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二次函数的最值问题二次函数是高中数学中的重要内容之一。
在学习二次函数的过程中，最值问题是一个常见的考点。
了解和掌握二次函数的最值问题对于解决实际问题和应用数学知识具有重要的意义。
一、二次函数的定义二次函数是一种具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数类型，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
它的图像呈现出抛物线的形状。
二、最值问题的定义在二次函数中，最值是指函数的最大值和最小值。
最大值是图像的顶点，也叫抛物线的顶点；最小值是函数的最低点。
三、最值问题的求解方法要解决二次函数的最值问题，可以通过求导或通过抛物线的顶点来确定最值。
1. 求导法通过二次函数的导数来找到最值。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，先求导得到f'(x) = 2ax + b。
然后令f'(x) = 0，解方程得到x的值。
将解得的x代入原函数f(x)中，即可求得最值。
2. 抛物线的顶点法由于二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的顶点是最值点。
可以通过顶点的坐标来求得最值。
a. 利用顶点的横坐标二次函数的顶点横坐标为x = -b/2a。
将这个横坐标代入原函数中，即可得到最值的纵坐标。
b. 完全平方公式对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过将其转化为完全平方的形式求得最值。
将二次幂的项进行完全平方，在此过程中求得顶点的纵坐标。
四、最值问题的实际应用二次函数的最值问题在现实生活中有着广泛的应用。
1. 最佳投影距离假设有一条铁丝长10米，我们需要利用它搭建一个人字形的支架，要求两边支架的高度和底座的宽度之和最小。
这个问题可以转化为求解二次函数的最小值问题。
2. 最大面积某地修建一个有围墙的公园，公园的一段外墙已经确定，剩余的三段墙需要设计。
已知外墙一段的长为10米，求其它三段的长度使园的面积最大。
以上只是二次函数最值问题的两个简单实际应用举例，实际问题种类繁多，只要问题可以用二次函数表示，就可以应用最值问题进行求解。
二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。
解决这类问题需要一定的技巧和方法。
本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。
一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。
对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。
1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。
通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。
当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。
2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。
对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。
3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。
当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。
二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。
1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。
根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。
2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。
例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。
3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。
导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。
二次函数求最值的三种方法一、引言在学习高中数学时，我们会学到二次函数，并学习如何求出这个函数的最值。
这是一个非常重要的问题，因为在实际生活中，很多问题都可以用二次函数来描述，例如：投射物的运动轨迹、拱桥的设计等。
为了更好地理解和掌握这一知识点，本文将分析三种常见的方法来解决二次函数求最值的问题。
这些方法包括：1.利用二次函数的顶点公式求最值2.利用二次函数的导数公式求最值3.利用求根公式解二次方程求最值在下文中，我们将详细展开上述三种方法的整体流程并进行详细描述。
二、利用二次函数的顶点公式求最值二次函数的标准形式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
我们可以通过求出顶点来确定二次函数的最值。
我们知道，对于标准二次函数，其顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
使用这一公式，我们可以简单地找到二次函数的最值。
接下来，我们将细致地介绍如何使用顶点公式求二次函数的最值。
1. 将二次函数转换为标准形式。
我们有一个二次函数y=2x²+4x-5，我们可以将其转换为y=2(x²+2x)-5。
2. 现在，我们可以通过分离平方项来找到二次项x²的系数a和一次项x的系数b。
在本例中，二次项系数a为2，一次项系数b为4。
3. 接下来，我们可以使用顶点公式来计算出顶点的坐标。
根据公式，顶点的横坐标为-b/2a，若b为正数，顶点为函数的最小值，反之为最大值。
在本例中，由于一次项系数为正数，因此我们将使用公式-b/2a来计算横坐标。
(a) 横坐标=-b/2a=(-4)/(2*2)=-1(b) 将横坐标代入原函数中，可得纵坐标f(-1)=2*(-1)²+4*(-1)-5=-7(c) 顶点坐标为(-1,-7)。
