第17章 应力状态与强度理论
17-1 试确定图示杆件中A点和B点处的原始单元体，并算出单元体上应力的数值。
题17-1图
17-2 已知应力状态如图所示。用下面两种方法求指定斜截面上的应力，并比较结果：(1)二向应力状态的基本公式；(2)应力圆。
题17-2图
17-3 图示简支梁承受均布载荷q＝5kN/m，试计算m—m截面上A点处在图示斜截面(α＝-30°)上应力的大小和方向。
题17-3图
17-4 试求图示单元体的主应力及最大切应力。
a) 单位：MPa b)
题17-4图 17-5 圆轴受力如图所示。已知轴径d=20mm，轴材料的许用应力[]=140MPa。试用第四强度理论校核该轴的强度。
题17-5图
17-6 图示的单元体前、后表面上无应力作用。试分别用解析法和图解法求与水平方向成=-60º的斜截面上的应力，并画出此单元体的三向应力圆，求出最大剪应力及其作用面。
17-7 试用图解法求出图示单元体的三个主应力。画出单元体的三向应力圆并求出最大剪应力。
题17-6图 题17-7图
17-8 绘出单向拉伸单元体的应力圆，并根据圆的几何图形证明与轴线成角度的斜截面上的应力公式2cos和sincos，其中为横截面上的正应力。
17-9 绘出纯剪单元体应力圆，并根据圆的几何图形证明与轴线成角度的斜截面上的应力公式：2sin和2cos，其中τ为横截面上的剪应力。
17-10 在一厚钢板上挖了一个尺寸为10mm3的立方孔穴，在这孔内恰好放一钢立方块而不留间隙，这立方块受有P=7000N的压力，试求这立方块内的所有三个主应力，假定厚钢板是不变形的。钢块的泊松比μ=0.3。
17-11 在一块厚钢板上挖了一个贯穿的槽，槽的深度和宽度都是1cm，在这槽内紧密无隙地嵌入了铝质立方块，它的尺寸是111cm3，并受P=6kN的压力，试求立方块内的三个主应力，如假定厚钢板是不变形的，铝的泊松比μ=0.3。
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材料力学第四强度理论公式
引言
材料力学是研究材料在外力作用下变形和破坏行为的学科，其中强度理论是其中的重要内容之一。材料强度的确定对于工程设计和材料选型有着重大的影响。本文将介绍材料力学中的第四强度理论公式。
第四强度理论公式
第四强度理论是材料力学中的一种理论，用于计算材料在多向应力状态下的强度。其公式如下：
σ_1/σ_t + σ_2/σ_c ≥ 1
其中，σ_1为主应力1，σ_2为主应力2，σ_t为拉伸强度，σ_c为压缩强度。
理论原理
第四强度理论基于先进的材料力学和实验研究结果，考虑了材料在拉伸和压缩状态下的强度差异。该理论假设材料在拉伸状态下具有一定的强度，而在压缩状态下具有另外一种强度。根据该理论，当主应力1占主导时材料在拉伸状态，主应力2占主导时材料在压缩状态。如果材料在两种状态下的强度满足上述公式，即应力状态下的强度符合要求，材料将不会发生破坏。
应用范围
第四强度理论常用于金属材料、复合材料和混凝土等工程材料的强度计算。在实际工程中，由于材料的各向异性和复杂的应力状态，第四强度理论在一定范围内具有一定的适用性。尤其对于需要考虑拉伸和压缩强度差异的工程设计，使用该理论能够更好地预测材料的破坏。 2
实例分析
以某汽车零部件为例，假设其经过实验测试得到拉伸强度为100 MPa，压缩强度为80 MPa。在使用第四强度理论进行计算时，需要先确定应力状态，然后分别计算主应力1和主应力2的数值。
假设某零部件承受的载荷为40 MPa，在拉伸状态下，主应力1为40 MPa，主应力2为0 MPa。代入公式可得：
σ_1/σ_t + σ_2/σ_c = 40/100 + 0/80 = 0.4
由于0.4小于1，所以该零部件在该应力状态下没有破坏的风险。
结论
材料力学第四强度理论公式是一种常用于计算多向应力状态下材料强度的理论。在工程设计和材料选型中，合理使用该公式可以更好地预测材料的破坏，并保证工程的安全性和可靠性。然而，如同其他理论一样，第四强度理论也有其局限性，需要结合实际工程情况进行适当的修正和补充。
1北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-ShengBeijing JiaotongUniversity
Institute of Engineering Mechanics
应力状态和强度理论
北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-ShengBeijing JiaotongUniversity
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1. 一点的应力状态
北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-ShengBeijing JiaotongUniversity
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拉、压杆件截面上的应力: 应力状态1.一点的应力状态
FN
AF
N=σ2
θcosσσθ=
()
θ1
sin2
2τσθ=
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拉、压杆件上一点的应力: 应力状态1.一点的应力状态
σσσσA
σ
α
σ
ασ
βσ
β
τ
α
τ
β
2cos
ασσα=()1
sin2
2ατσα=单元体
北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-ShengBeijing JiaotongUniversity
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根据平衡方程0=∑
nF0=∑
tF
()
()0sincosdd0coscosdd
=−=−
θθστθθσσ
θθ
AAAA
xx应力状态1.一点的应力状态
θσσ
θ2cos
x=()θστ
θ2sin
21
x=
北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-ShengBeijing JiaotongUniversity
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构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为
该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面
第五章 应力状态分析与强度理论
1、 内容提要
1.应力状态的概念
1.1一点的应力状态
通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的
应力状态。
1.2一点的应力状态的表示方法——单元体
研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的
正六面体，即单元体。若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通
过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。
1.3主平面、主应力
单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主
应力。
过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应的主应力用、、
来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即。是最大主应力，是最小主
应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。
1.4应力状态的分类
（1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零；
（2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零；
（3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。
单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状
态。
2.平面应力状态分析的解析法
在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主
平面，其上主应力为零。可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。
2.1任意斜截面上的应力
当已知、、时，应用截面法，可得
（5-1）
式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点
的矩为顺时针转向为正，反之为负；为斜截面外法线与x平面外法线即x
轴间的夹角，角从x轴量起，反时针转向为正，反之为负。
2.2主应力
（5-2）
式中，和分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大
值和最小值。它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。三个主应力、和0要按代数值大小排列，分别用、、表示。
2.3主平面的方位角
主平面与x轴间的夹角可按下式计算
（5-3）
由上式可确定两个主平面的方位角和，其中当时，主平面上的主应力
为，主平面上的主应力为；
