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第十一章 贝叶斯决策分析

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贝叶斯决策方法

贝叶斯决策方法
A2——新产品不投产 E（A1） =0.35*85+ 0.45*24+ 0.20*（-32） =34.15（万元） E（A2）=0
max（ E（A1）、 E（A2）） = E（A1） = 34.15 （万元） 即 A*=A1，新产品投产。
（2）后验分析
修正先验概率，现已知P(x),P(z/x)，利 用贝叶斯公式，计算P(x / z)。
1
2
3
s1
0 .3 0 0 .1 5 0 .0 5
s2
0 .0 9 0 .1 2 0 .0 9
s3
0 .0 2 0 .0 8 0 .1 0

0 .4 1 0 .3 5 0 .2 4
S
P (s/ )= p ( /s)/ p ( ,s)
1
2
3
S 1 0 .7 3 1 7 0 .4 2 8 6 0 .2 0 8 3
-70
20 S1(0.5)
钻井
7 S2(0.3) 50 S3(0.2) 200
20 3
0 不钻井 -40 S1(0.7317)
-80
不勘探
8 S2(0.2195) 40
22.5
-10 钻井
S3(0.0488) 190
-10
决 策1
4 1 =0.41 22.9
不钻井 钻井
22.9 S1(0.4286) 9 S2(0.3428)
（1）进行贝叶斯决策；
（2）计算出补充情报价值与全 情报价值；
（3）用决策树表示决策过程。
解：（1）求后验概率P（Si/j）
s
P (s)
P ( /s)
1
2
3
s1 0 .5 0 .6 0 .3 0 .1

贝叶斯估计与贝叶斯决策的概念

贝叶斯估计与贝叶斯决策的概念

贝叶斯估计与贝叶斯决策的概念贝叶斯估计和贝叶斯决策是概率论中重要的两个概念，它们在处理不确定性问题和统计推断中扮演着重要角色。

本文将介绍贝叶斯估计和贝叶斯决策的概念、原理以及应用。

一、贝叶斯估计贝叶斯估计是指在给定观测数据的条件下，利用贝叶斯定理来估计未知参数的方法。

在贝叶斯估计中，我们引入了先验概率和似然函数，并通过贝叶斯定理来更新我们对参数的估计。

贝叶斯估计的基本原理可以用以下公式表示：P(θ|X) = P(X|θ) * P(θ) / P(X)其中，P(θ|X) 表示在给定观测数据 X 的条件下，参数θ 的后验概率；P(X|θ) 是参数θ 给定观测数据 X 的似然函数；P(θ) 是参数θ 的先验概率；P(X) 是观测数据的边缘概率。

在贝叶斯估计中，先验概率可以通过领域知识或历史数据来确定，而似然函数则可以通过对观测数据的建模来获得。

通过不断地更新先验概率，我们可以得到后验概率，并将其作为参数的估计值。

贝叶斯估计在许多领域都有广泛的应用，例如机器学习、统计推断、信号处理等。

它能够有效地利用已知信息和数据，对未知参数进行准确的估计。

二、贝叶斯决策贝叶斯决策是一种基于贝叶斯准则的决策方法，它在已知观测数据的条件下，寻找一个决策规则来使得期望损失最小化。

贝叶斯决策的目标是选择一个最优的决策，使得在给定观测数据的条件下，使得期望损失最小。

贝叶斯决策的基本原理可以用以下公式表示：d* = argminΣL(d, a) * P(a|X)其中，d* 是最优决策，ΣL(d, a) 是决策 d 对于观测数据 X 情况下的期望损失，P(a|X) 是在观测数据 X 条件下决策 a 的后验概率。

