当前位置：文档之家 › 2004年加拿大数学奥林匹克

2004年加拿大数学奥林匹克

  • 格式：pdf
  • 大小：51.54 KB
  • 文档页数：6

下载文档原格式

  / 6

合集下载

高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(一)

高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(一)

同余理论及其应用基础知识一. 定义定义1. 设m 为正整数，整数a 和b 之差可被m 整除时，称为a 和b 关于模m 同余，记作 ).(mod m b a ≡ 定义2. 被正整数m 除余数相等的所有整数的集合称为模m 的剩余类。

模m 的剩余类共有m 个。

定义3. 在模m 的m 个剩余类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的完全剩余系。

定义4. 绝对值不超过]2[m 的模m 的完全剩余系称为模m 的绝对最小剩余系。

定义5. 当模m 的某一剩余类的所有整数均与m 互素时，则称此剩余类是模m 的简化类。

模m 的简化类共有)(m φ个。

定义6. 在模m 的)(m φ个简化类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的简化剩余系。

定义7. 欧拉函数：设n 为正整数，从1到n 的整数中与n 互素的整数的个数用)(n φ表示，称)(n φ为欧拉函数。

当1212s s np p p ααα=时，有)11)...(11)(11()(21s p p p n n ---=φ 二. 定理定理1. ).(mod m b a ≡ 的必要充分条件是a 和b 被m 除的余数相等。

定理 2. I .);(mod m a a ≡II .若),(mod m b a ≡则);(mod m a b ≡III .若),(mod m b a ≡),(mod m c b ≡则).(mod m c a ≡定理3. 若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则I .)(m od 2121m b b a a +≡+；II .(mod 2121m b b a a -≡-2 )(m od 212m b b a -≡-；III .)(m od 2121m b b a a ≡.定理4. 如果),...,2,1)((m od n i m b a i i =≡，则I .)(m od ......2121m b b b a a a n n +++≡+++；II . ).(m od ......2121m b b b a a a n n ≡推论. 如果).(mod m b a ≡n 为任意正整数，则).(mod m b a nn ≡ 定理5. 如果).(mod m cb ca ≡则).),((modm c m b a ≡ 推论. 如果1),(=m c ，).(mod m cb ca ≡则).(mod m b a ≡ 定理6. 如果).(mod m b a ≡则).,(),(m b m a =定理7. a 和b 属于模m 的同一剩余类的充要条件是).(mod m b a ≡定理8. m 个整数m a a a ,...,,21是模m 的完全剩余系的充要条件是m a a a ,...,,21关于模m 两两互不同余。

数列经典题目(竞赛专题)

数列经典题目(竞赛专题)
n+1 n
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .

cmo数学竞赛

cmo数学竞赛

cmo数学竞赛作为全球最具有影响力的数学竞赛之一，CMO（Canadian Mathematical Olympiad）也就是加拿大数学奥林匹克竞赛，一直以来都备受备受广大数学爱好者的热爱和追捧。

CMO数学竞赛自1980年开始举办，是加拿大最优秀的年度学科竞赛之一。

而作为具有世界影响力的竞赛，CMO每年都吸引着来自全球各地的顶尖数学选手参加。

一、竞赛概况竞赛背景CMO数学竞赛是由加拿大教育局主办并负责管理的，这项竞赛是有关方面为了鼓励学生热爱数学、提高学生的数学能力而举办的。

CMO竞赛难度极大，不仅需要参赛者具有超强的计算、分析和推理能力，更要求其具备优秀的解决问题的能力和出色的数学才能。

竞赛组织每年一次的CMO竞赛都会在加拿大各个省级地区进行，在每个地区中的具体机构组织相应的比赛活动，官方网站www.cms.math.ca 会发布该年度竞赛活动的时间、赛制和场地信息。

