2012高三数学附加题归类复习

F 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算4．H1、F1[2012·某某卷] 若d ＝(2,1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．4．arctan 12[解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率．由已知可得直线的斜率k ＝12，k ＝tan α，所以直线的倾斜角α＝arctan 12.20．H5、F1、H1[2012·某某卷] 已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．20．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2，又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .F2 平面向量基本定理及向量坐标运算13．F2、F3[2012·某某卷] 已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．13．[答案] (1)⎝⎛⎭⎪⎫31010，1010 (2)－255 [解析] (1)由题意，2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫310，110，即⎝⎛⎭⎪⎫31010，1010. (2)因为a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，所以b －3a ＝(－2,1)．设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝b －3a ·a |b －3a ||a |＝－2，1·1，05×1＝－255.3．F2[2012·某某卷] 若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)3．A [解析] 因为AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．所以选择A.9．F2[2012·全国卷] △ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b9．D [解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a 和b 作为基底去表示向量AD →.易知a ⊥b ，|AB |＝5，用等面积法求得|CD |＝255，∵AD ＝AC 2－CD 2＝455，AB ＝5，∴AD →＝45AB →＝45(a －b )，故选D.7．F2、C6[2012·某某卷] 设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－1 7．C [解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cos 2θ＝0，则cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.故选C.6．F2、F3[2012·某某卷] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ·1＋1·(－2)＝0，解得x ＝2，所以a＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝32＋－12＝10，选B.F3 平面向量的数量积及应用12．F3[2012·某某卷] 在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|→||CD →|，则AM →·AN →的取值X 围是________．12．[1,4] [解析] 令BM →＝nBC →(0≤n ≤1)，则DN →＝(1－n )DC →，在矩形ABCD 中，AM →＝AB →＋nAD →，AN →＝AD →＋(1－n )AB →，所以AM →·AN →＝(AB →＋nAD →)·[AD →＋(1－n )AB →]＝(1－n )AB →2＋nAD →2＝4－3n ，而函数f (n )＝4－3n 在[0,1]上是单调递减的，其值域为[1,4]，所以AM →·AN →的取值X 围是[1,4]．1．F3[2012·某某卷] 已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12C.12 D ．11．D [解析] 本小题主要考查向量数量积的坐标运算．解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式．因为a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝1×2－1·x ＝1⇒x ＝1，所以答案选D.15．F3[2012·课标全国卷] 已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.15．[答案] 3 2[解析] 因为|2a －b |＝10，平方得4a 2－4a ·b ＋b 2＝10，得4－4×|b |×22＋|b |2＝10，解得|b |＝3 2.12．F3[2012·某某卷] 设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m⊥b ，则|x ＋2y |＝________.12. 5 [解析] 设c ＝(1,2) ，则c ⊥b ，∴c ∥m .∵| m |＝1，∴|m·c |＝|c |＝ 5.21．H5、H8、F3[2012·某某卷] 如图，设椭圆的中点为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．21．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c 2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2， 由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)、B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以 B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910.综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.9．F3[2012·某某卷] 如图1－3，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．9. 2 [解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F 的位置．以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(2，0)． 设AF →＝(x,2)，则由条件得2x ＝2，得x ＝1，从而F (1,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)，于是AE →·BF →＝ 2.15．F3[2012·某某卷] 如图1－5，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP＝3，则AP →·AC →＝________.图1－515．18 [解析] 本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来表示．AP →·AC →＝AP →·(DB →＋2BC →) ＝2AP →·BC →＝2AP →·AD →＝2|AP →|·|AP →|＝18.[易错点] 本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错二：不会转化AD →＝BC →，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了AD →在向量AP →上的射影等于|AP →|.13．F2、F3[2012·某某卷] 已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．13．[答案] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫31010，1010 (2)－255[解析] (1)由题意，2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫310，110，即⎝⎛⎭⎪⎫31010，1010. (2)因为a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，所以b －3a ＝(－2,1)．设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝b －3a ·a |b －3a ||a |＝－2，1·1，05×1＝－255.10．F3[2012·某某卷] 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α∘ββ∘β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1 D.1210．D [解析] 根据新定义得：a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b ||b |＝|a |cos θ|b |＝n 2(n ∈Z )，(1)b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a ||a |＝|b |cos θ|a |＝m 2(m ∈Z )，(2)以上两式相乘得：cos 2θ＝n ·m 4(n ，m ∈Z )．∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，即n ·m 4<12，所以0<mn <2，又因为n ，m ∈Z ，所以m ＝n ＝1，所以a ∘b ＝12.