Lyapunov方程求解(附件)

lyapunov方程的求解
听说Lyapunov方程了吗？就是那个让一堆数学大师头疼的东西。

不过别担心，咱们就用大白话聊聊。

说简单点，Lyapunov方程就像是给系统稳定性拍了个“X光”，能看出系统内部的问题。

你想想看，要是你的自行车轮子不稳，骑
起来就得摇摇晃晃，对吧？这就是因为稳定性没搞好。

而Lyapunov
方程就是帮我们找到那个能让系统稳如泰山的“魔法公式”。

话说回来，求解Lyapunov方程可不是件轻松的事儿。

你得有点
数学功底，还得有点耐心和毅力。

有时候，解这个方程就像是解一
个复杂的拼图游戏，得把各个碎片拼在一起，才能看到完整的图画。

不过，好消息是，现在有了电脑和数学软件，求解Lyapunov方
程变得容易多了。

就像是你有了一个超级助手，帮你处理那些繁琐
的计算和推理。

这样一来，你就能更快地找到答案，也不用那么头
疼了。

所以啊，虽然Lyapunov方程听起来有点吓人，但只要咱们用对
方法，就能轻松搞定它。

就像是你面对一个看似复杂的问题，只要找到了解决方法，就能迎刃而解。

这就是数学的魅力所在！。

lyapunov方程求数值解
Lyapunov方程是控制理论中的一个重要方程，用于求解线性系
统的稳定性。

Lyapunov方程的一般形式为AX + XA^T = -Q，其中A
是系统的状态矩阵，X是要求解的对称正定矩阵，Q是一个对称正定
矩阵。

Lyapunov方程的解决对于确定系统的稳定性和性能至关重要。

要求解Lyapunov方程的数值解，通常可以采用以下方法之一：
1. Schur分解法，这是一种常用的数值方法，它将状态矩阵A
分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

然后，可以将Lyapunov方程转化为一个更容易求解的形式，进而求解X的数值解。

2. 离散时间Lyapunov方程的数值解，对于离散时间系统，可
以利用迭代法或者数值线性代数方法来求解Lyapunov方程的数值解。

3. MATLAB等数学软件，许多数学软件包括MATLAB都提供了专
门用于求解Lyapunov方程的函数或工具箱，可以直接利用这些工具
来求解数值解。

无论采用哪种方法，都需要注意数值解的稳定性和精度，尤其
是在系统维度较大时。

此外，还需要对所得到的数值解进行验证，确保其满足Lyapunov方程的定义和性质。

总之，求解Lyapunov方程的数值解需要结合数值方法和专业工具，以确保得到准确可靠的结果。

讲义81. 李雅普诺夫（Lyapunov ）函数分析本讲中，对于一些有*E (,)0t S r w ⎡⎤=⎣⎦的*γ，我们研究1(,)t t t t t r r S r w γ+=+的收敛性。

回顾一下确定性实例中的Lyapunov 函数分析，我们选取了函数()V r 使得** ()0, ,()()0, , ()0.T V r r V r S r r r V r •≥∀•∇<≠•∇=如收敛性的论证为：我们发现()t V r 随时间减小并且有下限，因此，()t V r 收敛。

对V 和S 采用技术条件，可以证明*t r r →。

现在转到随机实例，用t F 表示到t 时刻的过程历史记录，显然，t F 可表示为{},,,,,,.t l l t r l t w l t l t γ=≤<≤F注意，步长t γ依赖于随机的历史记录，而步依赖于扰动t w 。

定义欧几里德范数122()T V V V =。

定理1 假设V ∃使得（a ）()0, ,V r r ≥∀（b ）L ∃使得22()()V r V r L r r ∇−∇≤−(李普希茨连续Lipschitz continuity) （c ）12,K K ∃使得221222E (,)(),t t t t S r w K K V r ⎡⎤≤+∇⎣⎦F（d ）c ∃使得22()E (,)().T t t t t t V r S r w c V r ∇⎡⎤≤−∇⎣⎦F 则，如t γ满足0t t γ∞==∞∑和20t t γ∞=<∞∑，有z ()t V r 收敛。

z lim ()0t t V r →∞∇=z 每一个t r 的极限点r 满足()0V r ∇=我们将证明某特例的收敛性，该特例对于一些*r 有2*122()V r r r =−。