而整个竞赛过程，由加拿大数学协会负责组织和管理，同时全球各地的加拿大驻外使领馆也会在本地为参赛选手提供相应的帮助和协助。

竞赛难度在CMO数学竞赛中，因为竞赛的内容极为复杂，加上竞赛设置了多个级别，所以它的难度从高到低分别为：A级、B级、C级、D级。

而且不同等级的题目会出现不同的难度程度。

其中A级竞赛是难度最大的，除了试题难度更高之外，时间限制也更严格，竞赛难度被认为是全世界竞赛中最高的之一。

竞赛奖项在CMO数学竞赛中，除了最终的成绩排名之外，还设置了一些重要的荣誉奖项。

比如金、银、铜奖、优异奖、最佳小学奖和五获大赛奖等。

而且一些得奖的选手还可以被选拔参加国际数学奥林匹克竞赛。

二、竞赛流程参赛条件CMO竞赛面向各个年龄段的选手，可以是在校中小学生、初中生或者高中生，但是要求其具备较为扎实的数学基础和优秀的数学综合能力，一般来说，前三年的参赛者可以由学校老师推荐参加，而在高中阶段之后，他们可以直接通过自报名来参加竞赛。

初赛CMO数学竞赛的初赛主要是一个笔试环节，每组的试卷难度、长度、时间（参赛者有120分钟来完成试题）、总分和比例都不完全相同。

canadamo数学竞赛知识点

canadamo数学竞赛知识点

在撰写这篇文章之前，我首先要对“canadamo数学竞赛知识点”进行全面评估，以确保文章的深度和广度兼具。

在这篇文章中，我将从简到繁地分析并探讨canadamo数学竞赛的知识点，帮助你更深入地理解这个主题。

canadamo是加拿大数学奥林匹克(Canadian Mathematical Olympiad)的缩写，是加拿大国内最具权威性和影响力的数学竞赛之一。

参加canadamo数学竞赛，不仅能锻炼学生的数学能力，更能培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

我将从基础知识点开始，逐步深入，全面探讨canadamo数学竞赛的重要知识点。

1. 数论- 数论是canadamo数学竞赛中的重要知识点之一。

它涉及整数的性质、因数分解、同余方程等内容。

在canadamo数学竞赛中，数论题目常常涉及数字性质的推导和证明，考查选手的数学逻辑推理能力。

2. 几何- 几何是canadamo数学竞赛的另一个重要知识点。

它包括平面几何和立体几何两部分，涉及角度、边长、面积、体积等概念。

在canadamo数学竞赛中，几何题目常常涉及图形的性质和相似性的判断，考查选手的几何分析能力和空间想象能力。

3. 代数- 代数是canadamo数学竞赛的核心知识点之一。

它涉及方程、不等式、多项式、数列等内容。

在canadamo数学竞赛中，代数题目常常涉及函数的性质和变量的关系，考查选手的代数运算能力和推理能力。

4. 组合数学- 组合数学是canadamo数学竞赛的另一个重要知识点。

它包括排列、组合、概率等内容。

在canadamo数学竞赛中，组合数学题目常常涉及排列组合的计算和概率问题的推导，考查选手的组合分析能力和概率计算能力。

总结回顾：通过对canadamo数学竞赛知识点的全面评估，我们可以看到，数论、几何、代数和组合数学是其重要的知识点。

参加canadamo数学竞赛不仅需要掌握这些知识点，还需要灵活运用，并具备深入思考和解决问题的能力。

七年级奥数练习3质数和合数

七年级奥数练习3质数和合数

七年级奥数练习3——质数和合数班级 姓名 座号质数，合数有下面常用的性质：性质1、1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．性质2、若质数p │ab ，则必有p │a 或p │b ．性质3、若正整a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p ．性质4、算术基本定理：任意一个大于l 的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N 可以写成标准分解形式：k k p p p N ααα 2121=其中k p p p <<21，i p 为质数，i a 为非负整数，(i ＝1，2，…k )．写出100以内的所有质数并熟记．1. （第16届希望杯竞赛题 ）一个两位数的个位数字与十位数字变化位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（ ）．A.1个B.3个C.5个D.6个2. （第15届江苏省竞赛题 ）已知三个不同的质数，满足，那么a+b+c =_________3. （第14届迎春杯初赛题）如果正整数p 、q 都是质数，并且7p +q 与pq +11也都是质数，那么p=_________4.（第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛）把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？5.（上海市竞赛题）求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数.6. （第18届江苏省竞赛题）（1）将1、2、3……、2004这2004个数随意排成一个数N。

