第 13章 黄金三角形系列
※【黄金三角形】顶角为 36°的等腰三角形.
·：·【白金三角形】底角为 36°的等腰三角形.
黄金△ABC,白金△ABD,白金△ACD
AD=AB=BC=t,DC=k
△𝐷𝐴𝐶△𝐷𝐵𝐴𝐼𝐴𝐴𝐼𝐷𝐴²=𝐷𝐶⋅𝐷𝐵
𝑡²=𝑘(𝑘+𝑡),𝑘²+𝑡𝑘−𝑡²=0
𝑘=√5−12𝑡
1.【☆☆☆】△ABC,D在BC上,CD=AB,∠ABC=24°,∠ACB=30°,求∠BAD.
【简释】
【法1】【30°对称法】E、B 关于AC 对称,正△BCE,【白金△BAE】
【黄金△EAF】⇒【白金△BFA】DC=AB=AE=EF,BD=BF
△𝐵𝐴𝐹△𝐵𝐸𝐴𝐾𝐴𝐴𝐷𝐵𝐴²=𝐵𝐹⋅𝐵𝐸=𝐵𝐷⋅𝐵𝐶
△BAD∽△BCA【AA】θ=30°
【法2】【30°外心法】AB、AC 中垂线交于E,EB=EA=EC 𝛼+𝛽=126°,,四边形ABEC,∠BEC=108°,γ=36°正△ABE,【黄金 △𝐶𝐷𝐸2𝛿=24°,.【白金 △𝐵𝐷𝐸) △𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐸𝐷[𝑆𝐴𝑆】𝜃=30°
2.【☆☆☆】△ABC,D 在BC上,( 𝐶𝐷=𝐴𝐵,∠𝐴𝐵𝐶=24°,∠𝐵𝐴𝐷=30°,求∠C.
【简释】
【30°对称法】正△ABC
CD=AB=BE=t
【白金 𝐵𝐷𝐸×2𝐵𝐷=√5−12𝑡
𝐵𝐶=√5+12𝑡,𝐵𝐷⋅𝐵𝐶=𝑡2=𝐵𝐴2
△𝐵𝐴𝐷△𝐵𝐶𝐴𝐼𝑆𝐴𝑆)𝜃=30°3.【8 下】【☆☆☆) =△𝐴𝐵𝐶,D 在 BC 上,E 𝐵𝐷=𝐴𝐶,∠𝐴𝐵𝐶=30°,∠𝐴𝐶𝐵=40°,求∠ADC.
【简释】
【法1】E、A 对称,正△ABE,作AF=AC=BD,∠AFC=∠ACF=80°∠FAC=20°,两个30°,蓝△≌【SAS】∠ADC=∠AFC=80°
第 1 页 共 11 页 中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案
班级:___________姓名：___________考号：_____________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中直线𝑦=−𝑥与双曲线𝑦=𝑘𝑥交于A、B两点，P是以点𝐶(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结𝐴𝑃，Q为𝐴𝑃的中点.若线段𝑂𝑄长度的最大值为2，则k的值为（ ）
A．−12 B．−32 C．−2 D．−14
2．如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则𝐷𝐸的长为（ ）
A．2√3𝑐𝑚 B．3𝑐𝑚 C．4𝑐𝑚 D．5𝑐𝑚
4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（ ）
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A．12𝑐𝑚 B．14𝑐𝑚 C．16𝑐𝑚 D．18𝑐𝑚
5．如图，直线𝑙∥𝑚，将含有45°角的三角板𝐴𝐵𝐶的直角顶点𝐶放在直线𝑚上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．15°
6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为( )
A．20° B．40° C．60° D．70°
7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
8．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（ ）
特殊三角形
考点1：等腰三角形的性质与判定
1．（2021·江苏苏州市）如图．在RtABC△中.90C.AFEF．若72CFE.则B______．
【答案】54°
【分析】
首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF.再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE.求出∠A的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．
【详解】
∠ AF=EF.
∠ ∠A=∠AEF.
∠∠A+∠AEF=∠CFE=72°.
∠ ∠A=36°.
∠ ∠C=90°.∠A+∠B+∠C=180°.
∠ ∠B=180°-∠A-∠C=54°．
故答案为：54°．
2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD中.ABBCBD．设ABC.则ADC______（用含的代数式表示）． 【答案】11802
【分析】
由等腰的性质可得：∠ADB=1902ABD.∠BDC=1902CBD.两角相加即可得到结论．
【详解】
解：在∠ABD中.AB=BD
∠∠A=∠ADB=11(180)9022ABDABD
在∠BCD中.BC=BD
∠∠C=∠BDC=11(180)9022CBDCBD
∠ABCABDCBD
∠ADCADBCBD
=11909022ABDCBD
=1180()2ABDCBD
=11802ABC
=11802
故答案为：11802．
3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB剪开.再将AOB展开得到如图3的一个六角星．若75CDE.则OBA的度数为______．
【答案】135°
【分析】
利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．
中考专题20 相似三角形问题
一、比例
1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcba(或a：b=c：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbba或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
2．黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
二、相似、相似三角形及其基本的理论
1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。
2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．三角形相似的判定方法
(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。
(3)两个三角形相似的判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
