平面立体截交线

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第08章截交线

Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点 2’
5’(6’) 3’4’ 1’
7’8’
（2）再作一般点。
2”
6”
4”
8”
5” 3”
7”
（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。（4）补全侧面转向轮廓线。
1” 4
Ⅱ
6 2
8
Ⅳ Ⅲ
正垂线
1
7
3 5 平面与圆锥相交
1
7 2
求 4 交 6 线 1。求交点连线方 2。根据条件直接求交线法
求切割体的投影就是在基本体的基础上，画出截断面的投影，去掉截去部分轮廓的投影
注意利用平面投影特性中“类似形”“积聚性”这些投影特征来分析、作图、检查。
例2 求立体截切后的投影
4 5 1
（3）
3 6
4
3” 2”
1”
二：作图:①求正垂面与立体的交线
1 ·
4 3
2
(a) 求正垂面与立体的交线
作图:②，判别可见性，完成轮廓投影、加深。
2’ (4’)
1’
3’ 4” 1”
3” 2”
4 3 1 2
(c) 整理、加深正四棱锥被一正垂面截切
作图: ③检查、完成
(d) 检查、完成图3-21 正四棱锥被一正垂面截切
8
1 7 6 2
4
3
(d) 整理、加深
图3-22 正四棱锥被两平面截切
作图: ③检查、完成
(e) 检查、完成图3-22 正四棱锥被两平面截切
例：求立体截割后的投影
1’(2’) 1〞 4〞 2〞 3〞

平面与立体表面的交线截交线

§3–3 平面与立体表面的交线—截交线
生产中一些零件的外形可以看成是基本体被平面切割后所形成的。
要绘制切割立体的投影图，就应掌握截交线的画法。
§3–3 平面与立体表面的交线—截交线
截交线的形成及其基本概念：截平面—切割立体的平面。截断体—被平面截切后的立体。截交线—立体被平面切割后在立体表面上产生的交线。
3.两截平面交线在立体表面上的两个端点，如三棱锥上的 A、B点。
例1：补出切割六棱柱左视图中的漏线并画出其俯视图。
作图步骤：
例2：试画出截切三棱锥的水平投影和侧面投影。作图步骤：
二、回转体的截交线
1、圆柱的截交线截交线形状分析:根据截平面与圆柱轴线的相
对位置不同，圆柱截交线有下列三种形状。
例：补全开槽半球的水平投影和侧面投影。作图步骤如下：
4、组合回转体的截交线组合回转体：由具有公共轴线的若干回转体所组成的立体。
组合回转体截交线的作图分析：作组合回转体截交线时，首先要确定该立体的各组成部分，以及每一部分被截切后所产生的截交线的形状。作图时要在投影图中准确定出各形体的分界线位置，此外还要注意处理好各形体衔接处的图线。
圆—截平面垂直于轴线椭圆—截平面倾斜于轴线矩形—截平面平行于轴线
例1：完成圆柱被正垂面截切后的投影。作图分析：由于截平面倾斜于圆柱轴线截切，故截交线为一椭圆。该椭圆的正面投影积聚为一直线，水平投影被积聚于圆柱的积聚性投影—圆上。椭圆的侧面投影可根据圆柱面上取点的方法求出。
例1：完成圆柱被正垂面截切后的投影。
作图步骤：
例2：补全接头的正面投影和水平投影。作图分析：从俯视图可看出该圆柱左端开
一槽，槽的前后两侧面在俯视图中积聚为两直线，需要补出槽的正面投影。

(平面立体截交线)

4) Draw views of intersections (key point) Step1. Identify object according to the given views. (what kind of object it is? Is it a prism or pyramid?) 分析立体，分析立体，识别立体。 Step2. Identify spatial position of the cutting-plane according to the given views. (Is it a principal plane or a plane perpendicular to projection plane?) 分析截平面，平面，认识截平面的空间位置。 Step3. Find out intersections’ known views and mark all projection points in numeral or lowercase .
Lesson six
Intersection (І) —— Intersection of polyhedron
1.Introduction: In engineering practice, there are many solids which are cut by planes. For example:
5) Draw two TS of two horizontal planes of front rear. Answer:
Example 4: Complete top view.
Steps for drawing top view are as following. 1) Draw bottom base, namely, a rectangle of which length is measured from front view and width from top view. 2) Draw similar shape of the plane perpendicular to V plane (画出正垂面的类似形画出正垂面的类似形). 画出正垂面的类似形 ① Find front view and left view for two lines perpendicular to V plane (找出两根正垂线的主、左视图找出两根正垂线的主、找出两根正垂线的主左视图). ② Draw top view of two lines perpendicular to V plane (画出两根正垂线的俯视图画出两根正垂线的俯视图). 画出两根正垂线的俯视图 5) Draw TS of top horizontal planes.

