三年级奥数_等差数列求和(一)知识讲解

巧妙求和（一）知识要点：1、一定量的数按照顺序排成一串，就叫作数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，最末一个数称为末项，数列中数个数称为项数。

如：3、6、9、12----、96，首项是3，末项是96，项数为32.2、如果一个数列的每一项和前一项的差相等，就叫作等差数列。

每一项和前一项的差叫作公差。

如以上的就是等差数列，公差为3.芝麻开门：同学们听过德国数学家高斯的故事吗？高斯在10岁的时候就显示出与众不同的数学才能。

在一次数学课上，数学老师提出这样的一个问题。

计算：1+2+3+---+99+100的和？正当其他同学还在苦思冥想时，高斯已经算出了答案：5050，老师和同学们都很惊诧他的运算速度。

同学们你们知道小高斯为什么能这么快就能计算出答案吗？他究竟用了什么方法呢？下面我们就来探究一下。

经典范例例1: 计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的和。

思路解析：在计算这样的算式时，如果我们依次计算，数字太大、太多，计算起来特别麻烦还容易出现错误。

于是，我们就要调整思维方式，观察算式，寻找规律。

解：方法一：观察得到把最小的数和最大的数相加得11，然后再依据规律依次相加，总共有5对得11的算式，没有多余的数。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）=11×5=55方法2：找出和为10的式子，但会出现多余的数，然后再把多余的数加上去。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+5+10=10×4+15=55例2：计算1+3+5+7+9+11+13+15+17思路解析：在这个算式中，首项和末项的和是1+17=18，次项和3+15=18也是18，依次结合，最后把多余的项加上去。

解：方法一：1+3+5+7+9+11+13+15+17=（1+17）+（3+15）+（5+13）+（7+11）+9=18×4+9=72+9=81方法2：1+3+5+7+9+11+13+15+17=（1+17）×9÷2=18×9÷2=162÷2=81小结：1、在例1和例2中，每一项和前一项的差都是相同的，因此都是等差数列。

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即， 和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

高斯求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。

小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。

数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）练习1：速算。

(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100【例题2】计算。

(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。

(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。

练习4：计算。

(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。

等差数列求和技巧在数学中，等差数列是指数列中任意两个相邻数之间的差值保持恒定的数列。

求解等差数列的和是数学中常见的问题之一。

本文将介绍几种常用的等差数列求和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、等差数列求和公式对于一个等差数列，我们可以使用求和公式来计算其总和。

假设等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，则等差数列的求和公式可以表示为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的和。

二、等差数列求和通用步骤下面是一般情况下求解等差数列和的通用步骤：1. 确定数列的首项a、公差d以及项数n。

2. 使用求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)计算出总和Sn。

三、等差数列求和技巧除了以上的通用步骤外，我们还可以运用一些技巧来简化等差数列求和的计算过程。

1. 利用对称性对于等差数列来说，如果其项数为奇数，那么数列的中间项与首项和末项的和是相等的。

我们可以直接使用这个性质来求和，而不需要使用求和公式。

例如：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 9) + (3 + 7) + 5 = 10 + 10 + 5 = 252. 利用求和公式的性质我们可以对等差数列进行逆序求和，并与原始的求和公式相加，从而得到每一项的和。

例如：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/2n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2将两个等式相加，得到：2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n+1)得出等差数列的和为：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/23. 利用倍数关系如果一个等差数列的公差为1，那么该等差数列的和可以简化为项数n的平方。

例如：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2 ≈ n^2/2 (当n足够大时)四、实例演算为了更好地理解和掌握等差数列求和技巧，下面我们以几个实例来进行演算。

第一讲等差数列基础一、等差数列的相关概念定义：任意相邻两个数的差是相等的一列数项：首项、中项、末项项数：就是等差数列一共有多少个数公差：相邻两数之间的差通项：数列中每一项的通用表示二、基本公式1.通项公式：已知首项和公差，求第n项第n项=首项+（n-1）×公差辅助记忆：五指法（指头是项，空是公差，公差个数比项数少1，第2项是第1项加1个公差，第3项是第1项加2个公差，第5项是第一项加4个公差……）2.项数公式：已知首项、末项及公差，求项数项数=（末项-首项）÷公差+1辅助记忆：青蛙跳荷叶（荷叶数代表项数，青蛙从第一片荷叶开始跳，先算共跳了几次，在看跳到第几片荷叶上。

