对 数 函 数 含答案

(每日一练)通用版高一数学指对幂函数高频考点知识梳理单选题1、已知函数f(x)=te x−lnx+lnt对任意x∈(0,+∞)都有f(x)≥0，则正数t的最小值为（）A．e2B．1e2C．e D．1e答案：D解析：转化f(x)≥0为e x+lnt+x+lnt≥e lnx+lnx，令g(x)=x+lnx，则g(x+lnt)≥g(lnx)，结合g(x)的单调性分析即得解根据题意得f(x)=te x−lnx+lnt=e x+lnt−lnx+lnt≥0，即e x+lnt+x+lnt≥x+lnx=e lnx+lnx，令g(x)=x+lnx，则g(x+lnt)≥g(lnx)，由于y=x,y=lnx都在(0,+∞)单调递增故g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，所以x+lnt≥lnx，所以lnt≥lnx−x在(0,+∞)上恒成立，令ℎ(x)=lnx−x,ℎ′(x)=1x −1=1−xx(x>0)令ℎ′(x)>0∴x<1，故函数ℎ(x)在(0,1)单调递增；令ℎ′(x)<0∴x>1，故函数ℎ(x)在(1,+∞)单调递减故ℎ(x)max=ℎ(1)=−1所以lnt ≥(lnx −x)max =−1，即t ≥1e ，所以正数t 的最小值为1e .故选：D2、已知a =ln0.5，b =30.2，c =0.30.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a答案：D解析：本题首先可以结合指数函数与对数函数性质得出a <0、b >1以及0.3<c <1，然后通过对比即可得出结果。

因为a =ln0.5<ln1=0，所以a <0，因为b =30.2>30=1，所以b >1，因为c =0.30.5<0.30=1，c =0.30.5>0.31=0.3，所以0.3<c <1，综上所述，b >c >a ，故选D 。

求对数函数解析式 专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知幂函数y =f (x )的图象经过点(2, 4)，则f (x )的解析式（ ）A.f (x )=2xB.f (x )=x 2C.f (x )=2xD.f (x )=x +22. 已知函数g(x)=log a (x −3)+2(a >0, a ≠1)的图象经过定点M ，若幂函数f(x)=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A.−1B.12C.2D.33. 如果对数函数y =log a x 的图象经过点P(18, 3)，则底a =( )A.2B.−2C.12D.−124. 已知幂函数y =f (x )的图象过点(2,14)，则log 2f (4)的值为（ ）A.2B.−4C.4D.−25. 函数f(x)=(a 2−3a +3)log a x 是对数函数，则a 的值是（ ）A.a =1或a =2B.a =1C.a =2D.a >0或a ≠16. 若函数y =log a x(a >0,a ≠1)的图象过点(4,−2),且函数y =f(x)的图象与函数y =log a x(a >0,a ≠1)的图象关于直线y =x 对称，则f(x)=________.7. 已知函数g(x)=(a +1)x−2+1(a >0)的图象恒过定点A ，且点A 又在函数f(x)=log 3(x +a)的图象上．则实数a =________．8. 若对数函数y =f(x)图象过点(4, 2)，则其解析式是________．9. 函数f(x)={ax +b(x ≤0)，log c (x +19)(x >0)，的图象如图所示，则a +b +c =________.10. 设函数f(x)、g(x)的定义域分别为M，N，且M⊆N，若对任意的x∈M，都有g(x)=f(x)，则称g(x)是f(x)的“拓展函数”．已知函数f(x)=13log2x，若g(x)是f(x)的“拓展函数”，且g(x)是偶函数，则符合条件的一个g(x)的解析式是________．11. 已知函数f(x)=a−log2x的图象经过点A(1, 1)，则不等式f(x)>1的解集为________．12. 把函数f (x)=lg(1−x)的图象按向量a=(−1, 0 )平移，所得图象的函数解析式是________．13. y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称，f(x)的表达式为________．14. 将函数y=lg x图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为________．15. 已知对数函数f(x)的图象过点(4,−2)，则不等式f(x−1)−f(x+1)>3的解集为________.16. 已知f(x)=log12(10−ax)其中a为常数，f(3)=−2．（1）求a值；（2）若g(x)={a2(1≤x≤2)a 2x−a2(2<x≤3)，对任意的实数m，记V(m)为在定义域内g(x)−mx的最大值与最小值的差，求V(m)的最小值．17. 已知函数f(x)=log3(ax+b)图象过点A(2, 1)和B(5, 2)，设a n=3f（n），n∈N∗．（1）求函数f(x)的解析式及数列{a n}的通项公式；（2）求使不等式(1+1a1)(1+1a2)…(1+1a n)≥a√2n+1对一切n∈N∗均成立的最大实数a；（3）对每一个k∈N∗，在a k与a k+1之间插入2k−1个2，得到新数列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，记为{b n}，设T n是数列{b n}的前n项和，试问是否存在正整数m，使T m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．18. 已知指数函数f(x)=a x（a>0且a≠1），g(x)为f(x)的反函数.(1)写出函数g(x)的解析式；(2)解关于x的不等式g(x)−loga (2−3x)≤loga1.19. 已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)，且函数的图象过点(2, 1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(m2−m)<1成立，求实数m的取值范围．20. 已知函数f(x)=log a x+b（其中a，b均为常数，a>0且a≠1）的图象经过点(2,5)与点(8,7).(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)=b x−a x+2，若对任意的x1∈[1,4]，存在x2∈[0,log25]，使得f(x1)= g(x2)+m成立，求实数m的取值范围.21. 某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时奖金y为1万元，销售额x达到64万元时，奖金y为4万元，若公司拟定的奖励模型为y=a log4x+b，某员工想要得到8万元的奖金，则他的销售额应为多少．22. 已知函数f(x2−1)=log a x2−log a(2−x2)(a>0且a≠1).(1)求f(x)的解析式并判断f(x)的奇偶性；(2)解关于x的不等式f(x)≥loga11−x.23. 已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)，且函数的图象过点(2, 1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)计算log4a−2loga3+loga18.24. 已知g(x)是对数函数，且它的图象恒过点(e, 1)；f(x)是二次函数，且不等式f(x)>0的解集是(−1, 3)，且f(0)=3．（1）求g(x)的解析式（2）求f(x)的解析式；（3）写出y=f(x)的单调递减区间（不用写过程）．并用减函数的定义给予证明．（要写出证明过程）25. 已知函数f(x)=log a(x+1)(a>1)，若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．（1）写出函数g(x)的解析式；（2）当x∈[0, 1)时，总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围．26. 设函数f(x)=log a(x+b)(a>0且a≠1)，f(x)的反函数f−1(x)的图象与直线y= x的两个交点的横坐标分别为0、1．(I)求函数f(x)的解析式；(II)当点(x, y)是y=f(x)图象上的点时，点(x3，y2)是函数y=g(x)上的点，求函数y=g(x)的解析式：(III)在(II)的条件下，当g(kx3)−f(x)≥0时，求x的取值范围（其中k是常数，且k≥32）．27. 已知函数f(x)=log3(ax−b)的图象过点A(2, 1)，B(5, 2)，（1）求函数f(x)的解析式；（2）记a n=3f（n）(n∈N∗)，是否存在正数k，使得(1+1a1)(1+1a2)…(1+1a n)≥k√2n+1对一切n∈N∗均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析求对数函数解析式专题含答案一、选择题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）1.【答案】B【考点】求对数函数解析式【解析】先设出幂函数的解析式，再利用幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4)，结合代入法求出幂函数的解析式．【解答】设f(x)=x a=f(2)=2a=4⇒a=2⇒f(x)=x2故答案为：B．2.【答案】B【考点】求对数函数解析式幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由对数函数的性质得到点M(4,2)在幂函数f(x)=x a的图象上，由此先求出幂函数f(x)，从而能求出α的值．【解答】:y=loga(x−3)+2(a>0,a≠1)的图象过定点M，M(4,2)：点M(4,2)也在幂函数f(x)=x a的图象上，f(4)=4a=2，解得lgα=12故答案为：B．3.【答案】C【考点】求对数函数解析式【解析】根据已知中对数函数y=loga x的图象经过点P(18, 3)，可得loga18=3，即a3=18，解得答案．【解答】解：∵对数函数y=loga x的图象经过点P(18, 3)，∴loga 18=3，即a3=18，解得：a=12.故选C．4.【答案】B【考点】求对数函数解析式对数的运算性质【解析】利用待定系数法求出f(x)的表达式即可．【解答】解：设f(x)=x n则f(2)=2a=14，解得a=−2则f(x)=1x2f(4)=116则log2f(4)=log2(2−4)=−4故答案为：B．5.【答案】C【考点】求对数函数解析式【解析】由对数函数的定义可得a2−3a+3=1且a>0且a≠1，解方程可得．【解答】解：∵函数f(x)=(a2−3a+3)log a x是对数函数，∴a2−3a+3=1且a>0且a≠1，解a2−3a+3=1可得a=1或a=2，∴a=2，故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）6.【答案】(1 2 )x【考点】求对数函数解析式反函数【解析】此题暂无解析【解答】解：函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象过点(4,−2), 则有log a4=−2,所以a=1,2函数y=f(x)是y=log a x(a>0,a≠1)的反函数，)x.则f(x)=(12)x.故答案为：(127.【答案】7【考点】指数函数的图象与性质求对数函数解析式【解析】令x−2=0，求出A点的坐标，将A带入f(x)，求出a的值即可．【解答】解：令x−2=0，解得：x=2，此时g(2)=2，故定点A=(2, 2)，(x+a)的图象上，又点A又在函数f(x)=log3(a+2)=2，解得：a=7.则log3故答案为：7．