全国高中数学联赛分类汇编 专题 解析几何

２０２１年全国高中数学联赛(Ａ１)卷解析几何题的解法探究宋长芬(福建省福州第八中学ꎬ福建福州３５０００４)摘㊀要:２０２１年全国高中数学联赛(Ａ１)卷一试第１１题是解析几何题ꎬ考查的是椭圆ꎬ求的是两三角形内切圆半径之差的最大值.本文利用解析法与参数法给出试题的四种解法.关键词:２０２１年全国高中数学联赛ꎻ解析几何ꎻ内切圆ꎻ最大值ꎻ参数方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００７７－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:宋长芬(１９７８.１０－)ꎬ女ꎬ福建省福州人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２１年全国数学联赛(Ａ１)卷的解析几何题ꎬ作为一试的最后一题ꎬ对考生的数学能力要求较高ꎬ有很好的区分度ꎬ有助于选拔优秀的竞赛选手ꎬ是个难得的好题.笔者经过探究ꎬ从解析法和参数法两个视角给出四种解法ꎬ供读者参考㊁研究.１赛题再现如图１所示ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ椭圆Γ:ｘ２２＋ｙ２＝１的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２.设Ｐ是第一象限内Γ上一点ꎬＰＦ１㊁ＰＦ２的延长线分别交Γ于点Ｑ１㊁Ｑ２.设ｒ１㊁ｒ２分别为әＰＦ１Ｑ２㊁әＰＦ２Ｑ１的内切圆半径.求ｒ１－ｒ２的最大值[１].图１㊀竞赛题图２解法探究解法１㊀易知Ｆ１的坐标为(－１ꎬ０)ꎬＦ２的坐标为(１ꎬ０).设Ｐ㊁Ｑ１㊁Ｑ２的坐标分别为ｘ０ꎬｙ０()㊁ｘ１ꎬｙ１()㊁ｘ２ꎬｙ２()ꎬ由条件知ｘ０ꎬｙ０>０ꎬｙ１<０ꎬｙ２<０.由椭圆定义ꎬ得ＰＦ１＋ＰＦ２＝Ｑ１Ｆ１＋Ｑ１Ｆ２＝Ｑ２Ｆ１＋Ｑ２Ｆ２＝２２故әＰＦ１Ｑ２与әＰＦ２Ｑ１的周长均为ｌ＝４２.又Ｆ１Ｆ２＝２ꎬ因此ｒ１＝２ＳәＰＦ１Ｑ２ｌ＝ｙ０－ｙ２() Ｆ１Ｆ２ｌ＝ｙ０－ｙ２２２同理可得ｒ２＝ｙ０－ｙ１２２ꎬ所以ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２.以下先求ｙ１－ｙ２.直线ＰＦ１的方程为ｘ＝ｘ０＋１()ｙｙ０－１ꎬ将其代入ｘ２２＋ｙ２＝１ꎬ整理得ｘ０＋１()２２ｙ２０＋１[]ｙ２－ｘ０＋１ｙ０ｙ－１２＝０两边乘以２ｙ２０ꎬ并注意到ｘ２０＋２ｙ２０＝２ꎬ可得３＋２ｘ０()ｙ２－２ｘ０＋１()ｙ０ｙ－ｙ２０＝０该方程的两根为ｙ０㊁ｙ１ꎬ由韦达定理ꎬ得ｙ０ｙ１＝－ｙ２０３＋２ｘ０ꎬ于是ｙ１＝－ｙ０３＋２ｘ０.７７同理可得ｙ２＝－ｙ０３－２ｘ０.因此ｙ１－ｙ２＝ｙ０３－２ｘ０－ｙ０３＋２ｘ０＝４ｘ０ｙ０９－４ｘ２０由于９－４ｘ２０＝１２ｘ２０＋９ｙ２０ȡ２１２ｘ２０ ９ｙ２０＝３２ｘ０ｙ０故ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２＝２ｘ０ｙ０９－４ｘ２０ɤ２ｘ０ｙ０３２ｘ０ｙ０＝１３其中等号成立时要求１２ｘ２０＝９ｙ２０ꎬ相应地ꎬ有ｘ０＝３５５ꎬｙ０＝１０１０.