第２２卷第６期 ２ ０ ０ ７年１ ２月 宿州学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｕｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ＶＯＩ．２２，ＮＯ．６ Ｄｅｃ．２ ０ ０ ７
空间中平面与平面、直线与直线及直线
与平面间位置关系研究
费绍金
（宿迁学院教师教育系，江苏宿迁２２３８００）
摘要：利用线性方程组解的理论讨论空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面间位置关系，给出用矩阵的秩判 定以上关系的方法及结论。 关键词：平面；直线；直线与平面；位置关系；矩阵的秩 中图分类号：Ｏ１８７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—２００６（２００７）０６－－００９５—０３
１引言 Ｂｉｙ＋ＣＩ ＋Ｄ＿一Ｏ（ｉ ２＇３），记Ａ ＢＳ：ｌ 则 判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与 、Ａ Ｂ Ｃ 平面位置关系，是代数知识在空间解析几何上的应 用，体现了几何与代数的完美结合，因此也是历年考 研常考题型。在文献［１ 中作者给出了两条判定定理， 在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用矩阵 的秩对这三个关系作了系统研究，给出一些有用结 论。
２主要命题及证明
引理非齐次线性方程组： 』ａｌｌｘ１＋ａｌｚ ２＋Ａ＋ ｌａｘ ＝ｂｌ Ｊ ａｚｌｘ１＋ａ２２ｘ２＋Ａ＋ａ２ ｘ ＝ｂ２ ｌ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ ’ａｍｌｘ１＋ａ扣２ｘ２＋＋ａ…ｘ ｊｂｍ 有解的充要条件是：系数矩阵Ａ与增广矩阵Ｂ的秩 Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ），且Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一ｎ时有唯一解。 ２．１平面与平面的位置关系 ２．１．１两平面间位置关系 命题１ 设平面７ｃ 、７ｃ 的方程分别为Ａ ｘ＋Ｂ Ｙ ＋Ｃｌｚ＋Ｄｌ一０，Ａｚｘ＋Ｂ２Ｙ＋Ｃ２ｚ＋Ｄ２＝＝：０，记Ａ一
［ ： ］，则（１）当Ｒ（Ａ）＝＝＝２时，平面丌－与丌ｚ相交
于一条直线；（２）当Ｒ（Ｂ）＝１时，平面７ｃ 与７ｃ 重合； （３）当Ｒ（Ａ）＝＝＝１，Ｒ（Ｂ）＝＝：２时，平面７ｃ 与７ｃ 平行。 证明由引理易证。 ２．１．２三个平面间位置关系 命题２设平面丌 、丌 、丌。的方程分别为Ａ ｘ＋
1 即墨市第五中学高一数学导学案
空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
编写：刘鸿星 审核：宁伟丽 时间：2013-03 编号：8
【课前预习导读】
一、学习目标：
借助长方体模型，在直观认识和理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系。
二、学习重点：直线与平面、平面与平面的位置关系
三、学习难点：直线与平面、平面与平面的位置关系
四、自主预习
1．一条直线与一个平面的位置关系可能有 。
2．如图，线段BA1所在直线与长方体
1111DCBAABCD的六个面所在平面的位置
关系有 。
3．通过生活实例以及对长方体模型的观察、思考，我们可以得出，直线与平面的位置关系有三种：
（1） ——有 个公共点；
（2） —— 个公共点；
（3） —— 个公共点。
直线与平面 的情况统称为直线在平面外。
4．请画图表示直线与平面的三种位置关系，并用符号表示。
5．观察长方体1111DCBAABCD的六个面，两个平面的位置关系可能有 。
6．通过生活实例以及对长方体模型的观察、思考，我们可以得出，两个平面的位置关系有两种：
（1） —— 公共点；
（2） —— 。 班级： 姓名：
A B C D A1B1 C1 D1
2 7．请画图表示两个平面的两种位置关系，并用符号表示。
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、知识要点：
1.平面的基本性质：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2.空间中直线与直线之间的位置关系：
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间中直线与平面之间的位置关系：
（1）直线在平面内……有无数个公共点；
（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；
（3）直线与平面平行……没有公共点。
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
注意，我们不提倡如下画法．
4.平面与平面之间的位置关系：
（1）两个平面平行……没有公共点；
（2）两个平面相交……有一条公共直线。
二、例题讲解：
例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．
图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．
图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．
分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．
解：图1可以用几何符号表示为：
即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．
1 / 5 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
【知识梳理】
1．直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号暗示 a⊂α a∩α＝A a∥α
图形暗示
2．两个平面的位置关系
位置关系 图示 暗示法 公共点个数
两平面平行
α∥β 没有公共点
两平面相交
α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)
【常考题型】
题型一、直线与平面的位置关系
【例1】 下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中说法正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平2 / 5 行，∴①说法错误．
对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．
对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．
[答案] B
【类题通法】
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．
在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
【对点训练】
1．下列说法中，正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．
