四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期期中试题 文
- 格式：doc
- 大小：1.56 MB
- 文档页数：12
- 1 - 四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期期中试题 文
第I卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.设集合11{|}22Mxx，
2{|}Nxxx，则MN
A. 10,2 B. 1,12 C. 11,2 D. 1,02
2.若x，y满足约束条件42yxxyy，则2zxy的最大值是
A. 8 B. 4 C. 2 D. 6
3.已知是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.双曲线的焦距是
A. B. C. D.
5.在下面四个[,]x的函数图象中，函数sin2yxx的图象可能是
A. B.
C. D.
6.已知等差数列{}na的前n项和为nS，721S，则4a - 2 - A. 0 B. 2 C. 3 D. 6
7.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为
A. B.
C. D.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
9.将函数sin2yx的图象向右平移6个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间5[,]1212上单调递增 B. 在区间511[,]1212上单调递增
C. 在区间[,]63上单调递增 D. 在区间5[,]36上单调递增
10.己知椭圆E：22221(0)xyabab，直线l过焦点且倾斜角为4，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为
A. 23 B. 33 C. 53 D. 63
11.设()fx是(,0)(0,)上的偶函数，当0x时，()lnfxxx，则()fx在(1,(1))f处的切线方程为
A. 01yx B. 10xy
C. 10xy D. 10xy
12.在三棱锥ABCD中，60BACBDC，二面角ABCD的余弦值为13，当 - 3 - 三棱锥ABCD的体积的最大值为64时，其外接球的表面积为
A. 5 B. 6
C.
7 D. 8
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.在边长为6的等边三角形ABC中，23BDBC．则ABAD_____⋅
14.等差数列na中，410a且3a，6a，10a成等比数列，数列na前20项的和20S____
15.函数有极值，则的取值范围是______．
16.下列关于函数()2sincosfxxx的描述中，正确的是_____.（填写正确命题的序号）
①是()fx的一个周期；②()fx是偶函数；
③1()5fx；④()yfx，],0[x与2y有且只有2个公共点.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分12分）
某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：
消费金额（单位：元） 0,200 200,400 400,600 600,800 800,1000
购物单张数 25 25 30 10 10
由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：
（ I）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；
（ II）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品.已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其 - 4 - 中一等奖的中奖率为121.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销.
18.（本大题满分12分）
如图，在单位圆上，AOB＝()， BOC＝ ，且△AOC的面积等于．
（ I）求 sin 的值；
（ II）求 2cos()sin)
- 5 -
19.(12分)如图，等边三角形所在平面与梯形所在平面互相垂直，且有，，.
（ I）证明：平面；
（ II）求点到平面的距离.
20.已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为23,0F，离心率为e.
（ I）若32e，求椭圆的方程；
（ II）设直线ykx与椭圆相交于,AB两点， ,MN分别为线段22,AFBF的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且2322e，求k的取值范围.
21.已知函数()(2.71828...)xfxxee.
（ I）求函数()fx的单调区间；
（ II）设()()lngxfxx，求证：4()3gx（参考数据：ln20.69）．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） - 6 - 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为cos1sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos30.
（ I）写出直线l的直角坐标方程；
（ II）设点M的坐标为1,2，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率.
23.（ I）解不等式；
（ II）设a，b，且不全相等，若，证明：．
- 7 - 2021-2022度秋四川省宜宾市四中高三期中考试
文科数学试题答案
1-5:ADDDC 6-10:CADAD 11-12:DB
13.24 14.200或330 15. 16.①②③
17.解：（1）因消费在区间0,400的频率为0.5，故中位数估计值即为400.
设所求概率为p，而消费在0,600的概率为0.8.
故消费在区间600,800内的概率为0.2p.
因此消费额的平均值可估计为1000.253000.255000.37000.2900pp.
令其与中位数400相等，解得0.05p.
（2）设等比数列公比为0qq，根据题意211212121qq，
即2200qq，解得4q.
故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为121， 421， 1621.
今年的购物单总数约为200001.05=21000.
其中具有抽奖资格的单数为210000.150.05=4200，
故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200， 800， 3200.
于是，采购奖品的开销可估计为2005008002003200100580000（元）.
18.（I），
∴，
∴，
= - 8 -
（II）∵=，
∴==.
19.（1）证明：取中点，连接
则四边形为菱形，
即有，
所以，
又平面，平面平面，平面平面，
∴平面；
（2）由（1）可得，所以，，
取中点，连接，
则，，
又平面，平面平面，平面平面
∴平面；
所以
由（1）有平面，得 - 9 - ∴
设点到平面的距离为
由
∴
20.由题意得33,2cca，
∴23a.
又∵222abc，
∴23b.
∴椭圆的方程为221123xy.
（2）由22221,{
,xyabykx 得2222220bakxab.
设1122,,,AxyBxy.所以2212122220,abxxxxbak，
依题意， OMON，易知，四边形2OMFN为平行四边形，所以22AFBF.
∵2113,FAxy， 2223,FBxy， - 10 - ∴22212121233190FAFBxxyykxx.
即 22222291909aakaka，
将其整理为 4222424218818111818aakaaaa.
∵2322e
∴2332a， 21218a.
∴218k，即22,,44k.
21.（1）解：'()(1)xfxxe，
∴7mgS时，'()0fx，函数()fx单调递减；(1,)x时，'()0fx，函数()fx单调递增．
所以()fx单调递减区间为(,1)；函数()fx单调递增区间为(1,)．
（2）证明：()()lnlnxgxfxxxex.
∴1'()(1)xgxxex
由（1）得当(0,)x时，函数()xfxxe单调递增，
函数1yx在(0,)x上单调递增，
故'()ygx在(0,)单调递增．
∵1'()02g，1'()03g，
存在011(,)32x，使得0001(1)xxex.
当0(0,)xx时，'()0gx，当0(,)xx时，'()0gx，
∴()gx在0(0,)x单调递减，在0(,)x单调递增，
∴当0xx时，函数()gx取得极小值即最小值．
