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2011年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi则（1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2即解得x=1，y=﹣1故Z=1﹣i故选B【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，其中利用复数相等的充要条件，构造出一个关于x，y的方程组，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C【点评】此题考查学生理解两个点集的交集即为两函数图象的交点个数，是一道基础题．3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D【点评】本题考查向量垂直的充要条件|考查向量共线的充要条件、考查向量满足的运算律．4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g （x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键．5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z 最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．【点评】本题考查线形规划问题，考查数形结合解题．6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9C．12D．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状及相应底面面积和高是解答本题的关键．8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．【点评】此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。
试卷类型：B2011年全国各地高考数学试题(广东卷)数学(文科)本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-,样本数据12,,,n x x x 的标准差,222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x ,y 表示样本均值.n 是正整数,则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足1iz =,其中i 为虚数单位,则z =A.i -B.iC.1-D.1 1.(A).1()i z i i i i -===-⨯- 2.已知集合{(,)|,A x y x y =为实数,且221}x y +=,{(,)|,B x y x y =为实数,且1}x y +=,则A B ⋂的元素个数为A.4B.3C.2D.13.已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c .若λ为实数,()λ+a b ∥c ,则λ= A.14 B.12C.1D.2 3.(B).(1,2)λλ+=+a b ,由()λ+a b ∥c ,得64(1)0λ-+=,解得λ=124.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A.(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-⋃+∞ D.(,)-∞+∞4.(C).10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠,则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5.不等式2210x x -->的解集是A.1(,1)2-B.(1,)+∞C.(,1)(2,)-∞⋃+∞D.1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 5.(D).21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >,则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定.若(,)M x y 为D 上的动点,点A的坐标为(2,1),则z OM OA =⋅的最大值为A.3B.4C.32D.42 6.(B).2z x y =+,即2y x z =-+,画出不等式组表示的平面区域,易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时,z 取得最大值,max 2224z =⨯+=7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有A.20B.15C.12D.107.(D).正五棱柱中,上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线,所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条8.设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切,与直线0y =相切,则C 的圆心轨迹为A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆8.(A).依题意得,C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等,则C 的圆心轨迹为抛物线23正视图 图1侧视图 图22 俯视图 2图39.如图1 ~ 3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为 A.43 B.4 C.23 D.29.(C).该几何体是一个底面为菱形的四棱锥,菱形的面积1223232S =⨯⨯=,四棱锥的高为3, 则该几何体的体积112332333V Sh ==⨯⨯=10.设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数,如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ,()fg ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ,则下列等式恒成立的是A.(()fg h )()x =(()f h ()g h )()x B.(()f g h )()x =(()f h ()g h )()x C.(()fg h )()x =(()f g ()g h )()x D.(()f g h )()x =(()f g ()g h )()x 10.(B).对A 选项 (()fg h )()x =()f g ()()x h x (())()f g x h x = (()f h ()g h )()x =()f h (()()g h x )=()f h ((()()g x h x ) (()())(()())f g x h x h g x h x =,故排除A对B 选项 (()f g h )()x =()(())f g h x =(())(())f h x g h x(()f h ()g h )()x =()()()()f h x g h x (())(())f h x g h x =,故选B 对C 选项 (()fg h )()x =()(())f g h x ((()))f g h x =(()f g ()g h )()x =()(()())()((()))f g g h x f g g h x = (((())))f g g h x =,故排除C对D 选项 (()f g h )()x =()()()()()()f g x h x f x g x h x = (()f g ()g h )()x =()()()()()()()()f g x g h x f x g x g x h x =,故排除D二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(9 ~ 13题)11.已知{}n a 是递增的等比数列,若22a =,434a a -=,则此数列的公比q = . 11.2.2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列,∴2q =12.设函数3()cos 1f x x x =+.若()11f a =,则()f a -= . 12.9-3()cos 111f a a a =+=,即3()cos 10f a a a ==,则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=-13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 . 13.0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =,1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii nii x x y y b x x ==--++++-===-+-+++-∑∑,0.47a y bx =-=∴线性回归方程0.010.47y x =+,则当6x =时,0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53图4BACDE F(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为5cossinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t∈)R,它们的交点坐标为___________.14.25(1,)5.5cossinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215xy+=(5501)x y-<≤≤≤且,254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x=22221(5501)5450145xy x yx x xy x⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x=-(舍去),又因为01y≤≤,所以它们的交点坐标为25(1,)515.(几何证明选讲选做题)如图4,在梯形ABCD中,AB∥CD,4AB=,2CD=,,E F分别为,AD BC上的点,且3EF=, EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________.15.75如图,延长,AD BC,AD BC P=∵23CDEF=,∴49PCDPEFSS∆∆=∵24CDAB=,∴416PCDPEFSS∆∆=∴75ABEFEFCDSS=梯形梯形PBACDE F三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数1()2sin()36f x x π=-,x ∈R .(1)求(0)f 的值； (2)设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,10(3)213f πα+=,6(32)5f βπ+=,求sin()αβ+的值. 16.解：(1)(0)2sin()16f π=-=-(2)110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==,即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=,即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ∴212cos 1sin 13αα=-=,24sin 1cos 5ββ=-= ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17.(本小题满分13分)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072(1)求第6位同学的成绩6x ,及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 17.解：(1)61(7076727072)756x +++++=,解得690x = 标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++= (2)前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ,,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种 这5位同学中,编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间(68,75)中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学,恰有1位同学成绩在区间(68,75)中”则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种,则42()P A ==BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O '图5BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O 'H18.