2011广东高考数学(理)A卷(word版)

2011年高考数学广东卷(理科)注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面面积,h 为锥体的高. 球的表面积公式24S R π=, 其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合}{220A x x x =-≤，}{11B x x =-<<, 则A B =A ．}{01x x ≤<B ．}{10x x -<≤ C ．}{11x x -<< D ．}{12x x -<≤ 2. 若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q，则+p q 的值为AB C ．5 D ．13 4. 函数ln xy x=在区间()1,+∞上 A ．是减函数 B ．是增函数 C ．有极小值 D ．有极大值 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3NMD 1C 1B 1A 1DCBA图3(度)150140110100 C ．4 D ．56. “a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A ．96 B ．114C ．128D ．136图1 8. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2, 长 为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间[)110,120上共有150户, 则月均用电量在区间[)120,150上的居民共有 户.10. 以抛物线2:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 .D 11. 已知数列{}n a是等差数列, 若468212a a a++=, 则该数列前11项的和为.12.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知3,,3c Cπ==2a b=, 则b的值为 .13. 某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名, x和y须满足约束条件25,2,6.x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是名.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (几何证明选讲选做题)如图4, CD是圆O的切线, 切点为点A、B在圆O上，1,30BC BCD︒=∠=，则圆O15. (坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中，若过点(极轴垂直的直线交曲线4cosρθ=于A、B两点，则AB图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x=+(x∈R).(1)当x取什么值时,函数()f x取得最大值,并求其最大值;(2)若θ为锐角，且83fπθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求tanθ的值.17.（本小题满分12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.DC 1A 1B 1CBA若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1 表2 (1) 求,a b 的值；(2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点, 12A A AB ==.(1) 求证：1//AB 平面1BC D ；(2) 若四棱锥11-B AAC D 的体积为3, 求二面角1--C BC D 的正切值.图519.（本小题满分14分）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程.20.（本小题满分14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且 1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式； (2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.21.（本小题满分14分）已知函数y =()f x 的定义域为R , 且对于任意12,x x ∈R ,存在正实数L ,使得 ()()1212f x f x L x x -≤-都成立. (1) 若()f x =求L 的取值范围；(2) 当01L <<时，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，1,2,n = .① 证明：112111nk k k a a a a L+=-≤--∑； ② 令()121,2,3,k k a a a A k k ++== ，证明：112111nk k k A A a a L +=-≤--∑.参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第10小题写对一个答案给3分. 9. 325 10. ()(2219x y -+±= 11. 3312. 13. 1014.π15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 1分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,…… 5分 (2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 6分 ∴1cos 23θ=. …… 7分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 9分∴22tan 1tan θθ=-. …… 10分2tan 0θθ+=.∴)(1tan 0θθ-=.∴tan 2θ=或tan θ=不合题意,舍去) …… 11分∴tan 2θ=. …… 12分解法2: ∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∴212cos 13θ-=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos 3θ=. …… 9分∴sin θ==. …… 10分∴sin tan cos θθθ==…… 12分解法3:∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.EDA 1B 1BA∴sin 23θ==…… 8分 ∴sin tan cos θθθ=…… 9分 22sin cos 2cos θθθ= …… 10分sin 21cos 2θθ=+=…… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：…… 2分 ∴ 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,即50.9a b -=. …… 3分 ∵ 0.60.20.11a b ++++=, 即0.3a b +=, …… 4分 解得0.2,0.1a b ==.∴0.2,0.1a b == . …… 6分 (2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都 是一等品或2件一等品，1件二等品. …… 8分故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=. …… 12分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点.∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 2分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 4分 (2)解: 依题意知，12AB BB ==，∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ……6分 设BC a =，在Rt △ABC 中，AC =AB BC BE AC ==∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+126=a =. …… 8分依题意得，3a =，即3BC =. …… 9分 (以下求二面角1--C BC D 的正切值提供两种解法)解法1:∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点F ，连接DF ，则DF //AB ,且112DF AB ==. ∴DF ⊥平面11BB C C .作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ， 由于1DF BC ⊥，且DF FG F = ， ∴1BC ⊥平面DFG .∵DG ⊂平面DFG , ∴1BC ⊥DG .∴DGF ∠为二面角1--C BC D 的平面角. …… 12分 由Rt △BGF ～Rt △1BCC ,得11GF BFCC BC =,得1132BF CC GF BC ⨯=== 在Rt △DFG 中, tan DF DGF GF ∠==∴二面角1--C BC D. …… 14分 解法2: ∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .以点1B 为坐标原点,分别以11B C ,1B B ,11B A y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系1B xyz -. 