第16章 二次根式小结与复习(教案)八年级数学下册(人教版)

第16章 二次根式复习 一、复习目标 1． 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．二、课时安排1课时三、复习重难点重点：二次根式的概念以及运算．难点：二次根式有意义的条件．四、教学过程(一)知识梳理1．二次根式的概念一般地，形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式；(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数．(2)a 是非负数，即a ≥0.2．二次根式的性质(a )2＝ ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＝0，a <0.3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数不含 ；(2)被开方数中不含能 的因数或因式．4．二次根式的运算a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)；ab ＝ (a ≥0，b >0)．二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 的二次根式进行合并．(二)题型、技巧归纳考点一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例1 若实数x ，y 满足＋(y －)2＝0，则xy 的值是________．考点二 二次根式性质的运用 例2 如图21－1所示是实数a 、b 在数轴上的位置，化简：a 2－()b 2－a －b 2.图21－1考点三 二次根式的化简例3 设2＝a ， 3＝b ，用含a ，b 的式子表示0.54，则下列表示正确的是() A ．0.03ab B ．3abC ．0.1ab 3D ．0.1a 3b考点四 二次根式的运算例4 计算下列各题：(1)3105ab c ·532acb ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－215bc a ；(2)(1－3＋2)(1＋3－2)．（三）典例精讲1、若a a -=2，则a 的取值范围是（ ）（A ）0>a （B ）0≠a （C ）0≤a （D ）0≥a2、若a a 21)12(2-=-，则a 的取值范围（ ）（A ）21≤a （B ）21>a（C ）21≥a （D ）a 为任意实数3、下列计算正确的是（ ）（A ）15)535(2=-- （B ）71)71(2-=--（C ）12)32(2-=- （D ）53)535(2=4、若0,0≤>b a ，则b a +2的值是（ ）（A ）b a + （B ）b a - （C ）a b - （D ）b a --5．求下列各式的值（1）221ba +，其中12,9==b a （2）ac b 42-，其中9,23,21-===c b a （四）归纳小结 1．本节课学习了哪些主要内容？2．本节课是怎样进行二次根式的运算的？3．在运算时要注意哪些问题？（五）随堂检测1．要使＋有意义，则x 应满足( )A .≤x≤3B ．x≤3且x≠C .<x<3D .<x≤3 2．若y ＝＋－1，则2x ＝______，y ＝______. 3．已知x<1，则化简的结果是( )A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．1－x4．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a －b|－a 2的结果是( )A ．2a －bB ．bC ．－bD ．－2a ＋b5.若实数a ，b 满足|a ＋2|＋＝0，则＝________．6.若＋b 2＋2b ＋1＝0，则a 2＋－＝________． 7、计算：(－3)0－27＋||1－2＋13＋2. 8．已知x ＝2－10，试求代数式x 2－4x －6的值．五、板书设计把黑板分成两份，左边部分板书例题，右边部分板书学习练习题，重复使用六、作业布置完成课后同步练习题七、教学反思。

二次根式复习课一、教学目标：1．理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．掌握二次根式的加、减、乘、除混合运算．二、教学重点和难点：重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．三、教学过程设计：（一）温故知新1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：（二）课堂导学1.下列各式中是二次根式的有_______2. 下列二次根式中是最简二次根式的有_______3.当x取何值时，下列各式有意义？（1）当x_______时，有意义？（2）当x_______时，有意义？的值，求已知：y-xy24.4=++-xx5.求下列各式的值：⑵(3x－1)²⑷3x－2＋x＋4⑴5－2x(3x－²⑶x＋3－1－x3x－＋x＋（1）解原式= （2）解原式= （3）解原式=6.计算50-188)1(+ 6)5048)(2(⋅+32)274483(3÷-）（（三）课堂小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．（四）课后思考题：1.观察下列分母有理化的计算:。

人教版数学八年级下册教学设计：第16章二次根式小结复习(二)一. 教材分析人教版数学八年级下册第16章二次根式小结复习(二)的内容主要包括：二次根式的性质、运算规则、化简方法以及应用。

本章是学生在学习了二次根式的基本概念和性质后，进一步深化对二次根式的理解和运用的过程。

通过对本章内容的复习，使学生能够巩固和提高二次根式的运算能力，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了二次根式的基本概念、性质和运算规则，具备了一定的运算能力和解决问题的能力。

但部分学生对二次根式的化简方法和应用仍存在一定的困难，需要通过本节课的复习和训练来进一步提高。

三. 教学目标1.理解二次根式的性质和运算规则，提高运算能力。

2.学会二次根式的化简方法，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.二次根式的性质和运算规则。

