高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)函数模型

课时跟踪检测(五十二) 最值、范围、证明问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，F 1，F 2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，MF 1为半径作圆M .当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△MF 1F 2面积的最大值．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．3.(2013·南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4.M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM u u u u r ＝MP u u u r，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由； (3)连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．2．(2013·南京、盐城三模)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点分别为B 1，B 2，1FB u u u u r ·2FB u u u u r ＝2b 2. (1)求a ，b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解：(1)因为2c ＝2，且c a ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1. 因为F 1(－1,0)，a 2c＝4，所以直线l 的方程为x ＝4.由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离4－x 0小于或等于圆的半径R . 因为R 2＝MF 21＝(x 0＋1)2＋y 20， 所以(4－x 0)2≤(x 0＋1)2＋y 20， 即y 20＋10x 0－15≥0.又因为y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204， 所以3－3x 24＋10x 0－15≥0，解得43≤x 0≤12.又|x 0|≤2，所以43≤x 0≤2.当x 0＝43时，|y 0|＝153，所以(S △MF 1F 2)max ＝12×2×153＝153.2．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .依题意， 得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为e ＝12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k2， y 3＝k (x 3－1)＝－3k3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为 y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0， 得y 0＝k3＋4k2＝13k ＋4k.当k ＜0时，3k＋4k ≤－43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝－32时等号成立；当k ＞0时，3k＋4k ≥43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝32时等号成立．所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，312. 3．解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝22＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32， 所以b a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1, ① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设T 点的坐标为(x ，y )．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋3y －422＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9， 即x 28＋y 22＝1. 所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，B (2,0)．因为AM u u u u r ＝MP u u u r，则M 为AP 的中点，所以x M ＝1，代入椭圆方程得y M ＝32，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以直线AM 的方程为y ＝12(x ＋2)，则P (4,3)，所以BM u u u u r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，BP uu u r ＝(2,3)．因为BM u u u u r ·BP u u u r ＝52≠0，所以点B 不在以PM 为直径的圆上．(3)因为MN 垂直于x 轴，由椭圆对称性可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)．直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，所以y P ＝6y 1x 1＋2，直线BN 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)， 所以y P ＝－2y 1x 1－2，所以6y 1x 1＋2＝－2y 1x 1－2. 因为y 1≠0，所以6x 1＋2＝－2x 1－2， 解得x 1＝1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 2．解：(1)由题知，F (－c,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，所以1FB u u u u r ＝(c ，－b )，2FB u u u u r＝(c ，b )．因为1FB u u u u r ·2FB u u u u r ＝2b 2，所以c 2－b 2＝2b 2.①因为椭圆C 过点A (－2，－1)，把A (－2，－1)代入椭圆方程得4a 2＋1b2＝1.②由①②解得a 2＝8，b 2＝2. 所以a ＝22，b ＝ 2. (2)由题意，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k x ＋2，x 28＋y22＝1消去y ，得(x ＋2)[(4k 2＋1)(x ＋2)－(8k ＋4)]＝0. 因为x ＋2≠0，所以x ＋2＝8k ＋44k 2＋1， 即x Q ＋2＝8k ＋44k 2＋1.由题意，得直线OP 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y22＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＝8，解得x 2P ＝81＋4k2.因为AQ ·AR ＝3OP 2，所以|x Q －(－2)|×|0－(－2)|＝3x 2P ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪8k ＋44k 2＋1·2＝3·81＋4k 2， 解得k ＝1或k ＝－2.当k ＝1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0； 当k ＝－2时，直线l 的方程为2x ＋y ＋5＝0. 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或2x ＋y ＋5＝0.。

课时跟踪检测(六) 函数的奇偶性及周期性第Ⅰ组：全员必做题1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]的最小正周期是________．2．(2013·湖南高考改编)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．3．(2014·长春三校调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 4．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是________．(填写序号)①f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)②f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)③f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)④f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)5．(2014·南京摸底)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 12，则f (－4)的值是________．6．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．8．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 9．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·南京二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1， x ≤0，f x －－f x －， x >0，则f (2 016)＝________.2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3. 其中所有正确命题的序号是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f (x )为周期函数．答案：12．解析：由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3.答案：33．解析：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数， 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 答案：434．解析：将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．答案：③5．解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－4)＝－f (4)＝－412＝－2. 答案：－26．解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0.∴a ＝1. f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.答案：－17．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1) 8．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2. ①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a . ②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－109．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (3)＝f (3－4)＝－f (1)＝－1.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时，f (x )＝x ，则f (x )的图像如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. 10．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，进而f (2 016)＝f (336×6)＝f (0)＝3－1＝13. 答案：132．解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图像如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④。

函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[试一试]据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x 的函数关系是____________．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：[练一练]如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN 取最小值时，CN ＝________.考点一一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．2．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二分段函数模型[典例]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．[类题通法]应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．[针对训练]某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．考点三指数函数模型[典例] 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[类题通法]应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．[课堂练通考点]1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费________元．2．(2013·南通调研)甲地与乙地相距250 km.某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事．在上午9：00,10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有 1 h到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有________km.3．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是关于经过年数x(0<x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成_____________________．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.2．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是________层．3.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．4.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．6．(2014·连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2ln x＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.3)．2.(2014·苏州一调)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠P AB＝θ，tan θ＝t.(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？3．(2013·徐州调研)徐州、苏州两地相距500 km，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为k1)，与距离的平方成反比(比例系数都为k2)，又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的8倍．(1)设乙油井排出的废气浓度为a(a为常数)，度假村P距离甲油井x km，度假村P受到甲、乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的解析式并求其定义域；(2)度假村P距离甲油井多少时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？。

