上海市杨浦区2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．316【答案】A 【解析】 【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】样本空间样本点为5232=个，具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=，但合并计算时会有重复，重复数量为224+=，事件的样本点数为：444228++--=个．故不同的样本点数为8个，81 324=.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题3．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种【答案】B【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A=种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A=种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题4．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+=A．177-B．717-C．177D．717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sinθ =1213知：25 cos1sin13θθ=--=-，5t n1a2θ-=．所以tan tan457tan()41tan tan4517πθθθ+︒+==--︒．5．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X，则()E X为（）A．98B．78C．12D．6256【答案】A【解析】【分析】由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，则()35381056CP XC===，()21533830156C CP XC===，()12533815256C CP XC===，()33381356CP XC===. 因此，随机变量X的数学期望为()103015190123565656568E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A．3?i≤B．4?i≤C．5?i≤D．6?i≤【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S=时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S=时，9i=；当1910S=+=时，8i=；当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.7．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,1--C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于2x =对称且在[)2,+∞上为减函数，则不等式()()31f a f a ≤+等价于231a a -≥-，解得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】解:因为函数()2y f x =+为偶函数， 所以函数()f x 的图象关于2x =对称，因为()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞ ()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，则()()()()312312231f a f a f a f a a a ≤+⇔-≤+-⇔-≥-， 解得：1324a -≤≤. 即实数a 的取值范围是13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 8．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ðA ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.10．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.11．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【详解】∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为2bx =，0(0)1<=<f a ，1122<=<bx ，∵()2'=-f x x b ， 所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+->⎪⎝⎭g a b g a b ， 所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B. 【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.12．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92B ．9C ．5D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】Q 定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+… 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选：A 【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

杨浦区2021学年度第二学期高三年级期末调研卷数学学科试卷 2022.6考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 若集合(),1A =-∞，()0,B =+∞，则A B =___________.2. 复数2z i =-，则z =___________.3. 直线l 的参数方程为2,12,x t t y t =+⎧∈⎨=+⎩R ，则直线l 的斜率为___________.4. ()1012x + 的二项展开式中,2x 项的系数为___________.5. 若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为___________.6. 函数()1lg f x x =+的反函数是1()f x -=___________.7. 设,,,a b c d ∈R ，若行列式12903ab cd =，则行列式a b c d的值为___________.8. 已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，从集合A 中任取一个元素a ，使函数ay x =是奇函数且在()0,+∞上递增的概率为___________.9. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57S S =，且238a a +=，则2lim nn S n →∞=__________.10. 已知点P 为正ABC ∆边上或内部的一点，且实数,x y 满足2AP x AB y AC =+，则x y -的取值范围是___________.11. 设点P是曲线y =点(0,F，)A 满足4PF PA +=，则点P 的坐标为___________.12. 函数()()cos 0,Z f x x x ωω=>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值 为___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.FED 1C 1B 1A 1DCBA13. “0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“α 为第一象限角”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 下列不等式恒成立的是 （ ） A. x y x y +≥-0x > C. 12x x+≥ D. x y x y x y ++-≤+ 15. 上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22C ︒. 立夏之后，测得 连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是 （ ） A. 总体均值为25C ︒，中位数为23C ︒ B. 总体均值为25C ︒，总体方差大于20C ︒ C. 总体中位数为23C ︒，众数为25C ︒ D. 总体均值为25C ︒，总体方差为21C ︒16. 记函数()11,y f x x D =∈，函数()22,y f x x D =∈，若对任意的x D ∈，总有()()21f x f x ≤成立，则称函数()1f x 包裹函数()2f x . 判断如下两个命题真假① 函数()1f x kx =包裹函数()2cos f x x x = 的充要条件是1k ≥；② 若对于任意0p >， ()()12f x f x p -<对任意x D ∈都成立，则函数()1f x 包裹 函数()2f x ；则下列选项正确的是 （ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②全假 D. ①②全真三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长1，侧棱长4，1AA 中点为E ，1CC 中点为F .（1）求证：平面BDE ∥平面11B D F ；（2）连结1B D ，求直线1B D 与平面BDE 所成的角的大小.北东18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数()sin cos f x t x x =+，其中常数t R ∈. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）ABC ∆中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，b =()2f A =，求当t =,ABC ∆的面积.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A 地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B 地在观测站北偏东4arcsin 5方向，且距离观测站5公里. 观测站派出一辆观测车（记为点M ）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记AMB ∠为观测角. （1）当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角AMB ∠的大小；（精确到0.1︒）. （2）为了确保观测质量，要求观测角AMB ∠不小于45︒ ，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.（精确到0.1公里）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分46分，第3小题满分6分.如图，中心在原点O 的椭圆Γ 的右焦点为()F ，长轴长为8. 椭圆Γ上有两点,P Q ，连结,OP OQ ，记它们的斜率为 , OP OQ k k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；（3）设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP和PQ 分别与直线x =交于点,M N ，若PQR ∆和PMN ∆的面积相等，求点P 的横坐标.21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+，对一切*n ∈N 都成立. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和. 若存在一个非零常数*T ∈N ，对于任意*n ∈N ， n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列， T 是一个周期.（1）求2a 、3a 所有可能的值，并写出2022a 的最小可能值；（不需要说明理由） （2）若0n a >，且存在正整数(),p q p q ≠，使得p a q与q a p均为整数，求p q a +的值；（3）记集合*{0,}n S n S n ==∈N ，求证：数列{}n a 为周期数列的必要非充分条件为“集合S 为无穷集合”.y杨浦区高三期末调研评分参考一、 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分 1. ()0,12 4. 180 5. 12π 6. 110 x - 7.3 8.389. 12- 10. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11. 44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 12. 29π 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分13. A 14. B 15. D 16. D三、 解答题17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图 则()()()()()()111,0,0,0,1,0,0,0,2,1,0,4,0,1,4,1,1,2B D E B D F （2分）()10,1,2DE FB ==-∴DE ∥1FB 同理BD ∥11B D （2分）平面BDE 与平面11B D F 不重合，∴平面BDE 与平面11B D F 平行. （2分）（2）同（1）建系设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2x y z == 不妨取1z =，则()2,2,1n = （4分）又()11,1,4DB =-设直线1B D 与平面BDE 所成的角为θ北东故11sin 93n DB n DB ⋅θ===（2分）直线1B D 与平面BDE 所成的角为arcsin 9. （2分）18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（1）()sin cos fx t x x=+，x ∈RⅠ 0t =时，()cos fx x =()()()cos cos f x x x fx -=-== ∴偶函数 （2分）Ⅱ0t ≠ 时，()010f =≠ ∴不是奇函数 （2分）1 , 122f t f t ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22f f ππ⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴不是偶函数 （2分） ∴函数()f x 非奇非偶函数；（2）由t =，()2f A=cos 2A A +=，因为2a b =<=，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3A π= （4分）由2222cos a b c bc A =+-，解得12c =（2分） 1sin 2ABC S bc A ∆==. （2分）19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则()()()0,2,4,3,1,0A B M ， 则()1,2MA =-,()3,3MB = （2分）cos 5MA MB AMB MA MB⋅∠=== （2分） 故观测角arccos71.610AMB ∠=≈︒ （2分） （2）设()(),0 0M x x >①4x = 时，tan 2AMB ∠=，arctan245AMB ∠=>︒ （2分） ②4x ≠ 时，2MAk x =-，34MB k x=-2460MA MB x x ⋅=-+>，AMB ∴∠为锐角 ,设tan y AMB =∠()2238464614x x x y x x x x --+-∴==-+-- （2分） 当4x =时，2y =符合上式，综上28, 046x y x x x +=>-+ 45AMB ∠≥︒， 1y ∴≥整理得2520x x --≤ （2分）0x <≤所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里.（2分） 20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由已知条件，设椭圆Γ ：()222210x y a b a b+=>>，则4c a === （2分）椭圆Γ ：221164x y += （2分） （2）设()()1122,,,P x y Q x y 则121214OP OQ y y k k x x ⋅=-=，整理得121240x x y y +=， 由221122224444x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()22222222121212384OP OQ x x y y x x ∴+=+++=++ （2分） 222222121212444416x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 221216x x += （2分） 代入()22221238204OP OQ x x +=++=，为定值. （2分） （3）由椭圆的对称性可知，()22,R x y -- ()211121:PQ y y l y y x x x x --=--，()211121:RP y y l y y x x x x +-=-+，故()211121N y y y y x x x -=+-，()211121M y yy y x x x +=+-+，于是()2122111222112PMN M N x y x y S x y y x x x ∆-=⋅-=- （2分） 又11221221121001PQR OPQx y S S x y x y x y ∆∆===- （2分） 代入PQR PMN S S ∆∆=，再将222116x x =- 代入得()2211162x x =-.若()2211162x x =-，化简得2113320x -+=，方程无解；若()2211216x x =-，化简得211640x +-=解得：14x =（4-+舍去）∴点P横坐标为4. （2分）(3)法二PQR PMN S S ∆∆= PM PN PQ PR ∴⋅=⋅ PM PQPR PN∴=12= 或者12=()222112x x x =- 或者()222121x x x =-221216x x +=211640x ∴+-= 或者2113320x -+=（舍）解得：14x =∴点P横坐标为421. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）2 1 , 3a =-；3 3 , 1 , 5a =- （2分）()()()20222021min max 1202024041a a =-=-+⨯=-； （2分）（2）首先证明：p a q和q a p中至少一个等于1. （2分）反证法：设p a q和q a p都大于等于2，则212212p q q p-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，即212212p q q p -≥⎧⎨-≥⎩，相加得20-≥，矛盾！ （2分） 所以p a q和q a p中至少一个等于1.不妨设1q a p=，则211q p-=，即21p q =- 那么214334p a p q qq q q--===-， 所以83,5,15p q q p a a +====. （2分）（3）非充分：取数列{}n a 如下：11a =，23a =，33a =-，1(1)(4)n n a n -=-≥.数列{}n a 满足条件，且对一切*N ,2n n ∈≥，均有20n S =，但不为周期数列； （3分）必要性：已知数列{}n a 为周期数列，设正整数T 为其一个周期. 分如下三步证明① 下证：若01n a =-，则00n S =；若数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+由22112()n n n n a a a a ++-=+可得：221144(1)(1)n n n n S S a a ++-=+-+所以2n ≥时：22212111444444(1)(1)4(1)n n n n n S S S S S S a a a -=-++-+=+-++=+ 1n =时，21144(1)S a ==+，即对一切*n N ∈，24(1)n n S a =+ （2分）利用上式可知：0021(1)04n n S a =+=. （1分） ② 下证：若1(3)n a n =≥，则11n a -=-；由条件：1n n a a -=-，或12n n a a -=-可得：11n a -=-. 1分③ 由11a =，21a =-或23a =，可知，周期2T ≥. 由11kT a +=，且13(*)kT k N +≥∈，由②可知1kT a =-，由①可知0kT S =，所以，对一切*k N ∈，kT S ∈，即集合S 为无穷集合. 1分。

2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷一．填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）.1．已知复数z满足z＝2﹣i（i为虚数单位），则z•＝．2．已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝．3．在行列式D＝中，元素3的代数余子式的值为．4．在的二项展开式中，x6项的系数是．5．已知x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为．6．方程的解为x＝．7．已知一组数据a，3，﹣2，6的中位数为4，则其总体方差为．8．已知函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|为奇函数，若g（﹣1）＝7，则g（1）＝．9．直线l：（n+2）x﹣y+2n﹣1＝0（n∈N*）被圆C：（x﹣1）2+y2＝16所截得的弦长为d n，则＝．10．非空集合A中所有元素乘积记为T（A）．已知集合M＝{1，4，5，7，8}，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A，则T（A）为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）11．函数，若有且仅有一个实数m满足：①；②x＝m是函数图象的对称轴，则ω的取值范围是．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13．若m，n∈R，i是虚数单位，则“m＝n”是“（m﹣n）+（m+n）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．已知数列{a n}是无穷等比数列，若a1＜a2＜0，则数列{a n}的前n项和S n（）A．无最大值，有最小值B．有最大值，有最小值C．有最大值，无最小值D．无最大值，无最小值15．在四边形ABCD中，，且满足，则＝（）A．2B．6C．D．16．已知函数f（x）的定义域为D，值域为A，函数f（x）具有下列性质：（1）若x，y∈D，则；（2）若x，y∈D，则f（x）+f（y）∈A．下列结论正确的是（）①函数f（x）可能是奇函数；②函数f（x）可能是周期函数；③存在x∈D，使得；④对任意x∈D，都有f2（x）∈A．A．①③④B．②③④C．②④D．②③三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，BB1⊥底面ABC，AB⊥BCD是棱AB 的中点．（1）求证：直线BC与直线DC1为异面直线；（2）求直线DC1与平面A1BC所成角的大小．18．