江苏省盐城市2020届高三年级三模数学试卷及答案
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邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数 学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题后,用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他标号.回答非选择题时,将写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合目要求的.1已知集合}2M=≤,{}23N x x −<<,则M N ∩=( )A. {}04x x ≤≤ B. {}24x x −<≤ C. {}03x x ≤< D. {}04x x ≤<2. 若复数(1)i2ia a z +−=+纯虚数,则实数=a ( )A. 2−B. 13− C. 13 D. 23. 已知向量(,2)a m = 与(2,4)b =−− 共线,则3a b −=( )A. (1,10)B. (5,10)C. (5,2)D. (1,2)4. 在632x x −的展开式中,21x 的系数为( )A. 192−B. 6−C. 6D. 1925. 已知等比数列{}n a 的各项互不相等,且14a ,312a ,23a 成等差数列,则2021202320202022a a a a −=−( ) A 1B. 2C. 3D. 46. 已知抛物线28y x =的焦点为F ,(,)P x y 为抛物线上一动点,点(6,3)A ,则PAF △周长的最小值为( ) A. 13B. 14C. 15D. 16.为.7. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数,(2)()f x f x +=,且()f x 在[1,0]−上单调递减,若()3log 45a f =,()5log 8b f =−,43c f=,则( ) A. a b c << B. a c b << C. c<a<bD. b<c<a8. 已知在四面体ABCD 中,AB BC CD DA BD ====,二面角A BD C −−的大小为π3,且点A ,B ,C ,D 都在球O 的球面上,M 为棱AC 上一点,N 为棱BD 的中点.若MO CN λ=,则λ=( ) A13B.49C.59D.23二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知双曲线22:163x y C λλ−=+−,则( )A. λ的取值范围是(6,3)−B. C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C. C 的焦距为6D. C 的离心率e 的取值范围为(1,3)10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”,与正多面体类似,它们也都是凸多面体,每个面都是正多边形,并且所有棱长也都相等,但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图,正八面体E ABCD F −−的棱长为3,取各条棱的三等分点,截去六个角后得到一种阿基米德多面体,则该阿基米德多面体( )A. 共有18个顶点B. 共有36条棱C.表面积为6+D.体积为11. 已知ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c)222a c b +−,则下列说法正确的是( ).A. cos cos A C 的取值范围是11,24−B. 若D 为边AC 中点,且1BD =,则ABCC. 若ABC 是锐角三角形,则a c 的取值范围是1,22D. 若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E,且BE =,则4a c +的最小值为10三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 写出一个(0)ωω>,使得函数π()sin 23f x x ω=+的图象关于点(1,0)对称,则ω可以为__________.13. 从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张,设这2张卡片上的数字之和为X ,则()E X =__________.14. 记min{,,}x y z 表示x ,y ,z 中最小的数.设0a >,0b >,则11min ,,3a b b a+的最大值为__________.四、解答题:本题共577分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知217S =,57n S n +是公差为12的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 16. 某民营学校为增强实力与影响力,大力招揽名师、建设校园硬件设施,近5年该校招生人数的数据如下表:年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y /千人0.811.31.72.2(1)由表中数据可看出,可用线性回归模型拟合y 与x 的关系,请用相关系数加以证明; (2)求y 关于x 的回归直线方程,并预测当年份序号为7时该校的招生人数.的参考数据:5124.5i ii x y==∑,()521 1.26i i y y =−=∑3.55≈. 参考公式:相关系数r =ˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==−−=−∑∑,ˆˆa y bx=−. 17. 在四棱锥P ABCD −中,平面PCD ⊥平面ABCD ,//AB CD ,AB BC ⊥,224AB BC CD ===,5PC =,E 为棱AB 的中点,且CE PE ⊥.(1)求四棱锥P ABCD −的高; (2)求二面角B PC E −−的正弦值.18. 已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b ab +=>>经过P,31,2Q − 两点. (1)求E 的方程;(2)若圆221x y +=的两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直,且直线12,l l 分别与E 相交于点A ,C 和B ,D ,求四边形ABCD 面积的最小值.19. 已知函数()2()e x f x x ax =−,a ∈R .(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程.(2)已知关于x 的方程2()e x f x ax =−恰有4个不同的实数根1234,,,x x x x ,其中1>0x ,20x >. (i )求a 的取值范围; (ii )求证:124x x +>.邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数 学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题后,用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他标号.回答非选择题时,将写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合目要求的.1.已知集合}2M=≤,{}23N x x −<<,则M N ∩=( )A. {}04x x ≤≤ B. {}24x x −<≤ C. {}03x x ≤< D. {}04x x ≤<【答案】C 【解析】【分析】化简集合M .详解】}{}204Mx x =≤=≤≤,{}23N x x −<<,所以{}03M N x x ∩=≤<.故选:C. 2. 若复数(1)i2ia a z +−=+为纯虚数,则实数=a ( )A. 2−B. 13− C. 13D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简z ,再利用复数的分类即可得解. 【详解】因为(1)i [(1)i](2i)312i 2i (2i)(2i)55a a a a a a z+−+−−−−==+++−, 又z 为纯虚数,所以31020a a −= −≠ ,解得13a =.故选:C.【3. 已知向量(,2)a m = 与(2,4)b =−− 共线,则3a b −=( )A. (1,10)B. (5,10)C. (5,2)D. (1,2)【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标公式建立方程,解得参数,结合向量的坐标运算,可得答案.【详解】因为//a b,所以(4)2(2)m −×=×−,解得1m =,所以33(1,2)(2,4)(5,10)a b −=−−−=. 故选:B.4. 在632x x −的展开式中,21x 的系数为( )A. 192−B. 6−C. 6D. 192【答案】A 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】632x x −的展开式的通项为()()()36184166C 22C r r r r r r rr T x x x −−−+=−=−, 令1842r −=−,得=5r , 所以21x 的系数为326192−×=−. 故选:A .5. 已知等比数列{}n a 的各项互不相等,且14a ,312a ,23a 成等差数列,则2021202320202022a a a a −=−( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q ≠±,根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程求出q ,即可得解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q ≠±,因为14a ,312a ,23a 成等差数列,所以12343a a a +=,即211143a a q a q +=,所以2340q q −−=,解得4q =或1q =−(舍去), 所以202120232020202220202022202020224a a a a q qq a a a a −−===−⋅⋅−.故选:D6. 已知抛物线28y x =的焦点为F ,(,)P x y 为抛物线上一动点,点(6,3)A ,则PAF △周长的最小值为( ) A. 13 B. 14C. 15D. 16【答案】A 【解析】【分析】过P 及A 作准线垂线,利用抛物线定义把周长问题转化为PQ PA AF ++的最小值问题,利用三点共线时距离和最小求解即可.【详解】由题知(2,0)F ,准线方程为2x =−.如图,过P 作准线的垂线,垂足为Q , 过A 作准线的垂线,垂足为B ,所以PAF △的周长||||||||||||||||8513PF PA AF PQ PA AF AB AF =++=++≥+=+=, 当P 为AB 与抛物线的交点P ′时等号成立,即PAF △周长的最小值为13.故选:A7. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数,(2)()f x f x +=,且()f x 在[1,0]−上单调递减,若()3log 45a f =,()5log 8b f =−,43c f =,则( )A. a b c <<B. a c b <<C. c<a<bD. b<c<a【答案】B的【解析】【分析】首先得()f x 在[1,2]上单调递减,进一步通过偶函数性质以及(2)()f x f x +=将自变量都转换到区间[1,2]内,然后比较分数指数幂以及对数的大小,结合函数单调性即可得解.【详解】因为()f x 是偶函数,(2)()f x f x +=,()f x 在[1,0]−上单调递减, 所以()f x 在[1,2]上单调递减.()()()333log 452log 5log 5a f f f ==+=,()()55log 8log 8b f f =−=,因为345125381>,3485125625<,所以4353>,4385<, 所以5341log 8log 523<<<<, 所以()()534log 8log 53f f f>>,故a c b <<. 故选:B.8. 已知在四面体ABCD 中,AB BC CD DA BD ====,二面角A BD C −−的大小为π3,且点A ,B ,C ,D 都在球O 的球面上,M 为棱AC 上一点,N 为棱BD 的中点.若MO CN λ=,则λ=( ) A.13B.49C.59D.23【答案】C 【解析】【分析】根据题意和几何关系,并在ACN △所在平面内建立平面直角坐标系,确定点,O M 的位置和坐标,即可求解.【详解】由题意知ABD △与BCD △均为等边三角形,连接AN ,CN ,则AN BD ⊥,CNBD ⊥,ANC ∠是二面角A BD C −−的平面角,所以π3ANC ∠=,又易知AN CN =,所以ACN △是等边三角形.设P 为BCD △的外心,Q 为CN 的中点,连接,,OP ON AQ ,则点O ,P ,Q 都在平面ACN 内,建立平面直角坐标系如图.设2AN NC AC ===,则23NP =,π6ONP ∠=,所以OP =又AQ =29OP AQ =,因为//MO CN ,易知29CM CA =,则23O ,169M ,从而109MO =,59OM CN λ==.故选:C【点睛】关键点点睛:本题的关键是结合几何关系,建立如图所示的平面直角坐标系,转化为平面几何问题.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得60分. 9. 已知双曲线22:163x y C λλ−=+−,则( )A. λ的取值范围是(6,3)−B. C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C. C 的焦距为6D. C 的离心率e 的取值范围为(1,3)【答案】AC 【解析】【分析】根据双曲线方程的特征,易于求得63λ−<<,判断方程中分母的符号即可判断A,B 项,计算易得C 项,先算出离心率的表达式,再根据λ的范围,即可确定e 的范围.【详解】对于A ,22163x y λλ−=+− 表示双曲线,(6)(3)0λλ∴+−>,解得63λ−<<,故A 正确;对于B ,由A 项可得63λ−<<,故60,30λλ+>−>,C ∴的焦点只能在x 轴上,故B 错误; 对于C ,设C 的半焦距为(0)c c >,则2639c λλ=++−=,3c ∴=,即焦距为26c =,故C 正确;对于D,离心率e =,63λ−<<,03∴<<,e ∴的取值范围是(1,)+∞,故D 错误. 故选:AC .10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”,与正多面体类似,它们也都是凸多面体,每个面都是正多边形,并且所有棱长也都相等,但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图,正八面体E ABCD F −−的棱长为3,取各条棱的三等分点,截去六个角后得到一种阿基米德多面体,则该阿基米德多面体( )A. 共有18个顶点B. 共有36条棱C.表面积为6+ D.体积为【答案】BD 【解析】式,可得答案.详解】由图可知该多面体有24个顶点,36条棱,故A 错误,B 正确; 该多面体的棱长为1,且表面由6个正方形和8个正六边形组成,故该多面体的表面积为1618611sin 6062×+×××××=+ ,故C 错误; 正八面体E ABCD F −−可分为两个全等的正四面体,其棱长为3, 过E 作EO ⊥平面ABCD 于O ,连接AO ,如下图:因为EO ⊥平面ABCD ,且OA ⊂平面ABCD ,所以OE OA ⊥,【正方形ABCD 中,由边长为3,则对角线长为,则OA =在Rt AOE △中,EO ,则2EF OE ==,正八面体E ABCD F −−的体积为2133××,切割掉6个棱长均为1的正四棱锥,减少的体积为21613××所以该阿基米德多面体的体积为,故D 正确. 故选:BD.11. 已知ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c )222a c b +−,则下列说法正确的是( )A. cos cos A C 的取值范围是11,24−B. 若D 为边AC 的中点,且1BD =,则ABCC. 若ABC 是锐角三角形,则a c 的取值范围是1,22D. 若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E ,且BE =,则4a c +的最小值为10 【答案】ABC 【解析】【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得π3B =,对A :借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数,借助正弦型函数的单调性即可得;对B :借助向量数量积公式与基本不等式即可得;对C :借助正弦定理可将其化为与角有关的函数,结合角度范围即可得解;对D :借助等面积法及基本不等式计算即可得.【详解】由题意知)2221sin 2Sac B a c b ==+−,整理得222sin a c b B +−,由余弦定理知2222cos a c b ac B =+−,tan B ∴,()0,πB ∈ ,π3B ∴=.对A ,22π1cos cos cos cos cos cos 32A C A A A A A =−=−1cos 21π12sin 24264A A A +−=−− ,2π0,3A ∈ ,ππ7π2,666A ∴−∈− ,π1sin 2,162A∴−∈− ,cos cos A C ∴的取值范围为11,24−,故A 正确;对B ,D 为边AC 的中点,2BD BC BA ∴=+, 则2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥,43ac ∴≤,当且仅当a c =时,等号成立,14sin 23ABC S ac B ∴==≤=△B 正确; 对于C,2πsin sin 13sin sin 2C a A c C C−===,ABC 是锐角三角形,ππ62C ∴<<,tan C ∞ ∴∈+,1,22a c ∴∈ ,故C 正确; 对于D ,由题意得ABE BCE ABC S S S +=△△△, 即1π1π1πsin sin sin 262623c BE a BE c a ××+××=××, 整理得a c ac +=,即111a c+=,1144(4)559c a a c a c a c a c∴+=++=++≥+=,当且仅当2a c =时,等号成立,故D 错误. 故选:ABC .【点睛】关键点点睛:本题考查三角形中的最值与范围问题,主要思考方向有两个,一个是借助余弦定理得到边之间的关系,从而通过基本不等式求解,一个是借助正弦定理将边化为角,通过三角形中角的关系将多个变量角化为单变量,借助函数性质得到范围或最值.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 写出一个(0)ωω>,使得函数π()sin 23f x x ω=+的图象关于点(1,0)对称,则ω可以为__________. 【答案】π3(答案不唯一) 【解析】【分析】利用正弦函数的对称性与周期性得到关于ω的方程,解之即可得解.【详解】因为π()sin 23f x x ω=+的图象关于点(1,0)对称, 所以πsin 203ω +=,则π2π(Z)3k k ω+=∈,故ππ(Z)26k k ω=−∈, 又0ω>,所以π3ω=,5π6,4π3,…..故答案为:π3(答案不唯一). 13. 从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张,设这2张卡片上的数字之和为X ,则()E X =__________. 【答案】8 【解析】【分析】由题意分析离散型随机变量X 的所有取值,求出概率分布列计算期望即可. 【详解】从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张卡片的所有10种结果中,()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,5,1,9,2,3,2,5,2,9,3,5,3,9,5,9,2张卡片上的数字之和分别为:3,4,5,6,7,8,10,11,12,14,(3)(4)(5)(6)(7)(8)1(10)(11)(12)(14)10P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X =================== 所以1()(34567810111214)810E X ×+++++++++. 故答案为:814. 记min{,,}x y z 表示x ,y ,z 中最小的数.设0a >,0b >,则11min ,,3a b b a+的最大值为__________.【答案】2 【解析】【分析】分a 是否大于1b 进行讨论,由此即可简化表达式,若1a b ≤,则可以得到1min ,32a b a+≤,并且存在2a =,12b =,使得1min ,32a b a +=,,同理1a b >时,我们可以证明11min ,,32a b b a+<,由此即可得解.【详解】若1a b ≤,则1ab ≤,此时111min ,,3min ,3a b a b b a a+=+, 因为13134a b ab a+=+≤,所以a 和13b a +中至少有一个小于等于2, 所以1min ,32a b a+≤,又当2a =,12b =时,1132a b b a ==+=,所以11min ,,3a b b a+的最大值为2.若1a b >,则1ab >,此时111min 3min ,3b b a b a+=+, 因为111334b b a ab+=+<,所以1b 和13b a +中至少有一个小于2, 所以11min ,,32a b b a+<.综上,11min ,,3a b b a+的最大值为2.故答案为:2.【点睛】关键点点睛:关键是分a 是否大于1b进行讨论,结合不等式的性质即可顺利得解. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知217S =,57n S n +是公差为12的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)51na n =+ (2)n T 6(56)nn =+【解析】【分析】(1)由题意首先得21527S =×+结合57n S n +是公差为12的等差数列可求得(57)2n n S n =+,根据,n n a S 之间的关系即可进一步求解;(2)首先得11155156n b n n=− ++,由裂项相消法即可求解.【小问1详解】因为217S =,所以21527S =×+,所以11(2)5722nS n n n =+−×=+,即(57)2n n S n =+. 当2n ≥时,11(57)(52)5122n n n n n a S S n n n −−=−=+−+=+, 又111(57)62a S ==+=适合上式, 所以51na n =+. 【小问2详解】1111(51)(56)55156nb n n n n==− ++++ ,故1111111561111165156nT n n=−+−++− ++1115656n−+ 6(56)n n =+. 16. 某民营学校为增强实力与影响力,大力招揽名师、建设校园硬件设施,近5年该校招生人数的数据如下表:年份序号x12345招生人数y /千人0.8 1 1.3 1.7 2.2(1)由表中数据可看出,可用线性回归模型拟合y 与x 的关系,请用相关系数加以证明; (2)求y 关于x 的回归直线方程,并预测当年份序号为7时该校的招生人数. 参考数据:5124.5i i i x y ==∑,()521 1.26i i y y =−=∑ 3.55≈. 参考公式:相关系数r =ˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==−−=−∑∑,ˆˆa y bx=−. 【答案】(1)证明见解析(2)ˆ0.350.35yx +,2.8千人.【解析】【分析】(1)求出,x y ,代入求出相关系数即可;(2)根据公式求出ˆb,再求出ˆa ,则得到回归直线方程,再代入数据预测即可. 【小问1详解】 由题意知1(12345)35x =++++=,1(0.81 1.3 1.7 2.2)1.45y =++++=,()5214101410ii x x =−=++++=∑,所以55 3.50.9863.55x yr =≈≈, 因为r 与1非常接近,故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. 【小问2详解】()515215 3.5ˆ0.3510i ii ii x y x ybx x ==−===−∑∑,ˆˆ 1.40.3530.35a y bx =−=−×=, 所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.350.35y x +.当7x =时,ˆ0.3570.35 2.8y=×+=, 由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人.17. 在四棱锥P ABCD −中,平面PCD ⊥平面ABCD ,//AB CD ,AB BC ⊥,224AB BC CD ===,5PC =,E 为棱AB 的中点,且CE PE ⊥.(1)求四棱锥P ABCD −的高; (2)求二面角B PC E −−的正弦值. 【答案】(1)3 (2【解析】【分析】(1)过A 作BC 的平行线,与CD 的延长线交于点O ,连接PO ,EO ,通过证明BC PO ⊥,CE PO ⊥来证明PO 为四棱锥P ABCD −的高,从而求解;(2)建立空间直角坐标系求解即可. 【小问1详解】如图,过A 作BC 的平行线,与CD 的延长线交于点O ,连接PO ,EO .//AB CD ,AB BC ⊥,∴BC CD ⊥,平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD 平面ABCDCD =,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥平面PCD ,PO ⊂平面PCD ,∴BC PO ⊥,//AB CD ,∴//AB CO , //AO BC ,AB BC ⊥,∴四边形ABCD 为矩形,∴4CO AB ==,E 为棱AB 的中点,∴CE OE ==,从而CE OE ⊥,又因为CE PE ⊥,PE OE E = ,OE ⊂平面PEO ,PE ⊂平面PEO ,∴CE ⊥平面PEO , PO ⊂平面PEO ,∴CE PO ⊥,BC CE C = ,BC ⊂平面ABCD ,CE ⊂平面ABCD ,∴PO ⊥平面ABCD .∴PO 为四棱锥P ABCD −的高,即3PO ,∴四棱锥P ABCD −的高为3;【小问2详解】由(1)知,OA ,OC ,OP 两两垂直,∴以O 为坐标原点,OA ,OC ,OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,3)P ,(2,4,0)B ,(0,4,0)C ,(2,2,0)E ,所以(2,0,0)CB = ,(0,4,3)PC =− ,(2,2,0)CE=− , 设(,,)m x y z =是平面PBC 的法向量,则430,20,m PC y z m CB x ⋅=−= ⋅== 可取(0,3,4)m = , 设(,,)n p q r =是平面PCE 的法向量,则430,220,n PC q r n CE p q ⋅=−= ⋅=−= 可取(3,3,4)n = ,所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==, 所以二面角B PC E −−.18. 已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b +=>>经过P,31,2Q − 两点. (1)求E 的方程;(2)若圆221x y +=两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直,且直线12,l l 分别与E 相交于点A ,C 和B ,D ,求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】(1)22143x y +=.(2)24049. 【解析】【分析】(1)依据椭圆经过两点,将点的坐标代入椭圆方程,待定系数法解方程即可;(2)设其中一条的斜截式方程,首先由直线与圆相切,得出直线的斜率与截距关系;再设而不求,用韦达定理表示出两条直线与椭圆相交的弦长,再利用条件知两弦垂直,故四边形ABCD 的面积1||||2SAC BD ⋅,利用弦长将面积表示成其中一条直线斜率的函数,利用函数求最值. 【小问1详解】因为E过点P ,31,2Q− , 所以2222231,2191,4a b a b += += 解得224,3.a b = = 故E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题知12,l l 的斜率存在且不为0.设1:(0)l y kx m k =+≠. 因为1l 与圆221x y +=1=,得221m k =+.联立1l 与E 的方程,可得()2223484120kxkmx m +++−=,的设()11,A x y ,()22,C x y ,则122834km x x k −+=+,212241234m x x k−=+.所以2AC x =−==将221m k =+代入,可得AC =.用1k−替换k,可得BD =四边形ABCD 的面积12S AC BD =⋅=. 令21t k =+,则(1,)t ∈+∞,可得S, 再令u=(1,)t ∈+∞,则52u ∈ ,可得2242424240652649625u S u u u ==≥=+++×,即四边形ABCD 面积的最小值为24049.19. 已知函数()2()e x f x x ax =−,a ∈R .(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程.(2)已知关于x 的方程2()e x f x ax =−恰有4个不同的实数根1234,,,x x x x ,其中1>0x ,20x >. (i )求a 的取值范围; (ii )求证:124x x +>. 【答案】(1)y x =(2)(i )2e ,4∞+;(ii )证明见解析【解析】【分析】(1)求出导数,继而可得切线斜率为在0x =的导数值,由(0)0f =,结合直线的点斜式,可求出切线方程;(2)(i )将问题转化为y a =与2(e )x g x x =有三个不同交点的问题,利用导数可求得2(e )x g x x=的单调性和最值,从而得到2(e )xg x x=的图象,采用数形结合的方式可确定的范围; (ii )设210x x >>,根据:121e x ax =,222e x ax =,采用取对数、两式作差整理的方式可得12122ln x x x x −=,通过分析法可知只需证()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x − − <=++即可,令12x t x =,(0,1)t ∈,构造函数2(1)()ln 1t h t t t −=−+,利用导数可求得()h t 单调性,从而得到()(1)0h t h <=,由此可证得结论. 【小问1详解】()22()e e 2(1)e 3x x x f x ax x ax x ax =−+−=+−′, 所以()0101f =′−=, 又(0)0f =,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =.【小问2详解】(i )由2()e x f x ax =−,得()2(1)e 0x x ax+−=,该方程有一根为1−,且0x ≠, 所以2e 0x ax −=即2e xa x=有3个不同的实数根,且这3个实数根均不为1−. 令2(e )xg x x =,则32())(e x x x xg −′=, 所以当(,0)x ∈−∞时,()0g x ′>,当(0,2)x ∈时,()0g x ′<,当(2,)x ∈+∞时,()0g x ′>,所以()g x 在(,0)−∞上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,)+∞上单调递增.又2e (2)4g =,且当x 无限趋近于−∞时,()0g x >且趋近于0, 当x 从0的左侧无限趋近于0时,()g x 趋近于+∞,当x 从0的右侧无限趋近于0时,()g x 趋近于+∞, 当x 无限趋近于+∞时,e x 的增速远大于2x 的增速,所以()g x 趋近于+∞.故()g x 的大致图象如图所示:又21e (1)e 4g −=<,所以当2e 4a >时,直线y a =与曲线()y g x =有3个不同的交点,且这3个交点的横坐标均不为1−,所以a 的取值范围为2e ,4∞ +.(ii )由(i )知121e x ax =,222e x ax =,所以11ln 2ln x a x =+,22ln 2ln x a x =+, 所以1121222ln 2ln 2ln x x x x x x −=−=,则12122ln x x x x −=, 要证124x x +>,只需证()1212122ln x x x x x x −+>, 不妨设210x x >>,所以1201x x <<,所以12ln 0x x <,则只需证()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x − − <=++. 令12x t x =,则(0,1)t ∈,令2(1)()ln 1t h t t t −=−+, 则当01t <<时,2222212(1)2(1)(1)4(1)()0(1)(1)(1)t t t t t h t t t t t t t +−−+−−′=−==>+++, 所以()h t (0,1)上单调递增,所以()(1)0h t h <=, 所以当(0,1)t ∈时,2(1)ln 1t t t −<+恒成立,所以原不等式124x x +>得证. 【点睛】思路点睛:本题考查利用导数求解函数在某点处切线方程、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解;本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量12x t x =,将问题转化为单变量问题,进而通过构造函数的方式证明关于t的不等式恒成立. 在。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题一、单选题1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<,则A B =U ( ) A .{|22}x x -<< B .{|24}x x -≤≤ C .{|22}x x -≤≤ D .{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知,集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<,所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选:B 【点睛】本题考查集合的并集运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.2.已知a 是实数,()11a a i -++是纯虚数,则复数z a i =+的模等于( )A .2B CD .1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =,则1z i =+,再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数,则实部为0,虚部不为0,即1a =,所以1z i =+,||z =故选:C 【点睛】本题考查复数模的计算,涉及到复数的相关概念,是一道容易题.3.