2020-2021学年北京市西城区三帆中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)-解析版

北京市西城区三帆中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．抛物线y ＝﹣3（x ﹣2）2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（）A ．向上，(2，4)B ．向上，(﹣2，4)C ．向下，(2，4)D ．向下，(﹣2，4)3．如图，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，若70D ∠=︒，则B ∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．70︒D ．109︒4．把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A ．()2=+31y x -B ．2(3)3y x =++C ．2=(3)1y x --D ．2(3)3y x =-+5．抛物线223y mx mx =--与x 轴交于A B ，两点，若点A 的坐标是()10-，，则点B 的坐标为（）．A ．()30，B ．()50，C ．()03-，D ．()10，6．如图，已知O 的半径OC 经过弦AB 的中点D ，分别连接OB AC ，，则2A B ∠+∠的度数为（）．A ．80︒B ．45︒C ．90︒D ．70︒7．数学课上，邱老师提出如下问题：已知：如图，AB 是O 的直径，射线AC 交O 于C ．求作：弧BC 的中点D ．同学们分享了如下四种方案：①如图1，连接BC ，作BC 的垂直平分线，交O 于点D ．②如图2，过点O 作AC 的平行线，交O 于点D ．③如图3，作BAC ∠的平分线，交O 于点D ．④如图4，在射线AC 上截取AE ，使AE AB =，连接BE ，交O 于点D ．上述四种方案中，正确的方案的序号是（）．A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①②③④8．下面的三个问题中都有两个变量：①边长为3dm 的正方形纸片中间剪去一个边长为x dm 的正方形纸片，剩下纸片的面积y 与x ；②用长为50cm 的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ；③某种商品的价格为4元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x ，经过两次降价后的价格y 与x ．其中变量y 与x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）．A ．①B ．②C ．③D ．①③二、填空题13．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于点E ，若为．14．二次函数24y x x c =-+满足以下条件：当当45x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则16．在平面直角坐标系中，已知点个动点，满足60ACB ∠=︒，则线段三、问答题17．解方程：2430x x -+=．四、证明题18．已知关于x 的方程()24240x k x k -+++=．(1)求证：不论k 为何值，该方程总有两个实数根；(2)设该方程有两个根为1x ，2x ，若127x x +=，求k 的值．五、问答题19．如图，A 是O 外一点，AB 23AB =，求圆的半径．六、作图题①该函数的顶点坐标为__________；②抛物线与坐标轴的交点坐标为__________③当0y >时，x 的取值范围是__________(2)求该二次函数的解析式．七、应用题21．2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未来”为主题的北师大二附中建校70周年庆祝活动在校隆重举行，师生校友参与了丰富多彩的校庆活动，并通过购买文创纪念品的方式献上爱心，其中的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睐，这两种吉祥物成本价均为每个40元，设两种吉祥物的销售单价均为x 元，每小时共售出两种吉祥物y 个，经研究发现y 与x 之间有如下关系：60y x =-+．设在这次活动中两种吉祥物每小时的利润共w元．(1)求w与x之间的函数表达式（需写出x的取值范围）．(2)这两种吉祥物的销售单价定为多少元，可以使每小时的利润最大？八、问答题(1)分别用m，n表示好好从珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上标有的数字，请用列表法写出(),m n的所有取值；mn1234(2)求在(),m n的所有取值中使关于x的一元二次方程2x九、作图题下面是小张的作法：①如图，作BC 的垂直平分线②作AC 的垂直平分线③以O 为圆心，OA 长度为半径作圆．则O 是ABC 的外接圆．(1)请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形．(2)小李看到他的作法后灵机一动，找到了直线2l 与 AC 交于点D 请你补全下面证明．∵2l AC ⊥，2l 经过点∴ AC CD=（①∴ABD ∠=②（③∵1l BC ⊥，AB AC =∵DB 与AO 交于点I 十、问答题24．篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =-+<．(1)某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离水平距离/m x 00.51 1.5竖直高度/my 22.723.283.68请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标函数解析式．(2)小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，函数关系式：()25 2.4 4.512y x =--+，请回答下列问题：①小明同学第一次投篮的出手点高度为__________②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m ，竖直高度应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：投中，则__________投中（填写“第一次十一、证明题25．如图，BC 是O 的直径，点A 是 接AC AP ，．(1)求证：AP 是O 的切线；(2)作AD 平分BAC ∠交并求OP 的长．十二、问答题26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x t =．(1)若抛物线经过点()2,c ，求t 的值；(2)若抛物线上存在两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中110x -<<，213x <<，且12y y =，求t 的取值范围．十三、证明题27．已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD AB ⊥于D ，E 为线段BC 上的一动点，连接ED ，将ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到线段EF ，连接AF 交直线．．CD 于点G ．(1)当E 与C 重合时，如图1，求证：AG FG =；(2)当E 与C 不重合时，如图2，则（1）中的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；(3)若2AC =，直接写出CG 长的最大值．十四、应用题28．设T 是平面内的几何变换，它使得平面内任意一点P 都有唯一的对应点P '，从而使任何图形G 都能经过变换T 得到另一图形G '．在此基础上：若点P 的对应点是它本身，则称点P 是变换T 的不动点；若图形G 经过变换T 后得到的图形仍然是它本身，则称图形G 是变换T 的不动图形．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(0,2)B ，(2,0)C ．(1)变换1T ：先关于y 轴对称，再将坐标为(,)a b 的点变为点(4,)a b -．①若点A 在经过变换1T 后得到点A '，则AA '=；②有下列图形：（A ）过点A 且平行于x 轴的直线；（B ）开口向下，且以B 为顶点的抛物线；（C ）以点C 为圆心的半径为1的圆．其中是变换1T 的不动图形的是；(2)变换2T ：先关于直线1y kx =+对称，再关于y 轴对称．请判断点B 、点C 中哪个点经过变换2T 后可能得到点A ，并求出此时k 的值；(3)变换3T ：先绕点O 顺时针旋转90︒，再绕点C 逆时针旋转60︒．①以C 为圆心作半径为r 的圆，若C 上存在点M ，它经过变换3T 后的对应点恰好在轴上，直接写出r 的取值范围；②变换3T 是否有不动点，若有，写出其不动点的坐标；若没有，说明理由．。

北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷九年级数学 2021.1一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．在抛物线245=--y x x 上的一个点的坐标为（ ） A ．()0,4-B ．()2,0C ．()1,0D ．()1,0-2．在半径为6cm 的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ） A ．πcmB ．2πcmC ．3πcmD ．6πcm3．将抛物线2=y x 向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A ．()235=++y xB ．()235=-+y x C ．()253=++y xD ．()253=-+y x4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品。

图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰。

如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形''''A B C D 是位似图形，点O 是位似中心，点'A 是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是（ ）图1图2A ．四边形ABCD 与四边形''''ABCD 的相似比为1:1 B ．四边形ABCD 与四边形''''A B C D 的相似比为1:2C ．四边形ABCD 与四边形''''A B C D 的相似比为3:1 D ．四边形ABCD 与四边形''''A B C D 的相似比为4:15．如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32∠=︒CDB ，则∠ABC 等于（ ）A ．68°B ．64°C ．58°D ．32°6．若抛物线2=++ax y bx c （0≠a ）经过()1,0A ，()3,0B 两点，则抛物线的对称轴为（ ） A ．1=xB ．2=xC ．3=xD ．4=x7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业。

2020-2021学年北京市西城区九年级上月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分）1．如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（）A．三角形B．菱形C．矩形D．正方形2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．若关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的取值为（）A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m≠﹣15．⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）̂=BD̂D．∠BCA＝∠DCA A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB6．已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．7．小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（）①小亮测试成绩的平均数比小明的高②小亮测试成绩比小明的稳定③小亮测试成绩的中位数比小明的高④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A．①③B．①④C．②③D．②④8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）。