已知，（a为实常数）（1）当a＝1时，求不等式的解集；（2）若函数f（x）在（0，+∞）中有零点，求a的取值范围．19．如图，A，B，C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，AB＝30公里，AC＝10公里，∠BAC＝60°，D是圆形区域外一景点，∠DBC＝90°，∠DCB＝60°．（1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）20．（16分）焦点为F的抛物线与圆交于A，B两点，其中A点横坐标为x A，方程的曲线记为Γ，P是曲线Γ上一动点．（1）若P在抛物线上且满足|PF|＝3，求直线PF的斜率；（2）T（m，0）是x轴上一定点．若动点P在Γ上满足x≤x A的范围内运动时，|PT|≤|AT|恒成立，求m的取值范围；（3）Q是曲线Γ上另一动点，且满足FP⊥FQ，若△PFQ的面积为4，求线段PQ的长．21．（18分）已知无穷数列{a n}与无穷数列{b n}满足下列条件：①a n∈{0，1，2}，n∈N*；②＝（﹣1）n•|a n﹣a n+1|，n∈N*．记数列{b n}的前n项积为T n．（1）若a1＝b1＝1，a2＝0，a3＝2，a4＝1，求T4；（2）是否存在a1，a2，a3，a4，使得b1，b2，b3，b4成等差数列？若存在，请写出一组a1，a2，a3，a4；若不存在，请说明理由；（3）若b1＝1，求T2021的最大值．参考答案一．填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）. 1．已知复数z满足z＝2﹣i（i为虚数单位），则z•＝5．解：因为z＝2﹣i，所以，所以z＝（2﹣i）（2+i）＝4+1＝5，故答案为：5．2．已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝5．解：令f（x）＝，解得x＝5，故f﹣1（3）＝5．故答案为：5．3．在行列式D＝中，元素3的代数余子式的值为﹣10．解：在行列式D＝中，元素3的代数余子式的值为：（﹣1）1+2[2×4﹣（﹣2）×1]＝﹣10，故答案为：﹣10．4．在的二项展开式中，x6项的系数是56．解：由已知可得展开式中含x6的项为：C＝2×28x6＝56x6，所以展开式中x6项的系数为56，故答案为：56．5．已知x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为9．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，﹣5），由z＝x﹣2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．6．方程的解为x＝2．解：∵，∴，解得x＝2．故答案为：2．7．已知一组数据a，3，﹣2，6的中位数为4，则其总体方差为．解：因为数据a，3，﹣2，6的中位数为4，所以，故a＝5，所以这组数据的平均数为，故方差为[（﹣2﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2+（6﹣3）2]＝．故答案为：．8．已知函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|为奇函数，若g（﹣1）＝7，则g（1）＝﹣11．解：根据题意，函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|，则f（1）＝g（1）+1，f（﹣1）＝g（﹣1）+3，又由函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|为奇函数，则f（﹣1）+f（1）＝g（1）+g（﹣1）+4＝0，则g（1）＝﹣11，故答案为：﹣11．9．直线l：（n+2）x﹣y+2n﹣1＝0（n∈N*）被圆C：（x﹣1）2+y2＝16所截得的弦长为d n，则＝．解：圆C：（x﹣1）2+y2＝16的圆心（1，0），半径为4，由点到直线的距离公式可得d n＝2＝＝2，＝2＝＝2．故答案为：2．10．非空集合A中所有元素乘积记为T（A）．已知集合M＝{1，4，5，7，8}，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A，则T（A）为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）解：因为集合M＝{1，4，5，7，8}，所以集合M的所有非空子集共有25﹣1＝31种，若T（A）为奇数，则A中元素全部为奇数，又{1，3，5}的非空子集个数，共有23﹣1＝7种，所以T（A）为偶数的共有31﹣7＝24种，故T（A）为偶数的概率是．故答案为：．11．函数，若有且仅有一个实数m满足：①；②x＝m是函数图象的对称轴，则ω的取值范围是[，）．解：∵函数＝2sin（ωx+），若有且仅有一个实数m满足：①；②x＝m是函数图象的对称轴，故函数的图象的对称轴只有一条在[0，]上，∴ω•m+＝kπ+，即x＝（kπ+）•，k∈Z，令k＝0，可得函数的图象的对称轴方程x＝，∴≤，且+＞，求得≤ω＜，故答案为：[，）．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积是．解：因为，所以D1P⊥CP，故P在以CD1为直径的球面上，且P在平面ACC1A1上，则P在面ACC1A1截球所得的圆上，设该圆半径r，且正方体棱长为2，则CD＝2，球半径R＝＝，连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，所以B1D1⊥平面ACC1A1，所以D1到平面ACC1A1的距离d1＝＝，因为O为CD1中点，所以O到平面ACC1A1的距离d＝＝，所以圆半径r＝＝，圆面积S＝πr2＝．故答案为：．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13．若m，n∈R，i是虚数单位，则“m＝n”是“（m﹣n）+（m+n）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：复数z＝m﹣n+（m+n）i为纯虚数，可得，解得m＝n≠0．∴“m＝n”是“复数z＝m﹣n+（m+n）i为纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．14．已知数列{a n}是无穷等比数列，若a1＜a2＜0，则数列{a n}的前n项和S n（）A．无最大值，有最小值B．有最大值，有最小值C．有最大值，无最小值D．无最大值，无最小值解：根据题意，数列{a n}是无穷等比数列，若a1＜a2＜0，则其公比q＝＞0，数列{a n}所有项为负，则有a2＝S2﹣S1＜0，即有S1＞S2，同理可得S1＞S2＞……＞S n＞……，故数列{a n}的前n项和S n有最大值，无最小值，故选：C．15．在四边形ABCD中，，且满足，则＝（）A．2B．6C．D．解：∵，∴AC为∠BAD的角平分线，∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BCA，||＝＝2，故选：D．16．已知函数f（x）的定义域为D，值域为A，函数f（x）具有下列性质：（1）若x，y∈D，则；（2）若x，y∈D，则f（x）+f（y）∈A．下列结论正确的是（）①函数f（x）可能是奇函数；②函数f（x）可能是周期函数；③存在x∈D，使得；④对任意x∈D，都有f2（x）∈A．A．①③④B．②③④C．②④D．②③解：①中，若f（x）为奇函数，则由性质（1）得，f（x）≠0，所以当y＝﹣x时，f（x）+f（y）＝f（x）+f（﹣x）＝0∉A，性质（1）（2）矛盾，①错误；若f（x）为周期函数，则f（x）＝f（x+T），T为周期，当A∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，性质（1）（2）均成立，结论②正确；由上述分析可知，当A∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时f（x）的值域为R，所以一定存在x0使得f（x0）＝，结论③正确；由性质（2）可得当y＝x时，f（x）+f（y）＝2f（x）∈A，故A为无穷集合，故f2（x）∈A，结论④正确．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，BB1⊥底面ABC，AB⊥BCD是棱AB 的中点．（1）求证：直线BC与直线DC1为异面直线；（2）求直线DC1与平面A1BC所成角的大小．【解答】（1）证明：假设直线BC与直线DC1共面，∵点B，C，D∈平面ABC，而过直线BC和直线BC外一点D有且只有一个平面，∴C1∈平面ABC，矛盾！（1分）假设不成立故直线BC与直线DC1为异面直线．（1分）（2）解：如图，以B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（1分）则B（0，0，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），，，设平面A1BC的一个法向量，则，取，D（0，1，0），C1（2，0，2），，（1分）设直线DC1与平面A1BC所成角所成角为θ，则，（1分）所以θ＝45°．（1分）18．已知，（a为实常数）（1）当a＝1时，求不等式的解集；（2）若函数f（x）在（0，+∞）中有零点，求a的取值范围．解：（1）当a＝1时，不等式，化简可得，所以x（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜0，所以不等式的解集为（﹣1，0）；（2）因为函数f（x）在（0，+∞）中有零点，所以，x∈（0，+∞）有解，则（x＞0），因为的取值范围是[2，+∞），故a的取值范围是．19．如图，A，B，C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，AB＝30公里，AC＝10公里，∠BAC＝60°，D是圆形区域外一景点，∠DBC＝90°，∠DCB＝60°．（1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB⋅AC cos∠CAB＝302+102﹣2⋅30⋅10⋅cos60°＝700，∴，则＝≈15.28（公里）．答：O、A相距约15.28公里；（2）在Rt△CBD中，BD＝BC•tan60°＝，在△ABC中，，即，∴，∴，∴AD2＝AB2+BD2﹣2AB⋅BD cos∠ABD＝．∴（公里）．∴所需时间为小时．答：从A行驶到D约需要1.25 小时．20．（16分）焦点为F的抛物线与圆交于A，B两点，其中A点横坐标为x A，方程的曲线记为Γ，P是曲线Γ上一动点．（1）若P在抛物线上且满足|PF|＝3，求直线PF的斜率；（2）T（m，0）是x轴上一定点．若动点P在Γ上满足x≤x A的范围内运动时，|PT|≤|AT|恒成立，求m的取值范围；（3）Q是曲线Γ上另一动点，且满足FP⊥FQ，若△PFQ的面积为4，求线段PQ的长．解：（1）P是抛物线y2＝4x上满足|PF|＝3的点，过点P作PN⊥l于N，由抛物线的定义可知，|PF|＝|PN|，设P（x′，y′），则x′+1＝3，解得x′＝2，又因为点P在抛物线上，所以y′2＝8，得y′＝±2，所以直线PF的斜率为k＝＝±2．（2）设P（x1，y1），由，得，所以A（3，2），B（3，﹣2），x A＝3，由|PT|≤|AT|，得（x1﹣m）2+y12≤（3﹣m）2+12，即x12﹣2mx1+m2+4x1≤21﹣6m+m2，因为x1≤x A＝3，所以m≤＝（x﹣3+6﹣），令f（x）＝（x﹣3+6﹣），则是增函数，且0≤x＜3，当x＝0时，取得最小值，所以m≤，即|PT|≤|AT|恒成立的范围是（﹣∞，]．（3）点P，Q都是Γ上的动点，①当P，Q都在圆弧上时，|FQ|＝|FP|＝4，PF⊥QF，所以S△PFQ＝×4×4＝8，不满足S△PFQ＝4的条件．