希尔伯特空间 PPT

范数
n
x (x, x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
M {y y M , y U}。
（5）设 M 为 U 的线性子空间，x U , 若x0 M , x1 M ，
使得
x x0 x1
（*）
则称 x0 为 x 在 M 上的正交投影，（*）式称为 x 关于 M 的
正交分解。
2) 性质 （1）设 U 是内积空间， x, y U , 若x y，则
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
1
范数 x ( xi 2)2 ，
i1
则l 2 是 Hilbert 空间。
例 4 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为 t[ a ,b ]
不满足平行四边形U 是内积空间，x, y U, M , N U
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
x 2 2 Re(x, y) y 2
x 2 2 x y y 2 ( x y )2

2 2
X
()



2

2
1 X ()d 1

d

2 2
1


2

(

)d
2 2 2 2 2 2
|
( 2 2 )
4
因为本项有两项频率项，其解析信号就是略去负频率项
e e 1
Xa
(t)

[ 4
j12)t
j
( 2
)t 1
]
e cos1t j2t
注意: (1) 给定一个实信号,尽管通过Hilbert可以构成一个解析信号, 且是唯一的,但并不是每一个解析信号都有明确的物理意义
(2)只有当 xt A(t) cos(t)
解析信号和原信号之间的频谱关系：
xa (t) x(t) jxˆ(t) Xa () X ( j) jXˆ ( j) Xˆ ( j) jX ( j)Sgn()
所以：
Xˆ ( j) X ( j)
ˆ( )

(

(
) )


2

2
0 0
tt
2 (t) 2其中：
y(t) 1 1 2 (t)
tt
0 0
一.希尔伯特变换
h(t) 1
H
(
j
t
)

jSgn(
)



j
j
0 0

e j900

e
j
900
0 0
HT是将信号相移90度的运算,与其它变换不同是属于 相同域的变换,时域到时域变化.

n
2 1/ 2
, xn ) ，对 元素
, yn ) 定义
ρ ( x, y ) = [∑ (xi − yi ) ]
i Байду номын сангаас1
作为距离.也可以定义
ρ ( x, y ) = ∑ |xi − yi |
i =1
n
或者
ρ ( x, y ) = max | xi − yi |
i
作为距离.由此，n 维欧氏空间是一个距离空间. 例 3 以 C[ a , b ] 表 示 定 义 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 函 数 的 全 体 ， 对
的距离空间，简称为完备的空间.否则，就称空间 X 是不完备的. 这是关于空间完备性的定义.除此之外，就没有其它的空间完备性的定义了. 因此，以后提及空间的完备性，一定是指，可以在集合中定义距离而构成距离空 间，此距离空间是完备的. 例 5 实数空间 R 在定义了距离 ρ ( x, y ) =| x − y | 之后，是完备的. 例 6 我们把全体有理数的集合记为 Y， 对于 Y 中的任意两个元素 x 和 y， 定 义 ρ ( x, y ) =| x − y | 为两个实数 x 和 y 之间的距离，它符合距离三公理.由此，Y 是 一个距离空间.我们取其中一个序列 {Sn }
1 ：S = ∑ m .容易看到， 这个序列符合柯 !
n n m =1
西序列的定义，因此是一个柯西序列.这个序列的极限是 e − 1 ，这不是一个有理 数，此序列的极限不在有理数空间之内.因此，有理数空间是不完备的. 定义 6 距离空间 X 称为可分的，如果存在一个可数点集 {xn } ⊂ X ，使得对 于 X 中的每一点 x ∈ X ，都有 {xn } 中的一个子列 {xnk } ，使得 lim ρ ( xnk , x) = 0 .

<x-xn ,ei>=0 (i=1,2,…,n). x-xnMn x-xn,e1,…,en两两正交, 且x-xnxn. ||xn||2=||<x,e1>e1+…+<x,en>en||2
=||<x,e1>e1||2 +…+||<x,en>en||2=|<x,e1>|2+…+|<x,en>|2
||x||2=||(x-xn)+xn||2=||x-xn||2+||xn||2 ||x-xn||2= ||x||2- ||xn||2
e1,…,en线性无关{e1,…,en,…}是线性独立系。
定理8 (Gram-Schmidt正交化定理)设H是内积空间,{x1,x2,..,xn,…}H 是H中任一个线性独立系,则可将其进行标准正交化，得到一个标准 正交系。
定理8 设H是内积空间，{e1,e2,..,en,…}H是标准正交系， 记 Mn=span{e1,…,en}.
注:1）在一般的内积空间中，若xy，则有勾股定理 ||x+y||2=||x||2+||y||2成立，但反之不然。 事实上， ||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re(x,y)
2）在实内积空间中，xy||x+y||2=||x||2+||y||2，即勾股定理成立
定义6 (正交补) 设H是内积空间,MH, 称集合 M={x| xy, yM} 为M在H中的正交补。
(1) 若
则
(2) 若
则
(3) 即为x在Mn上的正交投影。
（最佳逼近定理）
证 (1) <x,ei> =<1e1+…+nen, ei> =i<ei,ei> =i

