冀教版数学八年级上册第十五章 二次根式

一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“二次根式”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,它们是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.二次根式的教学应尽可能设计成学生积极探索,自主学习的过程,引导学生了解二次根式的概念,会识别二次根式;了解最简二次根式的概念,会辨别一个根式是否为最简二次根式;掌握二次根式的性质,会根据它们熟练地进行二次根式的化简与运算;掌握二次根式的乘除运算,会用它进行简单的二次根式的乘除运算;掌握分母有理化;了解同类二次根式的概念,掌握判断同类二次根式的方法,能正确合并同类二次根式,进行二次根式的加减运算;了解二次根式混合运算的运算顺序:先算乘除,后算加减,有括号时先算括号内的;能借助乘法公式进行二次根式的和与差的乘法运算.2.本单元教学内容分析冀教版教材八年级上册第十五章“二次根式”,本章包括四个小节:15.1二次根式;15.2二次根式的乘除运算;15.3二次根式的加减运算;15.4二次根式的混合运算.本章内容主要是二次根式的性质和运算.(1)在实数一章已经学习了平方根、算术平方根的概念,还学习了借助于平方运算来求非负数的平方根、算术平方根.本章是在此基础上,结合实际问题的需要,引入二次根式的概念,并以“同一个非负数的算术平方根是唯一的”为依据,得到二次根式的基本性质.(2)二次根式的基本性质是二次根式化简的基本依据,用它可将任何一个二次根式化成与之等值的最简二次根式,教材既突出了化简的依据,又突出了化简的实施方法.(3)二次根式基本性质的逆向应用,便可实施二次根式的乘除运算.教材以学生操作为主,辅以示例解析的过程,引导学生掌握二次根式的乘除运算(包括简单的分母有理化);二次根式的加减运算,实际上是以二次根式的化简为前提,而后合并“同类的最简二次根式”.教材借助于和“整式加减的合并同类项”的类比,启导学生自主地理解并掌握这类运算;在二次根式的混合运算中,使学生认识到:与数、整式和分式的混合运算一样,先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.(4)通过对本章的学习,可以更概括、更统一地认识“式”的意义和发展层次,认识“式的化简”与“式的运算”的依据和实施的共性,从而更好地提高运算能力.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十五章二次根式,在前面学生已经学习了整式和算术平方根.这些知识的储备为本章的学习奠定了良好的基础,使学生具备了掌握本章知识的基本技能.本章主要研究二次根式的性质和运算,根据教师所创设的具体情境,使学生主动探索学习,在探索的过程中,感受知识的形成,培养学生严谨的科学态度.四、单元学习目标1.结合实际问题,了解二次根式、最简二次根式的概念,会辨别一个根式是否为最简二次根式.2.掌握二次根式的性质,会根据它们熟练地进行二次根式的化简与运算.3.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.会将分母中含有一个二次根式(根号下仅限于数)的式子进行分母有理化.4.借助二次根式的化简与运算,发展与提高运算能力.5.引导学生适时地运用“逆向思考”和“类比思考”提出问题与解决问题,以提高学生的数学基本素养.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

15.3二次根式的加减运算教学目标【知识与能力】1.了解二次根式(根号下仅限于数)的加减运算.2.会合并被开方数相同的二次根式,能进行二次根式的加减运算.【过程与方法】1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.2.体会用类比的思想研究二次根式的加减运算法则,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.【情感态度价值观】1.教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程,鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑.2.让学生品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.教学重难点【教学重点】二次根式的加减运算法则.【教学难点】能正确地计算二次根式的加减法.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:1.复习最简二次根式(1)怎样的二次根式叫做最简二次根式?(2)2√5与√20的实质区别是什么?2.复习整式的加减【课件1】计算下列各式.(1)2x+3x;(2)2x2-3x2+5x2;(3)y+2y+3y;(4)3a2-2a2+a2.说明:上面题目的计算,实际上就是我们以前学过的合并同类项,合并同类项的法则是:字母及其指数不变,系数相加减.[设计意图]复习合并同类项的方法,为学生学习合并被开方数相同的二次根式做好铺垫.导入二:【课件2】一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是√5米,第二块草坪的长是20米,宽也是√5米.你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗?问题:10√5+20√5等于多少?说明:学生回答,教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加法运算.[设计意图]从实际问题中抽象出二次根式的加法运算,指明本节课的学习内容.导入三:引语:这节课我们先来解决简单的问题,同学们注意抢答.提问:(1)2+3等于几?(2)√2+√3呢?(3)√2+√2呢?教师把问题一个一个给出,学生抢答.对于第(2)(3)小题的回答,教师先不要急于评价,让学生讨论、说理.