平面直角坐标系(讲义及答案)

第七讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征(1)各个象限的点的横、纵坐标符号(2)坐标轴上的点的坐标：兀轴上的点的坐标为(x,0),即纵坐标为0;y轴上的点的坐标为(0,y),即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征设片Gw】)、笃(兀2』2)P］、戶2两点关丁'兀轴对称O兀］=兀2，且儿=-歹2；P\、巴两点关于)'轴对称0%］=-兀2，口兀=『2；片、£两点关于原点轴对称O兀1=-£，且丿1=-$2。

3、距离(1)点A (x, y)到轴的距离：点A到兀轴的距离为ly I；点A到y轴的距离为1兀1；(2)同一坐标轴上两点Z间的距离：A(心,0)、B(勺,0),则AB =\x A-x B\； A(0,儿)、B(0,yJ,贝\\AB=\y A-y B I；二、典型例题1、已知点M的坐标为(x, y),如果xy<0 ,则点M的位置( )(A)第二、第三象限(B)第三、第四象限(C)第二、第四象限(D)第一、第四象限2•点P (m, 1)在第二彖限内，则点Q (-m, 0)在( )A. x轴正半轴上B. x轴负半轴上C・y轴正半轴上D・y轴负半轴上3.已知点A (a, b)在第四象限，那么点B (b, a)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4•点P (1, -2)关于y轴的对称点的坐标是( )A. (-1, -2)B. (1, 2)C. (—1, 2)D. (—2, 1)5.__________________________________________________________ 如果点M (1-x, 1-y) 在第二象限，那么点N (l・x, y-1)在第____________________ 象限，点Q (x-1, 1-y) 在第 __________________ 象限。

6.如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4, o)表示帅的位置, 用(3, 9)表示将的位置，那么炮的位置应表示为A. (8, 7)B. (7, 8)C. (8, 9)D・(8, 8)\7.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为(0, 0),(5, 0), (2, 3)则顶点C的坐标为()A. (3, 7)B. (5, 3)C. (7, 3)D. (8, 2)8.已知点P (x, x ),则点P—定 ( )A.在第一象限B.在第一或第四象限C.在x轴上方D.不在x轴下方9.已知长方形ABCD中，AB=5, BC=8,并且AB〃x轴，若点A的坐标为(一2, 4),则点C的坐标为(3, -4) (-7, -4) (3, 12) (-7, 12) 。

平面直角坐标系一. 重点、难点：1. 重点：认识并画出平面直角坐标系；建立适当的直角坐标系，描述物体的位置，能根据点的位置写出坐标，根据坐标描出点的位置。

2. 难点：根据具体问题建立合适的平面直角坐标系，确定点的位置或描述点的坐标。

二. 教学知识要点：1. 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，这样就组成了平面直角坐标系。

说明：一般把一条画成水平的，取向右的方向为正方向，称它为x 轴或横轴。

一条画成铅直的且取向上的方向为正方向，称它为y 轴或纵轴。

2. 坐标轴上的点及各种对称点的坐标特征。

（1）坐标轴上的点的坐标特征：x 轴上的点，纵坐标为0，可记为（x ，0）y 轴上的点，横坐标为0，可记为（0，y ）原点O 的坐标为（0，0）（2）对称点的坐标特征：点P （a ，b ）关于x 轴的对称点坐标为P 1（a ，-b ）点P （a ，b ）关于y 轴的对称点坐标为P 1（-a ，b ）点P （a ，b ）关于y 轴的对称点坐标为P 1（-a ，-b ）（3）平行于坐标轴的直线的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点，纵坐标相同。

平行于y 轴的直线上的任意两点，横坐标相同。

3. 坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系有序实数对（x ，y ）与平面内的点构成一一对应的关系。

4. 坐标平移公式若M 点的坐标为（x ，y ），将M 点平移到M'点的坐标为（x'，y'），则 其中，当a ＞0时，M 点向右平移a 个单位到M'当a ＜0时，M 点向左平移|a|个单位到M'当b ＞0时，M 点向上平移b 个单位到M'当b ＜0时，M 点向下平移|b|个单位到M'【典型例题】例1. 已知两点A （0，2），B （4，1），点P 是x 轴上一点，求PA ＋PB 的最小值。

解：如图1，作B 点关于x 轴的对称点B'，连AB'，交x 轴于点P ，又作B'C ⊥y 轴于Cx x a y y b ''=+=+⎧⎨⎩图1 图2 图3由平面几何知识知，这时PA ＋PB 最小，且等于AB'的长度∵B 与B'关于x 轴对称∴B'的坐标为（4，-1）∴PA ＋PB 的最小值为5说明：若在Rt △ABC 中，两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则有c 2＝a 2＋b 2。

