下载文档原格式
通过与分数乘除法类比的过程，总结概括出分式乘除的运算法则．通过具体的练习，掌握分式乘法、除法的运算法则，体会化归与转化的数学思想．重点是分式的四则运算，难点在于异分母分式的加减法．把分式的除法转化为乘法，能正确进行通分，把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，是本讲内容的关键．1、分式的乘法法则两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示A C ACB D BD⋅=．2、分式的除法法则分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为A C A D ADB D BC BC÷=⋅=．3、分式的乘方法则分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即n nnA AB B⎛⎫=⎪⎝⎭．分式的运算内容分析知识结构模块一：分式的乘除知识精讲2 / 254、分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】（1）在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算；（2）要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．例如：211a aa b b b b b ÷⋅=⋅=．【例1】 下列式子中，化简正确的有（ ）．A ．a x a b x b +=+B ．0x y x y +=+C ．22a b a b a b +=++ D ．1x yx y-+-=- 【难度】★ 【答案】D【解析】A 错误，考察分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以一个不为零的数，分式值不变；B 错误，正确答案应为1；C 错误，化简不了．【总结】主要考察运用分式的基本性质如何化简． 【例2】 下列计算正确的是（）． A ．233yxy x x÷= B ．2313y x x y x ÷= C ．1x y x y÷⋅=D ．21111a a a a a -⋅=-+ 【难度】★ 【答案】D【解析】A 错误，正确应为：2331133y y xy x x xy x÷=⋅=； B 错误，正确应为：222333393y x y y y x y x x x÷=⋅=；C 错误，正确应为：2111xx y x y y y y÷⋅=⋅⋅=． 【总结】主要考察运用分式的基本性质如何化简．【例3】 若a b s r 、、、都是正数，则式子a b br s-=可变形为（ ）． A ．rb sa s+= B ．asb r s=+ C ．r sa as+=D ．as rb r-=【难度】★例题解析【答案】B【解析】两边同时乘以rs ，可得：()br s b a =-，整理可得：()s r b as +=，则选B 【总结】考察分式的化简．【例4】 计算()222x y x x y x x y++÷⋅+的结果是（ ）． A ．22x x y+B ．2x y +C ．1yD ．11y+ 【难度】★ 【答案】A【解析】()222x y x x y x x y ++÷⋅+()22222x x x x y x y x y x y =+⋅⋅=+++．【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除． 【例5】 化简224252ab bab a b÷⨯，结果是（ ）．A ．215a bB ．2245a bC ．25b aD ．45b【难度】★【答案】A【解析】224252ab b ab a b ÷⨯2224115225ab b ab a b a b =⋅⨯=． 【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除． 【例6】 计算： （1）2238_______32x yz y z x⋅=；（2）2412_______9aab b -⋅=； （3）43_______3xyz z÷=； （4）233_______105y yx x-÷=-． 【难度】★【答案】（1）243z x y ；（2）2163a b-；（3）249xy z ；（4）2x ．【解析】（1）223284323x yz zy z x x y⋅=；（2）224161293a a ab b b -⋅=-；（3）2441433339xy xy xyz z z z z ÷=⋅=； （4）2233351051032y y y x x x x x y --÷=-⋅=-． 【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．【例7】 计算：（1）211_______x x x ÷=-； （2）()2242_______44a a a a--⋅=+-．【难度】★【答案】（1）x -1；（2）2--a ．【解析】（1）()()211111111x x x x x x x x x x÷=÷=⋅-=---； （2）()()()()()222224222442a a a a a a a a a +---⋅=-⋅=--+--． 【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．【例8】 计算22222662x x x x x x x x --+-÷--+-的结果是___________． 【难度】★★【答案】9122--x x ．【解析】22222662x x x x x x x x --+-÷--+-()()()()()()()()21323221x x x x x x x x -++-=÷-++-()()()()()()()()21213232x x x x x x x x -++-=⋅-++-()()()()1133x x x x +-=-+2219x x -=-．【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分． 【例9】 计算：（1）22_______11a aa a ⋅=-+； （2）223_______212x x x x x +÷=++--． 【难度】★★【答案】（1）a a 1-；（2）2342-++x x x ．【解析】（1）()()222221111_______1111a a a a a a a a a a a a a a a+---=÷=⋅=⋅=+-++；（2）()()()()()()2222313343_______21121222x x x x x x x x x x x x x x x ++++++=++⋅=+⋅==--+---．【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分．