10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）A．72m B．m C．36m D．m3．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（ ）A．60°B．45°C．15°D．90°4．小明沿着坡度为1：的坡面向下走了2米，那么他下降高度为（ ）A．1米B．米C．2米D．米5．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（ ）A．5米B．6米C．6.5米D．12米6．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）A．500•sinα米B．米C．500•cosα米D．米7．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（ ）A．12m B．3m C．4m D．12m8．某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1：，堤坝高BC＝50m，则AB＝ m．9．已知一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角的度数是 度．10．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）11．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 米．12．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为 ．13．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．14．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）15．美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°．若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）16．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE＝6米，塔高DE＝9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）17．如图1一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E、D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°．（1）求椅子的高度（即椅子的座板DF与地面MN之间的距离）（精确到1厘米）（2）求椅子两脚B、C之间的距离（精确到1厘米）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97．cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）18．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（结果保留根号）；（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）19．放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．20．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）参考答案1．解：∵商场自动扶梯的长l＝13米，高度h＝5米，∴m＝＝＝12米，∴tanθ＝；故选：A．2．解：当t＝4时，s＝10t+2t2＝72．设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线，∵一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，∴CA＝x，BC＝x，在直角△ABC中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，x2+（x）2＝722．解得：x＝36．故选：C．3．解：∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．∵＝＝，∴∠C′AB′＝60°．∴∠CAC′＝60°﹣45°＝15°，鱼竿转过的角度是15°．故选：C．4．解：∵坡度tanα＝＝1：．∴α＝30°．∴下降高度＝坡长×sin30°＝1米．故选：A．5．解：如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5m．故选：A．6．解：如图，∠A＝α，AE＝500．则EF＝500sinα．故选：A．7．解：如图，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝6m，∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．8．解：由图可得，BC：AC＝1：，∵BC＝50m，∴AC＝50m，∴AB＝＝100（m）．故答案为：100．9．解：∵tanα＝1：＝，∴坡角＝30°．10．解：如图在Rt△ABC中，AC＝AB•sin34°＝500×0.56≈280米，∴这名滑雪运动员的高度下降了280米．故答案为：280．11．解：因为坡度比为1：，即tanα＝，∴α＝30°．则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．12．解：如图．AC＝8米，BC：AB＝1：1．设BC＝x米，则AB＝x米．在Rt△ABC中，AC2＝BC2+AB2，即x2+x2＝82，解得x＝4，即BC＝4米．故上升高度是4米．故答案为：4．13．解：∵AC∥ME，∴∠CAB＝∠AEM，在Rt△ABC中，∠CAB＝28°，AC＝9m，∴BC＝AC tan28°≈9×0.53＝4.77（m），∴BD＝BC﹣CD＝4.77﹣0.5＝4.27（m），在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC＝90°，∴∠BDF＝∠CAB＝28°，∴DF＝BD cos28°≈4.27×0.88＝3.7576≈3.7（m）（这里是去尾法）．答：坡道口的限高DF的长是3.7m．14．解：由题意得：CD⊥AE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA．∵灯罩BC长为32cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°＝＝，∴CM＝16cm，在直角三角形ABF中，sin60°＝，∴＝，解得：BF＝21，又∠ADC＝∠BMD＝∠BFD＝90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD＝BF，∴CE＝CM+MD+DE＝CM+BF+ED＝16+21+2≈54.4cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是54.4cm．15．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x，在Rt△DEB中，，∵∠DBC＝65°，∴DE＝x tan65°．又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE．∴132+x＝x tan65°，∴解得x≈115.8，∴DE≈248（米）．∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．16．解：∵AB⊥EF，DE⊥EF，∴∠ABC＝90°，AB∥DE，∴△FAB∽△FDE，∴＝，∵FB＝4米，BE＝6米，DE＝9米，∴＝，得AB＝3.6米，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝53°，cos∠BAC＝，∴AC＝＝＝6米，∴AB+AC＝3.6+6＝9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米．17．解：（1）如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，∵DE∥MN，∴∠DCP＝∠ADE＝76°，则在Rt△CDP中，DP＝CD sin∠DCP＝40×sin76°≈39（cm），答：椅子的高度约为39厘米；（2）作EQ⊥MN于点Q，∴∠DPQ＝∠EQP＝90°，∴DP∥EQ，又∵DF∥MN，∠AED＝58°，∠ADE＝76°，∴四边形DEQP是矩形，∠DCP＝∠ADE＝76°，∠EBQ＝∠AED＝58°，∴DE＝PQ＝20cm，EQ＝DP＝39cm，又∵CP＝CD cos∠DCP＝40×cos76°≈9.6（cm），BQ＝＝≈24.4（cm），∴BC＝BQ+PQ+CP＝24.4+20+9.6≈54（cm），答：椅子两脚B、C之间的距离约为54cm．18．解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，AD＝＝＝24≈36.33（米），在Rt△BDC中，BD＝＝＝8，则AB＝AD﹣BD＝16；（2）超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为16×1.73÷2＝13.84米/秒13.84×3.6＝49.824千米/时＞45千米/小时．∴此校车在AB路段超速．19．解：作DH⊥BC于H，设DH＝x米．∵∠ACD＝90°，∴在直角△ADH中，∠DAH＝30°，AD＝2DH＝2x，AH＝DH÷tan30°＝x，在直角△BDH中，∠DBH＝45°，BH＝DH＝x，BD＝x，∵AH﹣BH＝AB＝10米，∴x﹣x＝10，∴x＝5（+1），∴小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD＝2x﹣x＝（2﹣）×5（+1）≈（2﹣1.414）×5×（1.732+1）≈8米．答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．20．解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x•sin45°，∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°＝1.6，解得：x＝10，∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），EC＝EB﹣CB＝x•cos45°﹣x•cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m。