2021-2022学年北京市某校九年级（上）段测数学试卷（10月份）一、选择题（本题共30分，每小题3分，第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1. 下列图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 一元二次方程8x2−3x−5=0的二次项系数、一次项系数、常数项；分别是（）A.8，−3，−5B.8，3，5C.8，3，−5D.8，−3，53. 下列函数中是二次函数的是（）A.y=3x−1B.y=x3−2x−3C.y=(x+1)2−x2D.y=3x2−14. 抛物线y＝(x−1)2+2的顶点坐标为（）A.(−1, 2)B.(1, 2)C.(1, −2)D.(2, 1)5. 将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A.y＝2x2+3B.y＝2x2−3C.y＝2(x+3)2D.y＝2(x−3)26. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△A′B′C连接AA′，若∠1＝25∘，则∠BAC的度数是（）A.10∘B.20∘C.30∘D.40∘=0有实数根，则实数k的取值范围是（）7. 若关于x的方程kx2−2x+14A.k<4B.k<4且k≠0C.k≤4D.k≤4且k≠08. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90∘得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A.(0, 0)B.(1, 0)C.(1, −1)D.(2.5, 0.5)9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A(2, 0)，B(0, −2)，C(−2, 4)，D(4, −2)，E(7, 0)，将二次函数y＝a(x−2)2+m(m≠0)的图象记为W．下列判断中：①A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是（）A.①②③B.①②C.①③D.②③10. 如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x(s)，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为( )A. B.C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）在平面直角坐标系xOy中，将点(−2, 3)绕原点O旋转180∘，所得到的对应点的坐标为________．若二次函数y＝(x−1)2+3的图象上有两点A(0, a)，B(5, b)，则a<b．（填“>”，“＝”或“<”）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店的销售额平均每月的增长率是________．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2−4x−5＝0的一个根，若mn2−4n+m＝6，则m的值为________．关于x的一元二次方程mx2−(m+1)x+1＝0有两个不相等的整数根，m为整数，那么m的值是________．已知二次函数y＝x2−mx+m−1的图象与x轴只有一个公共交点．（1）求m＝________；（2）当0≤x≤3时，y的取值范围为________．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0∘<θ<90∘)，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________．（1）EF=√2OE；（2）S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4；（3）BE+BF=√2OA；．（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=34函数y＝x2−2x−3(0≤x≤4)的图象如图，直线l // x轴且过点(0, m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象，若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是________．三、解答题（本题空54分，第19-25题，每小题5分，第26-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明演算步骤或证明过程计算：（）−1+|−2|+(3−）0+(−2)2．解一元二次方程：x2+2x−1＝0．对于抛物线y＝−x2+2x+3．（1）抛物线与x轴的交点坐标是________，顶点坐标是________；（2）在坐标系中画出此抛物线；（3）结合图象回答，若y>0，则x的取值范围是________．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1, 0)，B(3, 2)．(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集．（直接写出答案）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x<24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：(1)求y与x的函数关系式；(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．探究函数y＝x|x−2|的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数y＝x|x−2|的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是x与y的几组对应值．请直接写出：m＝________，n＝________；（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x−2|＝a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1<x2<x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A(0, −4)和B(−2, 2)．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当−2<x<0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C(m, 5)，将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．已知：在△ABC中，∠BAC＝90∘，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60∘得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60∘得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)，以y轴上的点M(0, m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（1）已知抛物线y＝−x2+bx−3经过点(−1, 0)，则b＝________，顶点坐标为________．该抛物线关于点(0, 1)成中心对称的抛物线的表达式是________．（2）已知抛物线y＝−x2−2x+5关于点(0, m)的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．（3）已知抛物线y＝ax2+2ax−b(a≠0)．①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2−2bx+a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点(0, k+12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0, k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2……；关于点(0, k+n2)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n，…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．参考答案与试题解析2021-2022学年北京市某校九年级（上）段测数学试卷（10月份）一、选择题（本题共30分，每小题3分，第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.【答案】D【考点】中心对称图形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】一元二次方程的一般形式【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行解答．【解答】解：方程8x2−3x−5=0的二次项系数是8、一次项系数是−3、常数项−5，故选：A．3.【答案】D【考点】二次函数的定义【解析】形如y=ax2+bx+c(a≠0)的关系式称为二次函数，根据此定义即可判断．【解答】解：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0）(A)最高次数项为1次，故A错误；(B)最高次数项为3次，故B错误；(C)y=x2+2x+1−x2=2x−1，故C错误；故选(D)4.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．【解答】∵抛物线的解析式为：y＝(x−1)2+2，∴其顶点坐标为(1, 2)．5.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】旋转的性质直角三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】根的判别式一元二次方程的定义【解析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】=4−k≥0，当k≠0时，△＝4−4k×14∴k≤4，当k＝0时，也符合题意，∴k≤4，8.【答案】C【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90∘得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P(1, −1)，∴旋转中心的坐标为(1, −1)．故选C．9.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】动点问题的解决方法【解析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=AP2+AC2−PC22PA∗AC，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3<x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=(6−x)2=(x−6)2(3<x≤6)，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60∘，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm(0≤x≤3)；根据余弦定理知cosA=AP 2+AC2−PC22PA⋅AC，即12=x2+9−y6x，解得，y=x2−3x+9(0≤x≤3)；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，√3cm，则AD=1.5cm，CD=32点P在AB上时，AP=x cm，PD=|1.5−x|cm，√3)2+(1.5−x)2=x2−3x+9(0≤x≤3)∴y=PC2=(32该函数图象是开口向上的抛物线；②当3<x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=(6−x)cm(3<x≤6)；则y=(6−x)2=(x−6)2(3<x≤6)，∴该函数的图象是在3<x≤6上的抛物线；故选C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）【答案】(2, −3)【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解．【解答】点(−2, 3)绕原点O旋转180∘，所得到的对应点的坐标为(2, −3)．【答案】<【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B距离对称轴的远近即可判断出y1与y2的大小关系．【解答】∵二次函数数y＝(x−1)2+3的对称轴是x＝1，开口向上，∵点A(0, a)距离对称轴较近，B(5, b)距离对称轴较远，∴a<b．【答案】50%【考点】一元二次方程的应用【解析】设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2(1+x)2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．【解答】设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2(1+x)万元，三月份销售额为2(1+x)2万元，由题意可得：2(1+x)2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5（不合题意舍去），答：该店销售额平均每月的增长率为50%；【答案】1【考点】一元二次方程的解一元二次方程的定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】−1【考点】一元二次方程的整数根与有理根【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】20≤x≤4【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】（1）（2）（3）．【考点】四边形综合题【解析】（1）由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≅△COF(ASA)，则可证得结论；S正方形ABCD，则可证得结论；（2）由（1）易证得S四边形OEBF=S△BOC=14（3）由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+ BF=√2OA；（4）首先设AE=x，则BE=CF=1−x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45∘，∠BOC=90∘，∴∠BOF+∠COF=90∘，∵∠EOF=90∘，∴∠BOF+∠COE=90∘，∴∠BOE=∠COF，在△BOE和△COF中，{∠BOE=∠COFOB=OC∠OBE=∠OCF，∴△BOE≅△COF(ASA)，∴OE=OF，BE=CF，∴EF=√2OE；故正确；（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=14S正方形ABCD，∴S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=√2OA；故正确；（4）过点O作OH⊥BC，∵BC=1，∴OH=12BC=12，设AE=x，则BE=CF=1−x，BF=x，∴S△BEF+S△COF=12BE⋅BF+12CF⋅OH=12x(1−x)+12(1−x)×12=−12(x−14)2+932，∵a=−12<0，∴当x=14时，S△BEF+S△COF最大；即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=14；故错误；【答案】0≤m≤1二次函数图象与几何变换二次函数的最值二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题空54分，第19-25题，每小题5分，第26-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明演算步骤或证明过程【答案】（）−5+|−2|+(4−）0+(−2)2＝2+6−+1+4＝9−．