南开中学-数学答案--20200904

重庆市南开中学2020届高三数学上学期第一次教学质量检测考试试题 文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知集合{}|sin 0A x x ==，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =I （） A. {}0 B. {}π C. {}0,πD. 2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵A ＝{x |x ＝k π，k ∈Z }，B ＝{x |0＜x ＜4}， ∴A ∩B ＝{π}．故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，涉及三角方程的解法以及对数函数的单调性的应用．2.命题“若0x >，则21x >”的否命题是（） A. 若0x >，则21x ≤ B. 若0x ≤，则21x > C. 若0x ≤，则21x ≤ D. 若21x >，则0x >【答案】C 【解析】 分析】根据四种命题之间的关系，直接写出否命题即可．【详解】命题“若x ＞0，则2x ＞1的否命题是：若x ≤0，则2x ≤1，故选C ．【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系应用。

3.已知复数z ，若z 的实部为1，且zi的模长为2，则z =（） A. 1i - B. 1i ±C. 13i +D. 13i ±【答案】D 【解析】 【分析】由已知设z ＝1+mi （m ∈R ），代入zi，再由模长为2列式求得m 值，则z 可求． 【详解】设z ＝1+mi （m ∈R ）， 则|z i |＝|1mii+|2112mi m i +==+=， 解得m 3=±．∴z ＝13i ±．故选D ．【点睛】本题主要考查复数的定义以及复数模的公式应用。

重庆南开中学初2020级九年级(上)半期考试数学试题(全卷共五个大题。

满分150分，考试时间12020)一．选择题:(本大题共l2个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上对应题目的正确答案标号涂黑. 1．-3的绝对值为( ▲ )A ．3B ．﹣3C ．31 D ．31- 2．代数式21+y 中，y 的取值范围是( ▲ ) A ．0y ≠ B ．2y ≠ C ．2y >- D ．2y ≠- 3．下列因式分解中，正确的是( ▲ )A ．2()ax ax x ax a -=-B ．222()x y x y -=-C ．222222(1)a b ab c b b a ac ++=++D ．256(2)(3)x x x x --=-- 4．如图，已知AB ∥CD ，若︒=∠15E ，︒=∠55C ，则A ∠的度数为( ▲ ) A ．45° B ．40° C ．35° D ．25° 5．下列欧洲足球俱乐部标志中，是中心对称图形的是( ▲ )A B C D 6．若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是( ▲ )A ．六边形B ．七边形C ．八边形D ．九边形 7．下列说法中不正确．．．的是( ▲ ) A ．要反映我市一周内每天的最低气温的变化情况宜采用折线统计图 B ．打开收音机正在播放TFBOYS 的歌曲是必然事件 C ．方差反映了一组数据的稳定程度D ．为了解一种灯泡的使用寿命。

应采用抽样调查的办法 8．关于x 的方程1131=-+-xx k 有增根。

则k 的值为( ▲ ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．“十一”黄金周，山西乔家大院迎来了全国各地的游客，小渝就是数万游客中的一个；他在游览过程中，对传统建筑非常感兴趣．并发现窗户的每个窗格上都贴有剪纸．如下图，其中“O ”代表的就是剪纸。