贝叶斯决策需要利用先验概率和条件概率来对可能的决策进行评估，并选择最优的决策。

它能够充分考虑不确定性和风险，从而在决策问题中展现出优越性。

贝叶斯决策在许多实际问题中都有广泛的应用，例如医学诊断、金融风险评估、无人驾驶等。

通过考虑不确定性和风险，贝叶斯决策可以帮助我们做出最优的决策，提高决策的准确性和效果。

贝叶斯决策

贝叶斯决策

= 45.1万元

由例11-12已知先验EVPI为50万元。因此有： VAI（e3）= 50 – 45.1=4.9万元

(2)利用表11-5的资料和（11.19）式。可得： P（e3）＝ P ( j ) P ( e 3 / j ) ＝0.1853
j 1 n
(3)按照类似的方法，可以求得下表和EVAI EVAI= VAI ( e ) P ( e ) ＝17.36万元 表11-9 补充信息价值期望值计算
四、完全信息价值
完全信息，是指在进行决策时，对于所有可能出现的自然状态都 可以提供完全确切的情报。
完全信息的价值，可以由掌握完全信息前后，所采取的不同行动 方案的收益值的差额来表示。其期望值的计算公式如下： EVPI ＝ E[ Q(ai,θj )- Q(a*,θj )] ＝ P ( j )[ Q(ai,θj )- (a*,θj )]

P(
j
/ e1 )
j
2
（4）计算后验完全信息价值
表11-14 气象站发出天气好预报的后验完全信息价值计算
状态：天气状况 天气好 天气坏
P (
j
后验概率 / e1 ) )
0.818
0.182
Max Q (ai,θ Q (a*,θ
j
1000
0
j
)
1000
-500
完全信息价值
0
500

后验EVPI（e1）＝0×0.818＋500×0.182＝91

设某种状态θj的先验概率为P(θj)，通过调查获得的补充信息为
ek ,θj 给定时ek的条件概率为 ， P ( e / )则在给定信息ek的条件 下,θj的条件概率即后验概率可用以下公式计算：

贝叶斯分析决策

贝叶斯分析决策

贝叶斯分析决策Bayesean Analysis§4.0引言一、决策效果的表格表示——损失矩阵对无观察(No-data)效果a=δ可用表格(损失矩阵)替代决策树来描画决策效果的结果(损失):或损失矩阵直观、运算方便二、决策原那么通常，要依据某种原那么来选择决策规那么δ，使结果最优(或满意)，这种原那么就叫决策原那么，贝叶斯剖析的决策原那么是使希冀成效极大。

本章在引见贝叶斯剖析以前先引见芙他决策原那么。

三、决策效果的分类：1.不确定型(非确定型)自然形状不确定,且各种形状的概率无法估量.2.风险型自然形状不确定,但各种形状的概率可以估量.四、按形状优于：l ij ≤lik∀I, 且至少对某个i严厉不等式成立, 那么称举动aj按形状优于ak§4.1 不确定型决策效果一、极小化极大(wald)原那么(法那么、准那么) a1a2a4minj maxil (θi, aj) 或maxjminiuij例:各举动最大损失: 13 16 12 14其中损失最小的损失对应于举动a3.采用该原那么者极端保守, 是失望主义者, 以为老天总跟自己作对.二、极小化极小minj minil (θi, aj) 或maxjmaxiuij例:各举动最小损失: 4 1 7 2其中损失最小的是举动a2.采用该原那么者极端冒险，是失望主义者，以为总能撞大运。

三、Hurwitz准那么上两法的折衷，取失望系数入minj ［λminil (θi, aj)＋〔1－λ〕maxil (θi, aj)］例如λ=0.5时λmini lij: 2 0.5 3.5 1〔1－λ〕maxi lij: 6.5 8 6 7两者之和：8.5 8.5 9.5 8 其中损失最小的是：举动a4四、等概率准那么(Laplace)用i∑l ij来评价举动a j的优劣选minji∑l ij上例：i∑l ij: 33 34 36 35 其中举动a1的损失最小五、后梅值极小化极大准那么(svage-Niehans)定义后梅值sij =lij-minklik其中mink lik为自然形状为θi时采取不同举动时的最小损失.构成后梅值(时机本钱)矩阵S={sij }m n⨯,使后梅值极小化极大,即:min max j i s ij例:损失矩阵同上, 后梅值矩阵为:3 1 0 23 0 8 11 4 0 20 3 2 4各种举动的最大后梅值为: 3 4 8 4其中举动a1 的最大后梅值最小,所以按后梅值极小化极大准那么应采取举动1.六、Krelle准那么：使损失是成效的正数(结果的成效化),再用等概率(Laplace)准那么.七、莫尔诺(Molnor)对理想决策准那么的要求(1954)1.能把方案或举动排居完全序；2.优劣次第与举动及形状的编号有关；3.假定举动ak 按形状优于aj，那么应有ak优于aj；4.有关方案独立性：曾经思索过的假定干举动的优劣不因添加新的举动而改动；5.在损失矩阵的任一行中各元素加同一常数时，各举动间的优劣次第不变；6.在损失矩阵中添加一行，这一行与原矩阵中的某行相反，那么各举动的优劣次第不变。

