2000-2017历年考研数学一真题(答案+解析)(最新整理)

2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追6上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】C【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=TE 。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]A.ab=B.ab=-C.ab=0D.ab=2正确答案：A参考解析：2 [单选题]设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)>0，则（）．A.f(1)>f(-1)B.f(1)<f(-1)C.|f(1)|>|f(-1)|D.|f(1)|<|f(-1)|正确答案：C参考解析：3 [单选题]函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量u=(1，2，2)的方向导数为（）．A.12B.6C.4D.2正确答案：D参考解析：4 [单选题]甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，如下图所示，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：S)，则（）．A.t0=10B.15<t0<20C.t0=25D.t0>25正确答案：C参考解析：5 [单选题]设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）．A.E-ααT不可逆B.E+ααT不可逆C.E+2ααT不可逆D.E-2ααT不可逆正确答案：A参考解析：A项，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，故|E-ααT|=0．即E-ααT不可逆．6 [单选题]A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似正确答案：B参考解析：由(λE-A)=0，可知A的特征值为2，2，1．7 [单选题]设A，B为随机事件，若0<P(A)<1，0<P(B)<1，则P(A|B)>P(A|)的充分必要条件是（）．A.P(B|A)>P(B|)B.P(B|A)<P(B|)C.P(|A)>P(B|)D.P(|A)<P(B|)正确答案：A参考解析：8 [单选题]设X1，X2，…，X n(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）．A.B.C.D.正确答案：B参考解析：9 [填空题]参考解析：【解析】10 [填空题]微分方程y”+2y'+3y=0的通解为y=______.参考解析：【解析】11 [填空题]内与路径无关，则a=______.参考解析：-1【解析】12 [填空题]______.参考解析：【解析】13 [填空题]为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为______.参考解析：2【解析】由α1，α2，α3线性无关可知矩阵(α1，α2，α3)可逆，故r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A(α1，α2，α3))=r(A)，再由r(A)=2得r(Aα1，Aα2，Aα3)=2．14 [填空题]设随机变量X的分布函数为，其中(x)为标准正态分布函数，则E(X)=______.参考解析：2【解析】15 [简答题]参考解析：16 [简答题]参考解析：17 [简答题]已知函数y(x)由方程x3+y3—3x+3y-2=0所确定，求y(x)的极值．参考解析：解：两边求导得18 [简答题](I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；(Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．参考解析：证明：(I)又由于f(x)在[δ，1]上连续，由f(δ)<0,f(1)>0，根据零点定理得至少存在一点ξ∈(δ，1)，使f(ξ)=0，即得证．19 [简答题]设薄片形物体S是圆锥面被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为u(x，y，z)=9，记圆锥面与柱面的交线为C．(I)求C在xOy面上的投影曲线的方程；(Ⅱ)求S的质量M．参考解析：(Ⅰ)(Ⅱ)20 [简答题]设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．(I)证明：r(A)=2；(11)如果β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．参考解析：解：(I)由α3=α1+2α2可得α1+2α2-α3=0，即α1，α2，α3线性相关，因此，|A|=0，即A的特征值必有0．又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0，21 [简答题]设二次型f(x1，x2，x3)=在正交变换x=Qy下的标准形为，求a的值及一个正交矩阵Q．参考解析：22 [简答题]设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=，Y的概率密度为(I)求P{Y≤E(Y)}；(II)求Z=X+Y的概率密度．参考解析：某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X1，X2，…，X n相互独立且均服从正态分布N(μ，σ2)，该工程师记录的是n次测量的绝对误差Z i=|X i-μ|(i=1，2，…，n)，利用Z1，Z2，…，Z n估计σ．(I)求Z i的概率密度；(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量；(Ⅲ)求σ的最大似然估计量．参考解析：。

