拉格朗日插值_逐次线性插值法概论

第二章 插值与拟合
第二章 函数的插值
学习目标：掌握多项式插值的 Lagrange 插 值 公 式 、 牛 顿 插 值 公式等，等距节点插值、差分、 差商、重节点差商与埃米特插值。 重点是多项式插值方法。
第二章 插值与拟合
2.1.1 问题的提出 2.1.2 Lagrange插值多项式 2.1.3 逐次线性插值 2.1.4 均差和Newton插值多项式 2.1.5 Hermite插值多项式
x4
问题2－插值多项式的构造
第二章 插值与拟合
方法１：待定系数法 ① 确定多项式 p ( x )的次数 结论：n+1个插值节点产生的插值多项式至多是n次的．
② 可设 p(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn 要求插值多项式 p(x)，可以通过求n+1个方程的解:
a0a1 an 得到。但这样做不但计算复杂，
)
(x
x0
)n
f
(n1) ( n!
)
(x
x0
)n1,
( 界于x与x0之间)
f (x)
f (x0)
f
(x0 1!
)
(
x
x0
)
f
(x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
－－称为函数f(x)的Taylor插值
第二章 插值与拟合
例如：利用Taylor插值求 y 115
解: 设 y x,取x0 100
插值法
本章主要讨论的内 容
插值函数
第二章 插值与拟合
p(x)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
f(x)
研究问题：
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P(x)？ （3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
x0
x1
x2
x3
第二章 插值与拟合
给定空间一组有序的控制点（control point），得到 一条光滑的分段参数多项式曲线的方法:
✓曲线顺序经过所有的控制点，则称为对这些控制点 进行插值，得到的曲线称为插值曲线。
✓构造一条在某种意义下最靠近控制点的曲线，这称为对 这些控制点进行逼近，得到的曲线称为逼近(拟合)曲线。
x2< ⋯ < xn ≤ b 点上的值 y0, y1, ⋯ , yn . 若存在一简单
函数 p(x), 使得
近似计算 f (x) 的值、零点、极 值点、导数、积分，
p(xi) = yi
i = 0, 1, 2, ⋯, n (2.1)
成立,则称 p( x ) 为 f (x) 的插值函数。
(2.1)式称为插值条件， f (x) 称为被插函数，
而且难于得到pn(x)的简单表达式。
问题１－插值多项式的存在唯一性
第二章 插值与拟合
p(xi) = yi
设 pn(x)是 f (x) 的插值多项式，Hn表示次i =数0不, 1,超2,过⋯,nn 的所有多项
式的集合。且 pn(x) ∈Hn . 称插值多项式存在且唯一，就是指在
Hn 中有且仅有一个 pn(x) 满足插值条件(2.1)式。Vn ( x0 , x1 ,, xn )
本章先讨论插值问题，然后再讨论数据拟 合的有关问题。
第二章 插值与拟合
问题１：基于未知函数或复杂函数的某些已知信息， 如何构造这些函数的近似表达式?
情形１．函数f(x)在x０点的Taylor展开式
f (x)
f (x0)
f
(x0 1!
)
(xx0)f(x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
p(x) y=f(x)
x0
第二章 插值与拟合
情形２在区间［a,b］上考虑函数f(x)的近似．
y=f(x)
a
b
求解：y = f (x) 在[ a , b ]上的近似曲线？
第二章 插值与拟合
插 解决思路
值 法
利用函数f(x)在区间[a, b]上一系列点的值 yi= f(xi)
（可通过观察、测量、试验等方法得到）
由(2.1)可得
a0 a0
a1 x0 a1 x1
an x0n an x1n
y0
y1 (2.2)
1 x0
x
2 0
x
n 0
1 x1 (xx12i x j )x1n
0 jin
a0 a1 xn an xnn yn
1 ≠x0n(xxi≠n2xj) xnn
插值多项式的唯一性 方程组(2.2)有唯一解
x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn
y=f(x)
第二章 插值与拟合
根据 f (x)在n+1个已知点的值，求一个足够光 滑又比较简单的函数p(x)，作为 f (x)的近似表达式，
p(x)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
第二章 插值与拟合
从代数上看，看p(x)满足以下代数条件
[a , b] 称为插值区间， x0 , x1, , xn 称为插值节点 ，
求 p(x) 的方法就是插值法。 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插.
插值函数的类型有很多种
第二章 插值与拟合
最常用的插值函数是 …代?数多项式 三角多项式 分段函数…
用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值
插值问题
p(xi) = yi
这就是所谓的插值．
i = 0, 1, 2, ⋯, n
然后计算 p(x)在[a,b] 上其它点x 处的函数值作为 原来函数 f (x)在此点函数值的近似值。
代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数
第二章 插值与拟合
定义2.1 设函数 f (x) 在[a , b]上有定义，且已知在 a ≤ x0 < x1<
范德蒙行列式
定理2.1 满足条件 (2.1)的插值多项式存在且唯一。
利用Tylor插值，有
x
f
(x0)
f
(x0 1!
)
(
x
x0
)
f
(x0)
2
1 x0
(x x0)
即 115 10 1 (115 100) ......
2 10
第二章 插值与拟合
Tylor插值的缺陷：① Tylor插值中有导数运算，而 计算机实现求导运算存在困难；②近似区间小,在大 的区间上不可行．
(a) 5个控制点的插值曲线 (b) 5个控制点的逼近曲线
第二章 插值与拟合
拟合法就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表 达式 (x) 经过所有的点 ( xi , yi ) ，而只要求在给定的 xi 上误差 i yi ( x)（i=0，1, … , n）按某种标准最小。 若记 δ=( δ1, δ2 ,…,δn )T ，就是要求向量δ的范数||δ|| 最 小。