）【注】：此公式为求和公式的基础3.求和公式：任何等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷2【注】：高斯求和，皮鞋定理4.中项定理：对于容易找到中项的等差数列求和较方便和=中间数×项数（1）求和公式和中项公式的联系：和=（首项+末项）×项数÷2=（首项+末项）÷2×项数= 中间数×项数【注】中间数为平均数（2）要熟悉运用逆向思维：已知等差数列的和，就能很方便求出中项（或假设的中项）如：一个等差数列共有5个数，和是100。

那么中项就是100÷5=205、等差数列中任意两项的差第n项-第m项=公差×（n-m）26.常用熟记公式: 从1开始连续奇数列求和=项数即：1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2图示：1 3 5 7 9二例题解析1、直接运用公式进行计算例1 1+2+3+……+1992+1993的和。

解析：题目告诉的是一个等差数列，那就看问的是什么，用相应的公式求解即可。

问上述等差数列的和，直接利用求和公式：原式=（1+1993）×1993÷2=1994÷2×1993=997×1993=1000×1993-3×1993=1993000-5979=1987021【注】：计算是基础，利用巧算方法更省力。

等差数列求和及应用一等差数列的定义：一列数，如果相邻两个数的差相等，我们就说这个数列叫做等差数列；相等的差叫做这列数的公差，这列数的个数叫做项数，最小的数叫做首项，最大的数叫做末项。

（以下公式要求熟记）基本公式：和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+（项数-1）×公差项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=末项-（项数-1）×公差 公差=1--项数首项末项例1、 计算：1+2+3+4+…+99+100=例2、 计算：1+3+5+7+…+1995+1997+1999=例3、 数列4，9，14，19，…的第80项是多少例4、 有一列数按如下规律排列：6，10，14，18，…这数列中前100个数的和是多少例5、 求100至200之间被7除余2的所有三位数的和是多少例6、 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手要和其他选手赛一场，⑴如果一共有10外队员，一共要进行多少场比赛⑵一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛例7、 小红家在一条胡同里，这条胡同门牌号从1开始，挨着号码编下去。

如果除小红家外，其余各家的门牌号加起来，减去小红家的门牌号数，恰好等于100。

问小红家的门牌是几号全胡同里共有几家例8、 若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有棋子，然后他外出了。

小光从每个有棋子的盒子里各拿出一个其中放在空盒里，再把盒子重新排列了一下，小明回来查看一番，没发现有人动过。

问：共有多少个盒子家庭作业：【1】计算 ⑴ 2+4+6+8…+198+200 ⑵ 3+10+17+24+31+…+94 ⑶ 77+74+71+……+11+8+5【2】已知等差数列3，7，11，15，…，195，问这个数列共有多少项【3】已知等差数列2，7，12，17，……它的第25项是多少第36项是多少【4】一个有30项的等差数列，公差是5，末项为154，这个数的首项是多少【5】一个等差数列，首项是4，末项是88，公差是6，这列数的总和是多少【6】有一列数，已知第一个数是9，从第二个数起，每个数都比前一个数多4，这列数的前50个数的和是多少【7】学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行91场比赛，有多少人参加了选拔赛【8】一个物体从空中降落，第一秒落下9米，以后每秒都比前一秒多落下9米，经过10秒到达地面，这个场体原来离地面的高是多少米【9】上体育课时，我们几个同学站成一排，从1开始顺序报数，除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于72。

