2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—8.数列

2011年一2018年新课标全国卷I文科数学分类汇编

8.数列

一、 选择题

【2015,7】已知｛an｝是公差为1的等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，若&=4S4,则a沪：( )

17 19

A. B. C. 10 D. 12

2 2

2

【2013, 6】设首项为1,公比为一的等比数列｛an｝的前n项和为Sn,则；( ).

3

A . Sn= 2an — 1 B. Sn = 3an — 2 C . Sn = 4 — 3an D . Sn= 3 — 2an

【2012, 12】数列｛ an｝满足an 1 ■ (-1)na^2n-1,则｛ an｝的前60项和为；()

A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830

二、 填空题

【2015,13】数列｛an｝中，a1=2, an+1=2an, Sn 为｛an｝的前 n 项和，若 Sn=126，则 n= _____ .

【2012,14】14.等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3+35= 0,则公比q= ____________ .

三、 解答题

(2018新课标I,文17):已知数列'an /满足印=1 , na. 1 = 2 n • 1 a.，设bn =如.

n

(1 )求 b , b2 , b3 ；

(2 )判断数列in ?是否为等比数列，并说明理由；

(3 )求?的通项公式.

【2017, 17】记Sn为等比数列 4*的前n项和，已知S2 = 2 , S3 =-6 .

(1 )求订鳥的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn 1 , Sn , & 2是否成等差数列.

(1 )求〔an ?的通项公式；(2 )求 的前n项和.

【2014,17】已知订n ?是递增的等差数列， 32 , 34是方程X2 -5x • 6 = 0的根。

j I 「a 】

(1 )求 玄』的通项公式；(2)求数列 n的前n项和.

12 J【2016,17】已知 瓜？是公差为3的等差数列，数列 Z满足 d=1, b2 = 3, anbni bn.bng. {an}的前n项和Sn满足S3= 0 , S5=— 5. r i i

⑵求数列 .的前n项和.

a2n .Ia2n 1

【2011,17】已知等比数列 ◎ 中，a2=】，公比.

3 3

(1) Sn为^n泊勺前n项和，证明：Sn = 1 an ； 2

(2)设 bn =log 3 a*1 + log3 a2 +川+log 3 an ,求数列bn的通项公式.【2013, 17】已知等差数列

(1)求｛an｝的通项公式； 2011年一2018年新课标全国卷I文科数学分类汇编

8 .数列(解析版：)

-、选择题

【2015,7】已知｛an｝是公差为1的等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，若&=4S4,则ag=( ) B

17 19

A. B. C. 10 D. 12

2 2

、 1 1 1 1 19

解：依题 8a1 8 7 = 4(4 a1 4 3)，解得 a1 =，二 a1^ a1 9d 9 ，故选 B.

2 2 2 2 2

【2015, 13】数列｛an｝中，a1=2, an+1=2an, Sn 为｛an｝的前 n 项和，若 Sn=126，贝U n=_. 6

解：数列｛an｝是首项为2,公比为2的等比数列，••• & =2(1_2)=126，二2n=64 ,二n =6.

1-2

2

【2013, 6】设首项为1,公比为2的等比数列｛an｝的前n项和为Sn,则( ).

3

A . Sn = 2an — 1 B .各=3an — 2 C .各=4 — 3an D . Sn= 3 — 2an

【2012, 12】数列｛ an｝满足an 1 (-1)na^2n-1,则｛ an｝的前60项和为( )

A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830

【解析】因为 an 1 ' (-1) a* = 2n -1，所以 a2 - a^ = 1 , a3 a2 =3 , a^ - a3 = 5 , a5 a^ = 7 , a^ a^ = 9 ,

a7 a6 -11 , ............. , a58 - a57 -113 , a59 ■ a58 -115 , a6。- *59 = 117 .

由 a? - a1 — 1, a§ ' a?二 3 可得 a1 ' a^ — 2 ；

由 a6 - a§ = 9 , a7 a6 =11 可得 a5 a^ 2 ；

由 a58 - a57 = 113， a59 a58 = 115 可得缶 比9 二 2 ；

从而 a1 a3 *5 • a?丨1( a§7 a§9 二(印 a3)® • a?) (1( (a57 - a59)= 2 15 = 30 .