【例10】 先化简，再求值：（1）()232xy x x yx y y x y--÷-⋅+，其中 1.5x =-，2y =； （2）2232232(2)a ab b b a ab b b b ++-+--+，其中12a =，13b =．【难度】★★ 【答案】（1）43；（2）5． 【解析】（1）()232xy x x yx y y x y --÷-⋅+()()()21x y x y x x y x y x y y x y +--=⋅⋅=-+-， 当 1.5x =-，2y =时，原式=4325.1=--； （2）2232232(2)a ab b b a ab b b b ++-+--+()()222322322a b ab b a ab ab b b -++=+--+()()()()222322232a b ab b a ab b ab b-++=-++-()()()()()222a b a b b a b a b b a b +-++=-+-()()()()22a b a b b a b a b b +-+=--+a ba b+=-， 当12a =，13b =，原式=5616531213121==-+．【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分．【例11】 若1x x=，求234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭的值． 【难度】★★ 【答案】1±．【解析】234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭()343134x x x x x x x x -+⎛⎫=⋅⋅-= ⎪+-⎝⎭，因为xx 1=，所以1±=x ，所以原式=1±． 【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【例12】 已知0132=+-a a ，则32232531a a a --++的值是________ 【难度】★★ 【答案】1-．【解析】已知0132=+-a a ，则132-=a a 或a a 312=+，31=+aa （方程两边同时除以a ）． 32232531a a a --++22232531a a a a =⋅--++()223312531a a a a =---++ 222362531a a a a =---++223231a a a =--++2331231a a a =---++2341a a =-++343a a =-+14a a=-+341=-=-． 【总结】本题主要考查分式的变形以及整体代入思想和降次思想的运用．【例13】 已知6a b +=，2ab =-，求代数式()()224466a b a b a b ab +-÷÷-的值．【难度】★★★ 【答案】-2．【解析】()()224466a b a b a b ab+-÷÷-()()()()222216ab a b a b a b a b a b =++-⋅⋅+-()6a b ab +=， 已知6a b +=，2ab =-，所以原式=()2626-=-⨯．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【例14】 已知2244450x y x y +-++=，求2442222222x y x y x y x xy y xy y y ⎛⎫--+⋅÷ ⎪+--⎝⎭的值．【难度】★★★【答案】217-．【解析】已知2244450x y x y +-++=，则()()222210x y -++=，所以2=x ，12y =-．2442222222x y x y x y x xy y xy y y ⎛⎫--+⋅÷ ⎪+--⎝⎭()()()()()()()22222222x y x y x y x y y x y x y y x y x y ++--=⋅⋅-+-+22yx y =+，当2=x ，12y =-时，原式=221122217171242-=-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结】本题一方面考查非负性的运用，另一方面考查分式的化简求值． 【例15】 已知2310x x --=，求：（1）221x x +；（2）2421x x x ++的值．【难度】★★★ 【答案】（1）11；（2）121． 【解析】已知2310x x --=，则31=-xx （等式两边同时除以x ）， （1）22221123211x x x x ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭，（2）2422211111111121x x x x x ===+++++．【总结】考察分式的变形，这种变形经常用到，因此要彻底理解．1、同分母的分式加减法法则同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 2、异分母的分式加减法法则（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．模块二：分式的加减知识精讲8 / 253、分式的综合运算与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．【例16】 计算：39_______33a b a bab ab++-=--． 【难度】★【答案】a 2．【解析】3962333a b a b b ab ab ab a ++--==---．【总结】考察同分母分式的加减法． 【例17】 下列各式计算错误的是（）． A ．325x y x y ya b a b a b+--=+++ B ．322x y x y x ya b a b a b +-++=+++C ．32x y x y ya b a b a b+++=+++D ．32x y x y ya b a b a b ++-=+++【难度】★ 【答案】C【解析】C 错误，正确答案为3225x y x y x ya b a b a b ++++=+++．【总结】考察同分母分式的加减法． 【例18】 计算：（1）51________1212x x+=； （2）2_______22x x x -=--； （3）22______a b a b a b -=--；（4）33________a b a ba b a b++-=++． 【难度】★ 【答案】（1）12x；（2）1；（3）b a +；（4）b a ba +-22．【解析】（1）51611212122x x x x+==； （2）221222x x x x x --==---； （3）()()2222a b a b a b a b a b a b a b a b a b +---===+----；（4）3322a b a b a ba b a b a b++--=+++． 【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要最简．例题解析【例19】 已知2x =，3y =，则22_______x y x y y x+=--． 