奥数秘籍数列与等差数列求和在数学中，奥数是指奥林匹克数学竞赛的简称。

作为一种高难度的数学考试，奥数要求学生具备扎实的数学基础和高超的解题能力。

在奥数中，数列与等差数列求和问题是一个常见而重要的内容。

本文将介绍奥数秘籍数列与等差数列求和的方法，帮助读者更好地应对这一题型。

数列是数学中常见的一种数值排列形式，其中每一个数都按照一定的规律进行排列。

而等差数列是最常见的一种数列类型，其中每一项与前一项之间的差值都保持相等。

等差数列可以用以下公式表示：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

在解决数列问题时，首先要确定数列的类型。

如果题目明确给出数列的类型，那么我们就可以直接应用相应的公式进行求解。

例如，如果题目说给定的数列是等差数列，那么我们就可以使用等差数列的求和公式进行计算。

等差数列的求和公式如下：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项的和。

在这个公式中，我们首先要确定首项a1和末项an，同时也需要知道项数n。

通过代入这些已知条件，我们就可以得出数列的和。

当我们遇到数列问题时，往往需要通过观察数列的特点来解决。

对于等差数列来说，我们要注意数列的首项和公差之间的关系，以及数列的前n项和与项数之间的关系。

除了等差数列的求和问题，我们还经常遇到其他类型的数列求和问题。

例如，等比数列的求和问题、斐波那契数列的求和问题等等。

对于这些问题，我们可以应用相应的数列求和公式进行计算。

总结来说，奥数秘籍数列与等差数列求和的核心是观察数列的规律以及运用相应的公式进行计算。

通过练习和实际应用，我们可以逐渐掌握不同类型数列的求和方法，并在奥数竞赛中取得好成绩。

希望本文能为读者解决奥数秘籍数列与等差数列求和问题提供一些帮助。

通过理解数列的规律和应用相应的公式，我们可以更好地解决数学问题，并在数学学习中取得更好的成绩。

最后，祝愿大家在奥数竞赛中取得优异的成绩！。

计算（三）等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。

二、表达方式：常用n S 来表示 。

三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。

四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。

例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。

（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

等差数列求和在数学中，等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之间的差值都相等的数列。

等差数列求和是指求等差数列中所有项的和。

在本文中，我们将介绍等差数列求和的公式及其应用。

等差数列通项公式是指第n个数的表达式，通常用字母an表示。

对于一个等差数列而言，其通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1是数列的首项，d是等差（即相邻两项之间的差异）。

通过这个公式，我们可以根据数列的首项和差值求得任意一项的值。

等差数列求和的公式是等差数列中所有项的和Sn，通常用大写字母S表示。

求和公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中n是数列的项数。

这个公式可以直接计算出等差数列的和，而不需要将数列中的每一项都相加。

下面我们来举个例子来说明等差数列求和的计算方法。

例题1：求和：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 99首先，我们需要找到等差数列中的首项a1、公差d和项数n。

对于这个例子，a1 = 1（首项为1），d = 2（相邻两项之间的差为2），项数n = 50（共有50个奇数）。

然后，我们将这些值代入求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)：Sn = (50/2)(1 + 99)= 25(100)= 2500因此，1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 99的和为2500。

除了直接使用等差数列求和公式外，还可以通过求出首项和末项的和再乘以项数的一半来求得等差数列的和。

这个方法在某些情况下可能更便捷。

例题2：求和：2 + 7 + 12 + 17 + 22 + ... + 97首项a1 = 2，末项an = 97项数n = (an - a1)/d + 1 = (97 - 2)/5 + 1 = 20首项和末项的和为s = a1 + an = 2 + 97 = 99将这些值代入求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)：Sn = (20/2)(2 + 97)= 10(99)= 990因此，2 + 7 + 12 + 17 + 22 + ... + 97的和为990。

