熟思教务专题测试集合与不等式针对基础特别薄弱者

不等式与集合一、选择题（共50分，每题5分）1.若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合A B=( ) A ．｛0，1，2，3，4｝ B ．｛1，2，3，4｝ C ．｛1，2｝ D ．｛0｝ 2．已知A ＝{x||2x ＋1|＞3}，B ＝{x|x2＋x ≤6}，则A ∩B ＝（ ） A.[3,2)(1,2]-- B.[3,2)(1,)--+∞ C.(3,2][1,2)-- D.(,3](1,2]-∞- 3.已知集合{}31M x x =-<<，{}3N x x =-≤，则M N = （ ） A ．∅B ．{}3x x -≥C ．{}1x x ≥D ．{}1x x <4已知集合S=R ，2{|230},{||2|2}A x x x B t t =--≤=-<，那么集合()S C A B ⋃等于（ ） A ．}30|{≤<x x B ．R C ．}3,0|{<≤x x x 或 D ．{|1,4}x x x <-≥或5.不等式x x --213≥1的解集是 ( )A ．{x|43≤x ≤2}B ．{x|43≤x ＜2}C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2}6．已知关于x 的不等式04)3()3(2<--+-x m x m 对一切()x R ∈都成立，则实数m 的取值范围（ ）A.(-∞ , 3)B.(-13 , 3)C.(-13 , 3]D.( -∞ , -13)7.一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值( )A. 10B. －10C. 14D. －148.若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）．A ．4-≤m 或4≥mB ． 45-≤<-mC ．45-≤≤-mD ． 25-<<-m9、设A=},0|{},032|{22≤++=>--b ax x x B x x x 若]4,3(,==B A R B A ，则a+b=（ ） A. －7， B. －1 C. 1 D. 710、若），（），的解集是（∞+-∞->++420c bx ax 2，则对于函数c bx ax x ++=2)(f 应有（ ） A. )1(f )2(f )5(f -<< B. )1(f )5(f )2(f -<< C. )5(f )2(f )1(f <<-D. )5(f )1(f )2(f <-<二、填空题（共25分，每题5分）11. 已知两个正实数x 、y 满足x+y=4,则x 1+y 4的最小值为__________.此时x=______。

专题01集合、常用逻辑用语、不等式（选填压轴题）一、集合的新定义题①乘法运算封闭②“群”运算③“环”运算④“*”运算⑤“⊕”运算⑥戴德金分割⑦“类”⑧差集运算⑨“势”⑩“均衡集”⑪“好集”二、逻辑推理①充分性必要性②逻辑推理三、不等式①作差法②作商法③基本不等式一、集合的新定义题1．（2022·上海市进才中学高三期中）设S 是整数集Z 的非空子集，如果任意的,a b S ∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的.若T 、V 是Z 的两个没有公共元素的非空子集，T V ⋃=Z ．若任意的,,a b c T ∈，有abc T ∈，同时，任意的,,x y z V ∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是()A ．T 、V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．T 、V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．T 、V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．T 、V 中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C ；若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D ；从而可得T 、V 中至少有一个关于乘法是封闭的，A 正确.故选：A ．2．（2022·全国·高三专题练习）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（）①若A 为一个“群”，则A 必为无限集；②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈；③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠U ，A B B ≠ ，则A B 必定不是“群”；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】①：设集合{}1,0,1A =-，显然110,101,101-+=-+=-+=，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合{}1,0,1A =-是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；②：根据群的性质，由b A ∈可得：b A -∈，因此可得a b A -∈，故本叙述是正确；③：设A B C = ，若c C ∈，一定有,c A c B ∈∈，因为A ，B 都是“群”，所以,c A c B -∈-∈，因此c C -∈，若d C ∈，所以,d A d B ∈∈，c d C +∈，故本叙述正确；④：因为A B A ≠U ，A B B ≠ ，一定存在a A ∈且a B ∉，b A ∉且b B ∈，因此a b A +∉且a b B +∉，所以()a b A B +∉ ，因此本叙述正确，故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G*∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群【答案】BA.G Q =，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G 的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则(),+G 为一个群，所以该选项正确；B.G R =，1为G 的单位元，但是1a b b a ⨯=⨯=，当0a =时，不存在唯一确定的b ，所以不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误；C.{}1,1G =-，满足①②，1为G 的单位元满足③，1-是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则(),G ⨯为一个群，所以该选项正确；D.G ={平面向量}，满足①②，0→为G 的单位元，逆元为其相反向量，则(),+G 为一个群，所以该选项正确.故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）设U 是一个非空集合，F 是U 的子集构成的集合，如果F 同时满足：①F ∅∈，②若,A B F ∈，则()U A B F ⋂∈ð且A B F ⋃∈，那么称F 是U 的一个环，下列说法错误的是（）A ．若{1,2,3,4,5,6}U =，则{}{}{},1,3,5,2,4,6,U F =∅是U 的一个环B ．若{, , }U a b c =，则存在U 的一个环F ，F 含有8个元素C ．若U Z =，则存在U 的一个环F ，F 含有4个元素且{2},{3,5}F∈D ．若U =R ，则存在U 的一个环F ，F 含有7个元素且[][]0,3,2,4F∈【答案】D对A ，由题意可得{}{}{},1,3,5,2,4,6,U F =∅满足环的两个要求，故F 是U 的一个环，故A 正确，不符合题意；对B ，若{, , }U a b c =，则U 的子集有8个，则U 的所有子集构成的集合F 满足环的定义，且有8个元素，故B 正确，不符合题意；对C ，如{}{}{}{},2,3,5,2,3,5F =∅满足环的要求，且含有4个元素，{2},{3,5}F ∈，故C 正确，不符合题意.对D ， [][]0,3,2,4F ∈，[][][)0,32,40,2=U F ∴⋂∈ð，[][](]2,40,3,43=U F ⋂∈ð，[][][]0,32,4=04，F ⋃∈，[][)[]0,30223,,U F ∴⋂=∈ð，[][][)(]0,4230134,,,U F ⋂=⋃∈ð，再加上∅，F 中至少8个元素，故D 错误，符合题意.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax +=或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax +=有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax +=有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax +=的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =，故选：D ．6．（2022·上海·高三专题练习）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素.例如：A R =，运算“⊕”为普通乘法；存在1R ∈，使得对任意a R ∈，都有11=a a a ⨯=⨯，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A R =，运算“⊕”为普通减法；②{}|,m n m n A A A m n m N n N **⨯⨯=⨯∈∈表示阶矩阵，，运算“⊕”为矩阵加法；③{}|A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集.其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③【答案】D试题分析：①若，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A ={|m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，}，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.7．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}0123,,,S A A A A =，在集合S 上定义运算“⊕”：j i k A A A ⊕=，其中，k 为i j +被4除的余数，i 、{}0,1,2,3j ∈.则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 解：当x=A 0时，（x ⊕x ）⊕A 2=（A 0⊕A 0）⊕A 2=A 0⊕A 2=A 2当x=A 1时，（x ⊕x ）⊕A 2=（A 1⊕A 1）⊕A 2=A 2⊕A 2=A 0当x=A 2时，（x ⊕x ）⊕A 2=（A 2⊕A 2）⊕A 2=A 0⊕A 2=A 2当x=A 3时，（x ⊕x ）⊕A 2=（A 3⊕A 3）⊕A 2=A 2⊕A 2=A 0则满足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x （x ∈S ）的个数为：2个．故选B ．8．（多选）（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“·”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，③a G ∀∈，b G ∃∈，使a ·b =b ·a =e ，则称G 关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（）A ．{1,0,1}G =-关于数的乘法构成群B ．G ={x |x =1k，k ∈Z ，k ≠0}∪{x |x =m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群C ．实数集关于数的加法构成群D ．{|,Z}G m m n =∈关于数的加法构成群【答案】CD对于A ：若{1,0,1}G =-，对所有的a 、b G ∈，有{1,0,1}a b G ⋅∈-=，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e 为1，但当0a =时，不存在b G ∈，使得··1a b b a e ===，即③不成立，即选项A 错误；对于B ：因为12a G =∈，且3b G =∈，但13322a b G ⋅=⨯=∉，所以选项B 错误；对于C ：若R G =，对所有的a 、R b ∈，有R a b +∈，满足加法结合律，即①成立，满足②的e 为0，R a ∀∈，R b a ∃=-∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项C 正确；对于D ：若{|,Z}G m m n =∈，所有的11a m =、22b m G =∈，有1212(+)a b m m n n G +=+∈，,,,a b c G ∀∈()()++=++a b c a b c 成立，即①成立；当0a b ==时，0a =，满足的0e =，即②成立；a m G ∀=∈，b m G ∃=-∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项D 正确.故选：CD.9．（多选）（2022·黑龙江绥化·高一期末）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中，可能成立的是（）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】ABD令{|10,}M x x x Q =<∈，{|10,}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中有一个最小元素，即选项A 可能；令{|}M x x x Q =<∈，{|}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中也没有最小元素，即选项B 可能；假设答案C 可能，即集合M 、N 中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令{|10,}M x x x Q =≤∈，{}10,N x x x Q =>∈，显然集合M 中有一个最大元素，集合N 中没有最小元素，即选项D 可能.故选：ABD ．10．（多选）（2022·福建三明·高一期末）整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[]{}5|Z k n k n =+∈，其中{}0,1,2,3,4k ∈．以下判断正确的是（）A ．[]20211∈B ．[]22-∈C ．[][][][][]Z 01234=⋃⋃⋃⋃D ．