8.【答案】xf(x)=log2【考点】求对数函数解析式【解析】利用待定系数法求出对数函数的解析式．【解答】x，(a>0且a≠1)，解：设对数函数y=f(x)=loga因为对数函数的图象过点(4, 2)，4=2，解得a=2，所以f(4)=logax．所以对数函数的解析式为f(x)=log2x．故答案为：f(x)=log29.【答案】133【考点】求对数函数解析式分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：由图象可求得x≤0时，f(x)=2x+2，所以a=b=2.又函数y=logc (x+19)的图象过点(0,2)，将(0,2)代入可得c=13，所以a+b+c=2+2+13=133．故答案为：133.10.【答案】g(x)=13log2|x|（其它符合条件的函数也可）【考点】求对数函数解析式【解析】根据“拓展函数”的定义可构造g(x)．【解答】解：f(x)=13log2x的定义域M=(0, +∞)，g(x)=13log2|x|的定义域N=(−∞, 0)∪(0, +∞)，满足M⊆N，又当x>0时，g(x)=13log2|x|=13log2x=f(x)，故g(x)=13log2|x|是f(x)的“拓展函数”，故答案为：g(x)=13log2|x|．11.【答案】{x|0<x<1}【考点】求对数函数解析式对数函数的单调性与特殊点【解析】由于f(x)=a−log2x的图象经过点A(1, 1)，利用待定系数法求得a值，则不等式f(x)>1可化成：1−log2x>1最后利用对数的单调性即可求得不等式f(x)>1的解集．【解答】解：∵函数f(x)=a−log2x的图象经过点A(1, 1)，∴1=a−log21，∴a=1则不等式f(x)>1可化成：1−log2x>1即log2x<0∴0<x<1不等式f(x)>1的解集为{x|0<x<1}．故答案为：{x|0<x <1}．12.【答案】y =lg (−x)【考点】求对数函数解析式【解析】直接利用函数图象按 a →=(−1,0)平移，求出函数的解析式，即可．【解答】解：函数f (x)=lg (1−x)的图象按向量 a →=(−1,0)平移后所得图象的解析式：y =lg [1−(x +1)]+0，即 y =lg (−x)故答案为：y =lg (−x)．13.【答案】−log 2(−x)【考点】求对数函数解析式【解析】由“y =f(x)的图象与函数g(x)=log 2x(x >0)的图象关于原点对称”借用奇函数的图象性质，则用f(x)=−g(−x)求解．【解答】解：∵ y =f(x)的图象与函数g(x)=log 2x(x >0)的图象关于原点对称∴ f(x)=−g(−x)=−log 2(−x)故答案为：−log 2(−x)14.【答案】y =lg (x +1)−2【考点】求对数函数解析式【解析】图象的变换体现在自变量和函数的变化，向左平移1个单位就是将x →x +1，向下平移2个单位就是将y →y +2，从而得解．【解答】解：∵ 函数y =lg x 图象先向左平移1个单位∴ 得y =lg (x +1)∵ 再向下平移2个单位∴ 得y =lg (x +1)−2．故填：y =lg (x +1)−2．15.【答案】(1,97)【考点】求对数函数解析式指、对数不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：令f(x)=loga x.∵函数f(x)的图象过点(4,−2)，∴loga 4=−2，解得a=12，∴f(x)=log12x，不等式f(x−1)−f(x+1)>3可化为：log12(x−1)−log12(x+1)>3，∴log12x−1x+1>3，即{x−1x+1<18，x−1>0，x+1>0，解得1<x<97.故答案为：(1,97).三、解答题（本题共计 12 小题，每题 10 分，共计120分）16.【答案】解：（1）∵f(3)=−2，∴log 12(10−3a)=−2，⇒10−3a=4，易求得：a=2；（2）因为a=2，所以得到：g(x)={1(1≤x≤2)x−1(2<x≤3)进而得到V(m)={1−mx(1≤x≤2)(1−m)x−1(2<x≤3)分情况讨论如下：①若m<0，max{g(x)−mx|x∈[1, 3]}=2−3m，min{g(x)−mx|x∈[1, 3]}=1−m，V(m)=1−2m>1②若m=0，V(m)=1③若0<m<1，如图，g(m)min=V(2)=1−2m，当0<m≤12，g(m)max=V(3)=2−3m，当12<m<1，则g(m)max=V(1)=1−m此时，分析得V(m)≥12．④若m=1，V(m)=1．⑤若m>1，V(m)=2m−1≥1．综合以上得到V(m)的最小值为12．【考点】求对数函数解析式函数的最值及其几何意义【解析】（1）利用题中条件：“f(3)=−2，”得log12(10−3a)=−2，易求得a值；（2）由（1）得：g(x)={1(1≤x≤2)x−1(2<x≤3)，进而得到V(m)={1−mx(1≤x≤2)(1−m)x−1(2<x≤3)，下面分情况讨论如下：①若m<0，②若m=0，V(m)=1；③若0<m<1，④若m=1，V(m)=1；⑤若m>1，V(m)=2m−1≥1．最后综合以上得到V(m)的最小值．【解答】解：（1）∵f(3)=−2，∴log12(10−3a)=−2，⇒10−3a=4，易求得：a=2；（2）因为a=2，所以得到：g(x)={1(1≤x≤2)x−1(2<x≤3)进而得到V(m)={1−mx(1≤x≤2)(1−m)x−1(2<x≤3)分情况讨论如下：①若m<0，max{g(x)−mx|x∈[1, 3]}=2−3m，min{g(x)−mx|x∈[1, 3]}=1−m，V(m)=1−2m>1②若m=0，V(m)=1③若0<m<1，如图，g(m)min=V(2)=1−2m，当0<m ≤12，g(m)max =V(3)=2−3m ，当12<m <1，则 g(m)max =V(1)=1−m 此时，分析得V(m)≥12．④若m =1，V(m)=1．⑤若m >1，V(m)=2m −1≥1． 综合以上得到V(m)的最小值为12． 17. 【答案】解：（1）由已知，得{log (2a +b)3 =1log (5a +b)3 =2解得：{a =2b =−1．∴ f(x)=log 3(2x −1)，(x >12)… ∴ a n =3log 3(2n−1)=2n −1．n ∈N ∗ ∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n −1… （2）由题意a ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1an)对n ∈N ∗均成立… 记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)则F(n+1)F(n)=√(2n+1)(2n+3)=√4(n+1)2−1>2(n+1)2(n+1)=1∵ F(n)>0，∴ F(n +1)>F(n)∴ F(n)随着n 的增大而增大… 而F(n)的最小值为F(1)=2√33∴ a ≤2√33，即a 的最大值为2√33… （3）∵ a n =2n −1∴ 在数列{b n }中，a m 及其前面所有项之和为[1+3+5+...+(2m −1)]+(2+22+...+2m−1)=m 2+2m −2…∵ 102+210−2=1122<2008<112+211−2=2167 即a 10<2008<a 11…又a 10在数列{b n }中的项数为：10+1+2+...+28=521… 且2008−1122=886=443×2所以存在正整数m =521+443=964，使得S m =2008… 【考点】数列与函数最值问题 数列与不等式的综合 数列与函数的综合 数列的求和 等差数列的通项公式求对数函数解析式【解析】（1）直接把点A(2, 1)和B(5, 2)的坐标代入函数方程求出a ，b 的值，即可求函数f(x)的解析式及数列{a n }的通项公式； （2）先把问题转化为a ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)对n ∈N ∗均成立，再记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)，相邻两相作商得到其单调行，进而求出其最小值即可得到最大实数a ；（3）先根据条件求出a m 及其前面所有项之和的表达式，再根据102+210−2=1122<2008<112+211−2=2167，即a 10<2008<a 11，即可找到满足条件的m 的值． 【解答】解：（1）由已知，得{log (2a +b)3 =1log (5a +b)3 =2解得：{a =2b =−1．∴ f(x)=log 3(2x −1)，(x >12)… ∴ a n =3log 3(2n−1)=2n −1．n ∈N ∗ ∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n −1… （2）由题意a ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)对n ∈N ∗均成立…记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n) 则F(n+1)F(n)=√(2n+1)(2n+3)=√4(n+1)2−1>2(n+1)2(n+1)=1∵ F(n)>0，∴ F(n +1)>F(n)∴ F(n)随着n 的增大而增大… 而F(n)的最小值为F(1)=2√33∴ a ≤2√33，即a 的最大值为2√33… （3）∵ a n =2n −1∴ 在数列{b n }中，a m 及其前面所有项之和为[1+3+5+...+(2m −1)]+(2+22+...+2m−1)=m 2+2m −2…∵ 102+210−2=1122<2008<112+211−2=2167 即a 10<2008<a 11…又a 10在数列{b n }中的项数为：10+1+2+...+28=521… 且2008−1122=886=443×2所以存在正整数m =521+443=964，使得S m =2008… 18.【答案】解：(1)因为指数函数f(x)=a x （a >0且a ≠1）， 所以g(x)=log a x （a >0且a ≠1）.(2)由g(x)−log a (2−3x)≤log a 1， 得log a x ≤log a (2−3x).①当a >1时，因为函数y =log a x 在(0,+∞)上单调递增， 所以 {x ≤2−3x ，x >0，解得0<x ≤12；②当0<a <1时，因为函数y =log a x 在(0,+∞)上单调递减， 所以{x ≥2−3x ，2−3x >0，解得12≤x <23.综上，当a >1时，原不等式的解集为(0,12]；当0<a <1时，原不等式的解集为[12,23).【考点】其他不等式的解法 求对数函数解析式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为指数函数f(x)=a x （a >0且a ≠1）， 所以g(x)=log a x （a >0且a ≠1）. (2)由g(x)−log a (2−3x)≤log a 1， 得log a x ≤log a (2−3x).①当a >1时，因为函数y =log a x 在(0,+∞)上单调递增， 所以 {x ≤2−3x ，x >0，解得0<x ≤12；②当0<a <1时，因为函数y =log a x 在(0,+∞)上单调递减， 所以{x ≥2−3x ，2−3x >0，解得12≤x <23.综上，当a >1时，原不等式的解集为(0,12]； 当0<a <1时，原不等式的解集为[12,23). 19. 【答案】解：(1)∵ 函数f(x)的图象过点(2, 1)， ∴ f(2)=1，即log a 2=1，解得a =2， 因此，f(x)=log 2x(x >0)； (2)f(m 2−m)=log 2(m 2−m)， ∵ f(m 2−m)<1且1=log 22， ∴ log 2(m 2−m)<log 22， 该不等式等价为：{m 2−m >0，m 2−m <2，解得，−1<m <0或1<m <2，所以实数m 的取值范围为(−1, 0)∪(1, 2)． 