课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·苏北四市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b＝________.2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. 3.创新题定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．5．(2014·苏中三市、宿迁调研)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋e x (e 为自然对数的底数)，则f (ln 6)的值为________．6．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．8．使函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．9．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·南通二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|.下列不等关系：①f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6；②f (sin l)>f (cos l)； ③f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3；④f (cos 2)>f (sin 2)． 其中正确的是________(填序号)．2．若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：当x >0时，－x <0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以x 2－x ＝－ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.答案：02．解析：依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.答案：253．解析：由已知得当－2≤x ≤1时， f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.答案：64．解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.又∵函数g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上也是减函数， ∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]． 答案：(0,1]5．解析：由f (x )是奇函数得f (ln 6)＝－f (－ln 6)＝－(－ln 6)－e－ln 6＝ln 6－16. 答案：ln 6－166．解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f 2＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －2＝12，1a －12＝2， 解得a ＝25. 答案：25 7.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1) 8．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2x －2＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2， 使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4)9．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a. ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.10．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第Ⅱ组：重点选做题1．解析：当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，从而f (x )＝f (x ＋4)＝2－|x |，因为sin π6<cos π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6； 因为sin l>cos l ，所以f (sin l)<f (cos l)；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2π3<⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3； 因为|cos 2|<|sin 2|，所以f (cos 2)>f (sin 2)． 综上所述，正确的是④. 答案：④2．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23。

课时跟踪检测(十一) 函数与方程第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·南通期中)用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：2．(2014·荆门调研)已知函数y ＝f (x )的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y 3．若函数f (x )＝－|x －5|＋2x －1的零点所在的区间是(k ，k ＋1)，则整数k ＝________.4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ；②y ＝－2x；③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为________．5．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________．6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．8．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·盐城三调)若关于x 的方程x 2－(a 2＋b 2－6b )x ＋a 2＋b 2＋2a －4b ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 1<0<x 2<1，则a 2＋b 2＋4a ＋4的取值范围是________．2．(2014·扬州期末)若函数f (x )＝x 3－ax 2(a >0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞上是单调增函数，则使方程f (x )＝1 000有整数解的实数a 的个数是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：因为函数f (x )＝3x－x －4，令f (a )f (b )<0，则方程f (x )＝0在(a ，b )内有实根，从而x ≈1.56. 答案：1.562．解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．答案：33．解析：依题意得f (0)·f (1)>0，f (1)·f (2)>0，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)>0， 故f (x )的零点所在区间是(2,3)． 答案：24．解析：由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1.答案：④5．解析：作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有2个不同的交点．答案：26．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)7．解析：画出函数f (x )的图像如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个不同交点，由图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，18．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图像．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：0<k <19．证明：令g (x )＝f (x )－x . ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.10．解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<－m －12<2，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2－4>0，－3<m <1，4＋m －＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m >3或m <－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m <－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1)． 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f，f即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋b －2<4，a ＋b ＋1>0，利用线性规划的知识，问题转化为求区域上的点到点(－2,0)的距离的平方的取值范围．由图可知，所求的最大距离即为点(－2,0)与圆心(－1,2)的连线交圆与另一端点的值，即5＋2.所求的最小距离即为点(－2,0)到直线a ＋b ＋1＝0的距离，即为|－2＋0＋1|2＝12，所以a 2＋b 2＋4a ＋4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫122，5＋2，即a 2＋b 2＋4a ＋4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，9＋45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，9＋45 2．解析：令f ′(x )＝3x 2－2ax >0， 则x >2a3或x <0.由f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞上是单调增函数知⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞，从而a ∈(0,10]．由f (x )＝1 000得a ＝x －1 000x 2，令g (x )＝x －1 000x 2，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g (x )与y ＝a (0<a ≤10)的大致图像(如图所示)．当a ＝10时，由f (x )＝1 000得x 3－10x 2－1 000＝0.令h (x )＝x 3－10x 2－1 000，因为h (14)＝－216<0，h(15)＝125>0，所以方程x 3－10x 2－1000＝0在区间(14,15)上存在根x0，因此从图像可以看出在(10，x0]之间f(x)＝1 000共有4个整数解．答案：4。

第九节函数模型及其应用A组基础题组1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多10元；方案三:第一天回报0。

4元，以后每天的回报是前一天的两倍.若投资的时间为10天,为使投资的回报最多,你会选择哪种方案投资？( )A.方案一B.方案二C.方案三D.都可以答案 B 方案一:投资10天的回报为40×10=400元；方案二:投资10天的回报为10×10+×10=550元;方案三:投资10天的回报为=409。

2元.投资回报最多的为方案二，故选B。

2.汽车的“燃油效率"是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。

下列叙述中正确的是（）A。

消耗1升汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于A选项：由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；对于B选项:由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10=8（升)，则C错；对于D选项：当行驶速度小于80 km/h时，在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对。

综上,选D.3.（2016北京丰台一模)经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格（自变量)，用横轴表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等)的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量,价格会上升为P2;当产品价格P2高于均衡价格P0时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0。