4. 因其二次项系数为正数，所以这是一个开口向上的抛物线，并且其最小值为-7，在顶点的位置。
答案为f(x)=-7。
三、利用二次函数的导数公式求最值另一种方法是使用二次函数的导数公式来确定最值。
二次函数的最值求解方法二次函数是高中数学中的重要内容之一，研究二次函数的最值求解方法对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
本文将介绍二次函数的最值求解方法，并通过实例进行说明。
我们来了解一下二次函数的基本形式。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负。
要求解二次函数的最值，首先需要找到函数的顶点。
由于二次函数的图像是一个抛物线，其最值就是抛物线的顶点。
求解二次函数的顶点的方法有两种：完成平方与配方法。
下面分别介绍这两种方法。
一、完成平方法：完成平方法是一种将二次函数转化为平方的方法。
步骤如下：1. 将二次函数f(x) = ax^2 + bx + c表示为f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中(h, k)为顶点的坐标。
2. 将二次函数右侧的常数项c移到等号右侧，并将二次项和一次项写成平方的形式。
3. 根据平方的性质，将平方项重新组合，并添加适当的常数项，使得二次项和一次项可以写成平方的形式。
4. 将等式两边进行整理，得到f(x) = a(x - h)^2 + k的形式。
5. 根据顶点的坐标(h, k)，求得二次函数的最值。
二、配方法：配方法是一种通过配方将二次函数转化为标准形式的方法。
步骤如下：1. 将二次函数f(x) = ax^2 + bx + c表示为f(x) = a(x - p)(x - q)的形式，其中p和q为实数，p不等于q。
2. 将二次函数右侧的常数项c移到等号右侧，并将二次项和一次项写成两个因式的形式。
3. 根据二次函数展开的结果，将二次项和一次项转化为两个因式相乘的形式。
4. 根据配方法的原理，将二次函数转化为标准形式f(x) = a(x - p)(x - q)。
5. 根据标准形式，求得二次函数的顶点，进而求得最值。
在实际应用中，求解二次函数的最值需要根据具体的问题进行分析和求解。
二次函数最值公式二次函数最大值和最小值的公式可以用以下两种方法进行推导：1. 完成平方形式二次函数可以写成以下形式：f(x) = ax^2 + bx + c我们要求它的最大值（或最小值），可以将它化为完全平方形式：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，h和k是待求的顶点坐标，具体求解方法如下：首先，将x的系数a提取出来：f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c然后，将括号内的两项平方相加减去平方项的一半，再加上这个差的平方，就得到完全平方：f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + cf(x) = a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + cf(x) = a(x + b/2a)^2 + (4ac - b^2)/4a其中，顶点坐标为（-b/2a, (4ac - b^2)/4a），最大值为k = (4ac -b^2)/4a （当a > 0时），最小值为k = (4ac - b^2)/4a （当a < 0时）。
2. 利用导数另一种方法是利用导数求解。
因为最大值和最小值都在函数的极值点处取得，所以我们可以通过求函数的导数来找到它的极值点。
首先，求出f'(x)：f'(x) = 2ax + b然后，令f'(x) = 0，解出x的值：2ax + b = 0x = -b/2a这个x就是函数的极值点，同时也是顶点的横坐标。
将x代入原函数，就得到顶点的纵坐标：k = f(-b/2a) = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + ck = (4ac - b^2)/4a按照前面的规律，当a > 0时，最大值为k，当a < 0时，最小值为k。
总结以上就是二次函数最大值和最小值的两种求解方法。
其中，通过平方完成形式的方法比较简单，但有时比较费时间。
而利用导数的方法更直观，但需要学习导数知识。
二次函数的最值二次函数是一种非常常见和重要的数学函数形式，具有许多应用和特点。
其中一个重要的特点就是它的最值。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括如何求解最值以及最值的应用。
一、最值的概念在数学中，最值是指一个函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。
二次函数的最值是指二次函数在定义域内取得的最大值或最小值。
二、最值的求解求解二次函数的最值可以通过求导数或者求二次函数对称轴来实现。
1. 求导数法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过求导数来找到最值。
首先，对二次函数求一阶导数，然后令导数等于0，即求解方程ax^2 + bx + c = 0。
这样可以找到二次函数的驻点，将驻点代入二次函数，得到最值。
2. 对称轴法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过求其对称轴来找到最值。
二次函数的对称轴公式为x = -b / (2a)。
将对称轴的x值代入二次函数，即可得到最值。
三、最值的应用最值问题在实际应用中有着广泛的应用，尤其是二次函数的最值。
1. 经济学应用在经济学中，二次函数的最值问题常用于研究成本、利润或者效益等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助经济学家做出更合理的决策。
2. 物理学应用在物理学中，二次函数的最值问题常用于研究物体的运动轨迹、能量等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助物理学家预测和解释实验现象。
3. 工程学应用在工程学中，二次函数的最值问题常用于研究设计优化、材料选取等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助工程师在设计和实施工程项目时作出最佳决策。
四、例题演示假设有一个二次函数y = -x^2 + 2x + 3，我们来求解它的最值。
1. 求导数法首先，对二次函数求导数，得到y' = -2x + 2。
