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点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T②{,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③{,,{},{,}}X a a b φ=T④{,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ②{,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ②{,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ②{,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ②{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ②{,,{,},{,}}X a b b c φ=T③{,,{},{,}}X a a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{,}a b ④{,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ②X ③{,}a c ④{,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的部Q 是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R21、在实数空间中，整数集Z 的部Z 是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B ⋃=⋃③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()d A B A B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④(())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ①()d A φ=②()d A X A =-③()d A A =④()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X A =-③若A={12,x x },则()d A X =④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X =③若A={12,x x },则()d A X A =-④若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③{ X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.①{{,}|{}}B p x x X p =∈-②{{}|}B x x X =∈③{{,}|}B p x x X =∈④{{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.①{ X ,φ,{a },{a ,c }} ② {X ,φ,{a }}③{ X ,φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ}35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ②R ③A ∪{0}④A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）①整数集②[)b a ,③有理数集④无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）①整数集Z ②有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）①1 ②2 ③3 ④442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）①1个 ②2个③3个④4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3② 5③ 7④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉②T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}φ=T ②{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③{,,{1},{2}}T A φ=④{,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{1},{3},{1,3}}T φ=②{,,{1}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{3},{2,3}}φ=T ②{,,{2},{3}}T A φ=③{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=④{,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{1}}T φ=②{,,{1,2}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,}T A φ=③{,,{2}}T X φ=④{,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,{},{1,3}}T X φ=③{,,{3}}T X φ=④{,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）①{,}T Z φ=②()T P Z =③T Z =④{}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯②A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②连通性③离散性④第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②连通性③第二可数性公理④平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②可分性③第二可数性公理④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②可分性③离散性④第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（） ① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）①1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ; 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个.20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间.如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的点3、集合A 的部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →,:g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