【考点】负整数指数幂零指数幂实数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】方程变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即(x+1)2＝2，开方得：x+1＝±√2，解得：x1＝−1+√2，x2＝−1−√2．【考点】解一元二次方程-配方法【解析】方程利用配方法求出解即可．【解答】方程变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即(x+1)2＝2，开方得：x+1＝±√2，解得：x1＝−1+√2，x2＝−1−√2．【答案】(−1, 0)，(3, 0),(1, 4)当x＝8时，y＝−x2+2x+4＝3，则抛物线与y轴的交点为(0，∴抛物线经过点(4, 3)，−1<x<3【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：(1)把点A(1, 0)，B(3, 2)分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，{0=1+b+c2=9+3b+c，∴m=−1，b=−3，c=2，所以y=x−1，y=x2−3x+2；(2)x2−3x+2>x−1，解得：x<1或x>3．【考点】二次函数与不等式（组）待定系数法求二次函数解析式【解析】（1）分别把点A(1, 0)，B(3, 2)代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c，利用待定系数法解得y=x−1，y=x2−3x+2；（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x2−3x+2>x−1的图象上x的范围是x<1或x>3．【解答】解：(1)把点A(1, 0)，B(3, 2)分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，{0=1+b+c2=9+3b+c，∴m=−1，b=−3，c=2，所以y=x−1，y=x2−3x+2；(2)x2−3x+2>x−1，解得：x<1或x>3．【答案】解：(1)∵y与x满足一次函数的关系，∴设y=kx+b，将x =12，y =1200；x =13，y =1100代入得：{1200=12k +b ，1100=13k +b ，解得：{k =−100，b =2400，∴ y 与x 的函数关系式为：y =−100x +2400. (2)设线上和线下月利润总和为m 元， 则m =400(x −2−10)+y(x −10)=400x −4800+(−100x +2400)(x −10) =−100(x −19)2+7300，∴ 当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元． 【考点】待定系数法求一次函数解析式 由实际问题抽象出一元一次方程 二次函数的最值 【解析】（1）由待定系数法求出y 与x 的函数关系式即可；（2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400(x −2−10)+y(x −10)＝400x −4800+(−100x +2400)(x −10)＝−100(x −19)2+7300，由二次函数的性质即可得出答案． 【解答】解：(1)∵ y 与x 满足一次函数的关系， ∴ 设y =kx +b ，将x =12，y =1200；x =13，y =1100代入得：{1200=12k +b ，1100=13k +b ，解得：{k =−100，b =2400，∴ y 与x 的函数关系式为：y =−100x +2400. (2)设线上和线下月利润总和为m 元， 则m =400(x −2−10)+y(x −10)=400x −4800+(−100x +2400)(x −10) =−100(x −19)2+7300，∴ 当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元． 【答案】 1,0由图形可知，x1+x2+x3的取值范围是4<x1+x2+x3<3+√2．【考点】一次函数图象上点的坐标特点一次函数的图象一次函数的性质【解析】（1）把x＝1和x＝2代入y＝x|x−2|，即可求出m、n的值；（2）画出该函数的图象即可；（3）根据画出函数y＝x|x−2|的图象，即可求出y＝x|x−2|的图象．【解答】把x＝1代入y＝x|x−2|，得m＝1×1＝1．把x＝2代入y＝x|x−2|，得n＝2×0＝0．故答案为m＝1，n＝0；由图形可知，x1+x2+x3的取值范围是4<x1+x2+x3<3+√2．【答案】把点A(0, −4)和B(−2, 2)分别代入y＝ax2+bx+c中，得c＝−4，4a−2b+c＝2．∴b＝2a−3；当a<0时，依题意抛物线的对称轴需满足−2a−32a≤−2，解得−32≤a<0．当a>0时，依题意抛物线的对称轴需满足−2a−32a≥0，解得0<a≤32．∴a的取值范围是−32≤a<0或0<a≤32；设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则{n=−42=−2m+n ，解得：{m=−3n=−4，故直线AB表达式为y＝−3x−4，把C(m, 5)代入得m＝−3．∴C(−3, 5)，由平移得D(1, 5)．①当a>0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+(2a−3)−4，当x＝1时，y＝3a−7，则抛物线上的点(1, 3a−7)在D点的下方，∴a+2a−3−4<5．解得a<4．∴0<a<4；②当a<0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∴4ac−b 24a =5．即4a×(−4)−(2a−3)24a=5．解得a=−3+32√3（舍去）或a=−3−32√3．综上，a的取值范围是0<a<4或a=−3−32√3．【考点】二次函数综合题【解析】（1）把点A(0, −4)和B(−2, 2)分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）当a<0时，依题意抛物线的对称轴需满足−2a−32a≤−2；当a>0时，依题意抛物线的对称轴需满足−2a−32a≥0，即可求解；（3）①当a>0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点(1, 3a−7)在D点的下方，即可求解；②当a<0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【解答】把点A(0, −4)和B(−2, 2)分别代入y＝ax2+bx+c中，得c＝−4，4a−2b+c＝2．∴b＝2a−3；当a<0时，依题意抛物线的对称轴需满足−2a−32a≤−2，解得−32≤a<0．当a>0时，依题意抛物线的对称轴需满足−2a−32a≥0，解得0<a≤32．∴a的取值范围是−32≤a<0或0<a≤32；设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则{n=−42=−2m+n ，解得：{m=−3n=−4，故直线AB表达式为y＝−3x−4，把C(m, 5)代入得m＝−3．∴C(−3, 5)，由平移得D(1, 5)．①当a>0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+(2a−3)−4，当x＝1时，y＝3a−7，则抛物线上的点(1, 3a−7)在D点的下方，∴a+2a−3−4<5．解得a<4．∴0<a<4；②当a<0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∴4ac−b 24a =5．即4a×(−4)−(2a−3)24a=5．解得a=−3+32√3（舍去）或a=−3−32√3．综上，a的取值范围是0<a<4或a=−3−32√3．【答案】①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60∘得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60∘∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150∘，且AB＝AC＝AD ∴∠3＝∠5＝15∘∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠1＝∠2＝45∘，∠ABC＝∠ACB＝45∘又∵AE＝AE，∴△ABE≅△ACE(SAS)∴∠3＝∠4＝15∘∴∠6＝∠7＝30∘∴∠DEC＝∠6+∠7＝60∘∵∠AED＝∠3+∠1＝60∘∴∠AED＝∠CED②BD＝2CE+AE理由如下：过点A作AH⊥BD于点H，∵∠EBC＝∠ECB∴BE＝CE，∵∠AED＝60∘，AH⊥BD∴AE＝2EH∵AB＝AD，AH⊥BD∴BD＝2BH＝2(BE+EH)＝2BE+AE＝2EC+AE补全图形如图，2CE−AE＝BD理由如下：如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60∘，AF交DB延长线于点F．∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝45∘，∠ABC＝∠ACB＝45∘．∵将线段AC绕点A逆时针旋转60∘得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60∘∴∠DAE＝∠DAC−∠CAE＝15∘，AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30∘∴∠ABD＝∠ADB＝75∘∴∠AED＝∠ADB−∠DAE＝60∘∵∠EAF＝60∘又∵∠EAF＝60∘，∴∠F＝60∘∴△AEF是等边三角形．∴AE＝AF＝EF．∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45∘，AE＝AF，∴△CAE≅△DAF(SAS)．∴CE＝DF．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45∘，AE＝AE，∴△BAE≅△CAE(SAS)．∴BE＝CE．∴BE＝CE．∵DF+BE−EF＝BD，∴2CE−AE＝BD【考点】几何变换综合题【解析】（1）①由旋转的性质可得AC＝AD，∠DAC＝60∘，由“SAS”可证△ABE≅△ACE，可得∠3＝∠4＝15∘，由三角形外角的性质可得结论；②过点A作AH⊥BD于点H，由等腰三角形的性质和直角三角形性质可得BD＝2BH＝2(BE+EH)＝2BE+AE＝2EC+AE；（2）以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60∘，AF交DB延长线于点F，通过证明△CAE≅△DAF和△BAE≅△CAE，可得CE＝DF，BE＝CE，即可得2CE−AE＝BD．【解答】①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60∘得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60∘∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150∘，且AB＝AC＝AD ∴∠3＝∠5＝15∘∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠1＝∠2＝45∘，∠ABC＝∠ACB＝45∘又∵AE＝AE，∴△ABE≅△ACE(SAS)∴∠3＝∠4＝15∘∴∠6＝∠7＝30∘∴∠DEC＝∠6+∠7＝60∘∵∠AED＝∠3+∠1＝60∘∴∠AED＝∠CED②BD＝2CE+AE理由如下：过点A作AH⊥BD于点H，∵∠EBC＝∠ECB∴BE＝CE，∵∠AED＝60∘，AH⊥BD∴AE＝2EH∵AB＝AD，AH⊥BD∴BD＝2BH＝2(BE+EH)＝2BE+AE＝2EC+AE补全图形如图，2CE−AE＝BD理由如下：如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60∘，AF交DB延长线于点F．∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝45∘，∠ABC＝∠ACB＝45∘．∵将线段AC绕点A逆时针旋转60∘得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60∘∴∠DAE＝∠DAC−∠CAE＝15∘，AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30∘∴∠ABD＝∠ADB＝75∘∴∠AED＝∠ADB−∠DAE＝60∘∵∠EAF＝60∘又∵∠EAF＝60∘，∴∠F＝60∘∴△AEF是等边三角形．∴AE＝AF＝EF．∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45∘，AE＝AF，∴△CAE≅△DAF(SAS)．∴CE＝DF．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45∘，AE＝AE，∴△BAE≅△CAE(SAS)．∴BE＝CE．∴BE＝CE．∵DF+BE−EF＝BD，∴2CE−AE＝BD【答案】−4,(−2, 1),y＝x2−4x+5∵抛物线y＝−x7−2x+5＝−(x+2)2+6①，∴抛物线的顶点坐标为(−2, 6)，设衍生抛物线为y′＝a(x−1)6+2m−6，∵抛物线y＝−x4−2x+5关于点(5, m)的衍生抛物线为y′，∴a＝1，∴衍生抛物线为y′＝(x−1)7+2m−6＝x5−2x+2m−4②，联立①②得，x2−2x+3m−5＝−x2−4x+5，整理得，2x5＝10−2m，∵这两条抛物线有交点，∴10−2m≥7，∴m≤5；①抛物线y＝ax2+8ax−b＝a(x+1)2−a−b，∴此抛物线的顶点坐标为(−2, −a−b)，∵抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2−2bx+a5＝b(x−1)2+a8−b，∴a+b＝0，③∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴b+2b+a8＝−a−b④，联立③④，∴a＝0（舍）或a＝3，∴b＝−7，∴抛物线y的顶点坐标为(−1, 0)，12)，∴衍生中心的坐标为(6, 6)；②抛物线y＝ax2+7ax−b的顶点坐标为(−1, −a−b)，∵点(−1, −a−b)关于点(52)的对称点为(1, a+b+5k+2n2)，∴抛物线y n的顶点坐标A n为(2, a+b+2k+2n4)，同理：A n+1(1, a+b+2k+2(n+1)3)∴A n A n+1＝a+b+2k+5(n+1)2−(a+b+5k+2n2)＝7n+2．【考点】二次函数图象与几何变换二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系点的坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