若[]0a b -∈，则整数a ，b 属同一类【答案】ACD对A ，202140451=⨯+，即余数为1，正确；对B ，2153-=-⨯+，即余数为3，错误；对C ，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；对D ，由题意-a b 能被5整除，则,a b 分别被5整除的余数相同，正确.故选：ACD.11．（多选）（2022·全国·高一期末）在整数集Z 中被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =､1､2､3､4.则下列结论正确的是（）A ．2021[1]∈B ．3[3]-∈C ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃D ．“整数a ､b 属于同一类”的充要条件是“[0]a b -∈”【答案】ACD解：对于A 选项，[1]{51|}n n Z =+∈，20215404+1=⨯，2021[1]∈，故A 正确；对于B 选项，[3]{53|}n n Z =+∈，3{52|}n n Z -=+∈，3[2]-∈，故B 不正确；对于C 选项，整数集Z 中的数，被5除所得余数只能为0，1，2，3，4，所以[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃，故C 正确；对于D 选项，若整数a ､b 属于同一类，则5,a b n n Z -=∈，所以[0]a b -∈，反之，若[0]a b -∈，则5,a b n n Z -=∈，整数a ､b 属于同一类，故D 正确，故选：ACD.12．（多选）（2022·全国·高三专题练习）定义{A B x x A -=∈，且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-叫做集合的对称差，若集合{}2,13A y y x x ==+-≤≤，21,15B y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，则以下说法正确的是（）A ．[]2,10B =B ．[)1,2A B -=C ．(](]1,25,10A B *=⋃D ．A B B A*=*【答案】ABD ∵{}[]2,131,5A y y x x ==+-≤≤=，[]21,12,105B y y x x ⎧⎫==≤≤=⎨⎬⎩⎭，故A 正确；∵定义{A B x x A -=∈且}x B ∉，∴[)1,2A B -=，(]5,10B A -=，故B 正确；()()[)(]1,25,10A B A B B A *=-⋃-=⋃，故C 错误；()()[)(]1,25,10B A B A A B *=-⋃-=⋃，所以A B B A *=*，故D 正确．故选：ABD ．13．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）设集合{}2,3,4U =，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第6位的子集是_________.【答案】{}2,4根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：∅，{}2，{}3，{}4，{}2,3，{}2,4，{}3,4，{}2,3,4.故排在第6的子集为{}2,4.故答案为：{}2,414．（2022·全国·高三专题练习）在整数集中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4,0,1,2,3k n k n Z k =+∈=.给出下列四个结论.①[]20211∈；②[]11-∈；③[][][][]0123Z =⋃⋃⋃；④“整数,a b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”.其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.【答案】①③④对于①，202145051=⨯+ ，则[]20211∈，①正确；对于②，()1413-=⨯-+ ，则[]13-∈，②不正确；对于③， 任意整数除以4，余数可以且只可以是0,1,2,3四类，则[][][][]0123Z =⋃⋃⋃，③正确；对于④，若整数a 、b 属于同一“类”，则整数a 、b 被4除的余数相同，可设14a n k =+，24b n k =+，其中1n 、2n Z ∈，{}0,1,2,3k ∈，则()124a b n n -=-，故[]0a b -∈，若[]0a b -∈，不妨令{}()112212124,4,,,0,1,2,3a n k b n k n n Z k k =+=+∈∈，则()12124()a b n n k k -=-+-，显然{}1212,0,1,2,3n n Z k k -∈-∈，于是得120k k -=，12k k ∴=，即整数,a b 属于同一“类”，∴“整数,a b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，④正确．∴正确的结论是①③④.故答案为：①③④.15．（2022·上海·高三专题练习）已知有限集12{,,,}(2,)n A a a a n n N *=≥∈ ，如果A 中元素(1,2,,)i a i n =L 满足：121222n n a a na a a na ⨯⨯⨯=+++ ，就称A 为n 元“均衡集”．若{}12,a a 是二元“均衡集”，则122a a +的取值范围是__．【答案】19,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭由题意知{}12,a a 是二元“均衡集”，所以121222a a a a ⨯=+，即2112(1)a a a -=，当11a =时，显然不成立，所以1212(1)a a a =-，所以1121111112222(1)22(1)a a a a a a a +=+=++--，设12(1)(0)a x x -=≠，所以121111111522222(1)22a a a x x a x x +=++=+++=++-，当0x >时，1555922222y x x =++≥=+，当且仅当1x =时等号成立，当0x <时，151551()22222y x x x x =++=--+≤-+=-+=-，当且仅当1x =-时等号成立，所以122a a +的取值范围19,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：19,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.16．（2022·上海·高三专题练习）若实数a ､b ､c 满足112a b c+=，则a ､b ､c 是调和的，设含有三个元素的集合P 是集合|0{202,M x x =≤}x Z ∈的子集，当集合P 中的元素a ､b ､c 既是等差的又是调和的时候，称集合P 为“好集”，则三元子集中“好集”的概率是__________.【答案】332643198因为112a b c+=，且2a c b +=，所以()()+20a b a b -=，所以a b =（舍去）或2a b =-，所以4c b =，所以{}2,,4P b b b =-，又42020,b ≤解得505505b -≤≤，且,0b Z b ∈≠，所以三元子集中“好集”P 共1010个，所求的概率为340411010332643198C =，故答案为：332643198．二、逻辑推理1．（2022·全国·高三专题练习（文））祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设,A B 为两个同高的几何体，:,p A B 在等高处的截面积不恒相等，:,q A B 的体积不相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以q p ⇒；反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由p 推不出q ，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B.2．（2022·重庆南开中学高一期中）两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B解：根据祖暅原理，①由12S S =，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S =的必要不充分条件，故选：B ．3．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为1-，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x =是方程20x ax b ++=的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根之和为4，不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.4．（2022·重庆·高一阶段练习）在ABC 中，点P 是AB 上一点，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M 有下列四个命题：甲：2133CP CA CB=+ 乙：3CM MP=丙：:1:3ACP ABC S S =△△丁：12AM MQ = 如果只有一个假命题，则该命题为（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D假设甲为假，其余为真，所以丙为真.由丙：:1:3ACP ABC S S =△△知，:1:3AP AB =.因为13A CP CA CA AB P =+=+ ,而AB CB CA =- ,所以()11213333CP CA AB=CA CB CA CA CB =++-=+，这与甲为假矛盾，所以甲为真；同理，甲：2133CP CA CB =+ 为真时，即22113333CP CA CB CP -=-，所以2AP PB = ，所以:1:3AP AB =，所以:1:3ACP ABC S S =△△，即丙为真.甲：2133CP CA CB =+为真时，有:1:3AP AB =.过Q 作QN //AB 交CP 于N ，由Q 是BC 的中点，得到,12CN CP =.而:1:3AP AB =，所以12AP PB =,所以QN AP =.因为QN //AB ，所以,APM NQM PAM QNM ∠=∠∠=∠,又QN AP =，所以APM NQM ≅ ，所以AM QM =，PM NM =因为12CN CP =，PM NM =，所以3CM MP = ，故乙正确；由AM QM =得到AM MQ =，故丁错误.故选：D5．（2021·全国·二模）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，有下列四个命题：甲：180a =；乙：350S =；丙：17190a a -=；丁：19160S S -=.如果只有一个是假命题，则该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 若350S =，则()135353502a a S +==.即180a =；若17190a a -=，所以20d -=，即0d =若19161718190S S a a a -=++=，所以180a =.又因为只有一个是假命题，所以丙是假命题.故选：C6．（2022·全国·高三专题练习（理））关于函数()()320ax bx c f x x a =++≠，有下列四个命题：甲：0a <；乙：()0f x =的三根分别为11x =-，20x =，32x =；丙：()f x 在()0,2上恒为负；丁：()f x 在()2,+∞上单调递增.如果只有一个假命题，那么该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A若甲命题为假命题，由题意可得()()()()2321222f x ax x x ax x x ax ax ax =+-=--=--，对任意的()0,2x ∈，()0f x <，可得0a >，()()22322322f x ax ax a a x x '=--=--，对任意的2x >，23220x x -->，由于()f x 在()2,+∞上单调递增，则()0f x >，可得0a >，满足条件；若乙命题为假命题，()232f x ax bx c '=++且0a <，当x →+∞时，()f x '→-∞，此时函数()f x 在()2,+∞上不可能单调递增，不满足条件；若丙命题为假命题，由题意可得()()()()2321222f x ax x x ax x x ax ax ax =+-=--=--，当0a <且02x <<时，()0f x >，当0a <且2x >时，()()223223220f x ax ax a a x x '=--=--<，不满足条件；若丁命题为假命题，由题意可得()()()()2321222f x ax x x ax x x ax ax ax =+-=--=--，当0a <且02x <<时，()0f x >，不满足条件.故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，过F 与x 轴垂直的直线交C 于点M ，N ，有下列四个命题：甲：点F 坐标为()1,0；乙：抛物线C 的准线方程为2x =-；丙：线段MN 长为4；丁：直线1y x =+与抛物线C 相切．如果只有一个命题是假命题，则该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B解：抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若12p=，则2p =，()1,0F ，甲正确；抛物线的准线方程为1x =-，乙错误；抛物线的通径为24p =，丙正确；抛物线方程为24y x =，与1y x =+联立，可得2210x x -+=，即1x =，可得直线1y x =+与抛物线C 相切于()1,2，丁正确．若22p=，则4p =，可得()2,0F ，甲错误；准线方程为2x =-，乙正确；抛物线的通径为28p =，丙错误，不合题意．故2p =，甲、丙、丁正确，乙错误．故选：B ．8．（2022·江苏省镇江中学高一期中）关于函数y =sin （2x +φ）（R ϕ∈）有如下四个命题：甲：该函数在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；乙：该函数图象向右平移12π个单位长度得到一个奇函数；丙：该函数图象的一条对称轴方程为65x π=-；丁：该函数图像的一个对称中心为(,0)12π.如果只有一个假命题，则该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 令222,Z 22k x k k πππϕπ-+≤+≤+∈，则函数的增区间为(),Z 4242k k k πϕπϕππ⎡⎤--+-∈⎢⎥⎣⎦…①；函数图象向右平移12π个单位长度得到sin 2sin 2126y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦…②；令2,Z 2242k x k x k πππϕϕπ+=+⇒=+-∈…③；令2,Z 22k x k x k πϕϕπ+=⇒=-∈…④.若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则甲正确，矛盾.令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为,Z 23k x k ππ=-∈，1k =-时，65x π=-，则丙正确.