黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高二数学10月月考试题理【含答案】

哈尔滨市第六中学2021届十月份阶段性总结高二文科数学试题一、选择题：（每题5分，共60分）1. 双曲线2213x y -=的焦距是（ ）A B. 2 C. 4 D. 2. 已知椭圆()2221025x y m m+=>的右焦点为()4,0F ,则m =( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 93．抛物线28y x =的焦点坐标是（ ）A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,44．已知双曲线22143y x -=,则焦点到渐近线的距离为（ ）A ．4 B. 25．若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．x y 2±=C ．x y 21±= D ．2y x =±6．曲线191622=+y x 与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等7．已知点12,F F 分别是椭圆221259x y+=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ） A ．20B ．16C ．18D ．148．已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上一点P 满足4PF =，则OPF ∆的面积为（ ）A ．1B 3C ．2D ．239．设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为（ ）A ．24x y =B ．22x y =C ．24y x = D ．22y x =10．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的左右焦点，分别为1F ，2F ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，且两曲线在第一象限的公共点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则2121e e e e +-的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．611．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定二、填空题（每题5分，共20分）13.若抛物线()220x py p =>的焦点在直线230x y -+=上，则p = ．14.双曲线222x y -=的离心率是_______．15.过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，若6AB =，则线段AB 中点的横坐标为 ．16．若方程11422=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，给出下列四个结论： ①若C 为椭圆，则14t <<； ②若C 为双曲线，则4t >或1t <；③曲线C 不可能是圆； ④若512t <<，则曲线C 为椭圆，且焦点坐标为(52,0)t ±-； ⑤若1t <，则曲线C 为双曲线，且虚半轴长为1t -．其中，正确结论的序号为____________.（把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题（共计60分）17.（本题共10分）已知双曲线1C 的离心率等于5，且与椭圆2C ：22194x y +=有公共焦点，（1）求双曲线1C 的方程；（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆2C 的焦距，求该抛物线方程.18．（本题共12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另一边CD 在x 轴上方，且8AB =，6BC =，其中，(4,0),(4,0)A B -（1）若,A B 为椭圆的焦点，且椭圆经过C 、D 两点，求该椭圆的方程；（2）若,A B 为双曲线的焦点，且双曲线经过C 、D 两点，求双曲线的方程．19．（本题共12分）已知抛物线顶点在原点，焦点F 在x 轴上，且过点A （4，4）． （1）求抛物线的焦点坐标和方程；（2）P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．20. （本题共12分）在直角坐标系xoy 中，点P 到两点()0,3M -和()0,3N 的距离之和为4，设点P 的轨迹为曲线C ，经过点()0,1的直线l 与曲线C 交于,A B 两点． （1）求曲线C 的方程；（2）若2AOB π∠=,求直线l 的方程.21. （本题共12分）已知双曲线22:1C x y -=及直线: 1.l y kx =- （1）若l 与C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，且AOB ∆,求实数k 的值.22. （本题共12分）已知抛物线()2:20G x py p =>上一点(),4R m 到其焦点的距离为174. （I ）求p 与m 的值；（II ）若斜率为2-的直线l 与抛物线G 交于P 、Q 两点，点M 为抛物线G 上一点，其横坐标为1，记直线PM 的斜率为1k ，直线QM 的斜率为2k ，试问：21k k +是否为定值？并证明你的结论。

黑龙江省哈尔滨第六中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题理年级：姓名：黑龙江省哈尔滨第六中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题理考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．已知复数z 满足(2)13z i i -=-，则z =（ ） A ．i -B ．iC ．1i -D ．1i +2． “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，为探究下面“瓦当”图案的面积，向半径为10的圆内投入1000粒芝麻，落入阴影部分的有400粒.则估计“瓦当”图案的面积是（ ） A ．40 B ．40π C ．4 D ．4π3．某种心脏手术成功率为0.6，现釆用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0、1、2、3表示手术不成功，4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.54．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（ ）A ．12B ．10C ．11D ．135．为检测疫苗的有效程度，某权威部门对某种疫苗进行的三期临床效果比较明显的受试者，按照年龄进行分组，绘制了如图所示的样本频率分布直方图，其中年龄在[)20,30内的有1400人，在[)60,70内有800人，则频率分布直方图中a 的值为（ ） A ．0.008 B ．0.08C ．0.006D ．0.066．设X 为随机变量，1(,)3X B n ，若随机变量X 的数学期望()2E X =，则(4)P X ==( )A ．80243 B. 20243C. 4243D. 1316 7．已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的第二项和第三项的系数相等，则展开式中二项式系数的和为（ ） A ．256B ．128C ．64D ．328．袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；至少有一个红球B ．恰有一个白球；一个白球一个黑球C ．至少有一个白球；都是白球D ．至少有一个白球；红、黑球各1个9．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式､横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（ ）A ．B ．C ．D ．10．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若1()3E X =，则(31)D X +的值是（ ）x -1 0 1pa bcA ．2B ．3C ．6D ． 511．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数(即2，4，6，8为阴数，1，3，5，7，9为阳数).如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（ ） A ．320B ．15C ．310D ．72012．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，若安排学习“丝”，则“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（ ） A ．960B ．1024C ．1296D ．2021第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.9P ξ<=，则(13)P ξ<<=__ ____ 14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援. 若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有_______种分配方案．（用数字作答） 15．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A 表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B 表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则()|P B A =______.16．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分.投入壶耳一次得2分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为13，投中壶耳的概率为15.四支箭投完，以得分多者赢，请问乙赢得这局比赛的概率为________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(1)1x y -+=，直线l ：0x m -=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设点(0)P m ，，若直线l 与圆C 交于B A 、两点，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值.18. （本小题满分12分）甲､乙､丙三名同学高考结束之后，一起报名参加了驾照考试，在科目一考试中，甲通过的概率为12，甲､乙､丙三人都通过的概率为124，甲､乙､丙三人都没通过的概率为14，且在平时的训练中可以看出乙通过考试的概率比丙大. （1）求乙，丙两人各自通过考试的概率；（2）令甲､乙､丙三人中通过科目一考试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）哈尔滨市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对哈市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计这100名考生的理综成绩的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数；（2）用频率估计概率，从哈市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．20．（本小题满分12分）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）2022年2月北京赛区延庆赛区张家口赛区开闭幕式冰壶冰球速度滑冰短道速滑花样滑冰高山滑雪有舵雪橇钢架雪车无舵雪橇跳台滑雪北欧两项越野滑雪单板滑雪冬季两项自由式滑雪当日决赛数5（六）**11*11*116 6（日）**1*1111117说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛． （1）①若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率； ②若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；（2）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X 为赛区的个数，求X 的分布列及期望()E X ．21. （本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，42AB =，M 是AB 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长；（2）已知点N 在棱1CC 上，若平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角的余弦值为1010，试确定点N 的位置．22．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于,A B 两点，AOB ∆ (点O 为坐标原点)的面积为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()()0,0E a a >的两直线1l ，2l 的倾斜角互补，直线1l 与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 与抛物线C 交于,P Q 两点，FMN ∆与FPQ ∆的面积相等，求实数a 的取值范围.理科数学答案 13. 0.4 14. 30 15.154316．137517．（1）圆C 极坐标方程为2cos ρθ=，直线l：12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)；（2）1m =或12m .（1）圆C ：222x y x +=，则2222cos sin 2cos ρθρθρθ+=，则极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 为(,0)P m ，直线的斜率为3k =倾斜角为6π，所以直线l参数方程为12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)；（2）将直线l 的参数方程代入圆C的平面直角坐标方程得2211)()12m t +-+=，整理得221)20t m t m m -+-=，由0∆>得223(1)4(2)0m m m --->，解得13m -<<， 则212|||||||2|1PA PB t t m m ⋅==-=，解得1m =或12m ，均符合.18．（1）乙：13，丙：14；（2）分布列答案见解析，数学期望：1312.（1）设甲､乙､丙三人分别通过科目二考试的概率为1P ，2P ，3P ，由题可知112P =，123124PP P =，()()()12311114P P P ---=， 解得213P =，314P =或214P =，313P =由于乙通过考试的概率比丙大，213P ∴=，314P =. （2）由题意，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3 则1(0)4P ξ==，()()()()()()123123123(1)111111P P P P P P P P P P ξ==--+--+--1231131211123423423424=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 1(3)24P ξ==， 1(2)1(0)(1)(3)4P P P P ξξξξ∴==-=-=-==ξ∴的分布列为1111113()012342442412E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=19．（1）平均数为225.6 中位数为224（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4， 所以随机变量y 服从二项分布B ～（3，0.4）， 故P （y ＝k ）＝C 3k0.4k0.63﹣k，k ＝0，1，2，3，故y 的分布列为则E （y ）＝3×0.4＝1.2； 20.（1）①150；②37；（2）分布列见解析；期望为7435．解：（1）①记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶和冰球”为事件A ． 由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有1010100⨯=种不同情况， 其中恰好看到冰壶和冰球，共有2种不同情况，所以()P A =21=10050． ②记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B ． 由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6742⨯=种不同情况，其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同情况，在张家口赛区共有4416⨯=种不同情况，所以()P B =2163=427+． （2）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3．根据题意，34374(1)35C P X C ===，1212122112142424371612423(2)3535C C C C C C C C P X C ⋅+⋅+++++====， 111124378(3)35C C C P X C ⋅⋅===． 随机变量X 的分布列是：X1 2 3P435 2335 835数学期望423874()12335353535E X =⨯+⨯+⨯=． 21. （1）22；（2）N 在棱1CC 的中点处． （1）建立如图所示的空间直角坐标系．设1A A a =．由42AB =4AC BC ==，则(4,0,0)A ，(0,0,0)C ，1(4,0,)A a ，1(0,4,)B a ，(2,2,0)M所以1(2,2,)AM a =--，1(0,4,)=--BC a ．因为11A M B C ⊥，所以(2)02(4)()()0a a -⨯+⨯-+-⨯-=，解得a =1A A的长为（2）由（1）知1C 设(0,0,)(022)N λλ，所以1(4,4,B A =--，1(0,4,B N λ=--． 设平面1B AN 的一个法向量为()1111,,n x y z =．由1111n B A n B N ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得111114404(0x y y z λ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，取141,1n λ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭．易知平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =，设平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角为θ，121212cos cos ,n nn n n n θ⋅====． 解得λ=2λ=-（舍去）所以N 在棱1CC 的中点处．22. （1）24y x =；（2）(0,1)(1,2).（1）因为焦点,02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以点,A B 的坐标分别为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以12222AOB pS p =⋅⋅=△，故2p =.故抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意可知直线12,l l 的斜率存在，且不为0，设直线()1:l x t y a =-. 点()11,M x y ，()22,N x y .联立方程可得()24y xx t y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x ，可得2440y ty at -+=.则2116160t at ∆=->.因为1212 4,4y y t y y at +==，所以12MN y y =-== 焦点F 到直线1l的距离d =，所以1|2FMN S ta =⨯=+△. 设直线2:()l x t y a =--，与抛物线方程联立可得2216160t at ∆=+>，将t 用t-替换，可得1FPQ S =-△由FMN FPQ S S =△△可得1ta +=-，11ta ta +=-，两边平方并化简可得2212t a =-，所以220a ->，解得0a << 又由10∆>且20∆>得t a <-或t a >，可知22t a >，所以2212a a >-，即()222102a a->-，所以1a ≠，所以实数a 的取值范围是(0,1)(1,2).。