所以ｒ１－ｒ２的最大值为１３.解法２㊀利用椭圆的参数方程.易知Ｆ１的坐标为(－１ꎬ０)ꎬＦ２的坐标为(１ꎬ０).设Ｐｘ０ꎬｙ０()＝(２ｃｏｓαꎬｓｉｎα)ꎬＱ１ｘ１ꎬｙ１()ꎬＱ２(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由条件知０<α<π２ꎬｙ１<０ꎬｙ２<０.由椭圆定义ꎬ得ＰＦ１＋ＰＦ２＝Ｑ１Ｆ１＋Ｑ１Ｆ２＝Ｑ２Ｆ１＋Ｑ２Ｆ２＝２２ꎬ故әＰＦ１Ｑ２与әＰＦ２Ｑ１的周长均为ｌ＝４２.又Ｆ１Ｆ２＝２ꎬ因此ｒ１＝２ＳәＰＦ１Ｑ２ｌ＝ｙ０－ｙ２() Ｆ１Ｆ２ｌ＝ｙ０－ｙ２２２同理可得ｒ２＝ｙ０－ｙ１２２ꎬ所以ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２.以下先求ｙ１－ｙ２.直线ＰＦ１的方程为ｙ＝ｓｉｎα２ｃｏｓα＋１(ｘ＋１)ꎬ即ｘ＝２ｃｏｓα＋１ｓｉｎαｙ－１.将其代入ｘ２２＋ｙ２＝１ꎬ整理得(３＋２２ｃｏｓα)ｙ２－２ｓｉｎα(２ｃｏｓα＋１)ｙ－ｓｉｎ２α＝０这个方程的两个根分别为ｙ０＝ｓｉｎα和ｙ１ꎬ由韦达定理得ｙ０ｙ１＝－ｓｉｎ２α３＋２２ｃｏｓαꎬ所以ｙ１＝－ｓｉｎα３＋２２ｃｏｓα同理可得ｙ２＝－ｓｉｎα３－２２ｃｏｓα所以ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２＝２ｓｉｎαｃｏｓα９－８ｃｏｓ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα９ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２αɤ２ｓｉｎαｃｏｓα２９ｓｉｎ２α ｃｏｓ２α＝１３其中等号成立时要求ｃｏｓ２α＝９ｓｉｎ２αꎬ即ｃｏｓα＝３１０１０ꎬｓｉｎα＝１０１０ꎬ相应地ꎬ有ｘ０＝３５５ꎬｙ０＝１０１０.所以ｒ１－ｒ２的最大值为１３.注:最后ꎬ最值也可以用辅助角公式或柯西不等式㊁万能公式等方法处理:ｒ１－ｒ２＝ｙ１－ｙ２２２＝２ｓｉｎαｃｏｓα９－８ｃｏｓ２α＝ｓｉｎ２α５－４ｃｏｓ２α＝ｆ(α)ꎬ则ｓｉｎ２α＋４ｆ(α)ｃｏｓ２α＝５ｆ(α)ꎬ所以５ｆ(α)ɤ１＋１６ｆ２(α)ꎬ解得ｆ(α)ɤ１３.解法３㊀利用椭圆的参数方程.易知Ｆ１的坐标为(－１ꎬ０)ꎬＦ２的坐标为(１ꎬ０).设Ｐｘ０ꎬｙ０()＝(２ｃｏｓαꎬｓｉｎα)ꎬＱ１ｘ１ꎬｙ１()＝(２ｃｏｓβꎬｓｉｎβ)ꎬＱ２ｘ２ꎬｙ２()＝(２ｃｏｓγꎬｓｉｎγ)ꎬ由条件知０<α<π２ꎬｙ１<０ꎬｙ２<０ꎬπ<β<３π２<γ<２π.由椭圆定义ꎬ得ＰＦ１＋ＰＦ２＝Ｑ１Ｆ１＋Ｑ１Ｆ２＝Ｑ２Ｆ１＋Ｑ２Ｆ２＝２２ꎬ故әＰＦ１Ｑ２与әＰＦ２Ｑ１的周长均为ｌ＝４２.又Ｆ１Ｆ２＝２ꎬ因此ｒ１＝２ＳәＰＦ１Ｑ２ｌ＝ｙ０－ｙ２() Ｆ１Ｆ２ｌ＝ｙ０－ｙ２２２＝ｓｉｎα－ｓｉｎγ２２同理可得ｒ２＝ｙ０－ｙ１２２＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ２２ꎬ所以ｒ１－ｒ２＝ｓｉｎβ－ｓｉｎγ２２.