所以选择D. 11．F3[2012·某某卷] 设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.11. 2 [解析] 因为a ＋c ＝(3,3m )，又b ＝(m ＋1,1)，(a ＋c )⊥b, 所以(a ＋c )·b ＝0，即(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)．故|a |＝ 2.13．F3[2012·卷] 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．13．1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，则DE ·CB ＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →·DC →最大只要使向量DE →在向量DC→上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|2＝1；法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE →，所以DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·DA →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·AB →＝AB →·AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →·DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →·DC →)max ＝1.法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴 建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x,1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1.3．A2、F3[2012·某某卷] b ＝(2,1)，则a⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝03．D [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即(x －1)×2＋2×1＝0，解得x ＝0.8．F3[2012·某某卷] 在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43D ．2 8．B [解析] BQ →·CP →＝(AQ →－AB →)·(AP →－AC →)＝[(1－λ)AC →－AB →]·(λAB →－AC →)＝－(1－λ)AC →2－λAB →2＝3λ－4＝－2，解得λ＝23.7．F3[2012·某某卷] 设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |7．C [解析] 本题考查对平面向量数量积理解及应用．法一：对于选项A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |可得a ·b ＝－|a ||b |，则a 与b 为方向相反的向量，A 不正确；对于选项B ，由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由|a ＋b |＝|a |－|b |得a ·b ＝－|a ||b |，故B 不正确；对于选项C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |可得a ·b ＝－|a ||b |，则a 与b 为方向相反的共线向量，∴b ＝λa ；对于选项D ，若b ＝λa ，当λ>0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当λ<0时，可有|a ＋b |＝|a |－|b |，故D 不正确．法二：特值验证排除，先取a ＝(2,0)，b ＝(－1,0)，满足|a ＋b |＝|a |－|b |，但两向量不垂直，故A 错；再取a ＝(2,0)，b ＝(1,0)，满足a ＝λb ，但不满足|a ＋b |＝|a |－|b |，故D 错；取a ＝(2,0)，b ＝(0，－1)，满足a ⊥b ，但不满足|a ＋b |＝|a |－|b |，故B 错，所以答案为C.[点评] 由|a ＋b |＝|a |－|b |判断a ，b 方向相反，且有|a |≥|b |是一个重要的结论，由此可以对各选项加以正确分析与应用．15．C8、F3[2012·某某卷] 在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.15．－16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．法一：AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →) ＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16.法二：特例法：假设△ABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC→|·cos∠BAC ＝－16.6．F2、F3[2012·某某卷] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ·1＋1·(－2)＝0，解得x ＝2，所以a＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝32＋－12＝10，选B.F4 单元综合7．F4[2012·某某卷] 设a 、b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b 7．D [解析] 要使得a |a |＝b|b |，在a ，b 为非零向量的前提下，必须且只需a 、b 同向即可，结合四个选项，只有D 满足这一条件．16．C9、F4[2012·某某卷] 如图1－5，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．16．(2－sin2,1－cos2) [解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，难题．根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P 旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q ，圆心为C 2，作C 2M ⊥y 轴于M, ∠PC 2Q ＝2，∠PC 2M ＝2－π2，∴点P 的横坐标为2－1×cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin2，点P 的纵坐标为1＋1×sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos2.2012模拟题1．[2012·某某测试] 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，x )，且a ∥b ，则x ＝( )A ．－23 B.23C ．6D ．－61.C [解析] 由a ∥b 则x －3×2＝0，即x ＝6，选C.2．[2012·某某一中模拟] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y∈R )，则x ＋y 的最大值是( )A ．2 B. 3 C.2D ．12．A [解析] 因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，由|c |＝1得x 2＋y 2＝xy ＋1，所以xy ≤1，而(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝3xy ＋1≤4，x ＋y ≤2，选A.3．[2012·某某普通高中联考] 关于x 的方程a x 2＋b x ＋c ＝0(其中a 、b 、c 都是非零平面向量)，且a 、b 不共线，则该方程的解的情况是( )A ．至多有一个解B ．至少有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解3．C [解析] 由已知，x 是实数．关于x 的方程a x 2＋b x ＋c ＝0(其中a 、b 、c 都是非零向量)可化为c ＝－x 2a －xb ，a ，b 不共线且为非零平面向量，由平面向量的基本定理，存在唯一实数对(m ，n )使c ＝m a ＋n b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＝m －x ＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－m ，x ＝－n ，至多有两个解．4．[2012·某某期末] 设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．4．5 [解析] 设OA →，OB →的夹角为α，则cos α＝－2×4＋1×35×5＝－55，∴sin α＝255，S △OAB ＝12×5×5×255＝5.5．[2012·某某质量评估] 如图G5－1，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC ＝BD .若OA ＝1，∠AOB →MD →的取值X 围是________．5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12 [解析] 设OC ＝BD ＝x ，MC →·MD →＝(OC →－OM →)·(OD →－OM →)＝OC →·OD →＋OM →2－OM →·(OC →＋OD →)．∵∠＝∠DOM ＝60°，∴MC →·MD →＝x (1－x )cos120°＋1－x cos60°－(1－x )cos60°＝x 2－x ＋12，x ∈[0,1]．。