专题03 平面直角坐标系专题03 平面直角坐标系 (1)7.1 平面直角坐标系 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 有序数对 (2)知识点2 平面直角坐标系 (2)知识点3 点的坐标特点 (3)二、典型题型 (6)题型1 有序数对 (6)题型2 平面直角坐标系的概念 (6)题型3 点的坐标的特征 (6)一、点的位置与坐标 (7)二、点的坐标与距离 (8)三、点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想） (8)四、点的坐标与图形的面积 (9)（1）知坐标，求面积 (9)（2）知面积，求坐标（方程思想） (10)（3）分类讨论 (12)三、难点题型 (14)题型1 确定点所在的象限 (14)题型2 点到坐标轴的距离 (14)题型3 探究平面直角坐标系坐标的变化规律 (15)7.2 坐标系的简单运用 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 用坐标表示地理位置 (17)知识点2 用坐标表示平移 (18)二、典型题型 (20)题型1 用坐标表示地理位置 (20)题型2 用坐标表示平移 (21)一、点的平移 (21)（1）已知点和平移方式，求对应点 (21)（2）已知点和对应点，求平移方式 (21)二、图形的平移 (22)三、难点题型 (23)题型1 动点问题 (23)7.1 平面直角坐标系知识框架{基础知识点{有序数对平面直角坐标系点的坐标的特点典型题型{ 有序数对平面直角坐标系的概念点的坐标的特征{ 点的位置与坐标点的坐标与距离点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想）点的坐标与图形的面积{知坐标，求面积知面积，求坐标（方程思想）分类讨论难点题型{确定点所在的象限点到坐标轴的距离探究平面直角坐标系坐标的变化规律 一、基础知识点知识点1 有序数对1）我们把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，用于表示平面中某一确定位置的，叫作有序数对，记作（a ，b ）注：①（a ，b ）与（b ，a ）表达的含义不同，注意有序数对的顺序②在表达有序数对时，一般行在前，列在后。

平面直角坐标系综合讲义一、【知识点拨】1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应；2.点P （a ，b ）到x 轴的距离为│b │，• 到y 轴距离为│a │， 到原点距离为22a b +；3.各象限内点的坐标的符号特征：P （a ，b ）， P 在第一象限⇔a>0且b>0， P 在第二象限⇔a<0，b>0， P 在第三象限⇔a<0，b<0， P 在第四象限⇔a>0，b<0；4.点P （a ，b ）：若点P 在x 轴上⇔a 为任意实数，b=0；P 在y 轴上⇔a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=b ； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b ； 5.点A （x 1，y 1），B （x 1，y 2）：A ，B 关于x 轴对称⇔x 1=x 2，y 1=－y 2； A 、B 关于的y 轴对称⇔x 1=－x 2，y 1=y 2； A ，B 关于原点对称⇔x 1=－x 2，y 1=－y 2； AB ∥x 轴⇔y 1=y 2且x 1≠x 2；AB ∥y 轴⇔x 1=x 2且y 1≠y 2（A ，B 表示两个不同的点）． 6点的平移：在平面直角坐标系中，教师寄语：对那些有自信心而不介意于暂时成败的人，没有所谓失败！对怀着百折不挠的坚定意志的人，没有所谓失败！对别人放手，而他仍然坚持；别人后退，而他仍然前冲的人，没有所谓失败！对每次跌倒，而立刻站起来；每次坠地，反会像皮球一样跳得更高的人，没有所谓失败！——雨果将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；将点（x，y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）将点（x，y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；将点（x，y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

二、【例题评析】例1（2011贵州贵阳，10分）【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．【运用】如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为______；例2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO 的内心的坐标．三【综合能力训练】1.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），•点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，•求点C的坐标．2.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，•点A在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D的路线做匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（s）；①当t=5时，求出点P的坐标；②若△DAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t•的取值范围）．3.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，•OA=6，OC=10．（1）如图所示，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB 边上的D点，求E点的坐标；（2）如图所示，将矩形变为矩形OA′B′C′，在OA′，OC′边上选择取适当的点E′，F′，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在A′B′边上的D′点，过D′作D′G•∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．（3）在图的条件下，设T（x，y）：探求：y与x之间的函数关系式。

