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1-4概率论与数理统计

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王松桂、程维虎等-概率论与数理统计(第三版)科学出版社第1章

王松桂、程维虎等-概率论与数理统计(第三版)科学出版社第1章

再如:
测量一件物体的长度，由于仪器或观测 者受到环境的影响，每次测量的结果可能有 差异，但多次测量结果的平均值随着测量次 数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数越远的测量值 出现的可能性越小。
概率论与数理统计的研究内容
随机现象具有偶然性一面，也有必然性一 面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观 测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必 然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观 测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律 性”。
当试验次数 n充分大时，事件的频率总在 一个定值附近摆动，而且，试验次数越多， 一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。
频率在一定程度上反映了事件在一次试 验中发生的可能性大小。尽管每进行一连 n次 试验，所得到的频率可能各不相同,但只要 n 足当大，频率就会非常接近一个固定值—— 概率。
特别地，称Ω-A为 A 的对 立事件(或 A的逆事件、补 事件)等，记成 A 。
A就是 A不发生。
例1(续)：A1={1}, B ={2,4,6},于是
A1 {2,3,4,5,6} B {1,3,5}
II. 事件的运算法则(与集合运算法则相同)
交换律: A∪B=B∪A，AB=BA； 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，
随机现象的特点
• 对随机现象进行观察 、观测或测量，每次 出现的结果是多个可能结果中的一个， “每次结果都是 不可预知的”； 但“所有 可能的结果是已知的”。
• 在一定条件下对随机现象进行大量重复观 测后就会发现：随机现象的发生具有统计 规律性。
例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)， 但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。 如：命中率等。

概率论与数理统计

概率论与数理统计

一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的 次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质： 频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子， 如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”， 掷一骰子， 则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并） 事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点 构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然， 显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件 组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An， 构成一个 L 类似地， 完备事件组， 完备事件组，如果满足 ：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律 事件运算满足下列运算 ：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三 取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球 次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试 说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否 对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取 颜色全不同” = 三次抽取 相容 颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取 颜色全同” = 三次抽取 颜色不全同” 颜色不全同” 不相容， 不相容，对立 三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取 无红色球” = 三次抽取 无黄色球” 无黄色球” 相容 三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取 无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立 三次抽取, = 三次抽取 无白色球” 不相容，

概率论与数理统计第一章1-4高职高专

概率论与数理统计第一章1-4高职高专
A、 B不可能同

A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习 题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把 相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中
B A
A

有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分 法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有 种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )

统计学、概率论和数理统计的区别和联系

统计学、概率论和数理统计的区别和联系

统计学、概率论和数理统计的区别和联系今天我们就来说说统计学、概率论和数理统计为什么要说他们呢，因为这⼏个字眼⼤家肯定是已经⽆数次地碰到过了，但他们究竟代表了什么，以及他们之间的区别与联系，相信⼤家平时肯定是没怎么关注过，⽽是更多的混为⼀谈。

然⽽今天，随着⼤数据与数据科学的热⽕朝天，这⼏个词重新被⼤家给予了⾼度关注，特别是统计学。

原因也很⾃然：分析思维是数据科学的核⼼思维⽅式，⽽分析思维就是关于计算与统计的思维。

统计思维⽣长的⼟壤就是概率论和数理统计。

1、统计学⾸先说说统计学，关于这个词其实是个历史遗留问题。

因为从统计学的发展历史来看，最早的统计学和国家经济学有密切的关系。

统计学的英⽂是“statistic”，其实它是源于意⼤利⽂的“stato”，意思是“国家”、“情况”，也就是后来英语⾥的state（国家），在⼗七、⼗⼋世纪，统计学很多时候都是以经济学的姿态出现的。

根据维基百科：By the 18th century, the term 'statistics' designated the systematic collection of demographic and economic data by states. For at least two millennia, thesedata were mainly tabulations of human and material resources that might betaxed or put to military use.统计学最开始来源于经济学和政治学。