(本小题满分13分)图5所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.,,,A A B B ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点,1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点.(1)证明：12,,,O A O B ''四点共面；(2)设G 为AA '中点,延长1A O ''到H ',使得11O H A O ''''=.证明：2BO '⊥平面H B G ''.18.证明：(1)连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心 ∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径 ∵,,A B B ''分别为C D '',DE ,D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠= ∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O ',四边形22O O B B ''是平行四边形 ∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO∴12,,,O A O B ''四点共面(2)延长1A O '到H ,使得11O H AO ''=,连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B '',四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥,122O O B O ''''⊥,2222O O B O O ''''=∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B '',2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形,且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H '''∠=='',1tan 2A G A H G A H '''∠=='' ∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠= ∴190HO H A H G ''''∠+∠= ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ,四边形12O O BH ''是平行四边形 ∴2BO '∥1HO ' ∴2BO H G ''⊥,H GH B H ''''=∴2BO '⊥平面H B G ''.设0a >,讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性. 19.解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x---+'=+---=令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ∆=---=-+=--① 当103a <<时,0∆>,令()0f x '=,解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-或1(31)(1)2(1)a a a x a a -+-->-时,()0f x '>当1(31)(1)1(31)(1)2(1)2(1)a a a a a a x a a a a -----+--<<--时,()0f x '< 则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----,1(31)(1)(,)2(1)a a a a a -+--+∞-上单调递增,在1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)a a a a a a a a a a -----+----上单调递减② 当113a ≤≤时,0∆≤,()0f x '≥,则()f x 在(0,)+∞上单调递增 ③ 当1a >时,0∆>,令()0f x '=,解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=-∵0x >,∴1(31)(1)2(1)a a a x a a ----=-则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-时,()0f x '>当1(31)(1)2(1)a a a x a a ---->-时,()0f x '<则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----上单调递增,在1(31)(1)(,)2(1)a a a a a ----+∞-上单调递减设0b >,数列{}n a 满足1a b =,111n n n nba a a n --=+-(n ≥2).(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ,2n a ≤11n b ++.20.(1)解：∵111n n n nba a a n --=+-∴111n n n a ba n a n --=+- ∴1111n n n n a b a b--=⋅+ ① 当1b =时,111n n n n a a ---=,则{}nn a 是以1为首项,1为公差的等差数列 ∴1(1)1nnn n a =+-⨯=,即1n a = ② 当0b >且1b ≠时,11111()11n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时,111(1)n n a b b b +=-- ∴1{}1n n a b+-是以1(1)b b -为首项,1b 为公比的等比数列 ∴111()11n n n a b b b+=⋅-- ∴111(1)1(1)n n nn n b a b b b b b-=-=--- ∴(1)1nn nn b b a b -=-综上所述(1),01111nn n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩ 且， xy O2x =-APl MM② 当0b >且1b ≠时,211(1)(1)n n n b b b b b ---=-++++要证121n n a b +≤+,只需证12(1)11nn nn b b b b+-≤+-, 即证2(1)11n nn b b b b-≤+- 即证21211n n nn b b b b b --≤+++++即证211()(1)2n n n b b b b n b--+++++≥即证21121111()()2n nn n b b b b n b b b b --+++++++++≥∵21121111()()n nn n b b b b b b b b--+++++++++21211111()()()()n n n n b b b b b b b b--=++++++++2121111122222n n n n b b b b n b bb b--≥⋅+⋅++⋅+⋅=,∴原不等式成立∴对于一切正整数n ,2n a ≤11n b++.21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 上,直线l ：2x =-交x 轴于点A .设P 是l 上一点,M 是线段OP 的垂直平分线上一点,且满足MPO AOP ∠=∠.(1)当点P 在l 上运动时,求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知(1,1)T -,设H 是E 上动点,求HO HT +的最小值,并给出此时点H 的坐标；(3)过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点,求直线1l 的斜率k 的取值范围.21.解：(1)如图所示,连接OM ,则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠,∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上,设(,)M x y ① 当MP l ⊥时,2MP x =+,22OM x y =+222x x y +=+,化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时,0y =(1)x <-综上所述,点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-(2)由(1)知M 的轨迹是顶点为(1,0)-,焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <-xy O 2x =-TN l HNH∙H xy OTA 1l1l1l① 若H 是抛物线上的动点,过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线,根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+当,,N H T 三点共线时,HN HT +有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点 显然有3HO HT +>综上所述,HO HT +的最小值为3,此时点H 的坐标为3(,1)4-- (3)如图,设抛物线顶点(1,0)A -,则直线AT 的斜率12AT k =- ∵点(1,1)T -在抛物线内部,∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点 则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论：① 当12k ≤-时,直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点② 当102k -<<时,直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点③ 当0k =时,直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时,直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 综上所述,直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。
试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程^^^y b x a =+中系数计算公式^^^121()(),()niii nii x x y y b a y b x x ==--==--∑∑，其中,x y 表示样本均值．n 是正整数，则-1-2-2-1-(-)()n n n n n n a b a b a a b ab b =++⋯⋯++一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为( )Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．33. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=( )Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM ON =的最大值为( )A． B． C ．4 D ．36. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A ．12 B ．35 C ．23 D ．347. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A.8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是( )A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2011年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi则（1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2即解得x=1，y=﹣1故Z=1﹣i故选B【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，其中利用复数相等的充要条件，构造出一个关于x，y的方程组，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C【点评】此题考查学生理解两个点集的交集即为两函数图象的交点个数，是一道基础题．3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D【点评】本题考查向量垂直的充要条件|考查向量共线的充要条件、考查向量满足的运算律．4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g （x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键．5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z 最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．【点评】本题考查线形规划问题，考查数形结合解题．6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9C．12D．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状及相应底面面积和高是解答本题的关键．8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．【点评】此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。