某产品的宣传费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表所示:根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+,则宣传费用为3万元时销售额a 为( ) A .36.5 B .30C .33D .27【答案】D【解析】由题表先计算出x ,将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知,1(4235) 3.54x =+++=, 由回归方程过点(),x y ,故36.5y =, 即1(452450)36.54y a =+++=,解得27a =. 故选:D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用,回归方程一定过样本点的中心(,)x y ,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.4.已知在等差数列{}n a 中,34576, 11a a a a ++==,则1a =( ) A .3 B .7C .7-D .3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=,可得42,a =结合7 11a =,可得公差d ,再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质,得345436a a a a ++==, 所以42,a =公差7493743a a d -===-, 又4132a a d =+=,所以17a =-. 故选:C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算,考查学生的运算能力,是一道容易题.5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切,则实数m 的值为( ) A .8 B .7 C .6 D .5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-,再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知,抛物线的准线方程为1x =-,圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+,由1x =-与圆相切,所以圆心到直线的距离()314d =--==, 解得7m =. 故选:B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义,涉及到直线与圆的位置关系,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.6.已知平面向量a r ,b r满足a =r ,||3b =r ,(2)a a b ⊥-r r r ,则23a b -r r ( )A .BC .4D .5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r,可得2a b ⋅=r r,将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ,且(2)0a a b ⋅-=r r r,即220a a b -⋅=r r r,所以420a b -⋅=r r, 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选:A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模,考查学生的数学运算能力,是一道容易题. 7.已知定义在R 上的函数()y f x =,对于任意的R x ∈,总有()()123f x f x -++=成立,则函数()y f x =的图象( ) A .关于点()1,2对称 B .关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C .关于点()3,3对称 D .关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点,A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上,再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点,A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上,则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-,所以有23,320b a =-=,解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选:B 【点睛】本题考查函数图象的对称性,考查学生的逻辑推理能力,当然也可以作一个示意图得到,是一道中档题.8.某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 A .8号学生 B .200号学生C .616号学生D .815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想,逐个选项判断得出答案. 【详解】详解:由已知将1000名学生分成100个组,每组10名学生,用系统抽样,46号学生被抽到,所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ,公差10d =,所以610n a n=+()n *∈N ,若8610n =+,则15n =,不合题意;若200610n =+,则19.4n =,不合题意; 若616610n =+,则61n =,符合题意;若815610n =+,则80.9n =,不合题意.故选C . 【点睛】本题主要考查系统抽样.9.函数||4x e y x=的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ;由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =,定义域为{|0}x x ≠,||()()4x e f x f x x-=-=-,所以()f x 为奇函数,故排除选项B ;又(1)14e f =<,排除选项A ;3(3)112e f =>,排除选项D.故选:C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题,涉及到函数的性质,此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手,是一道容易题.10.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A .163πB .3π C .29π D .169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形,高是4的圆锥体,再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知:该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形,高是4的圆锥体, 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=,所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选:D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算,考查学生的空间想象能力、数学运算能力,是一道中档题.11.已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点,||AB 的最小值为2π,再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度,所得图象对应的函数为()g x ,则()g x =( ) A .2sin 2x - B .2sin2xC .2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D .2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭,由min ||2AB π=可得T π=,2ω=,再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=,解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度, 所得图象对应的函数为()g x , 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选:A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,涉及到辅助角公式、诱导公式的应用,考查学生的逻辑推理能力,是一道中档题.12.如图所示,在棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,边长为2,22PD PA PC ===,.在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为( )A .2B 21C .2D 21【答案】D【解析】由题意,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S ,连接SD ,SA SB SC SP 、、、,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R ,求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -,利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯,计算即可. 【详解】由已知,22PD AD PA ===,,所以222PD AD PA +=,所以PD AD ⊥,同理PD CD ⊥,又CD AD D =I ,所以PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥,又AB AD ⊥,PD AD D ⋂=,所以AB ⊥平面PAD ,所以PA AB ⊥,设此球半径为R ,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S ,连接SD,SA SB SC SP、、、,则把此四棱锥分为五个棱锥,它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W,四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W,因为13P ABCDV S-=⨯R⨯,所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选:D【点睛】本题考查几何体内切球的问题,考查学生空间想象能力、转化与化归的能力,是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13.设实数x,y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩,则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域,344zy x=-,易知截距越小,z越大,【详解】根据实数x,y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩,画出可行域,如图,平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-,易知截距越小,z 越大,平移直线34y x =,可知当目标函数经过点A 时取得最大值,由11y y x =-⎧⎨=--⎩,解得()0,1A -,所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为:4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用,考查学生数形结合的思想,是一道容易题.14.曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-,'()4xf x e =+,所以'0(0)45f e =+=,所以切线方程为()25y --=()0x -,即5 2.y x =- 故答案为:52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.15.已知数列{}n a 满足:11a =,12nn n a a +=+,则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式,再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知,12nn n a a +-=,当2n ≥时,()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--,又11a =满足上式,所以21nn a =-,()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为:122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和,考查学生的运算求解能力,是一道中档题.16.已知双曲线22221x y a b-=(0b a >>)的左、右焦点分别是1F 、2F ,P 为双曲线左支上任意一点,当1222PF PF 最大值为14a时,该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++,1PF c a ≥-,分2c a a -≤,2a c a ≥-两种情况讨论,要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知,11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++,因为1PF c a ≥-,当2c a a -≤时,21121444a a PF a PF ≤=++,当且仅当12PF a =时,1222PF PF 取最大值14a, 由2a c a ≥-,所以3e ≤;当2c a a ->时,1222PF PF 的最大值小于14a,所以不合题意.因为b a >,所以22211b e a=->,所以2e >,所以2 3.e <≤故答案为:(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题,涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式,考查学生的逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.三、解答题17.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析,得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二(1)若成绩不低于80分为“达标”,估计高一年级知识竞赛的达标率;(2)在抽取的学生中,从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生,代表学校外出参加比赛,求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】(1)0.85;(2)715【解析】(1)利用1减去[)75,80的概率即可得到答案;(2)高一年级成绩为[]95,100的有4人,记为1234, , , A A A A ,高二年级成绩为[]95,100的有2名,记为12,B B ,然后利用列举法即可.【详解】(1)高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.(2)高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=(名),记为1234, , , A A A A , 高二年级成绩为[]95,100的有2名,记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ,共15种;其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ,共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算,涉及到频率分布直方图和频数分布表,考查学生简单的数学运算,是一道容易题.18.在ABC V 中,角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、,且2B A C =+,b =. (1)若3sin 4sin C A =,求c 的值; (2)求a c +的最大值【答案】(1)4;(2)【解析】(1)由已知,易得3B π=,由正弦定理可得34c a =,再由角B 的余弦定理即可得到答案;(2)正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===,所以,a A c C ==,sin )a c A C +=+,再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭,即可得到最大值.【详解】(1)因为2B A C =+, 又A B C π++=,得3B π=.又3sin 4sin C A =,由正弦定理得34c a =,即34a c =, 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-,得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭,解得4c =或4c =-(舍).(2)由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===,,a A c C ∴==,sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由203A π<<,得5666A πππ<+=,当62A ππ+=,即3A π=时,max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用,考查学生的数学运算求解能力,是一道容易题. 19.在菱形ABCD 中,,3ADC AB a π∠==,O 为线段CD 的中点(如图1).将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置,使得平面'AOD ⊥平面ABCO ,M 为线段'BD 的中点(如图2).(Ⅰ)求证:'OD BC ⊥; (Ⅱ)求证:CM ∥平面'AOD ; (Ⅲ)当四棱锥'D ABCO -的体积为32时,求a 的值. 【答案】(Ⅰ)见解析. (Ⅱ)见解析. (Ⅲ) 2a =.【解析】(Ⅰ)证明OD '⊥AO . 推出OD '⊥平面ABCO . 然后证明OD '⊥BC .(Ⅱ)取P 为线段AD '的中点,连接OP ,PM ;证明四边形OCMP 为平行四边形,然后证明CM ∥平面AOD ';(Ⅲ)说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高.通过体积公式求解即可. 【详解】(Ⅰ)证明:因为在菱形ABCD 中,3ADC π∠=,O 为线段CD 的中点,所以'OD AO ⊥. 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =,'OD ⊂平面'AOD ,所以'OD ⊥平面ABCO . 因为BC ⊂平面ABCO ,所以'OD BC ⊥. (Ⅱ)证明:如图,取P 为线段'AD 的中点,连接OP,PM ; 因为在'ABD ∆中,P ,M 分别是线段'AD ,'BD 的中点, 所以//PM AB ,12PM AB =. 因为O 是线段CD 的中点,菱形ABCD 中,AB DC a ==,//AB DC , 所以122a OC CD ==. 所以OC //AB ,12OC AB =. 所以//PM OC ,PM OC =.所以四边形OCMP 为平行四边形, 所以//CM OP ,因为CM ⊄平面'AOD ,OP ⊂平面'AOD ,所以//CM 平面'AOD ;(Ⅲ)由(Ⅰ)知'OD ⊥平面ABCO .所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高,又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==, 所以2a =. 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,过右焦点F 作与x 轴垂直的直线,与椭圆的交点到x 轴的距离为32. (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点(A B 、不在x 轴上),若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r,求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】(1)22143x y +=;(2)3. 【解析】(1)由12c a =,232b a =结合222a bc =+解方程组即可;(2)设':1l x ty =+,联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系,因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r,可得四边形AOBE为平行四边形,12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =, Q 直线经过右焦点,2222231,||2c y b y a b a ∴+===, 又222a b c =+Q,2,1a b c ∴===,故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点(A B 、不在x 轴上), ∴设':1l x ty =+,由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22(34)690t y ty ++-=,设()()1122,,,A x y B x y ,则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ,∴四边形AOBE 为平行四边形,122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥, 得2621313m S m m m==++,由对勾函数的单调性易得当1m =,即0t =时,max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题,考查学生的逻辑推理能力,是一道中档题.21.设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ,证明:()g a 1<.【答案】(I )()f x 在(0,)a 上单调递减,在(,)a +∞上单调递增;(II )详见解析. 【解析】(I )对函数()f x 求导,解导函数所对应的不等式即可求出结果; (II )由(I )先得到()g a ,要证()1g a <,即证明1ln 1a a a a--<,即证明2111ln a a a--<, 构造函数()211ln 1h a a a a=++-,用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】(Ⅰ)显然()f x 的定义域为()0,+∞.()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=. ∵220x +>,0x >,∴若()0,x a ∈,0x a -<,此时()0f x '<,()f x 在()0,a 上单调递减; 若(),x a ∈+∞,0x a ->,此时()0f x '>,()f x 在(),a +∞上单调递增; 综上所述:()f x 在()0,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:()()min 1ln f x f a a a a a==--, 即:()1ln g a a a a a=--. 要证()1g a <,即证明1ln 1a a a a --<,即证明2111ln a a a--<, 令()211ln 1h a a a a =++-,则只需证明()211ln 10h a a a a=++->,∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==,且0a >, ∴当()0,2a ∈,20a -<,此时()0h a '<,()h a 在()0,2上单调递减; 当()2,a ∈+∞,20a ->,此时()0h a '>,()h a 在()2,+∞上单调递增, ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->.∴()211ln 10h a a a a=++->.∴()1g a <. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的单调性,最值等,属于常考题型.22.在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>,直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩,(t 为参数).直线l 与曲线C 交于M N ,两点.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.(2)设()2,1P --,若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 和的||MN 值.【答案】(1)22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>,10x y -+=;(2)10.【解析】(1)利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决;(2)将直线参数方程标准化,联立抛物线方程得到根与系数的关系,再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】(1)曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>,两边同时乘以ρ,可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>,化简得24(0)x ay a =>;直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩(t 为参数),消去参数t ,可得1x y -=-,即10x y -+=.(2)直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩('t 为参数),代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=, 设M N ,两点对应的参数为''12, t t ,由韦达定理可得''121)t t a +=+,''128(1)0t t a ⋅=+>, 由题意得2||||||MN PM PN =⋅,即2''''1212t t t t -=⋅, 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅, 即232(1)40(1)a a +=+,0a >,解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭,||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用,涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化,以及直线参数方程的几何意义求距离的问题,是一道容易题. 23.已知函数()|||2|f x x a x =-++. (1)当1a =时,求不等式()3f x ≤的解集; (2)()00,50x f x ∃∈-≥R ,求实数a 的取值范围. 【答案】(1){|21}x x-#;(2)[7,3]-【解析】(1)当1a =时,()|1||2|f x x x =-++,分2x -≤,21x -<<,1x ≥三种情况讨论即可;(2)()00,50x f x ∃∈-≥R ,则()min 5f x ≥,只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】(1)当1a =时,()|1||2|f x x x =-++,①当2x -≤时,()21f x x =-- ,令()3f x ≤,即213x --≤,解得2x ≥-,所以2x =-, ②当21x -<<时,()3f x =,显然()3f x ≤成立,21x ∴-<<,③当1x ≥时,()21f x x =+,令()3f x ≤,即213x +≤,解得1x ≤,所以1x =. 综上所述,不等式的解集为{|21}x x-#.(2)0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …,有()050f x -…成立,∴要使()05f x ≥有解,只需|2|5a +≤,解得73a ≤≤-, ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.。
南京市2020届高三年级第三次模拟考试数 学注意事项:1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡...上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置....上) 1.已知集合A ={x |2<x <4},B ={x |1<x <3},则A ∪B = ▲ . 2.若z =a 1+i+i (i 是虚数单位)是实数,则实数a 的值为 ▲ .3.某校共有教师300人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本,则从男学生中抽取的人数为 ▲ . 4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 ▲ .5.将甲、乙、丙三人随机排成一行,则甲、乙两人相邻的概率为 ▲ .6.已知函数f (x )=2sin(ωx +φ) (其中ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,则f (π2)的值为▲ .7.已知数列{a n }为等比数列.若a 1=2,且a 1,a 2,a 3-2成等差数列,则{a n }的前n 项和为 ▲ .8.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F .若以F 为圆心,a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ,B 两点,且AB =2b ,则该双曲线的离心率为 ▲ .9.若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则三棱锥A -B 1CD 1的体积为 ▲ .(第6题图)10.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +2, x ≤0,f (-x ),x >0,g (x )=f (x -2).若g (x -1)≥1,则x 的取值范围为 ▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中,A ,B 是圆O :x 2+y 2=2上两个动点,且OA →⊥OB →.若A ,B 两点到直线l :3x +4y -10=0的距离分别为d 1,d 2,则d 1+d 2的最大值为 ▲ . 12.若对任意a ∈[e ,+∞) (e 为自然对数的底数) ,不等式x ≤e ax+b对任意x ∈R 恒成立,则实数b 的取值范围为 ▲ .13.已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内,满足AP →=λAB →+μAC →,且2λ+3μ=1,延长AP 交边BC 于点D .若BD =2DC ,则PA →·PB →的值为 ▲ .14.在△ABC 中,∠A =π3,D 是BC 的中点.若AD ≤22BC ,则sin B sin C 的最大值为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域....内. 15.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA ⊥PD ,E ,F 分别为AD ,PB 的中点. 求证:(1)EF ∥平面PCD ;(2)平面PAB ⊥平面PCD .16.(本小题满分14分)已知向量m =(cos x ,sin x ),n =(cos x ,-sin x ),函数f (x )=m ·n +12.(1)若f (x 2)=1,x ∈(0,π),求tan(x +π4)的值;(2)若f (α)=-110, α∈(π2,3π4),sin β=7210,β∈(0,π2),求2α+β的值.FEPBDCA(第15题图)17.(本小题满分14分)如图,港口A 在港口O 的正东100海里处,在北偏东方向有一条直线航道OD ,航道和正东方向之间有一片以B 为圆心,半径85海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险),其中OB =2013海里,tan ∠AOB =23,cos ∠AOD =55.现一艘科考船以105海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶,经过2个小时后,一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发,并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发,判断快艇是否有触礁的危险,并说明理由; (2)在无触礁危险的情况下,若快艇再等x 小时出发,求x 的最小值.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点 (-2,0)和 (1,32),椭圆C 上三点A ,M ,B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO . (1)求椭圆C 的方程;(2)若点B 是椭圆C 的左顶点,求点M 的坐标; (3)若A ,M ,B ,O 四点共圆,求直线AB 的斜率.(第18题图)19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=e xx2-ax+a(a∈R) ,其中e为自然对数的底数.(1)若a=1,求函数f(x)的单调减区间;(2)若函数f(x)的定义域为R,且f(2)>f(a),求a的取值范围;(3)证明:对任意a∈(2,4),曲线y=f(x)上有且仅有三个不同的点,在这三点处的切线经过坐标原点.20.(本小题满分16分)若数列{a n}满足n≥2,n∈N*时,a n≠0,则称数列{a na n+1}(n∈N*)为{a n}的“L数列”.(1)若a1=1,且{a n}的“L数列”为{12n},求数列{a n}的通项公式;(2)若a n=n+k-3(k>0),且{a n}的“L数列”为递增数列,求k的取值范围;(3)若a n=1+p n-1,其中p>1,记{a n}的“L数列”的前n项和为S n,试判断是否存在等差数列{c n},对任意n∈N*,都有c n<S n<c n+1成立,并证明你的结论.