黑龙江省2021-2021学年高二数学10月月考试题 理一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1. 设命题:p 2,2n n N n ∀∈≤ ，则p ⌝为（ ）22220000.,2.,2.,2.,2n n nn A n N n B n N n C n N n D n N n ∃∈>∃∈≤∀∈>∀∉>2．下面四个条件中，使a b <成立的充分不必要条件是（ ）2233...1.1A a b B a b C a b D a b <<<+<-3. 某班有学生50人，现将所有学生按1,2,3,...,50随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4,,24,,44a b 号学生在样本中，则a b +=（ ）.14.34.48.50A B C D4. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为8π，则椭圆C 的标准方程为（ ） 2222.11164164x y y x A +=+=或 2222.1116121612x y y x B +=+=或 2222.11124124x y y x C +=+=或 2222.11169916x y x y D +=+=或 5. 连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之积为6的概率是（ ）1531....936186A B C D6. 关于曲线22:C x y x y +=+，给出下列五个命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于y x =对称； ④曲线C 关于原点对称；⑤曲线C 所围成的区域面积大于6其中正确的命题个数为（ ） .2.3.4.5A B C D7. 某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min ），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( ).A .B.C .D8. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为:“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）.A 甲地：总体平均值为3，中位数为4 .B 乙地：总体平均值为1，总体方差大于0 .C 丙地：中位数为2，众数为3 .D 丁地：总体均值为2，总体方差为29. 定义{},,min ,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩ ，在区域0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 内任取一点(),P x y ，则点(),P x y 满足{}min 21,11x y x y x y -++-=+- 的概率为（ ）1751....2121212A B C D 10．已知点()1,0A -，()10B ,，若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足8MA MB ⋅= ，则实数a 的值不可以为（ ） .2.1.0.3A B C D --11. 若椭圆或双曲线上存在点P ,使得点P 到两个焦点12,F F 的距离之比为2:1 ，且存在12PF F ∆ ,则称此椭圆或双曲线存在Ω“点” ，下列曲线中存在Ω“点”的是（ ）22222222.1.1.1.1363216155415x y x y x y y A B C D x +=+=-=-= 12.设点P 为椭圆:C ()222210x y a b a b+=>> 上的动点（除左右顶点外），椭圆C 的焦点为12,F F ，离心率为e ，I 为12PF F ∆的内心，则直线1IF 和直线2IF 的斜率之积为（ ）1111....1111ee e eA B C D eee e--++++-- 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.,αβ是两个平面，,,m n l 是三条直线，有下列四个命题： ①若//,//m n n l ，则//m l . ②若//,//,m n m α 则//n α .③若//,m αβα⊂ ，则//.m α ④若//,//,m n αβ 则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有__________.14．已知双曲线:C221416x y -= ,则其渐近线方程为__________. 15.如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD = , 14AE AC =,双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点，则双曲线的离心率为_____________.16.已知椭圆:E ()222210x y a b a b+=>> 内一点()2,1M ,过点M 的两条直线12,l l 分别与椭圆E 交于,A C 和,B D 两点，且满足 ,AM MC BM MD λλ==（其中01λλ>≠且 ）,若λ变化时直线AB 的斜率总为23-， 则椭圆的离心率为__________. 三、解答题（共6道题，第17题10分，其余5道题各12分，共70分） 17.设,t R ∈ 已知命题:p 函数()21f x x tx =-+ 有零点；命题[):1,q x ∃∈+∞ ，4t x x≥+ .若p q ∧为真命题，求实数t 的取值范围.18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算出101010102111180,20,184,720ii i i i i i i i xy x y x ========∑∑∑∑，附：线性回归方程y bx a =+，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中,x y 为样本平均值.（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ ； （2）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.19.为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表所示：（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个单位更为稳定？（2）用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率.20.已知椭圆2222:1x y E a b+= ()0a b >> 的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ,椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,AB 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB21.已知椭圆()222210x y a b a b+=>> 的左右焦点分别是12,F F ，122F F = ,点P 为椭圆短轴的端点，且12PF F ∆. （1）求椭圆的方程；（2）点31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆上的一点，12,B B 是椭圆上的两动点，且直线12,BB BB 关于 直线1x =对称，试证明：直线12B B 的斜率为定值.22.设曲线()22:10,0E mx ny m n +=>> 过()1,,0,12M N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点.O 为坐标原点. （1）求曲线E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与曲线E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围.若不存在，说明理由.2021—2021学年度高二上学期10月月考 数学试题 一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1.设命题:p 2,2n n N n ∀∈≤ ，则p ⌝ 为（ A ）0022000022.,2.,2.,2.,2n n nnA n N nB n N nC n N nD n N n ∃∈>∃∈≤∀∈>∀∉>2．下面四个条件中，使a b <成立的充分不必要条件是（ D ）2233...1.1A a b B a b C a b D a b <<<+<-3.某班有学生50人，现将所有学生按1,2,3,...,50 随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4,,24,,44a b 号学生在样本中，则a b +=（ C ）.14.34.48.50A B C D4.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C的离心率为，面积为8π ，则椭圆的C 的标准方程为（ A ） 2222.11164164x y y x A +=+=或 2222.1116121612x y y x B +=+=或 2222.11124124x y y x C +=+=或 2222.11169916x y x y D +=+=或 5.连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之积为6的概率是（A ）1531....936186A B C D 6.关于曲线22:C x y x y +=+，给出下列五个命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于y x =对称；④曲线C关于原点对称；⑤曲线C所围成的区域面积大于6其中正确的个数为（ C ）A B C D.2.3.4.57.某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( B ).A.B.C.D8.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ D ）.A甲地：总体平均值为3，中位数为4.B乙地：总体平均值为1，总体方差大于0.C丙地：中位数为2，众数为3.D丁地：总体均值为2，总体方差为29.定义{},,min ,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩ ，在区域0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 内任取一点(),P x y ，则点(),P x y 满足{}min 21,11x y x y x y -++-=+- 的概率为（ B ）1751....2121212A B C D 10．已知点()1,0A -，()10B ,，若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足8MA MB ⋅= ，则实数a 的值不可以为（ D ）.2.1.0.3A B C D --11. 若椭圆或双曲线上存在点P ,使得点P 到两个焦点12,F F 的距离之比为2:1 ，且存在12PF F ∆ ,则称此椭圆或双曲线存在Ω“点” ，下列曲线中存在Ω“点”的是（ C ） 22222222.1.1.1.1363216155415x y x y x y y A B C D x +=+=-=-= 12.设点P 为椭圆:C ()222210x y a b a b+=>> 上的动点（除左右顶点外），为椭圆C 的焦点为12,F F ，离心率为e ，I 为12PF F ∆的内心，则直线1IF 和直线2IF 的斜率之积为（ B ）1111....1111ee e eA B C D eee e--++++--二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.,αβ是两个平面，,,m n l 是三条直线，有下列四个命题： ①若//,//m n n l ，则//m l ；②若//,//,m n m α 则//n α③若//,m αβα⊂ ，则//.m α④若//,//,m n αβ 则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有__________. ①④14．已知双曲线:C221416x y -= ,则其渐近线方程为：__________.2y x =± 15.如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD = , 14AE AC =,双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点，则双曲线的离心率为_____________.10 16.已知椭圆:E ()222210x y a b a b+=>> 内一点()2,1M ,过点M 的两条直线12,l l 分别与椭圆E 交于,A C 和,B D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ== （其中01λλ>≠且 ）,若λ变化时直线AB 的斜率总为23-， 则椭圆的离心率为__________.63三、解答题（共6道题，第17题10分，其余5道题各12分，共70分） 17.设,t R ∈ 已知命题:p 函数()21f x x tx =-+ 有零点；命题[):1,q x ∃∈+∞ ，4t x x≥+ .若p q ∧为真命题，求实数t 的取值范围.解：:p 240t ∆=-≥ ，解得2 2.t t ≤-≥或:q 令()4f x x x =+ ，则()424f x x x≥⋅= ，当2x =时取等号.则4t ≥ . 因为p q ∧为真命题，所以,p q 均为真命题即224t t t ≥≤-⎧⎨≥⎩或 得 4t ≥所以t 的取值范围为[)4,.+∞18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y ，（单位：千元）的数据资料，算出101010102111180,20184,720ii i i i i i i i xy x y x ========∑∑∑∑，，附：线性回归方程1221ˆˆˆˆˆˆ,,ni ii nii x y nxyybx a b ay bx xnx ==-=+==--∑∑，其中,x y 为样本平均值. （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ ； （2）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄. 解：（1）由题意知，10101110,80,20ii i i n xy =====∑∑ ，80208,21010x y ∴==== ∴21082160,1064640n x y n x ⋅⋅=⨯⨯=⋅=⨯=1010211184,720i i ii i x y x ====∑∑ 由1221184160ˆ0.3720640ni ii nii x y nxybxnx ==--===--∑∑.ˆˆ20.380.4ay bx =-=-⨯=- 故所求回归方程为0.30.4y x =- （2）将9x = 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.390.4 2.3y =⨯-= （千元）.19.为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表所示：（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个单位更为稳定？（2）用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率.解：（1）87+88+91+91+93==905x 甲 ，86+87+91+92+94==908x 乙 ()()()()()222222124=87-90+88-90+91-90+91-90+93-90=55s ⎡⎤⨯⎣⎦甲 ()()()()()222222146=86-90+87-90+91-90+92-90+94-90=55s ⎡⎤⎣⎦乙 因为22s s <甲乙 ，所以甲单位更为稳定.（2）从5名职工中任取2人，所有的取法有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}86,87,86,91,86,92,86,9487,91,87,92,87,94,91,92,91,9492,94 共10种 设抽取的2名职工的分数差值至少是4分为时间M ,则M 中包含的基本结果有：{}{}{}{}{}{}86,91,86,92,86,94,87,91,87,92,87,94 共6种所以()63105p M == 即抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率为3.520.已知椭圆2222:1x y E a b+= ()0a b >> 的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ,椭圆的长轴长为（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB解：（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x y c b+= 即0bx cy bc +-= .