2011年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•广东）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则z=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中iz=1，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi∵iz=1，∴i（x+yi）=﹣y+xi=1故x=0，y=﹣1∴Z=﹣i故选A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，其中利用复数相等的充要条件，构造出一个关于x，y的方程组，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】观察两集合发现，两集合表示两点集，要求两集合交集元素的个数即为求两函数图象交点的个数，所以联立两函数解析式，求出方程组的解，有几个解就有几个交点即为两集合交集的元素个数．【解答】解：联立两集合中的函数关系式得：，由②得：x=1﹣y，代入②得：y2﹣y=0即y（y﹣1）=0，解得y=0或y=1，把y=0代入②解得x=1，把y=1代入②解得x=0，所以方程组的解为或，有两解，则A∩B的元素个数为2个．故选C【点评】此题考查学生理解交集的运算，考查了求两函数交点的方法，是一道基础题．本题的关键是认识到两集合表示的是点坐标所构成的集合即点集．3．（5分）（2011•广东）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．【点评】本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题．4．（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．【点评】本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．5．（5分）（2011•广东）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D【点评】本题考查二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根；据二次不等式解集的形式写出解集．6．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．【解答】解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．7．（5分）（2011•广东）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20 B．15 C．12 D．10【考点】棱柱的结构特征．【专题】立体几何．【分析】抓住上底面的一个顶点，看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决．【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．故选D【点评】本题考查计数原理在立体几何中的应用，考查空间想象能力．8．（5分）（2011•广东）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆 D．圆【考点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定；抛物线的定义．【专题】直线与圆．【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r ∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A【点评】本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．9．（5分）（2011•广东）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C． D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．10．（5分）（2011•广东）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g （x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），然后逐个验证即可找到答案．【解答】解：A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（g（h（x））），（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．故选B．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，和知识方法的迁移能力．二、填空题（共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分）11．（5分）（2011•广东）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q= 2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知{a n}是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q＞1，又由a2=2，a4﹣a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值．【解答】解：∵{a n}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4﹣a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键．12．（5分）（2011•广东）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．13．（5分）（2011•广东）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断正确的是②①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】回归方程═50+80x变量x增加一个单位时，变量产生相应变化，从而对选项一一进行分析得到结果．【解答】解：：∵对x的回归直线方程=50+80x，∴=（x+1）+50，∴﹣=80（x+1）+50﹣80x﹣50=80．所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确．①④不满足回归方程的意义．故答案为：②．【点评】主要考查知识点：统计．本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．14．（5分）（2011•广东）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．【解答】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．15．（2011•广东）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7：5．【考点】相似三角形的性质．【专题】解三角形．【分析】根据EF的长度和与上下底平行知是梯形的中位线，设出中位线分成的两个梯形的高，根据梯形的面积公式写出两个梯形的面积，都是用含有高的代数式来表示的，求比值得到结果．【解答】解：∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，∴EF是梯形的中位线，设两个梯形的高是h，∴梯形ABFE的面积是，梯形EFCD的面积∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，故答案为：7：5【点评】本题考查梯形的中位线，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin（x﹣），x∈R，∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）∵f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．17．（13分）（2011•广东）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5成绩x n70 76 72 70 72（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差．（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果．【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．【点评】本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目．18．（13分）（2011•广东）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O1，O1′，O2，O2′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．（1）证明：O1′，A′，O2，B四点共面；（2）设G为A A′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．证明：BO2′⊥平面H′B′G．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）要证O1′，A′，O2，B四点共面，即可证四边形BO2A′O1′为平面图形，根据A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径知道A′O1′∥B′O2′即BO2∥A′O1′再根据BO2=A′O1′=1即可得到四边形BO2A′O1′是平行四边形，则证．（2）建立空间直角坐标系，要证BO2′⊥平面H′B′G只需证，，根据坐标运算算出•，的值均为0即可【解答】证明：（1）∵B′，B分别是中点∴BO2∥B′O2′∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径∴A′O1′∥B′O2′∴BO2∥A′O1′∵BO2=A′O1′=1∴四边形BO2A′O1′是平行四边形即O1′，A′，O2，B四点共面（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，﹣1，2），A（﹣1，﹣1，0），G（﹣1，﹣1，1），B′（1，1，2）则=（﹣1，0，2），=（﹣2，﹣2，﹣1），=（0，﹣2，0）∵•=0，=0∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′即，∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′∴BO2′⊥平面H′B′G【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本知识，属于中档题．19．（14分）（2011•广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．