2000年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】7T方法一—x 2 dx = f a /1 — (jc — l)2 d(j? — 1)=J 0a /1 — x 2 dj?方法二1/----------帀x = sin tV 1 —无=o根据定积分的几何应用，「屆—工认即以曲线J 0y = Jlx — jc 2 （0 £工W 1）为曲边的曲边梯形的面积. 如图所示，显然［丿2工-工f =中.⑵【答案】千1_卄2_「2-46cos 2/d/=/2=£x Ko 2【解】"={F ： ,F ； ,F ；} |（1,一2,2）= {2工，4y ,6z} |（i,_2,2）= {2, — 8,12},qr 1 yi —I — 2 N 2则曲面在点（1.—2,2）处的法线方程为、工占=乞丁.（3） 【答案】y =q + C2（C 】，C2为任意常数）.X【解】 方法一 由xy" + 33/' = 0 ,得y"-----y' =0.X解得/hCojM =$，积分得原方程的通解为y =^ + C 2（C 15C 2为任意常数）.XJC方法二 由砂"+ 3y f =0,得 x 7,y" + 3x 2y f =0 或（x 3y'Y =0.「 C于是工s ，=c 。

，解得y =-|,积分得原方程通解为^=4 + C 2（C.,C 2为任意常数）.jc x （4） 【答案】 一1.【解】 因为原方程组无解，所以r （A ） <r （A ）,而r （A ）三3,所以r （A ） <3.于是|A 1 = 0,解得a =-1或a =3._ I 121/I 21 ! 1 \/I2 11当a = 3时，由A=”35Y -> 0 - 1-* °—131'13—2i o''o 1-3 - 1''00 00得r （A ） =r （A ） =2,原方程组有无数个解，所以a 工3 ,故a == -1.2(5)【答案】 y.【解】PCAB) =PCA) -F(AB), P CAB) = P (B) - P (AB),由P(AB)=P(AB),得P(A)=P(B).--------------1«由P(AB)=P(A+B)=l-P(A+B)=y,得P(A+B)=§.又P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P(A)-P2(A),o o得P2(A)-2P(A)+y=0,解得P(A)=y.二、选择题(6)【答案】(A).【解】由厂Q)gQ)TQ)g‘Q)<o,得&(工)」g(工)即牛¥为减函数，当a V工时，有牛牛>力黑>侏.gd g(工)g lb)于是/'(•z)g(b)>f(b)gO,应选(A).方法点评：本题考查函数单调性.若y'(H)>o或y'(_z)<o时，/•&)严格递增或严格递减.注意如下技巧：若题中出现/'(_r)g(>z)—/■(H)g'(_z)时，一般构造辅助函数；g(H)若题中出现f'(j;)+/(a-)g z(j：),一般构造辅助函数/(JC)g(J7).(7)【答案】(C).【解】由对面积的曲面积分的对称性质，得又因为s i x dS=JJ ydSs iF ds=.sjjj/dS=0,s』n dS9所以』n dS=4JJS]S S]zdS Z(1S9s】x dS9应选(C).方法点评：二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分有类似的对称性,对面积的曲面积分的对称性如下：若》关于jrOy平面对称，其中工0夕平面上方为I】，则有]J/(z,z)dS=J0,12jJ/(jr,w)dS,I习f(.x,y,—z)=—f(工,y,z),f(a:,y,—2)=f{x,y,z).其他两种情形同上.(8)【答案】(D).【解】方法一令S”="]+“2------"”，因为工"”收敛，所以lim“”=0且limS…存在.”=]"-88设limS”=S，令S：=("]+“2)+("2+"3)+…+("”+«…+i)=2S”一"i+“卄i.OO因为limS：,=2S—-，所以级数工("”+"”+i)收敛，应选(D).心00”=1■(—1\H g/_1\W°°1方法二取U n=丄1、，级数工|/,1、收敛，而工丄1、发散，(A)不对;ln(z?+1)/z=1ln(n+1) z/=1n ln(7?+1)取"”=上?，级数》>7 =工丄发散，(B)不对；寸Tln = \” = 1"(—1 \n~l00 吕1取U ” ='，级数工(“2”T — “2”)= Y —发散，(C)不对，应选(D).n n=\n=\ n(9) 【答案】(D).