南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项:1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共40分,考试时间30分钟.3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题..卡.上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 21.【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷..卡指定区域内......作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—2:矩阵与变换已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -1a 0,a ∈R .若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0,-2).(1)求矩阵A ;(2)求点Q (0,3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q ′的坐标.B .选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =1+cos θ,y =sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =3t ,y =1+t (t 为参数),求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.C .选修4—5:不等式选讲已知a ,b 为非负实数,求证:a 3+b 3≥ab (a 2+b 2).【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内........作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,B 1C ⊥AC 1. (1)求AA 1的长.(2)试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ,使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B -A 1C -A 的大小相等,并说明理由.23.(本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下:抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球,最多取球2n +1(n ∈N *)次.若取出白球的累计次数达到n +1时,则终止取球且获奖,其它情况均不获奖.记获奖概率为P n . (1)求P 1;(2)证明:P n +1<P n .(第22题图)A 1CABB 1C 1P南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明:1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.{x |1<x <4} 2.2 3.60 4.10 5.236. 37.2n +1-2 8.62 9.8310.[2,4] 11.6 12. [-2,+∞)13.-9414.38二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)证明:(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG .在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF =12BC .因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,所以DE ∥BC ,DE =12BC , ······························································ 2分所以GF ∥DE ,GF =DE ,所以四边形DEFG 为平行四边形, 所以EF ∥DG . ············································································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ,DG ⊂平面PCD ,所以EF ∥平面PCD . ······································································ 6分(2)因为底面ABCD 为矩形,所以CD ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD =AD ,CD ⊂平面ABCD , 所以CD ⊥平面PAD . ·································································· 10分 因为PA ⊂平面PAD ,所以CD ⊥PA . ················································· 12分 又因为PA ⊥PD ,PD ⊂平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,PD ∩CD =D ,所以PA ⊥平面PCD .因为PA ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PCD . ································ 14分16.(本小题满分14分)解:(1) 因为向量m =(cos x ,sin x ),n =(cos x ,-sin x ),所以 f (x )=m ·n +12=cos 2x -sin 2x +12=cos2x +12. ··································· 2分因为f (x 2)=1,所以cos x +12=1,即cos x =12.又因为x ∈(0,π) ,所以x =π3, ························································· 4分所以tan(x +π4)=tan(π3+π4)=tan π3+ tan π41-tan π3tanπ4=-2-3. ······························· 6分(2)若f (α)=-110,则cos2α+12=-110,即cos2α=-35.因为α∈(π2,3π4),所以2α∈(π,3π2),所以sin2α=-1-cos 22α=-45. ········ 8分因为sin β=7210,β∈(0,π2),所以cos β=1-sin 2β=210, ······················ 10分所以cos(2α+β)=cos2αcos β-sin2αsin β=(-35)×210-(-45)×7210=22. ····· 12分又因为2α∈(π,3π2),β∈(0,π2),所以2α+β∈(π,2π),所以2α+β的值为7π4. ····································································· 14分17.(本小题满分14分)解:如图,以O 为原点,正东方向为x 轴,正北方向为y 轴,建立直角坐标系xOy . 因为OB =2013,tan ∠AOB =23,OA =100,所以点B (60,40),且A (100,0). ··············································(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C , 则OC =105(t +2),AC =50t .因为OA =100,cos ∠AOD =55, 所以AC 2=OA 2+OC 2-2OA ·OC ·cos ∠AOD , 即(50t )2=1002+[105(t +2)]2-2×100×105(t +2)×55.化得t 2=4,解得t 1=2,t 2=-2(舍去), ··············································· 4分 所以OC =405.因为cos ∠AOD =55,所以sin ∠AOD =255,所以C (40,80),所以直线AC 的方程为y =-43(x -100),即4x +3y -400=0. ······················· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d =|4×60+3×40-400|42+32=8,而圆B 的半径r =85,所以d <r ,此时直线AC 与圆B 相交,所以快艇有触礁的危险.答:若快艇立即出发有触礁的危险. ······················································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切,且与科考船相遇于点E . 设直线AE 的方程为y =k (x -100),即kx -y -100k =0.因为直线AE 与圆B 相切,所以圆心B 到直线AC 的距离d =|60k -40-100k |12+k2=85, 即2k 2+5k +2=0,解得k =-2或k =-12. ············································ 10分由(1)可知k =-12舍去.因为cos ∠AOD =55,所以tan ∠AOD =2,所以直线OD 的方程为y =2x . 由⎩⎨⎧y =2x , y =-2(x -100),解得⎩⎨⎧x =50,y =100,所以E (50,100),所以AE =505,OE =505, ······························································ 12分此时两船的时间差为505105-50550=5-5,所以x ≥5-5-2=3-5.答:x 的最小值为(3-5)小时. ···························································· 14分18.(本小题满分16分)解:(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(-2,0)和 (1,32),所以a =2,1a 2+34b2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. ·························································· 2分(2)因为B 为左顶点,所以B (-2,0).因为四边形AMBO 为平行四边形,所以AM ∥BO ,且AM =BO =2. ··········· 4分 设点M (x 0,y 0),则A (x 0+2,y 0).因为点M ,A 在椭圆C 上,所以⎩⎨⎧x 024+y 02=1, (x 0+2)24+y 02=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-1, y 0=±32,所以M (-1,±32). ········································································ 6分 (3) 因为直线AB 的斜率存在,所以设直线AB 的方程为y =kx +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 2=1,消去y ,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0, 则有x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2. ···················································· 8分因为平行四边形AMBO ,所以OM →=OA →+OB →=(x 1+x 2,y 1+y 2).因为x 1+x 2=-8km 1+4k 2,所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =k ·-8km 1+4k 2+2m =2m1+4k 2, 所以M (-8km 1+4k 2,2m1+4k 2). ································································· 10分因为点M 在椭圆C 上,所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程,化得4m 2=4k 2+1.① ········································································ 12分 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB , 所以OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=0.因为y 1y 2=(kx 1+m )(kx 1+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=m 2-4 k 21+4k 2,所以x 1x 2+y 1y 2=4m 2-41+4k 2+m 2-4k 21+4k 2=0,化得5m 2=4k 2+4.② ················· 14分 由①②解得k 2=114,m 2=3,此时△>0,因此k =±112.所以所求直线AB 的斜率为±112. ···················································· 16分 19. (本小题满分16分)解:(1)当a =1时,f (x )=e xx 2-x +1,所以函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=e x (x -1)(x -2)(x 2-x +1)2.令f'(x )<0,解得1<x <2,所以函数f (x )的单调减区间为(1,2). ··················································· 2分(2)由函数f (x )的定义域为R ,得x 2-ax +a ≠0恒成立,所以a 2-4a <0,解得0<a <4. ·························································· 4分 方法1由f (x )=e x x 2-ax +a ,得f'(x )=e x (x -a )(x -2)(x 2-ax +a )2. ①当a =2时,f (2)=f (a ),不符题意.②当0<a <2时,因为当a <x <2时,f ′(x )<0,所以f (x )在(a ,2)上单调递减,所以f (a )>f (2),不符题意. ···························································· 6分 ③当2<a <4时,因为当2<x <a 时,f ′(x )<0,所以f (x )在(2,a )上单调递减,所以f (a )<f (2),满足题意.综上,a 的取值范围为(2,4). ························································· 8分 方法2由f (2)>f (a ),得e 24-a >e a a. 因为0<a <4,所以不等式可化为e 2>e a a(4-a ). 设函数g (x )=e x x(4-x )-e 2, 0<x <4. ·················································· 6分 因为g'(x )=e x·-(x -2)2x 2≤0恒成立,所以g (x )在(0,4)上单调递减. 又因为g (2)=0,所以g (x )<0的解集为(2,4).所以,a 的取值范围为(2,4). ··························································· 8分(3)证明:设切点为(x 0,f (x 0)),则f'(x 0)=e x 0(x 0-2)(x 0-a )(x 02-ax 0+a )2, 所以切线方程为y -e x 0x 02-ax 0+a =e x 0(x 0-2)(x 0-a )(x 02-ax 0+a )2×(x -x 0). 由0-e x 0x 02-ax 0+a =e x 0(x 0-2)(x 0-a )(x 02-ax 0+a )2×(0-x 0), 化简得x 03-(a +3)x 02+3ax 0-a =0. ··················································· 10分 设h (x )=x 3-(a +3)x 2+3ax -a ,a ∈(2,4),则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点.由(2)可知a ∈(2,4)时,函数h (x )的定义域为R ,h'(x )=3x 2-2(a +3)x +3a .因为△=4(a +3)2-36a =4(a -32)2+27>0恒成立, 所以h'(x )=0有两不相等的实数根x 1和x 2,不妨x 1<x 2.因为所以函数h (x )最多有三个零点. ························································ 12分 因为a ∈(2,4),所以h (0)=-a <0,h (1)=a -2>0,h (2)=a -4<0,h (5)=50-11a >0, 所以h (0)h (1)<0,h (1)h (2)<0,h (2)h (5)<0.因为函数的图象不间断,所以函数h (x )在(0,1),(1,2),(2,5)上分别至少有一个零点.综上所述,函数h (x )有且仅有三个零点. ············································ 16分20.(本小题满分16分)解:(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n },所以a n a n +1=12n ,n ∈N *,即a n +1a n =2n , 所以n ≥2时,a n =a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 2a 1·a 1=2n -1·2n -2·…·2·1=2(n -1)+(n -2)+…+1=2n (n -1)2. 又a 1=1符合上式,所以{a n }的通项公式为a n =2n (n -1)2,n ∈N *. ··················· 2分(2)因为a n =n +k -3(k >0),且n ≥2,n ∈N *时,a n ≠0,所以k ≠1.方法1设b n =a n a n +1,n ∈N *,所以b n =n +k -3(n +1)+k -3=1-1n +k -2. 因为{b n }为递增数列,所以b n +1-b n >0对n ∈N*恒成立,即1n +k -2-1n +k -1>0对n ∈N*恒成立. ············································· 4分 因为1n +k -2-1n +k -1=1(n +k -2)(n +k -1), 所以1n +k -2-1n +k -1>0等价于(n +k -2)(n +k -1)>0. 当0<k <1时,因为n =1时,(n +k -2)(n +k -1)<0,不符合题意.············ 6分 当k >1时,n +k -1>n +k -2>0,所以(n +k -2)(n +k -1)>0,综上,k 的取值范围是(1,+∞). ························································· 8分方法2令f (x )=1-1x +k -2,所以f (x )在区间(-∞,2-k )和区间(2-k ,+∞)上单调递增. 当0<k <1时,f (1)=1-1k -1>1,f (2)=1-1k <1,所以b 2<b 1,不符合题意. ···················· 6分 当k >1时,因为2-k <1,所以f (x )在[1,+∞)上单调递增,所以{b n }单调递增,符合题意.综上,k 的取值范围是(1,+∞). ························································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n },证明如下:因为a k a k +1=1+p k -11+p k =1p +1-1p 1+p k ,k ∈N*, ············································· 10分 所以S n =n p +(1-1p )·(11+p +11+p 2+…+11+p n -1+11+p n). 又因为p >1,所以1-1p >0,所以n p <S n <n p +(1-1p ).(1p +1p 2+ (1)n -1+1p n ), 即n p <S n <n p +1p ·[1-(1p)n ]. ································································· 14分 因为1p ·[1-(1p )n ]<1p ,所以n p <S n <n +1p. 设c n =n p ,则c n +1-c n =n +1p -n p =1p,且c n <S n <c n +1, 所以存在等差数列{c n }满足题意. ······················································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明:1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,填空题不给中间分数.21.【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷..纸.指定区域内.....作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—2:矩阵与变换解:(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a . ··································································· 2分 因为点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0,-2),所以a =-2,所以A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -1-2 0. ········································································· 4分 (2)因为A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -1-2 0,所以A 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -1-2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -1-2 0=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 -1-2 2, ·············· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 -1-2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-36, 所以,点Q ′的坐标为(-3,6). ························································ 10分B .选修4—4:坐标系与参数方程解:由l 的参数方程⎩⎨⎧x =3t ,y =1+t(t 为参数)得直线l 方程为x -3y +3=0. ············· 2分 曲线C 上的点到直线l 的距离d =|1+cos θ- 3 sin θ+3|2······························· 4分 =|2cos(θ+π3)+1+3|2. ········································································ 6分 当θ+π3=2k π,即θ=-π3+2k π(k ∈Z )时, ··················································· 8分曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3+32. ········································ 10分 C .选修4—5:不等式选讲证明:因为a ,b 为非负实数, 所以a 3+b 3-ab (a 2+b 2)=a 2a (a -b )+b 2b (b -a )=(a -b )[(a )5-(b )5]. ·································· 4分 若a ≥b 时,a ≥b ,从而(a )5≥(b )5,得(a -b )·[(a )5-(b )5]≥0. ···························································· 6分 若a <b 时,a <b ,从而(a )5<(b )5,得(a -b )·[(a )5-(b )5]>0. ···························································· 8分 综上,a 3+b 3≥ab (a 2+b 2). ····························································· 10分22.(本小题满分10分)解:(1)因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱,所以AA 1⊥平面ABC ,所以AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC .又AB ⊥AC ,所以以{AB →,AC →,AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz .设AA 1=t (t >0),又AB =3,AC =4,则A (0,0,0),C 1(0,4,t ),B 1(3,0,t ),C (0,4,0), 所以AC 1→=(0,4,t ),B 1C →=(-3,4,-t ). ·············································· 2分因为B 1C ⊥AC 1,所以B 1C →·AC 1→=0,即16-t 2=0,解得t =4,所以AA 1的长为4. ·············································································· 4分(2)由(1)知B (3,0,0),C (0,4,0),A 1(0,0,4),所以A 1C →=(0,4,-4),BC →=(-3,4,0).设n =(x ,y ,z )为平面A 1CB 的法向量,则n ·A 1C →=0,n ·BC →=0,即⎩⎨⎧4y -4z =0,-3x +4y =0.取y =3,解得z =3,x =4,所以n =(4,3,3)为平面A 1CB 的一个法向量.又因为AB ⊥面AA 1C 1C ,所以AB →=(3,0,0)为平面A 1CA 的一个法向量,。
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷(人教A 版(2019))期末测试卷(二)(满分:150分,测试时间:120分钟)一、单选题1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =A .–4B .–2C .2D .42.【2020·广东省高三月考(文)】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A .10ln 1x x x ∃≤≥-,B .10ln 1x x x ∃≤<-,C .10ln 1x x x∃>≥-,D .10ln 1x x x∃><-,.3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是A .1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .(],0-∞C .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数()f x 的定义域为[0,2],则()()21f xg x x =-的定义域为A .[)(]0,11,2B .[)(]0,11,4C .[)0,1D .(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像,只需将函数cos2y x =的图象()A .向左平移4π个单位,再向上平移1个单位B .向右平移4π个单位,再向上平移1个单位C .向左平移2π个单位,再向下平移1个单位D .向右平移2π个单位,再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,则(4)f =A .16B .8C .4D .27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=,则sin cos cos 2θθθ=()A .3B .﹣3C .38D .38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示,则函数log ()a y x b =-的图象可能A .B .C .D .9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A .1.2天B .1.8天C .2.5天D .3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--,则不等式()0f x >的解集是A .(1,1)-B .(,1)(1,)-∞-+∞C .(0,1)D .(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ,则A .ln(y −x +1)>0B .ln(y −x +1)<0C .ln|x −y |>0D .ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点,则k 的取值范围是A .1(,))2-∞-+∞ B .1(,)(0,2-∞-C .(,0)-∞D .(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________.14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23,则sin 2α的值是____________.15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩,若()()2f a f a =+,则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++,(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①.函数的一条对称轴为6x π=②.函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③.0(0,3π)x ∃∈,使0()1f x =-④.∃∈R a ,使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三.解答题17.(本题满分10分)已知0a >,0b >.(1)求证:()2232a b b a b +≥+;(2)若2a b ab +=,求ab 的最小值.18.(本题满分12分)已知集合,2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭,{|3221}B x a x a =-<<+.(1)当0a =时,求A B ;(2)若A B φ⋂=,求a 的取值范围.19.(本题满分12分)已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-,x ∈R .(1)求函数()f x 的最大值,并写出相应的x 的取值集合;(2)若()26f α=,3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭,求sin 2α的值.20.(本题满分12分)已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数.(1)求常数a 的值;(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立,求t 的取值范围.21(本题满分12分)【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍稀水果树的单株产量W (单位:千克)与施用肥料x (单位:千克)满足如下关系:()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩,肥料成本投入为10x 元,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x (单位:元).(Ⅰ)求()f x 的函数关系式;(Ⅱ)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22.(本题满分12分)已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)将函数()f x 的图象向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图象,若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点,求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷(二)(满分:150分,测试时间:120分钟)一、单选题1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =A .–4B .–2C .2D .4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤,求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤,故12a-=,解得2a =-.故选B .2.【2020·广东省高三月考(文)】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A .10ln 1x x x ∃≤≥-,B .10ln 1x x x ∃≤<-,C .10ln 1x x x ∃>≥-,D .10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“0x ∀>,1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>,1ln 1x x<-”.