北京市西城区三帆中学2020-2021学年九年级上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线()2413y x =--的顶点坐标是( )A ．()1,3-B ．()1,3-C ．()1,3--D ．()1,3 2．点(2,1)P -关于原点对称点的坐标是（ ）A ．(2,1)-B ．(2,1)--C ．(1,2)-D ．(1,2)- 3．如图，将Rt ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到Rt ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上.若AC B 60∠==︒，则CD 的长为（ ）A ．0.5B ．1.5CD ．14．某果园2021年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ）A ．144（1﹣x ）2=100B ．100（1﹣x ）2=144C ．144（1+x ）2=100D ．100（1+x ）2=144 5．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．26．在同一坐标系中表示2y ax =和()0y ax b ab =+>的图象的是( )A ．B ．C ．D ．7．如图是几种常见的汽车轮毂图案，图案围绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，开口向下的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的一部分图象如图所示，它与x 轴交于A(1，0)，与y 轴交于点B(0，3)，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜0B ．－3＜a ＜0C ．32a <-D ．9322a -<<-二、填空题 9．请写出一个同时满足下列条件的抛物线的表达式____．①升口向下；②当3x <时，y 随x 的增大而增大10．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．11．抛物线22y x =-先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线的解析式是____．12．在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________．．13．已知二次函数214m y x x =-+-的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是___________． 14．如图，在平面直角坐标系O x y 中，△AOB 可以看作是△OCD 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD 得到△AOB 的过程：__________．15．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当暂价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调在反映：销售单价每降1元则每月可多销售5条，若设每条裤子降价x 元(x 为正整数)．网店每月获得的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为____． 16．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，；④=3m -．其中，正确的有___________________．三、解答题17．选择适当方法解下列方程：（1）()23115x +=（2）23420x x --=18．数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，己知,90ABC C ︒∆∠=.求作：过,,A B C 三点的圆．小芸是这样思考的：圆心确定一个圈的位置，半径确定一个圆的大小要作同时经过几个定点的圆，就是要先找到一个点，使得这个点到这几个定点的距离都相等．这样既定了圆心，又定了半径，就能画出满足条件的圆了．小智听了小芸的分析后，按照这个思路很快就画出了一个过,,A B C 三点的圆．请你在答题纸上而出这个圆，并写出作图的主要依据，19．己知二次函数223y x x =--．（1）将223y x x =--化成()2y a x h k =-+的形式为________； （2）此函数与x 轴的交点坐标为________；（3）在平面直角坐标系xOy 中画出这个二次函数的图象(不用列表)；（4）直接写出当23x -<<时，y 的取值范围．20．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8m 时，水面宽AB 为12m .当水面上升6m 时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少m ？下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1.以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，此时点B 的坐标为_______，抛物线的项点坐标为_______，可求这条抛物线所表示的二次函数解析式为_______．当6y =时，求出此时自变量x 的取值，即可解决这个问题． 方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y 轴．建立平面直角坐标系xOy ，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为_______，当水面达到警戒水位，即y =_______时，求出此时自变量x 的取值为_______，从而得水面宽为m ．21．可以用如下方法估计方程22100x x +-=的解．当2x =时，221020x x +-=-<，当3x =时，221050x x +-=>．所以方程有一个根在2和3之间．（1）参考上面的方法，找到方程22100x x +-=的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程220x x c +-=在01x <<的范围内有一个解，求c 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+4x+c （a≠0）经过点A （3，﹣4）和B （0，2）．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线x=3翻折，得到图象N ．若过点C （9，4）的直线y=kx+b 与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．23．如图1，在等边△ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）．（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）；②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系．24．给出如下规定：两个图形1G 和2G ，点P 为1G 上任一点，点Q 为2G 上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形1G 和2G 之间的距离． 在平面直角坐标系xOy 中，0为坐标原点．（1）点A 的坐标为1,0A ，则点()2,3B 和射线OA 之间的距离为______，点(3,4)C -和射线OA 之间的距离为 ．（2）如果直线y x =和双曲线k y x=之间的距离为2，那么k =____；(可在图1中进行研究)（3）点E 的坐标为()1,1，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转90︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线,OE OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．①请在图2中画出图形M ，井描述图形M 的组成部分：(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)②将射线,OE OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22y x =-与图形M 的公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．参考答案1．A【分析】根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．【详解】抛物线()2413y x =--的顶点坐标是(1，-3)故选：A【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．2．A【解析】【分析】根据原点对称的点的坐标特点，横坐标、纵坐标都互为相反数，求出对称点的坐标【详解】由直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标、纵坐标都互为相反数可得点(2,1)P -关于坐标原点的对称点的坐标为(2,1)-，故答案为A【点睛】本题了考查了关于原点对称的坐标的性质以及求解，掌握原点对称的坐标特点是解题的关键 3．D【解析】【分析】利用∠B 的正弦值和正切值可求出BC 、AB 的长，根据旋转的性质可得AD=AB ，可证明△ADB为等边三角形，即可求出BD 的长，根据CD=BC-BD 即可得答案.【详解】∵B=60°，∴sinB=AC BC =，tan60°=AC AB =，∴BC=2，AB=1，∵Rt ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到Rt ADE ，∴AB=AD ，∵∠B=60°，∴△ADB 是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC-BD=2-1=1.故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD 是等边三角形是解题的关键．4．D【解析】试题分析：2021年的产量=2021年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2021年的产量为100（1+x ），2021年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2，即所列的方程为100（1+x ）2=144，故选D ．点评：考查列一元二次方程；得到2021年产量的等量关系是解决本题的关键． 5．D【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．【详解】解：()212y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点， ∴解析式为()21y x =+，∴a=2.故选D ．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．6．D【分析】根据ab＞0，即a、b同号，分两类讨论，结合系数与一次函数、二次函数图象的位置关系，逐一排除．【详解】因为ab＞0，即a、b同号，当a＞0，b＞0时，函数y=ax2的图象开口向上，函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，可排除B；当a＜0，b＜0时，函数y=ax2的图象开口向下，函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限．可排除A、C．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限以及二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是关键．7．B【分析】根据各选项图形以及旋转的概念即可逐一判断．【详解】解：A、此图形旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合；B、此图形旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合；C、此图形旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合；D、此图形旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合；故答案为：B．【点睛】本题考查了旋转的概念，解题的关键是熟知旋转的概念．8．B【解析】【分析】根据图象得出a<0,b<0,由抛物线与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B (0,3),得出a+b=-3,得出-3<a<0即可.【详解】根据图象得:a<0,b<0,∵抛物线与x 轴交于A(1,0),与y 轴交于点B (0,3),03a b c c ++=⎧⎨=⎩, ∴a+b=-3,∵b<0,∴-3<a<0,故选B.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是正确获取图象的信息.9．