由已知：原点到直线的距离12bc d c a === 即12b a =因为2a =，所以b = 所以椭圆的标准方程为：221123x y += （2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上 ，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=- 即为： 21y kx k =--设()()1122,,,A x y B x y联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩ 得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k x k k x k k +-+++-=显然0∆>则()122821414k k x x k ++==+ ，解得12k = 则212216168214k k x x k +-⋅==+所以12AB x =-==（注：用点差法求斜率也可）21.已知椭圆()222210x y a b a b+=>> 的左右焦点分别是12,F F ，122F F = ,点P 为椭圆短轴的端点，且12PFF ∆.（1）求椭圆的方程；（2）点31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆上的一点，12,B B 是椭圆上的两动点，且直线12,BB BB 关于直线1x =对称，试证明：直线12B B 的斜率为定值.解：（1）由已知122F F =得1c =，又12PF F S ∆=所以b =所以椭圆的标准方程为22143x y += .（2）已知点31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭ ,当直线1BB 斜率不存在时显然不满足题意，所以直线1BB 斜率存在.设直线1BB :()312y k x -=- ，即32y kx k =+- ，由于直线12,BB BB 关于直线1x =对称，则直线23:y 2BB kx k =-++设()111,B x y ，()22,B x y 联立：2232143y kx kx y⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得()()2223443241230k x k k x k k ++-+--=()22415m k =+ 则2112412343B k k x x x k --==+ ，同理222412343k k x k +-=+ 则2121212133()22AB kx k kx k y y k x x x x ⎛⎫-++-+-⎪-⎝⎭==--()2212212862214324243k k k k k x x k k x x k --⋅-++===-+所以直线12B B 的斜率为定值.22.设曲线()22:10,0E mx ny m n +=>>过()1,,0,12M N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点.O 为坐标原点.（1）求曲线E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与曲线E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围.若不存在，说明理由.解：（1）由已知得：3141m n n ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得141m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ .所以曲线方程为2214x y += .（2）当切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+ 联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222148440k x kmx m +++-=()()()2228414440km k m ∆=-+-> ，得22410k m -+>设()()1122,,,A x y B x y 则2121222844,1414kmm x x x x k k -+=-=++因为OA OB ⊥所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()()()12122212121x x kx m kx m k x x km x x m =+++=++++()22222448141414m km k km m k k -⎛⎫=++-+ ⎪++⎝⎭222544014m k k --==+ 即()22415m k =+因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d r ==即222415m r k ==+ 所以圆的方程为：2245x y += 特别地，当圆的切线斜率不存在时，也满足OA OB ⊥，所以这样的圆存在，方程为2245x y +=. 此时12AB x =-=214k ==+= 所以()()222221611615541k k AB k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+4222242161617151681169151681k k k k k k k ++=⋅++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭将()22415m k =+ 代入∆ 得：[)20,k ∈+∞ ①当20k =时，2165AB = ②当20k > 时，2221691515168AB k k ⎛⎫⎪=+≤ ⎪ ⎪++⎝⎭当12k =±时取等号 又2165AB > ,所以216,55AB ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦③当斜率不存在时，2165AB =综上可知： 216,55AB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ,所以弦AB 的取值范围是5⎡⎢⎣ .。

2020～2021学年度黑龙江省哈尔滨市第六中学高二10月月考数学(理)试题一、单选题1.已知圆的方程为2241x y x +-=,则它的圆心坐标和半径的长分别是( )A.(2,0),5B.(2,0)C.(2,0)D.(0,2)【参考答案】B【试题解析】把圆方程配方成标准方程后可得.由题意圆的标准方程是22(2)5x y -+=,圆心坐标是(2,0),故选:B .本题考查求圆心坐标和半径,解题方法把圆的一般方程配方成标准方程.2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=,则双曲线的离心率为( )A.12【参考答案】D【试题解析】由渐近线平行于直线:250l x y ++=可得两直线斜率相等,即可求出离心率.因为一条渐近线平行于直线:250l x y ++=,可知两直线斜率相等, 由题知双曲线的一条渐近线方程为12y x =-,则12b a -=-,222222114b c a e a a -∴==-=, e ∴=. 故选:D .本题考查双曲线离心率的求法,属于基础题.3.已知点P 是椭圆E :2212516x y +=上第一象限的一点,M ,N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的点,则PM PN +的最小值为( )A.6B.7C.8D.9【参考答案】B【试题解析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点,结合椭圆的几何意义,椭圆上的点到两个焦点距离之和为定值,再根据圆外一点到圆上点距离的最小值为点到圆心距离减去半径即可求解.点P 是椭圆E :2212516x y +=上第一象限的一点,则点P 在两圆的外部, 由题可得两圆圆心坐标是(3,0),(3,0)-,恰是椭圆的两个焦点,设12(3,0),(3,0)F F -,1210PF PF +=,两圆的半径为2,1,所以()1212min2137PM PN PF PF PF PF +=-+-=+-=.故选:B此题考查椭圆的定义及几何性质,同时也考查了圆的几何性质,圆外一点到圆上距离的最值问题.4.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3,则其渐近线方程为A.2y x =B.3y x =±C.2y x = D.3y =±【参考答案】A【试题解析】分析:根据离心率得a,c 关系,进而得a,b 关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:2222223,1312,2,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴=因为渐近线方程为by x a=±,所以渐近线方程为y =,选A. 点睛:已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程:22220x y by x a b a -=⇒=±.5.若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切,则m =( ) A.1B.1-C.1-或3D.3-或1【参考答案】D【试题解析】由圆心到直线的距离等于半径求解.由题意,圆心坐标为(,1)m ,,因为直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切, 所以,圆心到直线的距离等于半径,=解得1m =或3m =-.故选:D .本题考查直线与圆的位置关系,由圆心到直线的距离等于半径确定直线是圆的切线. 6.已知线段PQ 的中点为(0,4)M ,若点P 在直线20x y +-=上运动,则点Q 的轨迹方程是 A..60x y +-= B.60x y ++= C.20x y --= D.20x y -+= 【参考答案】A【试题解析】设出Q(x,y),P 点坐标为(x 1,y 1),利用中点坐标公式把P 点坐标用Q 点坐标表示,然后代入直线x ＋y-2＝0整理后即可得到点Q 的轨迹方程.设Q(x,y),P 点坐标为(x 1,y 1), ∵线段PQ 的中点为M(0,4), ∴x 1＝-x,y 1＝8-y,∵点P 在直线x ＋y-2＝0上运动, ∴x 1＋y 1-2＝0,∴-x ＋8-y-2＝0,即x ＋y-6＝0, 故选A.本题考查轨迹方程,考查了代入法求曲线方程,是中档题.7.若圆222:()()C x a y a a -++=被直线:20+-=l x y 分成的两段弧之比是1:3,则满足条件的圆C ( ) A.有1个 B.有2个 C.有3个 D.有4个【参考答案】B【试题解析】由题,可得90ACB ∠=︒,,求解即可得到a 的解得个数,即为满足条件的圆C 的个数由题,设直线:20+-=l x y 与圆222:()()C x a y a a -++=的交点为A ,B ,因为将圆分成的两段弧之比是1:3,则90ACB ∠=︒,设圆心C 到直线的距离为d , 因为圆心为(),a a -,半径为a ,则d ===,即2=a ,故2a =± 故选B本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的应用,考查运算能力 8.已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,点A 在准线l 上,做PA l ⊥,与抛物线交于点P ,且P 在第一象限,||4PF =,则直线PF 的倾斜角等于( ) A.6πB.3π C.23π D.56π 【参考答案】B【试题解析】由焦半径PF 求出P 点坐标,然后可求得直线斜率后得倾斜角.由已知抛物线的焦点为(1,0)F ,准线方程为1x =-,设(,)P x y ,则14PF PA x ==+=,3x =,243y =⨯,∵0y >(P 在第一象限),∴23y =,即(3,23)P ,∴23331PF k ==-,倾斜角为3π.故选:B .本题主要考查抛物线的焦半径公式,把抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离即可得焦半径.9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点A ,B 是椭圆C 上关于原点O对称的两个点,且||||AO AF =,0FA FB ⋅=,则椭圆C 的离心率为( ) A.31- B.23-C.22D.2 【参考答案】A【试题解析】由0FA FB ⋅=得90AFB ∠=︒,将左焦点与A 、B 连接起来,由椭圆的对称性可得四边形12AF BF 为矩形,||||AO AF =,可得a ,c 的关系,进而求出离心率.因为0FA FB ⋅=,所以90AFB ∠=︒,因为||||AO AF =,所以||2||AB AF =,故30ABF ∠=︒,设椭圆C 的左焦点为1F ,根据椭圆的性质,四边形1AF BF 为平行四边形, 且90AFB ∠=︒,所以四边形1AF BF 为矩形,在直角三角形1AF F 中,130AF F ∠=︒,13AF c =,||AF c =, 根据椭圆的定义,1||2AF AF a +=,即32c c a +=, 则椭圆C 的离心率31ce a==-.故选:A.本题考查了椭圆的定义及其几何性质,属于中档题.10.已知椭圆()222:109x y C b b+=>的右焦点为F ,以C 上点M 为圆心的圆与x 轴相切于点F ,并与y 轴交于A ,B 两点.若4FA FB ⋅=,则C 的焦距为( ) A.2 B.2C.22D.4【参考答案】C【试题解析】首先得出圆的M 的方程22222203b x y cx yc +--+=,令0x =结合韦达定理得到12y y ,按照向量数量积的坐标运算代入得到关于c 的方程解出即可.设(c,0)F ,则2(,)3b Mc ,圆M 的方程为22222()()()33b b xc y -+-=,即22222203b x y cx yc +--+=,令0x =,得222203b y yc -+=,当>0∆时,212y y c =.设1(0,)A y ,2(0,)B y ,则1(,)FA c y =-,2(,)FB c y =-,则221224FA FB c y y c ⋅=+==, 所以22c =,解得2c =,所以焦距为222c =,故选:C.本小题考查椭圆的方程及其椭圆的简单几何性质、平面向量的数量积等基础知识,考查数学运算、逻辑推理等核心素养,体现基础性、综合性.11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ,直线43200x y -+=过点F 且与C 在第二象限的交点为P ,O 为原点,||||OP OF =,则C 的离心率为( ) A.5B.5C.53D.54【参考答案】A【试题解析】根据直线43200x y -+=过点F 可先求得5c =,再画图分析可知2PFF △为直角三角形,再结合双曲线的定义求解即可.因为直线43200x y -+=与x 轴的交点为()5,0F -,故半焦距为5c =.设双曲线C 的右焦点为()25,0F ,连接2PF ,根据OP OF =可得2PFF △为直角三角形,如图,过O 作OA 垂直于直线43200x y -+=,垂足为A ,则易知OA 为2PFF △的中位线.又O 到直线43200x y -+=的距离2220443d ==+,所以228PF d ==,22226PF FF PF =-=,故结合双曲线的定义可知222PF PF a -==,所以1a =. 故离心率5ca=.故选:A本题主要考查了根据双曲线的几何性质,结合三角形的性质求解离心率的问题.需要根据题意确定焦点三角形中的长度关系求解.属于中档题.12.已知斜率为(0)k k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ,与抛物线C 交于A ,B 两点,又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ,D 两点.若||4||AB CD =,则k 的值为( )C.2D.【参考答案】A【试题解析】写出直线l 方程为2py kx =+与抛物线方程联立方程组,设1122(,),(,)A x y B x y ,方程组消元后求得12x x +,由点,A B 在直线上求得12y y +(也可消去x ,直接用韦达定理得结论),再由焦点弦长公式12AB y y p =++表示出弦长AB ,圆心就是抛物线的焦点,圆半径是p ,则2CD p =,代入已知条件可求得k .抛物线的焦点为(0,)2pF ,直线l 方程为2p y kx =+,由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220x pkx p --=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则122x x pk +=,又112p y kx =+,222p y kx =+,∴21212()2y y k x x p pk p +=++=+, ∴21222AB y y p pk p =++=+, 圆222304x y py p +--=的标准方程是222()2p x y p +-=,圆心为(0,)2pF ,半径为p ,∴2CD p =,∵||4||AB CD =,∴22242pk p p +=⨯,解得k =∵0k >,∴k =故选:A.本题主要考查抛物线的焦点弦长公式,由直线方程与抛物线方程联立消元后求得12y y +,由焦点是(0,)2p的抛物线的焦点弦长为12AB y y p =++可表示出弦长.二、填空题13.设中心在原点的双曲线与椭圆＋y 2＝1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是 . 【参考答案】2x 2﹣2y 2＝1【试题解析】椭圆2212x y +=中1c =,∵中心在原点的双曲线与椭圆2212x y +=有公共的焦点,∴双曲线中1c =,∵椭圆2212x y +=的离心率为22c a =,椭圆与双曲线的离心率互为倒数.∴双曲线的离心率为, ∴双曲线中22a =,,,∴双曲线的方程为.【知识点】1.双曲线的标准方程;2.椭圆的简单性质;3.双曲线的简单性质.14.已知焦点为F 的抛物线24y x =上有一动点P ,点(2,2)A ,则||||PA PF +的最小值是_______________. 【参考答案】3【试题解析】作出准线l ,过P ,作PM l ⊥,垂足为M ,利用PF PM =转化为可求得最小值.如图,设l 是抛物线的准线,作PM l ⊥于M ,则PF PM =, ∴PA PF PA PM +=+,由已知准线方程为1x =-,显然当,,A P M 三点共线时,PA PF +取得最小值2(1)3--=.故答案为:3.本题考查抛物线上点到焦点和定点的距离之和的最小值问题,解题关键是利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到焦点的距离.15.如图,椭圆()222210x y a b a b +=>>的上、下顶点分别为2B ,1B ,左、右顶点分别为1A ,2A ,若线段22A B 的垂直平分线恰好经过1B ,则椭圆的离心率是__________.【参考答案】63【试题解析】根据线段22A B 的垂直平分线恰好经过1B 可得1212B B B A =,即222b a b +,即可求出椭圆的离心率.因为线段22A B 的垂直平分线恰好经过1B ,所以1212B B B A =,即222b a b =+所以2224b a b =+,即223b a =,又222b a c =-, 所以2223()a c a -=,即2223a c =,所以6c a =即6e =. 