第3讲简单数列求和知识点、重点、难点当一列数的规律是相邻两项的差是一个固定的数,这样的数列就称为等差数列.其中固定的差用d表示,和用S表示,项数用n表示,其中第n项用a n表示.等差数列有以下几个通项公式:S=(a1+a n)×n÷2,n=(a n-a1)÷d+1(当a1<a n),a n=a1+(n-1)×d.例题精讲例1 1+2+3+4+5+6+7+8+9解原式=(1+9)×9÷2=10×9÷2=45例2 (1)1+5+9+13+…+2001解项数=(2001+1)÷4+1=501S=(1+2001)×501÷2=1001×501=501501(2)4000-(50+48+46+ (2)解原式=4000-(50+2)×25÷2=4000-26×25=3350例3 在1949、1950、1951…1997、1998这五十个正整数中,所有双数之和比所有单数之和大多少?解 (1950+1952+1954+...+1998)-(1949+1951+1953+ (1997)=(1950+1998)×25÷2-(1949+1997)×25÷2=(1950+1998-1949-1997)×25÷2=2×25÷2=25 例 4 在1～200这二百个数中能被9整除的数的和是多少?分析:在1～200这二百个数中能被9整除的数构成了一个以9为首项,公差为9的等差数列:9,18,27,36,…,189,198.解项数=(198-9)÷2+1=22.S=(9+198)×22÷2==207×22÷2=2277.例 5 39个连续单数的和是1989，其中最大的一个单数是多少?分析:39个连续单数之和为1989，所以中间一个数是这39个数的平均数,然后再找出其中最大的一个单数.解 1989÷39=51,51+19×2=89.例 6 有一列数:1,1993,1992,1,1991,1990,1,...,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,从第1个到第1993个数这些数多的和是多少?分析:仔细观察这一数列,如果把1拿出,正好成为一个等差数列:1993,1992,1991,1990，...,在原数列中三个数一组出现一个1.1993÷3=664...1,可分为664组一个1,即665个1，其余是1993到666，共664×2=1328个数.解 1×665+(666+1993)×1328÷2=665+2659×1328÷2=665+1765576=1766241.水平测试 3A 卷一、填空题1.1+2+3+4+5+6+7=________2.2+4+6++8+10=_________3.1+3+5+7+9+11+13+15+17=__________4.25+27+29+31+33=________5.2002+2004+2006+2008+2010+2012=________6.15+20+25+30+35+40=_________7.11-12+13-14+15-16+17-18+19=_________8.(2003+2001+1999+...+3+1)-(2002+2000+1998+...+4+2)=_________9.27+31+35+39+43+47=_________10.121+134+127+130+133+136+139=_________11.101+103+105+...+139=_________二、解答题12.计算:10+13+16+19+...+295+298.13.求200以内的双数之和.14.等差数列7、10、13...的第20项数是几?15.肖肖从七月一日开始写毛笔字,第一天写了6个,以后每天比前一天多写相同数量的毛笔字,结果全月共写了1116个毛笔字,肖肖每天比前一天多写了几个毛笔字?B 卷一、填空题1.57+67+77+...+217+227=________2.11+12-13-14+15+16-17-18+...+31+32-33-34+35+36=_______3.1+3++5+7+...+151+153+155=_________4.96+97+98+...+293+294+295=________5.从37到111的所有单数之和是________6.所有三位数的和为_________7.1+4+7+10+...+292+295+298=_________8.1+2+3+...+59+60+59+...+3+2+1=________二、解答题9.计算:(2+4+6+...+100)-(1+2+3+...+50).10.把一堆苹果分给8个小朋友,要使每个小朋友都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同的话,这堆苹果至少应该有多少个?11.小红读一本书,第一天读30页,从第二天起,每天读的页数都必须比前一天多4页,最后一天读了70页刚好读完,这本书共有几页?12.小文从5岁开始存钱,5岁时他有了30元,以后每年比前一年多存10元,那么到他18岁时他共存了多少钱?13.求100以内所有7的倍数之和.C 卷一、填空题1.25个连续的正整数之和是750，则第13个数是_______,第一个数是_______2.一串钥匙30把,对应30把锁,若不小心搞乱了,那么至多需要试_______次.3.若在第2题中只要找出8把锁所对应的钥匙,那么至多需要试______次4.1+4+5+8+9+12+...+48+49+52=________5.321+320+319+...+124+123+124+...+319+320+321=________6.所有三位数中被26除余5的数之和是________7.学校礼堂共有30排座位,已知第一排是15个座位,以后每排比前一排多2个座位,那么共有______个座位.8.1+3+7+13+15+19+25+27+31+...+121+123+127=________二、解答题9.小华看一本书,第一天看了3页,以后每一天比前一天多看的页数相同.第20天看了79页,刚好看完,问这本书共多少页?每天比前一天多看多少页?10.