2020中考数学冲刺专题平面直角坐标系下的图形变化（含答案）1. 如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，－4)，C是x轴上一动点，过C作CD∥AB 交y轴于点D.(∥)求OCOD的值；(∥)若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积等于54，求点C的坐标；(∥)将∥AOB绕点A按顺时针方向旋转90°得到∥AO′B′，设D的坐标为(0，n)，当点D落在∥AO′B′内部(包括边界)时，求n的取值范围．(直接写出答案即可)第1题图解：(∥)∥点A的坐标是(3，0)，B的坐标是(0，－4)，∥OA＝3，OB＝4.∥CD∥AB，∥∥AOB∥∥COD，∥OCOD＝OAOB＝34；(∥)设OC＝3x，则OD＝4x，则AC＝3＋3x，BD＝4＋4x，当点C 在x 轴负半轴上时： ∥四边形ABCD 的面积是54，∥12AC ·BD ＝54，即12(3＋3x )(4＋4x )＝54， 解得：x ＝2或－4(舍去)． 则点C 的坐标是(－6，0)； 当点C 在x 轴的正半轴上时， S 四边形ABCD ＝12×3x ·4x －12×3×4＝54， 解得：x ＝10或x ＝－10(舍去)． 则点C 的坐标是(310，0)； (∥)O ′的坐标是(3，3)，则O ′B ′与y 轴的交点坐标是(0，3)； 则B ′的坐标是(－1，3)．设直线AB ′的解析式是y ＝kx ＋b ， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0－k ＋b ＝3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝94，则直线AB ′的解析式是y ＝－34x ＋94， 当x ＝0时，y ＝94.即直线AB′与y轴的交点是(0，94)．则n的范围是94≤n≤3.第1题解图2. 在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，点D，点E分别是AC，BC的中点，将∥CDE绕点C逆时针旋转得到∥CD′E′，旋转角为α，连接AD′，BE′.(∥)如图∥，若0°＜α＜90°，当AD′∥CE′时，求α的大小；(∥)如图∥，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∥CBE′的值；(∥)若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围．第2题图解：(∥)∥A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，∥OA＝OB＝OC，∥∥ACB＝90°，∥∥CD′E′是∥CDE旋转得到的，∥∥D ′CE ′＝90°，∥AD ′∥CE ′，∥∥AD ′C ＝∥D ′CE ′＝90°， ∥D 为AC 的中点，∥CD ＝12AC ， ∥CD ＝CD ′，∥CD ′＝12AC ， 在Rt∥ACD ′中，cos α＝CD ′AC ＝12， ∥α＝60°；(∥)设F 为D ′E ′的中点，连接CF ，如解图∥， ∥CD ′＝CE ′，∥E ′CD ′＝90°， ∥CF ∥BE ′，CF ＝12D ′E ′＝1， 又∥BC ＝OB 2＋OC 2＝22，∥在Rt∥BCF 中，sin∥CBE ′＝CF BC ＝24；(∥)如解图∥，以C 为圆心，CD ′为半径作∥C ，当AD ′与∥C 相切时AP 最长，易得四边形CD ′PE ′是正方形，作PH ∥AB 于点H . ∥CD ′＝CD ＝12AC ＝2， ∥∥C 的半径为2， ∥在Rt ∥ACD ′中，AD ′＝（22）2－（2）2＝6，∥AP ＝AD ′＋PD ′＝6＋2，∥cos∥P AB＝APAB＝AHAP，∥AH＝2＋3，∥点P横坐标的最大值为 3.如解图∥，当BE′与∥C相切时AP最短，易得四边形CD′PE′是正方形，作PH∥AB于点H.根据对称性可知OH＝3，∥点P横坐标的最小值为－3，∥点P横坐标的取值范围为－3≤m≤ 3.图∥ 图∥ 图∥第2题解图3. 在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图∥所示放置，已知OB＝10，BC＝6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD(含端点)交于点E，与边OB(含端点)或其延长线交于点F.(∥)如图∥，若点E的坐标为(0，4)，求点A的坐标；(∥)将矩形沿直线y＝－12x＋n折叠，求点A的坐标；(∥)将矩形沿直线y＝kx＋n折叠，点F在边OB上(含端点)，直接写出k的取值范围．第3题图解：(∥)∥点E的坐标为(0，4)，∥OE＝AE＝4，∥四边形OBCD是矩形，∥OD＝BC＝6，∥DE＝2，∥AD＝AE2－DE2＝23，∥点A的坐标为(23，6);(∥)由于直线EF解析式是y＝－12x＋n，∥OE＝n，点F的坐标为(2n，0)，连接OA，如解图∥，则EF垂直平分OA，易得∥AOD∥∥EFO，∥ADOD ＝OEOF＝12，则AD＝12OD＝3，∥点A的坐标为(3，6)；(∥)－1≤k≤－1 3.【解法提示】当点F与点B重合时，AB＝OB＝10，∥AC＝102－62＝8，则AD＝2，易得∥ADE∥∥BCA，则ADBC ＝DEAC，即26＝DE8，∥DE＝83，∥OE＝103，∥n＝103，直线EF的解析式为y＝kx＋103，令x＝10，则y＝0，即0＝10k＋103，∥k＝－13；当点E与点D重合时，如解图∥，点F(6，0)，易得直线EF的解析式为y＝－x＋6，此时k＝－1，综上所述，k的取值范围是－1≤k≤－13.