【难度】★ 【答案】5．【解析】()()2222235x y x y x y x y x y x y y x x y x y +--+===+=+=----． 【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要最简．【例20】 化简：222m m m ---的结果是_____________．【难度】★【答案】24-m ．【解析】()()222222442222222m m m m m m m m m m m m m -+---=-=-=------．【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要化成最简分式，另外注意符号的变化． 【例21】 求下列分式的最简公分母 （1）22325a b ab abc -，，；（2）()223111x x x x +-，，；（3）2263562x x x x -+--，；（4）2211211a a a a a a a a-+-++-，，．【难度】★【答案】（1）c b a 22；（2）()()11-+x x x ；（3）()()()132+--x x x ；（4）()()211a a a +-．【解析】单项式取字母的最高次数，多项式先进行因式分解彻底，再取各因式的最高次数． 【总结】本题主要考查最简公分母的概念．【例22】 通分：（1）238x y -，3512x yz ，3320xy z-；（2）1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+； （3）2m n mn -，2n m mn -，221m n -；（4）()()1a b a c --，()()1b c b a --，()()1c a c b --．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）22333458120xy z x y x y z -=-，233355012120y x yz x y z =，233331820120x xy z x y z--=；（2）221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-=--+，()()()2221111x x x x x x x -=--+，2222(1)21(1)(1)x x x x x x x +=-+-+； （3）()()()22m m n m n mn mn m n m n -+=-+-，()()()22n m n nm mn mn m n m n +=-+-，()()221mnm n mn m n m n =-+-；（4）()()()()()1b c a b a c a b a c b c -=-----，()()()()()()1a cbc b a a b b c a c --=-----，()()()()()1a bc a c b a b a c b c -=-----．【总结】本题一方面考查最简公分母的概念，另一方面考查利用分式的基本性质进行通分． 【例23】 计算：（1）212293x x +--； （2）2431222x x x x ++----． 【难度】★ 【答案】（1）32+-x ；（2）()()122+-+x x x ． 【解析】（1）()()()()()()22232312212293933333x x x x x x x x x x +-+=-==----+-+-+； （2）2431222x x x x ++----()()4312221x x x x =-+---+ ()()()()()()112212121x x x x x x x x ++=+=-+-+-+．【总结】考察异分母分式的加减法，注意先通分再加减．【例24】 小明上学时从家到学校要走一段上坡路，途中平均速度为m 千米/时，放学回家后， 沿原路返回，平均速度为n 千米/时，则小明上学和放学来回一次路上的平均速度为（ ）千米/时． A ．2m n + B ．2mnm n +C ．mnm n+ D ．m n mn +【难度】★★ 【答案】B【解析】设路程为1，则上坡路的时间为m 1，下坡路的时间为n1，所以小明上学和放学来回一次路上的平均速度为nm mnnm +=+2112 【总结】本题主要考察分式运算在实际问题中的应用，本题注意对平均速度的理解．【例25】 计算：（1）32231131x x x x x x x -+⋅----；（2）22424422x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭； （3）2331()y x y x y x x y x y ⎛⎫÷-÷ ⎪--⎝⎭；（4）()222211121a a a a a a +-÷+---+； （5）22321113x x x x x x x +++-⋅--+；（6）221369324a a a a a a a +--+-÷-+-． 【难度】★★【答案】（1）x ；（2）()22x x+；（3）0；（4）1-；（5）11x --；（6）33a -． 【解析】（1）32231131x x x xx x x -+⋅----()()()2231113111x x x x x x x x x x x x -+=⋅-=-+----- ()2111x x x x x x x --===--； （2）22424422x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭()()()2222222x x x xx x x ⎡⎤+-+=-÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()()22222222222x x x x x x x x xx x x ++++--⎛⎫=+⋅=⋅= ⎪---⎝⎭； （3）2331()y x y x y x x y x y ⎛⎫÷-÷ ⎪--⎝⎭()233323330()y y y y y x y x x x x y x x =⋅-⋅-=-=-； （4）()222211121a a a a a a +-÷+---+()()()()2211112111111111a a a a a a a a a a a ++-+-=⋅-=-==--+----； （5）22321113x x x x x x x +++-⋅--+()()()213111113111x x x x x x x x x x x x +++=-⋅=-=---++---；（6）221369324a a a a a a a +--+-÷-+-()()()()()()2232213133222323a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+-=-÷=-⋅-++--+- 123333a a a a a +-=-=---．【总结】考察分式的加减法运算，注意分子分母中含有多项式时，要先进行因式分解．