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2012届高考数学函数专项突破（分节）精选习题集及详解答案第一部分函数的概念与性质第一节函数的概念题号12345答案一、选择题1．下面哪一个图形可以作为函数的图象( ）2。

下列对应中是映射的是（）A．（1)、（2）、（3）B．（1)、（2）、（5)C．（1）、(3)、(5) D．（1)、（2)、（3）、（5）3．(2009年茂名模拟)已知f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，∅是空集,那么下列结论可以成立的是( )A．A＝B＝∅ B．A＝B≠∅C．A、B之一为∅ D．A≠B且B的元素都有原象4．已知集合M＝错误!，映射f：M→N，在f作用下点（x，y）的元素是（2x,2y)，则集合N ＝( ）A。

错误!B。

错误!C。

错误!D.错误!5．现给出下列对应：（1）A＝{x｜0≤x≤1｝，B＝R－,f：x→y＝ln x；（2）A＝{x｜x≥0｝，B＝R，f：x→y＝±x；（3）A＝{平面α内的三角形},B＝｛平面α内的圆}，f：三角形→该三角形的内切圆；（4）A＝｛0,π｝，B＝{0，1｝，f：x→y＝sin x。

其中是从集A到集B的映射的个数（)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．(2009年珠海一中模拟)已知函数f（x）＝错误!，则错误!＝________。

7．设f：A→B是从集合A到B的映射，A＝B＝{（x,y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b）,若B中元素（6，2）在映射f下的元素是（3,1)，则k，b的值分别为________．8．(2009年东莞模拟)集合A＝{a，b}，B＝｛1，－1，0｝，那么可建立从A到B的映射个数是________．从B到A的映射个数是________．三、解答题9．已知f满足f（ab）＝f（a）＋f（b）,且f(2）＝p，f（3)＝q，求f(72）的值．10．集合M＝｛a，b，c}，N＝｛－1，0，1｝,映射f:M→N满足f(a)＋f(b）＋f（c）＝0,那么映射f:M→N的个数是多少?参考答案1．解析：(4)中元素c没有象，不符合映射定义中的“集A中的任意一个元素在集B中都有元素与之对应”；(5)中，与元素a对应的元素有两个，不符合映射定义中的“对于集A中的任意一个元素，在集B中都有唯一确定的元素与之对应”；而(1)(2）（3）中的对应都符合映射定义．故本题正确答案为A。

2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2012安徽理)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 （D ）3 【解析】选D第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=2.(2012安徽理)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为（ ）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 （D ）2或4 【解析】选D261315132C -=-=①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人3. (2012北京理)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。