第3题解图4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B.(∥)求点A，B的坐标；(∥)在直线AB上是否存在点P，使∥OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(∥)若将Rt∥AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕BC所在直线的解析式．第4题图解：(∥)在y＝－x＋4中，令x＝0可得y＝4，令y＝0可求得x＝4，∥A(4，0)，B(0，4)；(∥)如解图∥，作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E，交AB于点P，则OP＝P A，即P点即为满足条件的点，∥OA＝4，∥OE＝2，在y＝－x＋4中，当x＝2时，可得y＝2，∥P点坐标为(2，2)；(∥)如解图∥，设C(t，0)，则AC＝OA－OC＝4－t，∥OA＝OB＝4，∥AB＝42，由折叠的性质可得BD＝OB＝4，CD＝OC＝t，∥ADC＝∥BOC＝90°，∥AD ＝AB －BD ＝42－4，在Rt∥ACD 中，由勾股定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2，即(4－t )2＝t 2＋(42－4)2，解得t ＝42－4， ∥C (42－4，0)，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ， ∥⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4（42－4）k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1－2b ＝4，∥折痕BC 的解析式为y ＝－(1＋2)x ＋4.第4题解图5. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(－8，0)，直线BC 经过点B (－8，6)，C (0，6)，将四边形OABC 绕点O ，按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′，直线B ′C ′分别与直线BC 相交于点P 、Q .(∥)如图∥，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时，求BPBQ 的值； (∥)如图∥，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时，求∥OPB ′的面积：(∥)在四边形OABC 旋转过程中，当0°<a ≤180°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP ＝12BQ ？若存在，请直接写出．．．．点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(∥)∥∥POC＝∥B′OA′，∥PCO＝∥B′A′O＝90°，∥∥POC∥∥B′OA′，∥CPA′B′＝OCOA′，即CP6＝68，∥CP＝92，BP＝BC－CP＝8－92＝72，同理∥B′CQ∥∥B′C′O，∥CQC′O＝B′CB′C′，即CQ6＝10－68，∥CQ＝3，BQ＝BC＋CQ＝11，∥BPBQ＝7211＝722；(∥)在∥COP和∥A′B′P中，∥∥CPO＝∥A′PB′，∥OCP＝∥A′＝90°，OC＝B′A′，∥∥COP∥∥A′B′P(AAS)，∥OP＝B′P，设B′P＝OP＝x，在Rt∥COP中，CP2＋CO2＝OP2，即(8－x)2＋62＝x2，解得x ＝254，∥S ∥OPB ′＝12×254×6＝754；(∥)存在这样的点P 和点Q ，使BP ＝12BQ ，点P 的坐标是(－9－362，6)，(－74，6)． 【解法提示】过点Q 作QH ∥OA ′于点H ，连接OQ ， 则QH ＝OC ′＝OC ，∥S ∥POQ ＝12PQ ·OC ，S ∥POQ ＝12OP ·QH ， ∥PQ ＝OP .设BP ＝x ，∥BP ＝12BQ ，∥BQ ＝2x ，∥如解图∥，当点P 在点B 左侧时，OP ＝PQ ＝BP ＋BQ ＝3x ， 在Rt∥COP 中，PC 2＋CO 2＝OP 2，即(8＋x )2＋62＝(3x )2， 解得x 1＝1＋362，x 2＝1－362(舍去)， ∥PC ＝BP ＋BC ＝9＋362， ∥P (－9－362，6)；∥如解图∥，当点P 在点B 的右侧时， OP ＝PQ ＝BQ －BP ＝x ，PC ＝8－x ， 在Rt∥COP 中，PC 2＋CO 2＝PO 2， 即(8－x )2＋62＝x 2，解得x ＝254，∥PC＝BC－BP＝8－254＝74，∥P(－74，6)，综上所述，存在点P(－9－362，6)，P(－74，6)，使BP＝12BQ.图∥ 图∥第5题解图6. 如图，在平面直角坐标系中，已知∥AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把∥AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO 与AB重合，得到∥ABD.