求证：N一定是合数.（2）若N是大于2的正整数，求证：与至多有一个是质数.7.(第五届加拿大数学奥林匹克试题)如果p和p+2都是大于3的质数，那么请证明：6是p+1的约数.8.（2005年俄罗斯竞赛题）a和b是两个自然数，对它们有以下四个描述：①a+1能被b整除；②a=2b+5；③a+b能被3整除；④a+7b是质数.不过这四个描述中只有三个是正确的，有一个是错误的，试求出a与b所有可能的解.9.对任意正整数n，证明：存在连续n个正整数，它们都是合数.练习：1.（希望杯竞赛题）当x取1到10之间的质数时，四个式子：，,和的值中，共有质数（）个A.6B.9C.12D.162.（第17届五羊杯竞赛题）以下关于质数和合数的4中说法中，准确的说法总有（）种.①两个质数的和必为合数；②两个合数的和必为合数；③一个质数与一个合数的和必为合数；④一个质数与一个合数的和必为非合数.A.3B.2C.1D.03.（黄冈市竞赛题）若p为质数，5仍是质数，则为（）A.质数B.可为质数也可为合数C.合数D.既不是质数也不是合数4.（五羊杯竞赛题）n既不是质数，n可以分解为2个或多于2个质因数的积，每个质因数都大于10，n最小值等于_ __5.（第15届希望杯竞赛题）已知p，q，pq+1都是质数，且，那么满足上述条件的最小质数,6. （希望杯竞赛题）若a，b，c是1998的三个不同的质因数，且，则7. （上海市竞赛题）写出10个连续自然数，它们个个都是合数，这10个数是_________ __________________________________________________．8.（北京市竞赛题）若y，z均为质数，，且满足,则1998x+5y+3z=____________9.（第18届五羊杯竞赛题）如果A,B,C是三个质数，而且A-B=B-C=14，那么A,B,C组成的数组（A,B,C）共有________组.10.（全国初中数学联赛题）设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m=________.11. （五羊杯竞赛题）已知p，p+2，p+6，p+8，p+14，都是质数，则这样的质数p共有多少个？12. （希望杯竞赛题）（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和是________.（2）千位数是1的四位偶自然数共有________个.（3）一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也都是1，满足这些条件的所有自然数中，最大的一个是________.。

历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO

历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO

历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO（1985年，芬兰赫尔辛基）吴思皓（男）上海向明中学确规定铜牌上海交通大学王锋（男）北京大学（根据yongcheng先生提供的信息修订）目前作企业软件第27届IMO（1986年，波兰华沙）李平立（男）天津南开中学金牌北京大学方为民（男）河南实验中学金牌北京大学张浩（男）上海大同中学金牌复旦大学荆秦（女）陕西西安八十五中银牌北京大学，现在美国哈佛大学任教林强（男）湖北黄冈中学铜牌中国科技大学第28届IMO（1987年，古巴哈瓦那）刘雄（男）湖南湘阴中学金牌南开大学滕峻（女）北京大学附中金牌北京大学林强（男）湖北黄冈中学银牌中国科技大学潘于刚（男）上海向明中学银牌北京大学何建勋（男）广东华南师范大学附中铜牌中国科技大学高峡（男）北京大学附中铜牌北京大学，现在北大任教第29届IMO（1988年，澳大利亚堪培拉）团体总分第二陈晞（男）上海复旦大学附中金牌复旦大学，美国密苏里大学，美国哈佛大学，现在加拿大Alberta大学数学系任教授韦国恒（男）湖北武汉武钢三中银牌北京大学查宇涵（男）南京十中银牌北京大学，在中科院数学所任副研究员邹钢（男）江苏镇江中学银牌北京大学王健梅（女）天津南开中学银牌北京大学何宏宇（男）以满分成绩获第29届国际数学奥林匹金牌，1993年破格列入美国数学家协会会员，1994年获博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授、博士生导师，从事现代数学研究前沿的《李群》《微分几何》等方向的研究，在《李群》的研究上已有重大突破。