【答案】B4．(2012广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任选一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．94 B ．31 C ．92 D ．91解析：（D ）．两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，而其中个位数为0的有5个，是10,30,50,70,90。

所以，所求事件的概率为91455=5．(2012湖北理)设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =A ．0B ．1C ．11D ．12 考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.6.(2012辽宁理) 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。

2012 届高三专长班数学复数总复习高三专长班数学总复习——复数一、知识梳理：1、复数定义：，此中 i 知足。

2、复数 a+bi(a,b ∈R)与复平面内的点 P 一一对应，记向量是一一对应的 . 与虚轴上的点对应，与实轴上的点对应，复数对应的点到原点的距离叫做。

3、复数 z=a+bi(a,b ∈ R) 的共轭复数：4、娴熟记忆掌握运用以下结论：（1）复数相等的充要条件： a+bi=c+di 等价于。

（2）复数z=a+bi(a,b ∈R)是实数的充要条件：，是纯虚数的充要条件：，是虚数的充要条件：，是零的充要条件：。

（3）复数 z=a+bi(a,b ∈ R)的模记作。

5、复数运算：（ 1）复数加法： (a+bi)+(c+di)=（2）复数减法： (a+bi)-(c+di)=（3）乘法： (a+bi)(c+di)=(a+bi)(a-bi)=(a+bi)2=(a-bi)2=（ 4）除法：牛刀小试： (6-5i)+(3+2i)(6-5i)-(3+2i)(6-5i)(3+2i)二、高考链接1 、复数的实部是（）2、设的共轭复数是，若，，则等于（）A．B． c． D．3、复数等于（） ..A ．B.c.D.4、已知（ a,b ∈ R），此中 i 为虚数单位，则 a+b=（）(A)-1(B)1(c)2(D)3三、抢分操练：1、以下 n 的取值中，使 =1(i 是虚数单位）的是（）A.n=2B.n=3c.n=4D.n=52、在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 c．第三象限 D．第四象限 .3 ．若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 Z，则表示复数的点是（）A ．4、若复数为纯虚数，则实数的值为A．B． c． D．或 .5、设（是虚数单位），则（）A．B． c． D．6、i 是虚数单位， i(1+i) 等于（）A．1+iB.-1-ic.1-iD.-1+i7 、复数（）A．2B．－ 2c． D．8、已知复数，那么＝（）（ A）（ B）（ c）（ D）9、是虚数单位，（）A、B、 c、 D、10 、已知是实数，是纯虚数，则=（）（A） 1（ B）-1 （ c）（D） -11、i 是虚数单位，若，则乘积的值是（）（）（A）－ 15（B）－ 3（c） 3（ D） 1512、复数的实部是。