②当P在抛物线上，Q在圆上，由S△PFQ＝4，得|PF|＝2，在Rt△PFQ中，|PF|2+|PQ|2＝22+42＝20，③当P，Q都在抛物线上，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以|PF|＝x1+1，|QF|＝x2+1，因为FP⊥FQ，所以k PF•k QF＝﹣1，即•＝﹣1，所以＝﹣1，所以y12y22﹣4（y12+y22）+16y1y2+16＝0，①因为△PFQ的面积为4，所以|PF||QF|＝4，所以（x1+1）（x2+1）＝8，所以x1x2+（x1+x2）﹣7＝0，所以•+（+）﹣7＝0，所以y12y22+4（y12+y22）﹣112＝0②，①+②得，2y12y22+16y1y2﹣96＝0，所以y12y22+8y1y2﹣48＝0，令t＝y1y2，则t2+8t﹣48＝0，解得t＝﹣12或t＝4，即y1y2＝﹣12或y1y2＝4，代入②得（舍）或，若y1y2＝4＞0，则y1，y2同号，且y1≠y2，由②可知﹣2≤y1≤2，﹣2≤y2≤2，所以y12+y22＜24矛盾，所以（舍），综上所述，|PQ|＝2．21．（18分）已知无穷数列{a n}与无穷数列{b n}满足下列条件：①a n∈{0，1，2}，n∈N*；②＝（﹣1）n•|a n﹣a n+1|，n∈N*．记数列{b n}的前n项积为T n．（1）若a1＝b1＝1，a2＝0，a3＝2，a4＝1，求T4；（2）是否存在a1，a2，a3，a4，使得b1，b2，b3，b4成等差数列？若存在，请写出一组a1，a2，a3，a4；若不存在，请说明理由；（3）若b1＝1，求T2021的最大值．解：（1）由得，，由得，，由得，，∴；（2）不存在．假设存在，设b1，b2，b3，b4公差为d，若b1＞0，则b2＜0，b3＜0，b4＞0，公差d＝b2﹣b1＜0，d＝b4﹣b3＞0，矛盾；若b1＜0，则b2＞0，b3＞0，b4＜0，公差d＝b2﹣b1＞0，d＝b4﹣b3＜0，矛盾，∴假设不成立，故不存在；（3）由题意，b1＝1＞0，且b4k﹣3＞0，b4k﹣2＜0，b4k﹣1＜0，b4k＞0，设，，得|b n+1|＝q n•|b n|，进一步得到|b n+2|＝q n•q n+1•|b n|，显然q n•q n+1的值从大到小依次为，（i）若q n•q n+1＝1，则，则，不可能；（ii）若，则或，则或，不可能；（iii）若，则，则，不可能；∴，当或取得，∴，∴，，∴|T2021|＝|b1•b2•b3......b2021|＝|b1•b3•b5......b2021|•|b2•b4•b6 (2020)＝，当{a n}：2，0，2，0，2，0……取得，又T2021＞0，∴．。

上海市杨浦区2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r共线，且方向相同，充分性； 当a r 与b r共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要.故选：A . 【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 2．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min 1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-， 因为π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ212x ωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确； 对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题. 3．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 4．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.5．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．1【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，3531m S =，求m 的值． 因为()51512512a S -==-，解得1531a =，()51235311231m mS -==-，解得3m =．故选B ． 【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.6．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．274【答案】B 【解析】 【分析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件 件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值． 【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9， 可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ， 使目标函数3z x y =+取得最大值， 将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ． 【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．7．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 8．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =- D．z =【答案】D 【解析】 【分析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-，故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共 轭复数为42z i =--，C错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.9．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】 【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111x h x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max hx h ==，而0024224xx a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.11．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B 【解析】【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.【详解】 如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ， 故渐近线方程为3y x =， 故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题2．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C ．13 D．22【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.3．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,4【答案】B 【解析】 【分析】令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【详解】令()f x t =，则2230t at a -+=，如图y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈， 设2()23g t t at a =-+由根的分布可知，24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题. 4．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则M N =I （ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 5．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：由()112i z i -=-+，得()()()()121123111122i i i z i i i i -++-+===-+--+，∴2z z ===．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．6．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102x g x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<.则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算. 7．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定z i -，即可得z i -的最大值. 【详解】由1z =知，复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，z i -表示复数z 对应的点与点()0,1间的距离，又复数z 对应的点所在圆的圆心到()0,1的距离为1， 所以max 112z i -=+=. 故选：B 【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．102【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．2328【答案】B首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A，B，C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A，B，C”，记事件“恰好不同时包含字母A，B，C”为E，利用对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3984C=（个），则事件“恰好不同时包含字母A，B，C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A，B，C”记事件“恰好不同时包含字母A，B，C”为E，则3 3 9 319()128P EC=-=.故选：B【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为OKL△的面积，将GiniaS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x=，则对(0,1)x∀∈，均有()1f xx>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x=∈，则1Gini4=；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x=∈，则1Gini2=.其中正确的是：A．①④B．②③C．①③④D．①②④【分析】 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．11．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v ，则AB AM ⋅u u u v u u u u v等于（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件，表示出向量AM u u u u r,然后求解向量的数量积．【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v，可得12.33AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r则AB AM ⋅u u u v u u u u v =12()33AB AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r =212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．