因为Ｐ㊁Ｆ１㊁Ｑ１三点共线ꎬ所以ｓｉｎα２ｃｏｓα＋１＝ｓｉｎβ２ｃｏｓβ＋１.８７下面用α的三角函数表示ｓｉｎβ.因为ｓｉｎα２ｃｏｓα＋１＝ｓｉｎβ２ｃｏｓβ＋１ꎬ所以２(ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ)＝ｓｉｎβ－ｓｉｎαꎬ即２ｓｉｎ(α－β)＝ｓｉｎβ－ｓｉｎαꎬ２２ｓｉｎα－β２ｃｏｓα－β２＝－２ｓｉｎα－β２ｃｏｓα＋β２ꎬ显然ｓｉｎα－β２ʂ０.于是２ｃｏｓα－β２＝－ｃｏｓα＋β２⇒２(ｃｏｓα２ｃｏｓβ２＋ｓｉｎα２ｓｉｎβ２)＝－(ｃｏｓα２ｃｏｓβ２－ｓｉｎα２ｓｉｎβ２)两边同时除以ｃｏｓα２ｃｏｓβ２ꎬ得ｔａｎα２ｔａｎβ２＝－(２＋１)２ꎬ所以ｔａｎβ２＝－３＋２２ｔａｎα２由万能公式及ｔａｎα２＝ｓｉｎα１＋ｃｏｓαꎬｔａｎ２α２＝１－ｃｏｓα１＋ｃｏｓαꎬ得ｓｉｎβ＝２ｔａｎβ２１＋ｔａｎ２β２＝－(３＋２２)ｔａｎα２ｔａｎ２α２＋(３＋２２)２＝－２(３＋２２)ｓｉｎα１＋ｃｏｓα１－ｃｏｓα１＋ｃｏｓα＋(３＋２２)２＝－２(３＋２２) ｓｉｎα１８＋１２２＋(１６＋１２２)ｃｏｓα＝－ｓｉｎα３＋２２ｃｏｓα同理可得ｓｉｎγ＝－ｓｉｎα３－２２ｃｏｓα.所以ｒ１－ｒ２＝ｓｉｎβ－ｓｉｎγ２２＝２ｓｉｎαｃｏｓα９－８ｃｏｓ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα９ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝２９ｔａｎα＋ｃｏｔαɤ２２９ｔａｎα ｃｏｔα＝１３其中等号成立时要求ｔａｎα＝１３ꎬ即ｃｏｓα＝３１０１０ꎬｓｉｎα＝１０１０ꎬ相应地ꎬ有ｘ０＝３５５ꎬｙ０＝１０１０.所以ｒ１－ｒ２的最大值为１３.解法４㊀利用椭圆的参数方程.同解法３得ꎬｒ１－ｒ２＝ｓｉｎβ－ｓｉｎγ２２.由焦半径公式ꎬ得ＰＦ１＝ａ＋ｅｘＰ＝２＋ｃｏｓαꎬＱ１Ｆ１＝ａ＋ｅｘＱ１＝２＋ｃｏｓβ又因为ｋＰＦ１＝ｋＱ１Ｆ１ꎬ所以ｓｉｎα２ｃｏｓα＋１＝ｓｉｎβ２ｃｏｓβ＋１ꎬ即ｓｉｎαｓｉｎβ＝２ｃｏｓα＋１２ｃｏｓβ＋１①又因为ＰＦ１Ｑ１Ｆ１＝ｙＰｙＱ１ꎬ所以２＋ｃｏｓα２＋ｃｏｓβ＝－ｓｉｎαｓｉｎβꎬ即ｓｉｎαｓｉｎβ＝－２＋２ｃｏｓα２＋２ｃｏｓβ②由①②及比例性质ꎬ得ｓｉｎαｓｉｎβ＝２ｃｏｓα＋１２ｃｏｓβ＋１＝－２＋２ｃｏｓα２＋２ｃｏｓβ＝３＋２２ｃｏｓα－１所以ｓｉｎβ＝－ｓｉｎα３＋２２ｃｏｓα同理可得ｓｉｎγ＝－ｓｉｎα３－２２ｃｏｓα下同解法３.对于一道经典的联赛题ꎬ学生不仅要会做㊁做全ꎬ更要思考如何从多角度来求解.通过探究一道题ꎬ达到会做一类题的效果ꎬ这不仅可以锻炼学生的数学思维ꎬ也开拓了学生数学视野ꎬ帮助其进一步认识数学的本质ꎬ从而提高数学能力㊁提升数学素养.参考文献:[１]郭子涵ꎬ杨琦佳.一道２０２１年全国联赛试题的探究[Ｊ].数学通讯ꎬ２０２２(０５):５２－５５.[责任编辑:李㊀璟]９７。