令导数等于0，即-2x + 2 = 0，解得x = 1。
将x = 1代入二次函数，得到y = 4。
所以，二次函数y = -x^2 + 2x + 3的最值为y = 4。
二次函数的最值点与最值问题二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学建模、物理问题以及经济学中的应用广泛。
在研究二次函数的性质时，我们常常关注它的最值点和最值问题。
本文将重点讨论二次函数的最值点与最值问题，并探究如何求解。
一、二次函数的最值点二次函数的最值点是指在函数曲线上局部最高或局部最低的点。
这些点被称为顶点或拐点。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，顶点坐标可以通过以下公式求得：Vertex_x = -b / 2aVertex_y = f(Vertex_x)在求解最值点时，我们首先需要判断二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
知道开口方向后，我们可以通过计算顶点坐标来确定最值点的位置。
举个例子，考虑二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1。
首先，根据a的值为1，我们得知此函数开口向上。
然后，根据公式求解顶点坐标：Vertex_x = -2 / (2*1) = -1Vertex_y = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0因此，二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最值点为(-1, 0)，即顶点位于坐标系中点(-1, 0)的位置。
二、二次函数的最值问题除了求解最值点的坐标，我们还经常遇到二次函数的最值问题。
最值问题包括求解二次函数的最大值和最小值。
在数学建模和实际问题中，这些最值点往往代表了问题的极端点，具有重要的意义。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，最值问题可以通过以下步骤求解：1. 判断二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
2. 找到最值点的横坐标。
根据二次函数的最值点公式，我们可以计算顶点的横坐标，即Vertex_x = -b / 2a。
3. 根据二次函数的开口方向，确定最大值或最小值。
二次函数最值问题解题技巧二次函数最值问题是高中数学中常见的一类问题，也是中考、高考中经常出现的题型之一。
解题时需要掌握一些解题技巧，下面就介绍一些二次函数最值问题的解题技巧。
1. 求最值的方法二次函数的最值可以通过求解二次函数的顶点来得到，顶点即为最值点。
二次函数的顶点公式为：(-b/2a , f(-b/2a))。
其中，a、b、c分别为二次函数的系数，f(x)表示函数值。
2. 求最值的条件要求二次函数的最值，必须先要满足二次函数的a值不为0，否则该函数就不是二次函数。
其次，需要根据二次函数的符号来判断最值，当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
3. 求最值的步骤求解二次函数的最值，一般可以分为以下几个步骤：（1）将二次函数化简为标准形式：y=ax+bx+c。
（2）求出二次函数的顶点坐标：(-b/2a , f(-b/2a))。
（3）判断二次函数的最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
（4）用最值来解题：根据题目要求，将二次函数的x值代入函数中求出对应的y值，从而得到函数的最值。
4. 拓展除了方法和步骤外，还有一些需要注意的点：（1）二次函数最值问题常常伴随着图像问题，需要将函数的图像画出来，从而更直观地理解问题。
（2）对于一些复杂的二次函数，可以借助计算器等工具来求解，但需要掌握求解方法和步骤。
（3）对于二次函数最值问题的解题，需要练习多种不同类型的题目，从而提高解题能力。
总之，掌握二次函数最值问题的解题技巧，需要学生在学习中不断积累，多加练习，从而提高数学解题能力。
二次函数最值 内容讲解：二次函数的最值问题，包括三方面的内容：自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=a x 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a时，y 随x 增大而减小；当x>-2b a 时，y 随x•增大而增大；当x=-2b a时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x=-2b a时，y 取最大值244ac b a -． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析例1（2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（）． （A ）3（B ）5914（C ）92（D ）6 分析：设x-1=1223y z +-==t ，则x 2+y 2+z 2可用只含t 的代数式表示，通过配方求最小值． 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t 2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914． 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k 法是解决等比问题最常用的方法．例2（1995年全国初中数学联赛试题）设x 为正实数，则函数y=x 2-x+1x的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值。