17世纪的经济学家William Petty和他的《政治算术》⼀书揭开了统计学的起源（维基百科）：The birth of statistics is often dated to 1662, when John Graunt, along with William Petty, developed early human statistical and census methods that provided a framework for modern demography. He produced the first life table, giving probabilities of survival to each age. Hisbook Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality usedanalysis of the mortality rolls to make the first statistically basedestimation of the population of London.所以从⼀开始，统计学就跟经济学、政治学密不可分的。

概率论与数理统计总结1

概率论与数理统计总结1

三Байду номын сангаас 事件间的关系与运算
1. 包含关系: 若事件发生必然导致事件发生 B A或A B 2. 相等关系: A B 且B A 3. 事件的和 ( A B ) :A 与 B 至少有一个发生构成的事件 4. 事件的积 ( A B , 或AB) : A与B 同时发生构成的事件 5.互不相容事件（互斥事件） ：A 与 B 不能同时发生，即 AB=
二. 条件概率
在实际问题中， 常常需要计算在某个事件 B 已发生的条件下,， 另一个事件 A 发生的概率 。 在概率论中，称此概率为事件 B 已发生的条件下事件 A 发生的条件概率，记为 P( A | B ) 。 一般地，因为增加了“事件 B 已发生”的条件，所以 P( A | B ) P ( A) 。
下面举例引出条件概率的定义. 例 1 某工厂有职工 500 人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 40 人与 10 人。 现从中人选一名职工，试问： (1) 该职工为技术优秀的概率是多少? (2) 已知选出的是女职工,她为技术优秀的概率是多少? 解 设 A 表示选出的职工为技术优秀的事件， B 表示选出的是女职工的事件。 40 10 1 (1) P( A) 500 10 10 1 (2) P( A | B ) 250 25 显然， P( A) P( A | B) 。这是因为限制在 B 已发生的条件下求 A 的概率的缘故。 10 10 500 P( AB) 另外，可由 P( A | B ) 250 250 P( B ) 500 推得一般情况下条件概率的定义. 设实验的基本事件总数为 n ，事件 B 所包含的基本事件数为 m B ， 事件 AB 所包含的基本事件数为 m B ，则有
i 1 i 1 n n

概率论与数理统计第一章习题及答案

概率论与数理统计第一章习题及答案

概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生，B 与C 不发生， （2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3）C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生， （6）C B A ,,中不多于一个发生， （7）C B A ,,中不多于两个发生， （8）C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4）A ，B ，C 都发生，表示为ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生，相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。

故 表示为：C A C B B A ++。

（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。

故表示为ABC C B A 或++（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。

相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。

故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值，最小值是多少？解 由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。

《概率论与数理统计》1-4全概公式


365 400 97 146097
146097 20871 7
20871 52 400 71 P B 400 400
方法二 利用全概公式
A 表示平年,
则 A, A 构成一划分
B 表示有53个星期天
P A 97 400

1 2 P B | A , P B | A 7 7
125 198
注 : 一定要写清事件, 公式 , 不得只写算式.
p 2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% X 6000 6000 6000
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式,
有着广泛的应用.若把事件Ai 理解为‘原因’, 而把 B理 解为‘结果’ P, 则 B| A 是原因 Ai
为 0.01, 各车间的产品数量分别为2500, 2000, 1500件 . 出厂时 , 三车间的产品完全混合, 现从中任取一产品, 求该 产品是次品的概率. 若已知抽到的产品是次品, 求该产品 是一车间的概率.
解 : 设 Ai 为取到第 i个车间的产品, B为取到次品 由全概率公式得:
P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
3
P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( A3 ) P( B A3 )
2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% 6000 6000 6000
由贝叶斯公式得:
P A1 B
P A1 P B A1 P B
P B P BA1 P BA2 P BA3 P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3

概率论与数理统计(完整版)

ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质： 性1质 . P()0.