由④，函数的对称中心为()7,0Z 212k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，令74212123k k πππ-=⇒=，丁错误.不合题意；若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令424222k k x k πϕπϕππϕπ--++-==-，结合④，令()2Z 2126k k k ϕπππϕπ-=⇒=-∈，由函数的奇偶性，取k =0，6πϕ=-，由③，,Z 241223k k x k πππππ=++=+∈，令572363k k πππ+=-⇒=-，则丙错误.不合题意；若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.取区间中点()36Z 212k k x k k ππππππ-++==-+∈，则丁错误.不合题意；若丁错误，则甲乙丙正确.由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.由③，,Z 241226k k x k πππππ=+-=+∈.k =-2时，65x π=-，则丙正确.由④，,Z 212k x k ππ=-∈，令1212123k k πππ-=⇒=，④错误.满足题意.综上：该命题是丁.故选：D.三、不等式1．（2022·河南·高二期中（理））已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a a b b ->-B ．11a b b >-C ．11a ab b +>+D ．11a b b a->-【答案】C 对于A ：1(1)(1)1(1)(1)a a ab b a b a b b b b b b ------==---，因为0a b >>，所以0b a -<，0b >，但1b -的正负不确定，所以11a ab b ->-不一定成立，即选项A 错误；对于B ：11()2()()b a b b a a b b b a b b a b ----==---，因为0a b >>，所以0a b ->，0b >，但2b a -的正负不确定，所以11a b b>-不一定成立，即选项B 错误；对于C ：1(1)(1)1(1)(1)a a ab b a a b b b b b b b ++-+--==+++，因为0a b >>，所以0a b ->，0b >，10+>b ，所以11a ab b ->-一定成立，即选项C 正确；对于D ：11()(1)()a b ab a b b a ab-----=，因为0a b >>，所以0a b ->，0ab >，但1ab -的正负不确定，所以11a b b a->-不一定成立，即选项D 错误.故选：C.2．（2022·安徽亳州·高三期末（理））设0a b >>，c ∈R ，则下列结论正确的是（）A ．21a b -<B ．33ac bc >C ．()()1ln 2ln a b a b ++≥+D ．11b ba a+>+【答案】D因为0a b >>，所以0a b ->，所以21a b ->，故A 错误；因为0a b >>，当30<c 时，33<ac bc ，故B 错误；由0a b +>，且01a b <+<时，()ln 0+<a b ，所以()()1ln 0ln ++<+a b a b ，故C 错误；因为0a b >>，所以()()1111++----==>+++b bab a ab b a ba a a a a a 所以11b ba a+>+，故D 正确.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知log 2021log 20210b a >>，则下列结论正确的序号是（）①0.20.2a b <，②2211a b >，③ln ln b a a b +>+，④若0m >，则a a mb b m+<+A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④【答案】B因为log 2021log 20210b a >>，即ln 2021ln 20210ln ln b a>>，则ln ln 0a b >>，得1a b >>.对于①，因为指数函数0.2x y =为R 上的减函数，则0.20.2a b <，①对；对于②，()()22222222110b a b a b a a b a b a b -+--==<，则2211a b <，②错；对于③，构造函数()ln f x x x =-，其中1x >，则()1110x f x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，则()()f a f b >，即ln ln a a b b ->-，故ln ln b a a b +>+，③对；对于④，0m > ，则()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +-+-+-==<+++，则a a mb b m+>+，④错.故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz++【答案】B由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.5．（2022·全国·高三专题练习）已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．c b a<<D ．a c b<<【答案】B2252228log 3ln 3ln8(ln 3ln8)ln 241log 5ln 54ln 5ln 5b c ⋅+==<=<，即b c <，∵0.410.8c a -<<=，∴综上，b c a <<.故选：B6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知0.1log 2a =，log b =，则（）A ．0ab a b <<+B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0a b ab +<<【答案】D因为0.15log 20,log 0a b =<=>，所以0ab <，又因为0.15lg 2lg 2lg 2lg 2(1lg 25)log 2log lg 20lg0.1lg52lg5lg 25a b -+=++=-+=<，所以0a b +<，又因222211log 0.15log 0.1log 25log 2.51a b ab a b+=+=+=+=>，所以1a bab+>且0ab <，所以a b ab +<，所以0a b ab +<<，故选：D7．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知0<a <b <1，设m =b ln a ，n =a ln b ，ln ln()ln ap b=，则m ，n ，p 的大小关系为（）A ．m <n <pB ．n <m <pC ．p <m <nD ．p <n <m【答案】A 因0<a <b <1，则1b a >，且ln a ＜ln b ＜0，即有ln 1ln a b >，因此，ln ln()0ln a b >，即p >0，又m <0，n <0，则ln ln 1ln ln m b a b an a b a b==⋅>，于是得m <n <0，所以m <n <p .故选：A8．（2022·全国·高一课时练习）若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．【答案】a <b16161616182181819(()(1616168a b ==⋅=⋅=，(0,1)，∴161<∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a <b .故答案为：a <b9．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知正实数a ，b 满足2a b ab +=，则24a b-的最小值为()A ．0B ．2C ．4D ．6【答案】A2a b ab += ，()21a b a ∴=-，当1a =时等式不成立，∴a ≠1，∴21ab a =-，∴211110444a a a a b a a --=-=+-= ，当且仅当124a a a=⇒=时取等号，故选：A ．10．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知实数,a b 满足()1,1a b ab a b +=>>，则()()2211a b -+-的最小值为()A ．2B ．1C ．4D ．5【答案】A由()1,1a b ab a b +=>>得11a b ab +--=-，因式分解得()()111a b --=，则()()()()22112112a b a b -+-≥--=，当且仅当2a b ==时取得最小值．故选：A ．11．（2022·全国·模拟预测）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S 求得，其中p 为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，6c =，则当三角形面积最大值时AB 边上的高为（）A ．8B ．C ．12D ．【答案】B由题意得，18a b +=，12p =，则S ==121232a b-+-≤==当且仅当1212a b -=-，且18a b +=，即9a b ==时，等号成立，此时三角形的面积取得最大值，所以AB =故选：B.12．（2022·河南驻马店·高二期中（文））对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的“上确界”，若a ，b 均大于0，且1a b +=，则133--a b的“上确界”为（）A ．169-B ．14-C ．4-D ．163-【答案】D因为a ，b 均大于0，且1a b +=，所以()13131311633333333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪⎝⎭（当且仅当33a b b a =，即13,44a b ==时取“=”），所以131633a b --≤-.所以133--a b的“上确界”为163-.故选：D13．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））若关于x 的方程()13log 32-=-xa x 有解，则实数a 的取值范围为（）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[6,)+∞D ．(6,)+∞【答案】C解：因为方程()13log 32-=-xa x 有解，所以方程233x x a -=+有解，因为2936333-++≥==x x x x ，当且仅当933xx=，即1x =时，等号成立，所以实数a 的取值范围为[6,)+∞，故选：C14．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a ba b +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】A()()232111a b a b +=⇒-+-=因为12a >，1b >，所以210a ->，10b ->又221111112211211211a b a b a b a b a b -+-++=+=++------所以()()1111211211211a b a b a b ⎛⎫+=+-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭21122224121a b b a --=++≥++=--当且仅当23211121a b a b b a +=⎧⎪--⎨=⎪--⎩即34a =，32b =时，取等号所以21126211211a b a b a b +=++≥----故选：A。

专题一集合、常用逻辑用语与不等式考点1 集合题组一、选择题1. [2023新高考卷Ⅰ，5分]已知集合M={−2 ,−1 ,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N= ( C )A. {−2 ,−1 ,0,1}B. {0 ,1,2}C. {−2}D. {2}[解析]解法一因为N={x|x2−x−6≥0}={x|x≥3或x≤−2}，所以M∩N={−2}，故选C.解法二由于1∉N，所以1∉M∩N，排除A，B；由于2∉N，所以2∉M∩N，排除D.故选C．2. [2023新高考卷Ⅱ，5分]设集合A={0 ,−a} ,B={1 ,a−2 ,2a−2}，若A⊆B，则a= ( B )D. −1A. 2B. 1C. 23[解析]依题意，有a−2=0或2a−2=0.当a−2=0时，解得a=2，此时A={0,−2}，B={1,0,2}，不满足A⊆B；当2a−2=0时，解得a=1，此时A={0,−1}，B={−1,0,1}，满足A⊆B.所以a=1，故选B.3. [2023天津，5分]已知集合U={1 ,2,3,4,5} ,A={1 ,3} ,B={1 ,2,4}，则(∁U B)∪A= ( A )A. {1 ,3,5}B. {1 ,3}C. {1 ,2,4}D. {1 ,2,4,5}[解析]因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,4}，所以∁U B={3,5},又A={1,3}，所以(∁U B)∪A={1,3,5}.故选A.4. [2023全国卷甲，5分]设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1,k∈Z} ,N= {x|x=3k+2,k∈Z}，则∁U(M∪N)= ( A )A. {x|x=3k,k∈Z}B. {x|x=3k−1,k∈Z}C. {x|x=3k−2,k∈Z}D. ⌀[解析]解法一M={…,−2,1,4,7,10,…},N={…,−1,2,5,8,11,…}，所以M∪N= {…,−2，−1,1,2,4,5,7,8,10,11，…},所以∁U(M∪N)={…,−3,0,3,6,9,…}，其元素都是3的倍数,即∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}，故选A.解法二集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.5. [2023全国卷乙，5分]设集合U=R ,集合M={x|x<1} ,N={x|−1<x< 2} ,则{x|x≥2}= ( A )A. ∁U(M∪N)B. N∪∁U MC. ∁U(M∩N)D. M∪∁U N[解析]M∪N={x|x<2}，所以∁U(M∪N)={x|x≥2}，故选A.6. [2022浙江，4分]设集合A={1 ,2} ,B={2 ,4,6}，则A∪B= ( D )A. {2}B. {1 ,2}C. {2 ,4,6}D. {1 ,2,4,6}[解析]由集合并集的定义，得A∪B={1,2,4,6}，故选D．7. [2022新高考卷Ⅰ，5分]若集合M={x|√x<4} ,N={x|3x≥1} ,则M∩N= ( D )A. {x|0≤x<2}B. {x|13≤x<2} C. {x|3≤x<16} D. {x|13≤x<16}[解析]因为M={x|√x<4}，所以M={x|0≤x<16}；因为N={x|3x≥1}，所以N={x|x≥13}.所以M∩N={x|13≤x<16}，故选D．