解：y=x 2-x+1x =（x-1）2+（x+1x ）-1=（x-1）2+）2+1要求y的最小值，最好有（x-1）2=0）2=0，这时得到x=1．于是，当x=1时，y=x 2-x+1x 取最小值1． 评注：函数y=x 2-x+1x 含有1x，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法． 例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x 2+4│x │-1的最小值是________． 分析：对x 分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．解：y=2（│x│+1）2-3=222(1)3,0,2(1)3,0.x xx x⎧+-≥⎪⎨--≤⎪⎩其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-2x-1│的图象，对称轴是直线，方程x2x-1=02．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f=|，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f），∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤23，x1+x2=2m，x1x2=22323m m+-，x12+x22=2（m-34）2+78=2（34-m）2+78，•∵m≤23，∴34-m≥34-23>0，从而当m=23时，x+x取得最小值，且最小值为2×（34-23）2+78=89．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6求函数y=（4-x）分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥y=4-x+2（当评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7（2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2<x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．解：函数y=x2-x-2的图象如图．（1）当-2<a<12时，y min=y│x=a=a2-a-2；当a≥12时，y min=12|xy==-94．（2）当-2<a且a+2<12，即-2<a<-32时，y min=y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当a<12≤a+2，即-32≤a<12时，y min=12|xy==-94．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，•而数形结合的方法可以直观地帮助求解．例8（2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m 达到最大时x=_______．分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1．评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．例9（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．分析：由条件可构造以x、y为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围．解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z2-5z+3．∴x、y是关于t的一元二次方程t2-（5-z）t+z2-5z+3=0的两实根．∵△=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，即3z2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0．∴z≤133，当x=y=13时，z=133．故z的最大值为13 3．评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法．例10（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=a x2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x•轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．分析：应用二次函数y=a x2+bx+c过已知两点可确定a、b、c之间关系，并利用根的判别式求出b+c最值．解：由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以4,1, 421,32.a b c b aa b c c a-+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以△=b2-4ac>0，（-a-1）2-4a（3-2a）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a是正整数，故a>1，所以a≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•的最大值为-4．评注：借助二次函数图象与x轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．例11（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b ≤0，c>0，•24b ac -，求b-4ac 的最小值．分析：由b 2-4ac 容易想到一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式，且b 2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax 2+bx+c 来解．解：令y=ax 2+bx+c ， 由a<0，b ≤0，c>0，判别式△=b 2-4ac>0，•所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），因为x 1x 2=c a<0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x=-2b a≤0，于是│x 1│=|242b b ac a -+-|=242b b ac a -=c ，所以244ac b a -≥c=242b b ac a --≥-242b ac a-，故b 2-4ac ≤4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立．所以b 2-4ac 的最小值为4。
