中学数学教学中体现数学建模思想

第２７卷第５期　２００６年５月　湖南科技学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖ０１．２７　ＮＯ．５　Ｍａｙ．２００６　

中学数学教学中体现数学建模思想　

欧亚鸣　

．　（永州市第七中学，湖南永州４２５００６）　

摘要：以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，在中学数学教学中体现数学建模思想，引导学生自　

主活动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识。真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学。　

关键词：数学建模；中学数学教学　

中图分类号：Ｇ６３３．６　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—２２１９（２００６）０５—０２７５－０３　

我们的中学数学教学是一种“目标教学”。一方面，我们一直想教给学生有用的数学，但学生高中毕业后如不攻读数学专　

业，就觉得数学除了高考拿分外别无它用；另一方面，我们的“题型＋方法”的教学模式的确是提高了学生的应试“能力”，但　

是学生一旦碰到陌生的题型或者联系实际的问题，却又不会用数学的方法去解决它。大部分学生学了十二年的数学，却没有　

起码的数学思维，更不用说用创造性的思维自己去发现问题，解决问题了。加强中学数学建模教学正是在这种教学现状下提　

出来的。我国普通高中新的数学教学大纲中明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”，要求“增强用数学的意识，能　

初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、　

运算、检验，使问题得到解决。”这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。因为我们的数学教学不仅　

要使学生获得新的知识，而且要提高学生的思维能力，要培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中所遇　

到的问题，从而形成良好的思维品质，造就一代具有探索新知识，新方法的创造性思维能力的新人。下面就如何在中学数学　

教学中体现建模思想，谈几点粗浅体会。　

一教师建模意识先行是关键　

针对目前实际应用的数学问题有时过难，不宜作为教学内容；有时过易，不被人们重视，而中学数学教科书中“现成”的　

数学建模内容又很少，再加上数学建模的氛围在中学尚不浓厚等实际情况。在教学活动中起主导作用的教师首先应具有数学　

建模的自觉意识，才能在教学过程中用自己的数学建模意识去薰陶学生，也才能在看似没有数学建模内容的地方，不满足于　

表层的感知，挖掘出训练数学建模能力的内容，给学生更多数学建模的机会。国家大事、社会热点、市场经济中涉及诸如成　

本、利润、储蓄、保险、投标及股份制等，是中学数学建模问题的好素材，适当的选取，融入教学活动中，使学生掌握相关　

类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供　

了能力上的准备。　

二适时应用教材内容，建模解决生活中常见问题　

例如，随着人们消费意识的改变，分期付款用于购买大宗物品已成为常事，在学了数列后可拟编下面习题：　

某人欲从建设银行贷款二十万元用于购房，按贷款年利率为６．１２％，即月利率为５．１‰计息，３０年还清，问每月应等额还　

款多少元？　

分析：抽象出实际问胚的数学本质，就是银行方的本息和和借方的本息和相等，分两条线计算，设每月等额还款Ｘ万元则有：　

银行方：３０年后贷款及利息总和为２０×（１＋０．００５１）圳万元；　

个人方：在３６０期中，　

第１个月末付款Ｘ万元，再过３５９个月到期后，共增值为Ｘ（１＋０．００５１）　万元　

第２个月末付款Ｘ万元，再过３５８个月到期后，共增值为Ｘ（１＋０．００５１）　万元　

收稿日期：２００６－－０３—１３　作者简介；欧亚鸣（１９６４一），湖南永州人，中教一级。　

２７５　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３５９个月末付款Ｘ万元，再过１个月到期后，共增值为ｘ（１＋０．００５１）万元　

第３６０个月末付款Ｘ万元，台同期满。其值为Ｘ万元　

银行方的本息和＝借方的本息和故得　１０Ｘ（１＋０．００５１）　６０＝Ｘ（１＋０．００５１）３　９＋ｘ（１＋０．００５１）３　。＋……＋Ｘ（１＋０．００５１）＋Ｘ　

则得ｌＯＸ（１＋Ｏ．００５１）３６０＝—ｘ（１＋　０．０而０５１）面３６０￣　０．０—０５１　

．。．ｘ＝０．１２１４５７４（万元）　

从而得到等额本息还款计算公式：设本金为Ａ万元，月利率为ｒ，约定ｎ个月将货款还清，　

月均还款额为Ｂ万元，则有Ｂ；　掣　

三从习题中抽象类比，建立数学模型　

虽然数学建模的目的是为了解决实际问题，但对于中学生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们立即去解决　

生产、生活中的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，掌握数学建模的方法，因此，在教学时，要充分强调过程的重　

要性，要学生掌握类比的思想方法，尤其要注重培养学生从看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养　

学生把客观事物的原型与抽象的数学问题联系起来的能力。　

如：有这样一道题：集合Ｍ＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０｝，集合Ｎ＝｛ａ，ｂ，ｅ，ｄ｝则从Ｍ到Ｎ的满射共有个？　

学生在解答此题时若用树形图分类讨论法，则要用大量时间且易出错。　

在讲解此题前我先引导学生分析下题：　

求不定方程ｘＩ＋ｘ２＋）ｃ３＋）（４＝ｌ５的正整数解的组数　

分析：此题若用树形图分类计算可得结果，但较麻烦，而且当方程中未知数个数再增加时更为复杂，是否有简单方法？　

我们可建一个模型来简化运算过程　

把１５改写成　

１＋ｌ＋ｌ＋ｌ＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋Ｉ＋１＝１５　在上式十四个加号中任取三个则把左边分成四部分每一部分刚好与一未知数对应，四部分恰为一组解，而这就得到所有　解有ｃ　个，这个结果就是我们要建立的“挡板”模型，也就是把１５个球排行一行再用三块木板把它们分开成四份木板怎么　