【例26】 若()()211212x A Bx x x x +=+++++恒成立，则_________A B +=．【难度】★★ 【答案】2． 【解析】若()()211212x A Bx x x x +=+++++恒成立，则()()()()()()()()()()()2122112121212A x B x A B x A B x x x x x x x x x ++++++=+=++++++++恒成立， 则⎩⎨⎧=+=+122B A B A ，所以2=+B A ．【总结】考察分式的加减法，注意先通分再加减．【例27】 已知111a b a b +=+，则b aa b +的值是__________．【难度】★★ 【答案】-1． 【解析】已知111a b a b +=+，则ba ab b a +=+1，可得()ab b a =+2，即ab b a -=+22， 所以122-=+=+abb a b a a b ．【总结】考察异分母分式的加减法和分式的变形运用．【例28】 已知1ab =，1111M a b =+++，11a b N a b=+++，则M 与N 的大小关系是 （）．A ．M N =B ．M N >C ．M N <D ．不确定【难度】★★ 【答案】A 【解析】N M -111111a b a b a b ⎛⎫=+-+ ⎪++++⎝⎭1111a b a b --=+++()()()()()()111111a b b a a b -++-+=++ ()()1111b a ab a b aba b +--++--=++221ab ab a b -=+++0=，所以M N =． 【总结】本题主要考察分式的比较大小．【例29】 若分式M 满足()22224222y x yM x y x xy y x xy y +⋅++=----，求M 的值． 【难度】★★【答案】()21y x +．【解析】∵()22224222y x yM x y x xy y x xy y +⋅++=----， ∴()22222422x y y M x y x xy y x xy y +⋅+=-----2222x y x xy y -=--()()22x yx y x y -=-+1x y=+， ∴()21M x y =+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意法则的准确运用．【例30】 先化简，后求值：22222222m mn m n mnm n m mn n m n n m -+-+-+++，其中1132m n =-=，． 【难度】★★ 【答案】-2．【解析】22222222m mn m n mn m n m mn n m n n m -+-+-+++()()()()()2=m m n m n mn m n m n mn m n m n -+-+-+++ 11m mm n m n m n m n=-+=++++， 当1132m n =-=，，原式26131213131-=-=+--=． 【总结】本题主要考查分式的加减运算，注意法则的准确运用．【例31】 计算：2411241111x x x x +++-+++． 【难度】★★★【答案】818x -． 【解析】2411241111x x x x +++-+++=224224111x x x =++-++448448111x x x =+=-+-． 【总结】本题主要考查异分母分式的加法，注意先通分，通分时注意平方差公式的运用．【例32】 计算：()()()()()()222x y z y z x z y xx y x z y x y z z y z x ------++------．【难度】★★★【答案】0．【解析】()()()()()()222x y z y z x z y xx y x z y x y z z y z x ------++------()()()()()()x y x z y z y x z y z xx y x z y x y z z y z x -+--+--+-=++------111111x z x y y x y z z y z x=+++++------0=．【总结】注意分式规律b a ab b a 11+=+的运用． 【例33】 已知a b c 、、三个数满足1abc =，求式子111111a ab b bc c ca ++++++++的值．【难度】★★★ 【答案】1．【解析】已知a b c 、、三个数满足1abc =，则bac 1=，111111a ab b bc c ca ++++++++11111abc a ab abc b bc c b=++++++++ 1111bc bb bc b bc b bc =++++++++11bc bb bc ++=++1=．【总结】本题综合性较强，主要考查整体代入思想的运用，以及通过恰当的变形，将异分母分式转化为同分母分式．【习题1】 化简：（1）_____x yx y y x -=--；（2）2_____a a ba b b a++=--． 【难度】★ 【答案】（1）yx yx -+；（2）1． 【解析】x y x y x y y x x y+-=---； （2）21a a b a ba b b a a b+-+==---． 【总结】考察同分母分式的加减法，注意相反数的变形． 【习题2】 计算：（1）3212_______11x x x x -+-=-+；（2）2222______42x x x x ⎛⎫+-= ⎪--⎝⎭； （3）()2222_________x y x y x y y x+⋅+=--． 【难度】★【答案】（1）1-x ；（2）1；（3）y x +．【解析】（1）()()()()2322211122121111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+++++--=-=-==--+-+++++；（2）()()()22222222142222222x x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+--=-=-== ⎪--+-----⎝⎭； （3）()22222222x y x y x y x y x y x y y x x y y x x y-+⋅+=+==+-----． 【总结】本题主要考查分式的加减乘除混合运算，注意法则的准确运用． 【习题3】 代数式211x xx x +÷--有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．1x ≠ B ．1x ≠且0x ≠ C ．2x ≠且1x ≠ D ．2x ≠-且0x ≠【难度】★ 【答案】B【解析】分式有意义的条件是分母不为零． 【总结】考察分式有意义的条件．随堂检测【习题4】 化简：2n n m m m⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭的结果是（）．A ．1m --B ．1m -+C ．mn m -+D ．