评注：有的给出的问题不是二次函数，但经过适当变形后，•可以转化为二次函数的问题，我们要领会这种转化思想．例12（2003年天津市竞赛题）已知函数y=（a+2）x 2-2（a 2-1）x+1，其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 何值时，函数值最小．分析：将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为x=212a a -+=（a-2）+32a +，因0<32a +≤1，a-2<212a a -+≤a-1，故函数的最小值只可能在x 取a-2，a-1，212a a -+时达到，所以，•解决本例的关键在于分类讨论．解：y=（a+2）（x-212a a -+）2+1-22(1)2a a -+，其对称轴为x=212a a -+=（a-2）+32a +． 因为a 为正整数，故0<32a +≤1，a-2<212a a -+≤a-1．因此，函数的最小值只可能在x 取a-2，a-1，212a a -+时达到．（1）当212a a -+=a-1时，a=1，此时，x=1使函数取得最小值．（2）当a-2<212a a -+<a-1，即a>1时，由于x 是正整数，而212a a -+为小数，故x=212a a -+不能达到最小值．当x=a-2时，y=（a+2）（a-2）2-2（a 2-1）（a-2）+1，当x=a-1时，y=（a+2）（a-1）2-2（a 2-1）（a-1）+1．y 1-y 2=4-a ．（i ）当4-a>0，即1<a<4且a 为整数时，x 取a-1，使y 2为最小值；ii ）当4-a=0时，即a=4时，有y 1=y 2，此时x 取2或3；（iii ）当4-a<0，即a>4且为整数时，x 取a-2，使y 1为最小值．综上，x=1,1,1,14,23,4,2,4.a a a a a a =⎧⎪-<<⎪⎨=⎪⎪->⎩当时当时或当时当时（其中a 为整数）评注：求二次函数y=a x 2+bx+c 在给定范围的最值，•关键是看对称轴方程是否在给定范围内，并与端点一并比较． 例13（1997年湖北省荆州市初中数学联赛试题）已知二次函数y=（a 2-a+1）x 2+bx+16a 的图象与x 轴交点为A （x 1，0），B （x 2，0），其顶点横坐标为12，设t=x 13+x 23．（1）试用a 把t 表示出来； （2）问实数a 取何值时，t 取最小值，最小值是多少？分析：应用一元二次方程根与系数关系可求出t 的表达式；•再通过根的判别式法求出t 的最值． 解：根据题意得21221221,22(1),16.1b a a b x x a a a x x a a ⎧⎪=-⎪-+⎪⎪+=-⎨-+⎪⎪⎪=⎪-+⎩g ∴b=-（a 2-a+1），x 1+x 2=1．此时，△=b 2-4（a 2-a+1）·6a =（a 2-a+1）2-23a （a 2-a+1）=（a 2-a+1）（a 2-53a+1）=[（a-12）2+34][（a-56）2+1136]>0，∴a 可取任意实数值．1）t=（x 1+x 2）3-3x 1x 2（x 1+x 2）=1-3x 1x 2=1-12·2222321222a a a a a a a -+=-+-+．（2）将t=22232222a a a a -+-+变形，得2（t-1）2a 2+（3-2t ）a+2（t-1）=0，显然，当a=0时，t=1．当t ≠1时，△a =（3-2t ）2-4×2（t-1）×2（t-1）≥0，即12t 2-20t+7≤0，∴12≤t ≤76．综上所述，t min =12，仅当a=1时取得． 评注：在求二次函数的最值时，若二次函数有字母系数，则应考虑△≥0与二次项系数不为0的条件． 例14生产某商品xt 需费用1000+5x+110x 2元，出售该商品xt 时的价格是每吨a+x b 元，•其中a ，b 是常数，如果生产出的商品都能卖掉，并且当产量是150t 时利润最大，这时的价格是每吨40元，求a ，b 的值． 分析：首先表示出利润是y 的函数关系式，然后再求取二次函数的最值．解：设卖出xt 的利润是y 元，则y=x （a+x b ）-（1000+5x+110x 2）=（1b -110）x 2+（a-5）x-1000．又由题设知，当x=150时，y 最大，因此5300150,35,112()1015015040.40.a a b b a a b b -⎧-=⎧⎪+=⎪-⎪⎪⎨⎨⎪⎪+=+=⎪⎪⎩⎩即解得a=45，b=-30．当b=-30时，1b -110<0， ∴函数有最大值．∴a=45，b=-30为所求．评注：这是一个关于商品的利润问题，解决此类问题的关键是函数建模，使之转变为函数问题，再利用一元二次函数在顶点处取最值的方法来求解．例15（2000年全国数学竞赛题）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，•它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32•人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，•可以使得这32个人满意的总分达到最小？最小值是多少？（•有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼）． 分析：设电梯停在第x 层，在第一层有y 个人没有乘电梯而直接上楼，•那么首先用x 、y 表示出不满意总分的函数关系式，再用配方法来求取最值．解：对于每一个乘电梯上、下楼的人，他所住的楼层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设P 层的人乘电梯，而住Q 层的人直接上楼，P<Q ．交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少，即P>Q ．设电梯停在第x 层，在第一层有y 个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为S=3[1+2+3+…+（33-x ）]+3（1+2+…+y ）+[1+2+…+（x-y-2）]=3(34)(33)3(1)(2)(1)222x x y y x y x y --+----++=2x 2-（y+102）x+2y 2+3y+1684=2（x-210215)48y ++（y-6）2+316≥316．当y=6，x=61024+=27时S 取最小值为316． 评注：通过配方，把S•的代数表达式用非负数与常数的和或积表示而求最值是常用的方法应掌握．例16在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季度即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．