【解】 令 A =( a 1 .a?,…，a ”)，B = (0i ，02，・"‘0,”).由 a i ,a 2, ,a m 线性无关，得 r (A ) =m .若山，卩-…仇线性无关，则r (B )=m,因为r(A) =r(B) 所以矩阵A.B 等价；反之,若矩阵A .B 等价，则r(A) — rCB ),因为r(A)—加，所以r(B)=加，又因为矩阵的秩与矩阵列向量组的秩相等，所以你，02,…，血的秩为加，即你心，…0”线性无关，应选(D).(10) 【答案】(E).【解】W 诃不相关的充分必要条件是Cov(f ，^) =0.而 Cov(Wq) =Cov(X + Y,X — Y) =Cov(X,X) -Cov(Y,Y) =D(X) -D(Y),又 D(X) =E(X 2) -[E(X )T ， D(Y) =E(Y 2) ~[E(Y)]2,所以不相关的充分必要条件是D(X) =D(Y),即 E(X 2) ~[E(X)J 2 =E(Y 2) -[E(Y)]2,应选(E).三、解答题(11)【解】— . 1/2 + sin j - \ 2 -h e 7由 lim T + I I = lim -------r + lim z-o+'l+e ’ 1 1 ' 乂_°* 1 += 0 + 1=1,— . 1/2 + e J . sin jc \ 9 4- e 7 sin rlim ( T x I j = lim ------------lim --------=2 — 1 = 19/2 + e T sin x \得啸匚/ +甘)7(12)【解】由复合函数求偏导法则，得券= yf ； + —fi —气 g'， dx y xdy=f\ + y (工咒y 〃-------gX1l —i £〃 无 〃〃 1 / y >—f 2 + ^yf 11 J 22 g s y yQ («Z 9』)=(13)【解】令 PCx.y) = , 2 24j ? + ydQ dp y 2 — 4 工23jc (4jc 2 + y 2 )2((乂，』)# (0,0)).如图所示，作L 0：4^2+y 2=r 2(r> 0且L 。

．．．（1）若函数f(x)=⎨⎩1-cos x1【解析】lim=lim=,Q f(x)在x=0处连续∴x→0+ax【解析】Q f(x)f'(x)>0,∴⎨⎧f(x)>0={4,1,0}⇒∂f2017考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.⎧1-cos x ⎪ax ⎪b,x≤0,x>0在x=0处连续，则（）(A)ab=12(B)ab=-12(C)ab=0【答案】A(D)ab=21x2x→0+ax2a（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)>0，则（）11=b⇒ab=.选A. 2a2(A)f(1)>f(-1) (C)f(1)>f(-1)(B)f(1)<f(-1) (D)f(1)<f(-1)【答案】C⎧f(x)<0(1)或⎨(2)，只有C选项满足(1)且满足⎩f'(x)>0⎩f'(x)<0(2)，所以选C。

（3）函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（）(A)12【答案】D【解析】(B)6(C)4(D)2gradf={2xy,x2,2z},⇒gradf(1,2,0)u122 =gradf⋅={4,1,0}⋅{,,}=2.∂u|u|333（6）设矩阵 A = ⎢0 2 1⎥⎥ , B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ , C = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,则（ ）T ⎣ ⎣ ⎣选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线 v = v (t ) （单位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v = v (t ) ，三块阴影部分面积的数值12依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单位：s ），则（）v(m / s)1020( A )t = 10【答案】B0 5 10 15 20 25 30 t(s)( B )15 < t < 20 (C )t = 25 ( D )t > 250 0 0【解析】从 0 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为⎰t 0v (t)dt , ⎰ t 0v (t)dt , 则乙要追上甲，则1 2⎰ t 0v2(t) - v (t)dt = 10 ，当 t = 25 时满足，故选 C.1 0（5）设 α 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（）( A) E - αα T 不可逆(C ) E + 2αα T 不可逆(B )E + αα T 不可逆 (D )E - 2αα T 不可逆【答案】A【解析】选项 A,由 ( E - αα T )α = α - α = 0 得 ( E - αα T ) x = 0 有非零解，故 E - αα T = 0 。