重庆市南开中学2020届高三数学上学期第一次教学质量检测考试试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =I （） A. ∅ B. (]1,3 C. (]0,3D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3A B =I ，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()()12z i i i -+=，则z =（） A. 12i + B. 12i - C. 12i -+ D. 12i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数的共轭复数的概念求得. 【详解】由已知得21i z i i-=+，所以()()()211211i i z i i i i -=+=++-，所以12.z i =- 故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的共轭复数的概念，属于基础题.3.命题“若220x y +=，则0x =，0y =”的否命题为（）A. 若220x y +=，则0x ≠，0y ≠B. 若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C. 若x y +≠220，则0x =，0y =D. 若x y +≠220，则0x ≠或0y ≠【答案】D 【解析】 【分析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得. 【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D.【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4.关于函数()y f x =与()ln y f x =，下列说法一定正确的是（） A. 定义域相同 B. 值域相同C. 单调区间相同D. 奇偶性相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断解得.【详解】对于A 答案：()y f x =的定义域是R ，而()ln y f x =的定义域是()0,∞+，故A 错误；对于C 答案：()ln y f x =是复合函数，其单调需遵循“在定义域上，同增异减”的原则，故C 错误；对于D 答案：()ln y f x =的定义域是()0,∞+的子集，故()ln y f x =不具有奇偶性,故D 错误；因为ln y x =的值域是R ，故B 正确.【点睛】本题考查函数的的定义域、值域、单调性和奇偶性，属于基础题.5.下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 23y x -=C. 1y x x=- D.()2ln 1y x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解.【详解】由函数的奇偶性的判定方法，知C 选项是奇函数，所以排除C 选项， 又因为在(),0-∞上单调递减，在,,A C D 选项中，只有D 选项符合， 故选D .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.6.已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.516B.54C.52D. 5【答案】A 【解析】 【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， 故选A.【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.7.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数()R x 定义在[]0,1上，且()()1,,,0,010,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当为正整数为既约真分数当或或内的无理数，则以下说法：①()R x 的值域为[]0,1；②方程()R x x =有无穷多个解；③()R x 的图像关于直线12x =对称；其中正确的个数为（） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义判断选项，可以选取特殊的值验证求解. 【详解】由黎曼函数的定义可知()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭L L （其中p 是大于或等于2的自然数），故①错误；方程()R x x =的解有：11111,,,,,,234pL L ，（其中p 是大于或等于2的自然数），故②正确； 对于任何的自然数2p ≥，根据()()f f 1x x =-，所以()R x 的图像关于直线12x =对称，故③正确； 故选C.【点睛】本题考查新定义函数，思考时牢牢抓住函数的定义，属于中档题.8.设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，则（） A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中介值“1 ”，和指数的同指或同底时的大小比较得解. 【详解】0.30.3log 0.2log 0.31b =>=Q , 0.30.20.20.20.20.41a =<<<,b c a ∴>>故选B.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.9.若函数()()213log 28f x ax x =++的值域为[)2,-+∞，则()f x 的单调递增区间为（） A. (),2-∞- B. (]2,1- C. [)1,4D. ()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的值域得真数的最大值，从而求出参数的值，再根据复合函数的单调性的判断求解. 【详解】由已知得令228t ax x =++的最大值是9，所以解得1a =-，所以()()213log 28f x x x =-++， 又因为228t ax x =++在()2,4-上0,t >且在(],1-∞上单调递增，在[)1,∞上单调递减， 根据复合函数的单调性得C 选项正确. 故选C.【点睛】本题考查对数函数的值域和单调性，属于中档题.10.下图可能是下列哪个函数的图像（）A. ()221x x y x -=- B. ()2ln 1x x y x -=-C. 2ln 1y x x =- D. ()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C 【解析】 【分析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项中的0,y >C 选项中的0,y < 故选C.【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.11.已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()20f =，当0x ≠时，()()2'f x f x x>，则不等式()()10x f x -<的解集为（） A. ()(),20,2-∞-U B. ()()2,02,-+∞U C. ()(),21,2-∞-U D. ()()2,01,2-U【答案】D 【解析】 【分析】将已知的含导函数的不等式构造成某个函数的导函数，得这个函数的单调性，再根据奇偶性得这个函数的大致图像趋势，并且得出其函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负求解. 【详解】当0x >时，由()()2'f x f x x >得()()2'0f x f x x ->，即()()'20xf x f x x->，所以()()24'20x f x xf x x ->，即()'20f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以令()()2f x g x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递增，且()20g =， 又因为()f x 上奇函数，所以()g x 也是奇函数，且在()()2,02,-+∞U 时()0g x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0g x <， 又因为20x >，所以在()()2,02,-+∞U 时()0f x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0f x < 解不等式()()10x f x -<中，当1x >时，()0f x <，所以其解集为()1,2； 当1x <时，()0f x >，所以其解集为()2,0-. 故得解.