【解答】解：定义域{x|x＞0}f′（x）==设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）①若a=1，则g（x）=1＞0∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根为x1=，x2=且x1＜0＜x2∴在（0，）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，+∞）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数；③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）是增函数；当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根满足＞＞0故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数．【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．20．（14分）（2011•广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列a n的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即a n=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即a n=，∴数列{a n}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，a n=，要证对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2a n≤b n+1+1，【点评】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．21．（14分）（2011•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P 是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）由于直线l：x=﹣2交x轴于点A，所以A（﹣2，0），由于P是l上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP，可以设点P，由于满足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1），且已知T（1，﹣1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出；（3）由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立，利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0，即可得到所求．【解答】解：（1）如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|，∵∠MPO=∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M（x，y）①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化简得y2=4x+4 （x≥﹣1）②当M在x的负半轴上时，y=0（x≤﹣1），综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4（x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）．（2）由题意画出图形如下：∵由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y2=4（x+1）．是以（﹣1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=﹣2为准线的抛物线，由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点，则利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，故|HO|+|HT|的最小值时的H．（3）如图，设抛物线顶点A（﹣1，0），则直线AT的斜率，∵点T（1，﹣1）在抛物线内部，∴过点T且不平行于x，y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：①当K时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，②当时，直线l1与轨迹E有且只有一个不同的交点，③当K=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点，④当K＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．综上所述，直线l1的斜率K的取值范围是（﹣]∪（0，+∞）．【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想，还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想．。
第二编 函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是 ( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100解析 ∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应法则不同，故不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝x －1x －1(x >1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x >0)与y ＝2lgx 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x >0)与y ＝lg x100＝lg x－2 (x >0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数． 答案 D2．(2009·临沂3月模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2， x >0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是( )A ．[－4,2)B ．[－4,2]C ．(0,2]D ．(－4,2]解析 ∵f (x )≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－(x －1)2≥－1， ∴－4≤x ≤0或0<x ≤2，即－4≤x ≤2. 答案 B3．(2010·茂名模拟)已知函数f (x )＝lg(x ＋3)的定义域为M ，g (x )＝12－x 的定义域为N ，则M ∩N 等于 ( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x <2}D ．{x |－3<x ≤2}解析 M ＝{x |x >－3}，N ＝{x |x <2}． ∴M ∩N ＝{x |－3<x <2}．答案 B4．(2008·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值为( )A.1516B ．－2716 C.89D ．18 解析 f (2)＝4，f ⎝⎛⎭⎫14＝1－116＝1516. 答案 A 5．(2008·陕西)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则 f (－3)等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1 ＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1 ＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0.f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1 ＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2.f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1 ＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6. 答案 C 6．(2009·吉林一模)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]．在同一坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与 直线x ＝1的交点个数为 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．0个或1个均有可能 解析 ∵f (x )的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5]， ∴点(1，f (1))在函数y ＝f (x )的图象上． 而点(1，f (1))又在直线x ＝1上，∴直线x ＝1与函数y ＝f (x )的图象至少有一个交点(1，f (1))．根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在 其值域中只有唯一确定的元素f (1)与之对应，故直线x ＝1与y ＝f (x )的图象有且只有一个交点． 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·温州模拟)某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元． 解析 车费为8＋(7.4－3)×1.5＝14.6≈15(元)． 答案 158．(2009·北京文，12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≤1，－x ， x >1，若f (x )＝2，则x ＝______________.解析 当x ≤1时，3x＝2，∴x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． 答案 log 329．(2009·广东六校联考)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________________． 解析 要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －4≥0|x |－5≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4x ≠±5， ∴f (x )的定义域为{x |x ≥4且x ≠5}． 答案 {x |x ≥4且x ≠5} 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·阳江第一学期期末)求下列函数的定义域：(1)y ＝25－x 2＋lgcos x ；(2)y ＝log 2(－x 2＋2x )．解 (1)由⎩⎨⎧25－x 2≥0cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤52k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z )，借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为[－5，－3π2)∪(－π2，π2)∪(3π2，5]．(2)－x 2＋2x >0，即x 2－2x <0，∴0<x <2， ∴函数的定义域为(0,2)． 11．(13分)(2009·清远一模)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时， 可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝⎛⎭⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50 整理得f (x )＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.所以，当x ＝4 050时，f (x )最大， 最大值为f (4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． 12．(14分)(2010·东莞模拟)已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x )＋g (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3， 又f (x )＋g (x )为奇函数， ∴a ＝1，c ＝3.∴f (x )＝x 2＋bx ＋3，对称轴x ＝－b 2.当－b2≥2，即b ≤－4时，f (x )在[－1,2]上为减函数，∴f (x )的最小值为f (2)＝4＋2b ＋3＝1. ∴b ＝－3.∴此时无解．当－1<－b2<2，即－4<b <2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝3－b 24＝1， ∴b ＝±2 2.