8. [2022新高考卷Ⅱ，5分]已知集合A={−1，1，2，4}，B={x||x−1|≤1}，则A∩B= ( B )A. {−1 ,2}B. {1 ,2}C. {1 ,4}D. {−1 ,4}[解析]由|x−1|≤1，得−1≤x−1≤1，解得0≤x≤2，所以B={x|0≤x≤2}，所以A∩B={1,2}，故选B.9. [2022北京，4分]已知全集U={x|−3<x<3}，集合A={x|−2<x≤1}，则∁U A= ( D )A. (−2,1]B. (−3,−2)∪[1,3)C. [−2,1)D. (−3 ,−2]∪(1,3)[解析]因为全集U=(−3,3)，A=(−2,1]，所以∁U A=(−3,−2]∪(1,3)，故选D.10. [2022全国卷乙，5分]设全集U={1 ,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1 ,3} ,则( A )A. 2∈MB. 3∈MC. 4∉MD. 5∉M[解析]由题意知M={2,4,5}，故选A.11. [2022全国卷甲，5分]设全集U ={−2 ，−1 ,0，1，2，3} ,集合A ={−1 ,2} ,B ={x|x 2 −4x +3=0} ,则∁U (A ∪B )= ( D )A. {1 ,3}B. {0 ,3}C. {−2 ,1}D. {−2 ,0}[解析]集合B ={1 ,3} ，所以A ∪B ={−1 ,1,2,3} ，所以∁U (A ∪B )={−2 ,0} .故选D .12. [2021新高考卷Ⅰ，5分]设集合A ={x|−2<x <4} ,B ={2 ,3,4,5} ，则A ∩B = ( B )A. {2}B. {2 ,3}C. {3 ,4}D. {2 ,3,4}[解析]因为A ={x|−2<x <4} ,B ={2 ,3,4,5} ，所以A ∩B ={2 ,3} ，故选B .13. [2021新高考卷Ⅱ，5分]若全集U ={1 ，2，3，4，5，6} ,集合A ={1 ，3，6} ，B ={2 ，3，4} ，则A ∩(∁U B )= ( B )A. {3}B. {1 ，6}C. {5 ，6}D. {1 ，3}[解析]因为∁U B ={1 ,5,6} ，A ={1 ,3,6} ，所以A ∩(∁U B )={1 ,6} .14. [2021全国卷甲，5分]设集合M ={x|0<x <4} ,N ={x|13≤x ≤5} ,则M ∩N = ( B )A. {x|0<x ≤13 }B. {x|13≤x <4}C. {x|4≤x <5}D. {x|0<x ≤5} [解析]M ∩N ={x|13≤x <4} .15. [2021全国卷乙，5分]已知集合S ={s|s =2n +1,n ∈Z } ,T ={t|t =4n +1,n ∈Z } ,则S ∩T = ( C )A. ⌀B. SC. TD. Z[解析]在集合T 中，令n =k (k ∈Z ) ，则t =4n +1=2(2k )+1(k ∈Z ) ，而集合S 中，s =2n +1(n ∈Z ) ，所以必有T ⫋S ，所以T ∩S =T ，故选C .【速解】 S ={… ,−3 ,−1 ,1,3,5,…} ，T ={… ,−3 ,1,5,…} ，观察可知，T ⫋S ，所以T ∩S =T ，故选C.16. [2020新高考卷Ⅰ，5分]设集合A ={x|1≤x ≤3} ,B ={x|2<x <4} ,则A ∪B = ( C )A. {x|2<x ≤3}B. {x|2≤x ≤3}C. {x|1≤x <4}D. {x|1<x <4}[解析]A ={x|1≤x ≤3} ，B ={x|2<x <4} ，则A ∪B ={x|1≤x <4} ，选C .【速解】因为1∈A={x|1≤x≤3} ,所以1∈A∪B .而选项A，B和D中的集合均没有元素1，故选C.17. [2020北京，4分]已知集合A={−1 ,0,1,2} ,B={x|0<x<3}，则A∩B= ( D )A. {−1 ,0,1}B. {0 ,1}C. {−1 ,1,2}D. {1 ,2}[解析]由题意得，A∩B={1,2},故选D.18. [2020全国卷Ⅰ，5分]设集合A={x|x2−4≤0} ,B={x|2x+a≤0} ,且A∩B={x|−2≤x≤1} ,则a= ( B )A. −4B. −2C. 2D. 4},因为A∩B={x|−2≤x≤[解析]易知A={x|−2≤x≤2}，B={x|x≤−a2=1，解得a=−2．故选B．1},所以−a219. [2020全国卷Ⅲ，5分]已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x} ,B={(x,y)|x+y=8} ,则A∩B中元素的个数为( C )A. 2B. 3C. 4D. 6[解析]由题意得，A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.20. [2020新高考卷Ⅰ，5分]某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( C )A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%[解析]不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%=100×60%+100×82%−x,解得x=46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.选C.21. [2020浙江，4分]设集合S ,T ,S⊆N∗，T⊆N∗ ,S ,T中至少有2个元素，且S ,T满足：①对于任意的x ,y∈S ,若x≠y，则xy∈T ;∈S .②对于任意的x ,y∈T ,若x<y ,则yx下列命题正确的是( A )A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素C. 若S有3个元素，则S∪T有5个元素D. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素[解析]①当S中有3个元素时，设S={a,b,c}，a<b<c，则{ab,bc,ac}⊆T，所以ba ∈S,cb∈S,ca∈S，当ca=c时，a=1，所以cb=b，即c=b2，此时S={1,b,b2},T={b,b2,b3}，所以S∪T={1,b,b2,b3}，有4个元素；当ca=b时，c=ab，所以ba=a，即b=a2(a≠1)，此时S={a,a2,a3},T={a3,a4，a5}或{a2,a3,a4,a5}或{a3，a4，a5，a6}，所以S∪T={a,a2,a3,a4,a5}或{a,a2,a3，a4，a5，a6}，有5个或6个元素.故排除C,D.②当S中有4个元素时，设S={a,b,c,d}，a<b<c<d，所以ab<ac<ad<bd<cd，且{ab,ac,ad,bd,cd}⊆T，所以acab <adab<bdab<cdab，且{ac ab ,adab,bdab,cdab}⊆S，所以acab=a,adab=b,bdab=c,cdab=d，所以b=a2,c=a3,d=a4(a≠1),此时S={a,a2,a3,a4},T={a3,a4,a5,a6,a7},所以S∪T= {a,a2,a3,a4,a5,a6,a7},有7个元素，故选A.【速解】当S={1 ,2,4}，T={2 ,4,8}时，S∪T={1 ,2,4,8}，故C错误；当S={2 ,4,8}，T={8 ,16,32}时，S∪T={2 ,4,8,16,32}，故D错误；当S= {2 ,4,8,16}，T={8 ,16,32,64,128}时，S∪T={2 ,4,8,16,32,64,128}，故B错误.故选A.22. [2019全国卷Ⅲ，5分]已知集合A={−1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B= ( A )A. {−1，0，1}B. {0，1}C. {−1，1}D. {0，1，2} [解析]集合B={x|−1≤x≤1},则A∩B={−1,0,1}.23. [2019全国卷Ⅰ，5分]已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N= ( C )A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x< 2}D. {x|2<x<3}[解析]解法一∵N={x|−2<x<3},M={x|−4<x<2}，∴M∩N={x|−2<x<2}，故选C．解法二由(M∩N)⊆M可排除A,D.由1∈M,1∈N,知1∈(M∩N)，排除B,选C．【方法技巧】求解集合的基本运算问题的方法（1）直接法：离散数集的运算借助韦恩图，连续数集的运算借助数轴；（2）间接法：根据集合的定义进行取值验证即可.24. [2019天津，5分]设集合A={−1，1，2，3，5}，B={2，3，4}，C= {x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B= ( D )A. {2}B. {2，3}C. {−1，2，3}D. {1，2，3，4} [解析]由条件可得A∩C={1,2},故(A∩C)∪B={1,2,3,4}.25. [2019全国卷Ⅲ，5分]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( C )A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8[解析]解法一根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：=所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为701000.7.解法二设事件A表示随机从这100位被调查的学生中选择1名学生，该学生阅读过《红楼梦》；事件B表示随机从这100位被调查的学生中选择1名学生，该学生阅读过《西游记》.根据题设知，P(A∪B)=0.9,P(A)=0.8,P(A∩B)=0.6,可得P(B)=P(A∪B)−P(A)+P(A∩B)=0.7.则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 0.7.选C.二、填空题26. [2020江苏，5分]已知集合A={−1 ,0,1,2}，B={0 ,2,3}，则A∩B= {0,2} .[解析]由交集的定义可得A∩B={0,2}.27. [2019江苏，5分]已知集合A={−1，0，1，6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B={1,6} .[解析]由交集定义可得A∩B={1,6}.考点2 常用逻辑用语题组选择题1. [2023天津，5分]“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的( B )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件[解析]因为“a2=b2”⇔“a=−b或a=b”，“a2+b2=2ab”⇔“a= b”，所以本题可以转化为判断“a=−b或a=b”与“a=b”的关系，又“a=−b或a=b”是“a=b”的必要不充分条件，所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.2. [2023全国卷甲，5分]设甲:sin2α+sin2β=1 ,乙:sin α+cos β=0 ,则( B )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]甲等价于sin2α=1−sin2β=cos2β，等价于sin α=±cos β，所以由甲不能推导出sin α+cos β=0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α+cos β= 0，得sin α=−cos β，平方可得sin2α=cos2β=1−sin2β，即sin2α+sin2β=1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.3. [2023新高考卷Ⅰ，5分]设S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数}为等差数列.则( C )列；乙：{S nnA. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]若{a n}为等差数列，设其公差为d，则a n=a1+(n−1)d，所以S n=na1+n(n−1)2d，所以S nn=a1+(n−1)⋅d2，所以S n+1n+1−S nn=a1+(n+1−1)⋅d 2−[a1+(n−1)⋅d2]=d2，为常数，（等差数列的定义）所以{S nn }为等差数列，即甲⇒乙；若{S nn}为等差数列，设其公差为t，则S nn=S11+(n−1)t=a1+(n−1)t，所以S n=na1+n(n−1)t，所以当n≥2时，a n=S n−S n−1=na1+n(n−1)t−[(n−1)a1+(n−1)(n−2)t]=a1+2(n−1)t，当n=1时，S1=a1也满足上式，所以a n=a1+2(n−1)t(n∈N∗)，所以a n+1−a n=a1+2(n+1−1)t−[a1+2(n−1)t]=2t，为常数，所以{a n}为等差数列，即甲⇐乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.4. [2022天津，5分]“x是整数”是“2x+1是整数”的( A )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]若x是整数，则2x+1是整数；当x=12时，2x+1是整数，但x不是整数.所以“x是整数”是“2x+1是整数”的充分不必要条件，故选A.5. [2022浙江，4分]设x∈R，则“sin x=1”是“cos x=0”的( A )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]由sin x=1，得x=2kπ+π2(k∈Z)，则cos (2kπ+π2)=cosπ2=0，故充分性成立；又由cos x=0，得x=kπ+π2(k∈Z)，而sin(kπ+π2)=1或−1，故必要性不成立.所以“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件,故选A．【方法技巧】定义法是判断充分条件与必要条件最基本、最常用的方法，解题要点如下：①分清条件与结论(p与q)，②判断“若p ,则q”及“若q ,则p”的真假，③下结论，{p⇒q,q⇏ p⇔p是q的充分不必要条件；{p⇏ q,q⇒p⇔p是q的必要不充分条件；{p ⇒q,q ⇒p ⇔p 是q 的充要条件；{p ⇏ q,q ⇏ p ⇔p 是q 的既不充分也不必要条件．6. [2022北京，4分]设{a n } 是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n } 为递增数列”是“存在正整数N 0 ，当n >N 0 时,a n >0 ”的( C )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]设无穷等差数列{a n } 的公差为d (d ≠0) ，则a n =a 1+(n −1)d =dn +a 1−d ，若{a n } 为递增数列，则d >0 ，则存在正整数N 0 ，使得当n >N 0 时，a n =dn +a 1−d >0 ，所以充分性成立；若存在正整数N 0 ，使得当n >N 0 时，a n =dn +a 1−d >0 ，即d >d−a 1n 对任意的n >N 0 ，n ∈N ∗ 均成立，由于n →+∞ 时，d−a 1n →0 ，且d ≠0 ，所以d >0 ,{a n } 为递增数列，必要性成立.