求两位数中所有含有数字5的数之和.11.如图,每个最小的等边三角形的面积是1平方厘米,边长是一根火柴棒,问最大的三角形的面积是多少平方厘米?整个图形由几根火柴棒摆成?12.有10个盒子,44只乒乓球.把这44只乒乓球放到盒子中,能不能使每个盒中的球数都不相同(每个盒子中至少要放一个球)?13.已知数列2,7,5,5,3,2,7,5,5,3,2,7,5,5,3,...,这个数列的第40项是哪个数字?前36项之和是多少?简单数列求和答案:A 卷1.28 原式=(1+7)×7÷2=282.30 原式=(2+10)×5÷2=303.81 原式=(1+17)×9÷2=814.145 原式=(25+33)×5÷2=1455.12042 原式=(2002+2012)×6÷2=120426.165 原式=(15+40)×6÷2=1657.15 原式=11+(13-12)+(15-14)+(17-16)+(19-18)=15.8.1002 原式=(2003-2002)+(2001-2000)+...+(3-2)+1=10021001对9.222 原式=(27+47)×6÷2=22210.910 原式=(121+139)×7÷2=91011.2400 原式=(101+139)×[(139-101)÷2+1]÷2=240012.14938 原式=(10+298)×[(298-10)÷3+1]÷2=308×(96+1)÷2=154×97=1493813.200以内所有双数之和等于10100 2+4+6+...+198+200=(2+200)×100÷2=1010014.64 a n=a1+(n-1)×d=7+(20-1)×3=6415.最后一天写了1116×2÷31-6=66(个),(66-6)÷(31-1)=2(个)B 卷1.2556 由于共有(227-57)÷10+1=18项,原式=(57+227)×18÷2=25562.47 原式=(36-34)+(35-33)+(32-30)+(31-29)+...+(16-14)+(15-13)+11+12=24+23=47. 其中每个括号内两项之差为2，所以除11,12外所有和等于项数,即36-13+1=24.3.6084 原式=(1+155)×78÷2=6084，其中项数78=(155-1)÷2+1.4.39100.项数为(295-96)÷1+1=200，原式=(96+295)×200÷2=39100.5.2812.项数为(111-37)÷2+1=38，原式=(37+111)×38÷2=2812.6.494550 100+101+102+103+...+999=(100+999)×900÷2=4945507.14950.项数为(298-1)÷3+1=100，原式=(1+298)×100÷2=14950.8.3600. 原式=(1+59)×59÷2×2+60=3600.9.原式=(2-1)+(4-2)+(6-3)+...+(100-50)=1+2+3+...+50=(1+50)×50÷2=1275.10.36个 1+2+3+4+5+6+7+8=(1+8)×8÷2=36(个).11.550页. 先求小红看了几天,(70-30)÷4+1=11(天).再求这本书的总页数,(30+70)×11÷2=550(页).12.当他18岁时,他共存了1330元.(30+10×(18-5)+30)×(18-5+1)÷2=(30+130+30)×(14÷2)=190×7=1330(元).13.100以内所有7的倍数之和为735.7+14+21+...+98=7×(1+14)×14÷2=735.C 卷1.30,18第13项是中间项,对等差数列中间项等于数列平均数,即750÷25=30;第一个数为30-(13-1)×1=182.464第一把最多试30次,第二把锁最多试29次,...第29把最多试2次,所以共30+29+...+2=(30+2)×29÷2=464(次)3.212第一把锁最多试了30次,第二把锁最多试29次,...第八把最多试23次,所以最多须试30+29+...+23=(30+23)×8÷2=212(次).4.689原式=(1+5+9+...+49)+(4+8+12+...+52)=(1+49)×((49-1)÷4+1)÷2+4×(1+2+...+13)=50×13÷2+4×(1+13)×13÷2=325+364=689.5.88233.原式=(321+124)×((321-124)+1)÷2×2+123=445×198+123=88233.6.19285.原式=26×4+5+26×5+5+...+26×38+5=26×(4+5+...+38)+5×(38-4+1)=19285.7.1320.最后一排座位数为15+2×(30-1)=73，由(15+73)×30÷2=1320(个).8.2101.原式=(1+13+25+...+121)+(3+15+27+...+123)+(7+19+31+...+127)=(1+121)×11÷2+(3+123)×11÷2+(7+127)×11÷2=2101.9.全书共有820页,小华每天比前一天多看4页.(3+79)×20÷2=820(页),(79-3)÷(20-1)=4(页).10.两位数中所有含数字5的数之和为985.(15+25+...+95)+(50+51+...59)-55=(15+95)×9÷2+(50+59)×10÷2-55=495+545-55=985.11.45平方厘米,45根.每层小三角形个数分别是1.3.5.7.9.所以面积是(1+9)×9÷2=45(平方厘米).每层火柴棒根数分别是3.6.9.12.15,所以总根数是(3+15)×5÷2=45(根).12.不能.每个盒子中的乒乓球个数都不相同,所以球的个数有1+2+...+10=55(个).44个乒乓球是不能这样放的.13.这个数列第40项的数字是3，前36项之和为156.由于这个数列每5个重复一次,而40÷5=8，所以第40项就等于前5项中最后一项,即数字为3.由于36÷5=7...1，所以前36之和为(2+7+5+5+3)×7+2=156.。