则()0,2,0B ,()13,0,0C ,()0,2,2A ,3,2,12D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴()13,2,0BC =- ,3,0,12BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面1BC D 的法向量为n (),,x y z =,由n 10BC = 及n 0BD = ,得320,30.2x y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令2x =,得3,3y z ==-.故平面1BC D 的一个法向量为n ()2,3,3=-, …… 11分又平面1BC C 的一个法向量为()0,0,2AB =-,∴cos 〈n ,AB 〉= ⋅n AB n AB200323⨯+⨯+-⨯-==. …… 12分 ∴sin 〈n ,AB 〉==. …… 13分 ∴tan 〈n ,AB 〉= .∴二面角1--C BC D . …… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -. ∵OP OQ ⊥,∴1OP OQ k k =- .当0x ≠时,得21y x x-=-,化简得22x y =. …… 2分 当0x =时, P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠.∴曲线C 的方程为22x y =()0x ≠. …… 4分 (2) 解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在.设直线2l 的方程为y kx b =+, …… 5分由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=.∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴2480k b ∆=+=,即22k b =-. …… 6分点()0,2到直线2l 的距离d=212+=…… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯…… 9分=…… 10分=，即k =.此时1b =-. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 解法2：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中21112y x =， 则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得211102x x y x --=. …… 6分 点()0,2到直线2l的距离d =212=…… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯ …… 9分=…… 10分=，即1x =. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 解法3：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中211102y x =>， 则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得110x x y y --=. …… 6分点()0,2到直线2l的距离d ==…… 7分12⎫=+…… 8分12≥⨯…… 9分=…… 10分=11y =时，等号成立,此时1x =. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立， ∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…… 7分 ② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； …… 9分当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …… 10分(3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分 ② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥，此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分 （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明：对任意12,x x ∈R ，有 ()()12f x f x -=-==. …… 2分由()()1212f x f x L x x -≤-,12L x x ≤-.当12x x ≠时,得L ≥.12,x x >>且1212x x x x +≥+，12121x x x x +<≤+. …… 4分∴要使()()1212f x f x L x x -≤-对任意12,x x ∈R 都成立,只要1L ≥. 当12x x =时, ()()1212f x f x L x x -≤-恒成立.∴L 的取值范围是[)1,+∞. …… 5分 (2) 证明：①∵()1n n a f a +=，1,2,n = ,故当2n ≥时，()()111n n n n n n a a f a f a L a a +---=-≤-()()21212112n n n n n L f a f a L a a L a a -----=-≤-≤≤- . …… 6分∴112233411nkk n n k aa a a a a a a a a ++=-=-+-+-++-∑()21121n L L La a -≤++++- …… 7分1211nL a a L-=--. …… 8分 ∵01L <<, ∴112111nk k k a a a a L+=-≤--∑(当1n =时,不等式也成立). …… 9分 ②∵12kk a a a A k++=,∴1212111k k k k a a a a a a A A k k ++++++++-=-+ ()()12111k k a a a ka k k +=+++-+()()()()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +=-+-+-++-+()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +≤-+-+-++-+ . …… 11分 ∴1122311nkk n n k AA A A A A A A ++=-=-+-++-∑ ()()122311111121223123341a a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫≤-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯+⨯⨯+⎝⎭⎝⎭()()34111113344511n n a a n a a n n n n +⎛⎫+-+++++-⨯ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭ 1223112111111n n n a a a a a a n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤12231n n a a a a a a +-+-++- 1211a a L≤--. ……14分。

试卷类型：B2011年全国各地高考数学试题(广东卷)数学(文科)本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-,样本数据12,,,n x x x 的标准差,222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x ,y 表示样本均值.n 是正整数,则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足1iz =,其中i 为虚数单位,则z =A.i -B.iC.1-D.1 1.(A).1()i z i i i i -===-⨯- 2.已知集合{(,)|,A x y x y =为实数,且221}x y +=,{(,)|,B x y x y =为实数,且1}x y +=,则A B ⋂的元素个数为A.4B.3C.2D.13.已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c .若λ为实数,()λ+a b ∥c ,则λ= A.14 B.12C.1D.2 3.(B).(1,2)λλ+=+a b ,由()λ+a b ∥c ,得64(1)0λ-+=,解得λ=124.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A.(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-⋃+∞ D.(,)-∞+∞4.(C).10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠,则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5.不等式2210x x -->的解集是A.1(,1)2-B.(1,)+∞C.(,1)(2,)-∞⋃+∞D.1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 5.(D).21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >,则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定.若(,)M x y 为D 上的动点,点A的坐标为(2,1),则z OM OA =⋅的最大值为A.3B.4C.32D.42 6.(B).2z x y =+,即2y x z =-+,画出不等式组表示的平面区域,易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时,z 取得最大值,max 2224z =⨯+=7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有A.20B.15C.12D.107.