∴b ＝－22，此时f (x )＝x 2－22x ＋3，当－b2≤－1，即b ≥2时，f (x )在[－1,2]上为增函数，∴f (x )的最小值为f (－1)＝4－b ＝1.∴b ＝3.∴f (x )＝x 2＋3x ＋3.综上所述，f (x )＝x 2－22x ＋3， 或f (x )＝x 2＋3x ＋3.§2.2 函数的单调性与最大(小)值一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是 ( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增解析 ∵y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数． 答案 B2．(2010·安庆一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ， x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13D.⎝⎛⎦⎤0，23解析 据单调性定义，f (x )为减函数应满足： ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 答案 B3．(2009·东莞一模)下列四个函数中，在(0,1)上为增函数的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－log 2xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x －12解析 ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，∴y ＝sin x 在(0,1)上是增函数． 答案 A4．(2009·天津理，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围 是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2－4， x ≥0，－(x －2)2＋4， x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增 函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.答案 C 5．(2010·淮南调研)若函数f (x )＝x 3 (x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是 ( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析 f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )＝－x 3 (x ∈R )显然在其定义域内是单调递减的奇函数． 答案 B6．(2010·温州一模)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是 ( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，32 B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－1，32 D.⎣⎡⎭⎫32，4 解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.答案 D二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·珠海调研)若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是 __________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴(m －1)x 2－mx ＋3＝(m －1)x 2＋mx ＋3， ∴m ＝0.这时f (x )＝－x 2＋3， ∴单调减区间为[0，＋∞). 答案 [0，＋∞)8．(2010·汕尾一模)若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m ∈__________.解析 ∵f ′(x )＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1,∴f (x )的增区间为(－1,1)．又∵f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1， ∴－1≤m ≤0. ∵区间(m,2m ＋1)中2m ＋1>m ，∴m >－1. 综上，－1<m ≤0. 答案 (－1,0] 9．(2009·山东实验中学第一次诊断)已知定义域为D 的函数f (x )，对任意x ∈D ，存在正数K ， 都有|f (x )|≤K 成立，则称函数f (x )是D 上的“有界函数”．已知下列函数：①f (x )＝2sin x ；②f (x )＝1－x 2；③f (x )＝1－2x ；④f (x )＝xx 2＋1，其中是“有界函数”的是________．(写出所有满足要求的函数的序号)解析 ①中|f (x )|＝|2sin x |≤2，②中|f (x )|≤1；④|f (x )|＝|x |x 2＋1＝1|x |＋1|x |≤12(x ≠0)，当x ＝0时，f (x )＝0，总之，|f (x )|≤12；③f (x )<1,∴|f （x ）|→+∞,故填①②④. 答案 ①②④三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·芜湖一模)判断f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的单调性．解 ∵－1<1，f (－1)＝－1<f (1)＝1，∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数．∵－2<－1，f (－2)＝－12>f (－1)＝－1，∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数． ∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．11．(13分)(2010·青岛调研)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.12．(14分)(2009·宣城一模)f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫xy ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x <2. 解 (1)令x ＝y ，得f (1)＝0.(2)由x ＋3>0及1x>0，得x >0,由f (6)＝1及f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x <2， 得f [x (x ＋3)]<2f (6)， 即f [x (x ＋3)]－f (6)<f (6)，亦即f ⎣⎡⎦⎤x (x ＋3)6<f (6)．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以x (x ＋3)6<6， 解得－3－3172<x <－3＋3172.综上所述，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <－3＋3172.§2.3 函数的奇偶性一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·吉林模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13＋0＝13.答案 B 2．(2009·金华模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0， 则使得f (x )<0的取值范围是 ( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)解析 ∵f (x )是偶函数且在(-∞，0]上是减函数，且f (2)=f(-2)=0， 可画示意图如图所示，由图知f (x )<0的解集为(-2,2)． 答案 D3．(2009·辽宁理，9)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23解析 方法一 当2x －1≥0，即x ≥12时，因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故需满足2x－1<13，即x <23，所以12≤x <23.当2x －1<0，即x <12时，由于f (x )是偶函数，故f (x )在(－∞，0]上单调递减，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－13，此时需满足2x －1>－13，所以13<x <12，综上可得13<x <23.方法二 ∵f (x )为偶函数，∴f (2x －1)＝f (|2x －1|)， 又∵f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，∴不等式f (2x －1)<f (13)等价于|2x －1|<13.∴－13<2x －1<13，∴13<x <23. 答案 A4．(2009·陕西文，10)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，因此函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又f (x )在R 上是偶函数，故f (－2)＝f (2)，由于3>2>1， 故有f (3)<f (－2)<f (1)． 答案 A 5．(2009·湖南示范性高中一模)函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且x ≠0，g (x )≠1，则F (x )＝2f (x )g (x )－1＋f (x ) ( ) A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数解析 由条件知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝1g (x )，∴F (－x )＝2f (－x )g (－x )－1＋f (－x )＝－2f (x )1g (x )－1－f (x )＝－f (x )·g (x )－f (x )1－g (x )＝f (x )g (x )＋f (x )g (x )－1＝F (x )．答案 B6．(2009·丽水模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x，则不等式f (x )<－12的解集是 ( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 当x >0时，1－2－x ＝1－12x >0与题意不符，当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1－2x ， 又∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝1－2x，∴f (x )＝2x－1，∴f (x )＝2x －1<－12，∴2x <12，∴x <－1，∴不等式f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．答案 A二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·福州模拟)已知函数y ＝f (x )为奇函数，若f (3)－f (2)＝1，则f (－2)－f (－3)＝______. 解析 ∵f (x )为奇函数且f (3)－f (2)＝1， ∴f (－2)－f (－3)＝f (3)－f (2)＝1. 答案 1 8．(2010·温州一模)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y <0的x 的取值集合为________．解析 由原y =f (x )在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y =f (x )在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y <0的x 的取值 集合为(-2,0)∪(2,5)． 答案 (-2,0)∪(2,5) 9．(2009·山东理，16)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是 增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.答案 －8三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·杭州模拟)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1 (－3≤x ≤3)， (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．