课时跟踪检测(十六) 导数与函数的综合问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·宜昌模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．2．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．3．(2013·镇江12月统考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．4．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．5．函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________．6．(2014·扬州模拟)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m 的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE (抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内)，D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A (0,4)，另一端点C (3,1)，点B (2,0)，单位：m.(1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m 到6 m 之间(包括4 m 和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．(注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)7．(2014·苏北三市调研)已知函数f (x )＝a x＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)． (1)求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调增区间；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－1(e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．8．(2014·无锡调研)已知函数f (x )＝ax 2＋1，g (x )＝x 3＋bx ，其中a >0，b >0. (1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x ) 在它们的交点P (2，c )处有相同的切线(P 为切点)，求实数a ，b 的值；(2)令h (x )＝f (x )＋g (x )，若函数h (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，－b 3.①求函数h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值M (a )；②若|h (x )|≤3在x ∈[－2,0]上恒成立，求实数a 的取值范围．第Ⅱ卷：提能增分卷1．设f (x )是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈(1，＋∞)都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P(a )．(1)设函数f (x )＝ln x ＋b ＋2x ＋1(x ＞1)，其中b 为实数． ①求证：函数f (x )具有性质P(b )； ②求函数f (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )具有性质P(2)．给定x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m )x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2，且α＞1，β＞1，若|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围．2．(2014·扬州调研)记函数f n (x )＝a ·x n－1(a ∈R ，n ∈N *)的导函数为f ′n (x )，已知f ′3(2)＝12.(1)求a 的值；(2)设函数g n (x )＝f n (x )－n 2ln x ，试问：是否存在正整数n 使得函数g n (x )有且只有一个零点？若存在，请求出所有n 的值；若不存在，请说明理由；(3)若实数x 0和m (m >0且m ≠1)满足f n ′x 0f n ＋1′x 0＝f n mf n ＋1m，试比较x 0与m 的大小，并加以证明．3．(2013·南京、盐城一模)已知f (x )是定义在集合M 上的函数．若区间D ⊆M ，且对任意x 0∈D ，均有f (x 0)∈D ，则称函数f (x )在区间D 上封闭．(1)判断f (x )＝x －1在区间[－2,1]上是否封闭，并说明理由； (2)若函数g (x )＝3x ＋ax ＋1在区间[3,10]上封闭，求实数a 的取值范围；(3)若函数h (x )＝x 3－3x 在区间[a ，b ](a ，b ∈Z ，且a ≠b )上封闭，求a ，b 的值． 答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.答案：12．解析：因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.答案：203．解析：由f (x )＝ln x ＋2x，x ∈(0，＋∞)得f ′(x )＝1x＋2x ln 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (x 2＋2)<f (3x )，得0<x 2＋2<3x ，所以x ∈(1,2)． 答案：(1,2)4．解析：由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0； 当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值． 答案：405．解析：f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0. 答案：(－∞，0)6．解：(1)设助跑道所在的抛物线方程为f (x )＝a 0x 2＋b 0x ＋c 0， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧c 0＝4，4a 0＋2b 0＋c 0＝0，9a 0＋3b 0＋c 0＝1，解得 a 0＝1，b 0＝－4，c 0＝4， 所以助跑道所在的抛物线方程为f (x )＝x 2－4x ＋4，x ∈[0,3]．(2)设飞行轨迹所在抛物线为g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝g 3，f ′3＝g ′3，即⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝1，6a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2－6a ，c ＝9a －5，所以g (x )＝ax 2＋(2－6a )x ＋9a －5＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －3a －1a 2＋1－1a.令g (x )＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫x －3a －1a 2＝1a2.因为a <0，所以x ＝3a －1a －1a ＝3－2a.当x ＝3a －1a 时，g (x )有最大值，为 1－1a，则运动员的飞行距离d ＝3－2a －3＝－2a，飞行过程中距离平台最大高度h ＝1－1a －1＝－1a， 依题意，4≤－2a ≤6，即2≤－1a≤3，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2 m 到3 m 之间． 7．解：(1)因为函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0)，a ≠1)，所以f ′(x )＝a xln a ＋2x －ln a ，f ′(0)＝0，又因为f (0)＝1，所以函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)由(1)知f ′(x )＝a xln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x－1)ln a .因为当a >0，a ≠1时，总有f ′(x )在R 上是增函数，又f ′(0)＝0，所以不等式f ′(x )>0的解集为(0，＋∞)，故函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(3)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－1成立，而当x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ，所以只要f (x )max －f (x )min ≥e－1即可．当x 变化时，f ′(x ) ，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )时，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )的最大值f (x )max 为f (－1)和f (1)中的最大值．f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋1＋ln a＝a －1a－2ln a .令g (a )＝a －1a－2ln a (a >0)，因为g ′(a )＝1＋1a2－2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2≥0，所以g (a )＝a －1a－2ln a 在a ∈(0，＋∞)上是增函数.而g (1)＝0，故当a >1时，g (a )>0， 即f (1)>f (－1)；当0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)．所以当a >1时，f (1)－f (0)≥e－1，即a －ln a ≥e－1，易得函数y ＝a －ln a 在a ∈(1，＋∞)上是增函数，解得a ≥e；当0<a <1时，f (－1)－f (0)≥e－1，即1a ＋ln a ≥e－1，易得函数y ＝1a ＋ln a 在a ∈(0,1)上是减函数，解得0<a ≤1e . 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ]∪[e ，＋∞. 8．解：(1)由P (2，c )为公共切点，f (x )＝ax 2＋1，g (x )＝x 3＋bx (a >0)，得f ′(x )＝2ax ，k 1＝4a ，g ′(x )＝3x 2＋b ，k 2＝12＋b .