2、（2002一试6）由曲线x2=4y, x2= 4y, x=4, x= 4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16, x2+(y-2)2≥4, x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则( )(A) V1=21V2 (B) V1=32V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V23、（2003一试6）在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于（）(A)32(B)12(C)13(D)33【答案】B【解析】如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×3×sinπ3×2=3．而四面体ABCD的体积=16×平行六面体体积=12．故选B．NMDCBA4、（2004一试6）顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．2635、(2005一试4) 如图，D C B A ABCD ''''-为正方体。

任作平面α与对角线C A '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 【答案】B【解析】将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '''-后，得到一个以平行平面A BD D B C '''与为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱B A ''剪开，展平在一张平面上，得到一个11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '），显然11A A E E '='，故l 为定值。

创作；朱本晓2000-2021年全国高中数学结合竞赛解析几何试题分类汇编一、选择题1．〔00，3〕点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，那么ABC ∆的面积是〔A 〕33 〔B 〕233 〔C 〕33 〔D 〕36 2．〔00，5〕平面上整点〔纵、横坐标都是整数的点〕到直线5435+=x y 的间隔 中的最小值是 〔A 〕17034 〔B 〕8534 〔C 〕201 〔D 〕301 3．〔02，2〕假设实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，那么x 2+y 2的最小值为(A) 2 (B) 1 (C)3 (D) 24．〔02，4〕直线134=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 一共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个创作；朱本晓5．〔03，2〕设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A BD6．〔03，3〕过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，假设此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，那么线段PF 的长等于A ．316 B ． 38 C ．3316 D ．387．〔05，5〕方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在x 轴上的双曲线C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线二、填空题8．〔00，10〕在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，记左焦点为F ，右顶点为创作；朱本晓 A ，短轴上方的端点为B 。

假设该椭圆的离心率是215-，那么ABF ∠= 。

9．(01，7)椭圆θρcos 21-=的短轴长等于 。

高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。

正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（ ）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定 （ ）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。