概率论与数理统计第4讲


60 30 P( A) = , P(B) = 100 100 60 + 30 90 P( A+ B) = = 100 100 可 P( A+ B) = P( A) + P(B) 见
8
例2 200个产品中有6个废品, 任取3个, 求最 多只有一个废品的概率P(B)
解 设事件A0,A1分别表示3个废品中有0个和1个废品, 则B=A0+A1, 且A0与A1与互不相容.则有利于B的基本 事件数等于有利于A0与A1的基本事件数m1与m2之和, 因此 m0 + m m0 m 1 = + 1 = P( A ) + P( A ) P(B) = 0 1 n n n 3 1 2 C194 C6C194 其 P( A ) = 3 ≈ 0.9122 P( A ) = 3 ≈ 0.0855 中 0 1 C200 C200
第4题 用图示法简化各式(A,B,C都相容) (1) (A+B)(B+C) (A+B)(B+C)=A(B+C)+B(B+C) =AB+AC+B+BC=B+AC Ω A C B
4
(2) (A+B)(A+B)
( A+ B)( A+ B) = ( A+ B) A+ ( A+ B)B = A+ BA + AB + BB = A
11
如下图所示: 如果区域A与区域B不重合, 则它们的总的面 积等于各个区域的面积之和
Ω
A
1
B
1
12
如果n个事件A1,A2,…,An互不相容, 则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 这个性质称为概率的有限可加性, 但在建立概 率概念时需要规定概率应具有完全可加性(又 称可列可加性), 即如果可列个事件A1,A2,…两 两互不相容, 则有

概率论与数理统计期中试卷(1-4章)附答案及详解

X，23π+=X Y5．设随机变量1X ,2X ,3X 相互独立，1X 在)5,1(-服从均匀分布，)2,0(~22N X，)2(~3Exp X （指数分布），记32132X X X Y +-=，则)(Y E )(Y D6. 设二维正态分布的随机变量)0,3,4,2,1( ),(22-N ~Y X ，且知8413.0)1(=Φ，则-<+)4(Y X P7. 已知随机变量X 的概率密度201()0 a bx x f x⎧+<<=⎨⎩其他, 且41)(=X E ，则a b )(X D 8. 设4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D =-)(Y X D 二. （10分） 某车间有甲乙两台机床加工同一种零件，甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍，甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03，0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求 （1）任取一个零件是合格品的概率；（2）任取一个零件经检验是废品，试求它是由乙机床生产的概率.解：设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件,A .A再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件.B 由已知得.02.0)(,03.0)(;31)(,32)(====A B P A B P A P A P …… 3’（1）由全概率公式知027.075202.03103.032)()()()()(≈=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P . …… 3’ 故任取一个零件是合格品的概率73()1()0.973.75P B P B =-=≈ …… 1’ （2）由贝叶斯公式知.4102.03103.03202.031)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P …… 3’三. （10分）设某型号的电子元件的寿命X （单位: 小时）的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=其它,01000,1000)(2x x x f各元件在使用中损坏与否相互独立，现在从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有一只元件的寿命大于1500小时的概率。