故选D .3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是A .1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .(],0-∞C .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =,则()3f x x =-,()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数,符合.若0a ≠,因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数,故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩,解得103a <≤.综上,103a ≤≤.故选:D .4.【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数()f x 的定义域为[0,2],则()()21f xg x x =-的定义域为A .[)(]0,11,2 B .[)(]0,11,4 C .[)0,1D .(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0,2],要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C .5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像,只需将函数cos2y x =的图象()A .向左平移4π个单位,再向上平移1个单位B .向右平移4π个单位,再向上平移1个单位C .向左平移2π个单位,再向下平移1个单位D .向右平移2π个单位,再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+,因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位,再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象,故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,则(4)f =A .16B .8C .4D .2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选:B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=,则sin cos cos 2θθθ=()A .3B .﹣3C .38D .38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=,∴3sin cos 0θθ--=,即cos 3sin θθ=-,∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----.故选:D .8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示,则函数log ()a y x b =-的图象可能A .B .C .D .【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<,213a ∴<<,故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数,且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选:C .9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A .1.2天B .1.8天C .2.5天D .3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =,6T =,01R rT =+,所以 3.2810.386r -==,所以()0.38rt t I t e e ==,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天,则10.38()0.382t t t e e +=,所以10.382t e =,所以10.38ln 2t =,所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选:B .10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--,则不等式()0f x >的解集是A .(1,1)-B .(,1)(1,)-∞-+∞C .(0,1)D .(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--,所以()0f x >等价于21x x >+,在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图:两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为:()(),01,-∞⋃+∞.故选:D .11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ,则A .ln(y −x +1)>0B .ln(y −x +1)<0C .ln|x −y |>0D .ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得:2323x x y y ---<-,令()23ttf t -=-,2x y = 为R 上的增函数,3x y -=为R 上的减函数,()f t ∴为R 上的增函数,x y ∴<,0y x ->Q ,11y x ∴-+>,()ln 10y x ∴-+>,则A 正确,B 错误;x y -Q 与1的大小不确定,故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点,则k 的取值范围是A .1(,))2-∞-+∞ B .1(,(0,2-∞-C .(,0)-∞D .(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =,所以要使()g x 恰有4个零点,只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可,令()h x =()||f x x ,即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩,当0k =时,此时2y =,如图1,2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点,不满足题意;当k 0<时,如图2,此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点,满足题意;当0k >时,如图3,当2y kx =-与2y x =相切时,联立方程得220x kx -+=,令0∆=得280k -=,解得k =k >.综上,k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选:D .二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________.【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩,0x ∴>故答案为:(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23,则sin 2α的值是____________.【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为:1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩,若()()2f a f a =+,则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时,()28f x x =-+是减函数可知,当2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为:2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++,(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①.函数的一条对称轴为6x π=②.函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③.0(0,3π)x ∃∈,使0()1f x =-④.∃∈R a ,使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当(0,3π)∈x 时,当6x π=时,23x π=不能使函数取得最值,所以不是函数的对称轴,①错;当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时,52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦,函数先增后减,②不正确;若()1f x =-,那么cos 2x =不成立,所以③错;当3 2a =π时,()12f x a x +=函数是偶函数,④正确,三.解答题17.(本题满分10分)已知0a >,0b >.(1)求证:()2232a b b a b +≥+;(2)若2a b ab +=,求ab 的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)1.【解析】证明:(1)∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥,∴()2232a b b a b +≥+.(2)∵0a >,0b >,∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥,∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号,此时ab 取最小值1.18.(本题满分12分)已知集合,|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭,{|3221}B x a x a =-<<+.(1)当0a =时,求A B ;(2)若A B φ⋂=,求a 的取值范围.【答案】(1)1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭;(2)3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】(1)1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭,0a =时,{|21}B x x =-<<,∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭(2)∵A B φ⋂=,∴当B φ=时,3221a a -≥+,即3a ≥,符合题意;当B φ≠时,31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或,解得34a ≤-或23a ≤<,综上,a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.(本题满分12分)已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-,x ∈R .(1)求函数()f x 的最大值,并写出相应的x 的取值集合;(2)若()26f α=,3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求sin 2α的值.【答案】(1)()f x 的最大值为22,此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭;(2)4sin 26α=.【解析】(1)因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当()2242x k k Z πππ-=+∈,即()38x k k Z ππ=+∈时,函数()y f x =取最大值2,所以函数()y f x =的最大值为22,此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭;(2)因为()26f α=,则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20.(本题满分12分)已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数.(1)求常数a 的值;(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立,求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-;(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数,所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----,所以222414a x x-=-,即21a =,1a =或1-,当1a =时,函数()0.50.52log log 12x f x x -==--,无意义,舍去,当1a =-时,函数()0.52log 2x f x x +=-定义域(-∞,-2)∪(2,+∞),满足题意,综上所述,1a =-。
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1.已知集合{}|26Mx x =-<<,{}2|3log 35N x x =-<<,则MN =( )A .{}2|2log 35x x -<<B .{}2|3log 35x x -<<C .{}|36x x -<<D .{}2|log 356x x <<答案:A根据对数性质可知25log 356<<,再根据集合的交集运算即可求解. 解:∵25log 356<<, 集合{}|26Mx x =-<<,∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选:A. 点评:本题考查由对数的性质比较大小,集合交集的简单运算,属于基础题. 2.设复数z 满足12z zz +=+,z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则( ) A .221x y =+ B .221y x =+ C .221x y =- D .221y x =-答案:B根据共轭复数定义及复数模的求法,代入化简即可求解. 解:z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ,则z x yi =+,z x yi =-,∵12z zz +=+,1x =+,解得221y x =+. 故选:B. 点评:本题考查复数对应点坐标的几何意义,复数模的求法及共轭复数的概念,属于基础题. 3.“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--(α为常数)为幂函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件答案:A根据幂函数定义,求得b 的值,结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解:∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时,22311b b --=,解得2b =或12-, ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选:A. 点评:本题考查了充分必要条件的概念和判断,幂函数定义的应用,属于基础题.4.已知()21AB =-,,()1,AC λ=,若cos BAC ∠=,则实数λ的值是( ) A .-1 B .7C .1D .1或7答案:C根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得λ的值. 解:由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选:C. 点评:本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.5.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中③所示,其近月点与月球表面距离为100公里,远月点与月球表面距离为400公里,已知月球的直径约为3476公里,对该椭圆有下述四个结论: (1)焦距长约为300公里; (2)长轴长约为3988公里; (3)两焦点坐标约为()150,0±; (4)离心率约为75994. 其中正确结论的个数为()A .1B .2C .3D .4答案:B根据椭圆形轨道,设该椭圆长轴长为a ,半焦距为c ,先求得月球的半径r ,再根据近月点与月球表面距离为100公里,有100a c r -=+,远月点与月球表面距离为400公里,有400a c r +=+,然后两式联立求解. 解:设该椭圆长轴长为a ,半焦距为c ,依题意可得月球半径约为1347617382⨯=, 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩,解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===,可知结论(1)(4)正确,(2)错误; 因为没有给坐标系,焦点坐标不确定,所以(3)错误. 故选:B 点评:本题主要考查椭圆的几何性质,还考查了阅读抽象应用的能力,属于基础题. 6.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若1a =,6A π=,且321c b -=,则cos C ()A .12-B .3C .12D 6 答案:A根据1a =,321c b -=,由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=,由A B C π++=,得到()3sin 2sin sin C A C A -+=,再根据6A π=求解.解:由321c b -=,得32c b a -=,即3sin 2sin sin C B A -=, 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=, 而6A π=,所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭, 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭, 解得1cos 2C =-. 故选:A 点评:本题主要考查正弦定理和三角恒等变换,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 7.函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是( ) A . B .C .D .答案:C根据函数奇偶性可排除AB 选项;结合特殊值,即可排除D 选项. 解:∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--,()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---,∴函数()f x 为奇函数,∴排除选项A ,B ;又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,时,()0f x >,故选:C. 点评:本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.8.设x ,y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若2z x y =+的最大值大于17,则实数m 的取值范围为() A .()4,+∞ B .13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C .()6,+∞D .()5,+∞答案:D先作出不等式组表示的平面区域,然后平移直线l :20x y +=,当直线l 在y 轴上的截距最大时,z 取得最大值求解. 解:作出不等式组表示的平面区域如图所示,作出直线l :20x y +=,并平移,当直线l 经过点(),2m m +时,直线在y 轴上的截距最大,z 取得最大值, 因为2z x y =+的最大值大于17, 所以2217m m ++>,解得5m >. 故选:D 点评:本题主要考查线性规划求最值,还考查了数形结合的方法的能力,属于基础题. 9.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成.而这七块板可拼成许多图形,人物、动物、建筑物等,在18世纪,七巧板流传到了国外,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》.若用七巧板(图1为正方形),拼成一只雄鸡(图2),在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾(阴影部分)的概率为A .112B .18C .14D .316答案:D这是一个几何概型模型,设包含7块板的正方形边长为4,求得正方形的面积,即为雄鸡的面积,然后求得雄鸡鸡头(标号3或5)和鸡尾(标号6)的面积之和,代入公式求解. 解:设包含7块板的正方形边长为4,正方形的面积为4416⨯=, 则雄鸡鸡头(标号3或5)和鸡尾(标号6)的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=, 在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡几头或鸡尾(阴影部分)的概率为316p. 故选:D 点评:本题主要考查几何概型的概率,还考查了阅读抽象应用的能力,属于基础题.10.如图,直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3,AB BC ⊥,3AB BC ==,点E ,F 分别是棱AB ,BC 上的动点,且AE BF =,当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时,则异面直线A F '与AC 所成的角为()A .2π B .3π C .4π D .6π 答案:C设AE BF a ==,13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯,利用基本不等式,确定点E ,F 的位置,然后根据//EF AC ,得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角,再利用余弦定理求解.设AE BF a ==,则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦,当且仅当3a a =-,即32a =时等号成立, 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时,点E ,F 分别是棱AB ,BC 的中点, 方法一:连接A E ',AF ,则352A E '=,352AF =,2292A F AA AF ''=+=,13222EF AC ==, 因为//EF AC ,所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角,由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯, ∴4A FE π'∠=.方法二:以B 为坐标原点,以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则()0,3,0A ,()3,0,0C ,()0,3,3A ',3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭, ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭,()3,3,0AC =-, 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯,所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π. 故选:C 点评:本题主要考查异面直线所成的角,余弦定理,基本不等式以及向量法求角,还考查了推理论证运算求解的能力,属于中档题.11.已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=,函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性,且()()12f x f x =-,则下述四个结论:①实数a 的值为1;②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称; ③21x x -的最大值为π, ④12x x +的最小值为23π. 其中所有正确结论的编号是() A .①②③ B .①③④C .①④D .③④答案:B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴,确定函数()f x ,再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性,得到21x x -的最大值为2Tπ=,然后由()()12f x f x =-,得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解: ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴,∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 令0x =,得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,即=1a =,①正确; ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x .又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性, ∴21x x -的最大值为2Tπ=,且()()12f x f x =-, ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称,∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π,k Z ∈, ∴12223x x k ππ+=+,k Z ∈, 当0k =时,12x x +取最小值23π,所以①③④正确,②错误.故选:B 点评:本题主要考查三角函数的图象和性质,还考查了推理论证,运算求解的能力,属于中档题.12.如图,在ABC 中,AB 4=,点E 为AB 的中点,点D 为线段AB 垂直平分线上的一点,且4DE =,固定边AB ,在平面ABD 内移动顶点C ,使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点,且C 、D 在直线AB 的同侧,在移动过程中,当CA CD +取得最小值时,ABC 的面积为()A .12524-B .6512-C .12518-D .658-答案:A以AB 所在直线为x 轴,ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,利用圆的切线长定理,得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分,然后利用直线段最短,得到点C 的位置,再求三角形的面积. 解: 如图,以AB 所在直线为x 轴,ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则()2,0A -,()2,0B ,()0,4D ,设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ,G ,H 点,∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<,所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分,且1a =,2c =,2223b c a =-=,∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>.∵2CA CB -=,∴2CA CB =+,∴2CA CD CB CD +=++, 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时,CA CD +最小, 如图所示:线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤,将其代入22330x y --=,得216190x x -+=,解得835x =+835x =-,∴426512y x =-=, ∴()835,6512C -. ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=. 故选:A 点评:本题主要考查双曲线的定义,圆的切线长定理以及三角形的面积,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题. 二、填空题13.若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩,则()()5f f -=__________. 答案:1利用分段函数,先求()5f -,再求()()5f f -的值.解: ∵()()()5130f f f -=-==,∴()()()()5041ff f f -===.故答案为:1 点评:本题主要考查分段函数求函数值问题,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 14.若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-,则实数a =__________. 答案:13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为:()()23236633x C x a C x ⋅-⋅,再根据系数为45-,建立方程求解.解:因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为:()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-,∴13554045a -=-,解得13a =. 故答案为:13点评:本题主要考查二项式定理的通项公式,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 15.如图,在矩形ABCD 中,24==AD AB ,E 是AD 的中点,将ABE △,CDE △分别沿BE CE ,折起,使得平面ABE ⊥平面BCE ,平面CDE ⊥平面BCE ,则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案:323π 根据题意,画出空间几何体,设BE EC BC ,,的中点分别为M N O ,,,并连接AM CM AO DN NO DO OE ,,,,,,,利用面面垂直的性质及所给线段关系,可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ,即可求得其外接球的体积. 解:由题可得ABE △,CDE △,BEC △均为等腰直角三角形,如图所示,设BE EC BC ,,的中点分别为M N O ,,, 连接AM CM AO DN NO DO OE ,,,,,,, 则OM BE ⊥,ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ,平面CDE ⊥平面BCE , 所以OM ⊥平面ABE ,ON ⊥平面DEC , 易得2OA OB OC OD OE =====,则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ,半径2R =, 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为:323π. 点评:本题考查了空间几何体的综合应用,折叠后空间几何体的线面位置关系应用,空间几何体外接球的性质及体积求法,属于中档题.16.若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点,则实数a 的取值范围为__________. 答案:10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点,则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根,转化为方程ln 4x a x =有两个不同解,即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解:由()ln 40f x x ax '=-=,得ln 4xa x=, 记()ln 4x g x x =,则()21ln 4xg x x-'=, 当()0,x e ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增,当(),x e ∈+∞时,()0g x '<,()g x 单调递减. 又∵()14g e e=,当0x →时,()g x →-∞,当x →+∞时,()0g x →. 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点, 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解, 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点, 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为:10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评:本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题. 三、解答题17.在如图所示的多面体中,四边形ABEG 是矩形,梯形DGEF 为直角梯形,平面DGEF ⊥平面ABEG ,且DG GE ⊥,//DF GE ,2222AB AG DG DF ====.(1)求证:FG ⊥平面BEF . (2)求二面角A BF E --的大小. 答案:(1)见解析;(2)23π(1)根据面面垂直性质及线面垂直性质,可证明BE FG ⊥;由所给线段关系,结合勾股定理逆定理,可证明FE FG ⊥,进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .(2)建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量,由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值,结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解:(1)证明:∵平面DGEF ⊥平面ABEG ,且BE GE ⊥, ∴BE ⊥平面DGEF , ∴BE FG ⊥,由题意可得2FG FE ==, ∴222FG FE GE +=,∵FE FG ⊥,且FE BE E ⋂=, ∴FG ⊥平面BEF .(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则()1,0,0A ,()1,2,0B ,()0,2,0E ,()0,1,1F ,()1,1,1FA =--,()1,1,1FB =-,()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =,则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩,令11x =,()1,0,1n =,由(1)可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==,∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅,由图可知,二面角A BF E --为钝二面角,所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评:本题考查了线面垂直的判定,面面垂直及线面垂直的性质应用,空间向量法求二面角的大小,属于中档题.18.在等差数列{}n a 中,12a =,35730a a a ++=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记23n n a an b =+,当*n N ∈时,1n n b b λ+>,求实数λ的取值范围.答案:(1)2n a n =(2)实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(1)根据12a =,35730a a a ++=,利用“1,a d ”法求解.(2)由(1)得到2349n naa n n nb =+=+,将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立,转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解:(1)在等差数列{}n a 中,3575330a a a a ++==,∴510a =,所以{}n a 的公差51251a a d -==-, ∴()112n a a n d n =+-=. (2)∵2349n naa n n nb =+=+,∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立,即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立, 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭,∴9713λ<,即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.点评:本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ,的距离小1.(1)求动点M 的轨迹1C 的方程;(2)若点P 是圆()()222221C x y -++=:上一动点,过点P 作曲线1C 的两条切线,切点分别为A B 、,求直线AB 斜率的取值范围.答案:(1)28x y =;(2)13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)设(),M x y ,根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式,化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程;(2)设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ,,切点()12,A x x ,()22,B x y ,点()P m n ,,则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+,联立抛物线方程并化简,由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ;由抛物线方程求得导函数,并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ,可求得4AB mk =,结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围,即可求得AB k 的范围.解:(1)设点(),M x y ,∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +, ∴11y +=,化简得28x y =,∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.(2)由题意可知,PA PB 、的斜率都存在,分别设为12k k ,,切点()12,A x x ,()22,B x y ,设点()P m n ,,过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+,联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩,化简可得28880x kx km n -+-=,∴26432320k km n ∆=-+=,即220k km n -+=, ∴122m k k +=,122n k k =. 由28x y =,求得导函数4xy '=, ∴114x k =,2211128x y k ==,2222228x y k ==,∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--, 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=, 由圆的性质可得13m ≤≤,∴13444AB m k ≤=≤,即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评:本题考查了动点轨迹方程的求法,直线与抛物线相切的性质及应用,导函数的几何意义及应用,点和圆位置关系求参数的取值范围,属于中档题.20.某大学开学期间,该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手,该快餐店提供了两种日工资结算方案:方案()a 规定每日底薪100元,外卖业务每完成一单提成2元;方案()b 规定每日底薪150元,外卖业务的前54单没有提成,从第55单开始,每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595,,,,,,,,,,,,,七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)随机选取一天,估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率;(2)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13,选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘,四人选择日工资方案相互独立,求至少有两名骑手选择方案()a 的概率,(3)若仅从人日均收入的角度考虑,请你为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替) 答案:(1)0.4;(2)1127;(3)应选择方案()a ,理由见解析 (1)根据频率分布直方图,可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率,即可估算其概率;(2)根据独立重复试验概率求法,先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率,再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率;(3)设骑手每日完成外卖业务量为X 件,分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式,即可计算两种计算方式下的数学期望,并根据数学期望作出选择. 解:(1)设事件A 为“随机选取一天,这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05,∵020*******++=...., ∴()P A 估计为0.4.(2)设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”, 设事件i C ,为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =,,,,人选择方案()a ”, 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. (3)设骑手每日完成外卖业务量为X 件, 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈,方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩,,,,,所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.......;同理,随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.......∵()()21EY E Y >,∴建议骑手应选择方案()a . 点评:本题考查了频率分布直方图的简单应用,独立重复试验概率的求法,数学期望的求法并由期望作出方案选择,属于中档题.21.已知函数()()ln 1f x m x x =+-,()sin g x mx x =-.(1)若函数()f x 在()0+∞,上单调递减,且函数()g x 在02,上单调递增,求实数m 的值;(2)求证:()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭(*n N ∈,且2n ≥).答案:(1)1;(2)见解析(1)分别求得()f x 与()g x 的导函数,由导函数与单调性关系即可求得m 的值; (2)由(1)可知当0x >时,()ln1x x +<,当02x π<<时,sin x x <,因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯,,,,,构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦,由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦,从而不等式可证明. 解:(1)∵函数()f x 在()0+∞,上单调递减, ∴()101mf x x'=-≤+,即1m x ≤+在()0+∞,上恒成立, ∴1m ,又∵函数()g x 在02,上单调递增,∴()cos 0g x m x '=-≥,即cos m x ≥在02,上恒成立,m 1≥,∴综上可知,1m =.(2)证明:由(1)知,当1m =时,函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞,上为减函数,()sin g x x x =-在02,上为增函数,而()()00,00f g ==,∴当0x >时,()ln 1x x +<,当02x π<<时,sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯,,,, ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦, ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭,. 点评:本题考查了导数与函数单调性关系,放缩法在证明不等式中的应用,属于难题. 22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为0x y a -+=,曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程;(2)若射线6πθ=与l 的交点为M ,与曲线C 的交点为A ,B ,且4OA OB OM +=,求实数a 的值.答案:(1)l :cos sin 0a ρθρθ-+=,C :24cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)12a =- (1)先消去参数得到C 的普通方程,然后利用cos x ρθ=,sin y ρθ=分别代入,得到直线和曲线C 的极坐标方程.(2)在极坐标系中,设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=,然后利用韦达定理求解.解:(1)将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中,得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=;曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=,即224440x y x y +--+=, 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=.(2)在极坐标系中,可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得()2240ρρ-+=,∴232ρρ+=,∵4OA OB OM +=,∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=,得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-. 点评:本题主要考查参数方程,普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.23.已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤.(1)求实数a 、b 的值;(2)设0m >,0n >,且满足122a b m n-=,求证:1212m n ++-≥. 答案:(1)1a =-,1b =(2)见解析(1)利用绝对值的几何意义,去绝对值求解.(2)由(1)得到1122m n+=,利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+,再利用基本不等式求解.解:(1)原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩,∴x ∈∅; ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩,∴11x -≤≤; ③122x x >⎧⎨≤⎩,∴x ∈∅. 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤,∴1a =-,1b =.(2)∵122a b m n -=,∴1122m n+=, ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当22n m m n =,即1m =,12n =时取等号, ∴1212m n ++-≥.点评:本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.。
江苏省盐城市2020届高三历史第三次模拟考试(6月)试题本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分120分,考试时间100分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共20小题,每小题3分,共60分。
在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。
1. 司母戊大方鼎是商王武丁的儿子祖庚或祖甲为祭祀其母亲妇妌而制。
铸造此鼎,采用泥范铸造法,包括制模、雕刻纹饰、翻制泥范、高温焙烧、浇注液态金属等一系列复杂的过程。
这反映了当时( )A. 青铜器开始作为礼制象征B. 人工冶铜方法相当普及C. 官营手工业生产规模庞大D. 青铜铸造工艺水平高超2. 有学者认为,秦始皇分全国为三十六郡,每郡置守,掌民政;置尉,掌兵事;置监御史,掌监察,“这种制度是仿效中央政府的”。
据此可知,在秦朝( )A. 君主专制制度创立B. 三省彼此牵制监督C. “三公”分工明确D. 地方自主权力过大3. 汉武帝元鼎四年(公元前113年),整顿全国币制,将铸币权收归中央,郡国亦不得铸钱。
武帝以后100余年之西汉,共铸铜钱280亿枚,使国家财政得以安定富实。
由此可见,统一货币( )A. 有利于社会经济发展B. 增加了百姓赋税支出C. 消除了地方割据基础D. 空前强化了君主专制4. 北宋儒家学者范祖禹赞扬宋仁宗,认为他“其事有五:‘畏天、爱民、奉宗庙、好学、听谏’,仁宗行此五者于天下,所以为仁也”。
该观点反映了北宋儒学( )A. 具有神化君权色彩B. 批判封建君主专制制度C. 被确立为正统思想D. 继承孟子“仁政”学说5. 军机处始于雍正朝,在乾隆年间获得极大发展并建制化。
军机大臣一般由皇帝选内阁大学士充任,但只要是皇帝的亲信,可以不问出身,一切以皇帝的意志为转移。
这表明军机处( )A. 挑选学识渊博人员入值B. 拥有全国政务的决策权C. 提高了中央行政的效率D. 进一步加强了君主专制6. 近代前期的国人开始从旧梦中惊醒,接踵而来的是新梦想:梦想有西方的坚船利炮,梦想有西方的民主制度,梦想有一种全面的西方式的现代化。
2025届安徽省1号卷A10联盟高考数学三模试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在正项等比数列{a n }中,a 5-a 1=15,a 4-a 2 =6,则a 3=( ) A .2B .4C .12D .82.函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示,为了得到()cos g x x ω=的图象,可将()f x 的图象( )A .向右平移6π个单位 B .向右平移12π个单位C .向左平移12π个单位D .向左平移6π个单位 3.设函数()22cos 23sin cos f x x x x m =++,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()17,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则m =( ) A .12B .32C .1D .724.已知等差数列{}n a 满足1=2a ,公差0d ≠,且125,,a a a 成等比数列,则=d A .1B .2C .3D .45.已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>,则实数a 的取值范围是( ) A .11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B .1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6.用数学归纳法证明,则当时,左端应在的基础上加上( )A .B .C .D .7.正项等比数列{}n a 中,153759216a a a a a a ++=,且5a 与9a 的等差中项为4,则{}n a 的公比是 ( ) A .1B .2C .22D .28.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ). A .122B .112C .102D .929.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图,若32a =,12b =,则输出的n =( )A .3B .4C .5D .610.已知正项数列{}{},n n a b 满足:1110n n nn n na ab b a b ++=+⎧⎨=+⎩,设n n n ac b =,当34c c +最小时,5c 的值为( )A .2B .145C .3D .411.单位正方体ABCD -1111D C B A ,黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥,黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥,它们都遵循如下规则:所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线(i ∈N *).设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两蚂蚁的距离是( ) A .1B .2C .3D .012.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高; ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低; ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是( ) A .③④B .①②C .②④D .①③④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2025届金太阳广东省高三第三次测评数学试卷注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合}{220A x x x =--≤,{}10B x x =-<,则AB =( )A .}{1x x < B .}{11x x -≤< C .{}2x x ≤D .{}21x x -≤<2.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务,要求每个人都要被派出去提供服务,且每个场地都要有志愿者服务,则甲和乙恰好在同一组的概率是( ) A .110B .15C .140D .9403.已知复数31iz i-=-,则z 的虚部为( ) A .i -B .iC .1-D .14.已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩,满足对任意的实数12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围为( ) A .()1,+∞B .13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .13,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭5.如图,在平面四边形ABCD 中,,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ⋅的最小值为 ( )A .2116B .32C .2516D .36.5G 网络是一种先进的高频传输技术,我国的5G 技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机,现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y (单位:%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019年8月,2代表2019年9月……,5代表2019年12月,根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%(精确到月)( )A .2020年6月B .2020年7月C .2020年8月D .2020年9月7.已知R 为实数集,{}2|10A x x =-≤,1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭,则()A B =R( )A .{|10}x x -<≤B .{|01}x x <≤C .{|10}x x -≤≤D .{|101}x x x -≤≤=或8.如图,四面体ABCD 中,面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形,2AB =,2BAD CBD π∠=∠=,且二面角A BD C --的大小为23π,若四面体ABCD 的顶点都在球O 上,则球O 的表面积为( )A .223πB .283πC .2π D .23π 9.已知a ,b 为两条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,下列命题:①若//αβ,//αγ,则//βγ;②若//a α,//a β,则//αβ;③若αγ⊥,βγ⊥,则αβ⊥;④若a α⊥,b α⊥,则//a b .其中正确命题序号为( )A .②③B .②③④C .①④D .①②③10.在三棱锥P ABC -中,5AB BC ==,6AC =,P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上,且2AD CD =,4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上,则球Q 的半径为( )A .6898B .6896C .5268D .526611.若复数211iz i=++(i 为虚数单位),则z 的共轭复数的模为( ) A .52B .4C .2D .512.已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ,则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( )A .1,2m n ==-B .1,2m n =-=C .1,2m n ==D .1,2m n =-=-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
绝密★启用前湖南省怀化市普通高中2020届高三毕业班下学期高考仿真模拟考试(三模)数学(理)试题(解析版)2020年6月注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上,并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目.2.考生作答时,选择题和非选择题均须做在答题卡上,在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}1,2,5A =,{}250B x x x m =-+=,若{}1A B ⋂=,则B =( ) A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,4D. {}1,5【答案】C【解析】【分析】 根据{}1A B ⋂=可得1B ∈,从而得到m 的值,再代入求出二次方程的根,即可得到答案; 【详解】{}1A B ⋂=,∴1B ∈,∴150m -+=,解得:4m =, ∴{}{}{}22505401,4B x x x m x x x =-+==-+==, 故选:C.【点睛】本题考查利用集合交运算的结果求参数值,再进一步求集合,考查运算求解能力,属于基础题.2. 函数()tan()3π=+f x x 的最小正周期是( ) A. 2π B. 4π C. π D. 2π【答案】C【解析】【分析】 根据三角函数图像变换分析()tan()3π=+f x x 的图像,再判断最小正周期即可. 【详解】因为()tan()3π=+f x x 的图像为tan y x =向左移动3π个单位,再将x 轴下方的部分往上翻折所得.故最小正周期与tan y x =相同为π.故选:C【点睛】本题主要考查了正切型函数的最小正周期,需要分析所得的图像与原图像间的关系求解.属于基础题.3. 已知直线m ⊥平面α,直线n ⊂平面β,则“//αβ”是“m n ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条作C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件定义判断即可. 【详解】直线m ⊥平面α,直线n ⊂平面β,∴若//αβ可得m β⊥,m n ⊥; 若m n ⊥,则m 不一定垂直β,∴α与β不一定平行;。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(三)数学(文)试题一、单选题1.集合{(,)|1}P x y y x ==+,{}2(,)|Q x y y x ==,则集合P Q I 中元素的个数是( ) A .0个 B .1个C .2个D .3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征,联立方程,判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点,联立21y x y x=+⎧⎨=⎩,整理得210,1450x x --=∆=+=>, ∴方程有两个不同的实数解,即方程组有两个解,可知两个函数有两个公共点,故集合P Q I 中元素的个数为2. 故选:C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数,注意集合元素的特征,属于基础题. 2.若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+(i 是虚数单位),则z 的虚部为( ) A .i B .2iC .1D .2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则,求出z ,即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+,∴212iz i i-+==+, ∴z 的虚部为2. 故选:D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念,属于基础题.3.已知向量()()2332a b ==r r ,,,,则|–|a b =r rA .B .2C .D .50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r,再根据模的概念求出||a b -r r .【详解】由已知,(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r,所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算,容易题,注重了基础知识、基本计算能力的考查.由于对平面向量的坐标运算存在理解错误,从而导致计算有误;也有可能在计算模的过程中出错.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若75a =,927S =,则公差d 等于( ) A .0 B .1C .12D .32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ,结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===,解得53a =, 所以75531752a a d --===-. 故选:B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算,掌握公式及性质是解题的关键,属于基础题.5.若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±,则C 的两个焦点坐标为( )A .(0,B .(0)C .(0,D .(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程,建立m 的等量关系,求出双曲线方程,即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±,23=,解得4m =, ∴双曲线方程为22149y x -=,∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,. 故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用,要注意双曲线焦点位置,属于基础题.6.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:则下列判断中不正确的是( ) A .该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B .该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C .该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D .剔除冰箱类销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据,逐项分析,即可得出结论. 【详解】选项A ,该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值, 因此冰箱类销售亏损,所以A 项正确;选项B ,该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量,不知道相应的总量,无法比较,所以B 项错误;选项C ,该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多, 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供,所以C 项正确; 选项D ,剔除冰箱类销售数据后,该公司2018年度总净利润变大, 而空调类电器销售净利润不变,因此利润占比降低,所以选项D 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题,考查数据分析能力,属于基础题.7.函数()()11x x e f x x e+=-(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】A【解析】求得f (x )的奇偶性及f (1)的值即可得出答案. 【详解】∵f (﹣x )()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f (x ), ∴f (x )是偶函数,故f (x )图形关于y 轴对称,排除C ,D ; 又x=1时,()e 111ef +=-<0, ∴排除B , 故选A . 【点睛】本题考查了函数图像的识别,经常利用函数的奇偶性,单调性及特殊函数值对选项进行排除,属于基础题.8.将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后,得到函数()g x 的图象关于y 轴对称,则ϕ=( )A .4π B .34π C .3π D .23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ,再由()g x 的对称性,得到ϕ的值,结合其范围,即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称, 所以()3k k πϕπ+=∈Z ,因为0ϕπ<<,所以23ϕπ=. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性,属于基础题. 9.已知1b a <<,则下列大小关系不正确的是( ) A .b a a a < B .a b b b > C .b b a b > D .b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性,逐项验证,即可得出结论. 