2.二次根式的化简方法。

3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用讲练结合、分组讨论、案例分析等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的运算能力、解决问题的能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.相关练习题。

3.案例分析材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次根式的基本概念和性质，引导学生回忆起已学的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的运算规则，并通过例题展示运算过程，让学生理解并掌握运算方法。

3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，及时发现和纠正学生的错误。

4.巩固（10分钟）分组讨论PPT上的练习题，让学生互相交流解题思路，提高团队协作能力。

5.拓展（10分钟）给出一个实际问题，让学生运用二次根式的知识解决，培养学生的解决问题的能力。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调二次根式的性质、运算规则和化简方法。

7.家庭作业（5分钟）布置适量的课后练习题，巩固所学知识。

人教版二次根式小结与复习1、知识与技能目标（1）理解二次根式的概念，二次根式的性质及运算法则，会运用勾股定理；（2）熟练运用二次根式的性质及运算法则解决简单的几何图形问题；2、过程与方法目标（1）经历应用二次根式的性质、运算法则以及勾股定理解决问题的过程，进一步发展学生的推理能力。

（2）在解决问题的过程中，让学生学会聆听、学会思考，同时发展学生归纳和概括能力。

3、情感、态度与价值观目标通过对几何图形问题的解决，培养学生勇于探索的精神，激发学生的学习兴趣和学习积极性。

三、教学重难点重点：利用二次根式的性质与运算法则和勾股定理解决简单的几何图形问题。

难点：利用数形结合的思想解决问题。

基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如ab（a≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a中的被开方数a，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a≥0.2.二次根式的基本性质（1）a_____0（a___0）；（2）()2a＝_____（a ___0）； （3）aa =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ； （4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______.4.二次根式的乘、除法则： （1）（a ___0，b ___0）；（2）除法法则：=____________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把_________进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53 ≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后____，有括号的先_____内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.考点呈现考点1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34 B.x ＞34 C.x ≥43 D.x ＞43解析：要使43-x 在实数范围内有意义，必须满足条件43-x ≥0，所以x ≥34，故应选A.方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.考点2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（ ） A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=解析：本题利用二次根式的性质=2a ()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a进行解答，运用排除法不难知道只有选项B 正确，故应选B. 方法总结：()a a=2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况. 考点3 二次根式的非负性 例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215- D.215解析：由52-x ≥0，且x 25-≥0，解得25=x ，所以3-=y ，因此xy 2＝2×25×（—3）＝—15，故应选A.方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0.考点4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.51B.5.0C.5D.50 解析：因为5551=，22215.0==，2550=，所以A 、B 、D 均不是最简二次根式.方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止. 考点5 二次根式的运算 例5 计算1824-×31＝____. 解析：本题是二次根式的混合运算，必须按法则进行，要注意最后结果的化简问题，即原式＝1824-×31＝2362-×33＝662-＝6. 方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则. 考点6 二次根式的化简求值 例6 若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是_____. 解析：先化简m的值，得m＝()()()()2014120141201420131201412014120142013=-+=+-+＋1. 再变形所求代数式34520132m m m --＝()()[]20141201322323--=--m m m m m ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+•+20141120141201423＝0. 方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.误区点拨一、考虑问题不全面 例1 代数式21-x 中，x 的取值范围是______.错解：根据题意，得2-x ≥0，解得x ≥2，故填x ≥2. 剖析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数. 错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件.正解：根据题意，得2-x ＞0，解得x ＞2，故填x ＞2. 二、理解性质出错 例2 求()23-的值. 错解：()23-＝—3.剖析：()23-表示()23-的算术平方根，应为正数. 错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错. 正解：()23-＝9＝3.三、忽略运算顺序 例3 计算3312⨯÷.错解：原式＝212=÷.剖析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行.正解：原式＝23332=⨯⨯.四、对最简二次根式判断不准例4 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A.23 B.36 C.2.1 D.49错解：选C.剖析：最简二次根式的被开方数中既不含开的尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B. 错解只看表面形式，不求甚解，C 中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简. 正解：选B.跟踪训练1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A.x ≥3 B.x ≤3 C.x ＜3 D.x ＞32.下列各式是最简二次根式的是（ ） A.20B.1.2C.72D.513.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ）A.18B.24C.12D.94.化简122154+⨯的结果是（ ）A.25 B.36 C.3 D.355.下列运算正确的是（）A.25＝±5B.12734=-C.9218=÷ D.62324=•6.已知：132-=-ba，3=ab，则()()11-+ba的值为（）A.3- B.33 C.223- D.13-7.已知三角形三边的长分别为18cm、12cm、18cm，则它的周长为_____cm.8.当m＜0时，化简mm2＝____.9.计算：()2850÷-的结果是_____.10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-aa＝_____.11.已知011=-++ba，则20132013ba+＝____.12.如果最简二次根式a m a--7与m2是同类二次根式，则a ＝____，m＝____.13.先化简，再求值：()()()633--+-aaaa，其中215+=a.14.先化简，再求值：221aaa+-+，其中1007=a. 下图是小亮和小芳的解答过程：解：原式＝+a()21a-11=-+=aa解：原式＝+a()21a-＝1-+aa＝2013（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________.（3）先化简，再求值：9622+-+a a a ，其中2007-=a .跟踪训练参考答案：1.A2.C3.C4.D5.D6.A7.3226+ 8.—1 9.3 10.32-a 11.012.1，313.解：（1）原式＝366322-=+--a a a a ，当215+=a 时，原式＝6×（215+）—3＝56. 14.解：（1）小亮； （2）a a -=2（a ＜0）； （3）原式＝()()a a a a -+=-+32322＝a -6＝6—（—2007）＝2013.。