小学奥数等差数列公式公式1：求和公式：等差数列求和=（首项+末项）×项数÷2，即：Sn=(a1+an)×n÷2；公式2：通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差，即：an=a1+(n-1)×d；公式3：项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1，即n=(an-a1)÷d+1。

上述三个公式必须掌握此外，还有一个中项定理，也掌握：中项定理：对于作意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

例1：建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，这是一个等差数列.方法1：a1=2，d=4，利用公式求出an=2106，则：n=（an-a1）÷d+1=527这堆砖共有则中间一项为a264=a1+（264-1）×4=1054.方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.则中间一项为（a1+an）÷2=1054a1=2，d=4，an=2106，这堆砖共有1054×527=555458（块）.此题利用中项定理和等差数列公式均可解！例2：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.解：根据题意可列出算式：（2+4+6+8+...+2000）-（1+3+5+ (1999)解法1：能够看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000.解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000.例3：100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？解：方法1：要求和，我们能够先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：由题可知：（首项+末项）×100÷2=8450，求出：（首项+末项）=169。

等差数列的求和公式与性质等差数列是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

等差数列的求和公式是一种重要的工具，用于求解等差数列的各项和。

本文将介绍等差数列的求和公式及其性质，帮助读者更好地理解和应用等差数列。

一、等差数列的定义和性质等差数列是指具有相同公差的数列，其中公差是指数列中相邻两项的差值。

一般来说，等差数列可以用以下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差。

根据等差数列的定义，我们可以总结出等差数列的性质：1. 每一项与它的前一项之差都等于公差d。

2. 每一项与它的后一项之差也等于公差d。

3. 第n项与第m项之差等于(m-n)d。

这些性质对于理解等差数列的求和公式有很大的帮助，下面将进一步介绍等差数列的求和公式及其推导过程。

二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是一种通过已知数列的首项、末项和项数来求解数列和的公式。

下面将介绍两种求和公式：算术平均数法和通项公式法。

1. 算术平均数法算术平均数法是一种通过求出数列的项数及其平均值来计算数列和的方法。

假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的平均值为：平均值 = (a1 + an) / 2根据等差数列的性质，我们知道每一项与平均值的差值等于公差d。

所以，数列的和可以通过平均值乘以项数来求解：数列和 = 平均值 ×项数 = (a1 + an) / 2 × n2. 通项公式法通过等差数列的通项公式也可以求解数列的和。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d。

根据等差数列的性质，我们知道第n项与第一项之间有(n-1)个公差d。

假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的和可以分解为n个等差数列的和：数列和 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)通过将每一项与首项的差值相加，得到数列和的通项公式：数列和 = n / 2 * (a1 + an)三、等差数列求和公式的应用等差数列的求和公式在实际问题中有许多应用，下面将介绍两个常见的应用。