毕业论文贝叶斯决策分析

毕业论文贝叶斯决策分析

毕业论文贝叶斯决策分析贝叶斯决策分析是一种基于统计学原理的决策方法，它能够通过概率模型和贝叶斯定理来评估不确定情况下的决策风险和收益。

本文将介绍贝叶斯决策分析的基本原理和应用，以及其在实际问题中的应用。

首先，我们来了解一下贝叶斯决策分析的基本原理。

贝叶斯决策分析是基于贝叶斯定理的推理方法，它将概率模型和决策问题相结合。

在贝叶斯决策分析中，我们首先通过观察到的数据来估计模型的参数，然后使用这些参数来计算各种可能的决策结果的概率，最后选择具有最大期望收益的决策。

对于一个具体的决策问题，我们首先需要构建一个概率模型，该模型将描述不同决策结果和不同事件之间的概率关系。

然后，我们需要通过观察已知的数据来估计概率模型的参数。

一旦我们估计出参数，我们就可以根据贝叶斯定理来计算不同决策结果的后验概率，即在给定已知数据的条件下，不同决策结果发生的概率。

最后，我们选择具有最大期望收益的决策结果作为最优决策。

贝叶斯决策分析可以在各种不确定性决策问题中应用。

例如，在医学诊断中，我们可以使用贝叶斯决策分析来根据病人的症状和检测结果来确定病人是否患有其中一种疾病。

在金融投资中，我们可以使用贝叶斯决策分析来评估不同投资策略的风险和回报，并选择最优的投资组合。

在工程设计中，我们可以使用贝叶斯决策分析来评估不同设计方案的可行性和效益，并选择最优的设计方案。

贝叶斯决策分析的应用还包括决策树、朴素贝叶斯分类器、最大期望算法等。

决策树是一种基于贝叶斯决策分析的决策模型，它通过将决策问题划分为一系列决策节点和结果节点，从而形成一棵树状结构来进行决策。

朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯决策分析的分类方法，它假设不同特征之间相互独立，然后使用贝叶斯定理来计算不同类别下的后验概率，最后选择具有最大后验概率的类别作为分类结果。

最大期望算法是一种基于贝叶斯决策分析的参数估计方法，它通过迭代优化来估计参数的最大似然值。

总之，贝叶斯决策分析是一种有效的决策方法，它能够通过概率模型和贝叶斯定理来评估不确定情况下的决策风险和收益。

决策分析贝叶斯决策

决策分析贝叶斯决策

天数
3 9 15 3
频率
0.1 0.3 0.5 0.1
由这些资料可以确定未来任何一天的销售量(即自 然状态)的概率分布。
2
先验分布例子: 用某一段时间内每批产品所包含的不合格品数目，来估
计该产品不合格品率的概率分布； 用过去历年秋季广州市火灾的次数，来估计明年秋季火
灾次数的概率分布。
3.主观的先验分布
=2000×0.3+0×0.7=600(元)
故决策方案δ 1（x）的贝叶斯风险为 B（δ 1）= P(θ 1, δ 1) P(θ =θ 1)+ P(θ 2, δ 1) P(θ =θ 2) =300×1/2+600×1/2=450（元）
决策方案δ 2（x）的贝叶斯风险 R(θ1, δ 2（合）) =R(θ1, a2) =1500 R(θ1, δ 2（不）) =R(θ1, a1) =0 R(θ2, δ 2（合）) =R(θ2, a2) =0 R(θ2, δ 2（不）) =R(θ2, a1) =2000
P2


0.160.5
0.432
0.160.5 0.210.5
P2
|
合.不

P合.不|
P合.不|2 P2 1P1 P合.不|
2
P2


0.210.5
0.568
0.160.5 0.210.5
因此，应判断此时设备不正常
11
情况5：可以抽出的两件产品皆为不合格品，即X=“不·不”，
21
若抽取两件产品来补充情报信息，这时决策方案共有 八个，分别记为δ1，δ2，δ3，δ4，δ5，δ6，δ7，δ8，各个决 策方案的风险值和贝叶斯风险见表5-4：
表5-4 状态θ