《三角函数的应用》同步练习1．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为（ ）A ．(1122)- 米B ．(11322)-米C ．(1123)-米D ．(1134)-米 2. 如图，为了测量河岸A ，B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC =a ，∠ABC =α，那么AB 等于（ ）A ．a •sin αB ．a •cos αC ．a •tan αD ．tan αα3.如图，AC 是电线杆AB 的一根拉线，测得BC 的长为6米，∠ACB =50°，则拉线AC 的长为（ ）A ．6sin 50 B ．6tan 50 C ．6cos 50° D ．6cos504.如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD =30°，在C 点测得∠BCD =60°，又测得AC =100米，则B 点到河岸AD 的距离为（ ）◆ 选择题A．100米B．503米C．20033米D．50米5. 如图，在平地MN上用一块10m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7.5m，AD=6m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是（）A．3∶5 B．4∶5 C．3∶4 D．4∶36. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．103m C．45m D．25m7. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC 的长是（）A．5cm B．3cm C．10m D 103m8. 101米，那么坡比为（）A．1：3 B．1：13C．110D．1109.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（）A．56米B．66米C．（56+203）米D．（502+203）米10.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.7511.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（）A．12m B．33m C．43m D．123m12.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为35，则坡面AC的长度为（）m。
北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷一．选择题（共10小题）1．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米2．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽P A等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．5．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3C．D．46．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D．米7．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα10．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米二．填空题（共7小题）11．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tan C＝．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】13．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是米（结果保留根号）．14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，背水坡CD的坡度i＝1：（i 为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为米．15．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为米．16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）17．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了m．三．解答题（共33小题）18．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A 处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．20．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）21．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部？23．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．24．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）26．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB 的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）27．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC 的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）28．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB 与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）29．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．测量示意说明：（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．30．随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC＝∠DEB ＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6米，AB＝5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．31．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cos l5°≈0.97，tan15°≈0.27）32．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？33．图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）34．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）35．如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？36．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）37．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）38．如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.732，≈2.449）39．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）40．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）41．如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，CD＝15mm，∠C ＝53°，刀鞘的边缘MN∥PQ，刀刃BC与刀鞘边缘PQ相交于点O，点A 恰好落在刀鞘另一边缘MN上时，∠COP＝37°，OC＝50mm，（1）求刀片宽度h．（2）若刀鞘宽度为14mm，求刀刃BC的长度．（结果精确到0.1mm）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）42．某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为5米，∠ACB＝21.5°（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．（参考数据：sin21.5°＝，cos21.5°＝，tan21.5°＝）43．如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C 的距离相等，测得∠A＝30°，∠D＝45°，AB＝60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）44．