【点睛】本题的关键在于构造函数分析其单调性、奇偶性和函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负的取值范围，属于难度题.12.已知函数()f x 对x R ∀∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=⋅+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（）A.34B. 2C.52D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解. 【详解】因为()()()12f x f x f x +=⋅+， ∴()()()213f x f x f x +=+⋅+，又()0f x > 故()()13f x f x +=，即()()6f x f x += 所以函数的周期为6， 由已知可得当0x =时，()()20f f =，()()()102f f f =⋅，又()0f x >，所以()()202f f ==，并且()()()()1113,4,5,62242f f f f ====， 所以()()()()1132019202034244f f f f +=+=+=，故选A.【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届天津市南开区南开中学高三上学期2月月考数学试题一、单选题1．设{}{}2,|21,log 0xU A x B x x ==>=R ,则C U A B ⋂= A ．{|0}x x < B ．{}1x xC ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤<【答案】C【解析】因为{}|21xA x =>=()0,∞+,B ={}2|log 0x x >=()1,∞+,所以(](]C ,1,C 0,1U U B A B ∞=-⋂=.故选C ．2．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120o 的扇形，则该圆锥的高为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．22【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高【考点】圆锥的面积3．设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()(1)f x >f 的解集是（ ）A ．(3,1)(3,)-⋃+∞B ．(3,1)(2,)-+∞UC ．(1,1)(3,)-+∞UD ．(,3)(1,3)-∞-U【答案】A【解析】试题分析：由函数f （x ）＝246,0{6,0x x x x x -+≥+<得(1)3()3f f x =∴>不等式化为即20{463x x x ≥-+>或0{63x x <+>所以301-303-31x x x x x >≤<<∴<<或或或【考点】分段函数和解不等式．4．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x>0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝()0{?1(0)x x x x≤>，其中定义域与值域相同的函数的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】逐个选项分析，分析函数的定义域及值域即可. 【详解】对于①，函数y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，符合题意； 对于②，函数y ＝2x －1(x>0)的定义域为()0,+∞，值域为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，不合题意； 对于③，函数y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，不合题意；对于④，函数,0{1,0x x y x x≤=>的定义域和值域都是R ．综上可知定义域与值域相同的函数是①④，共有2个．选B ． 【点睛】本题主要考查了一次函数，指数型函数，二次函数，分段函数的定义域及值域的求法，属于中档题.5．函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()0,2D ．138,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】分段函数在定义域内单调递减须满足在各段单调递减，还需要注意连接点处的函数值，由此可得()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫⨯-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解出即可． 【详解】解：因为函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的单调减函数，所以()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫⨯-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩， 所以138,a ⎛∈-∞⎤ ⎥⎝⎦， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于易错的基础题． 6．已知函数()1,2,{(02log ,2a x x f x a x x -≤=>+>且1)a ≠的最大值为1,则a 的取值范围是A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()0,1C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．()1,∞+【答案】A【解析】对x 进行分类讨论，当x≤2时，f （x ）=x ﹣1和当x ＞2时，2+log a x≤1．由最大值为1得到a 的取值范围． 【详解】∵当x≤2时，f （x ）=x ﹣1， ∴f （x ）max =f （2）=1 ∵函数()1,2,{2log ,2a x x f x x x -≤=+>（a ＞0且a≠1）的最大值为1,∴当x ＞2时，2+log a x≤1． ∴01log 21aa <<⎧⎨≤-⎩，解得a ∈[12，1） 故答案为：A 【点睛】（1）本题主要考查分段函数的最值问题，考查对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是分析推理出当x ＞2时，2+log a x≤1．7．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 【答案】D【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内8．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意[2,2]m ∈-，2(3)()0f ma f a -+>恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞U C ．()3,3-D ．-∞-+∞U (,3)(1,)【答案】A【解析】()()f x f x -=-, 且()2cos 30f x x =-<' ，所以函数()f x 为单调递减的奇函数，因此()()230f ma f a -+>222(3)()()3f ma f a f a ma a ⇒->-=-⇒-<-即223123111323a a a a a a a-<<⎧-<-⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--<-⎩⎩ ，选A. 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内9．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有()()()63f x f x f +=+成立，且()62f -=-，当1x ，[]20,3x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-.则给出下列命题：①()20162f =-；②6x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴；③函数()y f x =在()9,6--上为减函数；④方程()0f x =在[]9,9-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由()()()63f x f x f +=+可得()30f -=，结合偶函数的性质可得()30f =，从而推出()()6f x f x +=，可得函数()y f x =是以6为周期的周期函数，从而可判断①②，又根据当1x ，[]20,3x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-可得函数在[]0,3上单调递增，结合函数值以及对称性可判断③④． 