[设计意图] 先抛出一个极其简单老套的问题,引起学生的不屑,但同时也会激发学生的兴趣;第(2)(3)小题,学生会有不同的看法,再度引起争议从而为更好地掌握二次根式的加减法打好基础.二、新知构建：活动一:二次根式的加减运算思路一 1.试着做做【课件3】 计算下列各式.(1)5√3+2√3; (2)√12+√75; (3)6√7-√17. 2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么? 3.你能试着解决它们吗?解:(1)5√3+2√3=(5+2)√3=7√3.(2)√12+√75=2√3+5√3=(2+5)√3=7√3. (3)6√7-√17=6√7-17√7=(6-17)√7=41√77.归纳:遇到两个二次根式相加(或相减)时,我们希望利用分配律,这里利用分配律的实质是这两个二次根式的被开方数相同,这种类似的情况我们过去也遇到过:将两个单项式相加,如果想利用分配律的话,那么就应当要求两个单项式除了系数以外,其余的都相同.这就启发我们,类比整式的加减中的合并“同类项”,能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢?4.像5√3和2√3,3√a 和2√a ,这样的两个二次根式都可以合并.如果几个二次根式可以进行合并,它们具备的特点是:(1)被开方数相同;(2)二次根式必须是最简二次根式;(3)与前面的“系数”无关. 5.想一想:怎样把被开方数相同的最简二次根式进行合并?引导学生归纳:二次根式的加减与整式的加减类似,只要对被开方数相同的最简二次根式进行合并,合并的方法是“系数”相加减,被开方数不变. [设计意图] 通过计算、观察、类比使学生发现二次根式的加减法的实质就是把二次根式化简之后,合并被开方数相同的二次根式的过程,让学生体会前后知识的联系. 思路二(针对导入三)说理:事实上,如果√2+√3=√5,那么√2+√2=√4,而√4=2,也就是说√2+√2=2,这显然是错误的.提问:(1)同学们还记得你们曾犯过类似的错误吗?(12+13=15)(2)那么√2+√2到底等于多少呢?√2+√3呢?能不能直接相加呢?如何进行二次根式的加减法运算呢?[设计意图] 通过说理环节让学生意识到问题原来不是那么简单的,通过强烈的反差使学生意识到二次根式的加减并不简单,接着再通过两个问题使学生在愉悦的氛围中学习,同时引导学生进行思考.计算:√18+√32-√50.解:√18+√32-√50=3√2+4√2-5√2=(3+4-5)√2=2√2.上面的计算中,先把二次根式化简,几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,就可以合并在一起.二次根式相加减时,先把各个二次根式化简,再把它们进行合并.合并时与合并同类项类似.因此,二次根式的加减可以比照整式的加减进行.在二次根式的运算中,实数的运算性质和法则同样适用. 活动二:例题讲解 【课件4】计算下列各式. (1)2√3-3√12+5√27;(2)√8+√0.5-(√0.2-√132).先让学生独立完成,教师可适当点拨:(1)先将不是最简二次根式的化成最简二次根式,然后合并被开方数相同的项.(2)可先将根号下的小数化成分数,然后再去括号,化成最简二次根式后进行计算.解:(1)原式=2√3-6√3+15√3=11√3. (2)原式=2√2+√12-( √15-14√12)=2√2+√22-√55+√28=21√28-√55. 说明:教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流后反馈的情况加以总结,并引导学生得出结论.请同学们完成下面两道题.【课件5】 (教材第99页做一做)计算下列各式. (1)2√28-3√63+5√49; (2)√24+√16-( √56+√0.96).引导学生独立完成,指定两名同学板演,其他学生在练习本上完成. 提示:(1)35-5√7. (2)53√630-√306. 【课件6】计算下列各式.(1)2√12-3√13-√27; (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13). 提问:(1)两题中有被开方数相同的项吗? (2)能否将它们化简呢? 学生自主完成.解:(1)2√12-3√13-√27=4√3-√3-3√3=0. (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13)=4√3-10×√55-3×(3√5-√33)=4√3-2√5-9√5+√3=5√3-11√5.总结方法:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将被开方数相同的项进行合并.[知识拓展] 在二次根式的加减运算中,要注意以下几点:(1)二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式,因此正确地化简二次根式及准确地进行合并是关键.二次根式的加减运算与整式的加减运算类似,只需将被开方数相同的最简二次根式的“系数”相加减,根指数不变,被开方数也不变,不要把被开方数不同的二次根式进行加减运算.如2+√5=2√5是错误的,运算时一定要注意.(2)在进行二次根式的加减运算时,加法运算律中的交换律和结合律,去括号和添括号法则都是适用的.(3)二次根式加减运算的结果应写成最简形式,系数是带分数的一定要化成假分数,如2 3√2+5√2=173√2,不能写成523√2.(4)二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:[设计意图]通过对例题的讲解,让学生明确在二次根式的计算中,如果有些二次根式的被开方数不同,应先将其化成最简二次根式,然后再将其合并.各例题层层递进,各有不同,让学生自主分析,自主完成,培养学生动手、动脑的良好习惯,培养了学生的解题能力.三、课堂小结：1.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就可以合并.合并的时候,只把“系数”相加减,根指数和被开方数不变.2.二次根式的加减法的步骤:(1)如果有括号,根据去括号法则去括号;(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简;(3)合并被开方数相同的最简二次根式.。

