初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

〔1〕求证：△CDF∽△BGF；

〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假设AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．

求证：△ABC∽△FDE．

4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．

5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

2 〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；

〔2〕在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立；

〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．

7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

〔1〕填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；

〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

3 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：

〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？

〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假设存在，求t的值；假设不存在，请说明理由．

9．如图，在梯形ABCD中，假设AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；〔注意：全等看成相似的特例〕

〔2〕请你任选一组相似三角形，并给出证明．

10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．

〔1〕写出图中所有相等的线段，并加以证明；

〔2〕图中有无相似三角形？假设有，请写出一对；假设没有，请说明理由；

〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比． 4

11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．

〔1〕求四边形AQMP的周长；

〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕；

〔3〕M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．

12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．

〔1〕求梯形ABCD的面积S；

〔2〕动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．假设P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：

5 ①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假设存在，请求出t的值；假设不存在，请说明理由；

②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？假设存在，请求出所有符合条件的t的值；假设不存在，请说明理由；

③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？假设存在，请求出所有符合条件的t的值；假设不存在，请说明理由．

14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假设P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？

15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．

6 16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．

17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似？假设能，请给出证明，假设不能，请说明理由．

18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假设Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？

19．如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．

7 20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．

〔1〕如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；

〔2〕如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除〔1〕中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．

21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

22．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

8 23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．

〔1〕所需的测量工具是： _________ ；

〔2〕请在下列图中画出测量示意图；

〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．

24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：

甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．

乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．

9 丙组：如图3，测得校园景灯〔灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计〕的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：

（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度：

（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．〔友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602〕

25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下图〕，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．

26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．

〔1〕假设李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；

〔2〕假设李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由；

〔3〕假设李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．

10 27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．

〔1〕如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；〔不必证明〕

〔2〕如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；

〔3〕假设分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与〔2〕相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；

〔4〕类比〔1〕，〔2〕，〔3〕的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．

28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．

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29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假设AB=3，AC=4．

〔1〕求BD、CD的长；

〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．

30．〔1〕已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；

〔2〕已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．