【考点】指、对数不等式的解法 求对数函数解析式【解析】（1）直接根据函数图象过点(2, 1)求出实数a ；（2）根据对数函数的单调性列出不等式组{m 2−m >0m 2−m <2，解出不等式即可．【解答】解：(1)∵ 函数f(x)的图象过点(2, 1)， ∴ f(2)=1，即log a 2=1，解得a =2， 因此，f(x)=log 2x(x >0)； (2)f(m 2−m)=log 2(m 2−m)， ∵ f(m 2−m)<1且1=log 22， ∴ log 2(m 2−m)<log 22， 该不等式等价为：{m 2−m >0，m 2−m <2，解得，−1<m <0或1<m <2，所以实数m 的取值范围为(−1, 0)∪(1, 2)． 20. 【答案】 解：(1)由已知得{log a 2+b =5，log a 8+b =7，消去b ，得log a 8−log a 2=log a 4=2， 即a 2=4.又因为a >0，且a ≠1， 解得a =2，b =4.(2)由(1)知函数f(x)=log 2x +4，g(x)=4x −2x+2.当x ∈[1,4]时，函数f(x)=log 2x +4单调递增，其值域为A =[4,6]. 令2x =t ，当x ∈[0,log 25]时，t ∈[1,5]，于是g(x)=4x −2x+2=t 2−4t =(t −2)2−4∈[−4,5].设函数ℎ(x)=g(x)+m，则函数ℎ(x)的值域为B=[−4+m,5+m]，根据条件知A⊆B，于是{5+m≥6，−4+m≤4，解得1≤m≤8.所以实数m的取值范围为[1, 8].【考点】函数恒成立问题求对数函数解析式函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由已知得{log a2+b=5，log a8+b=7，消去b，得loga 8−loga2=loga4=2，即a2=4.又因为a>0，且a≠1，解得a=2，b=4.(2)由(1)知函数f(x)=log2x+4，g(x)=4x−2x+2.当x∈[1,4]时，函数f(x)=log2x+4单调递增，其值域为A=[4,6]. 令2x=t，当x∈[0,log25]时，t∈[1,5]，于是g(x)=4x−2x+2=t2−4t=(t−2)2−4∈[−4,5].设函数ℎ(x)=g(x)+m，则函数ℎ(x)的值域为B=[−4+m,5+m]，根据条件知A⊆B，于是{5+m≥6，−4+m≤4，解得1≤m≤8.所以实数m的取值范围为[1, 8].21.【答案】解：由题意得：{a log 48+b =1，a log 464+b =4，解得：{a =2，b =−2，∴ 该公司拟定的奖励模型为y =2log 4x −2，∴ 想要获得8万奖金，则： 2log 4x −2=8，解得： x =1024. 答：要想得到8万元的奖金，销售额应达到1024万元． 【考点】函数模型的选择与应用 求对数函数解析式 【解析】【解答】解：由题意得： {a log 48+b =1，a log 464+b =4，解得：{a =2，b =−2，∴ 该公司拟定的奖励模型为y =2log 4x −2，∴ 想要获得8万奖金，则： 2log 4x −2=8，解得： x =1024. 答：要想得到8万元的奖金，销售额应达到1024万元． 22. 【答案】解：(1)f(x 2−1)=log a x 2−log a (2−x 2)=log a x 22−x 2， ∵x 22−x 2>0，∴ 0<x 2<2.令x 2−1=t ，得−1<t <1.∵ f (x 2−1)=log a x 22−x 2，可得f(t)=log a 1+t1−t ， ∴ f (x )=log a 1+x1−x ，x ∈(−1,1).∵ f(−x)=log a 1−x1+x =−log a 1+x1−x =−f(x)， ∴ f (x )是奇函数. (2)∵ f (x )≥log a 11−x ，∴ log a1+x 1−x≥log a11−x ，∴ {log a (1+x )≥0,−1<x <1,∴ {log a (1+x )≥log a 1,−1<x <1.当a >1时，不等式等价于{1+x ≥1,−1<x <1,即不等式解集为[0,1)；当0<a <1时，不等式等价于{1+x ≤1,−1<x <1,即不等式解集为(−1,0]. 【考点】函数奇偶性的判断 求对数函数解析式 对数函数的图象与性质 函数恒成立问题【解析】根据换元法求出函数的解析式，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可. 通过讨论a 的范围，根据对数函数的性质得到关于x 的不等式组，解出即可. 【解答】解：(1)f(x 2−1)=log a x 2−log a (2−x 2)=log a x 22−x 2，∵x 22−x 2>0，∴ 0<x 2<2.令x 2−1=t ，得−1<t <1.∵ f (x 2−1)=log a x 22−x 2，可得f(t)=log a 1+t1−t ，∴ f (x )=log a1+x 1−x，x ∈(−1,1).∵ f(−x)=log a 1−x1+x =−log a 1+x1−x =−f(x)， ∴ f (x )是奇函数. (2)∵ f (x )≥log a 11−x ， ∴ log a 1+x1−x ≥log a 11−x ， ∴ {log a (1+x )≥0,−1<x <1,∴ {log a (1+x )≥log a 1,−1<x <1.当a >1时，不等式等价于{1+x ≥1,−1<x <1,即不等式解集为[0,1)；当0<a <1时，不等式等价于{1+x ≤1,−1<x <1,即不等式解集为(−1,0]. 23.【答案】解：(1)∵ 函数f(x)的图象过点(2, 1)， ∴ f(2)=1，即log a 2=1，解得a =2， 因此，f(x)=log 2x(x >0)； 解：原式=12log 22−2log 23+log 218=12+log 218−log 29 =12+log 22 =32.【考点】求对数函数解析式 对数及其运算【解析】（1）直接根据函数图象过点(2, 1)求出实数a ；（2）根据对数函数的单调性列出不等式组{m 2−m >0m 2−m <2，解出不等式即可． 【解答】解：(1)∵ 函数f(x)的图象过点(2, 1)， ∴ f(2)=1，即log a 2=1，解得a =2， 因此，f(x)=log 2x(x >0)； 解：原式=12log 22−2log 23+log 218 =12+log 218−log 29 =12+log 22 =32. 24.【答案】 解：（1）设g(x)=log a x ，（a >0，a ≠1的常数）．∵ 函数g(x)恒过点(e, 1)，∴ 1=log a e ，∴ a 1=e ，即a =e ． ∴ g(x)=ln x(x >0)．（2）∵ f(x)是二次函数，且不等式f(x)>0的解集是(−1, 3)， ∴ 可设f(x)=a(x +1)(x −3)且a <0， 又∵ f(0)=3，∴ −3a =3，解得a =−1． ∴ y =f(x)=−x 2+2x +3．（3）单调减区间为(1, +∞)． 证明：设1<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=−x 12+2x 1+3−(−x 22+2x 2+3) =−(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 1−x 2) =(x 1−x 2)(2−x 1−x 2) ∵ 1<x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，2−x 1−x 2=1−x 1+1−x 2<0， ∴ (x 1−x 2)(2−x 1−x 2)>0， ∴ f(x 1)>f(x 2)．∴ 函数f(x)单调减区间为(1, +∞)． 【考点】求对数函数解析式函数解析式的求解及常用方法函数单调性的判断与证明【解析】（1）利用对数的定义、对数与指数式的互化即可得出；（2）利用“三个二次”的关系即可得出；（3）利用单调递减函数的定义即可证明．【解答】解：（1）设g(x)=loga x，（a>0，a≠1的常数）．∵函数g(x)恒过点(e, 1)，∴1=loga e，∴a1=e，即a=e．∴g(x)=ln x(x>0)．（2）∵f(x)是二次函数，且不等式f(x)>0的解集是(−1, 3)，∴可设f(x)=a(x+1)(x−3)且a<0，又∵f(0)=3，∴−3a=3，解得a=−1．∴y=f(x)=−x2+2x+3．（3）单调减区间为(1, +∞)．证明：设1<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=−x12+2x1+3−(−x22+2x2+3)=−(x1−x2)(x1+x2)+2(x1−x2)=(x1−x2)(2−x1−x2)∵1<x1<x2，∴x1−x2<0，2−x1−x2=1−x1+1−x2<0，∴(x1−x2)(2−x1−x2)>0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)单调减区间为(1, +∞)．25.【答案】解：（1）设点P(x, y)是g(x)的图象上的任意一点，则Q(−x, −y)在函数f(x)的图象上，即−y=loga (−x+1)，则y=−loga(1−x)=loga11−x∴g(x)=loga1 1−x（2）f(x)+g(x)≥m即loga (1+x)+loga11−x≥m，也就是loga 1+x1−x≥m在[0, 1)上恒成立．设ℎ(x)=loga 1+x1−x，x∈[0,1)，则ℎ(x)=loga (−x+1x−1)=loga(−x−1+2x−1)=loga(−1−2x−1)由函数的单调性易知，ℎ(x)在[0, 1)上递增，若使f(x)+g(x)≥m在[0, 1)上恒成立，只需ℎ(x)min≥m在[0, 1)上成立，即m≤0．m的取值范围是(−∞, 0]【考点】求对数函数解析式函数解析式的求解及常用方法 函数最值的应用【解析】（1）由已知条件可知函数g(x)的图象上的任意一点P(x, y)关于原点对称的点Q(−x, −y)在函数f(x)图象上，把Q(−x, −y)代入f(x)，整理可得g(x) （2）由（1）可令ℎ(x)=f(x)+g(x)log a1+x 1−x(a >1)，先判断函数ℎ(x)在[0, 1)的单调性，进而求得函数的最小值ℎ(x)min ，使得m ≤ℎ(x)min【解答】 解：（1）设点P(x, y)是g(x)的图象上的任意一点，则Q(−x, −y)在函数f(x)的图象上， 即−y =log a (−x +1)，则y =−log a (1−x)=log a 11−x ∴ g(x)=log a 11−x（2）f(x)+g(x)≥m 即log a (1+x)+log a 11−x≥m ，也就是log a1+x 1−x≥m 在[0, 1)上恒成立．设ℎ(x)=log a 1+x1−x ，x ∈[0,1)， 则ℎ(x)=log a (−x+1x−1)=log a (−x−1+2x−1)=log a (−1−2x−1)由函数的单调性易知，ℎ(x)在[0, 1)上递增，若使f(x)+g(x)≥m 在[0, 1)上恒成立， 只需ℎ(x)min ≥m 在[0, 1)上成立，即m ≤0． m 的取值范围是(−∞, 0] 26.【答案】解：(1)由题意知f −1(x)的图象与直线y =x 的两个交点为(0, 0)，(1, 1) ∴ 函数f(x)=log a (x +b)过(0, 0)，(1, 1)两点 ∴ {log a b =0log a (1+b)=1即b =1，a =2∴ f(x)=log 2（x+1）(2)∵ 点(x, y)是y =f(x)图象上的点 ∴ y =f(x)=log 2（x+1）∵ 点(x3，y2)是函数y =g(x)上的点 ∴ y 2=g(x3)吗 ∴log 2(x+1)2=g(x3)用3x 代x:g(x)=log 2(3x+1)2(3)∵ g(kx 3)−f(x)≥0 ∴ log 2（kx+1）−2log 2（x+1）≥0∴ {kx+1(x+1)2≥1x +1>0且kx +1>0且k ≥32∴ 当32≤k ≤2时 k −2≤x ≤0 当 k >2时 0≤x ≤k −2 【考点】指、对数不等式的解法 求对数函数解析式函数解析式的求解及常用方法【解析】第一问可以利用互为反函数的两个函数图象关于y =x 对称进行求解．