【详解】∵1b a <<,∴x y a =和x y b =均为增函数, ∴b a a a <,a b b b >,A ,B 项正确,又∵by x =在(0,)+∞为增函数,∴b b a b >, C 项正确; b a 和a b 的大小关系不能确定,如3,2,b aa b a b ==>;4,2,b a a b a b ===;5,2,b a a b a b ==< ,故D 项不正确.故选:D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系,应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键,属于基础题.10.我国南北朝时期数学家祖暅,提出了著名的祖暅原理:“缘幂势既同,则积不容异也”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高几何体,若在每一等高处的截面积都相等,则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”,其中俯视图中的圆弧为14圆周,则该不规则几何体的体积为( )A .12π+B .136π+ C .12π+D .1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体,结合图中数据计算该组合体的体积即可. 【详解】解:根据三视图知,该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体, 如图所示;则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+; 所以对应不规则几何体的体积为136π+.故选B .【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题,也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题,是基础题.11.如图,圆柱的轴截面ABCD 为正方形,E 为弧»BC的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为( )A .33B .5 C .306D .66【答案】D【解析】取BC 的中点H ,连接,,?EH AH ED ,则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠,再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ,连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算,考查余弦定理,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-,若1x =是函数()f x 的唯一极值点,则实数k 的取值范围是( )A .(,]e -∞B .(,)e -∞C .(,)e -+∞D .[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-,可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =,0xe k x ∴-=无根,即y k=与()xe g x x =无交点,可得()()21'x e x g x x-=,由()'0g x >得,()g x 在[)1+∞上递增,由()'0g x <得,()g x 在()0,1上递减,()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤,即实数k 的取值范围是(],e -∞,故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数,求参数取值范围的三种常用的方法:(1)直接法,直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13.设x ,y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩,则3z x y =-的取值范围为_________.【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域,根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域,如下图(阴影部分)所示,根据图形,当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时, 取得最小值为1-,当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时, 取得最大值为9,所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为:(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,4727a a =,则63S S =_________. 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比,再由等比数列的前n 项和公式,即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q , 根据题意,有3127q =,解得13q =, 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--. 故答案为:2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和,考查计算求解能力,属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动,在课外15.高三某班一学习小组的,,,活动中,有一人在打篮球,有一人在画画,有一人在跳舞,另外一人在散步,①A不在散步,也不在打篮球;②B不在跳舞,也不在散步;③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件;④D不在打篮球,也不在散步;⑤C不在跳舞,也不在打篮球.以上命题都是真命题,那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题,∴对应的情况是:则由表格知A在跳舞,B在打篮球,∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件,∴C在散步,则D在画画,故答案为画画16.设12F F ,为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、,设出M 的坐标,结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=,11228MF F F c ∴===.∴24MF =.设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>,则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△,又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y , 22013620x ∴+=,解得03x =(03x =-舍去),M \的坐标为(.【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.三、解答题17.在ABC V 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,122cos b a c C=-.(1)求角B 的大小;(2)若2a =,b =,求ABC V 的面积.【答案】(1)3B π=; (2 【解析】(1)由正弦定理将已知等式边化角,再由两角和的正弦公式,即可求解; (2)利用余弦定理,建立c 边方程关系,再由三角形面积公式,即可求出结论. 【详解】 (1)由122cos b a c C=-,得sin 12sin sin 2cos B A C C =-,2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-,∴2cos sin sin B C C =,又∵在ABC V 中,sin 0C ≠, ∴1cos 2B =,∵0B π<<,∴3B π=.(2)在ABC V 中,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-, 即2742c c =+-,∴2230c c --=,解得3c =或1c =-(舍), ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==. 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形,考查计算求解能力,属于基础题. 18.某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元,重量超过1kg 的包裹,除收费10元之外,超过1kg 的部分,每超出1kg (不足1kg ,按1kg 计算)需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表).(1)求这60天每天包裹数量的平均数和中位数;(2)该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润,剩余的作为其他费用.已知该网点有工作人员3人,每人每天工资100元,以样本估计总体,试估计该网点每天的利润有多少元? 【答案】(1)平均数和中位数都为260件; (2)1000元.【解析】(1)根据频率分布直方图,求出每组的频率,即可求出平均数,确定中位数所在的组,然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5,即可求出中位数;(2)由(1)每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入,扣除工作人员工资即为所求. 【详解】(1)每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;(0,200)Q 的频率为0.2,[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=, 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件. (2)由(1)可知平均每天的揽件数为260, 利润为260531001000⨯-⨯=元, 所以该网点平均每天的利润有1000元. 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用,属于基础题.19.在如图所示的几何体中,已知BAC 90∠=o ,PA ⊥平面ABC ,AB 3=,AC 4=,PA 2.=若M 是BC 的中点,且PQ //AC ,QM //平面PAB .()1求线段PQ 的长度;()2求三棱锥Q AMC -的体积V .【答案】(1)2;(2)2.【解析】()1取AB 的中点N ,连接MN ,PN ,推导出四边形PQMN 为平行四边形,由此能求出线段PQ 的长度.()2取AC 的中点H ,连接QH ,推导出四边形PQHA 为平行四边形,由此能求出三棱锥Q AMC -的体积. 【详解】解:()1取AB 的中点N ,连接MN ,PN ,MN //AC ∴,且1MN AC 22==,PQ //AC Q ,P ∴、Q 、M 、N 确定平面α, QM //Q 平面PAB ,且平面α⋂平面PAB PN =,又QM ⊂平面α,QM //PN ∴,∴四边形PQMN 为平行四边形,PQ MN 2∴==.解:()2取AC 的中点H ,连接QH ,PQ //AH Q ,且PQ=AH=2,∴四边形PQHA 为平行四边形, QH //PA ∴,PA ⊥Q 平面ABC ,QH ∴⊥平面ABC ,AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q (),QH PA 2==,∴三棱锥Q AMC -的体积:AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查线段长的求法,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题. 20.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点,经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线,垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅;(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥,OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】(1)见解析;(2)24y x =【解析】(1)设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果;(2)联立直线和抛物线得到2280y py p +-=,设()()1122,,,M x y N x y ,OM ON ⊥有12120x x y y +=,根据韦达定理得到结果.【详解】(1)设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =,从而2200||2QH y px AB OH ===.(2)由条件可知,:4MN y x =-+,联立直线MN 和抛物线C ,有242y x y px=-+⎧⎨=⎩,有2280y py p +-=,设()()1122,,,M x y N x y ,由OM ON ⊥有12120x x y y +=,有()()1212440y y y y --+=,由韦达定理可求得2p =,所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.21.已知2()2()x f x mx e m R =-∈.(Ⅰ)若()'()g x f x =,讨论()g x 的单调性;(Ⅱ)当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时,关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减,在(,ln )m -∞上单调递增. (Ⅱ)(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析:(Ⅰ)求得函数的导数'()2()xg x m e =-,分0m ≤和0m >两种情况讨论,即可得到函数()g x 的单调性;(Ⅱ)由(Ⅰ)求得1m =,把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<,得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立,设2()xe F x x x=-,利用导数求得函数()F x 的单调性与最值,即可得到实数a 的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)因为()()'22xg x f x mx e ==-,所以()()'2xg x m e=-,当0m ≤时,()'0g x <,所以()g x 在R 上单调递减,当0m >时,令()'0g x <,得ln x m >,令()'0g x >,得ln x m <, 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减,在(),ln m -∞上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)得()'122f m e =-,由2222m e e -=-,得1m =,不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<,得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-,则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--,则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-,在区间()0,1上,()'0h x >,则函数()h x 递增,所以()()11h x h <=-, 所以在区间()0,1上,()'0F x <,函数()F x 递减.当0x →时,()F x →+∞,而()121F e =-,所以()()21,F x e ∈-+∞, 因为()a F x <在()0,1上恒成立,所以(],21a e ∈-∞-.点睛:本题主要考查导数求解函数的单调区间,利用导数求解不等式的恒成立问题求得,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数; (2)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题; (3)利用导数研究函数的图象与性质,注意数形结合思想的应用.22.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩,(ϕ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线1C ,2C 的极坐标方程;(2)在极坐标系中,已知():0l θαρ=>与1C ,2C 的公共点分别为A ,B ,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当4OB OA =时,求α的值. 【答案】(1)1C的极坐标方程为:14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭;2C 的极坐标方程为:4cos ρθ= (2)4πα=【解析】(1)根据直角坐标与极坐标的互化关系,参数方程与一般方程的互化关系,即得解;(2)将():0l θαρ=>代入1C ,2C 的极坐标方程,求得||,||OA OB 的表达式,代入4OB OA=,即得解.【详解】(1)解:将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=,即:14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 所以曲线1C的极坐标方程为:14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=,将直角坐标与极坐标互化关系:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=,所以曲线2C 的极坐标方程为:4cos ρθ=.(2)∵():0l θαρ=>与曲线1C ,2C 的公共点分别为A ,B ,所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,4cos OB α=, 又4OBOA =,sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴sin cos αα=,4πα=. 【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,属于中档题.23.已知函数()11f x x x =+--, ()22g x x a x b =++-,其中a , b 均为正实数,且2a b +=.(Ⅰ)求不等式()1f x ≥的解集; (Ⅱ)当x ∈R 时,求证()()f x g x ≤.【答案】(1)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)见解析【解析】(Ⅰ)把()f x 用分段函数来表示,分类讨论,求得()1f x ≥的解集. (Ⅱ)当x ∈R 时,先求得()f x 的最大值为2,再求得()g x )的最小值,根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零,可得()()f x g x ≤成立. 【详解】(Ⅰ)由题意, ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩<<,(1)当1x ≤-时, ()21f x =-<,不等式()1f x ≥无解;(2)当11x -<<时,()21f x x =≥,解得12x ≥,所以112x ≤<.(3)当1x ≥时, ()21f x =≥恒成立,所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (Ⅱ)当x R ∈时, ()()11112f x x x x x =+--≤++-=;()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+.而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭, 当且仅当1a b ==时,等号成立,即222a b +≥,因此,当x R ∈时,()()222f x a b g x ≤≤+≤,所以,当x R ∈时, ()()f x g x ≤.【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值三角不等式的应用,比较2个数大小的方法,属于中档题.。
2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ,B =x ,y y 2=2x ,则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ,B =x ,y y 2=2x ,所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ,故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数,则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ,因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数,所以a 2-4=04a ≠0,所以a =±2,由a +i =±2+i =5 ,故选B .3.若a <b <1且ab ≠0,则下列结论恒成立的是()A.a <12B.ab <b 2C.1a >1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ,b =34 ,可排除A ,取a =-2,b =-12 ,可排除B ,取a =-2,b =12,可排除C ,由a <b <1可得a -1 b -1 >0,展开得ab +1>a +b ,故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称,则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称,则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上,所以m +12m =2,m =17,故选D .5.已知a ,b 是单位向量,且a +b =2,-1 ,则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量,a +b =2 ,-1 ,两边平方得2a ⋅b =1,所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1,故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ,若a 6=2,a 2+a 10 2a 3+a 9 =12,则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12,可得a 3=-1,所以S 5=5a 3=-5,故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染,已知甲通过检测确诊为新冠肺炎,经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者,现把这5人分为2组(一组2人,一组3人),分别送到2个医院进行隔离观察,则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人,一组3人),结果有:AB ,CDE ,AC ,BDE ,AD ,BCE ,AE ,BCD ,BC ,ADE ,BD ,ACE ,BE ,ACD ,CD ,ABE ,CE ,ABD ,DE ,ABC ,共10种,A ,B 在同一个医院的结果有:AB ,CDE ,CD ,ABE ,CE ,ABD ,DE ,ABC ,共4种,所以所求概率P =410 =25 ,故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0,g x =sinπx ,则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0,g x =sinπx ,可得当x >0时,g f x =g 1 =sinπ=0,当x =0时,g f x =g 0 =sin0=0,当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0,所以A 正确;当x >0时,f x =1,f f x =f 1 =1,f f x =f x 成立,当x =0时,f 0 =0,f f 0 =f 0 =0,f f x =f x 成立,当x <0时,f x =-1,f f x =f -1 =-1,f f x =f x 成立,所以B 正确,由f 32 g 32 =-1,可知C 错误,由g x ≥-1,g x +2≥1,可知f g x +2 =1正确,故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2,则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2,所以a=0,b=1,f x =x3-3x+1,f x =3x2-3,f1 =-1,f 1 =0,所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1,故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》,共17卷,是中国古代数学名著,明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大、小和尚各几丁?”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图,则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ;n=100B.s=3n+m3 ;n=100C.s=3n+m3 ;s=100D.s=3m+n3 ;s=100【答案】D【解析】由程序框图可知,n表示小僧人数,m表示大僧人数,根据“大僧三个更无争,小僧三人分一个”,设馒头数为s,则s=3m+n3 ,所以①中填入s=3m+n3,当s=100时结束程序,输出n,故选D.11.如图,正三角形ABC为圆锥的轴截面,D为AB的中点,E为弧BC的中点,则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ,BO 中点F ,连接OD ,OE ,FE ,DF ,则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4,则OD =2,OF =1,OE =2,DF =3 ,EF =OE 2+OF 2 =5 ,DE =DF 2+EF 2 =22 ,所以∠ODE =π4 ,即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22,故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ,设c =a 2-b 2 ,直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ,点A 在x 同上的射影为B ,若AB ⋅AF =49b 2,则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2,所以AB =2b 3,又AB FB=tan ∠BFA =b c ,所以FB =2c 3 ,所以A 5c 3 ,-2b3,代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1,所以e =5 5,故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ,则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时,f x =x 2≥1,若a =0,x <1时,f x =0,f x 的值域不是R ;若a <0,x <1时,f x >2a ,f x 的值域不是R ,若a >0,x <1时,f x <2a ,所以当2a ≥1时,f x 的值域为R ,所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1,a 2n +1a n=2a n +a n +1,则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0,即a n +1+a n a n +1-2a n =0,因为a n >0,所以a n +1-2a n =0,a n +1=2a n ,a n =a 2⋅2n -2=2n -2,a 8=64,a 9=128,所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ,若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ,则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象,由图象可知3 2≤a <1,x 1+x 2=2×π6 =π3 ,x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ,x 3+x 4=2×7π6 =7π3,相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π,所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中,AB =AC =3,BC =3,点D 在BC 上,且BD =2DC ,将△ABD 沿AD 折起,使点B 到达点P 位置,且AP ⊥AC ,则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1,AB ⊥AD ,因为AP ⊥AC ,所以三棱锥P -ACD 中,AP ⊥底面ADC ,把三棱锥P -ACD 补成三棱柱,则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球,球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点,底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1,又AP =3,所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年,随着新冠肺炎疫情在全球蔓延,全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态,部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”,随着国外部分活动进入停摆,全球经济缺乏活力,一些企业开始倒闭,下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表:企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y 关于x 的回归方程,预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据:5i =1y i =74.6 ,5i =1x i y i =190.2 ,5i =1y i-y 2≈10.70,10 ≈3.16,相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2,样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ,a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3,5i =1x i -x 2=10 ,5i =1y i -y 2≈10.70,由5i =1x i =15 ,5i =1y i =74.6 ,可得x =3,y =14.92,所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ,所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99,因为y 与x 的相关系数近似为-0.99,说明y 与x 的相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36,则a =y -b x=14.92+3.36×3=25,所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时,y=-3.36×6+25=4.84,所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值;(2)若点D 在边BC 上,AD 平分角A ,且AD =5 ,求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0,即sin A +Ccos A-9sin B =0,因为sin A +C =sin π-B =sin B ,且sin B ≠0,所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ,所以sin A =1-cos 2A =459 ,因为AD 平分角A ,所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23,由S △ABC =S △ADB +S △ADC ,可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ,12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ,整理得23bc =b +c ,所以1b+1c =23 .19.如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,点D 为BB 1中点,点E 为点B 关于直线AC 的对称点,AB =BC =AA 1=2,AC =22.