12．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( ) A．(B．)+∞C．(D．)+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率双曲线222:14yC x-=的渐近线方程为2y x=±，由于双曲线22122:1x yCa b-=与双曲线222:14yC x-=没有公共点，所以双曲线1C的渐近线的斜率2ba≤，所以双曲线1C的离心率(211,5bea⎛⎫⎤=+∈⎪⎦⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区2023届高三下学期高考模拟（二模）数学试题一、单选题1．（2023·上海杨浦·统考二模）已知a 、b ∈R ，则“a b >”是“33a b >”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．（2023·上海杨浦·统考二模）对成对数据()11,x y 、()22,x y 、…、(),n n x y 用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）A ．()10ni i y y =-=∑B ．µ()10ni i i y y =-=∑C ．µ()1n i i i y y =-∑最小D ．µ()21ni i i y y =-∑最小3．（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0∞-上严格递减的是（ ）A ．2xy =B ．()ln y x =-C ．23y x-=D．y =4．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是（ ）ABC ．2D ．32二、填空题5．（2023·上海杨浦·统考二模）集合{}2230A x x x =--=，{}24,B x x x =≤≤∈R ，则A B =I______6．（2023·上海杨浦·统考二模）复数34i34i+-的虚部是______7．（2023·上海杨浦·统考二模）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.8．（2023·上海杨浦·统考二模）设()55435431021x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a =______9．（2023·上海杨浦·统考二模）函数()ln 23y x =-的导数是y '=______10．（2023·上海杨浦·统考二模）若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为______11．（2023·上海杨浦·统考二模）由函数的观点，不等式3lg 3x x +≤的解集是______12．（2023·上海杨浦·统考二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分13．（2023·上海杨浦·统考二模）ABC V 内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b ，π3A ∠=，则B ∠=______14．（2023·上海杨浦·统考二模）若1F ､2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线的离心率为________.15．（2023·上海杨浦·统考二模）若存在实数ϕ，使函数()()()1cos 02f x x ωϕω=+->在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______16．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足5a =r ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b r的最小值是______三、解答题17．（2023·上海杨浦·统考二模）已知一个随机变量X 的分布为：6789100.10.20.3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)已知()435E X =，求a 、b 的值；(2)记事件A ：X 为偶数；事件B ：8X ≤.已知()12P A =，求()P B ，()P A B ⋂，并判断A 、B 是否相互独立？18．（2023·上海杨浦·统考二模）四边形ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于O 点，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P BC A --的大小为45︒.(1)求点A 到平面PBD 的距离；(2)求直线AC 与平面PCD 所成的角.19．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，某国家森林公园的一区域OAB 为人工湖，其中射线OA 、OB 为公园边界.已知OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，以OB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线AB 的轨迹方程为：()2402y x x =-+≤≤.计划修一条与湖边AB 相切于点P 的直路l （宽度不计），直路l 与公园边界交于点C 、D 两点，把人工湖围成一片景区OCD V .(1)若P 点坐标为()1,3，计算直路CD 的长度；（精确到0.1千米）(2)若P 为曲线AB （不含端点）上的任意一点，求景区OCD V 面积的最小值.（精确到0.1平方千米）20．（2023·上海杨浦·统考二模）已知椭圆()2222:1043x y C a a a +=>的右焦点为F ，直线:40l x y +-=.(1)若F 到直线l 的距离为a ；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且ABO V 的面积为487，求a ；(3)若椭圆C 上存在点P ，过P 作直线l 的垂线1l ，垂足为H ，满足直线1l 和直线FH 的夹角为π4，求a 的取值范围.21．（2023·上海杨浦·统考二模）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .(1)写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；(2)判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；(3)n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.参考答案：1．C【分析】利用函数3()f x x =在R 上单调递增即可判断出结论.【详解】()3,f x x x =∈R Q 是奇函数且为递增函数，所以a b >，则()()f a f b >，即33a b >，同理，33a b >，则()()f a f b >，函数单调递增，得a b >；∴ “a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.2．D【分析】由最小二乘法的求解即可知.【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D 3．A【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案.【详解】由22x x -=且x ∈R ，故2x y =为偶函数，在(),0∞-上2xy -=递减，A 符合；由()ln y x =-的定义域为(),0∞-，故为非奇非偶函数，B 不符合；由23y x -==(,0)(0,)-∞+∞U ，=，故23y x -=为偶函数，在(),0∞-上递增，C 不符合；由y =R ，=，故为偶函数，在(),0∞-上递增，D 不符合.故选：A 4．B【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心O 到点P 的距离.【详解】如上图正四棱锥P ABCD -，H 为底面中心，O 为球心，E 为球体与PD 的切点，又π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，故P ABCD -各侧面均为等边三角形，若侧面三角形边长为a，则HD =，PD a =，1OE =，显然Rt △PHD ~Rt △PEO，故HD OE PD OP ==OP =.故选：B.5．{}3【分析】根据一元二次方程化简集合A ,由集合的交运算即可求解.【详解】由{}2230A x x x =--=得{}3,1A =-，所以{}3A B ⋂=，故答案为：{}36．2425##0.96【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】因为()()()()34i 34i 34i 34i 34i 347+24i 25i -==+++--+，所以虚部为2425.故答案为：24257．10n a n =-##10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出1a d 、，即可得到通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：191a d =⎧⎨=-⎩，所以()1110n a a n d n =+-=-.故答案为：10n a n =-.8．80【分析】先写出()521x +的二项展开式的通项，再求出3a 即可.【详解】()521x +的二项展开式的通项：()()555155C 22C 0,1,2,3,,145rr rr r rr T x x r ---+===，故33522C 81080a ==⨯=．故答案为：80.9．332x -【分析】根据复合函数求导法则进行求导即可.【详解】因为()ln 23y x =-，所以()()113233232332y x x x x ''=⨯-=⨯-=---.故答案为：332x -.10．12π【分析】圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，则侧面积为12ππ15π2S r l rl =⨯⨯==，再结合2216l r =+，可得r 的值.然后根据椎体体积公式13V Sh =计算即可.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，有22π15π16rl l r =⎧⎨=+⎩，解得：35r l =⎧⎨=⎩.211π12π,33V Sh r h ==⨯⨯=故答案为： 12π.11．(]0,1【分析】构造()3lg 3xf x x =+-可得()f x 为单调递增函数，有()10f =即可求解.【详解】令()3lg 3xf x x =+-，由于3,lg x y y x ==均为单调递增函数，因此()f x 为()0,∞+上的单调递增函数，又()10f =，故()0f x ≤的解为(]0,1，故答案为：(]0,112．107【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.【详解】由直方图知：平均成绩为(950.031050.041150.0151250.011350.005)10107⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分.故答案为：10713．π4##45o 【分析】利用正弦定理及大边对大角即可求解.【详解】因为3a =，b π3A ∠=，由正弦定理得sin sin b AB a∠∠===所以π4B ∠=或3π4B ∠=.由b a <，得B A ∠<∠,所以0π3B <∠<，所以π4B ∠=.