(D).正五棱柱中,上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线,所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条8.设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切,与直线0y =相切,则C 的圆心轨迹为A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆8.(A).依题意得,C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等,则C 的圆心轨迹为抛物线23正视图 图1侧视图 图22 俯视图 2图39.如图1 ~ 3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为 A.43 B.4 C.23 D.29.(C).该几何体是一个底面为菱形的四棱锥,菱形的面积1223232S =⨯⨯=,四棱锥的高为3, 则该几何体的体积112332333V Sh ==⨯⨯=10.设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数,如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ,()fg ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ,则下列等式恒成立的是A.(()fg h )()x =(()f h ()g h )()x B.(()f g h )()x =(()f h ()g h )()x C.(()fg h )()x =(()f g ()g h )()x D.(()f g h )()x =(()f g ()g h )()x 10.(B).对A 选项 (()fg h )()x =()f g ()()x h x (())()f g x h x = (()f h ()g h )()x =()f h (()()g h x )=()f h ((()()g x h x ) (()())(()())f g x h x h g x h x =,故排除A对B 选项 (()f g h )()x =()(())f g h x =(())(())f h x g h x(()f h ()g h )()x =()()()()f h x g h x (())(())f h x g h x =,故选B 对C 选项 (()fg h )()x =()(())f g h x ((()))f g h x =(()f g ()g h )()x =()(()())()((()))f g g h x f g g h x = (((())))f g g h x =,故排除C对D 选项 (()f g h )()x =()()()()()()f g x h x f x g x h x = (()f g ()g h )()x =()()()()()()()()f g x g h x f x g x g x h x =,故排除D二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(9 ~ 13题)11.已知{}n a 是递增的等比数列,若22a =,434a a -=,则此数列的公比q = . 11.2.2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列,∴2q =12.设函数3()cos 1f x x x =+.若()11f a =,则()f a -= . 12.9-3()cos 111f a a a =+=,即3()cos 10f a a a ==,则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=-13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 . 13.0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =,1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii nii x x y y b x x ==--++++-===-+-+++-∑∑,0.47a y bx =-=∴线性回归方程0.010.47y x =+,则当6x =时,0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53图4BACDE F(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为5cossinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t∈)R,它们的交点坐标为___________.14.25(1,)5.5cossinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215xy+=(5501)x y-<≤≤≤且,254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x=22221(5501)5450145xy x yx x xy x⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x=-(舍去),又因为01y≤≤,所以它们的交点坐标为25(1,)515.(几何证明选讲选做题)如图4,在梯形ABCD中,AB∥CD,4AB=,2CD=,,E F分别为,AD BC上的点,且3EF=, EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________.15.75如图,延长,AD BC,AD BC P=∵23CDEF=,∴49PCDPEFSS∆∆=∵24CDAB=,∴416PCDPEFSS∆∆=∴75ABEFEFCDSS=梯形梯形PBACDE F三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数1()2sin()36f x x π=-,x ∈R .(1)求(0)f 的值； (2)设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,10(3)213f πα+=,6(32)5f βπ+=,求sin()αβ+的值. 16.解：(1)(0)2sin()16f π=-=-(2)110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==,即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=,即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ∴212cos 1sin 13αα=-=,24sin 1cos 5ββ=-= ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17.(本小题满分13分)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072(1)求第6位同学的成绩6x ,及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 17.解：(1)61(7076727072)756x +++++=,解得690x = 标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++= (2)前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ,,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种 这5位同学中,编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间(68,75)中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学,恰有1位同学成绩在区间(68,75)中”则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种,则42()P A ==BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O '图5BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O 'H18.(本小题满分13分)图5所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.,,,A A B B ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点,1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点.(1)证明：12,,,O A O B ''四点共面；(2)设G 为AA '中点,延长1A O ''到H ',使得11O H A O ''''=.证明：2BO '⊥平面H B G ''.18.