如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．45．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）46．如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）迹象C处与地面的距离．47．贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．48．位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt △DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）49．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求（参考数据：sin31°＝0.515，大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）cos31°＝0.857，tan31°＝0.60）50．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝300米，BO＝AB•sinα＝300sinα米．故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．2．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽P A等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽P A的长度．【解答】解：∵P A⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴小河宽P A＝PC tan∠PCA＝100tan35°米．故选：C．【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．【分析】先利用正弦的定义得到sin A＝0.15，然后利用计算器求锐角α．【解答】解：sin A＝＝＝0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，在Rt△ACD中，AD＝，∴AB：AD＝：＝，故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．5．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3C．D．4【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得＝，进而得出CF ＝3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴＝，即＝，解得CF＝3，∴Rt△ACF中，AF＝＝4，又∵AB＝3，∴BF＝4﹣3＝1，∴石坝的坡度为＝＝3，故选：B．【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．6．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D．米【分析】由sin∠ACB＝得AB＝BC sin∠ACB＝3.5sin29°．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB＝，∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5sin29°，故选：A．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．7．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．【分析】如图，在Rt△ABC中，AC＝＝＝120m，根据tan ∠BAC＝，计算即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝130m，BC＝50m，∴AC＝＝＝120m，∴tan∠BAC＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理的应用等知识，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于基础题．8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5m．故选：A．【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝知BC＝＝．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．10．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE＝xm，CE＝2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2＝1952，解得x≈75m，DE＝75m，CE＝2.4x＝180m，（方法二：由i＝1：2.4＝5：12，设DE＝5xm，CE＝12xm，由勾股定理，得CD＝13x，∴13x＝195，∴x＝15，∴DE＝75m，CE＝180m）EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．∵AF∥DG，∴∠1＝∠ADG＝20°，tan∠1＝tan∠ADG＝＝0.364．AF＝EB＝126m，tan∠1＝＝0.364，DF＝0.364AF＝0.364×126＝45.9，AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣45.9≈29.1m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．二．填空题（共7小题）11．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tan C＝．【分析】根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵旗杆高AB＝8m，旗杆影子长BC＝16m，∴tan C＝，故答案为：【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．13．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是50米（结果保留根号）．【分析】根据解直角三角形的方法即可得到结论．【解答】解：如图，作AC⊥OB于点C，∵AO＝100米，∠AOC＝60°，∴AC＝OA•sin60°＝100×＝米．故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为12米．【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α＝45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值）得出∠C的度数，即可求解．【解答】解：∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，∴AE＝6×sin45°＝6（m），∵背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），∴tan∠C＝＝，∴∠C＝30°，则DC＝2DF＝2AE＝12m，故答案为：12．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．15．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为8米．【分析】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt △CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE＝GE﹣CG即可求解．【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB＝12米，∠B＝60°，∴sin∠B＝，∴AF＝12×＝6，∴DG＝6．∵在Rt△DGC中，CD＝12，DG＝6米，∴GC＝＝18．∵在Rt△DEG中，tan E＝，∴＝，∴GE＝26，∴CE＝GE﹣CG＝26﹣18＝8．即CE的长为8米．故答案为8．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理．作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）【分析】如图在Rt△ABC中，AC＝AB•sin34°＝500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．【解答】解：如图在Rt△ABC中，AC＝AB•sin34°＝500×0.56≈280m，∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280【点评】本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．17．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了25 m．【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角∠A＝30°，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i＝1：，∴tan∠A＝1：＝，∴∠A＝30°，∵AB＝50m，∴BE＝AB＝25（m）．∴他升高了25m．故答案为：25．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．三．解答题（共33小题）18．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈。