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1.3.2.2 几何概率
古典概型的本质特征： 古典概型的本质特征： 样本空间中样本点个数有限， 样本空间中样本点个数有限， 每一个样本点都是等可能发生的。 每一个样本点都是等可能发生的。 分钟发一班车， 问题 1 . 假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达 车站， 车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ 问题 2 . 已确定失事飞机的黑匣子可能落在面积 1 千 平方公里的海域， 平方公里的海域，调查人员每次出海搜索的区域面积 平方公里， 为 50 平方公里，假设在这片海域随机地选择一点进行 搜寻，问能够找到黑匣子的概率是多少？ 搜寻，问能够找到黑匣子的概率是多少？
关于“测度” 关于“测度”( measure )的理解 的理解 1. . “测度” 是一个数学概念，它是我们现实生活中的 测度” 是一个数学概念， 测度 “度量” 概念的数学抽象 。 度量” 2. . 3. 4. 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 长度 等等 样本点个数” 也是一种测度。 古典概型中的 “样本点个数” 也是一种测度。 概率” 的定义就是一种测度定义。 前面课程中对 “概率” 的定义就是一种测度定义。
3 A 的长度 p = ————— = —— = 0.3 。 10 S 的长度
例 已知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地 已知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地 24 达到码头，设该码头只有一个泊位，若甲先到， 达到码头，设该码头只有一个泊位，若甲先到，需停 小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠8 靠6小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠8小时后 才离开码头，问这两船中有船需等候泊位空出的概率 的概率。 才离开码头，问这两船中有船需等候泊位空出的概率。 y 点为坐标原点， 解. 以 0 点为坐标原点， 24 S 小时为单位。 ， 小时为单位。x，y 分别表示 A 两船到达的时间， ， 两船到达的时间，( x，y )
例
分钟发一班车， 假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机
到达车站， 到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ 解. 以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S， ， ， 乘客随机地到达， 乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何 一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。 一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。 要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是 分钟， 包含的样本点， 图中 A 包含的样本点， 0← S A →10
几何概率模型：若将随机试验解释成向一区域Ω 几何概率模型：若将随机试验解释成向一区域Ω随 机投点， 落入Ω内任一处都是“等可能的” 机投点，意指点M落入Ω内任一处都是“等可能的”， A M. 则可求点M落入 内的某一部分A的概率 的概率。 则可求点 落入 内的某一部分 的概率。 Ω 把古典概率模型中“ 的条件去掉， 把古典概率模型中“ 样本点个数有限 ”的条件去掉，仍 然 保留“ 保留“ 样本点等可能发生 ” 。 此时， 此时，不需要再给出每个样本点发生的概率 几何概率的计算公式 随机事件 A 包含的样本点测度 P (A ) = ——————————————— 样本空间 包含的样本点测度
这种概率称为主观概率， 这种概率称为主观概率，表示对某事件发生与否的相 主观概率 信程度。 信程度。它适用于对只出现一次而不能重复的事件进行概 率描述，而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。 率描述，而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。 批评： 如果概率是人的主观信念的数量度量，那么概率 如果概率是人的主观信念的数量度量， 批评： 论就很象心理学的一个分支， 论就很象心理学的一个分支，而对概率进行纯主观的解释 最终将导致唯心论。 最终将导致唯心论。 辩解： 客观上有很多只出现一次而又需要作出决策的事 辩解： 决策人通过主观概率把自己的以数据、 件，决策人通过主观概率把自己的以数据、分析和经验为 依据的判断表示为数量形式， 依据的判断表示为数量形式，就可以利用概率的整套数学 理论和工具得到结论，这些结论对决策往住非常有用。 理论和工具得到结论，这些结论对决策往住非常有用。 的概率，它的实际意义就是： 随机事件 A 的概率，它的实际意义就是： 这个事件在一次试验中发生的可能性大小。 这个事件在一次试验中发生的可能性大小。
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
构成边长为 24的正方形， 的正方形， 的正方形 显然这是一个几何概率问题。 显然这是一个几何概率问题。 o
8 24
x
他们能见面的充要条件是 0≤ x – y <8 ， 0≤ y – x <6因此， 因此， 因此 242-0.5(182+162) A 的面积 p = ————— = —--------— = 0.4965。 。 242 S 的面积
1.3.3. 1
关于主观概率
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 自然地， 去描述它在一次试验中发生的可能性大小， 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。 的极限来作为概率的定义。 然而实际上， 然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。 无法去定义它们的频率。 例如下面的一些情况，必须看成是随机事件： 例如下面的一些情况，必须看成是随机事件： 1. 公司认为明年的利润将增长 10% 的可能性为 ％。 的可能性为80％。 2. 期末考试时，有70％的把握概率课成绩合格。 期末考试时， ％的把握概率课成绩合格。 3. 我这次买的一张足球彩票将获得一等奖的概率是 ％。 我这次买的一张足球彩票将获得一等奖的概率是90％。