贝叶斯决策分析

15000 0.1818 (5000) 0.8182 134（6 元）
E a2 / H1 （0 元）
此时，aopt (H2)＝ a2，表示当预测值H2发生时，最满意方案
为不经营该产品。
例1告诉我们，贝叶斯决策就是通过市场调查分析 获取补充信息，利用补充信息修正状态变量的先验分布，依 据风险型决策的期望值准则，用后验分布替代先验分布，使 状态变量的概率分布更加符合实际情况，从而作出决策，找 出最满意方案，提高决策的科学性和效益性。
若二维离散型随机变量xy的联合分布律为绝对收敛则zgxy的数学期望若二维连续型随机变量xy的概率密度为fxy且绝对收敛则zgxy的数学期望条件数学期望对于二维离散型随机变量xy在x取某一个的条件下y的条件数学期望记作同样地对于二元连续型随机变量定义分别是在xx的条件下y的条件概率密度和在yy条件下关于x的条件概率密度
率分别为
j 1
2
P(H2 ) p( j ) p(H2 / j ) 0.05 0.8 0.90 0.2 0.22 j 1
由贝叶斯公式（2），在不同的预测值Hi(i=1,2)的条件下， 状态值θj(j=1,2)的条件概率分别为
p(1 / H1 )
p( H1 /1 ) p(1 )
先看下面的例子。
例：某公司经营一种高科技产品，若市场畅销，可
以获利15000元；若市场滞销，将亏损5000元。根据历年的
市场销售资料，该产品畅销的概率为0.8，滞销的概率为0.2。
请问该公司经营该产品应如何决策？
经营：15000*0.8-5000*0.2=11000元；
不经营：0元。
选择经营。
这是一种常见的风险型决策，其基本方法是将状态变量

贝叶斯决策分析课件


02 先验概率与似然函数
先验概率
先验概率
在贝叶斯决策分析中，先验概率是指根据历史数据或其他 信息，对某个事件或状态发生的可能性进行的估计。
确定先验概率的方法
确定先验概率的方法包括主观概率法、历史数据法、专家 评估法等。这些方法根据不同的情况和数据来源，对事件 或状态的可能性进行评估。
先验概率的特点
降维与特征选择
通过贝叶斯方法进行特征选择和降维，提高机器 学习模型的性能。
贝叶斯决策分析在金融风险管理中的应用
风险评估
利用贝叶斯方法评估金融风险，如市场风险、信用风险等。
信贷风险评估
通过构建贝叶斯网络模型，对信贷申请人的风险进行评估。
投资组合优化
利用贝叶斯方法优化投资组合，实现风险与收益的平衡。
贝叶斯决策分析在医疗诊断中的应用
率。
后验概率的应用场景
01
02
03
04
后验概率在决策分析中有着广 泛的应用，尤其是在处理不确 定性和主观概率的情况下。
在预测模型中，后验概率可以 用于预测未来的事件或结果。
在分类问题中，后验概率可以 用于确定某个样本属于某个类
别的概率。
在机器学习中，后验概率可以 用于确定某个模型或算法的准
确性和可靠性。
赖关系。
贝叶斯网络构建
根据领域知识和数据，构建贝叶 斯网络结构，确定节点和有向边
。
贝叶斯网络推理
利用贝叶斯网络进行概率推理， 计算特定条件下某变量的概率值
。
贝叶斯决策分析在机器学习中的应用
分类问题
利用贝叶斯分类器对数据进行分类，如朴素贝叶 斯分类器。
聚类问题
将贝叶斯方法应用于聚类分析，如高斯混合模型 。