2017年考研（数学一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．若函数f(x)=在x=0处连续，则( )A．ab=1／2B．ab=-C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：=1／2a，∵f(x)在x=0处连续，1／2a=bab=1／2，选A．2．设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)＞0，则( )A．f(1)＞f(-1)B．f(1)＜f(-1)C．|f(1)|＞|f(01)|D．|f(1)|＜|f(-1)|正确答案：C解析：∵f(x)f’(x)＞0，∴(2)，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C．3．函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在点(1，2，0)处沿向量n(1，2，2)的方向导数为( )A．12B．6C．4D．2正确答案：D解析：|(1，2，0)=0，cosα=1／3，cosβ=2／3，cosy=2／3，所求的方程导数为=2，应选D．4．甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，如下图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt，∫0t0v2(t)dt，则乙要追上甲，则∫0t0v2(t)dt-v1(t)dt=10，当t0=25时满足，故选C．5．设a为n为单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )A．E-ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E-2ααT不可逆正确答案：A解析：选项A，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，故|E-αT|=0，即E-ααT不可逆，选项B，由r(ααT)=1得ααT的特征值为n-1个0，1故E-ααT的特征值为n-1个1，2，故可逆．6．已知矩阵A=，则( )A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：由(λE-A)=0可知A的特征值为2，2，1因为3-r(2E-A)=1，∴A可相似对角化，且A～由|λE-B|=0可知B特征值为2，2，1因为3-r(2E-B)=2，∴B不可能相似对角化，显然C可相似对角化，∴A～C，且B不相似于C．7．设A，B为随机事件，若0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜0，则P(A|B)＞P(A|)的充分必要条件是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：按照条件概率定义展开，则A选项符合题意．8．设X1，X1…Xn(n≥2)来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记Xi，则下列结论中不正确的是( )A．(Xi-μ)2服从χ2分布B．2(Xn-X1)2服从χ2分布C．)服从χ2分布D．n(X-μ)2服从χ2分布正确答案：B解析：X～N(μ-1)，Xi-μ～n(0，1)(Xi-μ)2～χ2(n)，A正确(n-1)S2=)2～χ2(n-1)，C正确，-μ)2～χ2(1)，D正确，故B错误．填空题9．已知函数f(x)=，则f(3)(0)=_______．正确答案：0解析：f(x)=(-1)nx2n，f”‘(x)=(-1)n2n(2n-1)(2n-2)x2nf”‘(0)=0．10．微分方程y+2y+3y=0的通解为y=_______．正确答案：y=e-x(C1cosx)解析：齐次特征方程为λ2+2λ+3=0λ1．2=-1+故通解为y=e-x(C1cosx)11．若曲线积分∫在区域D={(x，y)|x2+y2＜1}内与路径无关，则a=_______．正确答案：-1解析：，由积分与路径无关知，a=-1．12．幂数级(-1)n-1nxn-1在区间(-1，1)内的和函数S(x)=_______．正确答案：解析：(-1)n-1nxn-1=((-1)n-1nxn)=13．设矩阵A=，α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组A α1，Aα2，Aα3的秩为_______．正确答案：2解析：由a1，a1，a3线性无关，可知矩阵a1，a2，a3可逆，故r(Aa1，Aa2，Aa3)=r(A(a1，a2，a3))=r(A)，再由r(A)=2得r(Aa1，Aa2，Aa3)=2．14．设随机变量X的分布函数为F(X)=0．5Φ(x)+0．5Φ()，其中Φ(x)为标准正态分布函数，则EX=_______．正确答案：2解析：F’(x)=0．5Φ(X)dx+∫-∞+∞xΦ()dx，∫-∞+∞xΦ(x)dx=EX=0．令=t，则f-∞+∞xΦ()dt=2∫-∞+∞(4+2t)Φdt=8．1+4∫-∞+∞tΦ(t)dt=8，因此E(X)=2．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xf x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E 。