故选C .7. [2021北京，4分]设函数f (x ) 的定义域为[0,1] ，则“函数f (x ) 在[0,1] 上单调递增”是“函数f (x ) 在[0,1] 上的最大值为f (1) ”的( A )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 [解析]设p: 函数f (x ) 在[0,1] 上单调递增，q: 函数f (x ) 在[0,1] 上的最大值为f (1) ，由单调性的定义可知，p ⇒q 成立，而q ⇒p 不成立，举反例如图所示，所以p 是q 的充分而不必要条件，选A .8. [2021浙江，4分]已知非零向量a ,b ,c ,则“a ⋅c =b ⋅c ”是“a =b ”的( B )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]由a⋅c=b⋅c可得(a−b)⋅c=0，所以(a−b)⊥c或a=b，所以“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的必要不充分条件.故选B.9. [2021全国卷甲，5分]等比数列{a n}的公比为q ,前n项和为S n .设甲：q> 0，乙：{S n}是递增数列，则( B )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]当a1<0,q>1时，a n=a1q n−1<0，此时数列{S n}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S n}递增时，有S n+1−S n=a n+1=a1q n>0，若a1> 0，则q n>0(n∈N∗)，即q>0；若a1<0，则q n<0(n∈N∗)，不存在.所以甲是乙的必要条件.故选B.10. [2020天津，5分]设a∈R ,则“a>1”是“a2>a”的( A )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.11. [2020北京，4分]已知α，β∈R ,则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sin α=sin β”的( C )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]若存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ，则当k=2n,n∈Z时，α=2nπ+β，则sin α=sin(2nπ+β)=sin β；当k=2n+1,n∈Z时，α=(2n+1)π−β，则sin α=sin(2nπ+π−β)=sin(π−β)=sin β .若sin α= sin β，则α=2nπ+β或α=2nπ+π−β，n∈Z,即α=kπ+(−1)kβ，k∈Z，故选C.12. [2020浙江，4分]已知空间中不过同一点的三条直线l ,m ,n .“l ,m ,n共面”是“l ,m ,n两两相交”的( B )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]m,n，l在同一平面内，可能有m,n,l两两平行，所以m,n,l可能没有公共点，所以不能推出m,n，l两两相交.由m,n,l两两相交且m,n,l不经过同一点，可设l∩m=A,l∩n=B,m∩n=C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B,C∈n，所以B,C∈α，所以l,m⊂α，所以m,n,l在同一平面内.故选B.13. [2019天津，5分]设x∈R，则“x2−5x<0”是“|x−1|<1”的( B )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]由x2−5x<0可得0<x<5.由|x−1|<1可得0<x<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集,故“x2−5x<0”是“|x−1|<1”的必要而不充分条件.【方法技巧】对于判断充分必要条件的问题,可以借助集合之间的包含关系进行,例如,本题先通过求不等式的解集,再根据区间(0,2)是(0,5)的真子集即可得出结论.14. [2019浙江，4分]设a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的( A )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]因为a>0,b>0，所以a+b≥2√ab，由a+b≤4可得2√ab≤4，解，满足ab≤4，但得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a=8,b=13a+b>4，所以必要性不成立.所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.15. [2019北京，5分]设函数f(x)=cos x+bsin x（b为常数）,则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( C )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]b=0时，f(x)=cos x，显然f(x)为偶函数，充分性成立；f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，即cos(−x)+bsin(−x)=cos x+bsin x，又cos(−x)=cos x,sin(−x)=−sin x，所以cos x−bsin x=cos x+bsin x，则2bsin x =0 对任意x ∈R 恒成立，得b =0 ，因此必要性也成立.因此“b =0 ”是“f (x ) 为偶函数”的充分必要条件，故选C .16. [2019北京，5分]设点A ，B ，C 不共线，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | ”的( C ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]如图，在平行四边形ABDC 中，易知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ | .当∠CAB =90∘ 时，|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | ;当∠CAB <90∘ 时，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |（如图中平行四边形ACD′B′ ）；同理可得，当∠CAB >90∘ 时，|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |<|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.∴ “AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | ”的充分必要条件，故选C . 考点3 不等式的性质与解法、基本不等式题组一、选择题1. [2022全国卷甲，5分]已知a =3132 ,b =cos 14 ,c =4sin 14 ,则( A ) A. c >b >aB. b >a >cC. a >b >cD. a >c >b[解析]因为b =cos 14=1−2sin 218 ，所以b −a =1−2sin 218−3132=132−2sin 218=2(164−sin 218) .由x >sin x (x >0) ，得18>sin 18 ，得164>sin 218 ，所以b >a .因为cb =4sin14cos14=4tan 14 ，由tan x >x (x >0) 得tan 14>14 ，即4tan 14>1 ，所以cb >1(b >0) ，即c >b .综上c >b >a . 2. [2021全国卷乙，5分]下列函数中最小值为4的是( C ) A. y =x 2+2x +4 B. y =|sin x |+4|sin x | C. y =2x +22−xD. y =ln x +4ln x[解析]选项A ：因为y =x 2+2x +4=(x +1)2+3 ，所以当x =−1 时，y 取得最小值，且y min =3 ，所以选项A 不符合题意.选项B：因为y=|sin x|+4|sin x|≥2√|sin x|⋅4|sin x|=4，所以y≥4，当且仅当|sin x|=4|sin x|，即|sin x|=2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|=2不可能成立，（易错警示：利用基本不等式求最值时，必须关注“等号”能否取到）因此可知y>4，所以选项B不符合题意.选项B另解设|sin x|=t,则t∈(0,1]，根据函数y=t+4t在(0,1]上单调递减可得y min=1+41=5，（难点突破：“换元”，构造函数，灵活运用对勾函数的单调性）所以选项B不符合题意.选项C：因为y=2x+22−x≥2√2x⋅22−x=4，当且仅当2x=22−x，即x= 2−x，x=1时不等式取等号，所以y min=4，所以选项C符合题意.选项D：当0<x<1时，ln x<0，y=ln x+4ln x<0，所以选项D不符合题意.（易错警示：只有当x>1，即ln x>0时，才有y=ln x+4ln x≥2√ln x⋅4ln x =4，当且仅当ln x=4ln x，即ln x=2，x=e2时不等式取等号，此时y min=4）故选C.3. [2021浙江，4分]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于12的个数的最大值是( C )A. 0B. 1C. 2D. 3[解析]因为α ,β ,γ是互不相同的锐角，所以sin α，cos β ,sin β，cos γ ,sin γ，cos α均为正数.由基本不等式可知sin αcos β≤sin2α+cos2β2，sin βcos γ≤sin2β+cos2γ2，sin γcos α≤sin2γ+cos2α2.三式相加可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤32，当且仅当sin α=cos β ,sin β=cos γ ,sin γ=cos α，即α=β=γ=π4时取等号.因为α ,β ,γ是互不相同的锐角，所以sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α<32，所以这三个值不会都大于12.若取α=π6,β=π3,γ=π4，则sinπ6cosπ3=12×12=14<12，sinπ3cosπ4=√32×√22=√64>24=1 2，sinπ4cosπ6=√22×√32=√64>12，所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.【方法技巧】解决本题的关键在于利用基本不等式得到这三个值不会都大于1 2，再利用赋值法确定这三个值中可能存在两个值大于12，由此确定结论.4. [2020北京，4分]已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是( D )A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)[解析]函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集即2x>x+1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x ,y=x+1的图象，如图所示，结合图象易得2x>x+1的解集为(−∞,0)∪(1,+∞)，故选D .5. [2022新高考卷Ⅱ，5分]（多选题）若x ,y满足x2+y2−xy=1，则( BC )A. x+y≤1B. x+y≥−2C. x2+y2≤2D. x2+y2≥1 [解析]由题意得，x2+y2=xy+1 .因为x2+y2≥2xy，所以xy+1≥2xy，所以xy≤1，所以x2+y2≤2，当且仅当x=y时等号成立，故C正确.因为(x+y)2=x2+y2+2xy=3xy+1≤4，所以|x+y|≤2，所以−2≤x+y≤2，故B正确.故选BC .6. [2020新高考卷Ⅰ，5分]（多选题）已知a>0 ,b>0 ,且a+b=1 ,则( ABD )A. a2+b2≥12B. 2a−b>12C. log2a+log2b≥−2D. √a+√b≤√2[解析]对于选项A，∵a2+b2≥2ab ,∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1 ,∴a2+b2≥12，A正确；对于选项B，易知0<a<1 ,0<b<1 ,∴−1<a−b<1 ,∴2a−b>2−1=12，B正确；对于选项C，令a=14,b=34,则log 214+log 234=−2+log 234<−2 ，C 错误；对于选项D ,∵√2=√2(a +b ) ,∴[√2(a +b )]2−(√a +√b)2=a +b −2√ab =(√a −√b)2≥0 ,∴√a +√b ≤√2 ,D 正确.故选ABD . 【拓展结论】 21a +1b≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 22（a >0 ,b >0 ，当且仅当a =b 时取等号）.二、填空题7. [2020天津，5分]已知a >0 ，b >0 ，且ab =1 ，则12a +12b +8a+b 的最小值为4.[解析]依题意得12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4 ，当且仅当{ a >0,b >0,ab =1,a+b 2=8a+b , 即{ab =1,a +b =4 时取等号.因此12a +12b +8a+b 的最小值为4.【方法技巧】利用基本不等式证明不等式或求最值时，若满足“一正、二定、三相等”，则直接应用基本不等式；若不满足基本不等式条件，则需要创造条件，如构造“1”的代换，对不等式进行分拆、组合、添加系数等使之转化为可用基本不等式的形式.若多次使用基本不等式，一定要注意是否每次使用都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错.若可用基本不等式，但等号不成立，则一般利用函数单调性求解.8. [2020江苏，5分]已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R ) ，则x 2+y 2 的最小值是45 . [解析]解法一 由5x 2y 2+y 4=1 得x 2=15y 2−y 25，则x 2+y 2=15y 2+4y 25≥2√15y 2⋅4y 25=45 ，当且仅当15y 2=4y 25,即y 2=12 时取等号，则x 2+y 2 的最小值是45.解法二 4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2 ，则x 2+y 2≥45 ，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2 ，即x 2=310 ,y 2=12时取等号，则x 2+y 2的最小值是45 .9. [2019天津，5分]设x>0，y>0，x+2y=5，则√xy的最小值为4√3 .[解析]√xy =√xy=√xy=2√xy+√xy.由x+2y=5得5≥2√2xy,即√xy≤5√24,即xy≤258,当且仅当x=2y=52时等号成立.2√xy+√xy≥2√2√xy⋅√xy =4√3,当且仅当2√xy=√xy,即xy=3时取等号,结合xy≤258可知,xy可以取到3,故√xy的最小值为4√3.10. [2019北京，5分]李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% .①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付130元;[解析]顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60+80=140（元），又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元.②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为15.[解析]设顾客一次购买的水果总价为m元.由题意易知，当0<m<120时,x=0,当m≥120时,(m−x)×80%≥m×70%，得x≤m8对任意m≥120恒成立,又m8≥15,所以x的最大值为15.。