第30届IMO（1989年，原德意志联邦共和国布伦瑞克）团体总分第一罗华章（男）重庆水川中学金牌北京大学俞扬（男）吉林东北师范大学附中金牌吉林大学霍晓明（男）江西景德镇景光中学金牌中国科技大学唐若曦（男）四川成都九中银牌中国科技大学颜华菲（女）北京中国人民大学附中银牌北京大学本科，1997年获美国麻省理工博士，现任Texax A&M Uneversity 数学系教授，美国数学会常务理事会成员，Mathematical Reviews评论员。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(22)

加试模拟训练题（22）（附详细答案）1、已知M 为ABC ∆内一点，由M 分别向,,BC CA AB 作垂线，垂足分别为,,A B C '''。

由 ,,A B C 分别向,,B C C A A B ''''''作垂线，证明这三条垂线交于一点M '。

若A B C '''∆的外心为O ，则,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。

2、若a b c R +∈、、，求证：888333111a b c a b c a b c++++≤3、25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否．如果一个人第n次表决时，至少与一个相邻的人回答相同，即么他第n＋1次表决与第n次相同．如果第n次表决时，与两个相邻的人回答均不同，那么他第n＋1次表决与第n次不同．证明不论开始时大家怎样回答，从某一时间起，每个人的回答都不会改变．4、求证方程24=+无正整数解.3y x x加试模拟训练题（22）1、已知M 为ABC ∆内一点，由M 分别向,,BC CA AB 作垂线，垂足分别为,,A B C '''。