拓扑学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，开集的补集是：A. 闭集B. 既开又闭集C. 非开集D. 非闭集答案：A2. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本元素？A. 开集B. 连续函数C. 极限点D. 线性方程答案：D3. 拓扑空间中，两个开集的交集仍然是：A. 开集B. 闭集C. 既开又闭集D. 非开集答案：A4. 拓扑空间中，一个集合是连通的，当且仅当它不能表示为两个非空不相交开集的并集。
以下哪个集合不是连通的？A. 一个区间B. 两个不相交的区间的并集C. 一个单点集D. 一个空集答案：B5. 拓扑空间中的紧致性意味着：A. 每个开覆盖都有有限子覆盖B. 每个闭覆盖都有有限子覆盖C. 每个开覆盖都有有限子覆盖或闭覆盖D. 每个闭覆盖都有有限子覆盖或开覆盖答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间X中的每个点都有一个邻域，该邻域与X同胚，则称X是________。
答案：局部连通的2. 拓扑空间X中的点x称为________，如果X中包含x的每个开集也包含该序列的某个项。
答案：序列极限点3. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个点y≠x，使得y也在U中。
答案：凝聚点4. 如果拓扑空间X中的每个序列都有一个收敛的子序列，则称X是________。
答案：序列紧致的5. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个不包含x的开集V，使得V⊆U。
答案：孤立点三、简答题（每题10分，共20分）1. 描述拓扑空间中的紧性与序列紧致性之间的关系。
答案：在Hausdorff空间中，紧性等价于序列紧致性。
这意味着如果一个Hausdorff空间中的每个序列都有一个收敛的子序列，则该空间是紧的，反之亦然。
2. 解释什么是同胚映射，并给出一个例子。
答案：同胚映射是两个拓扑空间之间的双射函数，它既是连续的，其逆映射也是连续的。
P73 第2.1节3．设(),X ρ是一个 的度量空间,证明: (1) X 的每一个子集都是开集;(2) 如果Y 也是一个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ⊂和任意顶的x A ∈,取14ε=,则(){},B x x A ε=⊂,所以A 是开集.(2) 设:f X Y →为任一映射,U ∈T Y,由(1)知,()1f U -∈TX,所以,f 是连续映射.6.从殴氏平面2到实数空间的映射2,:m s →定义为对任何()12,x x x =，(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+证明m 和s 都是连续函数。
（提示：分别用2的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.）证 先证m 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-(其中1ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,m B x B m x εε⊂,即m 在2x ∈对于2的度量1ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量1ρ而言连续.由习题5的结论知,m 对于2的度量ρ而言是连续的.下面再证s 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-(其中2ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,s B x B s x εε⊂,即s 在2x ∈对于2的度量2ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量2ρ而言连续.由习题5的结论知,s 对于2的度量ρ而言是连续的.P73 第2.2节2. 对于每一个n +∈,令{}n A m m n +=∈≥,(1) 证明P ={}{}n A n +∈⋃∅是正整数集+的一个拓扑;(2) 写出1+∈的所有开邻域.(1) 证 显然1,A +∅=∈P .又n A ∅⋂=∅∈P ,1,2,n =.任意,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ⋂=∈P ,对任意的P 1⊂P ，{}11min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ，因此P 为+的拓扑.(2) 1+∈的唯一开邻域为1A +=.7. 设P 1和P 2是集合X 的两个拓扑,证明P1⋂P 2也是X 的一个拓扑.举例说明P1⋃P 2可以不是X 的拓扑.证 若P 1和P2都是X 的拓扑,,由于,X ∅∈P 1,P2,所以,X ∅∈P1⋂P 2;任意,A B ∈P 1,P 2,则A B ⋂∈P 1,P2,所以A B ⋂∈P1⋂P 2;对任意的P '⊂P 1⋂P2,即P '⊂P1,P2,则'A T A ∈∈P 1,P2,所以'A T A ∈∈P 1⋂P 2. 因此P 1⋂P 2是X 的拓扑.例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =∅, P{}{}{}{}2,,,,,,b a c a b c =∅,显然, P1,P2都是X 的拓扑,P1⋃P2{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =∅,因{}{},a b ∈P 1⋃P2,{}{}{},a b a b =⋃∉P1⋃P 2,因此P 1⋃P 2不是X 的拓扑.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P2,,U Y =或∅,所以()1,fU X -=或∅,它们都属于P 1,所以f 连续.(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P2)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P 2 ,(){}()11x f U f U x --∈=∈P1,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73 第2.4节2. 