定理2 假设2*122()V r r r=−满足（a ）12,K K ∃使得2122E (,)(),t t t t S r w K K V r ⎡⎤≤+⎣⎦F（b ）c ∃使得()E (,)().T t t t t t V r S r w cV r ∇⎡⎤≤−⎣⎦F则，如t γ满足0t t γ∞==∞∑和20t t γ∞=<∞∑，有*t r r →, w.p.1（以概率1）我们用下面的上鞅收敛定理证明定理2。

李雅普诺夫方程求解李雅普诺夫方程是一个非线性偏微分方程，具体形式如下：ut + uux + αuxx = 0其中，u(x,t)为未知函数，α为常数。

它的物理意义是描述一维非粘性流体中的波动行为。

该方程的解析解一般较难求解，但是可以通过一些数值方法进行近似求解。

求解李雅普诺夫方程的一种经典方法是使用有限差分法。

该方法将连续的一维空间离散化成N个点，同时将时间轴也进行离散化，得到一个网格结构。

在这个网格上，我们可以用差分方程来逼近方程的求解。

具体来说，我们可以使用简单的方法，比如向前欧拉方法（即前向差分法）或者向后欧拉方法（即后向差分法），也可以使用更高阶的方法，比如Crank-Nicolson方法。

无论使用什么方法，都需要注意网格的选择。

如果网格太粗，求解结果的精度会降低；如果网格太细，计算时间会增加，同时出现数值不稳定的现象。

通常情况下，我们需要通过试探，确定合适的网格大小。

求解李雅普诺夫方程的另外一种方法是使用数值模拟法。

该方法可以对方程进行更加精细的求解，同时可以考虑更加复杂和现实的情形。

数值模拟法的基本思想是将流体划分成一个个微小的体积元，同时考虑它们之间的相互作用和力的作用。

在这个基础上，我们可以模拟出流体在某一时刻的状态，并利用时间迭代，得到流体在未来各个时刻的状态。

数值模拟法的缺点是计算速度较慢，同时也难以处理特定的边界条件。

但是，它适用于各种不同的物理问题，并且也可以处理更加复杂的流体现象。

总的来说，李雅普诺夫方程是一个非常重要的理论问题。

虽然它的解析解较为复杂，但是通过数值方法和物理模拟，我们可以有效地求解它，同时深入研究一维非粘性流体的波动行为。

广西大学实验报告纸学院：电气工程学院 专业：自动化 成绩： 组员：陈平忠（1302120238） 黄智榜（1302120237） 班级：实验地点：808实验室 2015年12月 18日 实验内容：Lyapunov 方程求解【实验目的】1、掌握求解Lyapunov 方程的一种方法，了解并使用MATLAB 中相应函数。

【实验设备与软件】1、硬件：PC 机一台；软件：MATLAB/Simulink 。

【实验原理】1、线性定常系统渐进稳定的Lyapunov 方程判据线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程：Q PA P A T -=+该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。

线性定常离散系统为渐进稳定的充要条件：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程：Q P PG G T -=-该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。

2、在MATLAB 控制工具箱中，函数lyap 和dlyap 用来求解lyapunov 方程。

P =lyap （T A ,Q )可解连续时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和A 为具有相同维数的方阵（A 是系统矩阵）。

如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。

P =dlyap （T G ，Q ）可解离散时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和G 为具有相同维数的方阵(G 是系统矩阵)。

如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。

3、连续情况下的最小相位系统：系统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。

【实验内容、方法、过程与分析】 题目1实验内容：输入连续状态空间模型()∑=D C,B,A,:[]0,1100,0001,0100001000014283==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=D C B A（1）选取正定矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001Q ,求稳定性判别矩阵P ，判定系统是否稳定。