运筹学-第十一章__决策分析

2 、决策过程——从枝部到根部。先计算每个行动下的 收益期望值，再比较各行动方案的值，将最大的期望 值保留，同时截去其他方案的分枝。
例：某厂试制一种新产品，如果大批生产，估计
销路好的概率为0.7，此时可获利润1200万元，若销 路不好，则将赔150万元，另一种方案是先建一个小 型试验工厂，先行试销，试验工厂投资约2.8万元， 估计试销销路好的概率为0.8，而以后转入大批生产 时估计销路好的概率为0.85；但若试销时销路不好， 则以后转入大批生产时估计销路好的概率只有0.1， 试画出该厂决策的决策树？
0
2000 3000
3000
4000 4000 3000 2000 1000 0
4000Βιβλιοθήκη 例例 设某工厂是按批生产某产品并安批销售，每件产 品的成本为30元，批发价格为每件35元。若每月 生产的产品当月销售不完，则每件损失1元。工厂 每投产一批是10件，最大月生产能力是40件，市 场需求情况可能为0，10，20，30，40五种。试 问这时决策者应如何决策?
确定型决策每个方案只有1个结局。 风险型决策又称“随机型决策”“统计型决策”， 每个方案至少有2个可能结局，但是各种结局发生 的概率是已知的。 不确定型决策每个方案至少有2个可能结局，但是 各种结局发生的概率是未知的。
根据决策结构分类：
结构化决策又称“程序化决策”决策方法有章可循。
非结构化决策又称“非程序化决策”，决策方法无 章可循。
Max{max(a1j), max{a2j} ,…, max{amj}}
ij j
j
销售量（事件）
max max
0 1000 2000 3000 4000
产
0
0
0
0
0

第十一章 统计决策.


11 - 2
统计学
STATISTICS
11.1 统计决策的基本概念
一、什么是统计决策 二、统计决策的基本步骤 三、收益矩阵表
11 - 3
统计学
STATISTICS
什么是统计决策
狭义的统计决策方法是一种研究非对抗型 和非确定型决策问题的科学的定量分析方 法。
11 - 4
统计学
STATISTICS
11 - 13
统计学
STATISTICS
11.3 一般风险型决策
一、然状态概率分布的估计 二、风险型决策的准则 三、利用决策树进行风险型决策
11 - 14
统计学
STATISTICS
自然状态概率分布的估计
客观概率是一般意义上的概率，通常是由 自然状态的历史资料推算或按照随机实验 的结果计算出来的。 主观概率是决策者基于自身的学识和经验 作出的对某一事件发生可能性的主观判断。
11 - 24
统计学 完全信息价值与补充信息价值
STATISTICS
完全信息，是指在对某一问题进行决策时， 对于所有可能出现的状态都可以提供完全 确切的情报。完全信息的价值，可以由掌 握完全信息前后，所采取的不同行动方案 的收益值的差额来表示。用收益值差额的 期望值来综合反映完全信息的价值。
11 - 25
11 - 45
统计学
STATISTICS
11 - 46
统计学
STATISTICS
11 - 47
2 j 1 n
Vi＝
11 - 17
Var (ai ) E(Q(ai))
(i =1,2,…,m)
统计学
STATISTICS
（三）最大可能准则 在最可能状态下，可实现最大收益值的方案为最佳方案。 最大可能准则是将风险条件下的决策问题，简化为确定条 件下的决策问题。只有当最可能状态的发生概率明显大于 其他状态时，应用该准则才能取得较好的效果。 （四）满意准则 利用这一准则进行决策，首先要给出一个满意水平。然后， 将各种方案在不同状态下的收益值与目标值相比较，并以 收益值不低于目标值的累积概率为最大的方案作为所要选 择的方案。利用该准则的决策结果，与满意水平的高低有 很大关系。
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第十章 贝叶斯决策分析

第一节 引言 第二节 贝叶斯Bayes定理 第三节 贝叶斯分析过程
第一节 引言
一、问题的提出



在实际进行决策时，我们一直强调要调查研究， 注意预测，以掌握机会，制订对策，明确结果， 改进决策过程，提高决策水平。 但在实际工作中，既有未掌握必要信息就匆忙 作出决策的现象发生，也有为一点小事就四出 调研的情况存在。前者忽略了信息对决策的价 值，后者又没有注意到获取信息本身也有个经 济性问题。那么，怎么权衡新信息带来的价值 是否能补偿为其支出的费用呢？ 贝叶斯决策原理为我们提供了解决策这类问题 的手段。
表1 大批量生产的销售估计
销售远景 θj θ1 θ2 θ3
概率 P(θj) 0.25 0.30 0.45
条件盈利 (百万元) 15 1 -6
表2 过去试销资料记录
条件概率 P(zi| θj) 调查结果 市场实 际情况
θ1 (盈)
0.65 0.25 0.10
θ2 (平)
0.25 0.45 0.30
二、全概率公式