设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ⊂⊂,则B 是一个闭集.证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈Ux,有{}()U A x ⋂-≠∅,由{}{}(){}A x A x x -=--,从而{}(){}{}U A x x ⋂--≠∅,即x 是集合{}A x -的凝聚点.(2) 因为()d A B A ⊂⊂,所以()()d B d A B ⊂⊂,即()d B B ⊂,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ⊂,()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅.证 “必要性”若Kuratovski 公理成立，则对任意,A B X ⊂，()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ⋃=⋃=⋃=⋃-∅；“充分性”若对任意,A B X ⊂，有()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅，则令A B ==∅，有()()()()()()******c c c c c c ∅⋃∅⋃∅=∅-∅=∅⇒∅=∅；令A B =，有()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ⋃⋃=-∅=⇒⊂⇒⊂，并且()()()***c c A c A ⊂，所以()()()***cc A c A =。
《拓扑学导论》第2章 拓扑空间及其基本概念（作业题）1、分别定义1ρ,2ρ:n R ×n R →R 为),(1y x ρ|}{|max 1i i ni y x −=≤≤和),(2y x ρ = 1||n i i i x y =−∑. 证明: 1ρ,2ρ都是集合n R 上的度量.2、设),(ρX 为度量空间,分别定义1ρ,2ρ:→×X X R 为),(1y x ρ),(1),(y x y x ρρ+=, 并且. 试证明: X y x ∈,⎩⎨⎧>≤=1),(11),(),(),(2y x y x y x y x ρρρρ当当1ρ,2ρ都是X 上的度量. 3、设:f n R →R 是一映射,我们称在是连续的,如果f n R ∈∀0x n R , 0>∀ε, 0>∃δ,使得),(δx B x ∈∀时, 恒有ε<−|)()(|0x f x f试证明: 当是连续映射时, f ∈x {n R }0)(|>x f 开于n R .4、设X 是一个度量空间，A X ⊂，试证: (1) 是IntA A 所包含的所有开集的并集; (2) A 是所有含A 的闭集的交.5、若A 是度量空间X 的稠密子集,O 为X 中开集, 证明:O A O I ⊂6、证明: 度量空间中任何子集的导集都是闭集.7、 证明:集合上的任意两个拓扑的交也是上的一个拓扑. 集合上两个拓扑的并一定是上一个拓扑吗? 为什么?X X X X 8、设(,是拓扑空间,G , 则)X T ∈T x G ∀∈, 有()G x ∈U . 反之, 若U 为其中任意点的邻域,则U 必为中开集.X 9、设是拓扑空间, F 为中的闭集的全体,则F 满足条件: (F1) (,)X T X φ, ；(F2) 若, , 则X ∈F 1F 2F ∈F 12F F ∈U F ；(F3) 若{}, 则.F λλ∈Λ⊂F F λλ∈Λ∈U F 10、设(,是一个拓扑空间,)X T A X ⊂, 则(i) A ∈T 当且仅当0A A =；(ii) A 等于包含A 的一切闭集的交.11、设(,是有限余拓扑空间,)X T A X ⊂,求证:,A A A X A ⎧=⎨⎩当为有限集，当为无限集. 12、 设是拓扑空间, 对于(,)X T A X ∀⊂,对应着一个o A , 称为内核算子. 求证内核算子满足条件:o i A A =（）(I1) ； (I2) o X X =o A A ⊂； (I3) o o o A A =（）； (I4)o o o A B A B =I I （）, (∀A ,).B X ⊂13、设为实数集, 赋予右序拓扑,R [01]A =，,求o A ,'A 和A .14、设是拓扑空间, (,)X T A 为的子空间,若{X }x δ为A 中的网, 则{}x δ在A 收敛于x A ∈当且仅当{}x δ在收敛于X x A ∈.15、设是拓扑空间, 则为中开集当且仅当(,)X T G X x G ∀∈及∀网{}x δ收敛于x , 有{}x G δφ≠I .16、 设是拓扑空间, {}(,)X T A λλ∈ΛX ⊂. 集族{}A λλ∈Λ称为在中是局部有限(离散)的, 如果X x X ∀∈,使得{|()U x ∃∈U }U A λλφ∈Λ≠I 是一个有限集(至多单点集).试证明:(1) 离散集族是局部有限集族;(2) 若{}局部有限,则, A λλ∈Λ'∀Λ⊂Λ'{}A λλ∈Λ也局部有限;(3) 若{}局部有限并且A λλ∈Λλ∀∈Λ,B A λλ⊂, 则{}B λλ∈Λ也局部有限;(4) 若{}局部有限, 则A λλ∈ΛA A λλλ∈Λ∈Λ=U U λ.17、设为欧氏空间,下列子集族是否构成的一个拓扑基?2R 2R (1) 中所有开等边三角形; (2) 所有其边平行于坐标轴的开长方形.2R 18、 设:f X Y →,A X ⊂, 证明:f 在A 上的限制A f :A Y →是A 上的连续映射.19、 求解下列两个问题(1) 设为拓扑空间, Y 为平凡拓扑空间, 则从到Y 的任何映射都是连续映射;X X (2) 设为离散空间, Y 为任意拓扑空间, 则从到Y 的任何映射都是连续映射.X X 20、设X 是一个拓扑空间，A Y X ⊂⊂，试证明：（1）如果Y 是X 的开子集，则A 开于Y 当且仅当A 开于X ；（2）如果Y 是X 的闭子集，则A 闭于Y 当且仅当A 闭于X .21、设X 是一个拓扑空间，A Y X ⊂⊂，证明：=int .int ()X A ()int ()Y X A Y I 22、（邻域基与邻域子基）设X 是一个拓扑空间，x X ∈，()x U 为点的邻域系，x ()x B ⊂()x U ，()x ϕ⊂()x U . (i) ()x B 称为点的邻域基, 如果x U ∀∈()x U ,B ∃∈()x B 使得B ⊂U ; (ii)()x ϕ称为是点的邻域子基,如果x U ∀∈()x U ,12,,,()n S S S x ϕ∃∈L 使得.1ni i S U =⊂I 设X 与都是拓扑空间, ,Y :f X Y →x X ∈,试证明下列各条等价(1) 在点处连续;f x (2) 点有一个邻域基()f x ()f x V 使得V ∀∈()f x V ,有1()f V −∈()x U ;(3) 点有一个邻域子基()f x ()f x W 使得W ∀∈()f x W ,有1()fW −∈()x U . 23、 举例说明从拓扑空间到另一个拓扑空间Y 的1-1连续映射未必是同胚映射.X 24、证明:邻域、内点、闭包都是拓扑不变性质. 25、一个拓扑空间称为是可分的，如果存在一个至多可数集合X A X ⊂使得A X =. 试证明: 可分空间的连续象也是一个可分空间.。