(1)求证:平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1;(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ,连接BE 与AC 交于G ,则点G 为AC 中点,连接DF ,FG ,则FG ∥CC 1,且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点,所以DB ∥FG ,且DB =FG ,所以四边形BDFG 为平行四边形,所以BG ∥DF ,因为AA 1⊥底面ABC ,所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1,因为AB =BC ,G 为AC 中点,所以BG ⊥平面ACC 1A 1,所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ,所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ,所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等,所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2,AC =22,可得AB ⊥BC ,因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,AB ⊥平面BCC 1B 1,又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1,所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23,所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点,点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程;(2)①若k OA +k OB =1,求证:直线AB 过定点;②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点,且k PA +k PB =0,求证:直线AB 的斜率为定值,并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点,所以△=2p 2-8p =0,p =2,所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ,B y 224 ,y 2,则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1,所以y 1y 2y 1+y 2 =4,又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ,所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214,即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4,当x =0时y =4,所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ,B y 224 ,y 2,则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0,所以y 1+y 0+y 2+y 0=0,y 1+y 2=-2y 0,所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2,讨论f x 的单调性;(2)若a =1,x ≥1,求证:f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时,f x 在0,1e 上单调递增,在1e,+∞ 上单调递减;当0<a <e 2 时,f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增,在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1,所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ,①若a ≤0,则2ax -1<0,当x ∈0,1e时,f x >0,f x 是增函数,当x ∈1e,+∞ 时,f x <0,f x 是减函数;②若0<a <e 2 ,即12a >1e ,当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时,f x >0,f x 是增函数,当x ∈1e ,12a时,f x <0,f x 是减函数.综上可得,当a ≤0时,f x 在0,1e 上单调递增,在1e,+∞ 上单调递减;当0<a <e 2 时,f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增,在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时,要证f x >32x 2-2x +1+sin x ,只需证f x ≥32 x 2-2x +2,即证x 2-x ln x -1+1x≥0,因为x ≥1,所以x 2-x ≥0,设g x =ln x -1+1x,则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0,所以g x 在1,+∞ 上是增函数,g x ≥g 1 =0,ln x -1+1x≥0,所以x 2-x ln x -1+1x≥0,因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为3,3 ,在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程;(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点,且AP 2+AQ 2=40,求证:线段PQ 的中点M 恒在一条直线上,并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ,由ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ,即x -1 2+y -1 2=4,设x -1=2cos φ,y -1=2sin φ,得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ,Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ,设M x ,y ,则x =1+cos φ1+cos φ2,y =1+sin φ1+sin φ2,由AP 2+AQ 2=40,得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40,整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0,即x +y =0,所以点M 恒在直线x +y =0上,所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2,求不等式f x >1的解集;(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ,关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅,求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解:(1)当m =2时,f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4,当x <2时,-2>1不成立,当2≤x ≤4时,由2x -6>1,得72<x ≤4,当x >4时,2>1成立,所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ,所以-m ≤f x ≤m ,又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3,当a -b =b =1a -b b,即a =2,b =1时取等号,若对满足a >b >0的任意实数a ,b ,关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅,则m <3,所以m 的取值范围是-3,3 .。
2020届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题,然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示,(a +b +c +x )表示周一开车上班的人数,(b +d +e +x )表示周二开车上班人数,(c +e +f +x )表示周三开车上班人数,x 表示三天都开车上班的人数,则有:1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩, 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩,即212b c e x +++=,当0b c e ===时,x 的最大值为6, 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为:6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用,数形结合的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知F 1,F 2分别是双曲线3x 2-y 2=3a 2(a >0)的左、右焦点,P 是抛物线y 2=8ax 与双曲线的一个交点,若|PF 1|+|PF 2|=12,则抛物线的准线方程为________. 【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=,抛物线的准线为2x a =-,联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得3x a =,即点P 的横坐标为3a ,而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解得26PF a =-,∴2326PF a a a =+=-,解得1a =,∴抛物线的准线方程为2x =-,故答案为2x =-.3.已知实数a ,b 满足22182a b+=θθ+取最大值时,tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得:()θθθϕ=+≤=2,进而可求得答案 【详解】由22182a b +=得2284a b +=,利用辅助角公式可得:()θθθϕ=+≤=2,其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2,当且仅当22a b ==,()sin 1θϕ+=时成立, 此时tan 1ϕ=,故4πϕ=,所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则24k πθπ=+,k Z ∈,则tan 1θ=,故答案为:1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形,关键是利用辅助角公式化简,利用基本不等式求最值,属于中档题目.4.已知等差数列{}n a 满足:22158a a +=,则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据22158a a +=,利用平方关系,设15,a a θθ==,则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++,再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 因为22158a a +=,由22cos sin 1αα+=,设15,a a θθ==,则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+,所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+, 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时,12a a +的最大值为5.故答案为:5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式,三角换元法的应用以及三角恒等变换,三角函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 5.已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点,则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导,观察得到'(0)0f =,并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根,结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+,函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点, 即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根,且在根的两侧异号,可以求得'(0)0f =,令'()0f x =,得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-,则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-,求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-,设2()(1)(1)xh x x ex =--+,222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--,设()()u x h x =',222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-,可知当0x <时,'()0u x >,0x >时,'()0u x <,所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增,在(0,)+∞上单调减,且'(0)0h =, 所以'()0h x ≤恒成立,所以()h x 为减函数,且(0)0h =, 所以当0x <时,'()0g x >,当0x >时,)'(0g x <, 所以()g x 在(,0)-∞上单调增,在(0,)+∞上单调减, 当0x >时,21,()0xeg x >>,当0x <时,21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示:可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-, 因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点,且'(0)0f =,所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解,所以0a ≤或12a ≥, 故答案为:0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质,涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根,结合图象得到结果,属于较难题目. 6.已知直线,若对任意,直线与一定圆相切,则该定圆方程为 . 【答案】【解析】试题分析:取特殊值,三条直线分别为,这三条直线只与圆都相切,经验证,对任意,直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ,直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直,直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ,若2AF FB =u u u r u u u r,则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程,与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程,设1122(,),(,)A x y B x y ,由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-,由韦达定理得12y y +,12y y ,由此可得,,a b c 的齐次等式,从而求得离心率. 【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直,即直线l 方程为()ay x c b =+,由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=, 即2222324()20c b a y ab cy a b --+=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则3122222()ab c y y c b a +=-①,2412222()a b y y c b a =-②, 又2AF FB =u u u r u u u r,(,0)F c -,所以122y y =-③,③代入①得32222()ab y c a b =-,所以31224()ab y c a b =--,12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--,整理得22910c a =,所以c e a ==.. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是设出直线l 方程,与双曲线方程联立消元后得一元二次方程,注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助,原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-,结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式,从而求得离心率.8.用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值,若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥,则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解. 【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增,所以[0,]2a π∈,若2a π<,则存在0δ>,使得[,2]a a a δ+∈,且[0,]sin()a a M δ+>,不合题意,所以[0,]1a M =,所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤,所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得513612a ππ≤≤. 故答案为:513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 【点睛】本题考查新定义,考查正弦函数的单调性与最值,掌握正弦函数性质是解题基础,正确理解新定义是关键.9.四棱锥P ABCD -中,2PA BC CD ===,PB PC PD AB AD =====,则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ,通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ,过P 作PO ⊥平面ABCD ,则O 在AC 上,连接,BO DO ,利用180AOD COD ∠+∠=︒,应用余弦定理求得各线段长,由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积. 【详解】连接,AC BD 交于点E ,由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥,E 是BD 中点,又PB PD =,所以PE BD ⊥,又PE AC E =I ,所以BD ⊥平面PAC ,BD ⊂平面ABCD ,所以平面PCD ⊥平面ABCD , 过P 作PO ⊥平面ABCD ,则O 在AC 上,连接,BO DO ,则BO DO CO ===AO =设CO a =,则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-, 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-,由0a >,解得2a =,所以1AO =,2BO CO DO ===,PO =,11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ,DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==. 故答案为:3.【点睛】本题考查求四棱锥的体积,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.10.已知向量a r ,b r满足1a =r ,3b =r ,若存在不同的实数1λ,()2120λλλ≠,使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ,则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r,()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形(数量积的运算)得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根,利用韦达定理求得12λλ-,则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数,由k 的范围可得结论,在题中注意k 的范围的确定. 【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ,111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ,设a b k ⋅=r r(33k -≤≤),由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ,整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=,同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=,所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根,由120λλ≠得0k ≠,3k =-方程无解,故0k ≠且3k ≠-,8(3)(6)0k k ∆=+->,1223λλ+=,126(3)kk λλ=+,所以12λλ-===,3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U .故答案为:[2,U . 【点睛】本题考查平面向量的数量积,解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根,这样可用韦达定理求得12λλ-,从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数.11.已知P 是椭圆2214x y +=上一动点,()2,1A -,()2,1B ,则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形,设()00,P x y ,过P 作PH AB ⊥交AB 于H ,由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠,结合椭圆的方程化为0y 的表达式,利用换元法令01t y =-,将tan APB ∠转化为关于t 的函数式,讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况,结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值,再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意,画出椭圆的图形如下图所示:设()00,P x y ,过P 作PH AB ⊥交AB 于H , 则002tan 1x AH APH PH y +∠==-,02tan 1x BH BPH PH y -∠==-, 由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上,所以220014x y +=,则220044x y =-, 代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知,[]01,1y ∈-, 令[]01,0,2t y t =-∈, 则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---,[]0,2t ∈,当0t =时,tan 0APB ∠=,此时,cos 1APB APB π∠=∠=-,当(]0,2t ∈时,由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭, 当且仅当43t t =,即233t =时取等号,此时cos APB ∠的值最大,因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩,化简可得223cos 4APB -∠=,所以62cos APB -∠=, 综上所述,可知cos APB ∠的最大值为624-, 故答案为:624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用,由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用,由基本不等式确定最值,综合性强,属于难题.12.已知21a e b e -=-=r r r r ,1e =r ,则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ,不失一般性,设(1,0)e =r ,由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r,的终点在两个圆上运动,设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ,,化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =,不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ,,21a e r rQ -=,22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=,22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +,(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r,, (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为:14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法:把问题转化为几何图形的研究,再把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.13.三角形ABC 面积为S ,若2221054c a b +=,则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-,将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示,并化简,再令22c t a =,得到关于t 的式子,构造函数,并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值,进而得解. 【详解】由2221054c a b +=,得()22211054b c a =+, 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-,()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 令22c t a =,则0t >,2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭',令()0f 't =,解得32t =-(舍)或12t =,所以,当102t <≤时,'()0f t >,()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增; 当12t >时,()0f t <',()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以,当12t =时,()f t 取得最大值,11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭,即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136,所以,2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为:16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力,构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键,难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14.已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列,数列{}n c 为公差为3等差数列,数列{}n a 满足2n n n b a a +=-,12n n n c a a +=+,若11a =,则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式,进而可求数列{}n a 通项公式,最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为:1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式,考查基本分析求解能力,属中档题.二、解答题15.如图,在△ABC 中,a b c ,,为A B C ,,所对的边,CD ⊥AB 于D ,且12BD AD c -=.(1)求证:sin 2sin()C A B =-; (2)若3cos 5A =,求tan C 的值.【答案】(1)见解析(2)4811-【解析】(1)由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=,由正弦定理,得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=,即可作出证明;(2)由(1)得3cos sin sin cos A B A B =,得到4sin 5A =,所以4tan 3A =,4tan 9B =,即可求解tan C 的值.【详解】(1)证明:因为12BD AD c -=, 所以1cos cos 2a Bb Ac -=,由正弦定理,得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=,所以()sin 2sin C A B =-.(2)解:由(1)得,()()sin 2sin A B A B +=-, 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-, 化简,得3cos sin sin cos A B A B =.又3cos 5A =,所以4sin 5A=,所以4tan 3A =,4tan 9B =, 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题,对于解三角形问题,通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系,利用“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经常利用三角形内角和定理,三角形面积公式,结合正、余弦定理解题.16.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,12A A AC =,D ,E ,F 分别为线段AC ,1A A ,1C B 的中点.(1)证明://EF 平面ABC ; (2)证明:1C E ⊥平面BDE .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析; 【解析】(1)取BC 的中点G ,连结AG ,FG ,可证四边形AEFG 是平行四边形,得EF ∥AG ,即可证明结论;(2)根据已知可得22211EB C E C B +=,得出1C E BE ⊥,再由已知得BD AC ⊥,结合正三棱柱的垂直关系,可证BD ⊥平面11A ACC ,进而有1BD C E ⊥,即可证明结论.【详解】(1)如图,取BC 的中点G ,连结AG ,FG . 因为F 为1C B 的中点,所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中,1A A ∥111,C C A A C C =, 且E 为1A A 的中点,所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , 所以EF ∥平面ABC .(2)因为在正三棱柱111ABC A B C -中,1A A ⊥平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点,BA BC =,所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ,1A A ⊂平面11A ACC ,AC ⊂平面11A ACC , 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ,所以1BD C E ⊥. 根据题意,可得16EB C E AB ==,13C B AB =, 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒,即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ,BD ⊂平面BDE ,EB ⊂平面BDE , 所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明直线与平面平行以及直线与平面垂直,注意空间垂直关系的相互转化,属于中档题.17.动圆P 过定点(2,0)A ,且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. (1)若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程;(2)在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ,使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值?若存在,求出点Q 的坐标及定值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)24y x =.(2)存在点(2,0)Q ,定值为14. 