故答案为：π4.14【分析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF1|=2a ，|AF2|=4a ，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知22||||||AB BF AF ==，A 为双曲线上一点，21||||2AF AF a ∴-=，B 为双曲线上一点，则 12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==，∴21||||24,AF AF a a =+=由0260ABF ∠=，则12120F AF ︒∠=，已知12||2F F c =，在△F 1AF 2中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，得c 2=7a 2，则e 2＝7⇒e【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a ，c 的值，这时可将ca或b a 视为一个整体，把关系式转化为关于c a 或ba的方程，从而得到离心率的值.15．15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用cos y x =的图像与性质，直接求出函数()f x 的零点，再利用题设条件建立不等关系ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+--+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，从而求出结果.【详解】因为()()()1cos 02f x x ωϕω=+->，由()0f x =，得到()1cos 2x ωϕ+=，所以π2π(Z)3x k k ωϕ+=+∈或π2π(Z)3x k k ωϕ+=-+∈，所以π2π3(Z)k x k ϕω-+=∈或π2π3(Z)k x k ϕω--+=∈，又因为存在实数ϕ，使函数()f x 在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，所以7π5π2π2π332πk k ϕϕωω-+-+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，即2π32πω≤且10π32πω>，解得1533ω≤<.故答案为：1533ω≤<16【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图AC a =u u u r r ，AD b u u u r r =，AB c =u u u r r ，则b a CD -=u u u r r r ，c a CB -=u u rr r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=u u u r u u r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有1122OC BD b c ==-r r，而12OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC+≥则11522b c b c a ++-≥=r r r rr ，所以10b c b c ++-≥r r r r ，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c r r向量的夹角为θ，则b +=r ，同理b -r ，由10b c b c ++-≥r r r r10≥，则225b ≥==r ，当cos 0θ=，即b c ⊥r r时取等号，，即b r的最小值是【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式10b c b c ++-≥r r r r，进而利用数量积求模长.17．(1)0.1a =，0.3b =；(2)()0.5P B =，()0.3P A B ⋂=，事件A 与B 不相互独立.【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；（2）由()12P A =及分布列的性质求出a 、b ，进一步求出()P B ，()P A B ⋂，利用两个事件相互独立的定义判断即可.【详解】（1）由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.4a b +=，又()60.1780.290.310E X a b=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯60.17(0.4)80.290.310b b =⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯437.738.65b =+==，解得0.3b =，所以0.40.1a b =-=，即0.1a =，0.3b =；（2）由题意，()10P X b ==，又事件A ：X 为偶数，所以()()()()168100.10.22P A P X P X P X b ===+=+==++，所以0.2b =，由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.2a =，又事件B 为8X ≤，所以()()()()6780.10.20.20.5P B P X P X P X ==+=+==++=，所以()()()680.10.20.3P A B P X P X ⋂==+==+=，因为()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 与B 不相互独立.18．(2)π6【分析】（1）建立空间直角坐标系，设PA a =，利用空间向量法及二面角P BC A --的大小求出a 的值，再求平面PBD 的法向量n r ，根据点A 到平面PBD 的距离AP n d n⋅=u u u r r r 求解即可；（2）先求出平面PCD 的法向量，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,,AP AB AD 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，设PA a =，0a >，则()0,0,P a ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，()0,1,0D ，所以()1,0,PB a =-u u u r ，()0,1,0BC =u u u r ，()1,0,0AB =u u u r ，设平面PBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，则1111100n PB x az n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，取()1,0,1n a =u r ，取平面BCA 的法向量()20,0,1n =u u r ，因为二面角P BC A --的大小为45︒，所以12cos ,n n =u r u u r ，解得1a =，即()0,0,1P ，所以()1,0,1PB =-u u u r ，()0,1,1PD =-u u u r ，()0,0,1AP =u u u r ，设平面PBD 的法向量()000,,n x y z =r ，则000000n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()1,1,1n =r ，所以点A 到平面PBD的距离d =（2）由（1）得()()()1,1,1,0,1,1,1,1,0PC PD AC =-=-=u u u r u u u r u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,m x y z =u r ，则00m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()0,1,1m =u r ，设直线AC 与平面PCD 所成的角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin cos ,2m AC m AC m ACθ⋅====u r u u u r u r u u u r u r u u u r ，所以直线AC 与平面PCD 所成的角为π6.19．(1)5.6km(2)26.2km 【分析】（1）根据导数与切线的关系求解即可；（2）利用切线方程与导数的关系求出点P 处的切线方程，从而表示出OCD V 的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解.【详解】（1）因为()2402y x x =-+≤≤，所以2y x '=-，所以1|2x y ='=-，所以由点斜式可得32(1)y x -=--，即25y x =-+，令0x =，解得5y =，令0y =，解得52x =，所以5(0,5),(,0)2C D5.6km =≈.（2）设2(,4),02P t t t -+<<，则由（1）可知|2x t y t ='=-，所以CD 的直线方程为242()y t t x t +-=--，整理得224y tx t =-++，令0x =，解得24y t =+，令0y =，解得242t x t +=，所以22314116(4)(8224OCD t S t t t t t+=⨯+⨯=++△，设3116()(8),024f t t t t t=++<<，4222222211613816(34)(4)()(38)444t t t t f t t t t t+--+'=+-=⨯=，令()0f t '>，即2340t ->2t <<，令()0f t '<，即2340t -<，解得0t <<所以函数()f t在⎛ ⎝单调递减，2⎫⎪⎪⎭单调递增，所以32min1()8 6.2km4f t f⎡⎤⎢==+=≈⎢⎢⎢⎣.所以景区OCDV面积的最小值为26.2km.20．(1)8a=(2)2a=(3)a≥4a≠【分析】（1）由椭圆方程得右焦点为(,0)F a，再根据已知条件及点到直线的距离公式求解即可；（2）联立直线与椭圆方程，先由韦达定理及弦长公式求AB，点到直线的距离公式求O到直线l的距离h，再根据三角形面积公式求解即可；（3）分4a=和4a≠两种情况讨论，易知4a=不合题意，当4a≠时，根据题意可得直线FH 的方程为0y=或x a=，代入l方程可求H点坐标，从而可求直线1l的方程，联立1l与椭圆方程，利用0∆≥即可求出a的取值范围．【详解】（1）因为()2222:1043x yC aa a+=>，所以右焦点为(,0)F a，又因为:40l x y+-=，所以F到直线l的距离d8a=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，由22221434x ya ax y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2273264120x x a-+-=，所以223228(6412)0a∆=-->，即2167a>，且1221232764127x xax x⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩，==，又因为O 到直线l 的距离为h 所以ABO V 的面积为118482277ABO S AB h =⋅=⨯==V ，解得2a =满足2167a >，所以2a =；（3）若4a =，则直线l 经过点F ，此时直线1l 和直线FH 的夹角为π2（舍去），若4a ≠，由直线1l 和直线FH 的夹角为π4，且11l k =得，直线FH 的方程为0y =或x a =代入:40l x y +-=得(4,0)H 或(,4)H a a -，所以直线1l 的方程为4y x =-或(4)y a x a --=-代入椭圆方程得2273264120x x a -+-=或()()2273216464640x a x a a +-+-+=，由2148(716)0a ∆=-≥或2248(3+1616)0a a ∆=-≥解得a ≥a ≥，综上得的取值范围为a ≥4a ≠．21．