(∥)求点B的坐标；(∥)当点P运动到点(t，0)时，试用含t的式子表示点D的坐标；(∥)是否存在点P，使∥OPD的面积等于34，若存在，请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可)．第6题图解：(∥)如解图∥，过点B作BE∥y轴于点E，作BF∥x轴于点F，由已知得BF＝OE＝2，OF＝42－22＝23，∥点B的坐标是(23，2)；第6题解图∥(∥)∥∥ABD由∥AOP旋转得到，∥∥ABD∥∥AOP,∥AP＝AD，∥DAB＝∥P AO，∥∥DAP＝∥BAO＝60°，∥∥ADP是等边三角形，∥DP＝AP＝16＋t2，如解图∥，过点D作DH∥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG∥DH，∥在Rt∥BDG中，∥BGD＝90°，∥DBG＝60°，∥BG＝BD·cos60°＝t×12＝t2，DG＝BD·sin60°＝t×32＝32t，∥OH＝EG＝23＋t2，DH＝2＋32t，∥点D的坐标为(23＋t2，2＋32t)；第6题解图∥(∥)存在，点P 的坐标为(21－233，0)，(－33，0)，(－3，0)，(－21－233，0)．【解法提示】假设存在点P ，使∥OPD 的面积等于34，设点P 为(t ，0)，下面分三种情况讨论： ∥当t ＞0时， BD ＝OP ＝t ，DG ＝32t ， ∥DH ＝2＋32t ，∥∥OPD 的面积等于34， ∥12t (2＋32t )＝34， 解得t 1＝21－233，t 2＝－21－233(舍去)，∥点P 1的坐标为(21－233，0 )；∥当－433＜t ≤0时，BD ＝OP ＝－t ，BG ＝－32t ， ∥DH ＝2－(－32t )＝2＋32t ， ∥∥OPD 的面积等于34， ∥－12t (2＋32t )＝34， 解得t 1＝－33，t 2＝－3，∥点P 2的坐标为(－33，0)，点P 3的坐标为(－3，0)； ∥当t ≤－433时，BD ＝OP ＝－t ，DG ＝－32t ， ∥DH ＝－32t －2， ∥∥OPD 的面积等于34， ∥12t (2＋32t )＝34，解得t 1＝21－233(舍去)，t 2＝－21－233，∥点P 4的坐标为(－21－233，0)综上所述，点P 的坐标分别为P 1(21－233，0)、P 2(－33，0)、P 3(－3，0)、P 4(－21－233，0)．7. 如图∥，等腰直角∥ABC 的斜边AB 长为4，矩形ODEF 的边OD 长为2，DE 长为4，将等腰直角∥ABC 沿x 轴向右平移得到等腰直角∥A ′B ′C ′.(∥)当线段A ′C ′所在直线经过点E 时，求此时直线A ′C ′的解析式；(∥)连接C ′F ，C ′E ，当线段C ′F 和线段C ′E 之和最短时，求矩形ODEF 和等腰直角∥A ′B ′C ′重叠部分的面积；(∥)当矩形ODEF 和等腰直角∥A ′B ′C ′重叠部分的面积为2.5时，求直线A ′C ′与y 轴交点的坐标(直接写出答案即可)．第7题图解：(∥)当A ′C ′所在直线经过点E ，如解图∥. ∥∥CAB ＝45°， ∥∥C ′A ′B ′＝45°， 在Rt∥EA ′D 中，DE ＝4， ∥A ′D ＝4， ∥OD ＝2， ∥A ′O ＝2， ∥A ′(－2，0)，设直线A ′C ′的解析式为y ＝kx ＋b ，将两点A ′(－2，0)，E (2，4)代入 得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝02k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝2. ∥A ′C ′此时的解析式为y ＝x ＋2；第7题解图∥(∥)∥点C的运动轨迹为直线y＝2.∥点E关于点C′的运动轨迹的对称点为点D.连接FD，如解图∥，当C运动到FD的中点时，FC′＋C′D最小，即FD的长，即FC′＋EC′最小．∥此时A′C′与OF交于M，B′C′与DE交于N，∥OA′＝OM＝1，B′D＝DN＝1，即S∥B′DN＝S∥A′OM＝1.则S五边形ODNC′M＝S∥A′B′C′－S∥B′DN－S∥A′OM＝4×2×12－1×1×12－1×1×12＝4－1＝3.第7题解图∥(∥)直线A′C′与y轴交点的坐标为(0，2＋22)或(0，2－22)．【解法提示】当C在y轴上时，此时B′与D重合，∥矩形ODEF与∥A′B′C′重合部分为∥COB.∥S ∥COB ＝12×2×2＝2<2.5，故当重叠部分面积为2.5时，C ′必在矩形ODEF 内部，此时重合部分面积S ＝S ∥A ′B ′C ′－S ∥B ′DN －S ∥A ′OM ＝2.5，∥4－S ∥B ′DN －S ∥A ′OM ＝2.5， 即12OM 2＋12DN 2＝1.5， ∥OM 2＋DN 2＝3， 而OM ＝OA ′，DN ＝DB ′， OA ′＋DB ′＝A ′B ′－OD ＝2， ∥OM ＋DN ＝2，DN ＝2－OM ， ∥OM 2＋(2－OM )2＝3， OM 2＋OM 2－4OM ＋4－3＝0， 2OM 2－4OM ＋1＝0，解得OM ＝2＋22或OM ＝2－22， 故当重合部分面积为2.5时，直线A ′C ′与y 轴交点的坐标为(0，2＋22)或(0，2－22)．8. 在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，1)，点D 是边BC 上的动点(与端点B 、C 不重合)，过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交边OA 于点E . (∥)如图∥，求点D 和点E 的坐标(用含b 的式子表示)；(∥)如图∥，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；(∥)矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．