故答案为6本题主要考查椭圆的离心率,属于基础题.16.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,右焦点2F 与抛物线E :()220y px p =>的焦点重合.椭圆C 与抛物线E 交于A ,B 两点,A ,2F ,B 三点共线,则椭圆C 的离心率为______.1【试题解析】利用椭圆与抛物线的对称性,根据椭圆C 与抛物线E 交于A ,B 两点,A ,2F ,B 三点共线,则有22bAF p a== ,122F F c p ==,再由221212b AF a cF F ==求解.因为椭圆C 与抛物线E 交于A ,B 两点,A ,2F ,B 三点共线,所以22b AF p a== ,122F F c p ==,221212b AF a cF F ==, 即22b ac = ,所以2220c ac a --=, 所以2210e e --=,解得1e =.故答案为1本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.三、解答题17.已知圆心为M 的圆经过点(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点. (1)求ABC 的面积; (2)求圆M 的方程.【参考答案】(1)3;(2)22(1)(2)5x y -+-=.【试题解析】(1)求出AB ,写出直线AB 方程,求出C 到直线AB 的距离,可得面积; (2)设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=,代入三点为坐标,求出,,D E F ,得圆一般方程,可配方得标准方程.(1)由已知AB ==直线AB 方程为124x y+=,即240x y +-=,C 到直线AB的距离为d ==,∴11322ABC S AB d ==⨯=△; (2)设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=, ∵圆过(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点.,∴16404201030E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩,解得240D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴圆M 方程为22240x y x y +--=,即22(1)(2)5x y -+-=.本题考查求三角形面积,求过三点的圆的方程.求过三点圆方程,一般可设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=,代入三点坐标后解方程组即可,本题也可先证明AC BC ⊥,得圆心是AB 中点,再求得半径即可得圆方程.18.已知P 是椭圆2212x y +=上的一动点.(1)定点1,0A ,求PA 的最小值;(2)求P 到直线220x y ++=距离的最大值. 【参考答案】(11;(2【试题解析】(1)设(,)P x y ,直接求出PA ,然后由函数知识得最小值.(2)设,sin )P θθ,求出P 点到直线的距离,结合三角函数的辅助角公式可得最大值.(1)设(,)P x y ,P 在椭圆上,∴2212x y =-,x ≤≤.∴PA ===,∴x =时,min12PA ==; (2)P 在椭圆2212x y +=上,设,sin )P θθ,则P 到直线220x y ++=距离为d===,其中1sin ,cos 33ϕϕ==,ϕ取锐角. ∴当sin()1θϕ+=时,max d ==本题考查考查求椭圆上点到定点的距离的最值,及到定直线的距离的最值,设出点的坐标,求出距离,再由函数知识知识求解即可.19.已知点()1,P m 是抛物线C :22y px =上的点,F 为抛物线的焦点,且2PF =,过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ,B . (1)求抛物线C 的方程; (2)若8AB =,求直线l 的斜率. 【参考答案】(1)24y x =;(2)1或1-.【试题解析】(1)由焦半径公式求得p ,得抛物线方程;(2)设1122(,),(,)A x y B x y ,直线方程为(1)y k x =-,代入抛物线方程后由韦达定理得12x x +,然后由焦点弦长公式可求得k .(1)由题意122pPF =+=,2p =,∴抛物线方程为24y x =; (2)由(1)知焦点为(1,0)F ,若直线l 斜率不存在,则AB 4=,不合题意,因此设直线l 方程为(1)y k x =-,由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则212224k x x k ++=,212224228k AB x x k+=++=+=,解得1k =或1k =-.本题考查抛物线的焦半径公式,焦点弦长,掌握抛物线的定义是解题关键.20.已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点,过()2,0P 的直线l 交C 于A ,B 两点,()00,M x y 为AB 的中点,且()021FA FB x +=+. (1)求抛物线C 的方程;(2)若AB 的中垂线与C 的准线交于点N ,且||||AB MN =,求直线l 的斜率. 【参考答案】(1)24y x =;(2)±1.【试题解析】(1)先求出2p =,再求抛物线C 的方程即可; (2)先设直线:2l x my =+,再联立方程224x my y x =+⎧⎨=⎩求出121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩,接着用m 表示出AB 、MN ,由已知建立方程求出21m =,最后求出直线l 的斜率即可.解:(1)设()11,A x y ,()22,B x y ,由抛物线定义可知:()120022122p pFA FB x x x p x +=+++=+=+ ∴2p =,即抛物线C 的方程为24y x =.(2)设直线:2l x my =+1222124248084y y m x my y my y y y x +==+⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩ ∴()21201222222x x mx y y m +==++=+.12AB y =-==)20123MN m =+=+.由||||AB MN =得:)223m =+,解得21m =或22312m =-(舍) 所以直线l 的斜率为11m=±.本题考查利用抛物线的定义的几何意义求抛物线的方程、弦长公式、利用直线与抛物线的位置求斜率,是中档题.21.设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>左焦点为F ,过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B两点,直线l 的倾斜角为45︒,且3AF FB = (1)求椭圆C 的离心率;(2)若||3AB =,求椭圆C 的方程. 【参考答案】(1)2;(2)2212x y +=.【试题解析】(1)设直线方程为y x c =+,联立22221y x cx y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得12,y y ,根据3AF FB =,由123y y -=求解.(2)根据2121||3AB y y y =-=-=,结合(1)的数据代入求解.(1)设()()1122,,,A x y B x y ,由题意得120,0y y ><,直线方程为:y x c =+,联立22221y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222420a b y b cy b +--=,解得()()2212222222,a c b c a b y y a ba b+-==++,因为3AF FB =, 所以123y y -=,即()()222222232a c b c a b a ba b+--=++,所以2c e a ==. (2)因为221212221442||12ab AB y y y y k a b =+-=-==+,所以222322ab a b =+, 又22c e a ==,则22b a =,解得2,1a b ==,所以椭圆C 的方程是2212x y +=.本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.22.已知F 是椭圆:221y x m +=在y 正半轴上的焦点,该椭圆的离心率22e =,直线PQ 和MN 过点F 且与该椭圆分别交于P Q M N 、、、四点.(1)求m 的值;(2)若PQ MN ⊥,求四边形PMQN 的面积的最大值和最小值. 【参考答案】(1)2;(2)最大值2,最小值169【试题解析】(1)根据离心率的概念列出方程2m =,解出即可;(2)当MN 或PQ 中有一条直线垂直于x 轴时,另一条直线必垂直于y 轴,易得面积为2,当MN ,PQ 都不与坐标轴垂直时,设出直线方程,联立直线与椭圆的方程,将韦达定理与弦长公式相结合可得,MN PQ ,所以12PMQN S MN PQ =⋅四边形,结合基本不等式可得169S ≥,由此入手结合题设条件能够导出最大值及最小值.(1)2c e a ===,∴ 2m = (2)当MN 或PQ 中有一条直线垂直于x 轴时,另一条直线必垂直于y 轴. 不妨设MN y ⊥轴,则PQ x ⊥轴,∵()0F ，1,∴MN 的方程为:1y =,PQ 的方程为:0x =,分别代入椭圆2212y x +=中得:MN =PQ =,11222PMQN S MN PQ =⋅==四边形, 当MN ,PQ 都不与坐标轴垂直时, 设MN 的方程为()10y kx k =+≠,代入椭圆2212y x +=中得:()222210k x kx ++-=,∴12222k x x k +=-+,12212x x k ⋅=-+, ∴)2212k MN k +===+,同理可得:)22121k PQ k +=+,()422424222124211622(1)2(1)2252252921/5PMQNk k k S MN PQ k k k k k k ++=⋅=⨯=-=-≥++++++四边形(当且仅当221k k=即1k =±时,取等号), 又2422(1)2252PMQNk S k k =-<++四边形, ∴此时16 29PMQN S ≤<四边形.综上可知:2max PMQN S =四边形（）,169min PMQN S =四边形（）.本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系,解题昌要认真审题,仔细解答,避免错误,属于难题.。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2021学年高二数学上学期10月份阶段性总结试题 文（含解析）一、选择题：（每题5分，共60分）1.双曲线2213x y -=的焦距是（）B. 2C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程已知23a =，21b =，结合222c a b =+可得结果.【详解】在双曲线2213x y -=中，23a =，21b =，∴2224c a b =+=， 即焦距为24c =，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线中,,a b c 之间的关系以及焦距的概念，属于基础题.2.已知椭圆()2221025x y m m+=>的右焦点为()4,0F ,则m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B 【解析】 【分析】求出椭圆的a ，b ，c 4=，即可得到m 的值．【详解】椭圆222125x y m+=的5a =，b m =，c =由题意可得4=，解得3m =，故选B ．【点睛】本题考查椭圆的焦点的运用，考查椭圆的方程和运用，注意椭圆的a ，b ，c 的关系，考查运算能力，属于基础题．3.抛物线28y x =的焦点坐标是（ ） A. 10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,16⎛⎫⎪⎝⎭C. ()0,2D. ()0,4【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可得出结果. 【详解】抛物线的标准方程为218x y =，焦点坐标为1032⎛⎫⎪⎝⎭，，故选A. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.4.已知双曲线22143y x -=,则焦点到渐近线的距离为（）A. 4B.C. 2【答案】D 【解析】 【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【详解】在双曲线22143y x -=中，焦点在y 轴上，2a =，b =c =其焦点坐标为(0,，渐近线方程为y x =，即20x =，所以焦点到其渐近线的距离d ==，故选D.．【点睛】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．5.若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A. y x =±B. y =C. 12y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的实轴长求出a ，然后求解渐近线方程即可．【详解】双曲线的实轴长为2，得1a =，又1b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±. 故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．6.曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的（ ）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等【答案】C 【解析】 【分析】可以判断出两个曲线的类型，然后求出它们的焦距，这样可以选出正确的答案.【详解】曲线221169x y +=表示椭圆，焦距为2c ==，当916k <<时，曲线221169x y k k+=--表示双曲线，焦距为2c ===，故两条曲线焦距相等,故本题选C.【点睛】本题考查了通过曲线方程识别曲线的能力，考查了椭圆与双曲线方程中，,,a b c 之间的关系.7.已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ） A. 20 B. 16C. 18D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得,a c ，然后根据椭圆的定义求得三角形的周长.【详解】根据椭圆方程可知5,4a c ==，根据椭圆的定义可知，12PF F ∆的周长为2210818a c +=+=，故选C.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，属于基础题.8.已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上一点P 满足4PF =，则OPF ∆的面积为（ ）A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义求得P 点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，由此计算出三角形的面积.【详解】依题意抛物线的焦点为()1,0F ，设P 点横坐标为0x ，根据抛物线的定义可知，014x PF +==，所以03x =，代入抛物线方程得24312,y y =⨯==±所以三角形OPF 的面积为112⨯⨯=【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，考查抛物线上点的坐标的求法，属于基础题.9.设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为（ ）A. 24x y = B. 22x y =C. 24y x =D. 22y x =【答案】A 【解析】 【分析】由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题2．已知抛物线准线方程为x＝﹣2，则其标准方程为（）A．x2＝8y B．x2＝﹣8y C．y2＝8x D．y2＝﹣8x3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（）A．0B．1C．2D．34．方程表示椭圆的充要条件是（）A．m∈（﹣4，﹣1）B．m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）C．m∈（﹣4，2）D．（﹣1，+∞）5．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（1，b），且C的离心率为，则C的方程是（）A．B．C．D．6．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9．过双曲线的右焦点F（1，0）作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±2x10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（）A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC12．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1D．2二、填空题（共4小题）.13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是．14．若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为．15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足④当时，S为四边形⑤当CQ＝1时，S的面积为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）17．（10分）已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，圆C的参数方程为（其中θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；（2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A，B，求|CA|•|CB|．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC ＝CB＝．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．19．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程是x+2y﹣1＝0，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM：θ＝α（其中0＜α＜π）与圆C交于O、P，射线OQ：θ＝α+与直线l交于点Q，若|OP|•|OQ|＝6，求α的值．21．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平面PAC⊥平面PBD，AC＝2，∠PCA＝，PC＝4．