(1)答案见解析；(2)不存在，理由见解析；(3)51【分析】（1）根据题意得21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再直接求解即可；（2）根据21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再证明3n n a a +≥，*n ∈N 即可证明结论‘；（3）根据21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②得对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=可得1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，进而得10051c ≥，再根据特例说明10051c =即可得答案.【详解】（1）解：由12n n n a a a ++=-得12n n n a a a ++-=-或12n n n a a a ++=-，所以21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，因为足13a =，27a =，所以310a =或34a =，所以，当310a =时，417a =或43a =；当34a =时，411a =或43a =-因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以43a =-舍，所以，数列{}n a 前4项的所有可能取法有13a =，27a =，310a =，417a =或13a =，27a =，310a =，43a =或13a =，27a =，34a =，411a =.（2）解：不存在，下面证明：因为12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，当21n n n a a a ++=+时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以32121n n n n n n n a a a a a a a +++++=+>=+>，即3n n a a +>或321n n n n a a a a +++=-=，所以3n n a a +≥；当21n n n a a a ++=-时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以210n n n a a a ++=->，即1n na a +>所以3211n n n n n a a a a a ++++=+>>或3210n n n n a a a a +++=-=-<（舍），综上，3n n a a +≥，*n ∈N 所以3213k a a -≥=，3127k a a -≥=，334k a a ≥=.综上，不存在正整数k ，满足1k a =.（3）解：由12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②，对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，只有满足1n n a a +>时，才可以使用②递推；若21n n n a a a ++=-，显然21n n a a ++<，下次只能用①递推，即321n n n a a a +++=+所以，②不能连续使用.记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=若21221k k k a a a +-=+，则1k k b b +>；若21221k k k a a a +-=-，则22212221k k k k k a a a a a ++-=+>>，所以1k k b b +>，所以1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，所以，12100,,,a a a L 中至少有122350,,,,,a a b b b L 共51项，即10051c ≥.举例如下：1212,(,(n n n n n a a n a a a n ----+⎧=⎨-⎩为奇数）为偶数）所以{}:3,7,10,3,13,10,23,13,36,23n a L L ，此时10051c =，所以，100c 的最小值为51.【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=推理得到1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，10051c ≥，进而结合题意说明最小值可以取到51即可.。

2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷1. 若集合，，则______.2. 复数，则______.3. 直线l的参数方程为，，则直线l的斜率为______.4. 的二项展开式中，项的系数为______.5. 若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为______.6. 函数的反函数是______.7. 设a，b，c，，若行列式，则行列式的值为______.8. 已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增的概率为______.9.等差数列的前n项和为，若，且，则______. 10. 已知点P为正边上或内部的一点，且实数x，y满足，则的取值范围是__________.11. 设点P是曲线上的动点，点，满足，则点P的坐标为______.12. 函数的值域中仅有5个不同的值，则的最小值为______.13. “”是“为第一象限角”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14. 下列不等式恒成立的是( )A. B.C. D.15. 上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是( )A. 总体均值为，中位数为B. 总体均值为，总体方差大于C. 总体中位数为，众数为D. 总体均值为，总体方差为16. 记函数，，函数，，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数判断如下两个命题真假．①函数包裹函数的充要条件是；②若对于任意，对任意都成立，则函数包裹函数则下列选项正确的是( )A. ①真②假B. ①假②真C. ①②全假D. ①②全真17. 如图所示，正四棱柱的底面边长1，侧棱长4，中点为E，中点为求证：平面平面；连结，求直线与平面BDE所成的角的正弦值．18. 已知函数，其中常数讨论函数的奇偶性，并说明理由；中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求当时，的面积．19. 如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B地在观测站北偏东方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车记为点沿着公路向正东方向行驶进行观测，记为观测角．当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角的大小；精确到为了确保观测质量，要求观测角不小于，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．精确到公里20. 如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为，长轴长为椭圆上有两点P ，Q ，连结OP ，OQ ，记它们的斜率为，，且满足求椭圆的标准方程；求证：为一定值，并求出这个定值；设直线OQ 与椭圆的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线交于点M ，N ，若和的面积相等，求点P 的横坐标．21. 已知数列满足：，或，对一切都成立．记为数列的前n 项和．若存在一个非零常数，对于任意，成立，则称数列为周期数列，T 是一个周期．求、所有可能的值，并写出的最小可能值；不需要说明理由若，且存在正整数p ，，使得与均为整数，求的值；记集合，求证：数列为周期数列的必要非充分条件为“集合S为无穷集合”．答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：直接利用交集运算的概念得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：，故答案为：根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．3.【答案】2【解析】解：直线l的参数方程为，消去参数t可得，，即，直线l的斜率为故答案为：消去参数t可得，，即，再结合斜率的定义，即可求解．本题主要考查直线的参数方程，属于基础题．4.【答案】180【解析】解：的二项展开式的通项为，取，可得项的系数为故答案为：写出二项展开式的通项，取x的指数为2，求得r值，进一步得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．5.【答案】【解析】解：圆锥的母线长为5，底面半径为3，圆锥的高，该圆锥的体积故答案为：由圆锥的母线长为5，底面半径为3，求出圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查直圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：，，故答案为：根据反函数的定义求出的反函数的解析式即可．本题考查了反函数的定义，是基础题．7.【答案】3【解析】解：，，解得故答案为：根据已知条件，结合行列式公式，即可求解．本题主要考查行列式的公式，属于基础题．8.【答案】【解析】解：从集合中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增，则，1，3，所以，其概率为故答案为：利用古典概型公式计算即可．本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．9.【答案】【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由，且，得，解得，则故答案为：设等差数列的首项为，公差为d，由已知列方程组求得首项与公差，再求数列的极限得答案．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了数列极限的求法，是基础题．10.【答案】【解析】解：是三角形ABC内含边界的一点，且向量足，当P点在BC上时，，特别地，当点P与点B重合时有，，即，；当点P与点C重合时有，，即，；又点P在三角形ABC内含边界，，，；，即的取值范围是故答案为：根据题意，利用平面向量基本定理，结合特殊点的位置P与点B重合以及P与点C重合时对应的x、y值，即可求出的取值范围．本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的几何意义的应用问题，属中档题．11.【答案】【解析】解：因曲线在双曲线在x轴上方的部分，故是双曲线的下焦点，则双曲线的上焦点为，由，又，，又，故P，A，共线，又的直线方程为，联立，解得，，故点P的坐标为故答案为：设双曲线的上焦点为，由已知可得，又，可示点P的坐标．本题考查双曲线的几何性质，属中档题．12.【答案】【解析】解：的图象，只是将的图象变成原来的倍，结合的对称性，当，，……，时，即最小正周期为9时，满足题意的最小正周期最大，此时故答案为：先求得余弦函数的周期最大值，进而求得的最小值，易知，则在一个周期内，结合对称性，只要，此时恰好有，，，，恰好满足题意，此时周期最大，则的最小值可求．本题考查三角函数的图像和性质，属于中档题．13.【答案】A【解析】解：，则一定为第一象限角；若为第一象限角，设，在第一象限，所以“”是“为第一象限角”的充分不必要条件．故选：利用第一象限角的定义，结合充分条件、必要条件的定义进行分析即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14.【答案】B【解析】解：当，时，不成立，故选项A错误；当时，不成立，故选项C错误；当，时，不成立，故选项D错误；，故，故选项B正确；故选：举反例判断选项A、C、D，再通过不等式的性质判断选项B即可．本题考查了不等式的性质及其应用，属于基础题．15.【答案】D【解析】解：对于A，总体均值为，中位数为，可能出现低于的情况，故A不正确；对于B，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；对于C，中位数和众数也不能确定，故C不正确：对于D，当总体均值为，总体方差为，平均气温会大概会不低于，故D正确．