mn n --【难度】★ 【答案】B【解析】()211m m n n n m m m m m n -⎛⎫⎛⎫-÷=-⋅=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．【总结】考察分式的乘除运算，注意先约分后乘除． 【习题5】 给定下面一列分式：3x y ，52x y -，73x y ，94x y-（其中0x ≠），根据你发现的规律， 给定的此列分式中的第7个分式为____________． 【难度】★ 【答案】715yx ．【解析】奇数项为正号，偶数项为负号．【总结】分本题主要考查找规律，次数与项数之间的关系．【习题6】 已知2320x x --=，那么代数式()32111x x x --+-的值是_____________．【难度】★★ 【答案】2． 【解析】()()()()()()()3322211111113211x x x x x x x x x x x -----+-===--+=-=--原式．【总结】本题主要考查分式的除法，注意整体因式的运用．【习题7】 若22560a ab b -+=，则________a bb +=． 【难度】★★ 【答案】3或4．【解析】若22560a ab b -+=，则()()032=--b a b a ，所以b a 2=或b a 3=， 当b a 2=时，32=+=+b b b b b a ；当b a 3=时，43=+=+bbb b b a ． 【总结】考察两个未知数的十字相乘法因式分解以及整体思想的运用．【习题8】 当整数x 为何值时，分式22322212x x x x x -+⋅-+-的运算结果为整数？ 【难度】★★【答案】2031x x x x ====-或或或．【解析】()()()2221232222=212211x x x x x x x x x x ---+⋅⋅=-+----， 要使最后的结果为整数，则112x -=±±或，所以2031x x x x ====-或或或． 【总结】考察分式的乘法运算，注意先对多项式因式分解再约分． 【习题9】 计算：（1）23324b b b a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）22136932x x x x x x +-÷⋅-+-+；（3）22226235623x x x x x x x x +-+-÷-+--；（4）222212111a a a a a a a a --÷⋅++++； （5）()()()22218334423x xx x x x x ⎡⎤--÷+⋅⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）23232232364162442727b b b b a a a a a a a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷-=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()()222132331693223x x x x x x x x x x x +-+-÷⋅=⋅-⋅=--+-++-； （3）()()()()()()()()222232316231562332311x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--++-+-+÷=⋅=-+----+--；（4）()()()()222222111121111111a a a a a a a a aa a a a a a a a a +---+÷⋅=⋅⋅=++++-+++； （5）()()()()()()()22233233233223222x x x x x x x x x x x x +-+-+--=÷=⋅=------原式． 【总结】考察分式加减乘除混合运算，注意法则的准确运用．【习题10】 化简求值：223323212a a a a a a a ++÷-++++，其中 1.2a =． 【难度】★★【答案】14-．【解析】()()()223332122=321212322a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-÷-⋅-=+++++++++，当 1.2a =时，原式 1.2211.224-==-+． 【总结】考察分式的混合运算，注意法则的准确运用．【习题11】 已知1a =-，10b =-，8m =，9n =，求()111mm n m nn n n n n n ab a b a b a b a a b+++++⋅÷++的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】()111mm n m nn n n n n n ab a b a b a b a a b+++++⋅÷++ ()()m n m n m mn n n a a b b a b a b a b a a b ⋅⋅⋅=÷++()()m n m n n n n m ma ab b a a b a b a b a b ⋅⋅⋅+=⋅+1m a ==．【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意观察公因式的提取．【习题12】 甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤a 元和b 元()a b ≠，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问甲、乙两人买大米谁平均价格更低？ 【难度】★★ 【答案】乙． 【解析】甲的平均价为2200100100b a b a +=+；乙的平均价为()b a ababb a b a +=+=+100200100100200， 因为()()()02222222>++=+-+=+-+b a b a b a ab b a b a ab b a ，所以b a ab b a +>+2， 所以乙买大米平均价更低．【总结】本题主要考查分式的运算在实际问题中的运用．【习题13】 计算：23451234x x x x x x x x ++----+++--． 【难度】★★★ 【答案】()()()()43211010--+++-x x x x x ．【解析】23451234x x x x x x x x ++----+++-- 112131411234x x x x x x x x ++++----=--+++-- 11111(1)(1)(1)1234x x x x =+-+--+-++-- 11111234x x x x =-+-++-- ()()()()111234x x x x =-++--()()()()10101234x x x x x -+=++--．【总结】分式计算时，先观察分式的规律，适当的时候作简便运算．【习题14】 已知4360x y z --=，270x y z +-=，0xyz ≠，求2x y zx y z +--+的值．