()231y x =--+【分析】开口向下，则a ＜0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，据此解答即可．【详解】∵开口向下，则a ＜0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，又当3x <时，y 随x 的增大而增大 ∴对称轴32b a-≥ 故抛物线的表达式可以为：()231y x =--+（答案不唯一）故答案为：()231y x =--+【点睛】本题考查的是求抛物线的表达式，解答本题的关键是要由所给定的条件，确定a 的正负及对称轴的位置，取一个比较简单的a 值，即可得抛物线的解析式．10．（2-，0）【解析】∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点， ∴点P 和点Q 关于直线1x =对称，又∵点P 的坐标为（4，0），∴点Q 的坐标为（-2，0）.故答案为（-2，0）.11．y=-2（x-3）2-5【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【详解】抛物线y=-2x 2向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为y=-2（x-3）2-5．故答案为：y=-2（x-3）2-5．【点睛】本题主要考查的是二次函数的平移，掌握抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．12．90°【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB ′是旋转角，从图形中可求出其度数即可．【详解】根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB ′是旋转角，且∠BOB ′＝90°，故答案为90°．【点睛】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．13．5m ≤【分析】根据已知抛物线与x 轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】 ∵二次函数214m y x x =-+-的图象与x 轴有交点， ∴()21141104m ⎛⎫∆=--⨯⨯- ⎪⎝⎭≥，解得：m≤5，m≤.故答案为：5【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于掌握一元二次方程根的判别式.14．将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB（答案不唯一）【解析】解：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．故答案为答案不唯一，如：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．15．y=-5x2+100x+4000【分析】根据销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出每月的销售量，根据总利润=每条休闲裤的利润×销售量即可解答．【详解】根据题意，得：y=（80-x-40）（100+5x）=-5x2+100x+4000故答案为：y=-5x2+100x+4000【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，能正确的表示出销售量并掌握总利润=每条休闲裤的利润×销售量是解题的关键．16．①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x 的方程ax 2+bx+c ＝﹣2的解为x 1＝1，x 2＝3，结论正确；④m ＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.17．（1）11x =-，21x =-（2）1x =2x = 【分析】（1）运用直接开平方法解方程即可；（2）运用公式法解方程即可．【详解】（1）()23115x += ()215x +=1x +=11x =-，21x =-（2）这里a=3，b=-4，c=-2241624400b ac -=+=>∴4263x ±==∴1x =，2x =【点睛】本题考查的是解一元二次方程，选择合适的方法解方程是关键．18．见解析【分析】作线段AB 的垂直平分线，交AB 于O 点，则O 点为线段AB 的中点，因为△ABC 是直角三角形，∠C=90°，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以以斜边的中点为圆心，斜边的一半为半径作圆即可．【详解】如图：作线段AB的垂直平分线EF，交AB于O点，则O点为线段AB的中点，以O为圆心，OA的长为半径作圆，圆O就是所求的圆．依据：∵EF垂直平分AB∴O为AB的中点∵∠C=90°，∴OC=12AB=OA=OB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）即O点到A、B、C的距离相等∴以O为圆心，以OA的长为半径作圆，圆O过A、B、C三点．【点睛】本题考查的是确定圆的条件，如何确定一个点，使它到三角形的三个顶点的距离相等是关键．19．（1）()214y x=--；（2）(-1，0)，(3，0)；（3）见解析；（4）-4＜y＜5【分析】（1）直接配方即可化为顶点式；（2）把y=0代入，解方程即可；（3）通过列表、描点、连线，作图即可；（4）根据函数的图象求解即可．【详解】（1）()222314y x x x =--=--故答案为：()214y x =--（2）当y=0时，2230x x --=解得：121,3x x =-=∴与x 轴的交点坐标为：(-1，0)，(3，0)故答案为：(-1，0)，(3，0)（3）列表：描点、连线．（4）根据图象可得：当x=-2时，y=5；顶点坐标为（1，-4）即函数的最小值为-4，∴当23x -<<时，-4＜y ＜5【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的图象与性质及用描点法画二次函数的图象，利用数形结合是解此题的关键．20．（12，0）；（6，8）；()22689y x =--+；y=29-x 2；-2；±3． 【分析】 方法一：根据顶点坐标为（6，8），设其解析式为y=a （x-6）2+8，将（0，0）代入求出a 的值即可得；方法二：设抛物线解析式为y=ax 2，将点（6，-8）代入求得a 的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨6m 后，即y=-2时x 的值即可．【详解】方法一：根据题意可得：B 点的坐标为（12，0），顶点坐标为（6，8），设二次函数的解析式为y=a （x-6）2+8，把A(0，0)代入得，3680a += ，a=29-， ∴二次函数的解析式为()22689y x =--+； 方法二：设二次函数的解析式为y=ax 2，把B （6，-8）代入得，a=29-， ∴二次函数的解析式为y=29-x 2； y=-2时，求出此时自变量x 的取值为±3，故答案为：（12，0）；（6，8）；()22689y x =--+；y=29-x 2；-2；±3． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．21．（1）在-4和-5之间；（2）03c <<【分析】（1）分别计算出x=-4和x=-5时x 2+2x-10的值即可得出答案；（2）根据方程在01x <<的范围内有一个解可得0120c c ->⎧⎨+-<⎩或0120c c -<⎧⎨+->⎩，解之即可求解．【详解】（1）∵当x=-4时，221020x x +-=-<当x=-5时，221050x x +-=>所以方程有一个根在-4和-5之间．（2）∵方程220x x c +-=在01x <<的范围内有一个解∴当x=0时，220x x c +->；x=1时，220x x c +-<或当x=0时，220x x c +-<；x=1时，220x x c +->即可得：0120c c ->⎧⎨+-<⎩或0120c c -<⎧⎨+->⎩， 解得：03c <<【点睛】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法．22．（1）y=﹣2x 2+4x+2，顶点坐标为（1，4）；（2）﹣8＜b ＜﹣2或b=4．【解析】【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入抛物线解析式，列出关于a 、c 的方程组，通过解该方程可以求得它们的值．由函数解析式求得顶点坐标；（2）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．【详解】（1）∵抛物线y=ax 2+4x+c （a≠0）经过点A （3，﹣4）和B （0，2），可得：91242a c c ++-⎧⎨⎩＝＝ 解得：22a c -⎧⎨⎩＝＝ ∴抛物线的表达式为y=﹣2x 2+4x+2．∵y=﹣2x 2+4x+2=﹣2（x ﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；（2）设点B （0，2）关于x=3的对称点为B’，则点B’（6，2）．若直线y=kx+b 经过点C （9，4）和B'（6，2），可得b=﹣2．若直线y=kx+b经过点C（9，4）和A（3，﹣4），可得b=﹣8．直线y=kx+b平行x轴时，b=4．综上，﹣8＜b＜﹣2或b=4．【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化．23．（1）图形见解析；∠BQE=60°+2α；（2）；证明见解析；（3）CQ．【分析】（1）①先根据等边三角形的性质的QA=QB，进而得出QB=QE，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；②延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．先判断出△QAF≌△QEC，得出QF=QC，再判断出△QCF是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可得出结论；（2）同②的方法即可得出结论．【详解】（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图1所示，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD为等边三角形的中线，∴CD是AB的垂直平分线，∵Q为线段CD上的点，∴QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，∴QE=QA．∴QB=QE．∴∠QEB=∠QBE=60°-α，∴∠BQE=180°-2∠QBE=180°-2（60°-α）=60°+2α；②；证明：如图2，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．∵∠BQE=60°+2α，点E在BC上，∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=（60°+2α）+（ 60°-α）=120°+α．∵点F在CA的延长线上，∠DAQ=α，∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．∴∠QAF=∠QEC．又∵AF=CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上，∴∠ACQ=12∠ACB=30°，即△QCF为底角为30°的等腰三角形．∴CH＝CQ•cos∠HCQ＝CQ•cos30°．∴CE+AC=AF+AC=CF=2CH．（2）如图3，当30°＜α＜60°时，在AC上取一点F使AF=CE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD为等边三角形的中线，∵Q为线段CD上的点，∴CD是AB的垂直平分线，由等边三角形的对称性得QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，∴QE=QA．∴QB=QE．∴∠QEB=∠QBE=60°-α=∠QAF，又∵AF=CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上，∴∠ACQ=12∠ACB=30°，即△QCF为底角为30°的等腰三角形．∴CH＝CQ•cos∠HCQ＝CQ•cos30°．∴AC-CE=AC-AF=CF=2CH．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．24．（1）3，5；（2）-2；（3）①图形见解析；图形M为y轴的正半轴、∠GOH的边及其内【分析】（1）只需根据新定义即可解决问题；（2）过点O作直线y=x的垂线，与双曲线kyx=交于点A、B，过点B作BH⊥x轴，如图1，根据新定义可得直线y=x和双曲线kyx=之间的距离就是线段OB的长，如何只需求出点B的坐标，运用待定系数法就可求出k的值；（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，如图2，根据新定义可得图形M为y 轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点；②设抛物线y=x2-2与射线OG的交点为Q，如图3，图形N上点的坐标可设为（x，x2-2），根据新定义可得图形W与图形N可通过求出点Q的坐标得到x2的范围，然后利用二次函数的增减性求出x2+（x2-2）2=（x2-32）2+74的最小值，就可解决问题．【详解】（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（-3，4）和射线OA5=，故答案分别为：3，5；（2）∵直线y=x和双曲线kyx=之间的距离为2，∴k＜0（否则直线y=x和双曲线kyx=相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x的垂线，与双曲线kyx=交于点A、B，过点B作BH⊥x轴，如图1，在Rt△OHB中，∠HOB=∠HBO=45°，OB=2，则有，∴点B的坐标为，），⨯=-，∴(2故答案为：-2；（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，如图2，则图形M为：y轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点（图2中的阴影部分）；②图形W与图形N之间的距离为43．理由：设抛物线y=x2-2与射线OH的交点为P，与射线OG的交点为Q，如图3，图形N为抛物线上P、Q之间（含P、Q）的部分，故图形N上点的坐标可设为（x，x2-2），则图形W 与图形N ∵E 点的坐标为(1，1) ∴直线OE 的解析式为：y=x ，故直线OG 的解析式为：y=-x联立方程组22y x y x =-⎧⎨=-⎩解得：11x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩ 故点Q 的坐标为(1，-1)，从而有0≤x 2≤1，由此可得x 2+（x 2-2）2=（x 2-32）2+74的最小值为（1-32）2+74=2，则图形W 与图形N ．【点睛】本题属于新定义型，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、抛物线的增减性、勾股定理、求直线与抛物线的交点等知识，解决本题的关键是对新定义的理解．。