【解析】(1)设(,)P x y ,由题意知:PA PG =,利用距离公式及弦长公式可得方程,化简可得P 的轨迹方程;(2)假设存在(,0)Q a ,设()11,S x y 、()22,T x y ,由题意知直线l '的斜率必不为0,设直线l '的方程,与抛物线联立,利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+,当2a =时,上式221114QS QT +=,与1t 无关,为定值. 【详解】(1)设(,)P x y ,由题意知:PA PG =.当P 点不在y 轴上时,过P 做PB GH ⊥,交GH 于点B ,则B 为GH 的中点,122GB GH ∴==,PG ∴=又PA =Q ,=24(0)y x x =≠;当P 点在y 轴上时,易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =,∴曲线C 的方程为24y x =.(2)假设存在(,0)Q a ,满足题意.设()11,S x y 、()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0, 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=,124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+,2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ,()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+,()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++, ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++, 当2a =时,上式221114QS QT +=,与1t 无关,为定值. ∴存在点(2,0)Q ,使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解,求轨迹方程,一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可,存在性与定值问题一般设存在,代入,结合韦达定理等知识消去参数求解,属于较难题型.18.某景区平面图如图1所示,A B C E D 、、、、为边界上的点.已知边界CED 是一段抛物线,其余边界均为线段,且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===,抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =.以AB 所在直线为x 轴,OE 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求边界CED 所在抛物线的解析式;(2)如图2,该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地,使得点M N 、在边界AB 上,点P Q 、在边界CED 上,试确定点P 的位置,使得矩形MNPQ 的周长最大,并求出最大周长. 【答案】(1)217(44)4y x x =-+-≤≤;(2)点P 与点C 重合.最大值为22, 【解析】(1)根据题意,设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤,代入点C 、E 坐标,即可求解参数;(2)根据题意结合(1)中抛物线解析式,设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,利用坐标表达矩形的周长,根据二次函数性质,可求最值问题. 【详解】(1)根据对称性可知,1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===, (4,3),(0,7)C E ∴,设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤,Q 抛物线的图象经过C ,E 两点,1637a c c +=⎧⎨=⎩,解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤; (2)设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, Q 四边形MNPQ 是矩形,2ON OM m ∴==,2174PN QM m ==-+, 24MN QP ON m ∴===,∴矩形MNPQ 的周长为: 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ,开口向下, ∴当4m =时,矩形MNPQ 的周长有最大值,最大值为22,此时P 点坐标为(4,3),即点P 与点C 重合.【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式,考查计算能力,考查运用二次函数模型解决实际问题,属于中等题型.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- (1)求证:数列{}n a 是等比数列;(2)若*q N ∈,是否存在q 的某些取值,使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和?若能求出q 的全部取值集合,若不能说明理由.(3)若q ∈R ,是否存在[3,)q ∈+∞,使数列{}n a 中,某一项可以表示为另外三项之和?若存在指出q 的一个取值,若不存在,说明理由.【答案】解:(1)见详解;(2)不存在;(3)不存在【解析】(1)由前n 项和公式,结合1n n n a S S -=-求出n a ,进而可得出结论成立;(2)根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++,不妨设4321n n n n >>>,两边同除以1nq ,再结合条件,即可得出结论;(3)同(2),先设4321n n n n >>>,当3q ≥,结合条件验证不成立即可.【详解】(1)n=1时,11a S a ==, 2n ≥时,()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-(n=1也符合) ()1n n a aq n N -+∴=∈,1n na q a +∴=,即数列{}n a 是等比数列. (2)若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>,两边同除以1n q 得:3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除,右边不能被q 整除,因此满足条件的q 不存在.(3)若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>,3q ≥Q ,334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++,∴ 4321n n n n a a a a =++不成立.【点睛】本题主要考查等比数列,熟记等比数数列的性质和公式即可,属于常考题型.20.已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.(1)求()f x 的解析式;(2)若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ,2x ,且12x x <,求()21g x x 的取值范围.【答案】(1)()ln f x x =;(2)1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】(1)求得两个函数的导数,由公切线的斜率相同可得,a s 的方程;将切点代入两个函数,可得,a s 的方程;联立两个方程即可求得a 的值,进而得()f x 的解析式; (2)将()f x 的解析式代入并求得()g x ',由极值点定义可知1x ,2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根,由韦达定理表示出1212,x x x x +,结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简,分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+,求得()h t '并令()0h t '=求得极值点,由极值点两侧符号判断单调性,并求得最小值,代入端点值求得最大值,即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】(1)根据题意,函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=,1y x e'=, 两图象在点(),P s t 处有相同的切线, 所以两个函数切线的斜率相等,即1a s e s⨯=,化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =, 综合上述两式可解得1a =,所以()ln f x x =.(2)函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+,定义域为()0,∞+, ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+, 因为1x ,2x 为函数()g x 的两个极值点,所以1x ,2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根,由根与系数的关系知121x x =+,122m x x =,()* 又已知12x x <,所以121012x x <<<<, ()()2222111ln g x x m x x x -+=, 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-, 令()12ln h t t t t =-+,1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭, ()2ln 1h t t '=+,令()0h t '=,解得t =当12t ⎛∈ ⎝时,()0h t '<,()h t在12⎛ ⎝单调递减;当t ⎫∈⎪⎭时,()0h t '>,()h t在⎫⎪⎭单调递增; 所以()min 11h t h ===, ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭, ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭, 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义,根据公切线求参数值,由导数研究函数的极值点、单调性与最值,构造函数法的综合应用,属于难题.。
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷一、填空题 (共14题;共14分)1.(1分)已知i 为虚数单位,复数 z =11+i,则 |z| = . 2.(1分)已知集合A = {x|0≤x ≤1} ,B = {x|a −1≤x ≤3} ,若A ∩B 中有且只有一个元素,则实数a 的值为 .3.(1分)已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 .4.(1分)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线 x 2a2−y 24=1 (a >0)的一条渐近线方程为 y =23x ,则a = . 5.(1分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 12 ,乙获胜的概率是 13,则乙不输的概率是 .6.(1分)下图是一个算法的流程图,则输出的x 的值为 .7.(1分)“直线l 1: ax +y +1=0 与直线l 2: 4x +ay +3=0 平行”是“a =2”的条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).8.(1分)已知等差数列 {a n } 的前n 项和为 S n , a 1=9 , S99−S 55=−4 ,则 a n= .9.(1分)已知点M 是曲线y =2lnx +x 2﹣3x 上一动点,当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 .10.(1分)已知 3cos2α=4sin(π4−α) , α∈ ( π4 , π ),则 sin2α = .11.(1分)如图,在矩形ABCD 中,E 为边AD 的中点, AB =1 , BC =2 ,分别以 A 、 D 为圆心, 1 为半径作圆弧 EB 、 EC ( 在线段 AD 上).由两圆弧 EB 、 EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周,则所形成的几何体的体积为 .12.(1分)在△ABC 中,( AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ( λ >1),若角A 的最大值为 π6 ,则实数 λ 的值是 .13.(1分)若函数 f(x)=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ,n ]上的值域是[m 2,n 2](1<m <n ),则a 的取值范围是 .14.(1分)如图,在△ABC 中,AB =4,D 是AB 的中点,E 在边AC 上,AE =2EC ,CD 与BE 交于点O ,若OB = √2OC ,则△ABC 面积的最大值为 .二、解答题 (共11题;共100分)15.(10分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足bcosA ﹣ √3 asinB =0.(1)(5分)求A ;(2)(5分)已知a =2 √3 ,B = π3 ,求△ABC 的面积.16.(10分)如图,在四棱锥P —ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,BD ⊥DC ,△PCD 为正三角形,平面PCD ⊥平面ABCD ,E 为PC 的中点.(1)(5分)证明:AP∥平面EBD;(2)(5分)证明:BE⊥PC.17.(10分)某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1 (百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).(1)(5分)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;(2)(5分)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.18.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为1 2.且经过点(1,32),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).(1)(5分)求椭圆C的标准方程;(2)(5分)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.19.(10分)已知函数f(x)=23x3−mx2+m2x(m∈R)的导函数为f′(x).(1)(5分)若函数g(x)=f(x)−f′(x)存在极值,求m的取值范围;(2)(5分)设函数ℎ(x)=f′(e x)+f′(lnx)(其中e为自然对数的底数),对任意m∈R,若关于x的不等式ℎ(x)≥m2+k2在(0,+∞)上恒成立,求正整数k的取值集合.20.(10分)已知数列{a n},{b n},数列{c n}满足c n={a n,n为奇数b n,n为偶数,n∈N∗.(1)(5分)若a n=n,b n=2n,求数列{c n}的前2n项和T2n;(2)(5分)若数列{a n}为等差数列,且对任意n∈N∗,c n+1>c n恒成立.①当数列{b n}为等差数列时,求证:数列{a n},{b n}的公差相等;②数列{b n}能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列{b n};若不能,请说明理由.21.(5分)已知矩阵A=[1321],B=[−2311],且二阶矩阵M满足AM=B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为{x=2+cosθy=√3+2√3cos2θ2(θ为参数),以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为r=4sinθ.(1)(5分)求曲线C的普通方程;(2)(5分)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.23.(5分)已知正数x,y,z满足x+y+z=t(t为常数),且x24+y29+z2的最小值为87,求实数t的值.24.(10分)某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推).抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.(1)(5分)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;(2)(5分)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.(10分)已知抛物线C:x2=4py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1)(5分)求点G的轨迹方程;(2)(5分)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.答案解析部分1.【答案】√22【解析】【解答】z=11+i =12−12i⇒|z|=√22.故答案为:√22.【分析】先把复数进行化简,然后利用求模公式可得结果.2.【答案】2【解析】【解答】由题意A∩B中有且只有一个元素,所以a−1=1,即a=2. 故答案为:2.【分析】利用A∩B中有且只有一个元素,可得a−1=1,可求实数a的值. 3.【答案】0.08【解析】【解答】首先求得x̅=15(1.6+1.8+2+2.2+2.4)=2,S2=15[(1.6−2)2+(1.8−2)2+(2−2)2+(2.2−2)2+(2.4−2)2]=0.08.故答案为:0.08.【分析】先求解这组数据的平均数,然后利用方差的公式可得结果.4.【答案】3【解析】【解答】因为双曲线x 2a2−y24=1(a>0)的渐近线为y=±2ax,且一条渐近线方程为y=23x,所以a=3.故答案为:3.【分析】双曲线的焦点在x轴上,渐近线为y=±2a x,结合渐近线方程为y=23x可求a .5.【答案】56【解析】【解答】乙不输的概率为12+13=56,故答案为:56.【分析】利用互斥事件概率加法公式列式,即可求出乙不输的概率。
江苏专版2020届高三数学一轮复习典型题精选精练统计与概率一、填空题1、(南京市2018高三9月学情调研)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查,则应从丙专业抽取的学生人数为▲.2、(南京市2019高三9月学情调研)已知某地连续5天的最低气温(单位:摄氏度)依次是18,21,22,24,25,那么这组数据的方差为▲.3、(南京市2019高三9月学情调研)不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球,其中2只白球,3只红球,现从中随机取出2只球,则取出的这2只球颜色相同的概率是▲.4、(南京市六校联合体2019届高三12月联考)若一组样本数据3,4,8,9,a的平均数为6,则该组数据的方差s2=▲.5、(南京市六校联合体2019届高三12月联考)从1,2,3,4这四个数中一次性随机地取出2个数,则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__.6、(南京市13校2019届高三12月联合调研)已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料,从这4瓶饮料中随机取2瓶,则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是▲.7、(南京市13校2019届高三12月联合调研)如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据此样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为▲.8、(南师附中2019届高三年级5月模拟)某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是.9、(南师附中2019届高三年级5月模拟)3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖,甲、乙两人同时各抽取1张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是.10、(苏州市2018高三上期初调研)为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2: 3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数是.11、(徐州市2019届高三上学期期中)某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品,收获时测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图所示,则该养殖场有▲个网箱产量不低于50 kg.12、(海安市2019届高三上学期期中)已知某民营车企生产A,B,C三种型号的新能源汽车,库存台数依次为120,210,150,某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试,则应抽取B型号的新能源汽车的台数为.13、(海安市2019届高三上学期期中)有红心1,2,3,4和黑桃5这五张扑克牌,现从中随机抽取两张,则抽到的牌均为红心的概率是.14、(南通市三地(通州区、海门市、启东市)2019届高三上学期期末)如图是某次青年歌手大奖赛上5位评委给某位选手打分的茎叶图,则这组数据的方差为▲15、(如皋市2019届高三上学期期末)为了解某地区的中小学生视力情况,从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查,该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800,则从高中抽取的学生人数为▲16、(苏北三市(徐州、连云港、淮安)2019届高三期末)已知一组样本数据5,4,x,3,6的平均数为5,则该组数据的方差为.17、(南京市、盐城市2019届高三上学期期末)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5,现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,其中样本中A型号产品有16件,那么此样本的容量n=▲18、(泰州市2019届高三上学期期末)从1,2,3,4,5这五个数中随机取两个数,则这两个数的和为6的概率为19、(无锡市2019届高三上学期期末)史上常有赛马论英雄的记载,田忌欲与齐王赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为.20、(宿迁市2019届高三上学期期末)春节将至,三个小朋友每人自制1张贺卡,然后将3张贺卡装在一盒子中,再由三人依次任意抽取1张,则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为▲.21、(南京市、盐城市2019届高三第二次模拟)某药厂选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、,第二组,……,第五组,右图市根据实验数据制成的频率分布直方图,已知第一组于第二组共有20人,则第三组钟人数为.22、(南京市2019届高三第三次模拟)已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示,那么这一周该商品日销售量的平均数为▲.23、(南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟(二))随机抽取100名年龄在[10,20),[20,30),…,[50,60)年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人,则在[50,60)年龄段抽取的人数为__24、(七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第一次模拟(2月))某中学组织学生参加社会实践活动,高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下:次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为▲.25、(七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第二次模拟)从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动,则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为▲.26、(七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第二次模拟(5月))一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球,其中有3只白球,1只红球.从中1次随机摸出2只球,则2只球都是白球的概率为▲.27、(苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查(二))口装中有形状大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4.若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之积大于6的概率为.28、(苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查(一))箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球,一次摸出2只球,则摸到的2只球颜色相同的概率为.29、(盐城市2019届高三第三次模拟)现有数学、物理、化学三个兴趣小组,甲、乙两位同学各随机参加一个,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_____.30、(江苏省2019年百校大联考)某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s,黄灯时间为3s,绿灯时间为60s.从西向东行驶的一辆公交车通过该路口,遇到红灯的概率为.二、解答题1、(南京市2018高三9月学情调研)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球,每种颜色的小球各有4个,分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球.(1)若两个球颜色不同,求不同取法的种数;(2)在(1)的条件下,记两球编号的差的绝对值为随机变量X,求随机变量X的概率分布与数学期望.2、(南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考)将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习.(1)求4名大学生恰好在四个不同公司的概率;(2)随机变量X表示分到B公司的学生的人数,求X的分布列和数学期望E(X).3、(南京市13校2019届高三12月联合调研)在某次活动中,有5名幸运之星.这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点),抛掷点数小于3的获得A奖品,抛掷点数不小于3的获得B奖品.(1)求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率;ξ=-,求随机变量ξ的分布列及数学(2)设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数,并记X Y期望.4、(徐州市2018高三上期中考试)某同学在上学路上要经过A 、B 、C 三个带有红绿灯的路口.已知他在A 、B 、C 三个路口遇到红灯的概率依次是13、14、34,遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.(1)求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率;,(2)求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.5、(南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟)一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球,每次从中取出一只球,取到白球得2分,取到黑球得3分.甲从暗箱中有放回地依次取出3只球.(1)求甲三次都取得白球的概率;(2)求甲总得分ξ的分布列和数学期望.6、(镇江市2018届高三第一次模拟(期末)考试)某学生参加4门学科的学业水平测试,每门得A 等级的概率都是14,该学生各学科等级成绩彼此独立,规定:有一门学科获A 等级加1分,有两门学科获A 等级加2分,有三门学科获A 等级加3分,四门学科全获A 等级加5分,记ξ1表示该生的加分数,ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值。
微专题11 有关数学文化的填空题主备:数学文化题是近几年全国卷中出现的新题型.预计在今后几年的江苏高考中,数学文化题会以填空题的形式考查,也不排除以解答题的形式考查,这类题难度适中或容易.传统文化试题一般强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养.这类问题一般以大篇幅的文字叙述或文言文表达,有许多学生会在阅读上容易陷入误区.一.【温故·习新】1.八卦是中国道家文化的深奥概念,是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦表示事物自身变化的阴阳系统,用“”代表阳,用“”代表阴,用这两种符号,按照大自然的阴阳变化平行组合,组成八种不同的形式(如图所示).从图中的八卦中随机选取一卦,则此卦中恰有两个“”的概率为 .解析 由图可知,恰有两个“”的是坎、艮、震,根据古典概型及其概率的计算公式,可得所求概率为38..2我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》。
内有一篇:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直。
从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合。
从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合。
问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为________步.(参考译文:假设测量海岛,立两根标杆,高均为5步,前后相距1 000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123步,人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步,人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少?岛与前标杆相距多远?)(丈、步为古时计量单位,当时是“三丈=5步”)解析 如图所示,设岛高x 步,与前标杆相距y 步,由相似三角形的性质,有⎩⎪⎨⎪⎧ 5x =123123+y ,5x =127127+1 000+y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1 255,y =30 750,则海岛高度为1 255步。
答案 1 255 3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,…。
2023届高三年级苏州八校三模适应性检测数学2023.5注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,阴影部分所表示的集合为A .()U AB ðB .()U B A ðC .()U A B ðD .()U B A ð2.为得到函数πcos()3y x =+的图象,只需将函数sin y x =的图象A .向左平移π6个长度单位B .向右平移π6个长度单位C .向左平移5π6个长度单位D .向右平移5π6个长度单位3.设函数2()2f x ax ax =-0a <)的定义域为D ,对于任意,m n D ∈,若所有点(,())P m f n 构成一个正方形区域,则实数a 的值为A .1-B .2-C .3-D .4-4.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式:2log (1)SC W N=+,它表示在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ,信道内信号的平均功率S ,信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中S N 叫做信噪比.当信噪比SN比较大时,公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W ,而将信噪比SN从1000提升至12000,则C 大约增加了(参考数据:lg 20.3010,lg30.4771,lg50.6990===)A .25%B .30%C .36%D .45%5.已知O 为坐标原点,点(1,0)A ,点P 在曲线21y x =+上,则向量OA −−→在向量OP −−→方向上的投影向量的长度的最大值为A 55B .12C 33D .22(第1题图)6.二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x 的指数为整数的项的个数为A .3B .5C .6D .77.记方程①:210x ax ++=,方程②:220x bx ++=,方程③:240x cx ++=,其中a b c ,,是正实数.若a b c ,,成等比数列,则“方程③无实根”的一个充分条件是A .方程①有实根,且②有实根B .方程①有实根,且②无实根C .方程①无实根,且②有实根D .方程①无实根,且②无实根8.若圆锥1SO ,2SO 的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上,两个圆锥的母线长分别为4,,则这两个圆锥重合部分的体积为A .8π3B .8πC .56π3D .56163π3+二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。