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，是否在PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），其离心率e＝，且短轴的一个端点与两焦点组成的三角形面积为，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，点E满足＝，设点E的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）若直线l与曲线Γ相切，且交椭圆于A、B两点，C（﹣1，0），D（1，0），记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1S2的最大值．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．2．已知抛物线准线方程为x＝﹣2，则其标准方程为（）A．x2＝8y B．x2＝﹣8y C．y2＝8x D．y2＝﹣8x解：根据题意，要求抛物线准线方程为x＝﹣2，设其标准方程为y2＝2px，则有＝﹣2，解可得：p＝4，则抛物线的方程为y2＝8x，故选：C．3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（）A．0B．1C．2D．3解：①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；②中，由于AF∥DE，而AF⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，故A1F∥平面BD1E；③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；故选：B．4．方程表示椭圆的充要条件是（）A．m∈（﹣4，﹣1）B．m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）C．m∈（﹣4，2）D．（﹣1，+∞）解：方程表示椭圆的充要条件是，解得：m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）．故选：B．5．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（1，b），且C的离心率为，则C的方程是（）A．B．C．D．解：由题可知，，解得，∴椭圆的方程为．故选：A．6．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：如图，连接AD1，∵AB＝C1D1，AB∥C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M．设正方体的棱长为2，则，．∴cos∠．即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是．故选：A．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．8．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：设P（m，n），＝（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）＝m2﹣c2+n2，∴m2+n2＝2c2，n2＝2c2﹣m2①．把P（m，n）代入椭圆得b2m2+a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．9．过双曲线的右焦点F（1，0）作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±2x解：由右焦点F（1，0），∴﹣＝1，∴y＝±b，∴|AB|＝2b，∵△AOB的面积为，∴×2b×1＝，且a2+b2＝1，解得a＝，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x，故选：B．10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得，，则＝，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由，得，解得h＝．故选：C．11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（）A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC解：对于A，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，∴CD⊥平面ABD，∴平面ACD⊥平面ABD，即A正确；对于B，CD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥CD，即B正确；对于C，∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD，即C正确；对于D，若AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，与CD⊥AD矛盾，故选：D．12．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1D．2解：设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是8．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥；如图所示：所以：．故答案为：8．14．若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为2．解：双曲线的一条渐近线方程设为bx﹣ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心为（2，0），半径r＝2，可得圆心到渐近线的距离为d＝，则2＝2，化为3a2＝b2＝c2﹣a2，即4a2＝c2，e＝，解得e＝2．故答案为：2．15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵正四棱锥P﹣ABCD中AB＝30，PO′＝21，∴AO'＝AB＝15，OO'＝PO'﹣PO＝21﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝（15）2+（21﹣R）2，解之得R＝，故答案为：．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足④当时，S为四边形⑤当CQ＝1时，S的面积为解：如图当CQ＝时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP＝QD1＝＝，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ＝时，如图，延长DD1至N，使D1N＝，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R＝C1Q：D1N＝1：2，故可得C1R＝，故③正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故④错误；⑤当CQ＝1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1＝AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF＝＝，故⑤正确．故答案为：①②③⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）17．（10分）已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，圆C的参数方程为（其中θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；（2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A，B，求|CA|•|CB|．解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，根据转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0．圆C的参数方程为（其中θ为参数）转换为直角坐标方程为x2+（y+2）2＝4．（2）椭圆的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为，把直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入，得到，所以|CA||CB|＝|．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC ＝CB＝．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．解：（1）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF，∵DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（2）由AA1＝AC＝CB＝，可得AB＝2，则AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面A1CD的一个法向量为，则，计算可取；同理可得平面A1CE的一个法向量，∴，∴二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为．19．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，则|MF|＝3+＝4，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ny+t，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4ny﹣4t＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝﹣4t，由•＝+y1y2＝﹣4t＝﹣4，解得t＝2，则直线l的方程为x＝ny+2，直线l恒过定点（2，0）．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程是x+2y﹣1＝0，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM：θ＝α（其中0＜α＜π）与圆C交于O、P，射线OQ：θ＝α+与直线l交于点Q，若|OP|•|OQ|＝6，求α的值．解：（Ⅰ）∵直线l的方程是x+2y﹣1＝0，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0，即．∵曲线C的参数方程为（φ为参数），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9，∴圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅱ）由题意得|OP|＝6cosα，|OQ|＝＝，则＝6，解得tanα＝1，又∵0＜α＜π，∴α＝．21．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平面PAC⊥平面PBD，AC＝2，∠PCA＝，PC＝4．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，是否在PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．解：（1）证明：设AC∩BD＝O，连接PO∵BC＝CD，AC⊥BD，∴O为BD中点，∵PB＝PD，∴PO⊥BD，∵平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，∴BD⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BD，在△PCA中，由余弦定理得PA2＝PC2+AC2﹣2PC•AC•cos30°，即PA2＝16+12﹣2×＝4，∴PA2+AC2＝PC2，∴PA⊥AC，∵BD∩AC＝O，BD⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，AB为x轴，在平面ABCD中过A作AB的垂线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，2），B（，0，0），C（，3，0），D（﹣，，0），＝（，0，﹣2），＝（﹣，，﹣2），设PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，且＝λ，则，设M（a，b，c），则（a，b，c﹣2）＝λ（﹣a，3﹣b，﹣c），∴a＝，b＝，c＝，∴M（，，），＝（，，），设平面PBD法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2，），∵直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝，解得λ＝1，∴PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，且＝1．22．（12分）已知椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），其离心率e＝，且短轴的一个端点与两焦点组成的三角形面积为，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，点E满足＝，设点E的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）若直线l与曲线Γ相切，且交椭圆于A、B两点，C（﹣1，0），D（1，0），记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1S2的最大值．解：（1）由题意得，解得，∴椭圆方程为+y2＝1，设E（x，y），P（x0，y0），Q（0，y0），∵，∴x0＝2x，y0＝y，把P（x0，y0）代入椭圆方程得：x2+y2＝1，∴点E的轨迹曲线Γ的方程为：x2+y2＝1；（2）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx+m，∵l与圆相切，∴，得m2＝1+k2；由消去y得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0由△＞0得k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，，∴＝＝＝，∴S1S2＝＝＝＝＝＝≤（当且仅当k＝时取等号），综上，S1S2的最大值为．。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高二数学10月月考试题文（含解析）一、单选题（每题5分，共60分）1. 已知圆的方程为2241x y x +-=，则它的圆心坐标和半径的长分别是（ ）A. (2，0)，5B. (2，0)C. (2，0)D. (0，2)【答案】B 【解析】 【分析】把圆方程配方成标准方程后可得．【详解】由题意圆的标准方程是22(2)5x y -+=，圆心坐标是(2,0) 故选：B ．【点睛】本题考查求圆心坐标和半径，解题方法把圆的一般方程配方成标准方程． 2. 已知两点分别为(1,1),(2,3)A B ，则AB 所在直线的斜率为（ ） A. 2 B.12C. 12-D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】利用两点求斜率公式即可求解. 【详解】由(1,1),(2,3)A B ， 则31221AB k -==-. 故选：A【点睛】本题考查了两点求斜率，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.3. 已知椭圆C ：2224x y a +=1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为（ ）A.13B.12C.2D.3【解析】 【分析】由焦点坐标确定长半轴长是a ，利用,,a b c 关系求得a ，再计算离心率．【详解】椭圆C ：2224x y a +=1的一个焦点为(2，0)，可得a 2﹣4＝4，解得a ＝，∵c ＝2，∴e2c a ===． 故选：C ．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，掌握,,a b c 的关系是解题基础．4. 已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A. 3±B. 13±C. 3D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x=，一条渐近线倾斜角为56π，5tan 6π==，解得：3a =-. 故选：D【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.5. 若直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，则k =( ) A. 3-或1- B. 3或1C. 3-或1D. 1-或3【答案】C分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直， 所以(1)(1)(23)0kk k k -+-+=， 解方程可得1k =或3k =-，故选C.【点睛】本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= （121211||0l l A B A B ⇔-=）；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-（1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.6. 已知P 是圆O ：221x y +=上的动点，则点P 到直线l ：0x y +-=的距离的最小值为（ ） A. 1C. 2D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求. 【详解】解：因为圆O ：221x y +=的圆心()0,0O 到直线l ：0x y +-=的距离2d ==，且圆的半径等于1，故圆上的点P 到直线的最小距离为211d r -=-=故选：A【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.7. 设点(2,3),(3,2)A B -，若直线20ax y ++=与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是（）A.54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B.45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C.54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求出直线20ax y++=经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．