第1课时二次根式的概念课时目标1.了解二次根式的概念,会识别二次根式.2.了解√a,(√a)2,√a2(其中a≥0)的意义.3.理解二次根式的性质.学习重点二次根式的概念与性质.学习难点二次根式的性质的灵活应用.课时活动设计情境引入学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环型绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?解:设圆形喷水池的半径为r1 m,在圆形喷水池外围增加一个环型绿化带后所得大圆的半径为r2 m,.由题可知,πr12=S,∴r1=√Sπ∴πr22-S=a,∴r2=√S+a.π设计意图:以计算圆的半径为切入点,引导学生产生学习二次根式的兴趣,激发学生的求知欲.探究新知1.(1)2,18,815,310的算术平方根是怎样表示的?(2)非负数m ,p +q ,t 2-1的算术平方根又是怎样表示的? 在上面的问题以及教学活动1中,我们得到了√2,√18,√815,√310,√m ,√p +q ,√t 2-1,√Sπ,√S+a π等式子,上述式子有什么共同特征?学生讨论,教师引导学生回答:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数. 教师给出二次根式的概念:一般地,我们把形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式.设计意图:让学生经历合作探究的过程,通过观察、发现、归纳得到二次根式的概念,培养学生发现问题、解决问题的能力.探究新知1.小亮和小颖对二次根式“√a (a ≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.小亮的观点:因为√a 表示的是非负数a 的算术平方根,所以,根据算术平方根的意义,有√a ≥0.小颖的观点:因为√a 表示的是非负数a 的算术平方根,所以,根据算术平方根和被开方数的关系,有(√a )2=a.学生先独立思考,然后对小亮、小颖的观点展开交流. 2.计算√a 2(a ≥0),并与大家交流你的结果.教师引导学生进行讨论思考,给出二次根式的性质: (1)√a (a ≥0)是一个非负数;(2)(√a )2=a (a ≥0); (3)√a 2=a (a ≥0).追问:根据以上性质可以很快得出√22=2,那么√(-2)2等于多少呢? 学生讨论,教师引导得出答案√(-2)2=2,进而可以得到结论: √a 2=|a |={a(a ≥0),-a(a <0),其中a 为任意数.设计意图:学生经历观察、思考、交流,得到二次根式的性质.让学生感受知识的形成过程,培养学生严谨的科学态度.典例精讲 例1 化简: (1)(√3)2;(2)(√52)2;(3)√52;(4)√(34)2;(5)√(-5)2;(6)√(-34)2.解:(1)(√3)2=3. (2)(√52)2=52. (3)√52=5. (4)√(34)2=34.(5)√(-5)2=5.(6)√(-34)2=34.思考:你认为(√a )2与√a 2的区别是什么? 教师引导学生进行解答. 例2 化简:(1)√0.04;(2)√225;(3)√1625;(4)(3√19)2;(5)(2√78)2;(6)[√(23)2]2. 解:(1)√0.04=√0.22=0.2. (2)√225=√152=15.(3)√1625=√(45)2=45.(4)(3√19)2=[3×√(13)2]2=(3×13)2=12=1.(5)(2√78)2=22×(√78)2=4×78=72.(6)[√(23)2]2=(23)2=49.设计意图:通过例1,学生进一步了解二次根式的性质,通过例2,学生知道怎样利用二次根式的性质,对简单的二次根式进行化简,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.拓展应用1.若m <2,化简√(m -2)2-2= -m ;√(a -3)2=3-a 成立的条件是 a ≤3 .2.当x = 52 时,√2x -5有最小值.设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结1.二次根式的概念:形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式.2.二次根式的性质: (1)√a (a ≥0)是一个非负数; (2)(√a )2=a (a ≥0); (3)√a 2=a (a ≥0).设计意图:通过总结本节课所学内容,加强学生对二次根式相关知识的理解和掌握,培养学生归纳、总结的能力.课堂8分钟.1.教材第92页习题A 组第1,2题,习题B 组第1,2题.2.七彩作业.第1课时二次根式的概念1.二次根式的概念:形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式.2.二次根式的性质:(1)√a(a≥0)是一个非负数;(2)(√a)2=a(a≥0);(3)√a2=a(a≥0).教学反思第2课时二次根式的性质课时目标1.了解最简二次根式的概念,会辨别一个根式是否为最简二次根式.2.掌握二次根式的性质,会根据它们熟练地进行二次根式的化简与运算.学习重点二次根式的性质.学习难点二次根式性质的灵活应用.课时活动设计回顾引入1.二次根式的概念:形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式. 2.二次根式的基本性质: (1)√a (a ≥0)是一个非负数; (2)(√a )2=a (a ≥0); (3)√a 2=a (a ≥0). 3.化简:(1)√9; (2)√(-4)2; (3)(√34)2.解:(1)√9=√32=3.(2)√(-4)2=4.(3)(√34)2=34. 