2020-2021学年北京市西城区三帆中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（）A．三角形B．菱形C．矩形D．正方形2．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．（3分）若关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的取值为（）A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m≠﹣15．（3分）⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝D．∠BCA＝∠DCA 6．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．7．（3分）小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（）①小亮测试成绩的平均数比小明的高②小亮测试成绩比小明的稳定③小亮测试成绩的中位数比小明的高④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A．①③B．①④C．②③D．②④8．（3分）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空题（共8小题）.9．（2分）方程x2﹣2x＝0的根是．10．（2分）已知菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积是．11．（2分）请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y＝．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．13．（2分）关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a＞0）的图象与x轴的公共点有个．14．（2分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．15．（2分）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为．16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．解下列一元二次方程：（1）3（1+x）2＝15；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．18．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m经过原点，求m的值．19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为；（2）此函数与x轴的交点坐标为；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（不用列表）（4）直接写出当﹣2＜x＜3时，y的取值范围．20．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连结AE，交OD于点F，连结CF，若CF＝CE＝1，求AC长．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．22．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：x (2)1012…y… 4.3 3.20﹣2.2﹣1.40 2.8 3.74 3.7 2.80﹣1.4﹣2.2m 3.2 4.3…其中m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4﹣5x2+4＝0有个互不相等的实数根；②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是．23．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足，y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．24．在等腰△ABC中，AB＝AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC＝2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．25．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y 轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1＜d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P（﹣3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为；（2）若点C在直线y＝﹣x﹣2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．参考答案一、选择（共8小题）.1．（3分）如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（）A．三角形B．菱形C．矩形D．正方形解：将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，那么剪下的纸片打开后的形状，是对角线互相垂直平分的四边形，故是菱形．故选：B．2．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故选：B．3．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y ＝（x+1）2+2．故选：B．4．（3分）若关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的取值为（）A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m≠﹣1解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝3是一元二次方程，∴，解得m＝1．故选：A．5．（3分）⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝D．∠BCA＝∠DCA 解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD．故选：B．6．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．7．（3分）小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（）①小亮测试成绩的平均数比小明的高②小亮测试成绩比小明的稳定③小亮测试成绩的中位数比小明的高④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A．①③B．①④C．②③D．②④解：①由折线统计图知小明的成绩有5次高于小亮的成绩，有1次和小亮相等，故小明的测试成绩的平均数比小亮的高，故①错误；②由折线统计图知小亮测试成绩波动小，故小亮测试成绩比小明的稳定，故②正确；③∵小亮测试成绩的中位数大约是69，小明测试成绩的中位数大约是90，故③错误；④∵小亮测试成绩比小明的稳定，小明的测试成绩比小亮高，∴小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．故④正确；故选：D．8．（3分）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径解：A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰也在点D，故本选项不符合题意；D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t＝＝4.84，故本选项正确；故选：D．二、填空（18题4分，其余每题2分）9．（2分）方程x2﹣2x＝0的根是x1＝0，x2＝2．解：因式分解得x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．故答案为x1＝0，x2＝2．10．（2分）已知菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积是2．解：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝2，∠B＝60°，∴AH＝AB•sin B＝2×＝，∴菱形ABCD的面积＝BC•AH＝2×＝2．故答案为2．11．（2分）请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y＝﹣x2+2x（答案不唯一）．解：∵开口向下，∴a＜0，∵抛物线过坐标原点，∴c＝0，∴答案不唯一，如y＝﹣x2+2x．故答案为：y＝﹣x2+2x（答案不唯一）．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：△ABC 绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF．解：△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF；故答案为：△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF13．（2分）关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a＞0）的图象与x轴的公共点有2个．解：△＝b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣1）＝4a，∵a＞0，∴△＝4a＞0，∴关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a＞0）的图象与x轴的公共点有2个，故答案为：2．14．（2分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．解：连接OA，∵C是AB的中点，∴AC＝AB＝2，OC⊥AB，∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，解得，OA＝，故答案为：．15．（2分）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为+1．解：如图，点M即为所求，连接AC、BC，由题意知，AB＝4、BC＝1，∵AB为圆的直径，∴∠ACB＝90°，则AM＝AC＝＝＝，∴点M表示的数为+1，故答案为：+1．16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④三、解答17．解下列一元二次方程：（1）3（1+x）2＝15；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．解：（1）3（1+x）2＝15，两边都除以3得，（1+x）2＝5，∴1+x＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）3x2﹣4x﹣2＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，△＝b2﹣4ac＝16+24＝40，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．18．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m经过原点，求m的值．解：（1）由题意有△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝1＞0．∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线过原点，则m2﹣m＝0，解得m＝0或1．19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）此函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（不用列表）（4）直接写出当﹣2＜x＜3时，y的取值范围．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，故答案为（﹣1，0）、（3，0）；（3）根据（1）、（2）的数据描点连线大致画出函数的图象如下：（4）从函数图象看，当﹣2＜x＜3时，当x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝1，函数的顶点坐标为（1，﹣4），故y的取值范围为﹣4＜y＜1．20．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连结AE，交OD于点F，连结CF，若CF＝CE＝1，求AC长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴OC＝DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）得：四边形OCED是矩形，∴OD∥CE，∠OCE＝90°，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF＝AF＝EF，∵CF＝CE＝1，∴CF＝1，∴AE＝2，∴AC＝＝＝．