(1)证明 ∵x ∈[－3,3]，∴f (x )的定义域关于原点对称． f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1 ＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)解 当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 当x <0时，f (x )=x 2+2x -1 =(x +1)2-2， 即f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--+≤≤=-)03(2)1()30(2)1(22x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图． (3)解 函数f(x)的单调区间为 [-3，-1)，[-1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[-3，-1)和[0,1)上为减函数， 在[-1,0)，[1,3]上为增函数．(4)解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2，最大值为f(3)=2； 当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2]． 11．(13分)(2010·湖州联考)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0. 当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )， ∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |) (x ∈R )．12．(14分)(2010·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意 x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )，若x ＝±1，则f (－1)＋f (1)＝2≠0； ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当a ＝0时，f (x )为偶函数； 当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数． (2)设2≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 必须f (x 1)－f (x 2)<0恒成立． ∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4， 即a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16， ∴a 的取值范围是(－∞，16]．§2.4 指数与指数函数一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·滨州一模)下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0， 6(－2)2＝622＝32>0，∴3－2≠6(－2)2； －342<0，4(－3)4×2>0，∴－342≠4(－3)4×2. 答案 A2．(2009·新乡模拟)函数f (x )=ax -b 的图象如右图，其中a 、b 为常数，则下 列结论正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0解析 由图象得函数是减函数， ∴0<a <1.又分析得，图象是由y =ax 的图象向左平移所得，∴-b >0，即b <0.从而D 正确． 答案 D 3．(2010·菏泽联考)已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]解析 y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝⎝⎛⎭⎫2x－322＋34∈[1,7]，∴⎝⎛⎭⎫2x－322∈⎣⎡⎦⎤14，254. ∴2x －32∈⎣⎡⎦⎤－52，－12∪⎣⎡⎦⎤12，52.∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]． 答案 D4．(2009·温州模拟)定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )b (a >b )，如1] ( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(0,1] D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)2－x (x >0)，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1.答案 C5．(2009·珠海模拟)若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析 令u (x )＝2x ＋1，则f (u )＝1u.因为u (x )在(－∞，＋∞)上单调递增且u (x )>1，而f (u )＝1u 在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )＝12x ＋1在(－∞，＋∞)上单调递减，且无限趋于0，故无最小值． 答案 A6．(2010·湖州联考)函数y ＝12π·(2a －3)－x23的部分图象大致是如图所示的四个图象的一个，根据你的判断，a 可能的取值是 ( )A ．21B.32C ．2D ．4解析 函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图象只能是③，再根 据图象先增后减的特征可知2a －3>1，即a >2，符合条件的只有D 选项，故选D. 答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·青岛一模)若f (x )＝a －x 与g (x )＝a x －a(a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.解析 g (x )上的点P (a,1)关于直线x ＝1的对称点P ′(2－a,1)应在f (x )＝a －x上， ∴1＝a a －2.∴a －2＝0，即a ＝2. 答案 2 8．(2010·济宁调研)设函数f (x )＝a －|x | (a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是__________．解析 由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝12，∴f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)． 答案 f (－2)>f (1)9．(2009·江苏)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析 ∵0<a ＝5－12<1，∴函数f (x )＝a x在R 上是减函数．又∵f (m )>f (n )，∴m <n .答案 m <n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·临沂月考)已知对任意x ∈R ，不等式12x 2＋x >⎝⎛⎭⎫122x 2－mx ＋m ＋4恒成立，求实数m 的取值范围．解 由题知：不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋x >⎝⎛⎭⎫122x 2－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立，∴x 2＋x <2x 2－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立．∴x 2－(m ＋1)x ＋m ＋4>0对x ∈R 恒成立．∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋4)<0. ∴m 2－2m －15<0.∴－3<m <5.11．(13分)(2009·中山一模)若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14， 求a 的值．解 令a x ＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1， ＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)． ②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，故当t ＝1a ，即x ＝－1时，y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.∴a ＝13或－15(舍去)．综上可得a ＝3或13.12．(14分)(2009·宁波模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1 (0<x <c )2－xc 2＋1 (c ≤x <1) 满足f (c 2)＝98. (1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1.解 (1)依题意0<c <1，∴c 2<c ，∵f (c 2)＝98，∴c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1 (0<x <12)2－4x ＋1 (12≤x <1)，由f (x )>28＋1得 当0<x <12时，12x ＋1>28＋1，∴24<x <12，当12≤x <1时，2－4x ＋1>28＋1，∴12≤x <58. 综上可知：24<x <58，∴f (x )>28＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |24<x <58.§2.5 对数与对数函数一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·湖南文，1)log 22的值为( )A ．－ 2B. 2C ．－12D.12解析 log 22＝log 2212＝12.答案 D2．(2009·广东文，4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x ) ＝ ( ) A.12x B ．2x －2 C ．log 12x D ．log 2x解析 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x ，故选D. 答案 D3．(2009·辽宁文，6)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·13＝124.答案 A 4．(2009·韶关第一学期期末)已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有 ( )A ．m <0B ．0<m <1C ．1<m <2D ．m >2解析 m ＝log a xy ，∵0<x <y <a <1，∴0<xy <a 2<1. ∴m >log a a 2＝2. 答案 D 5．(2010·烟台一模)函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )6．(2010·绍兴模拟)函数y ＝log a |x ＋b | (a >0，a ≠1，ab ＝1)的图象只可能是 ( )解析 由a >0，ab =1可知b >0，又y =log a |x +b |的图象关于x =-b 对称，由图象可知b >1，且0<a <1，由单调性可知，B 正确． 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·江苏，11)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范 围是(c ，＋∞)，其中c ＝__________________________. 解析 ∵log 2x ≤2，∴0<x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a >4， ∴c ＝4. 答案 48．(2009·嘉兴第一学期期末)计算：[(－4)3]13＋log 525＝________.解析 原式＝(－4)1＋log 552＝－4＋2＝－2. 答案 －2 9．(2009·台州第一学期期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是 ________．解析 ∵m <0，n <0，mn＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n .答案 m >n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列：log 89，log 79，log 123，log 1229，⎝⎛⎭⎫123，⎝⎛⎭⎫12π. 解 log 1229＝(－log 29)2＝log 229，在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 229>log 79>log 89>1，即19log9log9log87221>>>.