由 ,,A B C 分别向,,B C C A A B ''''''作垂线，证明这三条垂线交于一点M '。

若A B C '''∆的外心为O ，则,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。

证明 法一 连MO ，并延长至M '，使得O 是线段MM '的中点。

设AM 的中点为O '，则O '为由,,,A C M B ''所确定的四边形的外接圆的圆心，因此OO B C '''⊥。

又因为AM '∥OO '，所以有AM B C '''⊥。

加拿大国际袋鼠数学竞赛试题 -2004年

Back to All Problems PageMATH KANGAROO 2004 in USALevel of Grades 3 - 43 points each1. 2001+ 2002 + 2003 + 2004 + 2005 =A) 1,015 B) 5,010 C) 10,150 D) 11,005 E) 10,0152. Marek was 4 years old when his sister was born. Today he blew out all 9 candles on his birthday cake. What is the difference between Marek’s and his sister’s age today?A) 4 years B) 5 years C) 9 years D) 13 years E) 14 years3. The picture below shows a road from town A to town B (indicated by solid line) and a detour (marked by a dash line) caused by renovation of the section CD. How many kilometres longer is the road from town A to town B because of the detour now?A) 3 km B) 5 km C) 6 km D) 10 km E) This cannot be calculated.4. Which of the results below is not identical to the difference 671 – 389?A) 771 – 489 B) 681 – 399 C) 669 – 391 D) 1871 – 1589 E) 600 –3185. There were some birds sitting on the telegraph wire. At one moment, 5 of them flied away and after some time, 3 birds came back. At that time there were 12 birds sitting on the wire. How many birds were there at the very beginning?A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 146. Which numbers are inside a rectangle and inside a circle but not inside a triangle at the same time?A) 5 and 11 B) 1 and 10 C) 13 D) 3 and 9 E)6, 7 and 47. Buildings on Color Street are numbered from 1 to 5 (see the picture).Each building is colored with one of the following colors: blue, red,yellow, pink, and green. It is known that:– The red building neighbours with the blue one only.– The blue building is between the red one and the green one.What is the color of the building numbered with 3?A) Blue B) Red C) Yellow D) Pink E) Green8. How many white squares need to be shaded so that the number ofshaded squares equals exactly to half of the number of white squares?A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) It isimpossible to calculate it.4 points each9. Five identical sheets of a plastic rectangles were dividedinto white and black squares. Which of the sheets from A to Ehas to be covered with the sheet to the right in order to gettotally black rectangle?A: B: C: D:E:10. The scales in the pictures had been balanced. There are pencils and a pen on the arms of the scales. What is the weight of the pen in grams?A) 6 g B) 7 g C) 8 g D) 9 g E) 10 g11. I notice four clocks on the wall (see the picture). Only one of them shows correct time. One of them is 20 minutes ahead, another is 20 minutes late, and the other is stopped. What is the time at the moment?among them. There are 14 students on Mathew’s left, and Maria is among them. There are 7 students between Maria and Mathew. How many students are in this class?A) 37 B) 30 C) 23 D) 22 E) 1620. The sum of the digits of the 10-digit number is 9.What is the product of the digits of this number?A) 0 B) 1 C) 45 D) 9 x 8 x 7 x…..x 2 x 1E) 1021. Out of 125 small, white and black cubes, the big cube was formed (see the picture). Every twoadjacent cubes have different colors. The vertices of the big cube are black. How many white cubesdoes the big cube contain?A) 62 B) 63 C) 64 D) 65 E) 6822. A lottery-ticket was 4 dollars. Three boys: Paul, Peter, and Robert made a contribiution and bought two tickets. Paul gave 1 dollar, Peter gave 3 dollars, and Robert gave 4 dollars. One of the tickets they bought was worth 1000 dollars. Boys shared the award fairly, meaning, proportionally to their contributions. How much did Peter receive?A) 300 B) 375 C) 250 D) 750 E) 42523. In three soccer games the Dziobak’s team scored three goals and lost one. For every game won the team gets 3 points, fora tie it gets 1 point, and for the game lost it gets 0 points. For sure, the number of points the team earned in those three games was not equal to which of the following numbers?A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 324. In every white section of a diagram, the products of two numbers from grey sections – one fromabove and one from the left – was placed (for example: 42 = 7 • 6 ). Some of these products arerepresented by letters. Which two letters represent the same number?A) L and M B) T and N C) R and P D) K and P E) M and Sback to all problems page。

ACM--ICPC竞赛简介


对参赛选手的意义
对学校的意义
对于参赛选手：
开展国际大学生程序设计竞赛（ICPC）活动有 利于优秀人才脱颖而出 国际顶尖IT企业争要中大在ACM竞赛中取得优 异成绩的同学 各方面能力得到全面提升，包括自学能力、编程 能力、沟通协作能力、心理承受能力等等 就业 考研
近期竞赛
近期竞赛 2010年9月山东省高校ACM竞赛 校内组队（2～3队） 本学期末校内选拔 2010年9-12月区域赛
出
线
各赛区第一名自动出线 其他要等本区域（如亚洲）所有赛区的区域赛 结束再作决定 一般每个赛区出线4-7支队（有重复）
3、2009-2010出线情况
Asia Harbin (4.7/4.43)
National University of Defense Technology – Zoe (China) (1.0) University of Electronic Science and Technology of China – UESTC-CP^2 (China) (0.7) Zhejiang University of Technology – AngryCheers (China) (1.0) South China Agricultural University – SCAUARCTIC (China) (1.0) Hangzhou Dianzi University –HDU – AngelKidd (China) (1.0) (Host 2008)
LOGO
ACM/ICPC竞赛
Contents
1 2 3 4 5 6 7
1、ACM/ICPC简介
2、 竞赛模式 3、往年竞赛情况 4、大赛简要规则 5、校内选拔