又f (2)＝4a ＋1，g (2)＝8＋2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝12＋b ，4a ＋1＝8＋2b ，解得a ＝174，b ＝5.(2)①h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为函数f (x )＋g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，－b 3，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，－b 3时，有3x 2＋2ax ＋b ≤0恒成立．此时x ＝－b3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的一个根，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 32＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3＋b ＝0， 得a 2＝4b ，所以h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.又函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a6，＋∞上单调递增．若－1≤－a2，即a ≤2时，最大值为h (－1)＝a －a 24；若－a 2<－1<－a6时，即2<a <6时，最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1；若－1≥－a6时，即a ≥6时，最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1，综上所述，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －a 24，0<a ≤2，1，a >2.②由①可知h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a6，＋∞上单调递增．所以h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2为极大值，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6为极小值，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝－a 354＋1，因为|h (x )|≤3在x ∈[－2,0]上恒成立，又h (0)＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧h －2≥－3，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6≥－3，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a 2＋4a －7≥－3，－a354＋1≥－3，解得⎩⎨⎧4－22≤a ≤4＋22，a ≤6.故实数a 的取值范围是{}a |4－22≤a ≤6.第Ⅱ卷：提能增分卷 1．解：(1)由f (x )＝ln x＋b ＋2x ＋1，得f ′(x )＝x 2－bx ＋1x x ＋12. ①证明：因为x ＞1时，h (x )＝1xx ＋12＞0，所以函数f (x )具有性质P(b )．②当b ≤2时，由x ＞1得x 2－bx ＋1≥x 2－2x ＋1＝(x －1)2＞0， 所以f ′(x )＞0.从而函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 当b ＞2时，令x 2－bx ＋1＝0得x 1＝b －b 2－42，x 2＝b ＋b 2－42.因为x 1＝b －b 2－42＝2b ＋b 2－4＜2b＜1，x 2＝b ＋b 2－42＞1，所以当x ∈(1，x 2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ＝x 2时，f ′(x )＝0.从而函数f (x )在区间(1，x 2)上单调递减，在区间(x 2，＋∞)上单调递增．综上所述，当b ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(1，＋∞)； 当b ＞2时，函数f (x )的单调减区间为(1，b ＋b 2－42)，单调增区间为(b ＋b 2－42，＋∞)．(2)由题设知，g (x )的导函数g ′(x )＝h (x )(x 2－2x ＋1)，其中函数h (x )＞0对于任意的x ∈(1，＋∞)都成立， 所以当x ＞1时，g ′(x )＝h (x )(x －1)2＞0， 从而g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． ①当m ∈(0,1)时，有α＝mx 1＋(1－m )x 2＞mx 1＋(1－m )x 1＝x 1，α＜mx 2＋(1－m )x 2＝x 2，即α∈(x 1，x 2)，同理可得β∈(x 1，x 2)．所以由g (x )的单调性知g (α)，g (β)∈(g (x 1)，g (x 2))，从而有|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，符合题意．②当m ≤0时，α＝mx 1＋(1－m )x 2≥mx 2＋(1－m )x 2＝x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2≤(1－m )x 1＋mx 1＝x 1，于是由α＞1，β＞1及g (x )的单调性知g (β)≤g (x 1)＜g (x 2)≤g (α)，所以|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题意不符． ③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，进而得|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题意不符． 综上所述，所求的m 的取值范围为(0,1)．2．解：(1)f 3′(x )＝3ax 2，由f 3′(2)＝12得a ＝1. (2)g n (x )＝x n－n 2ln x －1，g ′n (x )＝nx n －1－n 2x ＝n x n －n x.因为x >0，令g n ′(x )＝0得x ＝nn ， 当x >nn 时，g n ′(x )>0，g n (x )是增函数； 当0<x <nn 时，g n ′(x )<0，g n (x )是减函数． 所以当x ＝nn 时，g n (x )有极小值，也是最小值，g n (nn )＝n －n ln n －1.当x →0时，g n (x )→＋∞； 当x →＋∞时，g n (x )→＋∞.当n ≥3时，g n (n n )＝n (1－ln n )－1<0，函数g n (x )有两个零点； 当n ＝2时，g n (n n )＝－2ln 2＋1<0，函数g n (x )有两个零点； 当n ＝1时，g n (nn )＝0，函数g n (x )有且只有一个零点． 综上所述，存在n ＝1，使得函数g n (x )有且只有一个零点． (3)f n ′(x )＝n ·x n －1.因为f n ′x 0f n ＋1′x 0＝f n mf n ＋1m，所以nx n －10n ＋1x n 0＝m n －1m n ＋1－1，解得x 0＝n m n ＋1－1n ＋1m n －1.则x 0－m ＝－mn ＋1＋m n ＋1－nn ＋1m n －1，当m >1时，(n ＋1)(m n－1)>0. 设h (x )＝－xn ＋1＋x (n ＋1)－n (x ≥1)，则h ′(x )＝－(n ＋1)x n ＋n ＋1＝－(n ＋1)·(xn－1)≤0，当且仅当x ＝1时取等号，所以h (x )在[1，＋∞)上是减函数． 又m >1，所以h (m )<h (1)＝0， 所以x 0－m <0，所以x 0<m . 当0<m <1时，(n ＋1)(m n－1)<0. 设h (x )＝－xn ＋1＋x (n ＋1)－n (0<x ≤1)，则h ′(x )＝－(n ＋1)x n＋n ＋1＝－(n ＋1)·(x n－1)≥0，当且仅当x ＝1时取等号，所以h (x )在(0,1]上是增函数．又因为0<m <1，所以h (m )<h (1)＝0， 所以x 0－m >0，所以x 0>m .综上所述，当m >1时，x 0<m ，当0<m <1时，x 0>m .3．解：(1)因为函数f (x )＝x －1在区间[－2,1]上单调递增， 所以当x ∈[－2,1]时，f (x )的值域为[－3,0]．而[－3,0]⊄[－2,1]，所以函数f (x )在区间[－2,1]上不是封闭的． (2)因为g (x )＝3x ＋a x ＋1＝3＋a －3x ＋1.①当a ＝3时，函数g (x )＝3，显然{3}⊆[3,10]，故a ＝3满足题意； ②当a >3时，在区间[3,10]上，函数g (x )单调递减，此时g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＋a 11，9＋a 4.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＋a 11，9＋a 4⊆[3,10]得⎩⎪⎨⎪⎧30＋a11≥3，9＋a 4≤10，解得3≤a ≤31，故3<a ≤31；③当a <3时，在区间[3,10]上，有g (x )＝3＋a －3x ＋1<3，不合题意．11 综上所述，实数a 的取值范围是[3,31]．(3)因为h (x )＝x 3－3x ，所以h ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．因为当x <－1或x >1时，h ′(x )>0；当x ＝－1或x ＝1时，h ′(x )＝0；当－1<x <1时，h ′(x )<0，所以函数h (x )在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．从而h (x )在x ＝－1处取得极大值2，在x ＝1处取得极小值－2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ h a ＝a 3－3a ≥a ，h b ＝b 3－3b ≤b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a a ＋2a －2≥0，b b ＋2b －2≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2.因为a <b ，所以－2≤a ≤0,0≤b ≤2.又a ，b ∈Z ，故a 只可能取－2，－1,0，b 只可能取0,1,2.①当a ＝－2时，因为b >0，故由h (－1)＝2得b ≥2，因此b ＝2.经检验，a ＝－2，b ＝2符合题意；②当a ＝－1时，由h (－1)＝2，得b ＝2，此时h (1)＝－2∉[－1,2]，不符合题意； ③当a ＝0时，显然不符合题意．综上所述，a ＝－2，b ＝2.。