第二问可根据点(x, y)是y =f(x)图象上的点时，点(x3，y2)是函数y =g(x)上的点再结合第一问可列两个式y =f(x)=log 2（x+1）,y2=g(x3)然后利用换元求解．第三问在（1）（2）的条件下代入求解含参不等式，注意对根的大小进行分类讨论．【解答】解：(1)由题意知f −1(x)的图象与直线y =x 的两个交点为(0, 0)，(1, 1) ∴ 函数f(x)=log a (x +b)过(0, 0)，(1, 1)两点 ∴ {log a b =0log a (1+b)=1即b =1，a =2∴ f(x)=log 2（x+1）(2)∵ 点(x, y)是y =f(x)图象上的点 ∴ y =f(x)=log 2（x+1）∵ 点(x3，y2)是函数y =g(x)上的点 ∴ y 2=g(x3)吗 ∴log 2(x+1)2=g(x3)用3x 代x:g(x)=log 2(3x+1)2(3)∵ g(kx3)−f(x)≥0 ∴ log 2（kx+1）−2log 2（x+1）≥0∴ {kx+1(x+1)2≥1x +1>0且kx +1>0且k ≥32∴ 当32≤k ≤2时 k −2≤x ≤0 当 k >2时 0≤x ≤k −2 27. 【答案】解：（1）由题意得{log 3(2a+b)=1log 3(5a+b)=2，解得a =2，b =−1，所以f(x)=log 3(2x −1)，（2）因为a n =3log 3(2n−1)=2n −1．假设存在正数k ，使得(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)≥k √2n +1对一切n ∈N ∗均成立， 则k ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)恒成立．记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)． 则F(n +1)=√2n+3+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)(1+1a n+1)．∵F(n+1)F(n)=√(2n+1)(2n+3)=√4(n+1)2−1>2(n+1)2(n+1)=1．∴ ．F(n +1)>F(n)，所以F(n)是递增数列． 所以n =1时F(n)最小，最小值F(1)=2√33． 所以k ≤2√33．即k 的最大值为2√33． 【考点】数列与函数的综合 求对数函数解析式 【解析】（1）由题意得{log 3(2a+b)=1log 3(5a+b)=2，解得a =2，b =−1，即可求出f(x)=log 3(2x −1)，（2）先根据条件求出数列{a n }的通项公式；把(1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)≥k √2n +1对一切n ∈N ∗均成立转化为k ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)恒成立；再通过构造F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)，利用其单调性求出F(n)的最小值即可求出k 的最大值． 【解答】解：（1）由题意得{log 3(2a+b)=1log 3(5a+b)=2，解得a =2，b =−1，所以f(x)=log 3(2x −1)，（2）因为a n =3log 3(2n−1)=2n −1．假设存在正数k ，使得(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)≥k √2n +1对一切n ∈N ∗均成立， 则k ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)恒成立．记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)． 则F(n +1)=√2n+3+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)(1+1a n+1)．∵F(n+1)F(n)=√(2n+1)(2n+3)=√4(n+1)2−1>2(n+1)2(n+1)=1．∴ ．F(n +1)>F(n)，所以F(n)是递增数列． 所以n =1时F(n)最小，最小值F(1)=2√33． 所以k ≤2√33．即k 的最大值为2√33．。

第5章对函数的再探索数学九年级下册-单元测试卷-青岛版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与反比例函数y= 的图象有唯一公共点，若直线y=-x+b与反比例函数y= 的图象有2个公共点，则b的取值范围是( )A.b>2B.-2<b<2C.b>2或b<-2D.b<-22、若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（）A.6B.－6C.12D.－123、二次函数y=x2+bx+c，经过配方可化为y=(x-1)2+2，则b，c的值分别为( )A.5，-1B.-2，3C.-2，-3D.2，34、四位同学在研究函数y1＝ax2＋ax－2a (a是非零常数)时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y1＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x02－16)，则符合条件的点P 有且只有2个；丙发现若直线y2＝kx＋b与函数y1交于x轴上同一点，则b＝－k；丁发现若直线y3＝m (m≠0)与抛物线有两个交点(x1， y1)(x2， y2)，则x1＋x2＋1＝0.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A.甲B.乙C.丙D.丁5、若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是（）A.4B.3C.2D.06、已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（）A.S≤﹣3B.S＜2C.S≤2D.S＜﹣37、如图，一次函数y＝2x与反比例函数y （k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k 的值为（）A. B. C. D.8、在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2﹣m的图象可能是（）A. B. C. D.9、若点，，在反比例函数（是常数）的图象上，，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.10、已知如图抛物线y=ax2+bx+c，下列式子正确的是（）A.a+b+c＜0B.b 2﹣4ac＜0C.c＜2bD.abc＞011、如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是( )A.x＜﹣2或x＞2B.x＜﹣2或0＜x＜2C.﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D.﹣2＜x＜0或x＞212、关于二次函数y=ax2+bx+c图象有下列命题：（1 ）当c=0时，函数的图象经过原点；（2 ）当c＞0时，函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；（3 ）当b=0时，函数图象关于原点对称．其中正确的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个13、已知二次函数y = ax2+bx+c(a≠0)的最小值为1，则( )A.a>0，b 2-4ac=0B.a>0，b 2-4ac<0 &nbsp;C.a<0，b 2-4ac=0 D.a<0，b 2-4ac>014、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A.y=x 2﹣2x+3B.y=x 2﹣2x﹣3C.y=x 2+2x﹣3D.y=x 2+2x+315、如果点A（-1，）、B（1，）、C（2，）是反比例函数图象上的三个点，则下列结论正确的是（）A. ＞＞B. ＞＞C. ＞＞D.＞＞二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公点，若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象没有公共点，则b的取值范围是________ ．17、如图，在平面直角坐标系中，函数y= （k＞0）的图象经过点A（1，2）、B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接AB、BC．若三角形ABC的面积为3，则点B的坐标为________．18、如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y= 的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是________．19、已知点A（1，2）在反比例函数y= 的图象上，则当x＞1时，y的取值范围是________．20、当m=________ 时，函数y=（m﹣2）是反比例函数．21、如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝(k≠0)上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是12，则k的值为________.22、设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”当双曲线的眸径为6时，的值为________.23、如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，将抛物线C1向上平移1个单位得到抛物线C2，点Q（m，n）在抛物线C2上，其中m＞0且n＜0，过点P作PQ∥y轴交抛物线C1于点P，点M是x轴上一点，当以点P、Q、M为顶点的三角形与△AOQ全等时，点M的横坐标为________.24、抛物线y=x2-3x-4与y轴的交点坐标为________.25、如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分且图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②图象可能过（2，0）；③a+b+c＝0；④a＞b.其中正确的是________.（填序号）三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．27、已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在所给坐标系中画出该函数的图象；（3）该函数的图像经过怎样的平移得到y=x2的图像？28、已知，与x成反比例，与成正比例，并且当x=-1时，y=-15，当x=2时，y= ；求y与x之间的函数关系式.29、已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为2，在x轴上求一点M，使MA+MB最小．30、已知二次函数y＝x2+bx+c.(Ⅰ)若二次函数的图象经过(3，﹣2)，且对称轴为x＝1，求二次函数的解析式；(Ⅱ)如图，在(Ⅰ)的条件下，过定点的直线y＝﹣kx+k﹣4(k≤0)与(1)中的抛物线交于点M，N，且抛物线的顶点为P，若△PMN的面积等于3，求k的值；(Ⅲ)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、C5、D6、A7、C8、B9、A11、D12、C13、B14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。