第01讲 集合的概念模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．通过实例了解集合的含义；2．理解集合中元素的特征；3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.知识点 1 集合的含义1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示．3、对集合概念的理解：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．知识点 2 元素与集合1、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，读作a 属于A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ，读作a 不属于A ．【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合．例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。

集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式[时间120分钟，满分150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·吉安模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{1,5}，则A ∩(∁U B )等于A ．{2,4}B ．{1,2,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析 ∁U B ＝{2,3,4}，所以A ∩(∁U B )＝{2,4}，选A. 答案 A2．(2013·潮州一模)集合A ＝{x ||x －2|≤2}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则A ∩B 等于 A ．RB ．{x |x ≠0}C ．{0}D ．∅解析 A ＝[0,4]，B ＝[－4,0]，所以A ∩B ＝{0}． 答案 C3．(2013·烟台一模)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为A.12B ．－12C ．2D ．－2解析 设幂函数为f (x )＝x a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，解得a ＝12，所以f (x )＝x ，所以f (2)＝2，即log 2f (2)＝log 22＝12，选A. 答案 A4．函数f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域为 A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，1)∪(0，＋∞)解析 x －1＋1＝1x ＋1≠1，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)≠log 21＝0，即y ≠0，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域是 (－∞，0)∪(0，＋∞)，选C. 答案 C5．(2013·青浦模拟)对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是 A ．逆命题为“单调函数不是周期函数” B ．否命题为“周期函数是单调函数” C ．逆否命题为“单调函数是周期函数” D ．以上三者都不对解析 周期函数不是单调函数得逆命题为“不是单调函数的函数，就是周期函数”，A 错．否命题为“不是周期函数的函数是单调函数”，B 错．逆否命题为“单调函数不是周期函数”，C 错，所以选D.答案 D6．(2013·铁岭模拟)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是 A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab ＞2D.b a ＜1解析 由1a ＜1b ＜0可知，b ＜a ＜0，所以ba ＞1，选D. 答案 D7．设a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＝1，b ＝3，A ＝30°，由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝32，a ＜b ，B ＝60°或B ＝120°，反之，a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则sin A ＝a b sin B ＝12，a ＜b ，A ＝30°，故选B.答案 B8．在坐标平面内，点的纵、横坐标都是整数时，称该点为整点．则由不等式⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的区域内整点的个数是A ．1B ．3C ．9D ．6解析 本题考查了线性规划的基本知识，根据线性约束条件画出可行域是关键． 答案 C9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋2，x ≤0，ln x ， x ＞0，若k ＞0，则函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是A ．1B ．4C ．3D ．2解析 由y ＝|f (x )|－1＝0，得|f (x )|＝1.若x ＞0， 则|f (x )|＝|ln x |＝1，所以ln x ＝1或ln x ＝－1，解得x ＝e 或x ＝1e .若x ≤0，则|f (x )|＝|kx ＋2|＝1，所以kx ＋2＝1或kx ＋2＝－1，解得x ＝－1k ＜0或x ＝－3k ＜0成立，所以函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是4个，选B.答案 B10．(2013·济南一模)设a ＝⎠⎛121x d x ，b ＝⎠⎛131x d x ，c ＝⎠⎛151x d x ，则下列关系式成立的是A.a 2＜b 3＜c5 B.b 3＜a 2＜c 5 C.c 5＜a 2＜b 3D.a 2＜c 5＜b 3解析 a ＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2，b ＝⎠⎛131x d x ＝ln x |31＝ln 3，c ＝⎠⎛151x d x ＝ln x |51＝ln 5，所以a 2＝ln 22＝ln 2，b 3＝ln 33＝ln 33，c 5＝ln 55＝ln 55.因为(2)6＝23＝8，(33)6＝32＝9，所以2＜33.(2)10＝25＝32，(55)10＝52＝25，所以55＜2，即55＜2＜33，所以c 5＜a 2＜b3，选C.答案 C11．(2013·黄浦模拟)若f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论： ①y ＝|f (x )|是偶函数；②对任意的x ∈R 都有f (－x )＋|f (x )|＝0；③y ＝f (－x )在(－∞，0]上单调递增；④y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4解析 取f (x )＝x 3，x ＝－1，则f (－x )＋|f (x )|＝f (1)＋|f (－1)|＝2≠0，故②错．又f (－x )＝－x 3在(－∞，0]上单调递减，故③错．对于①，设x ∈R ，则|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|⇒y ＝|f (x )|是偶函数，所以①对；对于④，设x 1＜x 2≤0，则－x 1＞－x 2≥0，∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (－x 1)＞f (－x 2)≥f (0)＝0⇒f 2(－x 1)＞f 2(－x 2)⇒f 2(x 1)＞f 2(x 2)，∴f (x 1)f (－x 1)＝－f 2(x 1)＜－f 2(x 2)＝f (x 2)f (－x 2)⇒y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增，故④对．所以选B.答案 B12．(2013·临沂一模)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y＝e x －2}．其中是“垂直对点集”的序号是 A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析 ①y ＝1x 是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“垂直对点集”的定义；对任意(x 1，y 1)∈M ，在另一支上也不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}，如图在曲线上，两点构成的直角始终存在，所以M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}是“垂直对点集”．对于③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，如图取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}，如图在曲线上两点构成的直角始终存在，满足“垂直对点集”的定义，故正确．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如果不等式5－x ＞7|x ＋1|和不等式ax 2＋bx －2＞0有相同的解集，则a ＋b ＝________. 解析 由不等式5－x ＞7|x ＋1|可知5－x ＞0，两边平方得(5－x )2＞49(x ＋1)2，整理得4x 2＋9x ＋2＜0，即－4x 2－9x －2＞0. 又两不等式的解集相同，所以可得a ＝－4，b ＝－9， 则a ＋b ＝－13. 答案 －1314．(2013·顺义模拟)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (2x )＞2的解集为________．解析 因为函数为定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，且函数在(0，＋∞)上递增．所以由f (2x )＞2得2x ＞12，即x ＞－1， 所以不等式f (2x )＞2的解集为(－1，＋∞)． 答案 (－1，＋∞)15．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2.作出不等式组对应的平面区域，如图，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋z 2经过点F 时，直线y ＝－12x ＋z2的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧ x －y ＋2＝02x －y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝7y ＝9，即F (7,9)，代入z ＝x ＋2y 得z ＝x ＋2y ＝7＋2×9＝25.答案 2516．(2013·德州一模)已知锐角α，β满足3tan α＝tan(α＋β)，则tan β的最大值为________． 解析 tan β＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝2tan α1＋3tan 2α，即tan β＝21tan α＋3tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0.所以tan β＝21tan α＋3tan α≤221tan α·3tan α＝33，当且仅当1tan α＝3tan α，即tan 2α＝13，tan α＝33时，取等号，所以tan β的最大值是33. 答案 33三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |(x －3)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1，或x ＞3}， B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a ＜y ≤4－a }．(5分) (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴4－a ＜－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a ＞5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．(10分)18．(12分)设命题p ：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立；若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．解析 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是增函数，由于该函数是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝m ，所以m ≤1；因为a ∈[－1,1]，(3分)由根与系数关系知 |x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3，所以m 2＋5m －3≥3，解得m ≥1，或m ≤－6，(6分) 若(綈p )∧q 为真命题，则p 是假命题，q 是真命题，(8分) 故⎩⎨⎧m ＞1m ≥1，或m ≤－6，即m ＞1.