课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．函数f(x)＝x ＋eln x 的单调递增区间为________． 2．函数f(x)＝(x －3)ex 的单调递增区间是________． 3．函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．4．若函数f(x)＝x2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________． 5．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．6．(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝ln x ＋2x ，g(x)＝a(x2＋x)． (1)若a ＝12，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．7．(2013·苏锡常镇二调)已知函数f(x)＝|ax －2|＋bln x(x>0，实数a ，b 为常数)． (1)若a ＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值范围； (2)若a≥2，b ＝1，求方程f(x)＝1x在(0,1]上解的个数．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·南通模拟)已知函数f(x)＝x2－2acos k π·ln x(k∈N*，a ∈R ，且a>0)． (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若k ＝2 04，关于x 的方程f(x)＝2ax 有唯一解，求a 的值．2．(2014·南通、泰州、扬州一调)已知函数f(x)＝x ＋sin x.(1)设P ，Q 是函数f(x)图像上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；(2)求实数a 的取值范围，使不等式f(x)≥axcos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立．3．(2014·苏北四市摸底)已知函数f(x)＝ln x ，g(x)＝12x2－bx(b 为常数)．(1)函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线与g(x)的图像相切，求实数b 的值；(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围； (3)若b>1，对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|成立，求实数b 的取值范围．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)2．解析：∵f(x)＝(x －3)·ex， f′(x)＝ex(x －2)>0，∴x>2.∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)3．解析：依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<12<1，因此有f(－1)<f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f(3)<f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c<a<b. 答案：c<a<b4．解析：f′(x)＝2x ＋a －1x2，因为函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，所以f′(x)≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a≥1x2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，设g(x)＝1x2－2x ，g′(x)＝－2x3－2，令g′(x)＝－2x3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，g′(x)<0，故g(x)max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4－1＝3，所以a≥3.答案：[3，＋∞)5．解：(1)对f(x)求导， 得f′(x)＝3x2－2ax －3. 由f′(x)≥0，得a≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .记t(x)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x≥1时，t(x)是增函数，∴t(x)min ＝32(1－1)＝0.∴a≤0.(2)由题意，得f′(3)＝0， 即27－6a －3＝0，∴a ＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x ， f′(x)＝3x2－8x －3.令f′(x)＝0，得x1＝－13，x2＝3.当x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：∴f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3. 6．解：(1)若a ＝12，则F(x)＝ln x ＋2x －12x2－12x ，其定义域是(0，＋∞)， 则F′(x)＝1x ＋2－x －12＝－＋－2x.令F′(x)＝0，得x ＝2，x ＝－12(舍去)．当0<x<2时，F′(x)>0，函数单调递增； 当x>2时，F′(x)<0，函数单调递减．即函数F(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)． (2)设F(x)＝f(x)－g(x) ＝ln x ＋2x －ax2－ax ， 则F′(x)＝－＋－2x，当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)单调递增， F(x)≤0不可能恒成立； 当a>0时，令F′(x)＝0， 得x ＝1a ，x ＝－12(舍去)．当0<x<1a 时，F′(x)>0，函数单调递增；当x>1a时，F′(x)<0，函数单调递减．故F(x)在(0，＋∞)上的最大值是F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，依题意F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≤0恒成立， 即ln 1a ＋1a－1≤0.令g(a)＝ln 1a ＋1a －1，又g(x)单调递减，且g(1)＝0，故ln 1a ＋1a －1≤0成立的充要条件是a≥1，所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 7．解：(1)当a ＝1时， f(x)＝|x －2|＋bln x＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋bln x ，0<x<2，x －2＋bln x ，x≥2.①当0<x<2时，f(x)＝－x ＋2＋bln x ， f′(x)＝－1＋b x.由条件得－1＋bx ≥0恒成立，即b≥x 恒成立．所以b≥2；②当x≥2时，f(x)＝x －2＋bln x ， f′(x)＝1＋bx.由条件得1＋bx≥0恒成立，即b≥－x 恒成立．所以b≥－2.因为函数f(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，综合①②得b 的取值范围是[2，＋∞)． (2)令g(x)＝|ax －2|＋ln x －1x ，即g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋2＋ln x －1x ，0<x<2a，ax －2＋ln x －1x ，x≥2a .当0<x<2a时，g(x)＝－ax ＋2＋ln x －1x ，g′(x)＝－a ＋1x ＋1x2.因为0<x<2a ，所以1x >a2，则g′(x)>－a ＋a 2＋a24＝－4≥0，即g′(x)>0，所以g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上是单调增函数； 当x>2a 时，g(x)＝ax －2＋ln x －1x ，g′(x)＝a ＋1x ＋1x2>0，所以g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上是单调增函数． 因为函数g(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数． 因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝ln 2a －a 2， 而a≥2，所以ln 2a ≤0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a <0， g(1)＝|a －2|－1＝a －3.