二次根式的知识点

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二次根式复习讲义

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：

形如√a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，√a才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1），

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A、a B、10 C、1a D、21a√

2、在、、、、中是二次根式的个数有______个.

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

举一反三：

1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

2、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例3】若y=++2009，则x+y=

解题思路：式子（a≥0）， ，y=2009，则x+y=2014

举一反三：

1、若，则x－y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值 22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaaa2ab1x21x313x43xx5xx5a50,50xx5x11xx2()xy 勤而思教育个性化学习中心

【例4】已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求12ab的值。

举一反三：

1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3 。

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：aa()0是一个非负数．

1 二次根式知识点总结

王亚平

1. 二次根式的概念

二次根式的定义： 形如)0(aa的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，a才有意义．

2. 二次根式的性质

1. 非负性：)0(aa是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2.)0()(2aaa

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2aaa

3. )0()0(2aaaaaa

注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

3. 最简二次根式和同类二次根式

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式

4. 二次根式计算——分母有理化

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 2 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用aaa来确定，如：a与a，ba与ba，ba与ba等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ba与ba，ba与ba，ybxa与ybxa分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

- 1 - 第十六章 《二次根式》知识点及考点典例

一、重点知识回顾

1、二次根式

式子)0(aa叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是__________。

2、为什么要学二次根式？

加、减、乘、除、乘方、开方

3、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数____________；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

4、二次根式的性质

（1）)0()(2aaa （2）aa2(0)(

0)aaaa

（3）)0,0(•babaab （4）= ()

备注： 的异同点：________________________________.

5、二次根式的加减

先将二次根式化成__________，再把被开方数相同的二次根式进行合并。

6、二次根式的乘除

baba 0,0ba baba ()

7、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方和开方，再_______，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

※8、二次根式非负性运算技巧（易错题）

（1）根号下互为相反数 - 2 - （2）非负式=字母

（3）根号内外移动

二、典例剖析

考点一、二次根式概念与性质

【例1】若使二次根式24x有意义，则x的取值范围是

．

【举一反三】若代数式 在实数范围内没有意义，则x的取值范为是（

）

A．x2 B．x＞－2 C．x≥2 D．x≤2

二次根式知识点总复习

一、选择题

1．5x有意义，那么x的取值范围是（ ）

A．x≥5 B．x>-5 C．x≥-5 D．x≤-5

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【详解】

式子5x有意义，

x+5≥0，解得x≥-5.

故答案选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.

2．如果最简二次根式38a与172a能够合并，那么a的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．

【详解】

根据题意得，3a-8=17-2a，

移项合并，得5a=25，

系数化为1，得a=5．

故选：D．

【点睛】

本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．

3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋2(ab)的结果是（ ）

A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b

【答案】B

【解析】

【分析】 根据数轴得出0a，0ab，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．

【详解】

解：由数轴可知：0a，0b，

∴0ab，

∴22aababaab，

故选：B．

【点睛】

本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a，0ab是解题的关键．

4．已知n是一个正整数，135n是整数，则n的最小值是（ ）．

A．3 B．5 C．15 D．25

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

解：135315nn，若135n是整数，则15n也是整数，

∴n的最小正整数值是15，故选C．

5．在下列算式中：①257；②523xxx；③1889442；④94aaa，其中正确的是（ ）

A．①③ B．②④ C．③④ D．①④