点集拓扑试题及答案1. 定义并解释什么是拓扑空间。
拓扑空间是一个有序对(X, T)，其中X是一个非空集合，T是X的子集的集合，满足以下三个条件：(1) 空集和X本身都属于T；(2) T中的任意有限个集合的并集仍然属于T；(3) T中的任意个集合的交集仍然属于T。
2. 简述连续映射的定义。
设f: X → Y是一个映射，其中X和Y是拓扑空间。
如果对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X中的开集，则称f是连续的。
3. 证明如果f: X → Y和g: Y → Z是连续映射，则它们的复合映射g ∘ f: X → Z也是连续的。
证明：设W是Z中的一个开集，我们需要证明(g ∘ f)^(-1)(W)是X中的开集。
由于g是连续的，g^(-1)(W)是Y中的开集。
又因为f是连续的，f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集。
因此，(g ∘ f)^(-1)(W) = f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集，所以g ∘ f是连续的。
4. 什么是紧致性？请给出紧致空间的一个例子。
紧致性是指拓扑空间中的每一个开覆盖都存在有限子覆盖的性质。
一个例子是实数线R上的闭区间[0, 1]，它在标准拓扑下是紧致的。
5. 描述什么是连通空间。
连通空间是指不能被分解为两个非空不相交开集的拓扑空间。
6. 证明如果X是连通空间，并且f: X → R是连续映射，那么f(X)是区间。
证明：设a = inf f(X)，b = sup f(X)。
对于任意的x ∈ X，由于f是连续的，存在一个开邻域U_x ⊆ X使得f(U_x) ⊆ (a, b)。
因为X是连通的，所以X = ⋃x∈X U_x，这意味着f(X) = ⋃x∈Xf(U_x) ⊆ (a, b)。
由于f(X)是闭的，所以f(X) = [a, b]。
7. 什么是分离公理？请举例说明。
分离公理是指对于拓扑空间中的任意两个不同的点，都存在两个不相交的开集分别包含这两个点。
例如，在实数线R的拓扑中，对于任意两个不同的点x和y，可以取开区间(x - 1, x + 1)和(y - 1, y + 1)分别包含x和y，且这两个开区间不相交。
第2章度量空间与连续映射从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．§2.1度量空间与连续映射本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法．首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R 称为在点∈R处是连续的，如果对于任意实数ε＞0，存在实数δ＞0，使得对于任何x∈R，当|x-|<δ时,有|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设X是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何x，y，z∈X，有（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量．如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1 实数空间R．对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）例2.1.2 n维欧氏空间．对于实数集合R的n重笛卡儿积＝R×R×…×R定义ρ：×→R如下：对于任意x=（）,y=，令ρ（x，y）＝容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ是的一个度量，因此偶对(，ρ)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量ρ，称为的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3 Hilbert空间H．记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H＝{x=()|<∞}定义ρ如下：对于任意x＝（），y＝（）∈H令ρ(x,y)=说明这个定义是合理的（即验证<∞）以及验证ρ是H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert空间．例2.1.4 离散的度量空间．设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X 的一个离散度量，如果对于每一个x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（x，y）＞对于任何y∈X，x≠y，成立．例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何x，y∈X，有ρ(x,y)=容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义 2.1.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合{y∈X|ρ（x，y）<ε}记作B（x，ε），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．(2)如果B（x，）和B（x，）是x∈X的两个球形邻域，任意选取实数ε＞0，使得ε＜min{ }，则易见有B（x，ε）B（x，）∩B（x，）即B（x，ε）满足要求．（3）设y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y）．显然．＞0．如果z∈B （y，），则ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x）＜+ρ（y，x）=ε所以z∈B（x，ε）．这证明B（y，）B（x，ε）．定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．注意：此处的开集仅是度量空间的开集．例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．设a，b∈R，a＜b．我们说开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令ε＝min{x-a，b-x}，则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}（-∞,∞）＝R都是R中的开集．然而闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}无限的闭区问[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集．