插的问题，用它来分析就十分容易了。　

利用类比分析，这个模型很容易解决下面的两个问题：　１、１０个相同小球放入４个不同袋中每袋至少放１个共有多少种放法？　

２、一个台阶共有ｌ０级用８步走完，每步可上一级，二级，三级共有几种上法？　

再回到开始的问题就十分容易解决了。　

四解决实际问题，享受成功喜悦　．　

用课题学习中形成的数学知识解答生活中的实际应用问题。问题得以解决，学生能体会到数学在解决问题时的实际应用　

价值，体验到所学知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。　

如在学习了概率后，针对一部分人参与购买彩票的现象设计了这样一道习题：　

中国福利彩票“双色球”红色球号码１—３３共３３个，蓝色球号码１一ｌ６共１６个，一注彩票由６个红色球号码和一个蓝　

色球号码组成，称为“６＋１”，购买一注彩票２元钱，若开出的６＋１个号码恰与购买的６＋１个号码相同，则中一等奖，奖金　

为５００万元，问购买一注彩票，中一等奖的可能性有多少？若只中６个红色号码球即６＋Ｏ则中二等奖，５＋１为三等奖，５＋０、　

４＋ｌ为四等奖，４＋０与３＋１为五等奖，２＋１、１＋１、ｏ＋ｌ为六等奖，在某次开奖中若一、二、三、四、五、六等奖分别为５００　

万元，１００万元，３０００元，２００元，　１０元，５元，问对购买者是否公平？　

分析：这是古典概率模型很容易求得中各等奖的概率，而对后一问“对购买者是否公平？”学生较难正确理解其真正含　

义，这实际上这是求单注中奖金额的期望，通过比较单注中奖金额的期望与购买每一注彩票所花的钱就能得出是否公平。　

令中奖金额为随机变量§，ｑ为不中奖的概率，则其分布列为：　

§　５Ｏｏｏｏ（）ｏ　１　０（）ｏＯｏｏ　３ｏ００　２００　ｌ０　５　Ｏ　

１　Ｃ：　Ｃ６５Ｌ”Ｉ　Ｃ６４Ｌ２２７十Ｌ２Ｉ７Ｃ：ＣＩ６　Ｃ６４Ｌ２７２　ＬｌＩ６＋Ｃ６３Ｌ２３７　Ｃ　Ｐ　ｑ　Ｃ　Ｃ　Ｃ　Ｃ：　Ｃ　Ｃ：　ｃ：，ｃ：　ｃ　Ｃ：　Ｃ３６３Ｌ　Ｉ　

２７６　维普资讯 http://www.cqvip.com ＇．Ｅｇ＝５００００００ｘ　１／１７７２１０８８＋１００００００Ｘ　１６／１７７２１０８８＋３０００Ｘ　１６２／１７７２１０８８　

＋２００￣７８５７／１７７２１０８８＋１０￣１４２７４０／１７７２１０８８＋５×１／１６＋０×ｑ　

＝０．２８２＋ｏ．９０３＋０．０２７＋ｏ．０８７＋０．０８１＋ｏ．３１３＝１．６９３＜２　显然单注中奖金额的期望小于单注购买价，对购买者不公平．　

五归纳总结，深化目标　

根据教学目标和教材，指导学生归纳总结，拓展知识的一般结论，指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的　

统一性，使学生认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。同时体会和掌握构建数学模型的方法，深化教学目标。　

此外，通过分析一些当前亟待解决的紧迫问题，和身边发生的熟悉事例，引导学生关心社会发展，把握时代脉搏，有利于培　

养学生的主体意识与参与意识，发挥数学的社会化功能。　

把中学数学中所包含的内容与生产、生活中的实际问题联系起来归纳总结，强化建模思想，一般可分为下面几类：　

（１）平均增长率问题，包括产量、繁殖、资金、利率、衰变、裂变等，可以建立幂、指数、对数函数或方程模型。　

（２）最大最小问题，包括面（体）积最大（小）、用料最省、费用最低、效益最好等，可以建立不等式或函数模型。　

（３）行程、工程、浓度问题，可以建立方程（组）、不等式（组）模型。　

（４）拱桥、炮弹发射、卫星轨道问题，可以建立二次曲线模型。　

（５）测量问题，可以建立解三角形模型。　。　

（６）计数问题，可以建立排列组合模型。　

（７）估算与决策问题，可以建立概率统计模型。　

综上所述，构建学生的数学建模意识与素质教学所要求的培养学生的创造性思维能力是相辅相成，密不可分的。要真正　

培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实　

际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主括动，自　

觉的在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提　

高学生的创新能力，使学生学到有用的数学。　

参考文献：　

【ｌ】沈文选．中学数学建模方法导引与解题技巧【Ｍ】．长沙：湖南师范大学出版社，１９９９．　

【２】王尚志．高中数学知识应用问题【Ｍ】．长沙：湖南教育出版社，１９９９．　

【３】张贵卿．寓发散思维于数学复习课教学中ＩＪ１．数学通讯，１９９８．

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