柯西不等式

1 柯西不等式

柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家.他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.

二维形式的柯西不等式

.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba

柯西不等式的变式:

bdacdcba2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcba

bdacdcba2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcba

.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bcaddcbabdacdcba

二维形式的柯西不等式的向量形式

.),等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk,,(.

例1：

① 已知122ba，求证：1sincosba

②已知62322yx，求证：112yx （有条件要用；没有条件，创造条件也要用。）

③已知1yx，求2232yx的最小值

④求函数xxy21015的最大值

⑤已知Ryx,，则222yxyx的最小值为________ 2 三维柯西不等式：2332211232221232221babababbbaaa

证明：321,,aaa，321,,bbb，

n维柯西不等式：设Rbbbaaann,,,;,,,2121

222112222122221nnnnbababaabbaaa

当且仅当nnbababa2211时取等号

例：

①已知Rcba,,，若1cba，求证：9111cba

②若1cba，求证：31222cba

若1,21niaaaRa，求证：naaan122221

③若Rcba,,，1cba，求证：41111222ccbbaa

若1,21niaaaRa，求证：1111112323222121naaaaaaaann

④若Rcba,,，求证：cbaaccbba9222

若,Rai求证：nnaaanaaaaaaaa21214332212222

⑤若Rcba,,，求证：cbaaccbba222

若,Rai求证：nnaaaaaaaaaaaa32112423322221 3 1，设a，b，c均为正数且a  b  c  9，则cba1694之最小值为

2，设a, b, c均为正数，且232cba，则cba321之最小值为_____，此时a_____。

，最小值为18 ∴31a

3，设x，y，z  R，且满足x2  y2  z2  5，则x  2y  3z之最大值为

解70,

4，设x，y，z  R，若x2  y2  z2  4，则x  2y  2z之最小值为 时，

(x，y，z) 

解(x  2y  2z)2  (x2  y2  z2)[12  (  2) 2  22]  4．9  36

∴ x  2y  2z最小值为  6，公式法求

(x，y，z) 此时322)2(26221222zyx

∴ 32x，34y，34z

5，设25 , , ,222zyxzyxR，试求zyx22的最大值与最小值。

最大值为15，最小值为–15。

6，设622 , , ,zyxzyxR，试求222zyx之最小值。

答案：考虑以下两组向量

u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式222)(vuvu，就有

)]()2()1(2[])2()1(2[2222222zyxzyx即

)(9)22(2222zyxzyx 将622zyx代入其中，得

)(936222zyx 而有

4222zyx 故222zyx之最小值为4。

7，设x，y，z  R，2x  2y  z  8  0，则(x  1)2  (y  2)2  (z  3)2之最小值为

解： 2x  2y  z  8  0

 2(x  1)  2(y

 2)

 (z  3)   9，

考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , ) 222)(vuvu

4 [2(x  1)  2(y  2)  (z  3)]2  [(x  1)2  (y  2) 2  (z  3) 2]．(22  22

 12)

 (x  1)2  (y  2) 2  (z  3) 2 9)9(2 9

8，设x, y, zR，若332zyx，则222)1(zyx之最小值为________，又此时y________。

解： 332zyx  2x  3(y  1)  z ( )，

考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

解析：1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222zyxzyxzyx

∴最小值718

1, 233,2(2)3(31)3231xyztxyzttt

∴73t ∴72y

9，设x，y，z  R且14)3(5)2(16)1(222zyx，求x  y  z之最大值，最小值。

【解】

∵ 14)3(5)2(16)1(222zyx

由柯西不等式知

[42  (5)2  22]222)23()52()41(zyx 

．．．2)52(5)41(4yx

2)23(z  25  1  (x  y  z  2)2  5  |x  y  z  2|

  5  x  y  z  2  5 ∴  3  x  y  z  7

故x  y  z之最大值为7，最小值为  3

10，△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证： 5 222222236)sin1sin1sin1)((RCBAcba

证明：由三角形中的正弦定理得

RaA2sin，所以2224sin1aRA，同理2224sin1bRB，2224sin1cRC于是左边=

2222222222236)222()444)((RcRabRaaRacRbRaRcba。

11，Rcba,,求证：23bacacbcba

bacacbcba232222222222222cabcabcabcabcbacabcabcba

12，已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式xzzyyx111≤λ恒成立,求λ的范围.

解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得

xzzyyx111

≤)(21212121zyxyzyxxzyxzzxzyxy

23))(111(21222zyxyzyxxzyxz故λ的取值范围是［23,+∞).

温馨提示

本题主要应用了最值法,即不等式xzzyyx111≤λ恒成立,等价于(xzzyyx111)max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=xzzyyx111的最大值.

【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求zyxcba的值. 6 解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.

由柯西不等式等号成立的条件,知zcybxa=λ,再由等比定理,得zyxcba=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不等式,得302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25×36,当且仅当zcybxa=λ时,上式等号成立.

于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±65(舍负),即65zcybxa.

竞赛欣赏

1,设,,abcR，求证：555333abcabcbcacab

证明：因222abcabbcca，由cauchy不等式有

4442222222()abcabcabcbccaabbccaab 此即（2-10）式。

2 设,,abcR，求证：2222223()bcaabcabc

证明：由均值不等式得322323222,2,2acaacbababcbcbc，故

3332222222()abcabbccaabbcca

即 222222()()3()abcabcabbcca.

又由柯西不等式知22223()()abcabc，故2223()abcabc

又由cauchy不等式得

原式左＝44422222222222222222()3()()()abcabcabcacbacbbccaababcabc原式右

(2018浙江省赛9)

设,xyR满足64120xyxy，求x的取值范围.

分析：64120xyxy22321yxy