画法几何与机械制图第章立体的投影平面与立体表面相交(截交线)

圆
倾斜于轴线
椭圆
例4：求左视图
● ● ●
截交线的截交线的已知投影？空间形状？截交线的侧面投影是什么形状？
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。
图3-30
㈢圆球表面的截交线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的水平面与圆球面的交交线的投影，在侧视上为线的投影，在俯视图上部分圆弧，在俯视图上积为部分圆弧，在侧视图聚为直线。上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例：已知缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和侧面投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析两个截平面一个是水平面，一个是正垂 ★ 求截交线注意：面，都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影要逐个截平面分析和绘制截交线和水平截面在水平投影中反映实形，在侧 ★ 检查尤其注意检查截截平面之间的交线。面投影中积聚。交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱柱的正面投影，补全穿孔六棱柱的水平投影，作出它的侧面投影。P56
y
y 分析：正垂的三棱柱孔在正投影面上积聚，三个截面的交线积聚成三角形的三个顶点。找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念

§4.2 平面与立体相交求截交线

1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面截交线的正面投影积聚为直线。截平面与四条棱线相交，从正面可直接找出交点。作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
3 1
2
a
3
2
[例题5]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆球相交所得截交线
圆
二.求圆球截交线上点
平行圆画法:在圆球表面上取若干个平行于投
影面的平行圆,求这些平行圆与截平面的交点;
三.圆球截交线
[例题1]求圆球截交线
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线平行或倾角θ<α，截交线为双曲线。
截平面过锥顶截交线为三角形。
特殊点一般点 b'
a'
a''
c'
b''
c''
整理加深
S
由点连线
P
b
c
a
Ⅰ
解题步骤 1 分析截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形； 2 求出截交线上的特殊点A、C； 3 求出一般点B ； 4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。

平面立体表面截交线与相贯线

平面与平面体相交平面与平面体相交先求棱锥侧投影求截交线aaccbbaa截交线求法截交线求法截平面棱线交点截平面棱面交线棱线法棱面法第三章第三章二相贯体及尺寸标注二相贯体及尺寸标注二相贯体及尺寸标注二相贯体及尺寸标注?立体表面的相贯线?立体表面的相贯线?本章小结结束放映?两立体相交相贯
•大家看看这些形体是规则的还是不规则的？
⒉ 平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面与被截立体轴线的相对位置。
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
⒊ 解题方法与步骤
⑴ 空间及投影分析 ☆分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状。 ☆分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交线的投影特性。 ⑵ 求截交线当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。
例5：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
●
1
●
注意：
2 1
要逐个截平面分析和三面共点：绘制截交线。当平面体只 Ⅰ、Ⅱ两点分有局部被截切时，先假想别同时位于三个面为整体被截切，求出截交线后再取局部。上。
例5：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例6：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
一、平面体与回转体相贯 ★ 相贯线是由若干段平面曲线或直线组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。 ★ 求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。 ★ 求相贯线的步骤：
分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。求出各棱面与回转体表面的截交线。连接各段交线，并判断可见性。
㈢圆球表面的截交线
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。

§平面与立体相交求截交线

线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交点，顺序连接各交点，即为所求。
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个

第三章(2)3-2平面立体的截交线

2'
4 1 2 3 5
[例题例题6] 例题
想象出物体并补画出侧面投影图
2. 平面立体截交线的性质
3. 平面立体截交线的求法
（1）棱柱上截交线的求法
①求出截平面与棱柱上若干条棱线的交点；如立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线。 ②依次连接各点； ③判断可见性 ④整理轮廓线
例题1
例题2
例题3
例题4
[例题试画出图中所示四棱柱被P、Q两平面切去一角例题1] 例题后的三面投影图。
4'5' 1'2'
2 5 3 4 1
[例题例题3] 例题
1'2' 3'4'
求圆柱截交线
2' 4' 1' 3'
解题步骤 1．分析截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形； 2 ．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3 ．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
§3-2 平面与立体相交
3.2.1 平面与平面立体相交
截平面与立体表面的交线称为截交线。平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。 1. 平面立体的截交线 2. 平面立体截交线的性质 3. 平面立体截交线的求法（1）棱柱上截交线的求法（2）棱锥上截交线的求法
1. 平面立体的截交线平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。它是由直线段组成的平面多边形。
（2）求作截平面与复合回转体的截交线时，应把复合回转体分解为基本几何体，分别求出截交线。求作多个截平面与基本几何体相交时，应按单一截平面求截交线的方法，分别求出各截平面的截交线。
4.截交线上的特殊点