【难度】★★★【答案】34．【解析】已知4360x y z --=，270x y z +-=，则z y 2=，z x 3=， 所以3244232233x y z z z z z x y z z z z z +-+-===-+-+．【总结】利用解方程组的思想消元，得出未知数之间的关系，然后通过约分求出分式值． 【习题15】 已知1ab =，试说明111a b a b +=++． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】已知1ab =，则b a 1=，所以111111111111a b b b bb a b b b b b b ++=+=+==+++++++．20 / 25【习题16】 已知x a y z =+，y b x z =+，z c x y=+，求111a b c a b c +++++的值． 【难度】★★★【答案】1．【解析】111a b c a b c +++++1111x z y y z y z x z x y z y z x z y z x z y y z x y x z x y z x y z x y z y z x z x y x y zx y z x y z x y z x y z x y z +++=+++++++++++=+++++++++++=++++++++++=++= 【总结】本题计算比较复杂，解题时注意观察规律，将难度降低．【作业1】 计算：（1）22543125y x y xy x ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（2）22226y xx y x x y⎛⎫÷-⋅÷ ⎪⎝⎭；（3）22362444x x x x x -+÷-++；（4）23232243323a b b b a a ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （5）22422242x y y x x ax a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）-1；（2）y x 26-；（3）3；（4）232ab-；（5）2104a x ．【解析】（1）225431125y x y xy x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭；（2）2222222221666y x x x x x y x x y x y y y x y ⎛⎫⎛⎫÷-⋅÷=⋅-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；课后作业（3）()()()()2223223623444222x x x x x x x x x x -+-+÷=⋅=-++-++；（4）232363222462243162723239893a b b a b bb b a a b a a a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （5）224222244102242241644216x y y x x y a x x x x ax a y a a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫÷⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用． 【作业2】 计算：（1）222931x xx x x --÷-+；（2）2221111a a a a a a a -+⎛⎫÷⋅ ⎪---⎝⎭． 【难度】★ 【答案】（1）()13-+-x x x ；（2）11-+-a a ． 【解析】（1）()()()()()()22233139311131x x x x x x x x x x x x x x x +-++--÷=⋅=--++---；（2）()()()()()22222111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+⎛⎫÷⋅=⋅⋅=- ⎪---+--⎝⎭-． 【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用． 【作业3】 计算： （1）22______a b b aa b b a a b++-=---； （2）231______222x x x x x x -++-=---；（3）2222222222________x y x y x y y x x y ++-=---； （4）222223121_________232323x x x x x x x x x -+--+=------；（5）2________b a c b ca b c b a c b a c +-+-=-+----． 【难度】★【答案】（1）-1；（2）2x --；（3）2222yx y --；（4）222223x x x x ----；（5）-2． 【解析】（1）22221a b b a a b b a a ba b b a a b a b a b++---++-===------；（2）()()22231314222222x x x x x x x x x x x x x---+-+-+-===-------；（3）()22222222222222222222x y x y x y x y y x y y x x y x y x y --+++-==------； （4）()222222222231213121222323232323x x x x x x x x x x x x x x x x x x --++--+----+==----------； （5）()()2222222b a c b c b a c b a c b ca b c a b c b a c b a c b a c b a c b a c-++-----+--++-====--+----------．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【作业4】 如果m 为整数，那么使分式31m m ++的值为整数的m 的值有（）个．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【难度】★★【答案】C【解析】31221111m m m m m +++==++++，要使分式值为整数，则112m +=±±或，所以整数m 的值有4个． 【总结】题目中的分式可以进行分离常数，然后再讨论整数取值．【作业5】 分式251126x x x -+-是由分式2A x +与23Bx -相加得到，则A 、B 应为（ ）A ．511A xB =⎧⎨=-⎩ B ．115A B x =-⎧⎨=⎩C ．13A B =-⎧⎨=⎩D ．