设B1、B2、……Bn是基本空间Ω中的一 个互不相容的完备事件集，则对Ω中任一 事件A，有： n
P( A) P( ABi )
i 1 n
P( A | Bi ) P( Bi )
i 1
三、贝叶斯定理

贝叶斯定理主要用来研究事物发生的原 因，即要知道在A发生的条件下，某个 “原因”Bi发生的概率。这个概率又称验 后概率。
P(1 Z 2 ) 0.236 P( 2 Z 2 ) 0.509 P( 3 Z 2 ) 0.255

例：接前例（见P330）。 根据以往市场调查经验，调查结果的准 确程度见下表：
调查 条件概率 结果 P（Zj|Qi) 自然状态
Z1 Z2 Z3 （不确定） （销路好）（销路差） 0.10 0.10 Q1(销路好) 0.8 Q2(销路差) 0.10 0.75 0.15
调查为好z1
P(Z1|Q1)=0.8 P(Z2|Q1)=0.1 P(Z3|Q1)=0.1
例2：某厂在考虑是否大批量投入投产一种新产品税的决策， 根据以往经验，预计该产品大批量投入市场后有三种销售远 景，具体见下页表。因亏损的先验概率较大，故该厂还要研 究是否要采用“试销法”进行市场调查。 经财务部门预算，进行一次试销调查花费60万元。而试销所 得到的调查信息的可靠性是有限的，这有过去产品进入市场 的统计资料可供借鉴，见下页表。 试问在这种情况下是否值得应用试销的方式进行市场调查。
j 1 n
故有 : P( Z1 ) P( j ) P( Z1 j )
j 1 n
0.25 0.65 0.30 0.25 0.45 0.10 0.2825 同理可得: P( Z 2 ) 0.2650 P( Z 3 ) 0.4520
(2)按贝叶斯定理修正先验概率，其计算公式如下：
θ3 (亏)
0.10 0.15 0.75
Z1 Z2 Z3
1.进行验前分析: θ1(0.25) 1.35 2
15
1 -6
θ2(0.30)
θ3(0.45)
1.5 1
大批量生产
∥
不投产
0
2.进行后验预分析: (1)按全概率公式求边际概率，其计算公式为：
P( Z i ) P( j ) P( Z i j ) , i 1,2,3;
0.95 0.60 0.80 0.30 0.65 0.10 0.875
2.由贝叶斯公式可得：
P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B1 | A) P ( A) 0.95 0.60 0.875 0.6514
同理可计算得：P(B2|A)=0.2743 P(B3|A)=0.0743
销路好(0.6）
3.6 1
采用新产品
3.6 2
8 -3 -4 10
销路差(0.4)
销路好(0.6）
∥
不采用新产品
1.6 3
销路差(0.4)
以期望作为标准，应选择行动方案“采用新产品”。
二、后验预分析



后验预分析的目的，是要确定在采取最后行动之前是 否值得去搜集附加信息(调查或抽样)。 具体步骤： 1.根据决策问题过去有关的资料或某些途径得到的类 似资料拟定搜集新息的新决策方案，通常在验前分析 结论的基础上画出新支路。 2.根据全概率公式求有关的边际概率，并根据贝叶斯 定理修正先验概率，由此得出的后验概率就是新决策 支路的概率分布。 3.计算新决策支路的期望值。 4.权衡新方案最终的期望值、先验分析的结论和搜集 新信息所必须支出的费用，再进行选择得出结论。
P( j Z i ) 故有 : P(1 Z1 )
P( j ) P( Z i j ) P( Z i ) P(1 ) P( Z1 1 ) P( Z1 )
,
i 1,2,3; j 1,2,3; 0.25 0.65 0.575 0.2825

同理可得：
P( 2 Z1 ) 0.266 P( 3 Z1 ) 0.159
第三节 贝叶斯分析过程


引：如前所述，贝叶斯分析包括四种类 型。但在实际的贝叶斯决策过程中，并 不一定全部包括这四种类型的分析，一 般情况是，进行验前分析，后验预分析 和验后分析。 如果调查经费可以忽略，则只需要进行 验前分析和验后分析，在时间、人力和 财力不允许搜集更完备的住处或者这种 搜集没有必要时，则常常只进行验前分 析。
第二节 贝叶斯(Bayes)定理
一、条件概率和乘法公式