完全集 一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性
无关的矢量集合 i ，这个空间中的每个矢量都能表为完
全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成
i ai
i
的形式，其中ai 是一组复数。
如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1, 2 ,...n ，
但还不是完全集，这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量
命名为 n1，加入这个矢量集。这时 1, 2 ,...n , n1，肯定是
证明： 设在空间中有1和2 ，对所有矢量 都满足 1 , 2
取第一式的 为2 ，第二式中的 为1，分别得 2 1 2,1 2 1
于是，根据条件（1），
2 2 1 1 2 1 即1 2 ，只有唯一的零矢量。
（2）每个矢量的逆元是唯一的。
证明： 若 1,2 都是 的逆元，即
1 , 2
如果 少 多，即 m n ，则把全部 用完后，仍有 未
被顶掉。这就是说，要加上一些 才是完全集 ，与是
完全集相矛盾。所以 m n 是不可能的。
如果 多 少，即 m n，那么把全部 顶掉后，还有一些 没
有用到，这就是说， 中的一部分就是完全集，也与 是完全集
相矛盾。所以 m n也是不可能的。
这是一个复数域上的内积空间。
如果内积定义为：
(l,
m)
l1*
m12
l2*
m
23l
* 3
m34
l 4*
m4
空间是否仍然是一个内积空间？
第四个例子 数学对象为在 a x b 区间定义的实变
量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可
积的。所谓“行为较好”是指满足一定数学要求，如单值性、 连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法

1
• z=sqrt(rx.*rx+ix.*ix);%求信号x的包络
• %z=sqrt(abs(x).^2+abs(y).^2);
• subplot(222);
• plot(z);
1
1.5
• thet=atan(ix./rx);%求信0.5号x的瞬时相位
1
• subplot(223);
0
• plot(thet);
h(n) 1 H (e j )e jnd 1 0 je jnd 1 je jnd
2
2
2 0
h(n) 1 (1)n
n
0
2
n
n为偶数 n为奇数
1
Hilbert变换与解析信号
∴ x(n)的Hilbert变换 xˆ(n)为：
xˆ(n) x(n)*h(n) 2 x(n 2m 1)
t
Xˆ ( j) X ( j)H ( j)
X ( j)[ j sgn( )] jX ( j)sgn( )
X ( j) j sgn( )Xˆ ( j)
由此可得：Hilbert反变换的公式
x(t) 1 * xˆ(t) 1 xˆ( )d
解析信号 t
t
设xˆ(t)为x(t)的Hilbert变换，定义 z(t) x(t) jxˆ(t)
1
amp
单道地震信号数值模拟
3. 瞬时属性的分辨率及地质意义
通过单道信号的瞬时属性的分析，可知利用瞬时属性可以反映同相轴的 局部或细微变换，但其分辨率也是有限的，而且不同瞬时属性反映的信息也 不同。
属性类别 物理意义
主要地质意义
瞬时振幅 地震反射波强度 的量度
瞬时相位 瞬时频率
同相轴连续性的 量度

hilbertspace21linearspaceinnerproductspacehilbertspace211linearspace212innerproductspace213hilbertspace22operatorsinnerproductspace221operatoradjointoperators222selfadjointoperators223alternativetheoremlinearalgebraicequations23completesetorthonormalfunctions231threekindsconvergence232thecompletenessfunctions233ndimensionalspacehilbertfunctionspace24weierstrsstheorempolynomialapproximation241weierstrasstheorem242polynomialapproximationexercisesappendix2arationalnumber21线性空间内积空间和希尔伯特空间211线性空间距离空间当我们考虑一个集合中的两个元素之间的关系时最常见的是希望描述这两个元素之间相互靠近的程度或者是相互偏离的程度
, xn X .若一个向量 x X 可以写成如
1 .容易看到， 这个序列符合 m 1 m !
n
柯西序列的定义，因此是一个柯西序列 .这个序列的极限是 e 1 ，这不是一个有 理数，证明见附录 2A.因而，此序列的极限不在有理数空间之内.因此，有理数空 间是不完备的. 4. 线性空间 距离的概念虽然给出了空间中元素之间的某一种关系， 但是元素之间还可以 有其它的关系.仅有距离的概念，对于元素之间的关系的了解还是不完全清楚的. 通常所考虑的空间， 常常同时又是一个代数系统，即空间中元素之间存在某种代 数关系.如果只着眼于空间中的代数结构，即元素之间的加法运算和数与空间元 素的乘法运算时，就可以定义线性空间的概念. 定义 7 设 X 是某些元素组成的集合，K 是复数域(或者实数域)，如果下列条 件(i)，(ii)成立，称 X 是 K 上的一个线性空间，简称 X 为线性空间.对应于 K 是复 数域或者实数域， 分别称 X 为复线性空间或者实线性空间.也可称 X 为向量空间， 其中的元素也可称为向量. (i) 在 X 内定义加法运算，用+号表示，使得 x, y X 时， x y X ，且满足 (a) x y y x (加法交换律)； (b) ( x y) z x ( y z ) (加法结合律)； (c) 在 X 内有一个零元素，记为，对任何 x X ，有 x x ； (d) 对任何 x X ，存在逆元素 x X ，使得 x ( x) . (ii) 对任何元素 x, y X 和任何数 , K ，定义数与元素之间的数乘，例 如 x X ，且满足 (e) 1x x ；