专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <- C ．01b a << D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（ ）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（ ） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ）A b a <<B ．b a <C a b <D ．a b <<二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减． 其中所有正确结论的序号为______． 四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==， 而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-， 则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】 【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误； 对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确． 故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=， 所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =， 所以4x =，2y =，所以6x y +=， 故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤； 当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =， 方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=， 从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =， 所以原方程的根为9x =或181x =； （2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =， 即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =， 所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=， 所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点， 由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <， 其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <． 故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2． 故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分1a >和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <； 由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】 【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥， 令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<， 因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥， 所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同， 所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数， 所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。

函数复习之6 指数与对数的运算一．课标要求（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；二．命题走向指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。

大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。

为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测2009年对本节的考察是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。

三．要点精讲1、整数指数幂的概念。

（1）概念：*)(N n a a a a a n ∈⋅⋅= )0(10≠=a a *),0(1N n a aa n n ∈≠=-n 个a(2)运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+两点解释：① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -② n b a )(可看作nn b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅=n n ba2、根式：（1）定义：若),1(+∈>=N n n a x n 则x 叫做a 的n 次方根。

（2）求法：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作：n a x =② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作：n a x ±=负数没有偶次方根 0的任何次方根为0名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数（3）公式： ①a a n n =)( ；②当n 为奇数时 a a n n =；③当n 为偶数时 ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n3、分数指数幂（1）有关规定： 事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n nmk ∈>=，m nn mn k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a m nm 的是次方根，即：n m nm a a =（2）同样规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a aanm nm 且；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

专题14 指、对、幂形数的大小比较问题【命题规律】指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．【核心考点目录】核心考点一：直接利用单调性 核心考点二：引入媒介值 核心考点三：含变量问题 核心考点四：构造函数 核心考点五：数形结合核心考点六：特殊值法、估算法 核心考点七：放缩法 核心考点八：不定方程【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-， 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】C【解析】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.方法二：比较法 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ① ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ， 令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ， 故 ()f x 在 (0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ；② 0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ， 令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ， 令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ， 所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >>，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1]上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c >故 .c a b <<4．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c<a<b C ．b<c<a D ．a c b <<【答案】D【解析】22log 0.3log 10<=，<0a ∴， 122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<， a c b ∴<<.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】A【解析】[方法一]：构造函数 因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->， 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ==1cos sin 4ϕ==故1cos4=11sin 4sin 44<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+， 241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>， 故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x 得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>． 故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性； ②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【核心考点】核心考点一：直接利用单调性 【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =， ∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331()log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<， ∴c b a >>. 故选：D.例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知111m n>>，n a n =，m b n =，n c m =，则a ，b ，c 的大小关系正确的为（ ） A ．c ＞a ＞b B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．