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．22．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：x…﹣2﹣012…1y… 4.3 3.20﹣2.2﹣1.40 2.8 3.74 3.7 2.80﹣1.4﹣2.2m 3.2 4.3…其中m＝0；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数图象关于y轴对称；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4﹣5x2+4＝0有4个互不相等的实数根；②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1＜y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是﹣2.2＜a＜4．解：（1）观察对应数值表可知：m＝0，（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：（3）观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），故答案为：函数图象关于y轴对称；（4）①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4﹣5x2+4＝0有4互不相等的实数根，故答案为4；②函数图象可知，当x2＞x1＞2时，y1＜y2；故答案为＜；③观察函数图象，结合对应数值表可知：﹣2.2＜a＜4，故答案为：﹣2.2＜a＜4．23．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝2；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足，y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．解：（1）对称轴x＝﹣＝2．故答案为2．（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．∴4a﹣8a+3a＝2．解得a＝﹣2，∴二次函数为y＝﹣2x2+8x﹣6，当x＝1时，y＝0．当x＝4时，y＝﹣6．∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6．（3）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，∴t+1≤5，∴t≤4．24．在等腰△ABC中，AB＝AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC＝2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．解：（1）如图：（2）∵∠BAC＝2α，∠AHB＝90°，∴∠ABH＝90°﹣2α，∵BA＝BD，∴∠BDA＝45°+α；（3）补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP＝∠EBP，BD＝BE，∵AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90°﹣α，由（2）知∠ABH＝90°﹣2α，∠DBP＝90°﹣α﹣（90°﹣2α）＝α，∴∠DBP＝∠EBP＝α，∴∠BDE＝2α，∵AB＝BD，∴△ABC≌△BDE，∴BC＝DE，∴∠DPB＝∠ADB﹣∠DBP＝45°+α﹣α＝45°，∴＝，∴＝，∴＝，∴BC＝DP．25．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y 轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1＜d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P（﹣3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为5；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为±5；（2）若点C在直线y＝﹣x﹣2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．解：（1）①∵点A（2，﹣5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，∵2＜5，∴点A的“最大距离”为5．②∵点B（a，2）的“最大距离”为5，∴a＝±5；故答案为5，±5．（2）设点C的坐标（x，y），∵点C的“最大距离”为5，∴x＝±5或y＝±5，当x＝5时，y＝﹣7，当x＝﹣5时，y＝3，当y＝5时，x＝﹣7，当y＝﹣5时，x＝3，∴点C（﹣5，3）或（3，﹣5）．（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x＝5，直线x＝﹣5，直线y＝5，直线y＝﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，∴．。

2023北京北师大二附中初三（上）第一次月考数学一、选择题（每题2分，共16分）1．如图四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，5B．2，1，﹣5C．2，0，﹣5D．2，0，53．把抛物线y＝x2向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2B．y＝（x+3）2C．y＝x2﹣3D．y＝x2+34．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣2，﹣3）5．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点（0，0）的是（）A．y＝x+1B．y＝x2C．y＝（x﹣4）2D．6．用配方法解方程x2+4x＝1，变形后结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x+2）2＝57．把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为xm，依题意，可列方程为（）A．x2＝2（2﹣x）B．x2＝2（2+x）C．（2﹣x）2＝2x D．x2＝2﹣x8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x＝﹣2时，y取最大值；③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；其中推断正确的是（）A．①②B．①③C．①③④D．②③④二、填空题（每题3分，共24分）9．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是．10．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线解析式．11．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线．y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1y2．（选填“＞”“＜或“＝”）12．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为．14．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE＝．15．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为；连接CP，线段CP的最小值为．16．（3分）野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：①野兔本次跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m；②已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃（填“能”或“不能”）跃过篱笆．三、解答题（17题8分，18-21题每题5分，22-24题每题6分，25-26题7分）17．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）2x2﹣4x+1＝0．18．（5分）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1经过点（2，1）．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）依题意补全图形；（2）若BC＝1，求线段BD的长．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．23．（6分）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．25．（7分）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；（2）当∠BPC＝120°时，①直接写出∠P'BP的度数为；②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P'，x轴正半轴上存在点Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如图1），则称点P与点Q为α﹣关联点．（1）在点Q1（3，1），Q2（5，2）中，与（1，3）为45°﹣关联点的是；（2）如图2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°﹣关联点，结合图象，求m的取值范围；（3）已知点A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若线段AB上至少存在一对30°﹣关联点，直接写出n的取值范围．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【分析】根据多项式的项和单项式的系数定义得出答案即可．【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，﹣5，故选：B．【点评】本题考查了单项式的系数定义，多项式的项的定义和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．3．【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【解答】解：把抛物线y＝x2向上平移3个单位，得到的抛物线是y＝x2+3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．4．【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A关于原点对称的点的坐标．【解答】解：∵点A（2，3），∴A点关于原点对称的点为（﹣2，﹣3），故选：D．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．5．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：A、直线y＝x+1不经过点（0，0），故不符合题意；B、抛物线y＝x2经过点（0，0），故符合题意；C、抛物线y＝（x﹣4）2不经过点（0，0），故不符合题意；D、双曲线y＝不经过点（0，0），故不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各函数图象上点的坐标特征是解题的关键．6．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：x2+4x＝1，则x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法﹣﹣配方法，掌握配方法是解本题的关键．7．【分析】由较长一段的长为xm可得出较短一段的长为（2﹣x）m，根据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵较长一段的长为xm，∴较短一段的长为（2﹣x）m．依题意得：x2＝2（2﹣x）．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点C到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④错误．故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．二、填空题（每题3分，共24分）9．【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（1，2）．故答案为（1，2）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．10．【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2开口向上，且与y轴的交点为（0，﹣2）．故答案为：y＝x2﹣2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．11．【分析】将点A，B坐标代入解析式求解．【解答】解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）代入y＝2x2得y1＝2，y2＝8，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．12．【分析】利用根的判别式进行计算，令Δ＞0即可得到关于k的不等式，解答即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即4﹣4k＞0，k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．13．【分析】设C（m，n）．利用中点坐标公式构建方程组求解即可．【解答】解：设C（m，n）．