提问:√54等于多少呢?怎么计算呢? 由“提问”引出本课的学习内容.设计意图:回顾引入有助于建立新旧知识之间的联系.通过引导学生回顾与新知识相关的旧知识,教师可以帮助学生认识到新知识是如何在旧知识的基础上发展而来的,从而增强学生对知识系统的整体认识.由所学旧知识导入,学生接受起来更自然.尤其√a 2=a (a ≥0),将是今天二次根式化简的重要基础.探究新知问题1:计算√4×9与√4×√9是否相等?√25×49与√25×√49呢? √4×9= 6 ,√4×√9= 6 ; √25×49= 35 ,√25×√49= 35 .观察结果,你发现了什么规律,并试着用字母表示出来. 教师引导学生得出结论:当a ≥0,b ≥0时,√a·b =√a ·√b . 追问 你能证明你发现的结论吗? 证明:(平方法)因为当a ≥0,b ≥0时,(√a·b )2=ab ,(√a ·√b )2=(√a )2·(√b )2=ab ,所以√a·b =√a ·√b .问题2:√49与√4√9是否相等?√2549与√25√49呢? √49= 23,√4√9= 23;√2549=√25= 57.观察结果,你又发现了什么规律,并试着用字母表示出来. 教师引导学生得出结论:当a ≥0,b >0时,√a b =√a√b .追问:你能证明你发现的结论吗? 证明:(平方法)因为当a ≥0,b >0时,(√a b )2=ab ,(√a√b )2=√a)2(√b)2=a b , 所以√a b =√a√b .设计意图:通过一些具体数的开方运算,归纳、总结出二次根式的乘法和除法的一般运算规律,让学生感受知识的形成过程,培养学生严谨的科学态度.归纳总结 二次根式的性质:1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即 √a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0).2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即 √a b =√a√b (或√a ÷b =√a ÷√b )(a ≥0,b >0).设计意图:加深对二次根式性质的理解和掌握.典例精讲 例1 化简:(1)√54; (2)√80; (3)√758; (4)√40.5.解:(1)√54=√9×6=√9×√6=3√6.(2)√80=√16×5=√16×√5=4√5.(3)√758=√15016=√25×6√16=5√64.(4)√40.5=√812=√1624=√162√4=√81×22=9√22. 设计意图:例题起到承上启下的作用,既是上面性质的应用,也为下面引出最简二次根式作铺垫.新知讲解在例1中,观察每个小题化简前后被开方数的变化,请思考: (1)化简前,被开方数是怎样的数?(2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗? 学生讨论,教师引导得出结论:一般地,如果一个二次根式满足下面两个条件,那么,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 如3√6,4√5,5√64,9√22,都是最简二次根式. 二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程. 例2 化简:(1)√32; (2)√40; (3)√1.5; (4)√43. 解:(1)√32=√16×2=4√2.(2)√40=√4×10=2√10. (3)√1.5=√32=√3×22×2=√62.(4)√43=√4×33×3=2√33. 设计意图:通过观察与思考得出最简二次根式的概念,通过例题展示怎么对二次根式进行化简,让学生进一步理解最简二次根式的概念,体会二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.巩固训练1.有下列二次根式:√5,√13,-2√a 2b ,√x 2+y 2.其中是最简二次根式的有( B )A.1个B.2个C.3个D.4个2.在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.(1)√45; (2)√13; (3)√52; (4)√0.5; (5)√145. 解:(3)是最简二次根式,(1),(2),(4),(5)不是最简二次根式. (1)√45=3√5;(2)√13=√33;(4)√0.5=√12=√22;(5)√145=√95=3√55. 设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结1.二次根式的性质:(1)积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即 √a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0).(2)商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即 √a b =√a√b (或√a ÷b =√a ÷√b )(a ≥0,b >0). 2.最简二次根式满足的两个条件为: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.设计意图:通过总结本节所学知识,加深学生对本节所学内容的理解和掌握,培养学生归纳、总结能力.课堂8分钟.1.教材第94页习题第1,2题.2.七彩作业.第2课时二次根式的性质1.二次根式的性质:(1)积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即√a·b=√a·√b(a≥0,b≥0).(2)商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即√a b =√a√b(或√a÷b=√a÷√b)(a≥0,b>0).2.最简二次根式满足的两个条件:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.教学反思。