a ＞b ＞c【答案】B 【解析】由题意111m n>>，故01m n <<<， 由指数函数的单调性，x y n =单调递减，故b a >， 由幂函数的单调性，n y x =在(0,)+∞单调递增，故a c >， 综上：b a c >>. 故选：B例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设21log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log bb =，154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．a b c << D ．b<c<a【答案】B【解析】构造函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为函数2log y x =、13xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，且()1103f =-<，()8209f =>，因为()0f a =，由零点存在定理可知12a <<；构造函数()132log xg x x =-，因为函数2x y =、13log y x =-在()0,∞+上均为增函数， 所以，函数()g x 为()0,∞+上的增函数，且1912209g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1312103g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为()0g b =，由零点存在定理可知1193b <<.因为154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1144log 5log 10c =<=，因此，c b a <<.故选：B.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．p m n >> B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【答案】A【解析】由54m =，得125542m ==<89n =，得118493n ==， 因此，122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭m n >， 由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是得p m n >>， 所以正数m ，n ，p 的大小关系为p m n >>. 故选：A核心考点二：引入媒介值 【典型例题】例5．（2023·全国·高三专题练习）已知3110π,53,log 2a bc ===-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】D【解析】由3110,53,log 2a bc π===-可得，lg πa =，5log 3b =，123c -=，由于1213,12c -⎛⎫==⎪⎝⎭，1lg π2a ==，551log 3log 2b =>=，而35c =<，3553<，所以35553log 3log 55b =>=，所以ac b <<． 故选：D ．例6．（2023·全国·高三专题练习）设0.124log 3,log 5,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】依题意，24ln 3log 3ln 32ln 22ln 3ln 9ln 21,ln 5log 5ln 2ln 5ln 5ln 5ln 4a a b b ===⨯==>∴>， 0.14404121log 5log ,2b c ->==<==，所以1a b c >>> 故选：A例7．（2023·全国·高三专题练习）已知14sin 4,ln 4,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b<c<a【答案】C【解析】()sin4sin 40π==--<a ， ln 4ln e 1=>=b ， 14124210--==<=<c ， 所以a c b <<． 故选：C ．例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】B 【解析】103e e 1=>=a ，ln 2ln e 1b =<=，33log 2log 31c =<=∴a 最大，3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lge lg3lge lg3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ，∴b c >， ∴a b c >>，故选：B例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】A【解析】因为0.20.20.21log 0.5log log 2a ==<=，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <. 又12225log 0.4log log 212c ==>>， 所以a b c <<， 故选：A.例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a ＝0.42，b ＝log 20.3，c ＝20.6之间的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a ＜1， ∵log 20.3＜log 21＝0，∴b ＜0， ∵20.6＞20＝1，∴c ＞1， ∴b ＜a ＜c ， 故选：C ．核心考点三：含变量问题 【典型例题】例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数,,x y z 满足e ,x y =且,,x y z 成等比数列，则,,x y z 的大小关系为（ ） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．x z y >> D ．z y x >>【答案】D【解析】令()e ,0x f x y x x x =-=->，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()e 10x f x '=->，()f x 单调递增，所以()0=e >e =1x f x x -，所以e x x >，故y x >，因为正数,,x y z 成等比数列，所以2y xz =即2e x xz =，故2e x z x=，所以2e e 1e x xx z y x x==>，故z y >， 综上所述，z y x >>， 故选：D例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数,,a b c ，满足ln c a b b e c a =⋅=⋅，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．c b a <<【答案】D【解析】,,a b c 均为正数，因为ln a b c a =⋅，所以ln c b =，设()ln 0ca b b e c a t t =⋅=⋅=>，则,=,ln ln e c t t ta b c b b b===， 令()()ln 0f x x x x =->，则()111xf x x x-'=-=，当01x <<时0f x，()f x 单调递增，当1x >时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()110f x f ≤=-<，即ln x x <，所以ln b b <，可得a b >， 又ln c b =得c b <，综上，c b a <<. 故选：D.例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知,,a b c 均为不等于1的正实数，且ln ln ,ln ln c a b a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D【解析】ln ln ,ln ln c a b a b c ==且a 、b 、c 均为不等于1的正实数， 则ln c 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号. ①若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>；②若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>.综上所述，a c b >>. 故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a <<C ．a b c <<D ．c<a<b【答案】C【解析】由题意知0,0,0a b c >>>，由ln ln ln 0a a b ce b c==-<，得01,01,1a b c <<<<>， 设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=， 当01x <<时，()0,()'>f x f x 单调递增，因1x e x ≥+， 当且仅当0x =时取等号，故(01)a e a a ><<， 又ln 0a <，所以ln ln a a ae a >，故ln ln b a b a>， ∴()()f b f a >，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<. 故选:C ．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1exx a +=，cos cos 1e x x b +=，sin sin 1e x x c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．a c b << D ．c<a<b【答案】C【解析】构造函数()()10e x x f x x +=>，则()2222sin 2sin 12sin exx a f x +==，()cos cos 1cos e x x b f x +==，()sin sin 1sin e xx c f x +==． 因为()()()2e 1e 0e e x xxx x xf x -+'==-<在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减. 又因为,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()22sin sin sin 2sin 10x x x x -=->，且sin cos x x >，故a c b <<.故选：C ．例16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b<c<a【答案】A【解析】因为()1e ,1x -∈，所以()()ln ln 1ln 1,0,,e 211,2,1e ⎛⎫=∈-== ⎪⎛⎫∈∈ ⎝⎝⎭⎪⎭xx a x b c ，所以a c b <<， 故选：A核心考点四：构造函数 【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知0.03e 1a =-，3103b =，ln1.03c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B【解析】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为，所以当0x >时，，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为，所以()g x 在()0,+∞上单调递减函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以a c >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+. 