所以(*2 *4 - a^H ■ *60^(*1 *3 a^l ■ *59)

=(*2 - *1) ■ ( *4 - *3 ) ■ (*6 - *5) J I ( (*60 1 *59 )=1 5 9 II) 117 解析：选D. Sn n 1 an

=冃 1 -q =印-anq _ 3 n

- ■ — 3 1 -q 1 -q =3 — 2an, 故选D.

又 a： - a1 = 1, a4 - a3 = 5 , a^ a^ 9 , ,*58 - *57 = 113 , *60 一 *59 = 117 ,

从而 *2 *4 *6 山 *60 =*1 *3 *5 川 *59 1770 =30 1770 = 1800.30 118

2 =

1770 . 因此 S60 = ai a2 a3 ■ a4 ■ |■ a59 ■ a60 = (ai ■ a^ H ■ a59)■ (a2 ■ a4 ■ (■ a60)

=30 1800=1830 .故选择 D.

二、 填空题

【2015, 13】数列｛an｝中，ai=2, an+i=2an, Sn 为｛a.｝的前 n 项和，若 Sn=126，贝U n=_. 6

2(1 _ 2n)

解：数列｛an｝是首项为2,公比为2的等比数列，••• Sn 126，二2n=64 ,二n =6.

1-2

【2012,14】14.等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若&+3$= 0,则公比q= _________________ .

【答案】-2 .

2

【解析】由已知得 S3 =4 - a2 - a3 =旦-ag - ag , 3S2 -3a1 3a^3a1 3a1q ,

2

因为 S3 - 3S2 =0，所以 4a「4ag ag =0

而6=0，所以q 4q ^0，解得q = -2 .

三、 解答题

(2018新课标I,文17) (12分)已知数列 依［满足d =1 , na. 1 =2 n • 1 a.，设bn二邑.

n

(1 )求 b , b2 , b3 ；

(2)判断数列in /是否为等比数列，并说明理由；

(3 )求:an ?的通项公式.

解：(1)由条件可得an+1=2(^1)an.

n

将 n=1 代入得，a2=4a1,而 a1=1，所以，a2=4.

将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12.

从而 6=1, b2=2, b3=4.

(2) ｛bn｝是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得竝 经，即bn+1=2bn,又b1 = 1，所以｛bn｝是首项为1，公比为2的等比数列.

n 1 n

(3) 由(2)可得屯=2n1，所以 an=n - 2n-1.

n

【2017, 17】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2,S3--6 .

(1 )求&，的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn 1 , Sn , Sn 2是否成等差数列.

【解析】（1）设首项a1，公比q，依题意，q = 1，由鬼二S3 - d - -8 ,

玄3 = a*i q = —8

S2 — a〔 ■ a?二 a〔 ■ a〔q

■ an 二 aqn =(-2)n •

（2）要证Sn 1, Sn, Sn 2成等差数列，只需证： Sn 1 • Sn .2二2Sn ,

只需证：Sn ! - Sn Sn .2 - Sn = 0，只需证：an .1 ' an .1 ' an 2 = 0，

只需证：a.# = —2an#（*），由（1）知（*）式显然成立,

-Sn 1, Sn, Sn ,2成等差数列.

【2016 ,】17.（本小题满分12分）：

1

已知 6 ｝是公差为3的等差数列，数列｛b」满足b=1, b2 = 3 , anb^+bn^ =门0 .

3

（1） 求 'an ! 的通项公式；

（2） 求匕!的前n项和.

17.解析 (1 )由题意令 anbn 1 • bn 1 = ng 中 n =1，即 aQ? • b? = d , 解得 a^i =2，故 an =3n「1 n • N* .

1 *

(2)由(“得 3n -1 bn 1 bn T =nbn,即 bn ^~bn n • N ,

解：（1）方程x2 -5x 6 =0的两根为2,3，由题意得a2 =2,a4 =3.故 是以D =1为首项, q 为公比的等比数列，即 bn

3

所以的前n项和为Sn 1」2

3

【2014, 17】已知:an ?是递增的等差数列, a2, a4是方程 2

x -5x • 6 =0 的根。

（1 ）求 的通项公式；（2）求数列 an的前n项和.

2n ，解得a1…2 =2 | q - -2