【详解】解：∵直线20ax y++=过定点(0,2)C-，且52AC k=-，43BC k=，由图可知直线与线段AB没有交点时，斜率a-满足5423a-<-<，解得45,32a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故选：B．【点睛】本题主要考查斜率的计算公式的应用，考查数形结合思想，属于基础题．8. 已知椭圆C与双曲线22179x y-=的焦点相同，且椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆C的离心率等于（）A.35B.34C.45D.54【答案】C【解析】根据条件求出,a c 即可.【详解】因为椭圆C 上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以210a =，即5a =因为椭圆C 与双曲线22179x y -=的焦点相同，27916c =+=，即4c =所以45c e a == 故选：C【点睛】本题考查的是椭圆和双曲线的基本知识，较简单.9. 圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A. 10x y +-= B. 210x y -+= C. 210x y -+= D. 10x y -+=【答案】A 【解析】圆22250x y x +--=的圆心为(1,0)M ，圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)N -，两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ，其方程为020111y x --=---，即10x y +-=；故选A.【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.10. 一动圆P 过定点(4,0)M -，且与已知圆22:(4)16N x y -+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（ ）A. 221(2)412x y x -=B. 221(2)412x y x -=-C. 221412x y -=D. 221412y x -=【答案】C【分析】分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得4PN PM -=，结合双曲线的定义可求出其圆心的轨迹方程.【详解】由已知得(4,0)N ，当两圆内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有||||4PN PM =-； 当两圆外切时有||||4PN PM =+，故4PN PM -=，由双曲线的定义知， 点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线，且24,4a c ==，所以224,12a b ==，故圆心P 的轨迹方程为221412x y -=.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于基础题.11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为θ，若θ 的取值范围是232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A.B. 2⎤⎦C. 3⎡⎢⎣D.[2,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件得：423πθπ≤≤，进而得到：1ba≤≤，进一步得到答案. 【详解】∵223ππθ≤≤，∴，1tan2θ≤≤，∴1b a ≤≤，2213b a ≤≤，22213c a a -≤≤，∴2113e ≤-≤，2e ≤≤． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线离心率的知识点，属于常见的基础题型.12. 已知点F 是双曲线22221x y a b-=，()0,0a b >>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A. ()1,2B.C.)D.(【答案】A 【解析】 【分析】求出通径长22b AB a=，由题意可得4AEF BEF π∠=∠<，直角三角形AFE 中，2tan 1b a AEF a c∠=<+，解不等式即可.【详解】∵直线AB 过焦点(),0F c -且垂直于x 轴，即通径长22b AB a =，显然2b FA a=，即2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，易知右顶点(),0E a ，而ABE △是锐角三角形，故2AEB π∠<.根据对称性即4AEF BEF π∠=∠<，在直角三角形AFE 中，2tan 1b a AEF a c ∠=<+2b ac a⇒<+，2222020c ac a e e ⇒--<⇒--<，解得12e <<.故选：A.【点睛】本题主要目的考查的是考生应用双曲线相关知识解决问题的能力及解题过程中的逻辑推理能力和运算求解能力和综合应用知识的能力，试题以通性通法为基础，为不同能力水平的考生提供了研究空间，突出了选拔功能，属于基础题. 二、填空题（每题5分，共20分）13. 直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为____________. 【答案】210x y --= 【解析】 【分析】在对称的直线方程上任取一点(),P x y ，根据点对称性可得()2,2x y --在直线230x y -+=上，代入即可求解.【详解】设直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为l '， 在l '上任取一点(),P x y ，则点P 关于点(1,1)对称的点P '的坐标为()2,2x y --， 由题意可知点P '在直线230x y -+=上，故()()22230x y ---+=，整理可得210x y --=. 故答案为：210x y --=【点睛】本题考查了直线关于点对称问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与y 轴交点(0,1)，P 在曲线C 上且1260F PF ∠=，则12F PF S ∆=________【解析】 【分析】设12||,||,PF m PF n ==根据已知求出43=mn 即得解. 【详解】设12||,||,PF m PF n ==由题得2222,24m n a m n mn a +=∴++=，由余弦定理得222221242m n mn m n mn c +-⨯=+-=， 两式相减得222434()44,3mn a c b mn =-==∴=，所以1213sin 602F PF S mn ∆==.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 已知双曲线22:13y C x -=的左焦点为1F ，顶点(0,Q ，P 是双曲线C 右支上的动点，则1PF PQ +的最小值等于__________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，得到122PF PF =+，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．【详解】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知1222PF PF a -==，得到122PF PF =+，所以12222PF PQ PF PQ QF +=++≥+，而(()20,23,2,0Q F ，所以 ()2222234QF =+=，所以最小值为6.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了两点距离公式，难度中等．16. 已知P 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上一点，O 为坐标原点，1F ，2F 为曲线C 左右焦点.若2OP OF =，且满足21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为___. 10【解析】 【分析】由2OP OF =知O 为12PF F △外接圆的圆心，即有1290F PF ∠=︒，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到. 【详解】2OP OF =，O ∴为12PF F △外接圆的圆心， 1290F PF ∴∠=︒，又21tan 3PF F ∠=，123PF PF ∴=，由双曲线定义可知122PF PF a -=， 解得123,PF a PF a ==， 由2221212PF PF F F +=即222(3)4a a c += 即有2252c a =所以e =【点睛】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于难题. 三、解答题（共70分）17. 已知两直线1:870l x y ++=和2:210l x y +-=. （1）求1l 与2l 交点坐标；（2）求此交点关于直线20x y -=的点坐标. 【答案】（1）(1,1)-；（2）17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）联立两条直线的方程可得：870210x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1x =，1y =-．（2）根据对称点连线垂直对称直线、对称点连线中点在对称直线上列方程组，解得结果． 【详解】解：（1）联立两条直线的方程可得：870210x y x y ++=⎧⎨+-=⎩解得1x =，1y =-所以1l 与2l 交点坐标是(1,1)-．（2）设(1,1)-关于直线20x y -=的点坐标为(,)x y11112151223071120522y x yx x x y x y y即(1,1)-关于直线20x y -=的点坐标为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】解决此类问题的方法是联立两条直线的方程进行计算，列方程组解对称点坐标．属于基础题．18. 已知圆心为M 的圆经过点(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点. （1）求ABC 的面积； （2）求圆M 的方程.【答案】（1）3；（2）22(1)(2)5x y -+-=. 【解析】 【分析】（1）求出AB ，写出直线AB 方程，求出C 到直线AB 的距离，可得面积；（2）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入三点为坐标，求出,,D E F ，得圆一般方程，可配方得标准方程． 【详解】（1）由已知AB==直线AB 方程为124x y+=，即240xy +-=，C 到直线AB 的距离为d ==， ∴11322ABC S AB d ==⨯=△； （2）设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵圆过(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点.，∴16404201030E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得240D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴圆M 方程为22240x y x y +--=，即22(1)(2)5x y -+-=．【点睛】本题考查求三角形面积，求过三点的圆的方程．求过三点圆方程，一般可设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，代入三点坐标后解方程组即可，本题也可先证明AC BC ⊥，得圆心是AB 中点，再求得半径即可得圆方程．19. 已知P 是椭圆2212xy +=上的一动点.（1）定点1,0A ，求PA 的最小值；（2）求P 到直线220x y ++=距离的最大值. 【答案】（11；（2【解析】 【分析】（1）设(,)P x y ，直接求出PA ，然后由函数知识得最小值．（2）设,sin )P θθ，求出P 点到直线的距离，结合三角函数的辅助角公式可得最大值．【详解】（1）设(,)P x y ，P 在椭圆上，∴2212x y =-，x ≤≤．∴PA ===∴x 时，min(212PA ==； （2）P 在椭圆2212x y +=上，设,sin )P θθ，则P 到直线220x y ++=距离为d ===，其中1sin 33ϕϕ==，ϕ取锐角． ∴当sin()1θϕ+=时，max d ==【点睛】本题考查考查求椭圆上点到定点的距离的最值，及到定直线的距离的最值，设出点的坐标，求出距离，再由函数知识知识求解即可．20. 已知椭圆C：22221(0) x ya ba b+=>>的离心率为32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）椭圆C的方程；（2）设直线l：12y x m=+交椭圆C于A，B两点，且5AB=，求m的值.【答案】（1）2214xy+=；（2）1m=±.【解析】【分析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知2a=，进而利用离心率的值计算即得结论；（2）设()11,A x y，()22,.B x y联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.【详解】解：（1）由题意可得2222232a b cca⎧=+=⎪⎨=⎪⎩，解得：2a=，1b=，∴椭圆C的方程为2214xy+=；（2）设()11,A x y，()22,.B x y联立221244y x mx y⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得222220x mx m ++-=，122x x m ∴+=-，21222x x m =-，122AB x ∴=-==解得1m =±.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质､韦达定理､弦长公式，属于中档题.21. 设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60,1F 到直线l的距离为（1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程.【答案】（1）4；（2）22195x y +=.【解析】 【分析】（1）由题意可设直线l的方程为)y x c =-，再利用点到直线的距离公式即可求解.（2）由（1）可得)2y x =-，联立方程)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消x ，求出两交点的纵坐标，再由222AF F B =得出两交点纵坐标的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得：直线l的方程为)y x c =-，()1,0F c -到直线l的距离为=2c =，∴椭圆C 的焦距24c =.（2）由（1）可得)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，10y <，20y >，联立)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()22224330ab y y b ++-=，解得()2122223a y a b +=+，()2222223a y a b-=+，因为222AF F B =，所以122y y -=，即()()2222222222233a a a b a b+-=⋅++，解得3a =， 又2c =，故b ==故椭圆C 的方程为22195x y +=.【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.22. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB∆． （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线3x =于，M ，N 两点，若直线MF ，NF 的斜率分别为1k ，2k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）12k k 为定值916-，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合椭圆离心率、OAB ∆的面积、222a b c =+列方程组，解方程组求得22,a b ，由此求得椭圆的标准方程.（2）当直线l 斜率不存在时，求得,P Q 两点的坐标，由此求得直线,AP AQ 的方程，进而求得,M N 两点的坐标，由此求得1k ，2k ，求得12916k k =-.当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线,AP AQ 的方程，进而求得,M N 两点的坐标，由此求得1k ，2k ，结合韦达定理计算12916k k =-.由此证得12k k 为定值916-. 【详解】（1）由题意得2221212c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知(1,0)F ，(2,0)A ，①当直线l 斜率不存在时，直线l 方程为1x =，联立221143x x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得132x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩， 不防设31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线AP 方程为32(2)12y x =--，令3x =，得32y =-，则33,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时，1332314k -==--， 同理234k =，所以123394416k k =-⨯=-，②当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 直线AP 方程为11(2)2y y x x =--， 令3x =，得112y y x =-，则113,2y M x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 同理223,2y N x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 所以()()()111111112312222y k x x y k x x --===---，()()()222222212312222y k x x y k x x --===---， 所以()()()()()()2121212121212121112222424k x x x x k x k x k k x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦==---++⎡⎤⎣⎦()()2222222222222222412814128343434916412844121612164243434k k k k k k k k k k k k k k g k k ⎛⎫--+ ⎪--++++⎝⎭===-⎛⎫---++-+ ⎪++⎝⎭综上所述，12k k 为定值916-. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二10月月考数学（理）试题一、单选题1．已知圆的方程为2241x y x +-=，则它的圆心坐标和半径的长分别是（ ）A ．(2，0)，5B ．(2，0)C ．(2，0)D ．(0，2)【答案】B【解析】把圆方程配方成标准方程后可得． 【详解】由题意圆的标准方程是22(2)5x y -+=，圆心坐标是(2,0) 故选：B ． 【点睛】本题考查求圆心坐标和半径，解题方法把圆的一般方程配方成标准方程．2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B C D 【答案】D【解析】由渐近线平行于直线:250l x y ++=可得两直线斜率相等，即可求出离心率. 【详解】因为一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，可知两直线斜率相等， 由题知双曲线的一条渐近线方程为12y x =-，则12b a -=-，222222114b c a e a a -∴==-=， e ∴=. 故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，属于基础题.3．已知点P 是椭圆E :2212516x y +=上第一象限的一点，M ，N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的几何意义，椭圆上的点到两个焦点距离之和为定值，再根据圆外一点到圆上点距离的最小值为点到圆心距离减去半径即可求解. 【详解】点P 是椭圆E :2212516x y +=上第一象限的一点，则点P 在两圆的外部， 由题可得两圆圆心坐标是(3,0),(3,0)-，恰是椭圆的两个焦点，设12(3,0),(3,0)F F -，1210PF PF +=，两圆的半径为2，1，所以()1212min2137PM PN PF PF PF PF +=-+-=+-=.故选：B 【点睛】此题考查椭圆的定义及几何性质，同时也考查了圆的几何性质，圆外一点到圆上距离的最值问题.4．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =B ．3y x =C ．2y x = D ．3y x = 【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222223,1312,2,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴=因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A. 点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.5．若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切，则m =（ ） A ．1 B ．1- C ．1-或3 D ．3-或1【答案】D【解析】由圆心到直线的距离等于半径求解． 【详解】由题意，圆心坐标为(,1)m ，因为直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切， 所以，圆心到直线的距离等于半径，=1m =或3m =-．故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离等于半径确定直线是圆的切线． 6．已知线段PQ 的中点为(0,4)M ，若点P 在直线20x y +-=上运动，则点Q 的轨迹方程是 A ．.60x y +-= B ．60x y ++= C ．20x y --= D ．20x y -+= 【答案】A【解析】设出Q （x ，y ），P 点坐标为（x 1，y 1），利用中点坐标公式把P 点坐标用Q 点坐标表示，然后代入直线x+y-2=0整理后即可得到点Q 的轨迹方程． 【详解】设Q （x ，y ），P 点坐标为（x 1，y 1）， ∵线段PQ 的中点为M （0，4）， ∴x 1=-x ，y 1=8-y ，∵点P 在直线x+y-2=0上运动， ∴x 1+y 1-2=0，∴-x+8-y-2=0，即x+y-6=0， 故选A ． 【点睛】本题考查轨迹方程，考查了代入法求曲线方程，是中档题．7．若圆222:()()C x a y a a -++=被直线:20+-=l x y 分成的两段弧之比是1:3，则满足条件的圆C （ ） A ．有1个 B ．有2个 C ．有3个 D ．有4个【答案】B【解析】由题,可得90ACB ∠=︒,求解即可得到a 的解得个数,即为满足条件的圆C 的个数 【详解】由题,设直线:20+-=l x y 与圆222:()()C x a y a a -++=的交点为A ,B ,因为将圆分成的两段弧之比是1:3,则90ACB ∠=︒,设圆心C 到直线的距离为d , 因为圆心为(),a a -,半径为a ,则d ===,即2=a ,故2a =± 故选B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的应用,考查运算能力8．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在准线l 上，做PA l ⊥，与抛物线交于点P ，且P 在第一象限，||4PF =，则直线PF 的倾斜角等于（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】由焦半径PF 求出P 点坐标，然后可求得直线斜率后得倾斜角． 【详解】由已知抛物线的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)P x y ，则14PF PA x ==+=，3x =，243y =⨯，∵0y >（P 在第一象限），∴23y =，即(3,23)P ，∴23331PF k ==-，倾斜角为3π．故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，把抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离即可得焦半径．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点O 对称的两个点，且||||AO AF =，0FA FB ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．31-B ．23-C ．22D ．2 【答案】A【解析】由0FA FB ⋅=得90AFB ∠=︒，将左焦点与A 、B 连接起来，由椭圆的对称性可得四边形12AF BF 为矩形，||||AO AF =，可得a ，c 的关系，进而求出离心率. 【详解】因为0FA FB ⋅=，所以90AFB ∠=︒，因为||||AO AF =，所以||2||AB AF =，故30ABF ∠=︒，设椭圆C 的左焦点为1F ，根据椭圆的性质，四边形1AF BF 为平行四边形， 且90AFB ∠=︒，所以四边形1AF BF 为矩形，在直角三角形1AF F 中，130AF F ∠=︒，13AF c =，||AF c =， 根据椭圆的定义，1||2AF AF a +=，即32c c a +=， 则椭圆C 的离心率31ce a==-.故选：A. 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其几何性质，属于中档题.10．已知椭圆()222:109x y C b b+=>的右焦点为F ，以C 上点M 为圆心的圆与x 轴相切于点F ，并与y 轴交于A ，B 两点.若4FA FB ⋅=，则C 的焦距为（ ） A ．2 B ．2C ．22D ．4【答案】C【解析】首先得出圆的M 的方程22222203b x y cx yc +--+=，令0x =结合韦达定理得到12y y ，按照向量数量积的坐标运算代入得到关于c 的方程解出即可. 【详解】设(c,0)F ，则2(,)3b Mc ，圆M 的方程为22222()()()33b b xc y -+-=，即22222203b x y cx yc +--+=，令0x =，得222203b y yc -+=，当>0∆时，212y y c =.设1(0,)A y ，2(0,)B y ，则1(,)FA c y =-，2(,)FB c y =-，则221224FA FB c y y c ⋅=+==， 所以22c =，解得2c =，所以焦距为222c =，故选：C.【点睛】本小题考查椭圆的方程及其椭圆的简单几何性质、平面向量的数量积等基础知识，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性.11．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为( ) A ．5 B ．5C ．53D ．54【答案】A【解析】根据直线43200x y -+=过点F 可先求得5c =,再画图分析可知2PFF △为直角三角形,再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】因为直线43200x y -+=与x 轴的交点为()5,0F -,故半焦距为5c =.设双曲线C 的右焦点为()25,0F ,连接2PF ,根据OP OF =可得2PFF △为直角三角形,如图,过O 作OA 垂直于直线43200x y -+=,垂足为A ,则易知OA 为2PFF △的中位线.又O 到直线43200x y -+=的距离2220443d ==+,所以228PF d ==,22226PF FF PF =-=,故结合双曲线的定义可知222PF PF a -==,所以1a =. 故离心率5ca=.故选：A 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何性质,结合三角形的性质求解离心率的问题.需要根据题意确定焦点三角形中的长度关系求解.属于中档题.12．已知斜率为(0)k k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点.若||4||AB CD =，则k 的值为（ ）ABC ．2D．【答案】A【解析】写出直线l 方程为2py kx =+与抛物线方程联立方程组，设1122(,),(,)A x y B x y ，方程组消元后求得12x x +，由点,A B 在直线上求得12y y +（也可消去x ，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式12AB y y p =++表示出弦长AB ，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是p ，则2CD p =，代入已知条件可求得k ．【详解】抛物线的焦点为(0,)2pF ，直线l 方程为2p y kx =+，由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220x pkx p --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x pk +=，又112p y kx =+，222p y kx =+，∴21212()2y y k x x p pk p +=++=+， ∴21222AB y y p pk p =++=+， 圆222304x y py p +--=的标准方程是222()2p x y p +-=，圆心为(0,)2pF ，半径为p ，∴2CD p =，∵||4||AB CD =，∴22242pk p p +=⨯，解得k =，∵0k >，∴k =故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦长公式，由直线方程与抛物线方程联立消元后求得12y y +，由焦点是(0,)2p的抛物线的焦点弦长为12AB y y p =++可表示出弦长．二、填空题13．设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 ． 【答案】2x 2﹣2y 2=1【解析】【详解】试题分析：椭圆2212x y +=中1c =，∵中心在原点的双曲线与椭圆2212x y +=有公共的焦点，∴双曲线中1c =，∵椭圆2212x y +=的离心率为22c a =，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中22a =，，，∴双曲线的方程为.【考点】1.双曲线的标准方程；2.椭圆的简单性质；3.双曲线的简单性质．14．已知焦点为F 的抛物线24y x =上有一动点P ，点(2,2)A ，则||||PA PF +的最小值是_______________. 【答案】3【解析】作出准线l ，过P ，作PM l ⊥，垂足为M ，利用PF PM =转化为可求得最小值． 【详解】如图，设l 是抛物线的准线，作PM l ⊥于M ，则PF PM =， ∴PA PF PA PM +=+，由已知准线方程为1x =-，显然当,,A P M 三点共线时，PA PF +取得最小值2(1)3--=．故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线上点到焦点和定点的距离之和的最小值问题，解题关键是利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到焦点的距离．15．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的上、下顶点分别为2B ，1B ，左、右顶点分别为1A ，2A ，若线段22A B 的垂直平分线恰好经过1B ，则椭圆的离心率是__________.【答案】63【解析】根据线段22A B 的垂直平分线恰好经过1B 可得1212B B B A =，即222b a b =+即可求出椭圆的离心率. 【详解】因为线段22A B 的垂直平分线恰好经过1B ，所以1212B B B A =，即222b a b =+ 所以2224b a b =+，即223b a =，又222b a c =-， 所以2223()a c a -=，即2223a c =，所以6c a =6e . 6【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题.16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F 与抛物线E ：()220y px p =>的焦点重合.椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，则椭圆C 的离心率为______.1【解析】利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，则有22bAF p a == ，122F F c p ==，再由221212b AF a cF F ==求解. 【详解】因为椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，所以22b AF p a== ，122F F c p ==，221212b AF a cF F ==， 即22b ac = ，所以2220c ac a --=， 所以2210e e --=，解得1e =.1 【点睛】本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知圆心为M 的圆经过点(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点. （1）求ABC 的面积；（2）求圆M 的方程.【答案】（1）3；（2）22(1)(2)5x y -+-=.【解析】（1）求出AB ，写出直线AB 方程，求出C 到直线AB 的距离，可得面积； （2）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入三点为坐标，求出,,D E F ，得圆一般方程，可配方得标准方程． 【详解】（1）由已知AB ==直线AB 方程为124x y+=，即240x y +-=，C 到直线AB的距离为d ==，∴11322ABC S AB d ==⨯=△； （2）设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵圆过(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点.，∴16404201030E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得240D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴圆M 方程为22240x y x y +--=，即22(1)(2)5x y -+-=． 【点睛】本题考查求三角形面积，求过三点的圆的方程．求过三点圆方程，一般可设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，代入三点坐标后解方程组即可，本题也可先证明AC BC ⊥，得圆心是AB 中点，再求得半径即可得圆方程．18．已知P 是椭圆2212x y +=上的一动点.（1）定点1,0A ，求PA 的最小值； （2）求P 到直线220x y ++=距离的最大值. 【答案】（11；（2【解析】（1）设(,)P x y ，直接求出PA ，然后由函数知识得最小值．（2）设,sin )P θθ，求出P 点到直线的距离，结合三角函数的辅助角公式可得最大值． 【详解】（1）设(,)P x y ，P 在椭圆上，∴2212x y =-，x ≤≤．∴PA ===，∴x =时，min1PA ==； （2）P 在椭圆2212x y +=上，设,sin )P θθ，则P 到直线220x y ++=距离为d===，其中1sin ,cos 33ϕϕ==，ϕ取锐角． ∴当sin()1θϕ+=时，max d == 【点睛】本题考查考查求椭圆上点到定点的距离的最值，及到定直线的距离的最值，设出点的坐标，求出距离，再由函数知识知识求解即可．19．已知点()1,P m 是抛物线C ：22y px =上的点，F 为抛物线的焦点，且2PF =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B . （1）求抛物线C 的方程； （2）若8AB =，求直线l 的斜率. 【答案】（1）24y x =；（2）1或1-.【解析】（1）由焦半径公式求得p ，得抛物线方程；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程为(1)y k x =-，代入抛物线方程后由韦达定理得12x x +，然后由焦点弦长公式可求得k ．【详解】（1）由题意122pPF =+=，2p =，∴抛物线方程为24y x =； （2）由（1）知焦点为(1,0)F ，若直线l 斜率不存在，则AB 4=，不合题意，因此设直线l 方程为(1)y k x =-，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212224k x x k++=， 212224228k AB x x k +=++=+=，解得1k =或1k =-．【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，焦点弦长，掌握抛物线的定义是解题关键．20．