第8题图解：(∥)∥四边形OABC是矩形，∥CB∥x轴，由点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，1)可得点D的纵坐标为1，当y＝1时，－12x＋b＝1，解得：x＝2b－2，∥点D的坐标为(2b－2，1)，当y＝0时，－12x＋b＝0，解得：x＝2b，∥点E的坐标为(2b，0)；(∥)如解图，设CB与O1A1的交点为点M，C1B1与OA的交点为点N，∥四边形OABC，四边形O1A1B1C1是矩形，∥CB∥OA，C1B1∥O1A1，∥四边形DMEN是平行四边形，∥矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，∥∥1＝∥2，∥CB∥OA，∥∥2＝∥3，∥∥1＝∥3，∥DM＝ME，∥平行四边形DMEN是菱形，过点D作DH∥OA于点H，由D(2b－2，1)，E(2b，0)可知CD＝2b－2，OE＝2b，OH＝CD＝2b－2，DH＝1，∥EH＝OE－OH＝2b－(2b－2)＝2，设菱形DMEN的边长为m，在Rt∥DHN中，DH＝1，HN＝EH－NE＝2－m，DN＝m，由DH2＋HN2＝DN2，得：12＋(2－m)2＝m2，解得m＝54，∥S菱形DMEN＝NE·DH＝54×1＝54，∥重叠部分菱形DMEN 的面积不变，为54；第8题解图(∥)当NE ＝1时，菱形面积的最小值是1； 当NE ＝53时，菱形面积的最大值是53.(D 与C 重合，A 与E 重合，设DN ＝AN ＝x ， 在Rt∥DNO 中利用勾股定理列出方程计算)9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(0，2)，∥ABO 为等边三角形，P 是x 轴上的一个动点(不与O 点重合)，将线段AP 绕A 点按逆时针方向旋转60°，P 点的对应点为点Q . (∥)求点B 的坐标；(∥)当点P 在x 轴负半轴运动时，求证：∥ABQ ＝90°；(∥)连接OQ ，在点P 运动的过程中，当OQ ∥AB 时，求点P 的坐标．第9题图解：(∥)如解图∥，过点B 作BC ∥x 轴于点C ，∥∥AOB 为等边三角形，且OA ＝2， ∥∥AOB ＝60°，OB ＝OA ＝2， ∥∥BOC ＝30°，而∥OCB ＝90°， ∥BC ＝12OB ＝1，OC ＝3， ∥点B 的坐标为B (3，1)；(∥)由题意得AP ＝AQ, AO ＝AB, ∥P AQ ＝∥OAB ， ∥∥P AO ＝∥QAB=60°.在∥APO 与∥AQB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ∥P AO ＝∥QAB AO ＝AB ，∥∥APO ∥∥AQB ， ∥∥ABQ ＝∥AOP ＝90°； (∥)当点P 在x 轴正半轴上时， ∥∥OAB ＝60°，∥将AP 绕点A 逆时针旋转60°时，点Q 在点B 上方， ∥OQ 和AB 必相交，当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方， ∥AB ∥OQ ，∥BQO ＝90°，∥BOQ ＝∥ABO ＝60°. 在Rt∥BOQ 中，OB ＝2，∥OBQ ＝90°－∥BOQ ＝30°， ∥BQ ＝3，由(∥)可知，∥APO∥∥AQB，∥OP＝BQ＝3，∥此时点P的坐标为(－3，0)．第9题解图10. 如图∥，平面直角坐标系中，矩形OABC，B(5，4)，将矩形沿过点C的直线翻折，使点B 落在线段OA上的点D处，折痕交AB于点E，P(m，0)是射线OA上一动点过点P作x轴的垂线，分别交直线CE和直线CB于点Q和点R.(∥)求点E的坐标；(∥)在点P的运动过程中，求CRQR的值；(∥)设直线CE交x轴于点F，直线PR交直线CD于点K，连接KE，当∥CKE＝∥CFO时，求出m的值和线段CQ的长．图∥ 备用图第10题图解：(∥)设E(5，y)，∥AE ＝y ，BE ＝4－y ，由旋转得CD ＝BC ＝5，DE ＝BE ＝4－y ， 在Rt∥COD 中，CO ＝4，OD ＝CD 2－CO 2＝3，∥AD ＝AO －DO ＝5－3＝2， 在Rt∥DAE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∥(4－y )2＝22＋y 2， 解得y ＝32， ∥E (5，32)；(∥)如解图∥，∥PQ ∥x 轴， ∥PQ ∥AB ， ∥∥CQR ∥∥CEB ， ∥CR QR ＝CB EB ＝54－32＝2；图∥ 图∥第10题解图(∥)如解图∥，∥∥CKE ＝∥CFO ，∥KCE ＝∥FCD ，∥∥KCE∥∥FCD，∥CKCF＝CECD.∥C(0，4)，E(5，3 2)，∥直线CE的解析式为y＝－12x＋4，CE＝52＋(4-32)2＝552.∥F(8，0).∥CF＝CO2＋FO2＝4 5.∥C(0，4)，D(3，0)，∥直线CD的解析式为y＝－43x＋4.设K(m，－43m＋4)，∥KR＝|－43m＋4－4|＝43m，∥CR＝m,∥CK＝CR2＋KR2＝m2＋（43m）2＝53m，∥CKCF＝CECD，∥53m45＝5525，解得m＝6；∥Q在直线CE上，∥Q(6，1)，∥CQ＝CR2＋QR2＝62＋（4－1）2＝3 5.。