专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。

解析几何1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得342d ≤．解得36a ≤≤．2、（2009一试5）椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】22222a b a b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当22222a b OP OQ a b ==+时，OP OQ 达到最小值22222a b a b +．3、（2010一试3）双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是. 【答案】98004、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．【答案】)2,1(-或)6,9(-即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ， 即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．5、（2012一试4）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是.【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.6、（2013一试2）在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物 线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅=. 【答案】2.【解析】点F 坐标为()1,0.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2114y x =，2224y x =，故()2121212121416OA OB x x y y y y y y -=⋅=+=+，即()21218016y y +=，故128y y =-. 212121112224OFA OFBS S OF y OF y OF y y ∆∆⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7、（2013一试7）若实数,x y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是. 【答案】{}[]04,20.1A42b aO CB如图所示，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2为圆心，5为半径的圆在,0a b ≥的部分，即点O 与弧ACB 的并集.因此{}2202,25a b ⎡⎤+⎣⎦，从而{}[]2204,20x a b =+∈.8、（2014一试6）设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.267【解析】11||4,||3,PF QF ==记椭圆T 的长轴，短轴的长度分别为2a,2b,焦距为212||||2,F F c ==2c,则PF 且由椭圆的定义知，12122||||||||2 4.a QF QF PF c =+=+=+PF 2121||||||||2 1.QF PF QF c =+-=+于是PF11||2||5H PF F H QH ==设为线段的中点，则，，21.F H PF ⊥且有由勾股定理知， 2222222121||-||||||||QF QH F H F F F H ==-222221)5(2)2,5,7c c c a +-=-==即（解得 26,b T =因此椭圆的短轴与长轴的比值为26.7b a =9、（2016一试7）双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 . 【答案】17- 【解析】10、（2017一试3）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为.【答案】2【解析】易知(3,0),F(0,1).P 3cos ),[0,],2A πθθθ∈设的坐标是（则113313cos sin )sin().2222=arctan 102OAPF OAF OFP S S S OAPF θθθθθϕϕθ∆∆=+=⋅+⋅⋅=+=+=其中当面积的最大值为11、（2009一试9）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k+=-+ ()()()222184344480km k m ∆=-+-> ①由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k x kmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ②因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=． 由1234x x x x +=+得2282343km kmk k-=+-． 所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．12、（2010一试10）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值. 【解析】解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y yC (5,0)B AxyO)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离202029)0()25(y y CM h +=-+-==.220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+= 3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= . 当且仅当20202249y y -=+，即05y =±,635635(,57),(,57)33A B +-+-或 635635(,(57)),(,57)33A B +--+-+时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC--+=∆ 221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t 3)314(23≤, 所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即 ,6571-=t 6572+-=t ,635635(57),(57)33A B +或 635635((57)),(57)A B +--时等号成立.所以，ABC ∆面积的最大值是7314.13、（2011一试11）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积． 【解析】（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ．直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．yOPAB1||||sin 602132(331)32(331)31173.277249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒+-=⋅⋅⋅=所以．