（1）试建立销售价y 与周次x 之间的函数关系式；（2）若这种时装每件进价Z 与周次x 次之间的关系为Z=-0.125（x-8）2+12.1•≤x ≤16，且x 为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？分析：由于时间不同所建立的函数解析式就不同，故本题需要分类讨论．解：依题意，可建立的函数关系式为：y=202(1)(16)218(16)30(611)30(611)302(11)(1216)252(1216)x x x x x x x x x x +-≤≤+≤≤⎧⎧⎪⎪≤≤≤≤⎨⎨⎪⎪--≤≤-+≤≤⎩⎩即y=（2）设销售利润为W ，则W=售价-进价 故W=2221202(8)14(16)8130(8)12(611)81(8)240(1216)8x x x x x x x x ⎧++--≤≤⎪⎪⎪+--≤≤⎨⎪⎪--+≤≤⎪⎩化简得W=222114(16)81226(611)81448(1216)8x x x x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪⎪-+≤≤⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩①当W=18x 2+14时，∵x ≥0，函数y 随着x 增大而增大，∵1≤x ≤6∴当x=6时，W 有最大值，最大值=18.5．②当W=18x 2-2x+26时，∵W=18（x-8）2+18，当x ≥8时，函数y 随x 增大而增大∴在x=11时，函数有最大值为1918．③当W=18x 2-4x+48时，∵W=18（x-16）2+16，∵12≤x ≤16，当x ≤16时，函数y 随x 增大而减小，∴在x=12时，函数有最大值为18．综上所述，当x=11时，函数有最大值为1918．评注：本题以分段函数为背景，与分类讨论思想相结合，解题时要紧扣题设条件，根据自变量的不同取值范围，实施分类解答，并做到不重不漏，逐层讨论求解．巩固练习：一、选择题1．已知二次函数y=a x 2+bx 的图象经过点A （-1，1），则ab 有（）（A ）最小值0（B ）最大值1（C ）最大值2（D ）有最小值-142．如图，四个二次函数的图象，哪一个函数在x=2时，有最大值（）3．正实数x 、y 满足xy=1，那么44114x y 的最小值为（） （A ）12（B ）58（C ）1（D ）54（E ）2 二、填空题1．函数y=-2x 2+x 图象的对称轴是_______，最大值是______．2．如果二次函数y=x 2-6x+m 的最小值是1，那么m 的值是_______．3．已知二次函数y=（x-1）2+（x-3），当x=_______时，函数达到最小值．4．当0≤x ≤3时，二次函数y=-x 2+4x-2的最大值是_______，最小值是_______．5．已知二次函数y=12（x-1）2+1，如果当1≤x ≤a （a>1）•，•y•的最大值恰好是a ，•则a=_______． 6．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为______元．7．用长为16米的细绳围成一个矩形，矩形的长为x ，面积为y ，则y 与x•之间的函数关系式为，y 的最大值为_______．8．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为________、________米．9．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+ax+a=2的两个实数根，则（x 1-2x 2）（x 2-2x 1）的最大值为_________．10．若抛物线y=x 2-（k-1）x-k-1与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC的面积最小值为________．11．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距102km ，若A 船向西航行，B•船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度2倍，那么A 、B 两船的最近距离为_______km ．12．销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售金额最大，那么m 的值应该确定为________．三、解答题 1．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． （1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？2．某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，•又不高于80元/件，试销中销售量y （件）与销售单价x （元/件）•的关系可近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 的关系式；（2）设商厦获得的毛利润（毛利润=销售额-成本）为s （元），•则销售单价定为多少时，该商厦获利最大？最大利润是多少？此时的销售量是多少件？3．某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲面前1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大模高为3.1m ，那么他能否获得成功？4．某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．•考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x （角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y （角）．（1）用含x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y 与x 之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？•最大利润为多少？5．用总长为32m 的篱笆墙围成一个扇形的花园．（1）试写出扇形花园的面积y （m 2）与半径x （m ）之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；（2）用描点法作出函数的图象；（3）当扇形花园半径为多少时，花园面积最大？最大面积是多少？此时这个扇形的圆心角是多少？（精确到0.1度）（4）请回答：如果同样用32m 的篱笆围成一个面积最大的矩形花园，这个花园的面积是多少？