年秋季三年级竞赛班奥数讲义姓名：第六讲：等差数列求和（一）一、知识要点1、等差数列如1+ 2+ 3+ 4+----+99+100这样的一列数叫等差数列。

特点是每相邻两个数的差是相同的.2、等差数列的各部分名称公差:相邻两个数的差叫公差；项:数列中的每一个数叫项；首项:数列中第一个数叫首项末项:数列中的最后一个数叫末项；项数:数列中共有多少项叫项数3、等差数列求和公式等差数列的总和=(首项+末项)×项数÷2；项数=(末项-首项)÷公差+1末项=首项+公差×(项数-1)；首项=末项-公差×(项数-1)二、典型例题例一、计算1、2、3、4----99、100，这100个数的和是多少？试一试：1+2+3+4+----29+30例二、下面一列数是按一定规律排列的：3、12、21、30、39、48、57------（1）第14个数是多少？（2）912是第几个数？试一试：（1）数列4、9、14 、19----的第80项是多少?（2）求首项为5,末项为155,公差是3的等差数列有几项？例三、计算1+3+5+7+---1995+1997+1999试一试：6+10+14+----+390+394例四、一个有17项的等差数列,末项为117,公差为7,这个数列和是多少?三.练习设计1.求下列等差数列的和。

(1)2+4+6+8+---+198+200 (2)10+20+30+---+390+400(3)77+74+71+----+11+8+5 (4)3+10+17+24+---+942、已知等差数列3 、7 、11、15----195,问这个数列共有多少项?3、求2、8 、14、20 、26-----这个等差列数中第100项是多少?4、已知等差数列的第一项是12，第六项是27，求公差。

5、一个数列的首项是5,末项是97,公差是4,这个等差数列的和是多少?6、100-98+96-94+-----+8-6+4-27、(4+5×1)+(4+5×2)+(4+5×3)+----(4+5×60)。

一、等差数列的定义（1） 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2） 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式（3） 三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有知识结构等差数列的基本概念及公式484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=（4） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．（1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。

第六讲等差数列求和（一）小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗——数中的规律。

那么对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题，但是，当算式再复杂点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。

这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。

像这样的数列我们将它称之为等差数列。

我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n 代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。

如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a）÷d＋1典型例题例【1】求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。

分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。

解S＝（a＋b）×n÷2＝（1＋1999）×1999÷2＝2000×1999÷2＝1000×1999＝1999000例【2】求111＋112＋113＋……＋288＋289的和。

分析首项a＝111，末项b＝289，公差d＝1，项数n＝（289－111）÷1＋1＝178＋1＝179。

解S＝（a＋b）×n÷2＝（111＋289）×179÷2＝400×179÷2＝200×179＝35800例【3】求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。

分析首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。

解S＝（a＋b）×n÷2＝（2＋198）×99÷2＝200×99÷2＝100×99＝9900例【4】求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

三年级奥数等差数列求和习题及答案计算（三）等差数列求和知识精讲⼀、定义：⼀个数列的前n 项的和为这个数列的和。

⼆、表达⽅式：常⽤n S 来表⽰。

三：求和公式：和=(⾸项+末项)?项数2÷，1()2n n s a a n =+?÷。

对于这个公式的得到可以从两个⽅⾯⼊⼿：(思路1)1239899100++++++L11002993985051=++++++++L 1444444442444444443共50个101（）（）（）（） 101505050=?= (思路2)这道题⽬，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)100 2 10150 5050=+?÷=?=。

四、中项定理：对于任意⼀个项数为奇数的等差数列，中间⼀项的值等于所有项的平均数，也等于⾸项与末项和的⼀半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=L （），题中的等差数列有9项，中间⼀项即第5项的值是20，⽽和恰等于209?；② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （），题中的等差数列有33项，中间⼀项即第17项的值是33，⽽和恰等于3333?。

例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚⼀个数列的⾸项，末项和公差，从⽽先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。