条件概率的定义： 设A与B是基本空间Ω中的两个事件，且 P(B)>0，在事件B已发生条件下事件A的 条件概率P(A|B)定义为：P(AB)/P(B)，即：
P( AB) P( A | B) P( B)


乘法公式： 对任意两个事件A与B，有： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 对任意三个事件A1，A2，A3，有： P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 依次可以推广到四个或更多的事件上去。
P(Q2)=0.4
调查为差z2
P(Z2|Q2)=0.75
调查为不确定z3 P(Q )P(Z |Q ) =P(Z Q )=0.06 2 1 2 3 2
P(Z3|Q2)=0.15
根据上图可计算各状态的全概率为： P( Z1 ) P( Z1Q1 ) P( Z1Q2 ) 0.52
P( Z 2 ) P( Z 2Q1 ) P( Z 2Q2 ) 0.36 P( Z 3 ) P( Z 3Q1 ) P( Z 3Q2 ) 0.12
(0.12) 3.0
Q2(0.077) -1.16 Q1(0.167)
7.66
Q2(0.833) Q1(0.167) Q2(0.833) Q1(0.50) Q2(0.50) Q1(0.50) Q2(0.50)
10
2.5
6
d1∥
d2
11
12
3.0








从以上决策分析过程可知： 若不作进一步调查研究，则采用方案1（即采用新产品） 可获期望利润3.60万元。 若进一步调查研究，则可获期望利润值6.84 万元。 当调查研究的费用小于6.84-3.60=3.24万元时，作进一步 的调查研究是值得的。 3.24万元为取得信息的价值，即信息价值。 所谓信息价值：指利用取得的信息进行决策所得到的期望 值减去没有这种情报而选取出的最优方案的期望值。 完全信息：是指在进行决策时，对于所有可能出现的自然 状态都可以提供完全确切的情报。 补充信息:是指通过各种手段如抽样调查、咨询等得到的 追加信息。 在进行补充信息的调查之前，还需要就是否值得进一步收 集补充信息的问题作出判断，并选择最佳的收集补充信息 的方案。该环节称为后验预分析
一、先验分析应用




例1(见课本P329） 某工厂要研究开发一种新型童车，首要的问题是要研 究这种新产品的销路及竞争者的情况。经过必要的风 险估计后，他们估计出： 当新产品销路好时，采用新产品可盈利8万元；不采用 新产品而采用老产品时，则因其他竞争者会开发新产 品而使老产品滞销，工厂可能亏损4万元。 当新产品销路不好时，采用新品就要亏损3万元，当不 采用新产品时就有可能用更多的资金来发展老产品可 获利10万元。 现确定销路好的概率为0.6，销路差的概率为0.4。
计算修正概率：
P (Q1 | Z1 ) P (Q1Z1 ) 0.48 0.923 P ( Z1 ) 0.52
P (Q2 Z1 ) 0.04 P (Q2 | Z1 ) 0.077 P ( Z1 ) 0.52 同理可得: P (Q1 | Z 2 ) 0.167 P (Q1 | Z 3 ) 0.50 P (Q2 | Z 2 ) 0.833 P (Q2 | Z 3 ) 0.50
例：一批产品来自三个工厂，通过调查得知：其中甲厂产 品合格率为95%，乙厂产品合格率为80%，丙厂产品合格 率为65%。这批产品中有60%来自甲厂，30%来自乙厂， 余下10%来自丙厂。 1.求这批产品的合格率。 2.若抽查出一产品为合格品，求这个产品来自甲厂的概率。 解： 1.记事件A=“产品合格”，B1=“产品来自甲厂”，B2=“产品 来自乙厂”，B3=“产品来自丙厂”。则据已知条件可知： P(A|B1)=0.95 P(A|B2)=0.80 P(A|B3)=0.65 P(B1)=0.60 P(B2)=0.30 P(B3)=0.10 则由全概率公式可知： P( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) P( B3 ) P( A | B3 )
3.6 2 3.6 1