Ｏ ｒ ｅ Ｉ ｅ ｃ ｎｎｅ ｔ ｄ ｒ ｎｔ ｒ ｏ ｃ Ｍ ａ ｒ ｍ ｏ ｌｎｇ ｃｏ ｄｅｉ Ａ ｌ ｏｒｔ ｇ ｉｈｍ ）。 ［］
算 法 降低 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ方 程 求 解 的 计 算 复 杂 性 ， 种 这
方法 既能综 合 上述 方 法 的优 点 ， 兼 顾 了 速度 且 保 又 持 了系统 特性 ．
处 理该 问题 ． 平 衡截 断 法 的关 键 步 骤是 求 解 两 个 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎｖ
量 的维度 相匹 配． 系统 的控 制 矩 阵 和 观察 矩 阵分 此
别 是 下 面两个 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ方 程 的解 Ｐ和 Ｑ
｜ Ｐ Ｐ Ａ ＢＢ 一 ０
方程 ， 以此得 到系 统 的控 制 和 观察 矩 阵 ＿ ． 而 ， ４然 ］ 直 接 求解 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ方 程所 需 的计 算 量 将 是难 以承 受 的． 这种 直接 求解 法 最 初 在 控 制领 域 也 仅 仅 用 来 处
文献标识码 ： Ａ
中 图分 类 号 ： ３ ． ； ７ ． Ｏ ２ １ １ ＴＰ ２ １ １
方 程 的低秩 近似 解 ， 使用 Ｐ Ｉ Ｒ ＭＡ（ ａ ｓ ｅＲｅ ｕ ｅ— Ｐ ｓｉ ｄ ｃｄ ｖ
０ 引 言
在 对一 个 复杂 的 线 性 系 统进 行 仿 真 的时 候 ， 为 了减少 计算 时 间和 存 储 量 的需 求 ， 常会 对 原 系 统 通 进 行 降阶处 理 ， 以期 望 得 到 一 个 低 阶 近似 模 型 来 仿
厂 Ａ Ｂ ］ ． 厂Ｔ ， ＡＴ Ｔ ］ Ｂ
Ｄ Ｊ
究 者在 此算 法 中 引入 迭 代 思 想 产 生 了 ＡＤ 算 法 Ｉ 和 Ｌ ｗ— ａ ｋ Ｌ ｏ Ｒ ｎ （ Ｒ）Ｓ ｔ ｍｉ ｈ算 法ｌ ］ 尽 管 这 些 算 法 ６ ．

% J = | r-z -1 -x |
% | y x -b |
%
% Then, the variational equation has a form:
%
% F = J*Y
% where Y is a square matrix with the same dimension as J.
% Corresponding m-file:
for l=1:n1 gsc(k)=gsc(k)+y(n1*j+l)*y(n1*k+l); end;
end;
for k=1:n1
for l=1:(j-1)
y(n1*j+k)=y(n1*j+k)-gsc(l)*y(n1*l+k);
end;
end;
znorm(j)=0.0;
for k=1:n1 znorm(j)=znorm(j)+y(n1*j+k)^2; end;
% stept - step on t-variable for Gram-Schmidt renormalization procedure.
% tend - finish value of time
% ystart - start point of trajectory of ODE system.
while calculation_progress == 1
[T,Y] = integrator(DS(1).method_int,@ode_lin,[t tt],y,options,P,n,neq,n_exp);
first_call = 0;
if calculation_progress == 99, break; end;

Matlab的Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解一、连续Lyapunov方程连续Lyapunov方程可以表示为Lyapunov方程来源与微分方程稳定性理论，其中要求C为对称正定的n×n方阵，从而可以证明解X亦为n×n对称矩阵，这类方程直接求解比较困难，不过有了Matlab中lyap()函数，就简单多了。