①当a≥3时，因为g(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝1x 解的个数为1；②当2≤a<3时，因为g(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝1x 解的个数为0.第Ⅱ卷：提能增分卷 1．解：(1)由已知得x>0 且f′(x)＝2x －(－1)k·2ax .当k 是奇数时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 当k 是偶数时， 则f′(x)＝2x －2ax＝＋a－ax.所以当x ∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0.故当k 是偶数时，f(x)在(0，a)上是单调减函数，在(a ，＋∞)上是单调增函数． (2)若k ＝2 014，则f(x)＝x2－2aln x(k ∈N*)．记g(x)＝f(x)－2ax ＝x2－2aln x －2ax ， 则g′(x)＝2x －2a x －2a ＝2x(x2－ax －a)．则方程f(x)＝2ax 有唯一解，即g(x)＝0有唯一解．令g′(x)＝0，得x2－ax －a ＝0. 因为a>0，x>0，所以x1＝a －a2＋4a2<0(舍去)，x2＝a ＋a2＋4a 2.当x ∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上是单调减函数；当x ∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上是单调增函数．当x ＝x2时，g′(x2)＝0，g(x)min ＝g(x2)． 因为g(x)＝0有唯一解，所以g(x2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧＝0，＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x22－2aln x2－2ax2＝0，x22－ax2－a ＝0，两式相减得2aln x2＋ax2－a ＝0，因为a>0，所以2ln x2＋x2－1＝0.(*) 设函数h(x)＝2lnx ＋x －1.因为当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一个解． 因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1. 从而解得a ＝12.2．解：(1)由题意，得f′(x)＝1＋cos x≥0. 所以函数f(x)＝x ＋sin x 在R 上单调递增． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2， 则y1－y2x1－x2>0，即kPQ>0. 所以直线PQ 的斜率大于0.(2)当a≤0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f(x)＝x ＋sin x≥0≥axcos x 恒成立，所以a≤0；当a>0时，令g(x)＝f(x)－axcos x ＝x ＋sin x －axcos x ，则g′(x)＝1＋cos x －a(cos x －xsin x) ＝1＋(1－a)cos x ＋axsin x.①当1－a≥0，即0<a≤1时，g′(x)＝1＋(1－a)cos x ＋axsin x>0，所以g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为单调增函数．所以g(x)≥g(0)＝0＋sin 0－a·0·cos 0＝0，符合题意． 所以0<a≤1；②当1－a<0，即a>1时，令h(x)＝g′(x)＝1＋(1－a)cos x ＋axsin x ， 于是h′(x)＝(2a －1)sin x ＋axcos x. 因为a>1，所以2a －1>0，从而h′(x)≥0.所以h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为单调增函数．所以h(0)≤h(x)≤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， 即2－a≤h(x)≤π2a ＋1，即2－a≤g′(x)≤π2a ＋1.(ⅰ)当2－a≥0，即1<a≤2时，g′(x)≥0，所以g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为单调增函数．于是g(x)≥g(0)＝0，符合题意． 所以1<a≤2；(ⅱ)当2－a<0，即a>2时，存在x0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得当x ∈(0，x0)时，有g′(x)<0，此时g(x)在(0，x0)上为单调减函数，从而g(x)<g(0)＝0，不能使g(x)>0恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]．3．解：(1)因为f(x)＝ln x ，所以f′(x)＝1x ，因此f′(1)＝1，所以函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x2－bx消去y ，得x2－2(b ＋1)x ＋2＝0. 所以Δ＝4(b ＋1)2－8＝0， 解得b ＝－1± 2.(2)因为h(x)＝f(x)＋g(x) ＝ln x ＋12x2－bx(x>0)，所以h′(x)＝1x ＋x －b ＝x2－bx ＋1x .由题意知，h′(x)<0在(0，＋∞)上有解．因为x>0，设u(x)＝x2－bx ＋1， 则u(0)＝1>0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2>0，－－4>0，解得b>2.所以实数b 的取值范围是(2，＋∞)． (3)不妨设x1>x2. 因为函数f(x)＝ln x 在区间[1,2]上是增函数，所以f(x1)>f(x2)，函数g(x)图像的对称轴为直线x ＝b ，且b>1.(ⅰ)当b≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x1)<g(x2)，所以|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)>g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)>f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x ＋12x2－bx(x>0)在区间[1,2]上是增函数，即等价于h′(x)＝1x ＋x －b≥0在区间[1,2]上恒成立，亦等价于b≤x＋1x 在区间[1,2]上恒成立，所以b≤2.又b≥2，所以b ＝2；(ⅱ)当1<b<2时，函数g(x)在区间[1，b]上是减函数，在[b,2]上为增函数．①当1≤x2<x1≤b 时，|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)>g(x2)－g(x1)，等价于f(x1)＋g(x1)>f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x ＋12x2－bx(x>0)在区间[1，b]上是增函数，等价于h′(x)＝1x ＋x －b≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b≤x＋1x在区间[1，b]上恒成立，所以b≤2. 又1<b<2，所以1<b<2； ②当b≤x2<x1≤2时，|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)>g(x1)－g(x2)等价于f(x1)－g(x1)>f(x2)－g(x2)，等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝ln x －12x2＋bx 在区间[b,2]上是增函数，等价于H′(x)＝1x －x ＋b≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b≥x－1x 在区间[b,2]上恒成立，所以b≥32，故32≤b<2；③当1≤x2<b<x1≤2时，由g(x)图像的对称性知，只要|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|对于①②同时成立，那么对于③， 则存在t1∈[1，b]，使|f(x1)－f(x2)|>|f(t1)－f(x2)|>|g(t1)－g(x2)|＝|g(x1)－g(x2)|恒成立；或存在t2∈[b,2]，使|f(x1)－f(x2)|> |f(x1)－f(t2)|>|g(x1)－g(t2)|＝ |g(x1)－g(x2)|恒成立． 因此32≤b<2.综上所述，实数b 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.。