因为，所以当0x >时，，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+. 所以c b >.综上所述：a c b >>. 故选：B例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin 0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】D【解析】令()e x f x x =-，则()e 1xf x '=-，当0x >，()0f x >′，此时()f x 单调递增， 当0x <，()0f x <′，此时()f x 单调递减， 所以()()00e 01f x f >=-=，所以()0.020.02e 0.021f =->，即0.02e 1.02>，所以0.0250.02e e 1.02b a =>>=；又设()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-≤恒成立， ∴当0x >， ()g x 单调递减，()sin (0)0g x x x g =-<= 当0x >时，有sin x x <，则sin0.060.06<， 所以0.92sin0.060.920.06 1.02c a =+<+⨯==， 综上可得c a b <<． 故选：D ．例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设0.1a =，sin0.1b =， 1.1ln1.1c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】B【解析】令函数()sin f x x x =-，[0,)2x π∈，当02x π<<时，()cos 10f x x '=-<，即()f x 在(0,)2π上递减，则当02x π<<时，()(0)<f x f ，即sin x x <，因此sin 0.10.1<，即b a <；令函数()(1)ln(1)g x x x x =++-，01x ≤<，当01x <<时，()ln(1)0g x x '=+>，则()g x 在(0,1)上单调递增， 则当01x <<时，()(0)0g x g >=，即(1)ln(1)x x x ++>，因此0.1 1.1ln1.1<，即a c <，所以,,a b c 的大小关系正确的是b a c <<. 故选：B例20．（2023·全国·高三专题练习）设150a =，()ln 1sin0.02b =+，5121n 50c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c <<【答案】D【解析】设()sin ,0,2f x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，设()()ln 1,0,1g x x x x =-+∈，则()110g x x'=->，()g x 递增， 则()()10g x g <=，即ln 1x x <-，所以()ln 1sin0.02sin0.020.02b a =+<<=，令()()2e 1x h x x =-+，则()()e 21x h x x '=-+，()e 2xh x ''=-，当ln 2x <时，()0h x ''<，则()h x '递减，又()()ln 22ln 20,010h h ''=-<=-<， 所以当()0,ln 2x ∈时，()0h x '<，()h x 递减， 则()()00h x h <=，即()2e 1x x <+，因为()0.020,ln 2∈，则()0.020h <， 所以512ln 0.02250e 1.02e <=，即150a =<5121n 50c =， 故b a c <<， 故选：D例21．（2023·全国·高三专题练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________. 【答案】.b a c <<【解析】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->， 所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++， 所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c << 故答案为：.b a c <<.例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c <<【答案】D【解析】因为10.0250ln e ln e a ==，211ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6551ln 50c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以只要比较6250.02 1.211151e ,sin cos 1sin 1sin 0.02,(10.02)1001005050x y z ⎛⎫⎛⎫==+=+=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小即可，令()e (1sin )(0)x f x x x =-+>，则()e cos 0x f x x '=->，所以()f x 在 (0,)+∞上递增， 所以()(0)f x f >，所以e 1sin x x >+， 所以0.02e 1sin 0.02>+，即1x y >>，令 1.2()(1)e x g x x =+-，则0.2() 1.2(1)e x g x x '=+-，0.8()0.24(1)e x g x x -''=+- 因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2410g ''=-<， 所以当0x >时，()0g x ''<， 所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，因为(0) 1.210g '=->，0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e g '=⨯-=-，要比较 1.21.2与0.2e 的大小，只要比较 1.2ln1.2 1.2ln1.2=与0.2lne 0.2=的大小， 令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>，所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.2ln1.20.2>， 所以 1.21.2>0.2e ，所以0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e 0g '=⨯-=->， 所以当(0,0.2)x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,0.2)上递增，所以()(0)0g x g >=，所以 1.2(1)e x x +>，所以 1.20.02(10.02)e +>，所以z x >，所以z x y >>， 所以c a b >>， 故选：D例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知πln ,2,2tan 13a b c ⎫===⎪⎪⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】A【解析】设()ln (1)f x x x =--，则1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>， 当1x <时，()0f x '<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减， 所以1x =时，max ()(1)0f x f ==，所以()0f x <，即ln 1x x <-，所以πln213a b ⎫==<=⎪⎪⎭，又(2tan 121tan c b x x ⎫⎫=>=>⎪⎪⎪⎪⎭⎭，对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立). 因此c b a >>， 故选：A .例24．（2023·全国·高三专题练习）设23a =ln 2)b =-，3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b<c<a B ．c b a << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A【解析】①先比较,a c：2332a ==，3c =，设函数2e ()x f x x =， 则'3e (2)()0x x f x x -=<，得函数()f x 在(0,2)单调递减，'3e (2)()0x xf x x-=>得函数()f x 在(2,)+∞单调递增 所以f f<即c a<；②再比较,b c：由①知2mine()(2)4f x f f c==<=，而1ln2)2b=-=，设2(ln2)3()xh xx+=，'22(ln1)3()xh xx+=-当1ex<<，'()0h x>，()h x单调递增，当1ex>，'()0h x<，()h x单调递减，所以max12()()ee3b h h x h=<==，而22e ee.e344f c<=<=，所以b c<，故选：A核心考点五：数形结合【典型例题】例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2xf x x=+，2()logg x x x=+，()2sinh x x x=+的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．b c a>>【答案】D【解析】由()2sin0h x x x=+=得0x=，0c∴=，由()0f x=得2x x=-，由()0g x=得2log x x=-.在同一平面直角坐标系中画出2xy=、2logy x=、y x=-的图象，由图象知a<0，0b>，a c b∴<<.故选：D例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a，b，c满足2e e e ec a a c--+=+，28log3log6b=+，2log2c c+=，则a，b，c的大小关系为()A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．c b a<<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a ----⇒+=+-=-，故令()e e x x f x -=-，则()e e c c f c -=-，()e e a af a -=-．易知1e exx y -=-=-和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a --<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a ----=->-，即()()f c f a >，则0c a >>．