(11分) 所以使(綈p )∧q 为真的实数m 的取值范围是m ＞1.(12分)19．(12分)(2013·宝山模拟)已知函数f (x )＝log 2(4x ＋b ·2x ＋4)，g (x )＝x . (1)当b ＝－5时，求f (x )的定义域； (2)若f (x )＞g (x )恒成立，求b 的取值范围． 解析 (1)由4x －5·2x ＋4＞0，即(2x －1)(2x －4)＞0， 所以2x ＜1，或2x ＞4，解得f (x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(5分) (2)由f (x )＞g (x )得4x ＋b ·2x ＋4＞2x ， 即b ＞1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x .令h (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x ，因为2x＋42x ≥22x·42x ＝4，当且仅当2x ＝42x ，即x ＝1时等号成立，则h (x )≤－3，∴当b ＞－3时，f (x )＞g (x )恒成立．(12分)20．(12分)(2013·马鞍山模拟)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f (x )＋ax ，求函数y ＝g (x )的单调区间．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －1x －2ln x ，则f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝0.(5分)(2)由条件知g (x )＝ax －2ln x ， 则函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ，(i)当a ≤0时，g ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数y ＝g (x )的单调区间为(0，＋∞)； (ii)当a ＞0时，由g ′(x )＞0，得x ＞2a ， 由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a .(12分)21．(12分)某工厂生产A 、B 两种配套产品，其中每天生产x 吨A 产品，需生产x ＋2吨B 产品，已知生产A 产品的成本与产量的平方成正比，经测算，生产1吨A 产品需要4万元，而B 产品的成本为每吨8万元．(1)求生产A 、B 两种配套产品的平均成本的最小值；(2)若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A 产品的产量x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A 产品多少吨，才可使平均成本最低．解析 (1)因为生产A 产品的成本与产量的平方成正比，则生产x 吨A 产品需t ＝kx 2万元，又当x ＝1时，t ＝4，所以k ＝4，故t ＝4x 2，(2分)设生产A 、B 两种产品的平均成本为y ，据题意有 y ＝4x 2＋8(x ＋2)x ＋x ＋2＝4x 2＋8x ＋162x ＋2＝2x 2＋4x ＋8x ＋1＝(2x 2＋2x )＋(2x ＋2)＋6x ＋1＝2x ＋6x ＋1＋6＝2(x ＋1)＋6x ＋1＋4≥22(x ＋1)×6x ＋1＋4 ＝43＋4， 当且仅当2(x ＋1)＝6x ＋1，即x ＝3－1时，等号成立．(6分)(2)由(1)知，生产A 、B 两种产品的平均成本为 y ＝2x ＋6x ＋1＋6，则y ′＝2－6(x ＋1)2，(7分) 令y ′＞0，解得x ＞3－1，令y ′＜0，解得x ＜3－1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]，所以函数y ＝2x ＋6x ＋1＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递减，在[2,8]上单调递增，当x ＝12时，y ＝11，当x ＝2时，y ＝12.(11分)所以该工厂应生产A 产品12吨，才可使平均成本最低，为11万元．(12分)22．(12分)(2012·山东)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2. 解析 (1)由f (x )＝ln x ＋ke x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(3分)(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0. 又e x ＞0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(8分) (3)证明 因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e－2等价于1－x －x ln x ＜e xx ＋1(1＋e －2)．由(2)知h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，φ(x)＞φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)＞0，即e xx＋1＞1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2＜e xx＋1(1＋e－2)．因此对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.(12分)。

集合、逻辑、不等式、函数、三角函数一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+2x ﹣3＞0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：解不等式|x ﹣2|＜1，得1＜x ＜3；解不等式x 2+2x ﹣3＞0，得x ＜﹣3或x ＞1．设集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |x ＜﹣3或x ＞1}． 充分性：因为A ⊂B ，故充分性成立；必要性：当x ＜﹣3或x ＞1时，1＜x ＜3不一定成立，故必要性不成立； 综上“|x ﹣2|＜1”是“x 2+2x ﹣3＞0”的充分不必要条件． 故选：A ．2．设集合A ＝{x |y ＝x －1 }，B ＝{y |y ＝2x ＋2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥2}D ．{x |x >2}2．解析：由题意可知x －1≥0⇒A ＝[1，＋∞)，而y ＝2x ＋2>2⇒B ＝(2，＋∞)，所以A ∪B ＝[1，＋∞).故选B.答案：B3．设a ＝log 23，b ＝32，c ＝log 0.20.3，则( )A ．b >a >cB ．b >c >aC ．a >b >cD ．a >c >b3．解析：由于1<b ＝32 ＝log 2232 ＝log 222 <log 23＝a ，且c ＝log 0.20.3<log 0.20.2＝1，故a >b >c ，故选C.答案：C4．函数()2e e 1xx f x =-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】求出函数()f x 的定义域，探讨其奇偶性，再结合0x >时函数值为正即可判断作答.【详解】由2e 10x -≠，得0x ≠，即函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 显然1()e e x x f x -=-，1()()e ex xf x f x --==--，即函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，AB 不满足； 当0x >时，2e 1,e 1x x >>，于是()0f x >，其图象在第一象限，C 不满足，D 满足. 故选：D5．设0<θ<π2，若(sin θ＋cos θ)2＋3 cos 2θ＝3，则sin 2θ＝( )A ．32 B ．12 C ．22 D ．345．解析：由题意(sin θ＋cos θ)2＋3 cos 2θ＝3，则1＋2sin θcos θ＋3 cos 2θ＝3，即sin 2θ＋3 cos 2θ＝2，故2sin (2θ＋π3 )＝2，即sin (2θ＋π3 )＝1，由于0<θ<π2 ，所以2θ＋π3 ∈(π3 ，4π3)，则2θ＋π3 ＝π2 ，即θ＝π12 ，故sin 2θ＝sin π6 ＝12 ，故选B.答案：B6．设函数3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ<<时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. 1(,1]2B.1(,1)2C. [1,)+∞D.(,1]-∞【答案】D【解析】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，又11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--，故选D.7．若340tan 140sin =- λ，则实数λ的值为A. 2-B. 2 C, 3 D.4 答案：D440cos 40sin 100sin 240cos 40sin 40cos 340sin 40sin 340tan ==+=+=λ8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，x ≤0，（x －2）2，x >0，则函数g (x )＝[f (x )]2－f [f (x )]的所有零点之和为( ) A ．2 B ．3 C ．0 D ．18．解析：由函数g (x )＝[f (x )]2－f [f (x )]，令t ＝f (x )，则g (x )＝[f (x )]2－f [f (x )]＝0，可得t 2＝f (t )， 当t >0时，由t 2＝f (t )，可得t 2＝(t －2)2，即－4t ＋4＝0，解得t ＝1；当t <0时，由t 2＝f (t )，可得t 2＝2t ＋3，即t 2－2t －3＝0，解得t ＝－1或t ＝3(舍去)，所以t ＝±1，即f (x )＝±1，当x >0时，令(x －2)2＝1或(x －2)2＝－1(舍去)，解得x ＝1或x ＝3； 当x <0时，令2x ＋3＝±1，解得x ＝－1或x ＝－2，所以函数g (x )＝[f (x )]2－f [f (x )]的零点之和为1＋3－1－2＝1.故选D. 答案：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知a ，b ∈R ，则下列叙述中正确的是( )A ．若a >b ，则1a <1bB ．若a －|b |>0，则a ＋b >0C ．“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件D ．命题“∈a ≥1，a 2－1≥0”的否定是“∈a <1，a 2－1<0”9．解析：对A ，当a ＝1，b ＝－1时，1a <1b不成立，故A 错误；对B ，因为a －|b |>0，即a >|b |，所以－a <b <a ，所以0<a ＋b <2a ，故B 正确；对C ，当a >1时，a 2－a ＝a (a －1)>0，所以a 2>a ，故充分性成立；当a 2>a ，即a <0或a >1，故a >1不一定成立，故必要性不成立，所以“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件，故C 正确；对D ，命题“∈a ≥1，a 2－1≥0”的否定是“∈a ≥1，a 2－1<0”，故D 错误．故选BC.答案：BC10．已知函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A.f (x )的最小正周期为πB ．φ＝π3C ．将曲线y ＝f (x )向右平移π12 个单位长度后得到的图象关于y 轴对称D ．若f (x )在区间(－a ，a )上单调递增，则0<a ≤π610．解析：由于T 4 ＝11π12 －2π3 ＝π2ω，故ω＝2，T ＝π，A 正确；由于A ＝2，则f (x )＝2cos (2x ＋φ)，故f (2π3 )＝2cos (4π3 ＋φ)＝－2，即4π3 ＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，∴φ＝2kπ－π3，k ∈Z ，而|φ|<π2 ，故φ＝－π3 ，B 错误；由于f (x )＝2cos (2x －π3)，故将曲线y ＝f (x )向右平移π12 个单位长度后得到g (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π12）－π3 ＝2cos (2x －π2 )＝2sin 2x的图象，该图象关于原点对称，不关于y 轴对称，C 错误；当x ∈(－π3 ，π6 )时，2x －π3 ∈(－π，0)，当x ∈(π6 ，2π3)时，2x －π3∈(0，π).由于y ＝cos x 在(－π，0)上单调递增，在(0，π)上单调递减，故f (x )＝2cos (2x －π3 )在(－π3 ，π6 )上单调递增，在(π6 ，2π3 )上单调递减，故由f (x )在区间(－a ，a )上单调递增，得0<a ≤π6，D 正确．故选AD.答案：AD11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x －1)＋f (x )＋f (x ＋1)＝0，则( )A ．f (x )的一个周期为3B ．f (x )的图象关于直线x ＝32对称C ．f (1)＝0D ．∑=20221)(k k f ＝011．解析：由题意可知f (x －1)＋f (x )＋f (x ＋1)＝0∈f (x )＋f (x ＋1)＋f (x ＋2)＝0，所以f (x －1)＝f (x ＋2)∈f (x )＝f (x ＋3)，即f (x )的一个周期为3，故A 正确；因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝f (－x ＋3)＝－f (x )∈f (x )＋f (－x ＋3)＝0，即f (x )的图象关于(32，0)对称，故B 错误；由上f (x )＋f (－x ＋3)＝0∈f (1)＋f (2)＝0，但不能确定f (1)、f (2)的大小，故C 错误；由上有∑=20221)(k k f ＝2 0223 ×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＝0，故D 正确．故选AD .答案：AD[答题区]12．已知tan α＝2，则cos(2α+π2)= ．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解． 解：∵tan α＝2， ∴cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosαsin 2α+cos 2α=−2tanα1+tan 2α=−2×21+4=−45． 故答案为：−45．13．写出同时满足如下三个条件的一个函数解析式f (x )＝________．①f (x )为偶函数；②f (x )的定义域为R ；③f (x )的值域为[0，1].13．