定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质：（1）集合X本身和空集都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X满足开集的条件；空集中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．（2）设U和V是X中的两个开集．如果x∈U∩V，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V．根据定理2.1.1（2），x有一个球形邻域B（x，ε）同时包含于B（x，）和B （x，），因此B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．（3）设*Α是一个由X中的开集构成的子集族．如果，则存在∈*A使得x∈由于是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于．这证明是X中的一个开集．此外，根据定理2.1.1（3）可见，每一个球形邻域都是开集．球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈V U，则称U是点x的一个邻域．下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x∈V U，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．定义2.1.5 设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及∈X如果对于f()的任何一个球形邻域B（f(),ε），存在的某一个球形邻域B（，δ），使得f(B（，δ）)B（f（），ε），则称映射在点处是连续的．如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果设ρ和分别是度量空间X和Y中的度量，则f在点处连续，可以说成：对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，）＜δ（即x∈B（,δ）便有(f(x),f())＜ε.（即f(x)∈B（f()，ε））．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．定理2.1.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X．则下述条件（1）和（2）分别等价于条件（1）*和（2）*：（1）f在点处是连续的；（1）*f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．证明条件（1）蕴涵（1）*：设（1）成立．令U为f（）的一个邻域．根据定理2.1.3，f（）有一个球形邻域B（f（），ε）包含于U．由于f 在点处是连续的，所以有一个球形邻域B（，δ）使得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f（），ε）（U），所以B（，δ）（U），这证明（U）是的一个邻域．条件（1）*蕴涵（1）．设条件（1）*成立．任意给定f（）的一个邻域B（f(),ε），则（B（f()，ε）是的一个邻域．根据定理2.1.3，有一个球形邻域B（，δ）包含于（B（f（），ε）．因此f（B（，δ））B（f（），ε）．这证明f在点处连续．条件（2）蕴涵（2）*．设条件（2）成立．令V为Y中的一个开集，U＝（V）．对于每一个x∈U，我们有f（x）∈V．由于V是一个开集，所以V是f（x）的一个邻域．由于f在每一点处都连续，故根据（1）*，U是x 的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得Ux U．易见U＝∪x∈UUx．由于每一个Ux都是开集，根据定理2.1.2，U是一个开集．条件（2）*蕴涵（2）．设（2）*成立，对于任意x∈X，设U是f（x）的一个邻域，即存在包含f（x）的一个开集V U．从而x∈（V）（U）．根据条件（2）*，（V）是一个开集，所以（U）是x的一个邻域，对于x 而言，条件（1）*成立，于是f在点x处连续．由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理2.1.2）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念作业：P47 1.2.3.4.§2.2拓扑空间与连续映射本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．定义2.2.1 设X是一个集合，τ是X的一个子集族．如果τ满足如下条件：（l）X，∈τ；（2）若A，B∈T，则A∩B∈τ；（3）若则称τ是X的一个拓扑．如果τ是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，τ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑τ而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，τ）或（X）中的一个开集．即：A∈τA是开集.（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，）因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．例2.2.1 平庸空间．设X是一个集合．令T={X，}．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．设X是一个集合．令T=P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个离散空间.在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集．例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}．容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．例2.2.4 有限补空间．设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令T ={U X|是X的一个有限子集}∪{}先验证T是X的一个拓扑：（1）X∈T (因为=)；另外，根据定义便有∈T．（2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这时是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．（3）设．令,显然有如果，则设任意选取．这时是X 的一个有限子集，所以根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间．例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T ={U X|是X的一个可数子集}∪{}通过与例2.2.4中完全类似的做法容易验证（请读者自证）T 是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间．