第十六章 二次根式小结与复习【教学目标】1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．【教学重难点】重点：含二次根式的式子的混合运算难点：含二次根式的式子的混合运算．【导学过程】【知识回顾】本章知识结构()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=≥≥算。

及实际问题中根式的计、二次根式的混合运算。

）进行的根式（同类二次根式把后，二次根式化为、二次根式的加减：将、二次根式的除法：；、二次根式的乘法：二次根式的运算）（）（数。

是一个），即（性质才有意义。

时，概念：当二次根式的意义二次根式4321000022a a a a a a a a【经典例题】例1 （1）使x 的取值范围是 ；（2）函数 13--=x x y 中，自变量的取值范围是 ； （3）使 3-3-+x x 有意义的x 的取值范围是 ；（4）使 xx 32+ 有意义的x 的取值范围是 ； 例2 （1） 已知 0|1|2=-++b a ，那么 ()2012b a + 的值为 ；（2）已知m 、n 为实数，且满足 349922-+-+-=n n n m ，求6m-3n 的值？例3 计算：（1）312+ ； （2）3272483÷-）（；（3）)212(8-⨯ ； （4）2011015152033）（）（-+--π- ；例4 化简，求值： 111(11222+---÷-+-m m m m m m ），其中m =3．【复习小结】1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．【随堂练习】复习题16 第1、2、3、6题．。

第十六章《二次根式小结与复习》教学设计复习目标（1）通过复习，进一步让学生理解二次根式的性质和运算.（2）熟练掌握运用法则进行运算，培养运算习惯。

（3）感悟数学思想，提升学科素养。

复习重难点重点：二次根式的性质和运算.难点：整式的运算性质及公式在二次根式运算中的灵活运用.教学过程一、梳理知识，形成网络通过课前的复习，课堂上让学生在组内讨论3分钟，把十六章学习的主要知识内容进行梳理，各小组分别整理5个问题模块。

通过学生的自由讨论以及书写，达到复习整章内容的目的，形成本章知识网络图。

每个花瓣代表一部分知识内容，学生台上展示梳理的知识网络，并贴到黑板上。

二、典例分析，历经过程1、第一朵花瓣：二次根式的概念及有意义的条件求下列二次根式中字母a的取值范围:设计意图：花瓣知识点呈现，通过例题让学生巩固对二次根式有意义的理解。

第一个基础，第二个双重考察，提高学生判断能力。

此处直接给出答案。

2、第二朵花瓣：二次根式的性质注意此处对比两个性质的不同。

二次根式的性质化简及最简二次根式（)05.13）a）（b(a2442>设计意图：使学生通过二次根式的化简及最简二次根式，引导学生回忆二次根式的性质，进而让学明白二次根式化简的依据和二次根式计算的依据是源于二次根式的性质。

此处学生互判。

3、第三朵花瓣：二次根式的混合运算261233201610--+-））（（ ()()265265)2(+--+ 设计意图：考察学生对于二次根式加、减、乘、除法则的掌握，考察最简二次根式，合并同类二次根式，灵活运用平方差公式及完全平方公式。

此处学生上板展示，教师面判。

三、数形结合，整体感悟4、第四朵花瓣：二次根式的化简求值、数形结合思想的渗透1、实数a 、b2、已知x y y x y x ++=-=求,12,12的值 设计意图：考察学生对于二次根式性质的深度理解，结合数轴，渗透了数形结合的思想；考察学生对于分式的加法运算及完全平方公式的变形考察，渗透了整体代入求值的思想。