∵线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，∴AB＝BC，∵点A（﹣2，0），点B（0，1），∴＝0，＝1，∴m＝2，n＝2，∴C（2，2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，中点坐标公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题即可．14．【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根据等腰三角形的性质得到∠ADB＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝70°．【解答】解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，∴∠ADB＝∠B，∵∠BAD＝30°，∴∠ADE＝∠ADB＝∠B＝（180°﹣30°）＝75°，故答案为：75°．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．15．【分析】根据“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠CDF，然后求出∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键．16．【分析】①由表格中的数据可知，野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，于是得出问题的答案；②设野兔某次跳跃的抛物线为y＝ax2+bx，则，可求得y＝﹣x2+x，当x＝2时，y＝，由m＞0.8m，可知野兔此次跳跃能跃过篱笆，于是得到问题的答案．【解答】解：①∵当x＝0时，y＝0；当x＝2.8时，y＝0，且×2.8＝1.4，∴野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8m，抛物线的对称轴为直线x＝1.4，∴当x＝1.4时，y最大＝0.98，∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98m，故答案为：2.8，0.98．②设野兔某次跳跃的抛物线为y＝ax2+bx，∵y＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，且抛物线的对称轴为直线x＝，最大值为1，∴，解得，∴y＝﹣x2+x，当x＝2时，y＝﹣×4+×2＝，∵m＞0.8m，∴野兔此次跳跃能跃过篱笆，故答案为：能．【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．三、解答题（17题8分，18-21题每题5分，22-24题每题6分，25-26题7分）17．【分析】（1）将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，系数化成1，平分，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，x﹣4＝0或x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）2x2﹣4x+1＝0，2x2﹣4x＝﹣1，x2﹣2x＝﹣，配方得：x2﹣2x+1＝﹣+1，（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝，解得：x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．18．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，∴2a2﹣7a﹣1＝0，∴2a2﹣7a＝1，∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．19．【分析】（1）把点（2，1）代入抛物线的解析式即可得出答案；（2）求出抛物线的顶点坐标，根据纵坐标即可得出答案．【解答】解：（1）把点（2，1）代入y＝a（x﹣3）2﹣1中，得：1＝a（2﹣3）2﹣1，解得a＝2，∴y＝2（x﹣3）2﹣1；（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），∴把该抛物线向上平移1个单位后，与x轴的交点个数位1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要或用待定系数法求函数的解析式．20．【分析】（1）根据题意，利用旋转的性质即可补全图形；（2）根据含30度角的直角三角形和旋转的性质可得AD＝AC＝，∠DAB＝90°，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∴AC＝，由旋转可知：∠DAC＝60°，AD＝AC＝，∴∠DAB＝∠DAC+∠∠AC＝90°，∴BD＝＝＝．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键．21．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）求出抛物线与x轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．【解答】解：（1）将A（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+2x+c得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）令x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴抛物线经过（﹣3，0），（1，0），∵抛物线开口向上，∴y＜0时，﹣3＜x＜1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．22．【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，∴Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣m）＝m2﹣4m+4﹣4+4m＝m2．∵m2≥0，∴Δ≥0．∴该方程总有两个实数根．（2）解：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，解方程，得x1＝﹣1，x2＝m﹣1．∵m＜0，∴﹣1＞m﹣1．∵该方程的两个实数根的差为3，∴﹣1﹣（m﹣1）＝3．∴m＝﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．23．【分析】（1）根据矩形的面积公式写出函数解析即可；（2）根据函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由题意得：y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，∵0＜40﹣2x≤25，∴≤x＜20，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x（≤x＜20）；（2）由（1）知，y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，∵﹣2＜0，≤x＜20，∴当x＝10时，y有最大值，最大值为200，答：当x＝10时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据函数的性质求最值．24．【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．（2）分别讨论2﹣m≤x≤2+2m的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y取最大值与最小值时，对应的x的取值，进而求出a，m的值．（3）由于y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论n﹣2＜x＜n在对称轴的左右两侧即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3，∴x＝0时，y＝3，∴抛物线y＝ax2+bx+3过点（0，3），∵抛物线y＝ax2+bx+3过点（4，3），∴该抛物线的对称轴为直线x＝2．（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，∴﹣，即b＝﹣4a①．∵m＞0，∴2﹣m＜2＜2+2m．∵a＞0，抛物线开口向上，∴当x＝2时，函数值在2﹣m＜x＜2+2m上取得最小值﹣1．即4a+2b+3＝﹣1 ②．联立①②，解得a＝1，b＝﹣4．∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，即y＝（x﹣2）2﹣1．∵m＞0，∴当2﹣m≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＝2﹣m时取得最大值，当2≤x≤2+2m时，y随x的增大而增大，当x＝2+2m时取得最大值，∵对称轴为x＝2，∴x＝2﹣m与x＝2+m时的函数值相等．∵2＜2+m＜2+2m，∴当x＝2+2m时的函数值大于当x＝2+m时的函数值，即x＝2﹣m时的函数值．∴当x＝2+2m时，函数值在2﹣m＜2＜2+2m上取得最大值3．代入有4m2﹣1＝3，舍去负解，得m＝1．（3）存在，n＝1．∵当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，y无法取到最大值与最小值，∴关于x的取值范围一定不包含对称轴，①当n≤2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的左侧，∵二次函数开口向上，∴x＝n﹣2时，y有最大值，x＝n时，y有最小值，由题意可知：，解得：n＝1，故n＝1，②当n﹣2≥2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的右侧，∵二次函数开口向上，∴x＝n﹣2时，y有最小值，x＝n时，y有最大值，由题意可知：，此时n无解，故不符合题意，∴n＝1．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．25．【分析】（1）利用SAS证明△ABP'≌△ACP，即可得出答案；（2）①由三角形内角和定理知∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，再利用角度之间的转化对∠P'BP进行转化，∠P'BP＝∠4+∠7＝∠5+60°﹣∠8＝60°﹣∠6+60°﹣∠8，从而解决问题；②延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，得出四边形PBNC为平行四边形，则BN∥CP且BN＝CP，再利用SAS证明△P'BP≌△NBP，得PP'＝PN＝2PM．【解答】解：（1）BP'＝CP，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠2+∠3＝60°∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，∴AP＝AP'，∠P AP'＝60°，∴∠1+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，∴△ABP'≌△ACP（SAS），∴BP'＝CP；（2）①当∠BPC＝120°时，则∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，∵△ABP'≌△ACP，∴∠4＝∠5，∴∠P'BP＝∠4+∠7＝∠5+60°﹣∠8＝60°﹣∠6+60°﹣∠8＝120°﹣（∠6+∠8）＝120°﹣60°＝60°，故答案为：60°；②AP＝2PM，理由如下：延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，∵M为BC的中点，∴BM＝CM，∴四边形PBNC为平行四边形，∴BN∥CP且BN＝CP，∴BN＝BP'，∠9＝∠6，又∵∠8+∠6＝60°，∴∠8+∠9＝60°，∴∠PBN＝60°＝∠P'BP，又∵BP＝BP，P'B＝BN，∴△P'BP≌△NBP（SAS），∴PP'＝PN＝2PM，又∵△APP'为正三角形，∴PP'＝AP，∴AP＝2PM．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．26．【分析】（1）过点P作P A⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，由P点的坐标得出△APP'和△P'Q'O 都是等腰直角三角形，得出△Q'BQ是等腰直角三角形，则可得出答案；（2）由点P与点Q为45°﹣关联可知点P'为（0，8﹣m），Q'为（8﹣m，0），求出关联点所在直线表达式，将y＝4代入求出横坐标，根据点Q在线段MN上可表示出横坐标的取值范围，即可得出答案；（3）由题意画出图形，由直角三角形的性质可得出答案．【解答】解：（1）过点P作P A⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，∵P（1，3），α＝45°，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠PP'Q'＝90°，∠P'Q'O＝45°，∴△APP'和△P'Q'O都是等腰直角三角形，∴AP'＝AP＝1，∴OQ'＝OP'＝AO﹣AP'＝3﹣1＝2，∵PP'∥QQ'，∴∠P'Q'Q＝90°，∴∠QQ'B＝45°，∴△Q'BQ是等腰直角三角形，∴当Q'B＝BQ＝1时，点Q的坐标为（3，1），∴与（1，3）为45°﹣关联点的是Q1（3，1）．故答案为Q1；（2）如图所示，对点P（m，8）（m＞1）而言，依定义，要使∠1＝∠2＝α＝45°，则有：P'为（0，8﹣m），Q'为（8﹣m，0），于是函数y＝x﹣（8﹣m）（x＞8﹣m）上的点Q即为点P的45°﹣关联点．若当点Q在线段MN上时，y Q＝4，则有x Q＝12﹣m．由6≤x Q≤8，得6≤12﹣m≤8，解得4≤m≤6．（3）．∵点Q和点P在线段AB上，当点P离B越近时，点Q的横坐标越小，∴当点P，Q，B三点重合时，点P'，点Q'和点O重合，过点P作PM⊥y轴于点M，∵α＝30°，∴∠BOM＝30°，∵B（n，6），∴OM＝6，∴n＝BM＝OM•tan30°＝6×，∴当线段AB上至少存在一对30°﹣关联点时，n＞2．∴n的取值范围是n＞2．【点评】本题考查一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质，点P与点Q为α﹣关联点的新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。