柯西不等式导学案

名师精编 优秀教案

柯西不等式学案 刘才华 2013. 5.31

一、二维的柯西不等式： 若,,,abcdR， .

当且仅当 时, 等号成立.

变式10. 若,,,abcdR，则||2222bdacdcba或bdacdcba2222；

变式20. 若,,,abcdR，则222222()()abcdacbd ；

变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,yxyxyx为任意实数，则：

222212122323()()()()xxyyxxyy

变式40（柯西不等式的向量形式）设,是两个向量，则 .

二、三维的柯西不等式：若,,,,,abcdefR， 则 _____ . 当且仅当

______________时, 等号成立.

三、 n维的柯西不等式的一般形式： 设n为大于1的自然数，,iiabR(i1,2,…,n)，则：

211212)(niiiniiniibaba 即

当且仅当_____________________________________时, 等号成立.

四、柯西不等式应用：求式子的最值及证明不等式。

基本方法（1）巧拆常数：例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：cbaaccbba9222

（2）重新安排某些项的次序：例2：a、b为非负数，a+b=1，Rxx21,求证：212121))((xxaxbxbxax

（3）改变结构：例3、若a>b>c 求证：cacbba411

（4）添项：例4：Rcba,,求证：23bacacbcba

4.1求最值

1、已知,12yx求22yx的最小值。 2、已知,63222yx求yx2的最大值。

3、设ba、为正数，求)212)(1(abba的最小值。4、求函数xxy6453最大值。

5、求函数xxy2cos14sin3最大值。

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6、已知Rdcba、、、且,1dcba求2222dcba的最小值。

7、设Rzyx,,, 且x+2y+3z=36, 求zyx321的最小值．

8、已知，、、Rzyx且,10432zyx求222zyx的最小值。

9、已知，、、Rzyx,822zyx求222)3()2()1(zyx的最小值。

10、设x，y，z  R，若x2  y2  z2  4，则x  2y  2z之最小值为 时，(x，y，z) 

11、已知Rcba,,且a+b+c=1，求141414cba的最大值。

4.2、应用等号成立条件巧解题

1、设a,b,c,x,y,z均为正实数,满足a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=40，求zyxcba的值.

2、已知,11122abba求证：122ba。

4.3、证明不等式

1、△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

222222236)sin1sin1sin1)((RCBAcba

2、a、b为非负数，a+b=1，Rxx21,求证：212121))((xxaxbxbxax

五、典型训练题

[1】、设6 ),2,1,2(ba，则ba之最小值为________；此时b________。

答案：18; )4,2,4( 解析：baba ∴18ba ∴1818ba ba之最小值为18，此时)4,2,4(2ab

【2】 设a (1，0， 2)，b (x，y，z)，若x2  y2  z2  16，则ab的最大值为 。

【解】∵ a (1，0， 2)，b (x，y，z) ∴ a．b x  2z

由柯西不等式[12  0  ( 2)2](x2  y2  z2)  (x  0  2z)2 5  16  (x  2z)2   45

x  45

  45 a．b  45，故a．b的最大值为45

【3】设a、b、c为正数，求4936()()abcabc的最小值

【4】、设622 , , ,zyxzyxR，试求222zyx之最小值。

【5】 设x，y，z  R，2x  2y  z  8  0，则(x  1)2  (y  2)2  (z  3)2之最小值为

【6】设x, y, zR，若332zyx，则222)1(zyx之最小值为________，又此时y________。

解析：1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222zyxzyxzyx

∴最小值7181, 233,2(2)3(31)3231xyztxyzttt∴73t

∴72y

【7】、设a, b, c均为正数，且232cba，则cba321之最小值为________，此时a________。

【8】. 空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为，，（，， 均非象限角），求222sin9sin4sin1的最小值。

【9】、设x, y, zR，若4)2()1(222zyx，则zyx23之范围为何？又zyx23发生最小值时，x？

答案：2222222)2233(])2()1(3][)2()1[(zyxzyx

1425231425142523142)523()14(42zyxzyxzyx 若142523zyx又tzyx21231∴1425)2(2)2()13(3ttt∴714t ∴17143x 名师精编 优秀教案

【10】. 设x，y，z  R且14)3(5)2(16)1(222zyx，求x  y  z之最大值，最小值。

Ans 最大值7；最小值  3

【解】∵ 14)3(5)2(16)1(222zyx由柯西不等式知[42  (5)2 

22]222)23()52()41(zyx  ．．．2)52(5)41(4yx2)23(z  25  1

 (x  y  z  2)2  5  |x  y  z  2|  5  x  y  z  2  5 ∴  3  x 

y  z  7故x  y  z之最大值为7，最小值为  3

【11】. 求2sin 3cos sin  cos cos 的最大值与最小值。

答. 最大值为22，最小值为 22

【详解】令向量a  (2sin，3cos， cos)，b (1，sin，cos)由柯西不等式 |a．b|  |a||b|得

| 2sin 3cos sin  cos cos | 222coscos3sin4，

22cossin122)cossin1)(cos(sin42222

所求最大值为22，最小值为 22

【12】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

222222236)sin1sin1sin1)((RCBAcba证明：由三角形中的正弦定理得

RaA2sin，所以2224sin1aRA，同理2224sin1bRB，2224sin1cRC于是左边=

2222222222236)222()444)((RcRabRaaRacRbRaRcba。

【13】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式xzzyyx111≤λ恒成立,求λ的范围. 解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得xzzyyx111≤)(21212121zyxyzyxxzyxzzxzyxy

23))(111(21222zyxyzyxxzyxz故λ的取值范围是［23,+∞).

温馨提示：本题主要应用了最值法,即不等式xzzyyx111≤λ恒成立,等价于(xzzyyx111)max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=xzzyyx111的最大值.

【14】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求zyxcba的值.

解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.

由柯西不等式等号成立的条件,知zcybxa=λ,再由等比定理,得zyxcba=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不等式,得302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25×36,当且仅当zcybxa=λ时,上式等号成立.

于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±65(舍负),即