平面直角坐标系知识梳理1.有序数对：我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数队，叫做________。

2.平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条________、________的数轴，组成____________。

水平的数轴称为x轴或____，习惯上取____为正方向；竖直的数轴称为y轴或____，取____方向为正方向；两坐标轴的交战为平面直角坐标系的____。

3.象限：坐标轴上的点不属于任何象限第一象限：x>0，y>0 第二象限：x<0，y>0第三象限：x<0，y<0 第四象限：x>0，y<0横坐标轴上的点：（x，0）纵坐标轴上的点：_______4.距离问题：点（x，y）距x轴的距离为y的绝对值，距y轴的距离为x的______。

坐标轴上两点间距离：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB距离为 x1-x2的绝对值；点A（0，y1）点B（0，y2），则AB距离为 y1-y2的绝对值。

5.绝对值相等的代数问题：a与b的绝对值相等，可推出a=b或者________。

6.角平分线问题：若点（x，y）在一、三象限角平分线上，则x=y若点（x，y）在二、四象限角平分线上，则______7.对称问题：一点关于x轴对称，则x同y反；关于y轴对称，则y同x反；8.平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）；向左平移a个单位长度，可以得到对应点________；向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）；向下平移b个单位长度，可以得到对应点________。

经典例题1.有序数对【例1】电影院中“2排5号”记作（2，5），则（10，18）的意义为_______________ 练1.根据下列条件，能确定位置的有哪些？①座位是2排4号；②某城市在东经118°，北纬39°；③家住前进路20号；④甲地距乙地20km ；⑤沉船距A 港50km2.平面直角坐标系相关概念【例2】写出图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 各点坐标，并说明个点在哪个象限练2.下列各点中，在第二象限的点是（ ）A. （2，3）B. （2，-3）C. （-2，-3）D. （-2，3） B. 练3.已知点M （,）在第二象限，则的值是 。

