-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编(数列)

2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

9．数列

一、选择题

（2017·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

（2015·4）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =（ ）

A．21 B．42 C．63 D．84

（2013·3）等比数列{}na的前n项和为nS，已知32110Saa，59a，则1a（ ）

A.13 B.13 C.19 D.19

（2012·5）已知{an}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（ ）

A. 7 B. 5 C. -5 D. -7

二、填空题

（2017·15）等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS ．

（2015·16）设Sn是数列{an}的前项和，且11a，11nnnaSS，则Sn=________________．

（2013·16）等差数列{}na的前n项和为nS，已知100S，1525S，则nnS的最小值为____.

（2012·16）数列}{na满足12)1(1naannn，则}{na的前60项和为 .

三、解答题

（2016·17）（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28. 记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1 000项和.

（2014·17）已知数列{an}满足a1 =1，an+1 =3 an +1.

（Ⅰ）证明1{}2na是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：123111…2naaa.

（2011·17）等比数列{}na的各项均为正数，且212326231,9.aaaaa

（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；

（Ⅱ）设31323logloglognnbaaaLL，求数列1{}nb的前n项和. 2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

9．数列（逐题解析版）

一、选择题

（2017·3）B【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即7381S；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即2q，塔的顶层为1a；由等比前n项和1111nnaqSqq可知：171238112naS，解得13a.

（2015·4）B【解析】：设等比数列公比为q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，所以q4+q2-6=0，解得q2=2，所以a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42，故选B.

（2013·3）【答案：C】

解析：由S3=a2+10a1，得，a1+a2+a3=a2+10a1即，a3=9a1，亦即a1q2=9a1，解得q2=9. ∵a5=a1·q4=9，即81a1=9，∴a1=19.

（2012·5）．【答案：D】解析：472∵aa，56478aaaa，4742aa，或4724aa，，14710∵，，，aaaa成等比数列，1107aa.

二、填空题

（2017·15）2,1nnNn【解析】∵ 410S，2314aaaa ，∴ 235aa，∵ 33a，∴ 22a ∴

nan，∵ 12nnnaaS ∴ 21nSnn ∴ 1211211nSnnnn

∴

11122111ninnSnn， ∴

112,1ninnnNSn

（2015·16）1n【解析】由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以1nnSS，得1111nnSS，故数列1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则11(1)nSnn，所以1nSn．

（2013·16）-49【解析】设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝1109102ad＋＝10a1＋45d＝0①，S15＝11514152ad＝15a1＋105d＝25②，联立①②，得a1＝-3，23d，所以Sn2(1)211032333nnnnn. 令f(n)＝nSn，则32110()33fnnn，220()3fnnn. 令f ′(n)＝0，得n＝0或203n. 当203n时，f ′(n)＞0,200<<3n时，f ′(n)＜0，所以当203n时，f (n)取最小值，而n∈N＋，则f (6)＝-48，f (7)＝-49，所以当n＝7时，f (n)取最小值-49.

（2012·16）1830【解析】由1(1)21nnnaan得2212124341①②kkkkaakaakLL，

由②①得， 21212kkaa③ 由①得，2143656059()()()()奇偶SSaaaaaaaaL(1117)3015911717702L.

由③得，3175119()()()奇Saaaaaa5957()21530aaL，

所以60()217702301830奇奇奇偶偶SSSSSS.

三、解答题

（2016·17）.（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28. 记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1 000项和.

（2016·17）解析：⑴设数列na的公差为d，74728Sa，∴44a，∴4113aad，

∴1(1)naandn．∴11lglg10ba，1111lglg111ba，

101101lglg1012ba．

⑵记nb的前n项和为nT，则1000121000Tbbb121000lglglgaaa．

当0lg1na≤时，129n，，，；当1lg2na≤时，101199n，，，；

当2lg3na≤时，100101999n，，，；当lg3na时，1000n．

∴1000091902900311893T．

（2014·17）．解析：（Ⅰ）证明：∵131nnaa，∴1113()22nnaa，即：112312nnaa，又11322a，∴1{}2na是以32为首项，3为公比的等比数列．∴113322nna，即312nna.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知312nna，∴11231()3133nnnnnaN*，

∴21211()11111131331[1()]133323213nnnnaaa

故：1211132naaa

（2011·17）解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由23269aaa得32349aa所以219q. 由条件可知a>0，故13q. 由12231aa得12231aaq，所以113a. 故数列{an}的通项式为13nna.

（Ⅱ ）31323(1)logloglog=(12)2nnnnbaaan，

故12112()(1)1nbnnnn，121111111122((1)()())22311nnbbbnnn，

所以数列1{}nb的前n项和为21nn.