故选：根据总体均值，中位数，众数，总体方差的定义判断即可．本题考查总体均值，中位数，众数，总体方差，属于基础题．16.【答案】D【解析】解：①因数函数包裹函数，所以，又因为，所以，所以函数包裹函数的充要条件是，故①正确；②由，又因为，当且仅当时，等号成立，又因为，故对于任意，，可得，即函数包裹函数，所以②正确．故选：①根据包裹函数的定义可以得到，由，可得，即①正确；②根据包裹函数的定义可以得到，可得函数包裹函数，即②正确．本题属于新概念题，考查了学生的推理能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．17.【答案】解：以A为原点，AB，AD，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则，，，，，，，，DE不在平面内，在平面内，可得DE与平面平行同理平面，又BD与DE为平面BDE内两条相交直线，可得平面BDE与平面平行．同建系，设平面BDE的一个法向量为，则，得，不妨取，则，又，设直线与平面BDE所成的角为，故，直线与平面BDE所成的角的正弦值为【解析】本题考查面面平行的证明，考查线面角的大小的求法，属中档题．以A为原点，AB，AD，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图利用向量法证，同理平面，可证平面平面；利用向量法可求直线与平面BDE所成的角的正弦值．18.【答案】解：，，①时，，偶函数．②时，，不是奇函数，，不是偶函数．函数非奇非偶函数；由，，得，因为，所以，则，，由，解得，【解析】利用函数的奇偶性的定义，通过t是否为0，判断函数的奇偶性即可．利用已知条件求解A的大小，然后求解三角形的面积即可．本题考查三角形的解法，函数奇偶性的判断，余弦定理的应用，是中档题．19.【答案】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，则，，所以，所以观测角设，①时，，所以，②时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，因为，，所以，所以为锐角，设，则函数，当时，符合上式，又，且，所以，整理得，解得，且，所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为公里．【解析】根据题意建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积计算夹角的大小；设点M，利用坐标表示向量和直线的斜率，求出的正切值，从而求出对应的结果．本题考查了平面向量的坐标表示和直线方程的应用问题，是中档题．20.【答案】解：由已知条件，设椭圆：，则，椭圆：证明：设，，则，整理得，由，，，解得，代入，为定值．法一：设直线OQ与椭圆的另一个交点为R，直线RP和PQ分别与直线交于点M，N，设，，由椭圆的对称性可知，，，，故，，于是，又，若和的面积相等，代入，再将代入，得若，化简得，方程无解；若，化简得解得：舍去，点P横坐标为法二：设，，由椭圆的对称性可知，，，，，，或者，，或者，，或者舍，解得：，点P横坐标为【解析】利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解a，c，然后求解b，得到椭圆方程．设，，通过结合得到坐标满足方程，转化求解为一定值即可．法一：推出，转化求解M、N的纵坐标，通过，转化求解点P 横坐标．法二通过，推出，转化求解点P横坐标即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：，3；，1，5，；首先证明：和中至少一个等于反证法：设和都大于等于2，则，即，相加得，矛盾！所以和中至少一个等于不妨设，则，即那么，所以，，证明：非充分：取数列如下：，，，数列满足条件，且对一切，，均有，但不为周期数列；必要性：已知数列为周期数列，设正整数T为其一个周期．分如下三步证明：①下证：若，则；若数列满足：，或由可得：所以时：时，，即对一切，，利用上式可知：②下证：若，则；由条件：，或可得：③由，或，可知，周期由，且，由②可知，由①可知，所以，对一切，，即集合S为无穷集合．【解析】由题意，直接写出、所有可能的值，写出的值即可，利用反证法，设和都大于等于2，得出矛盾，在求值，从充分性与必要性分别进行证明即可．本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．。

上海市杨浦区2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 2．复数12iz i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法运算求出z ，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论． 【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键． 3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =L ），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 5．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题 D ．()p q ∧⌝是假命题【答案】D 【解析】 【分析】举例判断命题p 与q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】当01x >时，102log 0,x <故p 命题为假命题；记f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f′（x ）＝e x -１， 易知f （x ）＝e x ﹣x 在（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增， ∴f （x ）＞f （0）＝１＞0，即,x x R e x ∀∈>，故q 命题为真命题； ∴()p q ∧⌝是假命题 故选D 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．6．已知向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，则λ=（ ）A ．12B ．14C ．1D ．2根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.7．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．22【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．8．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．3B ．C ．D 【答案】D 【解析】 【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，则AC =CD =由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即sin α=，从而()cos cos 90sin BCD αα∠=︒+=-=，在BCD ∆中，由余弦定理得：2134992333BD =++⨯=，则BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B 【解析】∵122F F c ==∴c =∵222c a b =-，24b = ∴4a =∴1228PF PF a +== 故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 10．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．C ．2D 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题. 12．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D 【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市浦东新区2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--【答案】C 【解析】 【分析】对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.2．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 3．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.【详解】当时，又，，由在上的值域为解得：本题正确选项： 【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知a b r r ，满足a =r 3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】a r 在b r 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-rr r r . 故选:A 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.6．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用. 7．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.8．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】 【分析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案. 【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF. 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.因为1122EHF S EF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅V ，所以21sin sin h θθ⋅+=， 所以222211sin 1sin h θθ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.9．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断. 【详解】A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾， 故正确.B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 10．复数2(1)i i +的模为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：2(1)22i i i +=-+Q ，∴复数2(1)i i +22(2)222-+=【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．11．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行化简，由于z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z . 【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z i i i i i +-+--+-+====+-++- 因为z 为纯虚数，所以202a-=，得2a = 所以2z i =. 故选A 项本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。