解析：由于f (x )的定义域为R ，值域为[0，1]，故可联想到三角函数，又因为f (x )为偶函数，结合三角函数性质得：函数f (x )可以为|sin x |、|cos x |等． 答案：|sin x |(答案不唯一) 14.已知正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝1，则)214(214bb a a ++）（的最小值为________． 14．解析：因为正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝1，故0<ab ≤a 2＋b 22＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故(4a ＋12a )(4b ＋12b )＝16ab ＋14ab ＋2a b ＋2b a＝16ab ＋14ab ＋2（a 2＋b 2）ab ＝16ab ＋94ab≥216ab ·94ab＝12，当且仅当16ab ＝94ab ，即ab ＝38 时取等号，符合题意，故(4a ＋12a )(4b ＋12b )的最小值为12.答案：12四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中0ab ≠．（1）若1b =，是否存在实数a 使得函数()f x 为偶函数，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； （2）若34x π=为函数()f x 的对称轴，求函数()f x 的单调增区间． 【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）0a >时，单调增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，0a <时，单调增区间是372,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 【解析】（1）当1b =时，()sin cos f x a x x =+若存在实数a 使得函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立， 即()()sin cos sin cos a x x a x x -+-=+恒成立， 整理得sin 0a x =恒成立，所以0a =，与0ab ≠矛盾， 故不存在；（2）结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，又由辅助角公式知()f x 的最值为所以3422f a π⎛⎫=-=⎪⎝⎭两边平方，得22221122a b ab a b +-=+，所以2211022a b ab ++=， 即()2102a b +=，所以=-b a ，所以()()sin cos sin 4f x a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0a >时，令22242k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得32244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以单调增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 当0a <时，令322242k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈， 解得372244k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以单调增区间是372,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 16.（15分）函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()33y f x =+为偶函数，()32y g x =++为奇函数，对x ∀∈R ，均有()()21f x g x x +=+，求()f x 和()g x【分析】由题意可以推出()()6f x f x =-，()()46g x g x =---，再结合()()21f x g x x +=+可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【详解】由函数()33f x +为偶函数，则()()3333f x f x +=-，即函数()f x 关于直线3x =对称，故()()6f x f x =-； 由函数()32g x ++为奇函数，则()()3232g x g x ++=--+-，整理可得()()334g x g x ++-+=-，即函数()g x 关于()3,2-对称，故()()46g x g x =---；由()()21f x g x x +=+，可得()()266(6)1f x g x x -+-=-+，所以()()24(6)1f x g x x --=-+，故()()()()2214(6)1f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨--=-+⎪⎩， 解得()()2621,620f x x x g x x =-+=-，17．（15分）已知函数2()2cos 12xf x x =-+．（Ⅰ）若()6f παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，求tan α的值； （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）tan α=；（Ⅱ）[]1,2-. 【解析】解：（Ⅰ）2()2cos 12x f x x =-+cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()6f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin 6παα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，1cos 2ααα-=，即cos αα-=，tan α∴=； （Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象， ∴函数()g x 的解析式为()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 等价于求()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，02x π≤≤， 52666x πππ∴-≤-≤， 即1()2g x -≤≤， 故m 的取值范围为[]1,2-．18.（17分）已知函数()()()3log 0f x x a a =+>，若点(),M x y 在函数()y g x =图象上运动时，对应的点1,32y M x ⎛⎫' ⎪⎝⎭在函数()y f x =图象上运动，则称函数()y g x =是函()y f x =的相关函数. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()1f x <；（2）对任意的[]0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的上方，求实数a 的取值范围. 18．（1）()1,2-；（2）()0,1. 所以所求不等式的解集为()1,2-；（2）因为1,32y M x ⎛⎫' ⎪⎝⎭在函数()y f x =上，所以3log 23y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即32log 3x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的相关函数为()32log 3x g x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵对任意的[]0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的上方，∴当[]0,1x ∈时，()()()33log 2log 03x f x g x x a a ⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭恒成立，即()33log 2log 3x x a a ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，由0x a +>，03xa +>，0a >，得x a >-，∴在此条件下，即[]0,1x ∈时，()33log 2log 3x x a a ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，即23x x a a ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，即22121093a x x a a ⎛⎫+-+-< ⎪⎝⎭恒成立， ∴22121093a a a a a ⎧-<⎪⎨+-+-<⎪⎩，解得01a a <<⎧<a 的取值范围为()0,1. 19.已知函数xx k ka a x f -+=)(，(k Z ∈，0a >且1)a ≠．（1）若11()32f =，求1f （2）的值；（2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数，且01a <<，是否存在实数λ，使得(cos2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->对于任意的2[0,]3x π∈恒成立；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由已知11()32f =，即11223a a -+=，即112122()23a a a a --+=++=，即17a a -+=，1222()249a a a a --+=++=， 则2247a a -+=，即1f （2）47=．（2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数，则若(0)10k f k =+=，解得1k =-，由01a <<，()x x k f x a a -=-在R 上为减函数， 则(cos2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->，可化为(cos2)(2sin 5)(52sin )k k k f x f x f x λλ>--=-， 即cos252sin x x λ<-对任意的2[0,]3x π∈恒成立， 即25cos2242sin 2sin 2sin sin x sin x x x x x λ-+<==+对任意的2[0,]3x π∈恒成立， 令sin t x =，[0t ∈，1]，则2y t t=+为减函数，当1t =时，y 取最小值为3，所以存在，且3λ<．。

集合与不等式测试题一、填空题：（每题3分，共30分）1.已知集合},02{2R x x x x A ∈=--=，集合}31|{≤≤=x x B ，则A ∩B = . 2．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∪B )∩(∁UC )＝________.3、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ⋂=____________.4．50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 人.5. 不等式1312>+-x x 的解集是 6. 已知不等式052>+-b x ax 的解集是}23|{-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解是___________ .7. 不等式（1＋x ）（1－x ）＞0的解集是8.集合{}52<<-=x x A ，集合{}121-≤≤+=m x m x B ，若A B ⊆，且B 为非空集合，则m 的取值范围为 .9. 设{}{}I a A a a =-=-+241222，，，，，若{}1I C A =-，则a=__________。

10．已知集合{}{}A x y y x B x y y x ==-==()|()|，，，322那么集合AB =二、选择题（每题3分，共30分）11、下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数12、集合{a，b， c }的真子集共有个（）A 7B 8C 9D 1013.已知全集{}0,1,2,3,4U=,集合{}{}1,2,3,2,4A B==,则UC A B为（）A．{}1,2,4B．{}2,3,4C．{}0,2,4D．{}0,2,3,414、方程组11x yx y+=-=-的解集是( )A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 15．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则 ( ) A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝U C．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N 16.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x==≤=≥，则集()UC A B=（）A．{|0}x x≥ B．{|1}x x≤ C．{|01}x x≤≤ D．{|01}x x<<17. 已知{x |x 0},N {x |ax 10}M a =-==-=，若M N N =,则实数a 的值为（ ） 或0 或1或 0 或0 或-118．已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合A. {1,2}B. {0,1}C. {1}D. {0,1,2}19．设{}022=+-=q px x x A ，{}05)2(62=++++=q x p x x B ，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21B A ，则=B A （ ）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,31,21 （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,21 （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧31,21 (D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧2120、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ）A a b P +∈B a b Q +∈C a b R +∈D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个三、解答题：（8+10+10+12=40分）21. 若集合{}{}2230,,0,A x x mx x R B x x x n x R =+-=∈=-+=∈， 且{}3,0,1A B =-，求实数,m n 的值。