B 函数与导数B1 函数及其表示14．B1[2012·某某卷] 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值X 围是________．14．(0,1)∪(1,2) [解析] y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，－1≤x <1，x ＋1，x <－1或x >1， 在同一坐标系内画出y ＝kx 与y ＝|x 2－1|x －1的图象如图，结合图象当直线y ＝kx 斜率从0增到1时，与y ＝|x 2－1|x －1在x 轴下方的图象有两公共点；当斜率从1增到2时，与y ＝|x 2－1|x －1的图象在x 轴上、下方各有一个公共点．11．B1[2012·某某卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，则f (f (－4))＝________.11．4 [解析] 由题目所给的是一分段函数，而f (－4)＝16，所以f (16)＝4，故答案为4.3．B1[2012·某某卷] 函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]3．B [解析] 本题考查函数的定义域，考查运算能力，容易题．要使函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2有意义，须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，解之得－1<x ≤2且x ≠0.3．B1[2012·某某卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．D [解析] f (x )＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，故选D.5．B1[2012·某某卷] 函数f (x )＝1－2 log 6x 的定义域为________．5．(0，6] [解析] 本题考查函数定义域的求解．解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件．由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0，解得0<x ≤ 6.11．B1[2012·某某卷] 函数y ＝x ＋1x的定义域为________．11．{x |x ≥－1且x ≠0} [解析] 本题考查函数的定义域，函数有意义，满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0.解得{x |x ≥－1且x ≠0}．9．B1[2012·某某卷] 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π9．B [解析] 解题的关键是求分段函数的值时，一定要认真分析自变量所在的区间，因为各段上的解析式是不相同的．∵π是无理数，∴g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0，所以选择B.13．B1[2012·某某卷] 函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示)13.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 由⎩⎨⎧1－2x ≠0，1－2x ≥0，解得x ＜12，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.B2 反函数2．B2[2012·全国卷] 函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( )A ．y ＝x 2－1(x ≥0)B ．y ＝x 2－1(x ≥1)C ．y ＝x 2＋1(x ≥0)D ．y ＝x 2＋1(x ≥1)2．A [解析] 本小题主要考查求反函数的方法．解题的突破口为原函数与反函数定义域与值域的关系和反解x 的表达式．由y ＝x ＋1得y 2＝x ＋1，即x ＝y 2－1，交换x 和y 得y ＝x 2－1，又原函数的值域为y ≥0，所以反函数的定义域为x ≥0，故选A.B3 函数的单调性与最值16．B3[2012·课标全国卷] 设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.16．[答案] 2[解析] 因为f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则f (x )＝g (x )＋1.由g (－x )＝－2x －sin xx 2＋1＝－g (x )及函数g (x )的定义域为R ，得函数g (x )是奇函数，故g (x )max 与g (x )min 互为相反数．故g (x )max ＋g (x )min ＝0.易知M ＝g (x )max ＋1，m ＝g (x )min ＋1，所以M ＋m ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝0＋2＝2.13．B3[2012·某某卷] 若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.13．－6 [解析] 容易作出函数f (x )的图像(图略)，可知函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a2＝3，解得a ＝－6.12．B2、D2[2012·某某卷] 设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．21 12．D [解析] 记公差为d ， 则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋(a 2－3)3＋…＋(a 7－3)3＋(a 1＋a 2＋…＋a 7)－7＝(a 4－3d －3)3＋(a 4－2d －3)3＋…＋(a 4＋2d －3)3＋(a 4＋3d －3)3＋7a 4－7＝7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7.由已知，7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7a 4－7＝14，即7(a 4－3)3＋7×3(a 4－3)＋7(a 4－3)＝0，∴(a 4－3)3＋4(a 4－3)＝0.因为f (x )＝x 3＋4x 在R 上为增函数，且f (0)＝0， 故a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝7×3＝21.2．B3、B4[2012·某某卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0、x ＝0、x <0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.8．B3、B10[2012·卷] 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．118．C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S n n取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n 的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0m ＋1－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.14．A2、A3、B3、E3[2012·卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值X 围是________．14．(－4,0) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．由已知g (x )＝2x－2<0，可得x <1，要使∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m <1，－m －3<1， 可得m ∈(－4,0)．20．B3、D4、M4[2012·卷] 设A 是如下形式的2行3列的数表，a b c d ef满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f b ＋c ＋d ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1,2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1,2,3)； 记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k (A )的值；1 1 －0.8 0.1－0.3－1(2)设数表A 形如11 －1－2d d d－1其中－1≤d ≤0，求k (A )(3)对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求k (A )的最大值．20．解：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8， 所以k (A )＝0.7.(2)r 1(A )＝1－2d ，r 2(A )＝－1＋2d ， c 1(A )＝c 2(A )＝1＋d ，c 3(A )＝－2－2d .因为－1≤d ≤0，所以|r 1(A )|＝|r 2(A )|≥1＋d ≥0， |c 3(A )|≥1＋d ≥0.所以k (A )＝1＋d ≤1.当d ＝0时，k (A )取得最大值1. (3)任给满足性质P 的数表A (如下所示)．任意改变A 所得数表A *仍满足性质P ，并且k (A )＝k (A *)．因此，不妨设r 1(A )≥0，c 1(A )≥0，c 2(A )≥0. 由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c 1(A )，k (A )≤c 2(A )． 从而3k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A ) ＝(a ＋b ＋c )＋(a ＋d )＋(b ＋e ) ＝(a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f )＋(a ＋b －f ) ＝a ＋b －f ≤3. 所以k (A )≤1.由(2)知，存在满足性质P 的数表A 使k (A )＝1. 故k (A )的最大值为1.6．B3、B4[2012·某某卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R6．B [解析] 法一：由偶函数的定义可排除C 、D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1,2)内不单调递增，故选B.法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增．22．