∵x y )21(=在R 上是减函数，∴1>3)21(>π)21( >0.又log 3<0， 综上：3log π)2()21(9log9log9log21387221>1>>>.11．(13分)(2009·邵阳模拟)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2. 令2x ＝t ，∵x <1或x >3， ∴t >8或0<t <2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝⎛⎭⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎤0，43，当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．(14分)(2009·四平期末)已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1， 因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数， 所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝ln 2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.§2.6 一次函数、二次函数与幂函数一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2009·菏泽重点中学阶段性练习)下列函数：①y ＝1x3；②y ＝3x －2；③y ＝x 4＋x 2；④y ＝3x 2，其中幂函数的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ∵①中y ＝x －3；④中y ＝x 23符合幂函数定义；而②中y ＝3x －2，③中y ＝x 4＋x 2不符合幂函数的定义． 答案 B2．(2010·淄博一模)函数f (x )＝|x |9n(n ∈N *，n >9)的图象可能是 ( )解析 ∵f (－x )＝|－x |9n ＝|x |9n＝f (x )，∴函数为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A 、B.令n ＝18，则f (x )＝|x |12，当x ≥0时，f (x )＝x 12，由其在第一象限的图象知选C.答案 C 3．(2009·湖北理，9)设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( )A ．成正比，比例系数为cB ．成正比，比例系数为2cC ．成反比，比例系数为cD ．成反比，比例系数为2c解析 ∵V ＝43πR 3(t )，∴V ′(t )＝4πR 2(t )·R ′(t )＝c .∴R ′(t )＝c4πR 2(t ).∵S (t )＝4πR 2(t )， ∴S ′(t )＝8πR (t )R ′(t )＝8πR (t )·c 4πR 2(t )＝2cR (t ).答案 D 4．(2009·云浮联考)函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a >23 B.12<a <32C ．a >12D ．a <12解析 f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1是由函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1变化得到，第一步保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间．所以2a －12>0，即a >12.答案 C 5．(2009·山东实验中学第一次诊断)若0<a <1，x >y >1，则下列关系式中正确的个数是( )①a x >a y ②x a >y a③log a x >log a y ④log x a >log y a A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析 ∵0<a <1，x >y >1，∴y ＝a x 递减，故①不正确；y ＝x a 递增，故②正确； y ＝log a x 递减，故③不正确． ∵log x a <0，log y a <0，∴log x a >log y a ⇔log a x <log a y ，正确． 综上，②④正确． 答案 C6.(2010·莆田调研)已知函数y ＝log 12(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0,1)D ．k ＝0或k ≥1解析 要满足题意，t ＝x 2－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点， ∴Δ＝4k 2－4k ≥0.解得k ≥1或k ≤0. 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2010·临沂一模)当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析 当x >0时，y >0，故不过第四象限； 当x <0时，y <0或无意义．故不过第二象限．综上，不过二、四象限．也可画图观察． 答案 二、四 8．(2009·吉林省实验中学一模)函数y ＝x ＋2x 在区间[0,4]上的最大值M 与最小值N 的和M ＋N ＝________.解析 令t ＝x ∈[0,2]，∴y ＝t 2＋2t ＝(t ＋1)2－1， 在t ∈[0,2]上递增．∴当t ＝0时，N ＝0，当t ＝2时，M ＝8.∴M ＋N ＝8. 答案 8 9．(2009·泰安二模)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是__________．解析 ∵0<0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1， ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m在(0，＋∞)上单调递增，故m >0. 答案 (0，＋∞) 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·新疆和田联考)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3，m 为何值时， f (x )：(1)是正比例函数；(2)是反比例函数； (3)是二次函数；(4)是幂函数．解 (1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1，(4)若f (x )是幂函数，则m 2－m －1＝1， 即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.综上所述，(1)当m ＝－45时，f (x )是正比例函数．(2)当m ＝－25时，f (x )是反比例函数．(3)当m ＝－1时，f (x )是二次函数．(4)当m ＝2或m ＝－1时，f (x )是幂函数． 11．(13分)(2009·汕头模拟)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的 压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16 次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数) 解 设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t ＝kn ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧ 16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝24.∴t ＝－2n ＋24.设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y ， 则y ＝tn ×110×2＝440(－n 2＋12n )， 当n ＝6时，总人数最多为15 840人．答 每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人． 12．(14分)(2009·杭州学军中学第七次月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围． 解 (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0 ⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m 2≤0－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m <－255； 综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.§2.7 函数与方程一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·临沂模拟)设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－1,0]解析 ∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－23<0，f (0)＝30－02＝1>0， ∴f (－1)·f (0)<0，∴有零点的区间是[－1,0]． 答案 D2．(2009·天津理，4)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析 因为f ⎝⎛⎭⎫1e ·f (1)＝⎝⎛⎭⎫13·1e －ln 1e ·⎝⎛⎭⎫13－ln 1＝13⎝⎛⎭⎫13e ＋1>0， 因此f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点． 又f (1)·f (e)＝⎝⎛⎭⎫13×1－ln 1·⎝⎛⎭⎫13·e －ln e ＝e －39<0. 因此f (x )在(1，e)内有零点． 答案 D3．(2009·福建文，11)若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －12解析 ∵g (x )＝4x＋2x －2在R 上连续且g (14)＝2＋12－2＝2－32<0，g (12)＝2＋1－2＝1>0.设g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 0，则14<x 0<12，0<x 0－14<14，∴⎪⎪⎪⎪x 0－14<14.又f (x )＝4x －1零点为x ＝14；f (x )＝(x －1)2零点为x ＝1；f (x )＝e x －1零点为x ＝0；f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －12零点为x ＝32.答案 A 4．(2010·三明联考)方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a ∈R ＋)的解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵a ∈R+，∴a 2+1>1.而y =|x 2-2x |的图象如图，∴y =|x 2-2x |的 图象与y =a 2+1的图象总有两个交点．∴方程有两解． 答案 B 5．(2009·杭州质检)方程|x |(x －1)－k ＝0有三个不相等的实根，则 k 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 解析 本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图 象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．本题显然考虑第一种方法．如图，作出函数y =|x |·(x -1)的图象， 由图象知当k ∈)0,41(-时，函数y =k 与y =|x |(x -1)有3个不同的交点，即方程有3个实根． 答案 A6．(2009·怀化调研)设f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0) (－1≤x ≤1)，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内 ( ) A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根 C ．有唯一的实数根 D ．没有实数根解析 ∵f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)，∴f ′(x )＝3x 2＋b >0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数，又∵f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，12内存在唯一零点．答案 C二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·淮南模拟)若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.