易知22log 3log log 2b =+>，2log 2c c =-， 作出函数2log y x =与函数2y x =-的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知e ππee ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】令()()ln ,0x f x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>， 由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >， 所以()()πe f f <，即ln πln eπe<， 所以eln ππlne <，所以e πln πln e <， 又ln y x =递增， 所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<， 故选：A例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()ln g x x =，()31h x x =-的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ） A ．αβ≥ B ．αβ> C ．αβ≤ D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=， 由题意可得：1ln aα=， 令()1ln G x x x=-，则α为()G x 的零点，可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且1110,e 10eG G ，∴()1,e α∈；又∵()31h x x =-，则()23h x x '=，由题意可得：3213ββ-=，令()3231H x x x =--，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=-=-，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞-，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减， 当(),2x ∈-∞时，()()010H x H ≤=-<，则()H x 在(),2-∞内无零点， 当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =-<=>，则()3,4β∈， 综上所述：()3,4β∈； 故αβ<. 故选：D.核心考点六：特殊值法、估算法 【典型例题】例29．（2022·全国·高三专题练习）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（ ）A ．b a d c >>>B ．b c a d >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>【答案】C 【解析】 依题意，314222)a ==，函数y =[0,)+∞上单调递增，而934<<，于是得112232)32<<，即32b a >>， 函数4log y x =在(0,)+∞单调递增，并且有44log 30,log 50>>， 则44442log 16log 15log 3log 5=>=+=2+>于是得44log 3log 51⨯<，即4341log 5log 4log 3<=，则c d >， 又函数3log y x =在(0,)+∞单调递增，且4<333log 4log 2<=， 所以32b acd >>>>. 故选：C例30．（2022·全国·高三专题练习）已知a =142b =，2e log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】由49a =，42b =，可知1a b >>，又由2e 8<，从而32e 2<=，可得23log e 2c a =<<，因为4461296()205625b -=-<，所以615b <<； 因为565e 2 2.7640->->，从而56e 2>，即65e 2>， 由对数函数单调性可知，65226log e >log 25c ==， 综上所述，a c b >>. 故选：B.例31．（2023·全国·高三专题练习）若e b a >>>b m a =，a n b =，log a p b =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系为（ ） A ．m n p >> B ．n p m >> C ．n m p >> D ．m p n >>【答案】C【解析】因为e b a >>> 所以取52,2a b ==，则()5225,6bm a ===，25256.2524a n b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，()25log log 1,22a pb ==∈，所以n m p >>.故选：C.核心考点七：放缩法 【典型例题】例32．（2022·全国·模拟预测）已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】分别对2022a =，2223b =，c a b =两边取对数，得20log 22a =，22log 23b =，log a c b =．()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b -⋅-=-=-=⋅． 由基本不等式，得:()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2lg 22lg 20lg 230-⋅>， 即0a b ->，所以1a b >>．又log log 1a a c b a =<=，所以a b c >>. 故选：D ．例33．（2023·全国·高三专题练习）已知：0.42e a =，0.52b =，4log 5c =，则a 、b 、c 大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】令()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，0fx，所以函数()f x 在()0,∞+上递增， 所以()()0.4200f f >=， 即0.42e 0.421>+， 又21.42 2.01642=>， 所以0.420.5e 0.4212>+>， 所以a b >，又25252416⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以0.5524>，54444441024log 54log 5log 4log 55625log 504444---===>， 所以0.5452log 54>>， 所以a b c >>. 故选：B.例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数,,a b c 满足12330a b +⨯-=1=()()25log 3a c x x x =+-+∈R ，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】由12330a b +⨯-=得：2333a b ⨯=⨯，3312a b-∴=>，0a b ∴->，即a b >；31b +=>c b >；由()()25log 3a c x x x =+-+∈R 得：()25log 3a c x x -=-+，221553222y x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，()25555log 3log log 102x x ∴-+≥>=，即a c >；综上所述：a c b >>. 故选：D.例35．（2022·全国·高三专题练习）己知544567,117<<，设6711log 5,log 6,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】a b c <<【解析】由544567,117<<得 7115log 645log 7<<，即7114log 6log 75<<， b c ∴<，又267lg 5lg 6lg 5lg 7lg 6log 5log 6lg 6lg 7lg 6lg 7a b ⋅--=-=-=⋅22lg5lg 7lg 62lg 6lg 7+⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅<， lg5lg7lg35lg36+=<，lg5lg 7lg 62+∴<， 22lg5lg 7lg 62+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭<，a b ∴<，综上：a b c <<． 故答案为：a b c <<．核心考点八：不定方程 【典型例题】例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a ，b ，c ，满足ln e a b c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c b >>【答案】C解：设e ()x x f x =-，则()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以min ()(0)10f x f ==>，故e x x >， 所以e a c a =>，又ln b c =， 所以e c b c =>， 所以b c a >>. 故选：C ．例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．a c d << D ．b<c<a【答案】A【解析】22a a -+=，即220a a -+-=，即22a a -=-，2xy -=与2y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则220x x -+-=在()0,∞+只有一个根a ，令()22xf x x -=+-，()21222204f -=+-=>，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<； 33b b +=，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>， 12115330222g ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c +=，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b ac ∴<<故选：A.【新题速递】一、单选题1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =，则（ ） A ．y x z <<B ．z x y <<C ．x z y <<D ．z y x <<【解析】要比较0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小， 等价于比较0.5log x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小，∵0.5log x x =，由定义域可知0x >， 故0.50.51log 0log x >=，∵0.5log y x =在定义域上单调递减， 0.501,0log 1x x ∴<<<<，0.51x ∴<<，∵0.50z >， ∴1log 0log x x z >=， ∵0.51x <<， ∴01z <<，故()0.50,1z∈，则()log 0,1x z ∈，1x z ∴<<，0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，又∵0.51x <<，∴()0,1yx ∈，则()0.5log 0,1y ∈，()0.5,1y ∴∈，故y x x <，∵0.5log x x =，0.5log yy x =， ∴0.50.5log log x y <，x y ∴>，y x z ∴<<. 故选：A.2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．c<a<b D ．c b a <<【答案】D【解析】由251030b b +-=解得1b =-，构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+， 故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，。