B3、B9、B12[2012·某某卷] 已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明． 22．解：(1)由已知f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0.当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32＜0.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0， 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的．所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内至少存在一个零点．又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有且仅有一个零点．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得g (m )＝0. 由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有g ′(x )＜0， 从而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内单调递减． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 上无零点； 当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减． 又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 8．B3、B10[2012·卷] 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m )图1－6A ．5B ．7C ．9D ．118．C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S n n取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n 的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0m ＋1－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.16．B3、B4[2012·某某卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 16．[答案] 32[解析] 本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. B4 函数的奇偶性与周期性12．B4[2012·某某卷] 若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.12．4 [解析] 因为f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，所以根据f (x )为偶函数得f (x )＝f (－x )，即x 2＋(a －4)x －4a ＝x 2＋(4－a )x －4a ，所以a －4＝4－a ，解得a ＝4.9．B4[2012·某某卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.9．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数． 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，∴f (1)＝－1， 则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 4．B4[2012·某某卷] 下列函数为偶函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋14．D [解析] 根据奇偶性的定义知A 、B 都为奇函数，C 非奇非偶函数，D 是偶函数，所以选择D.6．B3、B4[2012·某某卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R6．B [解析] 法一：由偶函数的定义可排除C 、D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1,2)内不单调递增，故选B.法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增． 2．B3、B4[2012·某某卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0、x ＝0、x <0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.16．B3、B4[2012·某某卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 16．[答案] 32[解析] 本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. B5 二次函数12．B5[2012·某某卷] 设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( ) A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0 C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0 D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<012．B [解析] 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难． 当y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )图象有且仅有两个不同的公共点时，其图象为作出点A 关于原点的对称点C 11x 1<x 2，－y 1>y 2，故x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0，故选B.6．B5、B6[2012·某某卷] 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．6．log 23 [解析] 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．把原方程转化为(2x )2－2·2x －3＝0，化为(2x －3)(2x＋1)＝0，所以2x ＝3，或2x＝－1(舍去)，两边取对数解得x ＝log 23.B6 指数与指数函数4．B6[2012·某某卷] 函数＝x－(>0，且≠1)的图象可能是( )1－14．C [解析] 由f (1)＝0可知选C.15．B6、B8[2012·某某卷] 若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.15.14[解析] 本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．∵g (x )＝(1－4m )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴m <14.当a >1时，f (x )的最大值为a 2＝4，即a ＝2，m ＝2－1＝12>14，与m <14相矛盾，舍去；当0<a <1时，f (x )的最大值为a －1＝4，即a ＝14，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142<14成立．4．B6、B7[2012·某某卷] 已知a ＝21.2，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2 log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．A [解析] ∵a ＝21.2>2,1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，c ＝2log 52＝log 54<1，∴c <b <a .6．B5、B6[2012·某某卷] 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．6．log 23 [解析] 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．把原方程转化为(2x )2－2·2x －3＝0，化为(2x －3)(2x＋1)＝0，所以2x ＝3，或2x＝－1(舍去)，两边取对数解得x ＝log 23.11．B6、B7[2012·课标全国卷] 当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 11．B [解析] 当a >1时，因为0<x ≤12，所以log a x <0.不满足4x<log a x ，故舍去；当0<a <1时，因为0<x ≤12，数形结合易得，需满足412<log a 12，得2<log a 12，则a 2>12，解得a >22或a <－22.结合前提条件得22<a <1.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.故选B. 5．B6、B8、B9[2012·卷] 函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B [解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.7．E1、B6、B7[2012·某某卷] 设 ①c a ＞c b；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D [解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．10．A1、E3、B6[2012·某某卷] 设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0|，则N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( )A ．(1，＋∞) B．(0,1) C ．(－1,1) D ．(－∞，1)10．D [解析] 因为f (g (x ))＝[g (x )]2－4g (x )＋3，所以解关于g (x )不等式[g (x )]2－4g (x )＋3＞0，得g (x )＜1或g (x )＞3，即3x －2＜1或3x－2＞3，解得x ＜1或x ＞log 35，所以M ＝(－∞，1)∪(log 35，＋∞)，又由g (x )＜2，即3x －2＜2,3x＜4，解得x ＜log 34，所以N ＝(－∞，log 34)，故M ∩N ＝(－∞，1)，选D.B7 对数与对数函数7．B7[2012·某某卷] 已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c7．