课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.2．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是________层．3.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．4.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．6．(2014·连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2ln x＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.3)．7．(2013·苏北四市统考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的解析式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？8．(2014·南通一调)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25 h ，种植一捆沙棘树苗用时12h ．应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1 h 后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25 h ，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23 h ，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·扬州期末)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设函数f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的解析式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求出最小值．2.(2014·苏州一调)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t.(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？3．(2013·徐州调研)徐州、苏州两地相距500 km，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100 km/h.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v km/h的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．(1)把全程运输成本y元表示为速度v km/h的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？4．(2014·镇江质检)有一海湾，海岸线为近似半个椭圆(如图)，椭圆长轴端点分别为A，B.A，B间的距离为3 km，椭圆焦点分别为C，D.C，D间的距离为2 km，在C，D处分别有甲、乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为k1)，与距离的平方成反比(比例系数都为k2)，又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的8倍．(1)设乙油井排出的废气浓度为a(a为常数)，度假村P距离甲油井x km，度假村P受到甲、乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的解析式并求其定义域；(2)度假村P距离甲油井多少时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：当恰好行驶8 km 时，需要付费1＋8＋2.15×5＝19.75元，而现在付出费用为22.6元，所以用22.6－19.75＝2.85，故多行1 km ，即实际行驶9 km.答案：92．解析：设所停的楼层为n 层，则2≤n ≤12，由题意得：S ＝2＋4＋…＋2(12－n )＋1＋2＋3＋…＋(n －2)＝12－n26－2n2＋n －2[1＋n －2]2＝32n 2－532n ＋157，其对称轴为n ＝536∈(8,9)，又n ∈N *且n 离9的距离较近．答案：93．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：②4．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.答案：30 cm,20 cm5．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20. 答案：206．解：(1)y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)在[2,10]上是增函数，满足条件①； 当x ＝10时，y 有最大值7.4，小于8，满足条件③； 但当x ＝3时，y ＝2920<32，即y ≥x2不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案． (2)对于函数模型y ＝x －2ln x ＋a ， 设f (x )＝x －2ln x ＋a ， 则f ′(x )＝1－2x ＝x －2x≥0.所以f (x )在[2,10]上是增函数，满足条件 ①.由条件②得x －2ln x ＋a ≥x2，即a ≥2ln x －x2在x ∈[2,10]上恒成立．令g (x )＝2ln x －x2，则g ′(x )＝2x －12＝4－x2x ，由g ′(x )>0得x <4，所以g (x )在(2,4)上是增函数，在(4,10)上是减函数． 所以a ≥g (4)＝2ln 4－2＝4ln 2－2. 由条件③得f (10)＝10－2ln 10＋a ≤8， 解得a ≤2ln 10－2.另一方面，由x －2ln x ＋a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2,10]上恒成立，所以a ≤2ln 2. 综上所述，a 的取值范围为[4ln 2－2,2ln 2]， 所以满足条件的整数a 的值为1.7．解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，所以写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以y ＝f (x )＝800x ＋x x －12×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g (x )＝f x 2 000x×10 000＝510x 2＋790x ＋9 000x＝50⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x＋79≥50×(2900＋79)＝6 950，当且仅当x ＝900x，即x ＝30时，等号成立．所以要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为30层．8．解：(1)设A 组人数为x ，且0<x <52，x ∈N *，则A 组植树活动所需时间为f (x )＝150×25x＝60x ，B 组植树活动所需时间为g (x )＝200×1252－x ＝10052－x. 令f (x )＝g (x )，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392.所以A ，B 两组同时开始的植树活动所需时间为 F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， x ≤19，x ∈N *，10052－x ， x ≥20，x ∈N *.而F (19)＝6019，F (20)＝258，故F (19)>F (20)．所以当A ，B 两组人数分别为20,32时，植树活动持续时间最短． (2)A 组所需时间为 1＋150×25－20×120－6＝367，B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323，所以植树活动所持续的时间为367 h.第Ⅱ卷：提能增分卷 1．解：(1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800.故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8.(2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥28003x ＋5·23x ＋5－5＝75，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)，即x ＝5时取等号．所以f (x )min ＝75.所以宿舍应建在离工厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元． 2．解：(1)由题意得BP ＝t ，CP ＝1－t,0≤t ≤1. ∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t1＋t，CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t， 所以PQ ＝CP 2＋CQ 2＝1－t2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2＝1＋t 21＋t. 所以l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t ＝1－t ＋1＋t ＝2，是定值．(2)S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－12t －12·1－t 1＋t ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤121＋t ＋11＋t .因为1＋t >0， 所以S ≤2－2 121＋t ·11＋t ＝2－2，当且仅当12(1＋t )＝11＋t，即t ＝2－1时取等号．所以探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为(2－2)平方百米． 3．解：(1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v，全程运输成本为y ＝a ·500v ＋0.01v 2·500v ＝500a v＋5v .故所求函数为y ＝500av＋5v ，v ∈(0,100]．(2)由题意知a ，v 都为正数，故500a v ＋5v ≥100a ，当且仅当500a v＝5v ，即v ＝10a 时，等号成立．①若10a ≤100，即0<a ≤100时，则当v ＝10a 时，全程运输成本y 最小； ②若10a >100，即a >100时， 则当v ∈(0,100]时，有 y ′＝－500a v2＋5＝5v 2－100av 2<0.所以函数y 在v ∈(0,100]上单调递减，也即当v ＝100时，全程运输成本y 最小． 综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当0<a ≤100时，行驶速度应为v ＝10a km/h ；当a >100时，行驶速度应为v ＝100 km/h. 4．解：(1)由点P 在椭圆上知，PC ＋PD ＝3， 即PC ＝x ，则PD ＝3－x . 所以度假村P 受乙油井污染程度为ak 1k 23－x2，受甲油井污染程度为8ak 1k 2x2.所以f (x )＝8ak 1k 2x2＋ak 1k 23－x 2，定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52.(2)由(1)知f (x )＝8ak 1k 2x2＋ak 1k 23－x2＝ak 1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8x 2＋1x 2－6x ＋9. 故f ′(x )＝ak 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16x3＋23－x x 2－6x ＋92＝2ak 1k 2·x 3－83－x 3x 33－x 3＝18ak 1k 2·x －2x 2－6x ＋12x 33－x 3.令f ′(x )＝0，解得x ＝2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数． 故当x ＝2时，f (x )取得最小值．即度假村离甲油井2 km 时，甲乙两油井对度假村的污染程度和最小．。