31A B =⎧⎨=-⎩【难度】★★ 【答案】D 【解析】()()()()()()()623223222322323222-+-++=-+++-+-=-++x x A B x B A x x x B x x x A x B x A 所以252311A B B A ⎧+=⎨-=-⎩，解得：31A B =⎧⎨=-⎩．【总结】考察异分母分式的加减法通分的方法． 【作业6】 计算：（1）222555ab b a bab b a ab a b a b ⎛⎫+++⋅-⎪-+-⎝⎭； （2）()()22222222(22)2x y x y x y xy x xy y x y x y+⋅+--÷-+--；（3）22422442222a b a a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⋅-÷-⎪-+-+-⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）ab 5；（2）y x -；（3）2222ab a a b --．【解析】（1）222555ab b a b ab b a ab a b a b ⎛⎫+++⋅- ⎪-+-⎝⎭()()()55b a b a bb a b a a b a b a b ⎡⎤+=++⋅-⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦ ()()()555b a b a a bb a b a a b a b a b a b +=⋅++⋅--++-55b b ab ab a ba b =+-=--；（2）()()22222222(22)2x y x y x y xy x xy y x y x y+⋅+--÷-+-- ()()()()()2222xy x y x y x y x y x y x y x y -=+⋅+-+---()2222x y x y xy x y x y x y x y x y-=+-==-----； （3）22422442222a b a a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⋅-÷- ⎪-+-+-⎝⎭()()()2442222222222a b a a b a b a b b a a b a b a b =⋅-÷--+--++ ()()()222242224222222ab ab ab a b a b a a b a b +=-⋅----+ 2222222222ab a b b a b a b a b+=-+--- 2222ab a a b -=-．【总结】考察分式的加减乘除运算，注意乘法分配律的应用． 【作业7】 已知210253a a b ++=--，求代数式()4322222322b a ab a b b a b ab b a b +--⋅÷+-的值．【难度】★★【答案】845-．【解析】已知210253a a b ++=--，所以()2530a b ++-=，则53a b =-=，．()4322222322b a ab a b b a b ab b a b +--⋅÷+-()()()()()24223a a b b a b b ab b b a b a b aa b -+=⋅⋅=+---， 当53a b =-=，时，原式()()84553352-=--⨯-=． 【总结】本题一方面考查非负性的运用，另一方面考查分式的化简求值．【作业8】 甲、乙两种茶叶，以:x y （重量比）相混合制成一种混合茶．甲种茶叶的价格每500克50元，乙种茶叶的价格每500克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，求:x y ． 【难度】★★ 【答案】4:5．【解析】有题意可得：()()y x y x ％％10140101504050-++=+，则解得：5:4:=y x ． 【总结】考察分式的运算在实际问题中的应用．【作业9】 计算：11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)x x x x x x x ++++-------．【难度】★★★【答案】()()1991199---x x x ．【解析】11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)x x x x x x x ++++-------11111111122399100x x x x x x x =+-+-++-------- 11111100x x x =+---- 211100x x =--- 2(100)(1)(1)(100)x x x x ---=--()()1991100x x x -=--．【总结】考察有规律的分数运算，总结出规律为()11111+-=+n n n n ，类似分数的裂项运算．【作业10】 已知234a b c ==，求22a ab ac a b c a b c--⋅---+的值． 【难度】★★★【答案】34．【解析】已知234a b c==，则可设234a k b k c k ===，，， ()22222242343a abc a ab ac a k a b c a b c a b c a b c a b c k k k ----⋅⋅=⋅===---+---+-+-+．【总结】考察分式的乘法运算，遇比设未知数进行约分求值是一种常用的方法．【作业11】 求证：()()()()()()222b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a ---++=++---------．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】()()()()()()b c c a a ba b a c b c b a c a c b ---++------()()()()()()()()()()()()a c ab b a bc c b c a a b a c b c b a c a c b ---------=++------ 111111a b a c b c b a c a c b =-+-+------- 111111a b c a b c a b c a b c =+++++------ 222a b c a b c=++---． 【总结】本题综合性较强，主要考查分式的变形化简，解题时注意观察分子分母间的关系．。