B [解析] 因为a ＝log 233＞1，b ＝log 293＝log 233＞1，又∵0＝log 31＜log 32＜log 33＝1，∴a ＝b ＞c ，选B.11．B7[2012·全国卷] 已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x 11．D [解析] 本小题主要考查对数与指数的大小比较，解题的突破口为寻找中间量作比较．x ＝lnπ>lne＝1,0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e >14＝12，∴y <z <x ，故选D.12．B7[2012·卷] 已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.12．2 [解析] 本题考查函数解析式与对数运算性质．因为f (ab )＝lg(ab )＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(ab )2＝2lg(ab )＝2.3．B7[2012·某某卷] (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．43．D [解析] (解法一)由换底公式，得()log 29·()log 34＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3lg2·2lg2lg3＝4.(解法二)()log 29·()log 34＝()log 232·()log 322＝2()log 23·2()log 32＝4.4．B6、B7[2012·某某卷] 已知a ＝21.2，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2 log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．A [解析] ∵a ＝21.2>2,1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，c ＝2log 52＝log 54<1，∴c <b <a .7．E1、B6、B7[2012·某某卷] 设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D [解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．2．A1、B7[2012·某某卷] 设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]2．D [解析] 根据已知条件，可求得A ＝[]－1，2，B ＝()1，＋∞，所以A ∩B ＝[]－1，2∩()1，＋∞＝(]1，2.11．B6、B7[2012·课标全国卷] 当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 11．B [解析] 当a >1时，因为0<x ≤12，所以log a x <0.不满足4x<log a x ，故舍去；当0<a <1时，因为0<x ≤12，数形结合易得，需满足412<log a 12，得2<log a 12，则a 2>12，解得a >22或a <－22.结合前提条件得22<a <1.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.故选B. B8 幂函数与函数的图像象15．B6、B8[2012·某某卷] 若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.15.14[解析] 本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．∵g (x )＝(1－4m )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴m <14.当a >1时，f (x )的最大值为a 2＝4，即a ＝2，m ＝2－1＝12>14，与m <14相矛盾，舍去；当0<a <1时，f (x )的最大值为a －1＝4，即a ＝14，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142<14成立．5．B6、B8、B9[2012·卷] 函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B [解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.6．B8[2012·某某卷] 已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图1－1所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )图1－1图16．B[解析] y ＝f (x )→y ＝f (－x )→y ＝f [－(x －2)]→y ＝－f (2－x )，即将y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向右平移2个单位长度，然后关于x 轴对称，即为B 图象．B9 函数与方程21．B9、B12、E5[2012·某某卷] 设函数f (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值；(3)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值X 围．21．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n＋x －1. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点． 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＝nx n －1＋1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点．(2)解法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f－1≤1，－1≤f 1≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.由图像知，b ＋3c 在点(0，－2)取到最小值－6， 在点(0,0)取到最大值0，∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法二：由题意知－1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1，即－2≤b ＋c ≤0，① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1，即－2≤－b ＋c ≤0，② ①×2＋②得－6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0，当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， 所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法三：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝1－b ＋c ，f 1＝1＋b ＋c ，解得b ＝f 1－f －12，c ＝f 1＋f －1－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1， ∴－6≤b ＋3c ≤0，所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.(3)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立． 综上可知，－2≤b ≤2.注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者． 当－1≤－b2≤1，即－2≤b ≤2时，M ＝max{f (1)，f (－1)}－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝f －1＋f 12＋|f －1－f 1|2－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝1＋c ＋|b |－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 24＋c＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋|b |22≤4恒成立．3．B9、C1[2012·某某卷] 函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．D[解析] 要使f (x )＝x cos2x ＝0，则x ＝0或cos2x ＝0，而cos2x ＝0(x ∈[0,2π])的解有x ＝π4，3π4，5π4，7π4，所以零点的个数为5.故选D.22．B3、B9、B12[2012·某某卷] 已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明． 22．解：(1)由已知f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0.当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32＜0.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0， 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的．所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内至少存在一个零点．又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有且仅有一个零点．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得g (m )＝0. 由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有g ′(x )＜0， 从而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内单调递减． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 上无零点； 当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减． 又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．5．B6、B8、B9[2012·卷] 函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．