第九节函数模型及应用A组基础题组1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )A.118元B.105元C.106元D.108元2.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时,交通灯由红变绿,汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走,那么( )A.人可在7 s内追上汽车B.人可在10 s内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5 mD.人追不上汽车,其间距最少为7 m3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:则对x,y最适合的拟合函数是( )A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x4.(2016北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是( )A.15B.16C.17D.185.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae nt.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,又过了m分钟后甲桶中的水只有升,则m的值为( )A.7B.8C.9D.106.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.根据预算得羊皮手套的年利润L万元与年广告费x万元之间的函数解析式为L=-(x>0).则当年广告费投入万元时,该公司的年利润最大.7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301,lg 3≈0.477 1)8.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4≤x≤20时,v是x的一次函数;当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数表达式;(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.9.(2017黑龙江牡丹江十五中期末)有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=k·f(x),其中f(x)=若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.B组提升题组10.(2016山东威海模拟)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如下表所示:则下列说法正确的是( )①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多.A.①③B.①④C.②③D.②④11.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花100元的日常维修等费用(租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为( )A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为.13.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.14.已知某物体的温度θ(单位:℃)随时间t(单位:min)的变化规律是θ=m·2t+21-t(t≥0且m>0).(1)如果m=2,求经过多长时间物体的温度为5 ℃;(2)若物体的温度总不低于2 ℃,求m的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.D 设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108,故选D.2.D 设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值,为7(m).3.D 根据x=0.50,y=-0.99,代入各选项计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入各选项计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.4.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t(万元),则由解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.5.D 令a=ae nt,则=e nt,由已知得=e5n,故=e15n,∴t=15,m=15-5=10.6.答案 4解析L=-=-×(x>0).当-=0,即x=4时,L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时,该公司的年利润最大.7.答案8解析设过滤n次能达到市场要求,则2%≤0.1%,即≤,所以nlg≤-1-lg 2,即n(lg 2-lg 3)≤-1-lg 2,所以n≥7.39,又n∈N*,所以n的最小值为8.8.解析(1)由题意得当0<x≤4时,v=2;当4≤x≤20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在[4,20]内是减函数,由已知得解得所以v=-x+,故函数v=(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=当0<x≤4时, f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=4×2=8;当4<x≤20时, f(x)=-x2+x=-(x2-20x)=-(x-10)2+, f(x)max=f(10)=12.5.所以当0<x≤20时, f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.9.解析(1)由题意知k=3,∴k=1.(2)因为k=4,所以y=当0≤x≤4时,由-4≥4,解得-4≤x<8,所以0≤x≤4.当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.综上可知,当y≥4时,0≤x≤12,所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能,理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×+1×=5(克/升),又5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.B组提升题组10.D 买小包装时每克费用为元,买大包装每克费用为=元,而>,所以买大包装实惠,卖3小包的利润为3×(3-1.8-0.5)=2.1(元),卖1大包的利润为8.4-1.8×3-0.7=2.3(元).而2.3>2.1,所以卖1大包盈利多,故选D.11.B 设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N*),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每套房月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.12.答案180解析依题意知:=(0<x≤20,8≤y<24),即x=(24-y),∴阴影部分的面积S=xy=(24-y)·y=(-y2+24y)=-(y-12)2+180(8≤y<24).∴当y=12时,S取最大值180.13.答案6;10 000-3,则M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6.解析由题意,A=1 000=103,A设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A9,A5,则lg A9-9=lg A5-5,得lg A9-lg A5=4,即lg=4,∴=10 000.14.解析(1)若m=2,则θ=2·2t+21-t=2,当θ=5时,2t+=,令x=2t,x≥1,则x+=,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去),当x=2时,t=1.故经过1 min,物体的温度为5 ℃.(2)物体的温度总不低于2 ℃等价于对于任意的t∈[0,+∞),θ≥2恒成立,即m·2t+≥2(t≥0)恒成立,亦即m≥2(t≥0)恒成立.令y=,则0<y≤1,故对于任意的y∈(0,1],m≥2(y-y2)恒成立,因为y-y2=-+≤,所以m≥.因此,当物体的温度总不低于2 ℃时,m的取值范围是.。