答案 －12，－138．(2009·池州模拟)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解 集是__________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a －2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <1.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <19.(2010·六安一模)已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01， 则方程f (x )＝0 ①有三个实根；②当x <-1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；③当-1<x <0时，恰有一实根；④当0<x <1时，恰有一实根； ⑤当x >1时，恰有一实根． 则正确结论的编号为 .解析 ∵f (-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0， f (-1)=0.01>0，即f (-2)·f (-1)<0， ∴在(-2，-1)内有一个实根．由图中知：方程f (x )=0在(-∞，-1)上，只有一个实根， 所以②正确．又∵f (0)=0.01>0，由图知f (x )=0在(-1,0)上没有实数根，所以③不正确． 又∵f (0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0， f (1)=0.01>0，即f (0.5)f (1)<0，所以f (x )=0.在(0.5,1)上必有一个实根，且f(0)·f (0.5)<0， ∴f (x )=0在(0,0.5)上也有一个实根．∴f (x )=0在(0,1)上有两个实根，④不正确．由f (1)>0且f (x )在(1，+∞)上是增函数， ∴f (x )>0，f (x )=0在(1，+∞)上没有实根． ∴⑤不正确．并且由此可知①也正确． 答案 ①②三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·广州模拟)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围， 并求出该零点． 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0时，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 11．(13分)(2009·滁州联考)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00≤－m －12≤2f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0－3≤m ≤14＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1－3≤m ≤1m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.12．(14分)(2009·聊城一模)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区 间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3. 令2x -3=0，得x =23∉[-1,1]∴f (x )在[－1,1]上无零点，故a ≠0.(2)当a >0时，f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0f (1)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5a ≥1∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0f (1)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧－12a－3－a ≤0a ≥1解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)． (3)当a <0时， ①当0<a21-≤1，即a ≤21-时，须有,0)21(0)1(⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-a f f ， 即⎪⎩⎪⎨⎧≥---≤03215a aa解得：a ≤273--或273+-≤a ≤5，。
2011 广东高考文科数学引言2011 年广东高考文科数学试卷是广东省教育厅根据当年高中课程大纲的要求，为广东省高中生设计的一套数学考试试卷。
本文主要对该试卷进行分析和评价，并提出一些建议，以帮助学生更好地应对类似考试。
试卷结构2011 广东高考文科数学试卷分为两部分：选择题和非选择题。
选择题占总分的70%，非选择题占总分的30%。
试卷涵盖了数学的各个主题，包括代数、几何、概率与统计等内容。
选择题分析选择题部分由多个小题组成，每个小题有四个选项，只有一个正确答案。
根据对试题的分析，可以得出以下结论：1.试题内容覆盖面广：试题涵盖了数学各个主题的知识点，包括代数、几何、概率与统计等。
2.题目难度适中：试题难度适中，既考察了基本的知识点掌握，又考察了对知识点的扩展应用能力。
3.答题时间紧张：选择题数量较多，考生需要在有限的时间内完成。
因此，良好的时间管理和解题策略至关重要。
非选择题分析非选择题部分主要包括解答题和证明题。
根据对试题的分析，可以得出以下结论：1.题目难度较高：非选择题部分主要考察学生对知识点的深刻理解和运用能力，题目相对较难。
2.解题思路多样：非选择题部分的题目要求学生运用所学的知识，灵活运用解题思路，解决实际问题。
3.答题要求严谨：考生在解答题和证明题时要注意书写的规范性和严谨性，避免计算和推理过程中的错误。
试卷评价根据对试卷的分析，可以得出以下评价：1.内容全面：试卷中包含了广泛的数学内容，能够全面考察学生的数学基础和运用能力。
2.难度适中：试题的难度适中，能够反映出学生的综合数学水平。
3.答题时间合理：试卷给出了合理的答题时间，考察能够在规定时间内完成答题。
4.考查能力全面：试卷既考察了学生对基础知识的掌握，又考察了学生的解决问题和推理能力。
建议根据对试卷的分析，可以给考生一些建议，帮助他们更好地应对类似的考试：1.熟悉考试内容：考生需要对高中数学教材进行全面复习，熟悉各个知识点的要求和应用。
2011年高考广东卷文科数学解析版一、选择题 1．【命题意图】本题考查复数的运算，是容易题. 【解析】∵1iz =，∴z =1i=i -，故选A. 2．【命题意图】本题考查集合的运算、直线与圆的位置关系，是容易题. 【解析】集合A 表示由圆221x y +=上所有点组成的集合，集合B 表示直线1x y +=上所有点的集合，∵直线过园内点（12,12），∴直线与圆有两个交点，故选C . 3．【命题意图】本题考查向量平行的充要条件，是容易题. 【解析】∵(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===，∴a b λ+ =（1λ+，2）， ∵()//a b c λ+， ∴32(1)40λ⨯-+⨯=，解得λ= 12，故选B 4 ．【命题意图】本题考查函数的定义域求法和不等式解法，是容易题.【解析】要使式子有意义，则1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得11x x >-≠且，故选C.5．【命题意图】本题考查一元二次不等式解法，是容易题.【解析】2210x x -->⇔(21)(1)0x x +->，解得112x x <->或，故选D. 6．【命题意图】本题考查数量积的坐标运算、简单线性规划，是容易题. 【解析】如图,区域D 为四边形OABC 及其内部区域,目标函数为z =(,)x y ⋅y +,z 即为y z =+在y 轴的截距，由图知，当直线y z =+过B 时，2max z 2=+=4，故选B.7．【命题意图】本题考查学生的空间想象能力，难度较大.【解析】下底面有5个点，每个下底面的点对应上底面的5个点中，符合条件的只有2个，故总共有10条，选D.8．【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、轨迹问题，难度较大.【解析】设圆心C(,x y )，则圆C 的半径为y ， ∵设圆C 与圆 错误！未找到引用源。
外切，∴1y =+，整理得28(1)x y =-，故选A. 9．【命题意图】本题考查简单几何体的三视图和体积计算，是中档题. 【解析】由三视图知，此几何体是底面边长为2，短对角线为2的菱形，顶点在底面上的射影为菱形的中心，一条侧棱长为，∴底面积为14⨯⨯==3，故133V =⨯=，故选C.10．【命题意图】本题是新定义型题，考查学生学习、理解新知识、运用新知识的能力，属难度.【解析】由题知()()x g f 表示两个函数复合，()()x g f ∙表示两个函数相乘，故 对A ：左=()()()f g h x ∙=(())()f g x h x ，右=()()()()f h g h x ∙∙=(()())(()())f x h x g x h x =((()())(()()))f g x h x h g x h x ，显然不等，对B ：左=(())()f g h x ∙=(())(())f h x g h x ，右=(()())()f h g h x ∙=()()()()f h x g h x =(())(())f h x g h x ，显然正确， 对C ：左=(())()f g h x =((()))f g h x ，右=(()())()f h g h x =(((())))f h g h x ，显然不等，对D ：左=(())()f g h x ∙∙=()()()f x g x h x ，右=(()())()f h g h x ∙∙∙=2()()()f x g x h x ，显然不等，故选B. 二、填空题（一）必做题（11～13题）11．【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、数列的单调性，是容易题. 【解析】∵4,2342=-=a a a ,∴2224q q -=，解得q =2或－1（舍），故q =2. 【答案】2 12．【命题意图】本题考查函数的奇偶性和函数求值,是简单题. 【解析】∵3()cos 111f a a a =+=，=-)(a f 3()cos()1a a --+=3cos 1a a -+， ∴两式相加得()112f a -+=，∴=-)(a f －9. 【答案】－9 13．【命题意图】本题考查线性回归分析方法及运算求解能力，是中档题. 【解析】平均命中率为y =0.40.50.60.60.45++++=0.5，平均训练时间x =12345++++=3，∴ˆb=51521()()()iii i i x x y y x x ==---∑∑=0.110=0.01，ˆa=ˆy bx -=0.5—0.01×3=0.47， 样本回归方程为ˆy=0.470.01x +， 当x =6时，ˆy=0.47+0.01×6=0.53. 【答案】0.5 0.53 （二）选做题 14．【命题意图】本题考查参数方程与普通方程互化、求两曲线的交点及运算求解能力，是中档题.【解析】化为普通方程分别为221(0)5x y x +=>，245y x =，联立解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩交点（1. 【答案】（1）15．【命题意图】本题考查合情推理，是容易题.【解析】∵AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2, EF ＝3，EF ∥AB ，∴2EF=AB+CD ，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，设梯形ABEF EFCD S S 梯形梯形=(4+3)2(32)2hh +=75.【答案】7516【命题意图】本题考查诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和的余弦公式等基本知识，考查运算能力，是容易题. 【解析】(1)1)6sin(2)0(-=-=πf(2) ∵10(3)2sin 213f παα+==，∴5sin 13α=，又∵[0,]2πα∈，∴12cos 13α=，∵6(32)2sin()2cos 25f πβπββ+=+==， ∴3cos 5β=，又∵[0,]2πβ∈，∴4sin 5β=，∴16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=.17【命题意图】本题考查样本的均值与方差，等可能事件的概率计算，是容易题. 【解析】(1)由题意得：75=90,6727072767066=+++++x x 得S=76)7590()7572()7570()7572()7576()7570(222222=-+-+-+-+-+-(2)设5位同学为：A, B,C, D, E 其中A70分，B76分，C72分，D70分，E72分基本事件：AB, AC,AD,AE, BC,BD,BE,CD,CE, DE ,共10种。