证明：(1)连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心 ∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径 ∵,,A B B ''分别为C D '',DE ,D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠= ∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O ',四边形22O O B B ''是平行四边形 ∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO∴12,,,O A O B ''四点共面(2)延长1A O '到H ,使得11O H AO ''=,连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B '',四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥,122O O B O ''''⊥,2222O O B O O ''''=∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B '',2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形,且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H '''∠=='',1tan 2A G A H G A H '''∠=='' ∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠= ∴190HO H A H G ''''∠+∠= ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ,四边形12O O BH ''是平行四边形 ∴2BO '∥1HO ' ∴2BO H G ''⊥,H GH B H ''''=∴2BO '⊥平面H B G ''.设0a >,讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性. 19.解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x---+'=+---=令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ∆=---=-+=--① 当103a <<时,0∆>,令()0f x '=,解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-或1(31)(1)2(1)a a a x a a -+-->-时,()0f x '>当1(31)(1)1(31)(1)2(1)2(1)a a a a a a x a a a a -----+--<<--时,()0f x '< 则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----,1(31)(1)(,)2(1)a a a a a -+--+∞-上单调递增,在1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)a a a a a a a a a a -----+----上单调递减② 当113a ≤≤时,0∆≤,()0f x '≥,则()f x 在(0,)+∞上单调递增 ③ 当1a >时,0∆>,令()0f x '=,解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=-∵0x >,∴1(31)(1)2(1)a a a x a a ----=-则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-时,()0f x '>当1(31)(1)2(1)a a a x a a ---->-时,()0f x '<则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----上单调递增,在1(31)(1)(,)2(1)a a a a a ----+∞-上单调递减设0b >,数列{}n a 满足1a b =,111n n n nba a a n --=+-(n ≥2).(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ,2n a ≤11n b ++.20.(1)解：∵111n n n nba a a n --=+-∴111n n n a ba n a n --=+- ∴1111n n n n a b a b--=⋅+ ① 当1b =时,111n n n n a a ---=,则{}nn a 是以1为首项,1为公差的等差数列 ∴1(1)1nnn n a =+-⨯=,即1n a = ② 当0b >且1b ≠时,11111()11n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时,111(1)n n a b b b +=-- ∴1{}1n n a b+-是以1(1)b b -为首项,1b 为公比的等比数列 ∴111()11n n n a b b b+=⋅-- ∴111(1)1(1)n n nn n b a b b b b b-=-=--- ∴(1)1nn nn b b a b -=-综上所述(1),01111nn n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且， xy O2x =-APl MM② 当0b >且1b ≠时,211(1)(1)n n n b b b b b ---=-++++要证121n n a b +≤+,只需证12(1)11nn nn b b b b+-≤+-, 即证2(1)11n nn b b b b-≤+- 即证21211n n nn b b b b b --≤+++++即证211()(1)2n n n b b b b n b--+++++≥即证21121111()()2n nn n b b b b n b b b b --+++++++++≥∵21121111()()n nn n b b b b b b b b--+++++++++21211111()()()()n n n n b b b b b b b b--=++++++++2121111122222n n n n b b b b n b bb b--≥⋅+⋅++⋅+⋅=,∴原不等式成立∴对于一切正整数n ,2n a ≤11n b++.21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 上,直线l ：2x =-交x 轴于点A .设P 是l 上一点,M 是线段OP 的垂直平分线上一点,且满足MPO AOP ∠=∠.(1)当点P 在l 上运动时,求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知(1,1)T -,设H 是E 上动点,求HO HT +的最小值,并给出此时点H 的坐标；(3)过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点,求直线1l 的斜率k 的取值范围.21.解：(1)如图所示,连接OM ,则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠,∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上,设(,)M x y ① 当MP l ⊥时,2MP x =+,22OM x y =+222x x y +=+,化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时,0y =(1)x <-综上所述,点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-(2)由(1)知M 的轨迹是顶点为(1,0)-,焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <-xy O 2x =-TN l HNH∙H xy OTA 1l1l1l① 若H 是抛物线上的动点,过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线,根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+当,,N H T 三点共线时,HN HT +有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点 显然有3HO HT +>综上所述,HO HT +的最小值为3,此时点H 的坐标为3(,1)4-- (3)如图,设抛物线顶点(1,0)A -,则直线AT 的斜率12AT k =- ∵点(1,1)T -在抛物线内部,∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点 则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论：① 当12k ≤-时,直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点② 当102k -<<时,直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点③ 当0k =时,直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时,直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 综上所述,直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。