1.2 分式的乘法和除法第1课时分式的乘法和除法要点感知1 分式乘分式，把、分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式，即·=. 预习练习1-1 计算：·=.1-2 计算：·.要点感知2 分式除以分式，把除式的分子、分母位置后，与被除式相乘.即如果u≠0，那么÷==.预习练习2-1 计算：-2xy÷=.2-2 计算：÷.知识点1 分式的乘法1.(2013·上海)计算：·=.2.化简：(a-2)·=.3.计算：(1)·(-)；(2)·；(3)·；(4)·.知识点2 分式的除法4.计算÷3ab的值等于( )A.9a2bB.bC.D.9a2b25.化简(-)÷的结果是( )A.-x-1B.-x+1C.D.6.化简：(ab-b2)÷=.7.(2013·新疆)化简：÷=.8.计算：(1)÷；(2)÷；(3)÷；(4)(ab-b2)÷.9.化简分式·的结果是( )A. B. C. D.10.计算(x2+xy)÷的结果是( )A.(x+y)2B.x2+yC.x2D.x11.大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖机的工作效率是小拖机的工作效率的( )A.倍B.倍C.倍D.倍12.若m等于它的倒数，则分式÷的值为( )A.-1B.3C.-1或3D.-13.(2013·黔南州)化简：÷=.14.某服装厂新进一种布料,n(m)布料可以做y件上衣,2n(m)布料可以做3y条裤子,那么一件上衣的用料是一条裤子的倍.15.计算：(1)·；(2)÷；(3)·.16.化简求值：·，其中x=-2.17.先化简分式·，然后请你选取一个合适的x的值，使分式的值为一个整数.挑战自我18.有这样一道题：“化简求值：÷，其中m=-2 014.”小明误把m=-2 014错写成m=2 014，最后的计算结果也是正确的，这是什么原因？19.把分式化成两个分式的乘积的形式.参考答案课前预习要点感知1 分子乘分子分母乘分母。
2．分式的加减第1课时 分式的通分1．理解并掌握最简公分母的概念，能够求出几个分式的最简公分母；(重点)2．能够对几个分式进行通分，并运用其解决问题．(难点)一、情境导入1．通分：12，23. 2．分数通分的依据是什么？3．类比分数，怎样把分式通分？二、合作探究探究点一：最简公分母求下列分式的最简公分母：x 2x ＋2，x x 2＋x ，1x 2＋1. 解析：确定最简公分母的方法是：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的得到的因式的积就是最简公分母．解：x 2x ＋2，x x 2＋x ，1x 2＋1的分母分别是2x ＋2＝2(x ＋1)、x 2＋x ＝x (x ＋1)、x 2＋1，故最简公分母是2x (x ＋1)(x 2＋1)．方法总结：求最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂．探究点二：通分【类型一】 分母是单项式的分式的通分通分：(1)c bd ，ac 2b 2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc 2； (3)45y 2z ，310xy 2，5－2xz 2. 解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．解：(1)最简公分母是2b 2d ，c bd ＝2bc 2b 2d ，ac 2b 2＝acd 2b 2d ； (2)最简公分母是6a 2bc 2，b 2a 2c ＝3b 2c 6a 2bc 2，2a 3bc 2＝4a 36a 2bc 2； (3)最简公分母是10xy 2z 2，45y 2z ＝8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5－2xz 2＝－25y 210xy 2z 2. 方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．【类型二】 分母是多项式的分式的通分通分：(1)a 2（a ＋1），1a 2－a； (2)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－12m ＋9. 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)，a 2（a ＋1）＝a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1）， 1a 2－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2，2mn 4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2， 3m 4m 2－12m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2. 方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．三、板书设计1．最简公分母2．通分(1)依据：分式的基本性质；(2)方法：先确定最简公分母，再把各分式的分母化为最简公分母．本节课学习了分式的通分，方法可类比分数的通分．在教学中应注意循序渐进，先让学生学会确定最简公分母，再让学生学习通分．通分时，一要注意避免符号错误，二要注意通分不改变分式的值，即分母乘了一个整式，分子也要乘以同样的一个整式。
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
分式的运算教案目标：学习如何进行分式的运算，包括加法、减法、乘法和除法。
介绍：分式由分子和分母组成，分母不能为零。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
本教案将逐步介绍每种运算的具体步骤和注意事项。
一、分式的加法和减法：1. 当两个分数的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，分母保持不变。
例如：1/3 + 2/3 = 3/3 = 12/5 - 1/5 = 1/52. 当两个分数的分母不同时，需要找到一个最小公倍数作为新的分母，并按比例调整分子。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20二、分式的乘法：将两个分数的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
例如：1/2 × 3/4 = 3/82/5 × 5/6 = 10/30 = 1/3三、分式的除法：将第一个分数的分子乘以第二个分数的倒数作为新的分子，分母也是同样的方式。
例如：1/2 ÷ 1/3 = 1/2 × 3/1 = 3/22/5 ÷ 5/6 = 2/5 × 6/5 = 12/25练习题：1. 1/4 + 2/3 = ?2. 3/5 - 1/2 = ?3. 1/2 × 5/6 = ?4. 2/3 ÷ 1/4 = ?扩展练习题：1. 3/8 + 1/2 = ?2. 7/9 - 2/3 = ?3. 2/3 × 10/11 = ?4. 5/6 ÷ 2/3 = ?总结：通过本次学习，我们学会了如何进行分式的加法、减法、乘法和除法运算。
在进行运算时，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并注意分母的处理。
继续练习和实践，可以更好地掌握分式的运算技巧。