一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称（X，P）是一个可度量化空间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§2．1中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例2.2.3中给出的那个空间只含有三个点，但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，拓扑空间是比可度量空间的范围要广泛．进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y中每一个开集U 的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y 是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．定理2.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：:X→X是一个连续映射；（2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z也是连续映射．证明（l），所以连续．（2）设f:X→Y,g:Y→Z都是连续映射这证明gof连续．在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．定理2.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X是一个同胚；（2）如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；（3）如果f ：X→Y 和g ：Y→Z 都是同胚，则gof ：X→Z 也是一个同胚． 证明 以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理l ．5．3和定理1．5．4．（l ）是一个—一映射，并且，都是连续的，从而是同胚．（2）设f ：X→Y 是一个同胚．因此f 是一个—一映射，并且f 和都是连续的．于是也是一个—一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚．（3）设f ：X→Y 和g ：Y→Z 都是同胚．因此f 和g 都是—一映射，并且f ，，g 和都是连续的．因此gof 也是—一映射，并且gof 和都是连续的．所以gof 是一个同胚．定义2.2.6 设X 和Y 是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f ：X→Y，则称拓扑空间X 与拓扑空间Y 是同胚的，或称X 与Y 同胚，或称X 同胚于Y ．粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．定理2.2.3 设X ，Y 和Z 都是拓扑空间．则（1）X 与X 同胚；（2）如来X 与Y 同胚，则Y 与X 同胚；（3）如果X 与Y 同胚，Y 与Z 同胚，则X 与Z 同胚．证明从定理2.2.2直接得到．根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容．拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）．我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．定义2.3.1 设（X，P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈P使得x∈V U，则称U是点x的一个邻域．点x 的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x 的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．证明定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性．如果U是空集，当然U是一个开集．下设U≠．根据定理中的条件，使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．定理2.3.2概括了邻域系的基本性质．定理2.3.2 设X是一个拓扑空间．记为点x∈X的邻域系．则：（1）对于任何x∈X，≠；并且如果U∈，则x∈U；（2）如果U，V∈，则U∩V∈；（3）如果U∈并且U V，则V∈；（4）如果U∈，则存在V∈满足条件：(a)V U和(b)对于任何y∈V，有V∈．证明（1）X,X∈P,∴X∈,∴≠且由定义,如果U∈，则x∈U（2）设U，V∈．则存在U．∈P和∈P使得和成立．从而我们有,T,∴U∩V∈（3）设U∈，并且（4）设U∈．令V∈P满足条件．V已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）．以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）～（4）．则x有惟一的一个拓扑T使得对于每一点x∈X，子集族恰是点x在拓扑空间（X，P)中的邻域系．(证明略)现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果f（x）∈Y的每一个邻域U的原象（U）是x∈X的一个邻域，则称映射f 是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发．并且该定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y 的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y 的一个在点x处连续的映射；反之亦然．这里我们也有与定理2.2.l类似的定理．定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X在每一点x∈X处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．证明请读者自己补上．以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续．充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．这就证明了f连续．作业:掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明一个映射是否连续的方法．§2.4导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U 中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝．例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：。