历届数学奥林匹克参赛名单

1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。

由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。

1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。

我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。

我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。

2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。

入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中）---------------------------------------------------------历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数1959 1 罗马尼亚罗马尼亚71960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克51961 3 匈牙利匈牙利 61962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利71963 5 波兰前苏联81964 6 前苏联前苏联91965 7 前东德前苏联81966 8 保加利亚前苏联91967 9 前南斯拉夫前苏联131968 10 前苏联前东德121969 11 罗马尼亚匈牙利141970 12 匈牙利匈牙利141971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利151972 14 波兰前苏联141973 15 前苏联前苏联161974 16 前东德前苏联181975 17 保加利亚匈牙利171976 18 澳大利亚前苏联191977 19 南斯拉夫美国211978 20 罗马尼亚罗马尼亚171979 21 美国前苏联231981 22 美国美国271982 23 匈牙利前西德301983 24 法国前西德321984 25 前捷克斯洛伐克前苏联341985 26 芬兰罗马尼亚421986 27 波兰美国、前苏联371987 28 古巴罗马尼亚421988 29 澳大利亚前苏联491989 30 前西德中国501990 31 中国中国541991 32 瑞典前苏联561992 33 俄罗斯中国621993 34 土耳其中国651994 35 中国香港美国691995 36 加拿大中国731996 37 印度罗马尼亚751997 38 阿根廷中国821998 39 中华台北伊朗841999 40 罗马尼亚中国、俄罗斯812000 41 韩国中国822001 42 美国中国832002 43 英国中国842003 44 日本保加利亚822004 45 希腊中国852005 46 墨西哥中国982006 47 斯洛文尼亚中国1042007 48 越南俄罗斯932008 49 西班牙中国1032009 50 德国中国1042010 51 哈萨克斯坦中国1052011 52 荷兰中国101------------------------------------------------------------------历届国际数学奥林匹克中国参赛学生分省市、分学校统计按学校排名（TOP16)1 武汉钢铁三中 152 湖南师大附中 113 华南师范大学附中 104 北大附中 94 人大附中 96 湖北黄冈中学 86 上海中学 88 上海华东师大二附中 5 8 东北育才学校 510 华中师大一附中 410 复旦大学附中 410 深圳中学 410 东北师范大学附中 4 14 上海向明中学 314 长沙市一中 314 哈尔滨师范大学附中 3 以下略。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2. How many ways can 8 mutually non-attacking rooks be placed on the 9 × 9 chessboard (shown here) so that all 8 rooks are on squares of the same colour? [Two rooks are said to be attacking each other if they are placed in the same row or column of the board.]
Solution 2 Consider rooks on black squares first. We have 8 rooks and 9 rows, so exactly one row will be without rooks. There are two cases: either the empty row has 5 black squares or it has 4 black squares. By permutation these rows can be made either last or second last. In each case we’ll count the possible number of ways of placing the rooks on the board as we proceed row by row. In the first case we have 5 choices for the empty row, then we can place a rook on any of the black squares in row 1 (5 possibilities) and any of the black squares in row 2 (4 possibilities). When we attempt to place a rook in row 3, we must avoid the column containing the rook that was placed in row 1, so we have 4 possibilities. Using similar reasoning, we can place the rook on any of 3 possible black squares in row 4, etc. The total number of possibilities for the first case is 5 · 5 · 4 · 4 · 3 · 3 · 2 · 2 · 1 = (5!)2 . In the second case, we have 4 choices for the empty row (but assume it’s the second last row). We now place rooks as before and using similar logic, we get that the total number of possibilities for the second case is 4 · 5 · 4 · 4 · 3 · 3 · 2 · 1 · 1 = 4(5!4!). Now, do the same for the white squares. If a row with 4 white squares is empty (5 ways to choose it), then the total number of possibilities is (5!)2. It’s impossible to have a row with 5 white squares empty, so the total number of ways to place rooks is (5!)2 + 4(5!4!) + (5!)2 = (5 + 4 + 5)5!4! = 14(5!4!).