工程制图平面与立体相交

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整理棱线投影
•工程制图平面与立体相交
浏览三维动画
二、平面与回转体相交
平面截切回转体，在回转体表面留有的交线，称为回转体的截交线。
㈠回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转体表面的公有线。截交线上的点为截平面与回转体表面的公有点。
2、截交线的形状通常为平面曲线，特殊情况下可含有直线段组成。截交线的形状取决于回转体表面性质和截平面与回转体的相对位置。
一、截交线概述
平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交线。依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：
平面体截交线和曲面体截交线
•工程制图平面与立体相交
二、平面与平面立体相交
平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称为平面立体的截交线。
㈠平面体截交线的性质：
⒈平面体截交线是截平面与平面立体表面的公有线。
2、投影作图
运用锥面取点方法作出抛物线顶点和底端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。
3、整理轮廓线
•工程制图平面与立体相交
【例题3】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和侧面投影。
3、整理轮廓线
浏览三维动画•工程制图平面与立体相交
3、圆球的截交线平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形；当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段；当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。
•工程制图平面与立体相交

平面立体截交线的求解教学

其实能够写进学生的文章素材比比皆是关键是我们教师在把命题写上黑板以前一定要在新课标指导下对命题中的每一个环节都做到深思熟虑同时还考虑到作文命题中所涉及的人和事是学生亲自经历的且是学生自己感受很深对他自己有所触动的当然学生自己学会观察周边的人事物也是写好作文的重要环节
中等职业教育
2008年第 32 期
2. 求点�� 利用截平面的积聚性求棱线与截平面的交点由于我们只讨论截平面为特殊位置的情况，所以截平面至少有一个投影有积聚性 �所以我们可以从具有积聚性的投影着手，利用截平面的积聚性求棱线与截平面的交点� 3. 连线�� 按一定顺序并根据可见性连线，完成全部视图 4. 验证�� 利用 "类似性" 验证作图的正确性下面我们就来重点分析一下平面立体中棱柱的截交线情况�
截平面为一铅垂 � 面，所以利用铅垂面的投影特点（一可得出这截交线的投影形状为：在面上为一斜线， � 斜线两缩小类似形）可得出这截交线的投影形状为：在 , 面上均为类似六边形� � 在面上为一斜线，在 , 面上均为缩小的类似 "凹" （）求点�� 利用截平面在正投影面上的积聚字形� � 性求棱线与截平面的交点� 详见图中个点 � �
（）利用 "类似性 � " � 类似四边形验证作图的 �� 求棱线与截平面的交点� 见图示个点 �� 正确性� （）连线�� 依次连接各点可得类似 "凹" 字形投影，再画出其他部分投影，完成主视图� （） " " � （）结合三视图并利用类似 " 凹" 字形验证作图 " 对错� � � （） " � � （） � � （） � � （） � � � � " " " " 例：四棱柱的截交线：根据两面投影（已知俯视 � � � � � � � � 图和左视图）想象立体图，作出第三面投影� � � " " � � " " � � � � � � � �

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确定截交线的形状
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
确定截交线的投影特性
线，并连接成多边形。
5
精选课件
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)
2
3
1
●
4●
● 2
● 3
4 ●
3
1
●
●
2●
★ 空间分析
截★平交面线面投与的相体形影交的状？分几？个析棱 ★ 截求交截线在交俯线、左视图 ★ 分析棱上线的形的状投？影
6.3 平面立体截交线
一、平面截切的基本形式二、平面截切体的画图
1
精选课件
截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一
部分。
• 截平面 —— 用以截切物体的平面。 • 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 • 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形
成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图。
4´ 3´
6´ 1´ 2´≡5 ´
4″
5″≡6″ 2″
3″ 1″
5 6
4 2
3
1
11
精选课件
例5、补出立体被截割后的投影。
Ⅵ Ⅴ
Ⅳ Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
12
6'
4'（5'）
1'
2（' 3'）
5 3
1
6
2
4
(6 ")
5"
4"
3" 1" 2 "
精选课件
例6:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
5‫ ׳‬6‫׳‬ 7‫׳‬
2”
5”
4”
6”
7”
6 7
精选课件
例 8: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
1
2
5 7
8
6 3
4
Ⅴ
Ⅳ 2 Ⅶ
Ⅵ
1 Ⅷ
Ⅲ Ⅱ
Ⅰ
截分影求截检线交析交线截查的棱线的线的交截投投的形影线交影投状特？性？
16
精选课件
17
精选课件
6.4 平面立体相贯线
18
精选课件
2 (4)
29
精选课件
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
(11 1’ 2’3’
’)
(31
’)
(41’)4’
11
(41) 31
1
3
2 (4)
11” 1” (31”)(3”)
41”
2” 4”
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系，确定相贯线的已知投影。
2、从已知投影出发，确定相贯
线上的贯穿点。
概述
相贯：两立体相交称为相贯相贯体 : 参与相贯的立体叫做相贯体相贯线：相交两立体表面的交线叫做相贯线
相贯体
相贯线
19
精选课件
1、相贯线的性质
1)表面性—相贯线位于两相交立体的表面。
2)共有性—相贯线是两相交立体表面的共有线和分界线，线上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求相贯线投影的作图依据。 3)封闭性—由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一般是封闭的空间折线或空间曲线。
26
精选课件
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
(11 1’ 2’3’
’)
(31
’)
(41’4)’
11
(41) 31
1
3
11” 1”
2”
(31”)(3”)
解题步骤： 1、分析两立体的
41”
4” 空间关系，确定相
贯线的已知投影。
2、从已知投影出发，确定相贯
线上的贯穿点。
3、先判断可见性，再连接贯穿点。
3、先判断可见性，再连接贯穿点。
4、将棱线补到相贯点，注意可见性。
30
精选课件
例4：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。
(11 1’ 2’3’
’)
(31
’)
(41’4)’
11
41 31
1
3
11” 1” (31”)(3”)
相贯线的求法：
方法一：先求贯穿点，再依次连线，同时判断可见性。
方法二：求面面交线。
25
可见
A
B C
不可见
精选课件
求作两平面体表面交线的方法有两种：
• 求各棱线与棱面的交点——棱线法 • 求各棱面的交线——棱面法
作图步骤：
• 找到相贯线的已知投影 • 找点 • 顺序连接各点 • 完成轮廓线 • 判断可见性
2
精选课件
一、平面截切的基本形式
截断面截交线
截平面
截交线与截断面
3
精选课件
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
•平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
20
精选课件
2、相贯线的形状
相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立体的相对位置。
(1) 立体形状不同，相贯线形状不一样：
平面立体相贯:空间折线
21
平面立体与曲面立体相贯：多段平面曲线
曲面立体相贯：空间曲线
精选课件
(2) 立体大小不同，相贯线形状不一样：
直径不同的两圆柱
22
直径相同的两圆柱
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
4
精选课件
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
☆ 截平面与体的相对位置
a’
b’
c’ c”
a”
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
3
1
s
2
(3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。
(4) 补全棱线的投影。
8
精选课件
例3 求做立体被截切后的投影
1Байду номын сангаас 2’
3’(4’)
1”
4”
3”
4 2
1 3
9
精选课件
例题4：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
精选课件
(3) 立体相对位置不同，相贯线形状不一样：
两圆柱轴
两圆柱轴线
线斜交
23
偏交
精选课件
平面立体相贯种类及相贯线的特点
➢相贯类型：全贯互贯
➢相贯线的性质：
也可为平面折线
24
一般为封闭的空间折线
精选课件
相贯线的特性及求法
相贯线上折线的端点
相贯线的－可－见相性贯点(贯穿点)
➢ 可见的条件：相贯线位于同时可见的两相交表面时，才可见。
★ 检查尤其注意检查截
交线投影的类似性
6
精选课件
棱线法！我们采用的是哪种解题方法？
7
精选课件
例2、求作截交线的水平投影和侧面投影。
s’ Pv
3’ 2’
1’
s” 3”
2”
1”
具体步骤如下：
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、 s’c’的交点1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1‫ ׳‬2‫׳‬
1‫ ״‬2‫״‬
3‫ ׳‬4‫׳‬
3‫״‬
5‫״‬
7‫״‬
4‫״‬
作图方法:
1 求棱线与截平面的共有点 6‫ ״‬2 连线
3 根据可见性处理轮廓线
5 7
6
3 1
2 4
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精选课件
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精选课件
例7 补全俯视图和左视图的投影
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1’ 2’(3’)
4’(5’) 7’(6’)
1”
3”