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]A =1 2 34 5 67 8 0>> C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9]C =-10 -5 -4-5 -6 -7-4 -7 -9>> X=lyap(A,C)X =-3.9444 3.8889 0.38893.8889 -2.7778 0.22220.3889 0.2222 -0.1111二、Lyapunov方程的解析解利用Kroncecker乘积的表示方法，可以将Lyapunov方程写为function x=lyap2(A,C)%Lyapunov方程的符号解法n=size(C,1);A0=kron(A,eye(n))+kron(eye(n),A);c=C(:);x0=-inv(A0)*c;x=reshape(x0,n,n)例子>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];>>C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9];>>x=lyap2(sym(A),sym(C))x =[ -71/18, 35/9, 7/18][ 35/9, -25/9, 2/9][ 7/18, 2/9, -1/9]三、离散Lyapunov方程离散Lyapunov方程的一般形式为Matlab中直接提供了dlyap()函数求解该方程：X=dlyap(A,Q)其实，如果A矩阵非奇异，则等式两边同时右乘得到就可以将其变换成连续的Sylvester方程而Sylvester方程是广义Lyapunov方程，故离散的Lyapunov方程还可以使用下面的方法求解B=-inv(A’)C=Q*in v(A’)X=lyap(A,B,C)下面总结下我们上面的讲到的知识点：X=lyap(A,C) 连续Lyapunov方程数值解法X=lyap2(A,C) 连续Lyapunov方程符号解法X=lyap(A,B,C) 广义Lyapunov方程，即Sylvester方程X=dlyap(A,Q)或者X=lyap(A,-inv(A’),Q*inv(A’))离散Lyapunov方程Sylvester方程Matlab求解Sylvester方程的一般形式为该方程又称为广义的Lyapunov方程，式中A是n×n方阵，B是m×m方阵，X 和C是n×m矩阵。

离散时间的lyapunov方程
离散时间的Lyapunov方程在控制理论和动力系统中起着重要作用。

Lyapunov方程是由俄罗斯数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李
亚普诺夫在1892年提出的，用于研究非线性系统的稳定性。

离散时
间的Lyapunov方程描述了动力系统在离散时间下的稳定性和收敛性。

离散时间的Lyapunov方程可以表示为：
\[ V(x_{k+1}) V(x_k) = -\alpha (x_k) \]
其中，\( V(x_k) \)是Lyapunov函数，\( x_k \)是系统在第
k个离散时间点的状态，\( \alpha (x_k) \)是一个非负函数。

Lyapunov函数通常被选为系统状态的二次型函数，以便通过Lyapunov方程来分析系统的稳定性。

通过离散时间的Lyapunov方程，我们可以判断系统在不同状态
下的稳定性。

如果对于所有的状态\( x_k \)，都存在一个非负函数
\( \alpha (x_k) \)，使得Lyapunov方程成立，那么系统在离散时
间下是稳定的。

这种分析方法在控制系统的设计和动力系统的研究
中具有重要的应用价值。

离散时间的Lyapunov方程为我们提供了一种有效的工具，用于研究非线性系统在离散时间下的稳定性和收敛性。

通过对Lyapunov 函数和非负函数的选择，我们可以对系统的稳定性进行定量分析，并设计出有效的控制策略。

因此，离散时间的Lyapunov方程对于控制理论和动力系统的研究具有重要的理论和实际意义。

对于三维情形（n=3），类似的分析结果是： (λ1, λ2 , λ3 ) = (−,−,−) ： 稳定定点 (λ1, λ2 , λ3 ) = (0,−,−) ： 极限环（周期运动） (λ1, λ2 , λ3 ) = (0,0,−) ： 二维环面（准周期振荡） (λ1, λ2 , λ3 ) = (+,+,0) ： 不稳极限环 (λ1, λ2 , λ3 ) = (+,0,0) ： 不稳二维环面 (λ1, λ2 , λ3 ) = (+,0,−) ： 奇怪吸引子（混沌运动）
但是在不断地迭代过程中， dF 的值要不断变化。为了表示从整体看两相邻初始 dx
状态分离的情况，必须对时间（或迭代次数）取平均。为此，设平均每次迭代所
引起的指数分离中的指数为 λ ，则初始两点 x0 与 x0 + ε 相距 ε ，经 n 次迭代后，
点变为 F n (x0 ) 与 F n (x0 + ε ) ，相距 εenλ ，即：
n
∑ 成的超球体的体积由 λ1 + λ2 + + λk 决定。而 λi 则决定整个 n 维超球体的体 i =1
积收缩的快慢。
由以上分析可以看出：
（1）任何吸引子，不论其奇怪与否，至少有一个 Lyapunov 指数小于零，否 则轨线就不可能收缩为吸引子。
（2）稳定定态和周期运动（以及准周期运动）不可能有正的 Lyapunov 指数。 稳定定态的 Lyapunov 指数都是负的；周期运动的 λ1 = 0 ，其余的 Lyapunov 指数 也都是负的。
eenλ(x0 ) = F n (x0 + ε ) - F n (x0 ) 取极限 ε → 0 ， n → ∞ ，由上式得到：
（1）