14、（2012一试11）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==． （１）求证：||||OA OC ⋅为定值；（２）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．(2)设(,),(22cos ,2sin ),C x y A αα+其中(),22XMA ππαα=∠-≤≤则2XOC α∠=. 因为2222(22cos )(2sin )8(1cos )16cos ,2OA αααα=++=+=所以4cos2OA α=由(1)的结论得cos5,2OC α=所以cos5.2x OC α==从而sin5tan[5,5].22y OC αα==∈-故点C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)A B -15、（2013一试11）（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥,11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.【解析】令22c a b =-，则()1,0A a -，()2,0A a ，()1,0F c -，()2,0F c .设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，其中2200221x y a b+=，00y ≠.由11QA PA ⊥，22QA PA ⊥可知()()1110100A Q A P x a x a y y ⋅=+++=， ○1 ()()2210100A Q A P x a x a y y ⋅=--+=○2根据11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，同理可得22000,x c R x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因此2222200000x a x c b QR y y y --=-=， 由于(]00,y b ∈，故QR b ≥（其中等号成立的充分必要条件是0y b =，即点P 为()0,b ±）.16、（2014一试9）（本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上一个动点，满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直.设直线P l 与PO ，x 轴的交点分别为R Q ,， （1）证明：R 是一个顶点. （2）求||||QR PQ 的最小值. 【解析】(1)设P 点的坐标为(a,b)(0)b ≠,易知0a ≠,记两切点A B ，的坐标为1122,),,),x y x y （（则PA PB ，的方程分别为11222()12()2yy x x yy x x =+=+（）（） 而点P 的坐标为(a,b)同时满足（1）（2），故A ，B 的坐标均满足方程by=2(x+a)(3)，故（3）就是直线AB 的方程.直线PO 与AB 的斜率分别为22=-1,a=-2b b PO AB a b a b ⊥与，由知，故 从而（3）即为2y=(2),x b-故AB 与x 轴的交点R 是定点（2,0）. (2)因为a=-2，故直线PO 的斜率12.24b b PR k =-=-k ，直线的斜率设 =OPR α∠，则α为锐角，且 2212121()()1||182824||||22||tan 2||2||24b b k k PQ b b b b QR k k b b α+--++⋅====≥=--+ ||222 2.||PQ b QR =±当时，的最小值为17、（2015一试11）(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.由于点A 、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程（1）的两个不同实根，因此有（1）的判别式 22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->（，即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y y k x x ++、、依次成等差数列， 12112212+2,,11y y k y kx m y kx m x x ==+=+++又，所以 122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++（（化简并整理得12)(2)0m k x x -++=（ 假如m k =，则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F （-），不符合条件. 因此必有122=0x x ++，故由方程（1）及韦达定理知，12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即 由22212321=2k m k k +>+（）、（）知，（）化简得2214k k>，这等价于2||.2k > 反之当m,k 满足（3及）2||2k >时，l 必不经过点1F （否则将导致,m k =与（3）矛盾）， 注意到2||2k >，，令211t k =+，则(1,3),t ∈上式可改写为21313()().(4)222t t t t ⋅+=⋅+d= 考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1,3]上单调递减，故由（4）得(3)(1),f d f <<即(3,2)d ∈ 18、（2016一试11）（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切.求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.【解析】设抛物线C 的方程是)0(22>=p px y ，点Q 的坐标为)0)(0,(>-a a ，并设21,C C 的圆心分别为),(),,(222111y x O y x O .设直线PQ 的方程为)0(>-=m a my x ，将其与C 的方程联立，消去x 可知0222=+-pa pmy y .因为PQ 与C 相切于点P ，所以上述方程的判别式为024422=•-=∆pa m p ，解得pa m 2=.进而可知，点P 的坐标为)2,(),(pa a y x P P =.于是)2(2221|0|1||2a p a pa pa y m PQ P +=•+=-+=. 由｜PQ ｜=2可得 4242=+pa a ①结合①，就有2221342a pa a y y -=+=②由21,,O P O 共线，可得 212121212122y y N O M O PO P O y y y y y pa pay P P ===--=--. 化简得212122y y pa y y =+③ 令2221y y T +=，则圆21,C C 的面积之和为T π.根据题意，仅需考虑T 取到最小值的情况.根据②、③可知，212221212212242)(y y y y pay y y y T -=-+= 22222221)2)(34()34(2)34(444a a a a a a ---=----=.作代换21a t -=，由于024442>=-=pa a t ，所以0>t .于是 4324132413)1)(13(+=+•≥++=++=tt t t t t t T . 上式等号成立当且仅当33=t ，此时3111-=-=t a ，因此结合①得， 331333311122-=-=-=-=t t a a p从而F 的坐标为)0,331()0,2(-=p .。