Solution 1 We will first count the number of ways of placing 8 mutually non-attacking rooks on black squares and then count the number of ways of placing them on white squares. Suppose that the rows of the board have been numbered 1 to 9 from top to bottom. First notice that a rook placed on a black square in an odd O O O O O E E E E numbered row cannot attack a rook on a black square in an even O O O O O numbered row. This effectively partitions the black squares into E E E E a 5 × 5 board and a 4 × 4 board (squares labelled O and E O O O O O respectively, in the diagram at right) and rooks can be placed O E O E O E O E O independently on these two boards. There are 5! ways to place E E E E 5 non-attacking rooks on the squares labelled O and 4! ways to O O O O O place 4 non-attacking rooks on the squares labelled E . This gives 5!4! ways to place 9 mutually non-attacking rooks on black squares and removing any one of these 9 rooks gives ohere are 9 · 5!4! ways to place 8 mutually non-attacking rooks on black squares. Using very similar reasoning we can partition the white squares O O O O as shown in the diagram at right. The white squares are par- E E E E E O O O O titioned into two 5 × 4 boards such that no rook on a square E E E E E O O O O marked O can attack a rook on a square mark E . At most 4 E E E E E non-attacking rooks can be placed on a 5 × 4 board and they O O O O can be placed in 5 · 4 · 3 · 2 = 5! ways. Thus there are (5!)2 ways E E E E E O O O O to place 8 mutually non-attacking rooks on white squares. In total there are 9 · 5!4! + (5!)2 = (9 + 5)5!4! = 14 · 5!4! = 40320 ways to place 8 mutually non-attacking rooks on squares of the same colour.
Solutions to the 2004 CMO
written March 31, 2004 1. Find all ordered triples (x, y, z ) of real numbers which satisfy the following system of equations: xy = z − x − y xz = y − x − z yz = x − y − z Solution 1 Subtracting the second equation from the first gives xy − xz = 2z − 2y . Factoring y − z from each side and rearranging gives (x + 2)(y − z ) = 0, so either x = −2 or z = y . If x = −2, the first equation becomes −2y = z + 2 − y , or y + z = −2. Substituting x = −2, y + z = −2 into the third equation gives yz = −2 − (−2) = 0. Hence either y or z is 0, so if x = −2, the only solutions are (−2, 0, −2) and (−2, −2, 0). If z = y the first equation becomes xy = −x, or x(y + 1) = 0. If x = 0 and z = y , the third equation becomes y 2 = −2y which gives y = 0 or y = −2. If y = −1 and z = y = −1, the third equation gives x = −1. So if y = z , the only solutions are (0, 0, 0), (0, −2, −2) and (−1, −1, −1). In summary, there are 5 solutions: (−2, 0, −2), (−2, −2, 0), (0, 0, 0), (0, −2, −2) and (−1, −1, −1). Solution 2 Adding x to both sides of the first equation gives x(y + 1) = z − y = (z + 1) − (y + 1) ⇒ (x + 1)(y + 1) = z + 1. Similarly manipulating the other two equations and letting a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1, we can write the system in the following way. ab = c ac = b bc = a If any one of a, b, c is 0, then it’s clear that all three are 0. So (a, b, c) = (0, 0, 0) is one solution and now suppose that a, b, c are all nonzero. Substituting c = ab into the second and third equations gives a2 b = b and b2a = a, respectively. Hence a2 = 1, b2 = 1 (since a, b nonzero). This gives 4 more solutions: (a, b, c) = (1, 1, 1), (1, −1, −1), (−1, 1, −1) or (−1, −1, 1). Reexpressing in terms of x, y, z , we obtain the 5 ordered triples listed in Solution 1.