平面直角坐标系中的基本公式

2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

课程学习目标

目标重点：平面上两点间的距离公式和中点公式；

目标难点：两点间距离公式的推导；

［学法关键］

1．领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式；

2．距离公式的实质是将二维空间的长度计算问题转化为一维空间的长度计算问题。

研习点1. 两点间的距离公式

1． 两点 A(x1，y1)，B(x2,y2)间的距离公式表示为d(A，B)=222121()()xxyy。

2． 当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；

当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|；

当B为原点时，d(A，B)=2211xy。

求两点距离的步骤

已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：

（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2，y2).

（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.

（3）计算d=22xy.

（4）给出两点的距离d.

通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离

研习点2. 坐标法

坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.

用坐标法证题的步骤

（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；

（2）设出未知坐标；

（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.

研习点3. 中点坐标公式

已知A(x1，y1),B(x2，y2)两点，M(x，y)是线段AB的中点，则有121222xxxyyy

（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。

（2）若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点坐标为P’(2x0－x，2y0－y).

（3）利用中点坐标可以求得△ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为

12312333xxxxyyyy

题型1. 公式的基本应用

例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标，

（1）A(－1，－2)，B(－3，－4)；（2）C(－2，1)，D(5，2).

解：（1）设AB的中点为M(x，y)，得线段AB的中点坐标为M(－2，－3)，

AB两点的距离d(A，B)=22(2)(2)22。

（2）设CD的中点为N(x，y)，得线段CD的中点坐标为N(23，23)，

AB两点的距离d(C，D)=227152。 例2． 已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，

∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)3+12，解得x=0或x=2,

若点C在y轴上，设C(0，y)，由由∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，可得y=0 或y=4，而其中原点O(0，0)计算了两次，故选C.

题型2. 公式的逆用

例3. 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.

解：设点P的坐标为P(x，0)，由d(P，A)=10，得22(3)610x，解得x=11或x=－5，∴点P的坐标为(11，0)或(－5，0).

例4．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|=|CE|.

证明：如图，以B点为坐标原点，取AC所在的直线为x轴建立直角坐标系.

设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，

则A(－a，0)，D3(,)22aa，E3(,)22cc，C(c，0)，于是

|AE|=22222344ccaacaacc，

|CD|=22223()(0)22acaaacc

所以|AE|=|CD|.

例5．已知△ABC的顶点为A(－1，3)，B(3，－2)，C(2，4)，求BC边上的中线AM的长. 解：设点M的坐标为M(x，y)，因为点M是线段BC的中点，所以x=25，y=1，即M点的坐标为(25，1)，由两点间的距离公式得|AM|=22765()222.

因此，BC边上的中线AM的长为652.

【教考动向·演练】

1． 如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标是－1，则端点B的纵坐标是（ C ）

（A）－3 （B）5 （C）－3或5 （D）－1或3

2．设A(1，2)，在x轴上求一点B，使得|AB|=5，则B点的坐标是（ D ）

（A）(2，0)或(0，0) （B）(1－21，0)

（C）(121，0) （D）(121，0)或(121，0)

3．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是（ D ）

（A）(－2，0) （B）(1，0) （C）(1.5，0) （D）(3.4，0)

4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)， (2，3)等距离，则M点的坐标是(0，－21).

5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)的距离相等，求x+y的值.x+y=7

6．设D为△ABC的边BC上的一点，而BD=2DC，求证：|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.

例6． 求函数y=22148xxx的最小值.

解：函数的解读式可化为22148xxx=2222(0)(01)(2)(02)xx.

令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|+|PB|取最小值. A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)，

∵ min(||||)|'|13PAPBAB.

即函数y=22148xxx的最小值为13

例7．已知正方形ABCD的三个顶点坐标是A(2，3)，B(6，6)，C(3，10)，求顶点D的坐标。

解：设正方形的中心坐标为(a，b)，由中点坐标公式得a=25，b=132

再设D点的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得652261322xy，解得17xy

所以所求的D点的坐标为(－1，7).

【教考动向·演练】

7． 点A在第三象限，点A到x轴的距离为4，点A到y轴的距离是3，那么点A的坐标是（ B ）

（A）(4，3) （B）(－3，－4) （C）(3，4) （D）(－4，－3)

8．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是（ D ）

（A）4 （B）15 （C）17 （D）19

9．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是（ D ）

（A）(－2，－7) （B）(－3，－7)或(2，－5)

（C）(3，－5) （D）(2，－7)或(－3，－5)

10． 已知A(1，2)，B(－3，b)两点间的距离等于42，则b=6或－2. 11．求证：A(2，－5)，B(6，1)，C(5，－21)三点不能成为三角形的三个顶点.