柯西不等式教案

柯西不等式及三角不等式

2022年04月12日136__5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|xb|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|xa|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x3|+|x1|．

（Ⅰ）解不等式f（x）＞2；

（Ⅱ）若正数a，b，c满足a+2b+3c＝f（），求++的最小值．

9．（理科做）用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+。+（n+n）＝（n∈N*）

10．设实数x，y，z满足x+2y+3z＝6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值．

2022年04月12日136__5760的高中数学组卷

柯西不等式

1．已知x＋3y＋5z＝6，则222zyx的最小值为 (C )．

A.65 B.635 C.3635 D．6

2．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为( C )．

A．24 B．30 C．36 D．48

3．设a，b，c为正数且互不相等，求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a>9a＋b＋c.

4．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值．21

5．已知x＋4y＋3z＝2，求222zyx的最小值．213

6．已知a、b、c、d∈R＋，且a＋b＋c＋d＝1，求证：dcba222≥14.

7．已知22232zyx＝1817，求3x＋2y＋z的最大值．23

8．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.

(1)求证： yxzxzyzyx222222≥13；

(2)求4x＋4y＋4z2444zyx的最小值．

9．求函数y＝5x－1＋10－2x的最大值．63

10．已知,11122abba 求证：122ba。

11．已知222231,xyzxyz求的最小值.141

12．已知实数,,,,abcde满足8abcde, 2222216,abcde 求e的取值范围.]516,0[

13．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________.3 147

14．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．12

柯西不等式

练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd

证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc

二、讲授新课：

1. 二维柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，iiba,（i1，2，…，n）为任意实数，则：22222212121122()()()nnnnaaabbbababab

即

211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时

三、应用举例：

例1：已知a,b为实数，求证2332244)())((bababa

例题2：求函数xxy21015的最大值。

课堂练习：

例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证411ba

例3 已知a1,a2,…,an都是实数，求证：22221221)(1nnaaaaaan

的最小值. 求1,32 例5、已知222zyxzyx

四、巩固练习：

1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2

2、求函数xxy6453的最大值.

3 求函数31102yxx的最大值？

4. 已知321xy，求22xy的最小值.

5. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值.

6．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求zyx941的最小值。

7．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。

8．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求cba23的最大值。

9．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）

1 柯西不等式学案

【学习目标】

1、认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。

2、通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题。

【重点难点】柯西不等式的简单应用

【学习过程】

一、自学探究：（回顾上节所讲内容，完成下面知识点的梳理）

定理一:(二维形式的柯西不等式) 若a,b,c,d都是实数，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，当且仅当＿＿＿＿＿＿＿＿时，等号成立。

定理二：设123123,,,,,,,,nnaaaabbbb是两组实数，则有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，当且仅当＿＿＿＿＿＿＿＿时，等号成立。

推论：设32,1321,,,,bbbaaa是两组实数，则有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，当且仅当＿＿＿＿＿＿＿＿时，等号成立。

二、例题演练：

例1、已知Rba,，.1ba求证：411ba

例2、设cba,,为正数且各不相等，求证：cbaaccbba9222

例3.已知623yx，求22yx的最小值。

2 变式1.已知623yx，求222yx的最小值。

变式2.已知369422yx，求yx2的最大值。

变式3. 已知369422yx，求yx2的最大值。

例4.求函数xxxf126)(的最大值

3 【课堂小结与反思】

【课后作业与练习】

1.若cba，求证:cacbba411.

2、已知2221xy，则2xy的最大值是（ ）

A.2 B.2 C. 3 D.3

3、已知492xy，x,y∈R,则x+y的最小值是（ ）

A.252 B.254 C52 D.5.

4、已知x+y=1,那么2223xy的最小值是（ ）

A.56 B.65 C.2536 D.3625