B [解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，可得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令h (x )＝x 12，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，所以函数f (x )的零点个数就是函数h (x )与g (x )的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f (x )的零点个数为1，答案为B.B10 函数模型及其应用21．B10、B11、B12 [2012·某某卷] 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0.21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－a 6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a6，a 6.(2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2.设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0.故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.18．B10、B11、B12[2012·卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值X 围．18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28； 当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值X 围是(－∞，－3]．18．K2、B10、I2[2012·课标全国卷] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．18．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85. 所以y 关于n 的函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )． (2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.18．B10、I4[2012·某某卷] 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)18．解：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．B11 导数及其运算9．B11[2012·某某卷] 设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点9．D [解析] 所给的原函数f (x )＝2x ＋ln x 的导函数为f ′(x )＝－2x 2＋1x，令f ′(x )＝0可得x ＝2，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为极小值点，故选D.13．B11[2012·课标全国卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． 13．[答案] y ＝4x －3[解析] y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4.故所求切线方程为y －1＝4(x－1)，即4x －y －3＝0.21．B10、B11、B12 [2012·某某卷] 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0.21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－a 6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a6，a 6.(2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2.设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0.故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.18．B10、B11、B12[2012·卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值X 围．18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28； 当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值X 围是(－∞，－3]． 12．B11[2012·某某卷] 已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8 12．C [解析] 本小题主要考查导数的几何意义的应用．解题的突破口为求切点坐标和切线的斜率．由x 2＝2y 可知y ＝12x 2，这时y ′＝x ，由P ，Q 的横坐标为4，－2，这时P (4,8)，Q (－2,2), 以点P 为切点的切线方程PA 为y －8＝4(x －4)，即4x －y －8＝0①；以点Q 为切点的切线方程QA 为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0②；由①②联立得A 点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4.7．D3、B11[2012·某某卷] 有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.7.87[解析] 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型．由已知可知V 1，V 2，V 3，…构成新的等比数列，首项V 1＝1，公比q ＝18，由极限公式得lim n →∞ (V 1＋V 2＋…＋V n )＝V 11－q ＝11－18＝87. 10．B11、B12、E1[2012·某某卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a <b10．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a ＋2a ＝e b ＋3b ，有e a ＋3a >e b ＋3b ，令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a －2a ＝e b －3b ，有e a －2a <e b －2b ，令函数f (x )＝e x －2x ，则f ′(x )＝e x－2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C 、D 错误．B12 导数的应用8．B12[2012·某某卷] 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是()图1－18．C [解析] 在A 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处没有极值；在B 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝－2处没有极值；在C 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝－2处取得极小值；在D 中，当x ＜－2时，由图象知y ＝xf ′(x )＜0，则f ′(x )＞0；当－2＜x ＜0时，由图象知y ＝xf ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处取得极大值．综上所知，选C.20．B12[2012·某某卷] 已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值X 围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 极小值(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f －2＜0，f －1＞0，f 0＜0，解得0＜a ＜13.所以，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减．因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]， 且－1,1∈[t ，t ＋3]．下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)． f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53，所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.21．B10、B11、B12 [2012·某某卷] 已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0.21．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－a 6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a6，a 6.(2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2.设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0.故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.10．B11、B12、E1[2012·某某卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a <b10．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a ＋2a ＝e b ＋3b ，有e a ＋3a >e b ＋3b ，令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a －2a ＝e b －3b ，有e a －2a <e b －2b ，令函数f (x )＝e x －2x ，则f ′(x )＝e x－2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C 、D 错误．22．B12[2012·某某卷] 已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.22．解：(1)由f (x )＝ln x ＋kex， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.。