ｆ ＡＸ ＋ ＸＡ ＋ ＰＣ＝ ０
Ａｈ
Ａ２ ２
● ● ●
Ａ２
（） ２
Ｕ Ｕ ＿ Ｕａ －
● ● ●
● ● ●
（） ４
０
Ｏ
１ Ｘ— ＰＸ，
其 中 Ａ， ＣＥＲ ， Ａ 是 奇异 的 ， Ｂ， 似 且 Ｐ为 Ａ 的不 变 子 空 间上 的谱 投影 ．
Ａ
将 大规模 矩 阵方程计 算 进行 降 阶 ，求 出其 解 ，并 给
出算 法和 数值实 例．为 方便 起见 ，本文 作 如 下符 号 约定 ： ｌ∈Ｒ 表示 阶实 正交矩 阵 ； （ 表示 方 ０ 尺 Ａ） 阵 Ａ 的谱 ；Ｉ 『 表示 矩阵 Ａ 的 Ｆ ｏ ｅ ｉｓ Ｉ ｌ Ａ ｒ ｂ ｎｕ 范数 ；
：
中只须 将 特征值 为 ０的部 分放在 主对 角线上 最后 的
一
块 即可 ．
１， … ， — １， ２， ５ 一 １ ２， ， ． ， … ５
（ ）在 Ｓ ｅ ２中，将 进行 相 似块 对 角化 ，文献 ２ ｔｐ
Ｓｅ ５ 令 ＝０ｊ ，， ｓ结合 ｓ ｐ 得到 ． ｔｐ ，＝ｌ２ … ， ｔ４ ｅ
Ｓｅ ６ 根据 Ｘ＝眦 ｔｐ 【 ’求 出 Ｘ． ，ｙ１ ，
［３ 块对 角化 给 出了详 细 算 法 描 述 ，算 法 中必 须 ５对 求解一 系列 Ｓ ｌｅｔｒ 程 ，而文献 ［５ ｙｖｓｅ 方 １］中提 出 了
一
个分 块对 角化 的方法 ，可动 态 的决定 特 征值 的顺 （ ） Ｓ ｅ ３中 由于 各 方 程 其 阶 均较 低 ，因此 ３ 在 ｔｐ
ｄａ （ ｌ １ ， ， １ Ｏ ＝ ， ｉｇ Ｉ ，２ … Ｊ ， ）
由 Ａ 是奇 异 阵 ，知 （ ） ， 程 Ａ 一Ｏ 方

１ 力学模 型及其 Ｌ ａｕ ｏ 指数谱的计算 ｙｐ ｎ ｖ
图１ 为两 自由度含间隙碰撞振动系统的力学模 型Ｌ 。 １． 。 在任意相邻两 次碰撞之 间， 系统的无量纲运
动 微分 方程 为
［ ［
ｌ １Ｉ ｂ ＜ ． Ｘ
［ ２ 一 ｛
｝ ＋ ，
（） １
数 （ 件 Ｌ ａｕ ｏ 条 ｙ ｐ ｎ ｖ指数 ） 皆应 为 负值． 因此 计 算 Ｌ ａｕ ｏ 指数谱对于判定动力系统的运动稳定性 、 ｙｐ ｎ ｖ 混 沌特 性及 混沌控 制都 是极 为重要 的． 目前， 对光滑动力 系统 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ指数谱计算
及其 Ｊｃｂ 矩 阵， 出碰撞振动 系统 Ｌ ａ ｕ ｏ 指数谱 的计算方 法； ａｏ ｉ 得 ｙｐ ｎ ｖ 通过 数值仿 真给 出 了系统 的 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ指数谱
随参数 大范围变化的规律 ， 与相应 的分岔 图进行对照 ， 验证 了其方法的正确性 和有效性 ．
关 键 词 ： 撞 振 动 ； ｙｐ ｎ ｖ指 数 谱 ； 岔 ； 沌 碰 Ｌ ａｕｏ 分 混１２ Βιβλιοθήκη ＸＡ 一 一 Ｊ一 ｌ十 Ａ
兰
（ｃ一 ６ ， ｓ ）
州 交
通
大
学
学
报
第３ １卷
主 ｌ ｃ ＋一一 Ｒ １ （ 一 一 ６ ． 主ｃ － ）
ｆ、 ３
一
ｌ ｎｌ
Ｉ ，
１ ２ … ，，
一一一 ． ～
（） ７
方程（） １ 的解见文献［． ８ 由于碰撞的存在 ， ］ 使得 质块 Ｍ１的速 度 在碰 撞 前 后 瞬 时 发生 突变 ， 向量 场 在该处 的 Ｊｃｂ 矩阵不 存在 ， ａｏｉ 因此光滑 动力系统 Ｌ ａ ｕｏ 指数谱 的计算 方法不能直接应用到该碰 ｙｐ ｎ ｖ 撞振 动 系统． 此利 用 Ｐ ｉｃｒ 在 ｏｎａ６映射 方 法将 图 ｌ所