十年全国高中数学联赛试题一试解析几何圆锥曲线部分解答题2000、已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+by a x (a ＞b ＞0)。

试问：当且仅当a ,b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为项点,与C 0外切,与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论。

2002．已知点A (0，2)和抛物线y 2=x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．2006. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00mm y x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.2008．如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．2000.答案：所求条件为21a +21b=1. 证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与C 1内接,与C o 外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y 轴上,为(0, b)和 (0, -b) .菱形一条边的方程为a x +by=1,即bx+ay=ab.由于菱形与C O 外切,故必有22b a ab +=1,整理得21a +21b=1. 必要性得证. 充分性:设21a +21b=1,P 是C 1上任意一点,过P 、O 作C 1的弦PR ，再过O 作与PR 垂直的弦QS ，则PQRS 为与C 1内接菱形.设 OP = r 1, OQ =r 2, 则点O 的坐标为(r 1cos θ, r 1sin θ),点Q 的坐标为(r 2cos(θ+2π),r 2sin(θ+2π)),代入椭圆方程,得()221cos a r θ+()221sin b r θ=1,222)]2cos([a r πθ++222)]2sin([br πθ+=1,于是,21OP +21OQ =222111R R +=(2222sin cos b a θθ+)+[22)2(cos a πθ++22)2(sin b πθ+] =21a +21b=1. 又在Rt △POQ 中，设点O 到PQ 的距离为h ，则h 1=21OP +21OQ=1,故得h=1同理，点O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1，故菱形PQRS 与C 0外切.充分性得证. [注]对于给出2222b a b a =+ ，22ba ab +=1等条件者，应同样给分.2002.解：设B (y 02－4，y 0)，C (y 12－4，y 1)．则k AB =y 0－2y 20－4=1y 0+2．k BC =y 1－y 0y 21－y 20=1y 1+y 0． 由k AB ·k BC =－1，得(y 1+y 0)(y 0+2)=－1． ∴ y 02+(y 1+2)y 0+(2y 1+1)=0．∴ △=(y 1+2)2－4(2y 1+1)=y 12－4y 1≥0， ∴ y 1≤0，y 1≥4．当y 1=0时，得B (－3，－1)，当y 1=4时，得B (5，－3)均满足要求，故点C 的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．2005.过抛物线2x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程. 解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为D B x y 、∴-=.12的坐标为D D B ∴-),0,21(),1,0(是线段AB 的中点. ………………5分设),(y x P 、),(200x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由1λ=ECAE 知，;11,11120111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC BE得.11,1220222022λλλλ++-=+=x y x x∴EF 所在直线方程为：,1111111111111202101120122021201λλλλλλλλλλλλ++-+++-=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(202020122012x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…①…………10分当210≠x 时，直线CD 的方程为：12202020--=x x x x y …②联立①、②解得02133x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312-=x y ………15分 当210=x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：21=x ，联立解得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.121,21y x 也在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.32,10≠∴≠x x ∴所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ………………………………………………20分解二：由解一知，AB 的方程为),0,21(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. ……5分令,1,1,2211λλγ+==+===CF CB t CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ∆的中线，而,23,232)11(212212*********=∴=+=+=+==⋅⋅=∆∆∆∆∆∆γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ∆的重心. ………………………………………………………………………10分设),,(),,(20x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为 ,3311),32(,31310202000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(312-=x y故所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ………………………………………………20分2006.【证明】 因为12-=nx y 与x y =的交点为00x y ==显然有001x n x +=。

1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。

4、（2002一试4）直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）A. B. C. D.【答案】B6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）(A)163(B)83(C)1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．8、（2005一试5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】C9、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）【答案】A【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c +和||221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

全国高中数学联合竞赛（加试）试题分类汇编一【平几】1、【1988·2】(本题满分35分)如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：S∆PQRS∆ABC>29．NACBPQ RH2、【1989·1】(本题满分35分)已知在ΔABC中，AB>AC， A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．求证：2AF=AB-AC．EAFB C3、【1990·1】(本题满分35分)四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．O OA B C DP 1O O O 234F4、【1991·2】(本题满分35分)设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于1 4．5、【1992·1】(本题满分35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为△A2A3A4、△A3A4A1、△A4A1A2、△A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．6、【1993·3】(本题满分35分)水平直线m通过圆O的中心，直线l⊥m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR 为圆O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB⨯CR+BC⨯AP=AC⨯BQ；(2)l与圆O相交时，AB⨯CR+BC⨯AP＜AC⨯BQ；(3)l与圆O相离时，AB⨯CR+BC⨯AP＞AC⨯BQ.7、【1994·3】(本题满分35分)如图，设三角形的外接圆O 的半径为R,内心为I ，∠B=60 ,∠A <∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ．证明:(1)IO=AE ；(2)2R <IO +IA +IC <(1+3)R ．AB COIE8、【1995·3】(本题满分35分)如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．9、【1996·3】（本题满分35分）如图，圆O 1和圆O 2与△ABC 的三边所在的三条直线都相切，E 、F 、G 、H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。