2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（三）答案本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一.选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分．1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D1.选B.提示：1,0,11==∴=-+b a i ii. 2.选A.提示：[]()3,2:,3,5:q p -. 3.选A.提示：4111534,11,55534335=-=--==∴==a a k a a S . 4.选C.提示：3,3,2)0(,0)2(-==-==b a f f 得根据. 5.选C.提示：l 与m 可能异面.6.选A.提示：362323=⨯A A .7.选B.21sin ,23432cos ,2=-=-===θθ. 8.选D.提示： 21444421=⨯⨯⨯=P .二.填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题．每小题5分，满分30分．其中第11题中的第一个空为2分，第二个空为3分．9．15- 10．2911．16)5(22=-+y x 12．2 13．41 14．1- 15．8π9.15-.提示：31535)(x C C --.10.29.提示：29)2(S 302⎰=--=dx x x x 面积.11.16)5(22=-+y x .提示：根据圆心到直线的距离等于半径求出r=4 12.2提示：2)1()2()5()8(==-=-=-f f f f . 13.41 .提示：351,62=-==a t a . 14.1-.提示：化为普通方程求解.15.8π.提示：22,90,OA 0===∴=∠OB OA r BOA OB ，连接.三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系.余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（Ⅰ）221cos 413()1sin 21cos 4222x g x b x x -==+=+=-+ …………2分 ∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T ……………4分（Ⅱ）()f x a b =⋅2(2cos (1,sin 2)x x =⋅22cos 2x x =cos212x x =+2sin(2)16x π=++ ……………6分 31)62sin(2)(=++=πC C f∴1)62s i n (=+πC ………………7分C 是三角形内角， ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C 即：6π=C …………8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a …………………10分 将32=ab 可得：71222=+aa 解之得：432或=a ， ∴23或=a所以当a =2b =；当2a =，b =b a > ∴2=a ，3=b ． …………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图.随机变量的分布列.二项分布等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识） 解：（1）根据频率分步直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.010.05)5]4012+⨯⨯=（件）．………… 4分（2）Y 的可能取值为0，1，2． ………… 5分22824063(0)130C P Y C ===．11281224056(1)130C C P Y C ===． 21224011(2)130C P Y C ===．………… 8分 Y 的分布列为 ………… 9分（3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0．3．令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则(5,0.3)B ξ，故所求概率为：2235(2)(0.3)(0.7)0.3087P C ξ===．………… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系.空间距离.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力）解：(1) 证明：连结OC ，,,BO DO AB AD ==AO BD ∴⊥ ………… 1分,BO DO BC CD==，CO BD ⊥． ……… 2分 在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO = …………3分而2AC =， ∴222,AO CO AC += ……… 4分∴90,oAOC ∠=即.AO OC ⊥ ………………… 5分,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD ． …………… 6分(2) 解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),(,22C A E(1,0,1),(1,BA CD =-=-∴2cos ,4BA CD BA CD BA CD⋅<>==⋅，…………… 9分CE∴ 异面直线AB 与CD所成角余弦的大小为4．…… 10分 (3) 解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则(,,)(1,0,1)0(,,)1)0n AD x y z n AC x y z ⎧⋅=⋅--=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，∴00x z z +=⎧⎪-=， 令1,y =得(3,1n =-是平面ACD 的一个法向量．又1(,22EC =-∴点E 到平面ACD 的距离377EC n h n⋅===．……… 14分 (3) （法二）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．E ACD A CDE V V --=， ∴1133ACD CDE h S AO S ∆∆⋅=⋅⋅ …………………………12分在ACD ∆中，2,CA CD AD ===∴12ACD S ∆==, 而1AO =，2122CDE S ∆==．∴1CDEACDAO S h S ∆∆⋅===∴点E 到平面ACD …………… 14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆.椭圆等知识，考查数形结合.化归与转化.函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）当2e =时， ∵1a =，∴c =∴22231144b a c =-=-=，b =12， 点1(0,)2B,(F ，(1,0)C …………………… 2分 设P 的方程为222()()x m y n r -+-=，由P 过点F,B,C 得∴2221()2m n r +-= ①222(m n r ++= ②222(1)m n r -+= ③ …………………… 5分由①②③联立解得：24m =，14n -=，254r = (7)∴所求的P 的方程为225((4x y +=………………… 8分 （2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上， 也在BC 的垂直平分线上， FC 的垂直平分线方程为12cx -=④ ………… 9分∵BC 的中点为1(,)22b，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=- ⑤ ……… 10分 由④⑤得21,22c b cx y b--==， 即21,22c b c m n b--== …………………… 11分 ∵ P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-= ∵ 10b +> ∴b c =，由221b c =- 得212b =…………………… 13分 ∴ 椭圆的方程为2221x y += …………………… 14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）当||2x <时，由a b ⊥得2(3)0a b x x y ⋅=--=，33y x x =-；（||2x <且0x ≠）------------------------------------2分 当||2x ≥时，由//a b . 得23xy x =-- --------------------------------------4分∴ 323,(220)().(22)3x x x x y f x x x x x⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或---------------------5分（2）当||2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0, 解得(1,0)(0,1)x ∈-，----------------6分当||2x ≥时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ------------------------------8分∴函数()f x 的单调减区间为（－1，０）和（０，1） -------------9分 （3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥ 即2(3)m x x -≥-， 也就是23xm x≥- 对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞恒成立，----------------------------------11分 由（2）知当||2x ≥时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>-- ∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增----------------------12分又2(2)234f --==-，2(2)234f ==-- 当2x ≤-时2()03xf x x =>-， ∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时， 有2()0f x -≤<， 综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞，()f x 取得最大值2；∴ 实数m 的取值范围为2m ≥.