(2)若 Y 是有限维子空间,则 Hilbert空间；
Y 一定是
18
(3)若 X 可分,则 Y 一定可分。
3
§3 内积与范数的关系 定理4.16 (极化恒等式)在内积空间中,内积 与范数有如下关系: (1)设
证明 (1)当 X 为实内积空间时,有
x+ y − x− y
2
2
X 为实内积空间,则有
=< x + y, x + y > − < x − y, x − y > =< x, x > + < y, x > + < x, y > + < y, y >
p ≥ 1 且 p ≠ 2 时, (l p , ⋅ p )
这就是说平行四边形法则不成立，故 时， l 对范数
p
p≠2
p
⋅ p 来说不能定义内积。
x = (1,1, 0,K), y = (1, −1, 0,K) ∈ l p ，
1 p
p ≥ 1 但 p ≠ 2 时, (l [ a, b ] , ⋅ p ) 不是内积空间。
由(4.3.1)和(4.3.2)得到 (4.3.2)
X 中利用该范数无法定义内
X 中原来的范数。但可以证
22
积,也就是说, X 上不能定义一个内积,使得由它 产生的范数正好是 明，若 X 中的范数满足平行四边形公式，则可
4 < x, y >= x + y − x − y
2
2
2
+i x + iy − i x − iy .
+
< x, y > < y, y >

( f , ek ) k 1, 2,…


f f , ek ek
k 1
就说 f 可以展开
成关于正交标准系的 Fourier 级数。
下面定理给出 f f , ek ek 成立的条件
k 1

Hilbert 空间 H 中任何元素 f 关于任何正交标 定理5：
一一映照 A ，保持线性及内积，即是说，对任何
x, y H1及两个数 , ，成立着
A x y Ax Ay
及
Ax, Ay x, y
则说 H1 与 H 2同构。
定理9.具有可列正交标准化完全系的 Hilbert 空间与
l 2 同构。
定理10.可分Hilbert 空间必定是有限维或可列维（即 具有可列正交标准化完全系）空间。 说明：由定理9和定理10知，任何一个可分的 Hilbert

为级数的前 i xi Sn
i 1
n
,使
Sn x x X ，则称级数
收敛，并称 为这级数的和，记为 x i xi
x i xi
i 1 n
定义7：设 ek 为内积空间的正交标准化系， f H 称 f , ek ek 为元素 f 关于正交标准化系的 ek 的傅 k 1 立叶（ Fourier ）级数，称 为 Fourier 系数。如果有
积,使范数 x 就是由内积导出的范数. 不是任何线性赋范空间都可如此定义内积
例: C a, b 的范数
x max x t
a t b
,取 x t 1 , ,但因为
y t
t a ba
则 x, y C a, b ,且

1
中 (x, x)0
2 ，证明 0(∀x ∈ H )．如记 p(x) = (x, x)0
• p(x) 是 H 中的半范数； • ker p = {x : p(x) = 0} 是线性空间． • 在商空间 L = H/ ker p 上规定： (˜ x, y ˜) = (x, y )0 , 证明 (·, ·) 是 L 上的内积． 8. 证明任何内积空间都可完备化成为 Hilbert 空间． 9. 设 p(t) 是 (−∞, ∞) 上 Lebesgue 可积的实函数，p(t) > 0(∀t ∈ R)，H 是 ∞ (−∞, ∞) 上 Lebesgue 可测，并且满足 −∞ |f (t)|2 p(t) dt < ∞ 的 f (t) 全 体．证明 H 按通常函数的线性运算以及
其中 x, y, z ∈ Cn 。 在 Euclid 空间中内积概念之所以重要，是由于可以利用它在 Cn 中建立 Euclid 几何学，例如：向量的交角、垂直、投影等等重要几何概念都是由内积 表述的．在某些无限维空间中也能定义内积概念，它具有性质 (i)-(iii)，例如平 方可积函数空间 L2 [a, b] 中，两向量 f (x), g (x) 的内积 (f, g ) 定义为 141
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
|(x, y )| |(x, y )|2 + (x, x) − 2 (y, y ) (y, y ) (y, y )2 这就是 (5.1)