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过()2,0P 的直线l 交C 于A ，B 两点，()00,M x y 为AB 的中点，且()021FA FB x +=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）若AB 的中垂线与C 的准线交于点N，且|||AB MN =，求直线l 的斜率. 【答案】（1）24y x =；（2）±1.【解析】（1）先求出2p =，再求抛物线C 的方程即可；（2）先设直线:2l x my =+，再联立方程224x my y x =+⎧⎨=⎩求出121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，接着用m表示出AB 、MN ，由已知建立方程求出21m =，最后求出直线l 的斜率即可. 【详解】解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义可知：()120022122p pFA FB x x x p x +=+++=+=+ ∴2p =，即抛物线C 的方程为24y x =.（2）设直线:2l x my =+1222124248084y y m x my y my y y y x +==+⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩ ∴()21201222222x x mx y y m +==++=+.12AB y =-==)20123MN m =+=+.由||||AB MN =得：)223m =+，解得21m =或22312m =-（舍） 所以直线l 的斜率为11m=±.【点睛】本题考查利用抛物线的定义的几何意义求抛物线的方程、弦长公式、利用直线与抛物线的位置求斜率，是中档题.21．设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B两点，直线l 的倾斜角为45︒，且3AF FB = （1）求椭圆C 的离心率；（2）若||AB =，求椭圆C 的方程. 【答案】（1）2；（2）2212x y +=.【解析】（1）设直线方程为y x c =+，联立22221y x cx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12,y y ，根据3AF FB =，由123y y -=求解. （2）根据2121||AB y y y =-=-=，结合（1）的数据代入求解. 【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得120,0y y ><，直线方程为：y x c =+，联立22221y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222420a b y b cy b +--=，解得()()2212222222,a c b c a b y y a ba b+-==++，因为3AF FB =， 所以123y y -=，即()()222222232a c b c a b a ba b+--=++，所以2c e a ==. （2）因为221212221442||12ab AB y y y y k a b =+-=-==+，所以222322ab a b =+， 又22c e a ==，则22b a =，解得2,1a b ==，所以椭圆C 的方程是2212x y +=.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知F 是椭圆：221y x m +=在y 正半轴上的焦点，该椭圆的离心率22e =，直线PQ 和MN 过点F 且与该椭圆分别交于P Q M N 、、、四点.（1）求m 的值；（2）若PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最大值和最小值. 【答案】（1）2；（2）最大值2，最小值169【解析】（1）根据离心率的概念列出方程2m =，解出即可；（2）当MN 或PQ 中有一条直线垂直于x 轴时，另一条直线必垂直于y 轴，易得面积为2，当MN ，PQ 都不与坐标轴垂直时，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，将韦达定理与弦长公式相结合可得,MN PQ ，所以12PMQN S MN PQ =⋅四边形，结合基本不等式可得169S ≥，由此入手结合题设条件能够导出最大值及最小值． 【详解】（12c e a ===，∴ 2m = （2）当MN 或PQ 中有一条直线垂直于x 轴时，另一条直线必垂直于y 轴． 不妨设MN y ⊥轴，则PQ x ⊥轴，∵()0F ，1，∴MN 的方程为：1y =，PQ 的方程为：0x =，分别代入椭圆2212y x +=中得：MN =PQ =，11222PMQN S MN PQ =⋅==四边形， 当MN ，PQ 都不与坐标轴垂直时， 设MN 的方程为()10y kx k =+≠，代入椭圆2212y x +=中得：()222210k x kx ++-=，∴12222k x x k +=-+，12212x x k ⋅=-+， ∴)2212k MN k +===+，同理可得：)22121k PQ k +=+，()422424222124211622(1)2(1)2252252921/5PMQNk k k S MN PQ k k k k k k ++=⋅=⨯=-=-≥++++++四边形（当且仅当221k k=即1k =±时，取等号）， 又2422(1)2252PMQNk S k k =-<++四边形， ∴此时16 29PMQN S ≤<四边形．综上可知：2max PMQN S =四边形（），169min PMQN S =四边形（）． 【点睛】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题昌要认真审题，仔细解答，避免错误，属于难题.。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：∀x>0，2x−x<0，则￢p是()A. ∀x>0，2x−x>0B. ∀x>0，2x−x≥0C. ∃x0>0，2x0−x0≥0D. ∃x0>0，2x0−x0>02.一个几何体的三视图分别是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的体积是()A. π2B. 2π3C. πD. 2π3.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD//BC，且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中，下列说法中错误的个数是()①AC//平面BEF；②B、C、E、F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．A. 0B. 1C. 2D. 34.命题p：1x>1，命题q：x>a，若命题p的必要不充分条件是q，则a的取值范围为()A. a<1B. a≤0C. a>1D. a≥15.若抛物线的焦点恰巧是椭圆x26+y22=1的右焦点，则抛物线的标准方程为()A. y2=−4xB. y2=4xC. y2=−8xD. y2=8x6.在空间四边形中，分别为的中点，若则与所成的角为A. B. C. D.7.若平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(√3,1)，|b⃗ |=2，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2√3B. 2C. 2√5D. 48.用m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n//α；②若m//α，α⊥β则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m//α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，其中，正确命题是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ④9.用斜二测画法得到某三角形的水平放置的直观图是一个等腰直角三角形(如图所示，其中的x轴表示水平方向)，斜边长为2，则原三角形的面积为()A. √2B. 2√2C. 2D. 410.已知点A(x0,y0)(x0≠0)是抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p2，双曲线的离心率等于√5，则p=()A. 92B. 1 C. 34D. 1211.棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是线段C1D1的中点，点F在线段BB1上，BF=4，则正方体ABCD−A1B1C1D1被平面AEF所截得的截面面积为()A. 27√172B. 21√172C. 15√172D. 13√17212.△ABC中，B(−4,0)，C(4,0)，|AB|+|AC|=10，则顶点A的轨迹方程是()A. x225+y29=1(x≠±3) B. x225+y29=1(x≠±5)C. x225+y216=1(x≠±3) D. x225+y216=1(x≠±5)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．若α∈[0,2π3]，则弓形AB 的面积S 的最大值为______．14. 过点P(，3)的直线，交圆于A 、B 两点，Q 为圆上任意一点，且Q 到AB 的最大距离为，则直线l 的方程为 。

哈尔滨市第六中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是（ ）A. 20000,0x x x ∃>-≤ B. 20000,0x x x ∃>-> C. 20,0x x x ∀>->D.20,0x x x ∀≤->2.正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A ．3B ．3C ．83D ．83.已知直线a 在平面α外，则（ ）A. //a αB. 直线a 在平面α至少有一个公共点C. a A α⋂=D. 直线a 在平面α至多有一个公共点4.“45m <<”是“方程22151x y m m +=--表示椭圆”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要5.若m 是2和8的等比中项，则椭圆221xy m+=的离心率为（ ）A.2B.2C.12D.46.在正四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AC ，BC ，BD ，CD 的中点，则EF 与GH 所成的角为（ ）A.6π B.4π C.2π D.3π7.设O 为坐标原点，直线4x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于,A B 两点，若0OA OB ⋅=，则C 的焦点坐标为（ ） A. ()3,0B. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭C. (1,0)D. (2,0)8. 已知两条直线,l m ，两个平面,αβ，则下列命题正确的是（ ） A. 若//,//l αβα，则//l β B.若//,//l m αα，则//l mC.若//,//,//l m αβαβ，则//l mD. //,l αβα⊂，则//l β 9. 如图，正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形 用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ） A ．cm 8 B ．cm 6 C ．()213cm + D ．()212cm +10. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3．P 是C 上一点，且1260oF PF ∠=，若12F PF ∆的面积为43，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2 11. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，N M ,分别为棱1AA ，1BB 的中点，过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点F E ,（异于端点），则（ ）A.//MF NEB.四边形MNEF 为梯形C.四边形MNEF 为平行四边形D.11//A B NE12. 已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ） A ．6B ．3C ．6D ．3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是 .14.已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为 .15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点，A 为C 的上顶点，B 为C 上的点，且BF 平行于x 轴.若AB 的斜率为13，则C 的离心率为 .16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，过1,,C M D 作正方体的截面，则截面的面积是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤） 17．（本小题满分10分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M GH ，的中点为N .（1）请将字母F G H ，，标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （2）证明：直线//MN 平面BDH .18.（本题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线221243x y -=的一个焦点，O 是坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）经过焦点F 作直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，||5AB =，若OA OB mOD +=，且D 在抛物线上，求实数m 的值．19.（本题满分12分）如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,S 是11D B 的中点,G F E ,,分别是SC DC BC ,,的中点,(1)求异面直线SC 和BD 的成角大小 (2)求证：平面//EFG 平面11B BDD20．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为22，直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N .（1）求椭圆C 的方程； （2）当AMN ∆的面积为103时，求k 的值.21.（本题满分12分）如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的点()2,1A 作斜率分别为1k ，2k 的直线，分别交抛物线E 于B ，C 两点.（1）求抛物线E 的标准方程和准线方程；（2）若1212k k k k +=，证明：直线BC 恒过定点.22.（本题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222222b a b a y x +=+.若抛物线x y 42=的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（1）求椭圆C 的方程和“相关圆E ”的方程；（2）过“相关圆E ”上任意一点P 作“相关圆E ”的切线l 与椭圆C 交于B A ,两点，O 为坐标原点.①证明：AOB ∠为定值；面积的取值范围.②连接PO并延长交“相关圆E”于点Q，求ABQ一、选择题二、填空题13. π12 14.2 15.2 16.29三、解答题17.（1）解：点F G H ，，的位置如图所示.（2）如图，连接BD ，设O 为BD的中点，连接OH OM MN BH ，，，.因为M N ，分别是BC GH ，的中点，所以//OM CD ，且12OM CD =，//HN CD ，且12HN CD =，所以//OM HN ，OM HN =.所以四边形MNHO 是平行四边形，从而//MN OH .又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，所以//MN 平面BDH .18.（1）双曲线方程221243x y -=可化为2211344x y -=，因此2131,144c c =+==，所以双曲线的一个焦点是(1,0)，于是抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，则1,242pp ==，故抛物线的方程为24y x =．（2）依题意，直线l 的斜率一定存在，设其为k ，则l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠． 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩可得2440y y k --=，()()1122,,,A x y B x y ，则1212244,2y y x x k k +=+=+．因为1224|||||245AB FA FB x x k=+=++=+=∣，所以24k =，即2k =±．设()00,D x y ，则由OA OB mOD +=得()()0120121312,x x x y y y m m m m =+==+=±，由于D 在抛物线上，因此2412m m=，可得13m =．19. （1）11//B D DB 所以异面直线SC 与BD 所成角即为SC 与11B D 所成角设：正方体边长为a ，则aCD CB 211==所以等腰11D CB ∆因为S 是11D B 的中点所以11D B SC ⊥即，异面直线SC 与BD 所成角为 90（2）20.21.（1）设抛物线E 的标准方程为22x py =，0p >，将()2,1A 代入得421p =⨯，解得2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =，准线方程为1y =-.（2）证明：因为直线AB 过点()2,1A ，斜率为1k ，利用点斜式方程，可得直线AB 的方程为()112y k x -=-，即1112y k x k =+-，因为直线AC 过点()2,1A ，斜率为2k ，利用点斜式方程，可得直线AC 的方程为()212y k x -=-，即2212y k x k =+-，联立211412x y y k x k ⎧=⎨=+-⎩，消去y 得()21144120xk x k ---=，.解得2x =或142x k =-，因此点()()21142,21B k k --同理可得()()22242,21C k k --.于是直线BC 的斜率()()()()22121221214242k k k k k ---=---()()()121212414k k k k k k -+-=- 121k k =+-，又1212k k k k +=，.所以直线BC 的方程为()()()2212221142y k k k x k --=-⋅--⎡⎤⎣⎦，即()()()121212121123y k k x k k k k x =---=---，故直线BC 恒过定点()2,3-.22.。