lyapunov方程
拉普拉斯-马尔可夫方程首先把系统动态行为描述为一个非线性方程，然后把它转换成一个线性的状态方程。

如果把非线性方程分解为多个线性方程，那么拉普拉斯-马尔可夫方程就可以被写成一个线性状态方程：X(t+1)=AX(t)+B其中，X(t)是一个n维向量，表示系统状态在t时刻的变化，A是n×n维矩阵，表示系统的动态行为，B是n维向量，表示系统的外部输入。

拉普拉斯-马尔可夫方程也可以用来解决一个更复杂的问题，称为“Lyapunov方程”。

Lyapunov方程是一种非线性系统理论中的一种工具，它通过求解一个特殊的矩阵方程来描述系统的稳定性，也就是描述系统动态行为是否稳定。

Lyapunov 方程是一个不等式，它要求系统的状态变量满足一定的关系，这些关系可以通过拉普拉斯-马尔可夫方程求解。

实验4-Laypunov方程求解《现代控制理论》实验四院系：学生姓名：学号：一：原理1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下),(t x f x =& （1）式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为12(,,,,)i i n x f x x x t =&L n i ,,1Λ= 假定方程的解为 ),;(00t x t x ，0x 和0t 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。

平衡状态 如果对于所有t ，满足0),(==t x f x e e & （2）的状态e x 称为平衡状态（又称为平衡点）。

平衡状态的各分量不再随时间变化。

若已知状态方程，令0=x& 所求得的解x ，便是平衡状态。

对于线性定常系统Ax x=&，其平衡状态满足0=e Ax ，如果A 非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。

至于非线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态方程决定。

控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。

鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。

对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。

本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性（a ）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b ）渐近稳定性 （c ） 不稳定性图1 稳定性的平面几何表示2.李雅普诺夫稳定性定义（1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的ε > 0，均存在一个0),(0>t εδ，当初始状态满足δ≤-e x x 0时，系统运动轨迹满足lim t →∞ε≤-e x t x t x ),;(00，则称该平衡状态e x 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。

Lyapunov矩阵方程式的解析解
赵群飞;张国伍
【期刊名称】《系统工程》
【年(卷),期】1991(9)4
【摘要】本文提出了一种Lyapunov矩阵方程的解析解法。

运用此法,通过简单的标量计算降低了矩阵运算处理的阶数,而且在方程唯一解存在的情况下,对已知矩阵不加任何条件限制,也不用施行任何矩阵变换运算,就可求得其解。

【总页数】5页(P28-32)
【关键词】Lyapunov矩阵方程;解析解
【作者】赵群飞;张国伍
【作者单位】北方交通大学应用分析系统研究所;北方交通大学
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.一类混合型Lyapunov矩阵方程的对称正定解 [J], 黄敬频
2.一类广义Lyapunov矩阵方程的正定解 [J], 李春梅;段雪峰;彭振赟;江祝灵
3.两类基于MATLAB的Lyapunov与Riccati线性矩阵不等式可行解的算法分析与验证 [J], 薛亚宏
4.求Lyapunov矩阵方程的双对称解的迭代算法 [J], 尚丽娜;张凯院
5.关于Lyapunov矩阵方程的公共解 [J], 周后卿
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