平面直角坐标系-位置认识1．小义同学给如图建立平面直角坐标系，使医院的坐标为（0，0），火车站的坐标为（2，2）．（1）写出体育场、文化馆、超市、宾馆、市场的坐标；（2）在图中标出小义家（3，﹣1），小锐家（﹣1，﹣1）和学校（﹣1，1）的位置．（3）小义从家途径小锐家到学校最近的路是个单位长度．平面直角坐标系-密码组合1．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学的知识找到破译密码的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”，若“今”所处的位置是（x，y），你找到的密码钥匙是（，），破译“正做数学”的真实意思是“”．平面直角坐标系-诗词调整1．如图，我们从唐代诗人韩愈的《早春呈水部张十八员外》和刘禹锡的《浪淘沙•其一》中各选取一句整齐排列放在平面直角坐标系中，“浪”的坐标是（1，1）．（1）“曲”和“酥”的坐标依次是和．（2）将第2行与第3行对调，再将第4列与第7列对调，“河”由开始的坐标最终变换为．（3）“雨”开始的坐标是，使它的坐标变换到（5，3），应该哪两行对调，同时哪两列对调？1．如图是一个平面直角坐标系．（1）请在图中描出以下6个点：A（0，2）、B（4，2）、C（3，4）A′（﹣4，﹣4）、B'（0，﹣4）、C′（﹣1，﹣2）（2）分别顺次连接A、B、C和A′、B'、C'，得到三角形ABC和三角形A′B′C′；（3）观察所画的图形，判断三角形A′B′C′能否由三角形ABC平移得到，如果能，请说出三角形A′B′C′是由三角形ABC怎样平移得到的；如果不能，说明理由．1.如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B 与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．平面直角坐标系-面积求解1．△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图．（1）分别写出下列各点的坐标：A'；B'；C'；（2）说明△A'B'C'由△ABC经过怎样的平移得到？．（3）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C'内的对应点P'的坐标为；（4）求△ABC的面积．1.已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′、C′的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6．（1）求点A，B的坐标；（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；1．已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．1．已知，点P（2m﹣6，m+2）．（1）若点P在y轴上，P点的坐标为；（2）若点P的纵坐标比横坐标大6，求点P在第几象限？（3）若点P和点Q都在过A（2，3）点且与x轴平行的直线上，PQ＝3，求Q点的坐标．平面直角坐标系-文字叙述求解3 1．已知在平面直角坐标系中有一点M（2m﹣1，m﹣3）．（1）当点M到y轴的距离为1时，求点M的坐标；（2）当点M到x轴的距离为2时，求点M的坐标．1．在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m+3）．（1）若点M在x轴上，求m的值；（2）若点M在第二象限内，求m的取值范围；（3）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．1．已知点P（3m﹣6，m+1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P在x轴上；（3）点P的纵坐标比横坐标大5；（4）点P在过点A（﹣1，2），且与x轴平行的直线上．1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+＝0，点C的坐标为（0，3）．（1）求a，b的值及SABC；△（2）若点M在x轴上，且SACM＝S△ABC，试求点M的坐标．△1．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1．如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0．（1）求a，b，c的值．（2）求四边形AOBC的面积．（3）是否存在点P（x，﹣x），使△AOP的面积为四边形AOBC 的面积的两倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．1．已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．（1）求△ABC的面积是多少？（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且SACP＝2S△ABC，△求点P的坐标？（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且SBCQ＝2S△ABC△求点Q的坐标？1．已知点A（a，0）和B（0，b）满足（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，分别过点A、B作x轴、y轴的垂线交于点C，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着O﹣B﹣C﹣A﹣O的路线移动．（1）写出A、B、C三点的坐标；A，B，C；（2）点P在运动过程中，当△OAP的面积为6时，求点P的坐标；（3）当P运动14秒时，连接O、P两点，将线段OP向上平移h个单位（h＞0），得到O'P'，若O'P'将四边形OACB的面积分成相等的两部分，求h的值．1.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使SAPD＝S四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．△1.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2022的坐标为．2.在平面直角坐标系中，点A1（1，0），A2（2，3），A3（3，8），A4（4，15），…，用你发现的规律确定点A n的坐标为．1.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，-1），P5（2，-1），P6（2，0）…，则P2020的坐标是2.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是1.点A在y轴正半轴上，OA＝a，点B位于第二象限，且点B到两坐标轴的距离均为b，其中a、b满足b＝++4．（1）a＝，b＝；（2）点C在x轴的负半轴上，射线CD∥AB．①如图1，过C作射线CE交y轴于点E，使∠DCE＝3∠ECO，过A作射线AF交CE于点F，使∠BAF＝3∠OAF，求∠AFE的度数；1.如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．（1）直接写出A、C两点的坐标．（2）如图2，点G是第二象限上的点，连OG，且OG∥AC，点F是线段AC上一点，满足∠AOG＝∠AOF．点E是射线OA上一动点，连CE交直线OF于点H，当点E在射线OA上运动的过程中，请确定∠OHC，∠ACE 和∠OEC的数量关系，并说明理由．平面直角坐标---动点和面积压轴1.如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．（1）直接写出A、C两点的坐标．（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时从O点出发，P点沿x轴正方向以2个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点以1个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点D（1，2）为线段AC上一点，设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使SDPC＝S三角形DQO，若存在，请求出t的值；三角形若不存在，请说明理由．。

平面直角坐标系讲义1、数轴2、有序数对有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对。

① 记作（a ，b ）；② 注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响。

【典型例题】如果用有序数对（3，2）表示课室里第3列第2排的座位，则位于第5列第4排的座位应记作（ ）A 、（4，5）B 、（5，4）C 、（5、4）D 、（4、5） 3、平面直角坐标系1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系， 用代数方法研究几何图形 ；2、构成坐标系的各种名称：如右图4.坐标系中常用的几个距离公式 ---“点求距”（1）如图，轴上的点M （0,y ）、N （x,0）到原点的距离： MO=|y|； NO=|x|.（2）如图，轴上两点M 、N 之间的距离：MN=|x1-x2|=x 大-x 小 , PQ=|y1-y2|=y 大-y 小 .（3）如图， 象限上的点M （x,y ）:到y 轴距离：dy=|x|； 到x 轴距离: dx=|y|；※22yx r +=到原点的距离：.（4）如图，平面上任意两点M （x2,y2）、N （x2,y2）之间的距离： .)()(221221y y x x d -+-=5．坐标系中点的平移：（1）点向右平移 <=> 横加正、纵不变； 点向左平移 <=> 横减正、纵不变； 点向上平移 <=> 纵加正、横不变； 点向下平移 <=> 纵减正、横不变；（21、已知点A （x ，A.原点 B.x2、已知点P （x ，A.原点 B.x3、已知点A （－3，2m+3）在x 轴上，点B （n-4，4）在y 轴上，则点C （m ，n ）在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4、如果点B （x －1，x ＋3）在y 轴上，那么x= （ ）A.1B.－1C.3D.－3 5、点P （m ＋3, m ＋1）在直角坐标系的x 轴上，则点P 坐标为 （ ）xyo M(x ,y)r xyoM (x ,y)N(x ,y)C(2)A．（0，－2） B．（ 2，0） C．（ 4，0） D．（0，－4）题型二：各个象限内点的特征各象限中的点的坐标特征:平面内一点P（x，y），如位于第一象限，则x>0，y>0；如位于第二象限，则x<0，y>0；如位于第三象限，则x<0，y<0；如位于第四象限，则x>0，y<0。