对比上面的结论，你有什么发现？6．如图，已知抛物线y=12x 2+mx+n （n ≠0）与直线y=x 交于A 、B 两点，•与y•轴交于点C ，OA=OB ，BC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式．（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．7．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租车的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出_______辆车（直接填写答案）；（2）设每辆车的月租金为x（x≥3000）元，用含x的代数式填空：（3）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？•最大月收益是多少元？8．某商品的价格下降x%，则卖出的商品增长mx%（常数m>0）．（1）当m=1.25时，应降价百分之几，才能使售出总金额最大？（2）如果适当地降价，能求使售出总金额增加m的取值范围．9．某公司生产一件产品的成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，•为了获得更好效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入广告费是x（万元）时，产量的年销售量将是原销售量的y倍，且y=-277101010xx++，•如果把利润看作销售额减去成本费和广告费，（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获利最大，最大利润是多少万元．（2）把（1）中的最大利润再留出3万元作广告费用，其余用于投资新项目，•现有六个项目供选择，各项目每股投资金额和预计收益如下表所示：如果每个项目只能投资一股，且要求所有投资项目的收益总额不低于1．6万元，•问有几种符合要求的投资方案．写出每种投资方案所选项目．10．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售这种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）•的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支），当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？11．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：•当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（•维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入-支出费用）为y （元）．（1）用含x 的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费；（2）求y 与x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？•此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a （x+2b a）2+244ac b a 的形式，并据此说明：当x•为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？12．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米．两个动点P 、Q•分别从A 、C 两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动．当点Q 运动到点A 时，P 、Q 两点运动即停止．点P 、Q 的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P 运动时间为t （秒）．（1）当时间t 为何值时，以P 、C 、Q 三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米；（2）当点P 、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ 与△ABC 围成阴影部分面积为S （厘米2），求出S 与时间t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；（3）点P 、Q 在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．13．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口．．的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，•水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，•他们对水槽的横截面进行了如下探索：（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a ）．若∠ACB=90°，设AC=x 厘米，该水槽的横截面面积为y 厘米2，请你写出y 关于x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围），并求出当x 取何值时，y 的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b ）．若∠ABC=120°，•请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y 的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，•使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．14．（1997年太原市初中数学竞赛试题）对于x 的二次三项式a x 2+bx+c （a>0）．（1）当c<0时，求函数y=-2│a x 2+bx+c │-1的最大值；（2）若不论k 为任何实数，直线y=k （x-1）-24k 与抛物线y=a x 2+bx+c•有且只有一个公共点，求a ，b ，c 的值． 答案:一、1～3．DAC 。