----------------------14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列.不等式.数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力.运算求解能力和创新意识）解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a …………………3分（Ⅱ）证法一：猜想：n a n =， ……………………4分由 n a S n n +=22 ① 可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①－②，得 12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a . ………………6分1）当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ； ……………7分2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =.那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ，∵01>+k a ，k ≥2， ∴0)1(1>-++k a k ，∴11+=+k a k .这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =（n ≥2）.显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =. ……………………9分 证法二：猜想：n a n =， ……………………………4分 1）当1=n 时，11=a 成立； ……………………………5分 2）假设当k n =时，k a k =. …………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k .∴1)(2211++=+++k a S a k k k ，∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(221+-++=+k k k a k)1(221-+=+k a k（以下同证法一） ………………9分 （Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ， 只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ，…………10分即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ，…………11分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………12分∵0>x ，0>y ，且1=+y x ， ∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立， 所以原不等式成立. ………………………14分证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+n nx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. ………………………11分 ∴121+⋅+n ny ≤2121+++n ny ② 当且仅当21=y 时取“=”号. ……………………12分①+②， 得（++1nx 1+ny ）12+n ≤24)(n y x n +++2+=n ， 当且仅当21==y x 时取“=”号. ………………………13分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ……………………14分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ……………………10分 ∵ab b a b a 2)(2++=+， b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2，……………………………11分∴b a 22+≥ab b a 2++， ∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………12分令1+=nx a ，1+=ny b ， 即得：11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ， 当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………14分。

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、 考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 ，其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -２．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３３．若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则()2a a b ⋅+= Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．０４．设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5.在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．33. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

试卷类型：A20XX 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程y bx a =+中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b •+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

2011年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．04．（5分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数5．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．36．（5分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．188．（5分）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c ∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

满分30分）9．（5分）不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是．10．（5分）x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是．11．（5分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1=1，a k+a4=0，则k=．12．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+1在x=处取得极小值．13．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=．三、解答题（共1小题，满分12分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．17．（13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．18．（13分）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．（14分）设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．20．（14分）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，a n≤+1．21．（14分）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x2．实数p，q满足p2﹣4q≥0，x1，x2是方程x2﹣px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．（1）过点，A（p0，p02）（p0≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2﹣4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|⇔φ（a，b）=．（3）设D={（x，y）|y≤x﹣1，y≥（x+1）2﹣}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值（记为φmin）和最大值（记为φmax）2011年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi则（1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2即解得x=1，y=﹣1故Z=1﹣i故选B2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．18【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．故选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。