【详解】解：对于①，令3x =-，由()()()63f x f x f +=+得()30f -=， 又函数()y f x =是R 上的偶函数， ∴()()330f f =-=， ∴()()6f x f x +=，即函数()y f x =是以6为周期的周期函数， ∴()()()201633660f f f =⨯=；又()62f -=-，所以()02f =-，从而()20162f =-，即①正确； 对于②，函数关于y 轴对称，周期为6，∴函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-，故②正确； 对于③，当1x ，[]20,3x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，设12x x <，则()()12f x f x <，故函数()y f x =在[]0,3上是增函数， 根据对称性，易知函数()y f x =在[]3,0-上是减函数， 根据周期性，函数()y f x =在()9,6--上为减函数，故③正确； 对于④，因为()()330f f =-=，又由其单调性及周期性可知 在[]9,9-，有且仅有()()()()33990f f f f =-==-=， 即方程()0f x =在[]9,9-上有4个根，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查抽象函数的基本性质的综合应用，属于中档题．二、填空题10．已知函数的定义域为，且，则______．【答案】【解析】易知，联立已知式子，得关于和的方程组，解方程进而可解. 【详解】在，用代替x ，得，联立得 ，将代入中，可求得．故填：【点睛】本题考查了通过给定条件求函数解析式的问题；求解函数解析式的几种常用方法有 ：①换元法；②待定系数法；③凑配法；④消元法；⑤赋值法等.11．已知函数()f x 的定义域为R ，直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，且()01f =，则()()410f f +=________.【答案】2【解析】（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，从而可推出()()2f x f x =+，进而可得出答案． （性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2，从而可求出答案． 【详解】解：（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，则()()222f x f x +=++⎡⎤⎣⎦，所以()()2f x f x =+，则()()()()410002f f f f +=+=. （性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2. 又()01f =，则()()()()410002f f f f +=+=. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，考查函数的周期性，属于中档题．12．设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n *⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是____________ 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10nmq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．13．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】82【解析】试题分析：由()3sin 2f x x x =++知当时，()()1222f x f x +=⨯.1120-+=⨯Q ，1919202020-+=⨯，⋅⋅⋅，(1)(1)22f f ∴-+=⨯，1919()()222020f f -+=⨯，⋅⋅⋅，则 ()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【考点】函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由()3sin 2f x x x =++可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难题.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=________. 【答案】8-【解析】()()4f x f x -=-可得()()8f x f x +=，从而有函数的一个周期为8，再结合奇函数的性质可得函数()f x 的图象关于2x =对称，结合题意可画出函数的大致图象，结合图象可求出答案． 【详解】解：因为()()4f x f x -=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 的一个正周期为8，又因为()f x 为奇函数，()()()4f x f x f x +=-=-，故函数()f x 的图象关于2x =对称，又由题意可知()f x 在[]0,2上单调递增， 综上，可以画出函数图象的示意图：方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ， 不妨设1234x x x x <<<，则1212x x +=-，344x x +=，则12348x x x x +++=-． 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质得综合应用，考查数形结合思想，属于难题． 15．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数()3f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________.【答案】33,4⎛--⎤⎥⎝⎦【解析】根据新定义可得31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案．【详解】解：设11x -<<，()()()()11111f f f x m --==+--，∴31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，∴()311x m x -=-，21m x x =---，()1,1x ∈-.∵2213124y x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在()1,1-的值域为33,4⎛--⎤ ⎥⎝⎦， 所以方程有解实数m 的取值范围是33,4⎛--⎤⎥⎝⎦，故答案为：33,4⎛--⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查函数在区间上能成立的问题，常用分离变量法，属于难题．三、解答题16．设函数()2sin cos sin 4f x x x x π=--⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数6f x π⎛-⎫⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【答案】（1）π；（2）最大值12，最小值3122--. 【解析】（1）根据降幂公式以及诱导公式化简函数()f x ，再根据周期计算公式即可得出答案；（2）先求得1sin 2632f x x ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--，再求出23x π-的范围，从而可求出函数的最值． 【详解】解：（1）因为()2sin cos sin 4f x x x x π=--⎛⎫⎪⎝⎭1cos 212sin 222x x π⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-- 111sin 2cos 22222x x π⎛⎫ ⎪⎝=+-⎭- 111sin 2sin 2222x x =-+ 1sin 22x =-，所以函数()f x 的最小正周期为π；（2）由（1）得1sin 2632f x x ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--，因为02x π≤≤，所以22333x πππ-≤-≤， 所以3sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以3111sin 222322x π--≤--⎛⎫⎪⎭≤ ⎝， 当512x π=时，6f x π⎛-⎫ ⎪⎝⎭取到最大值12；当0x =时，6f x π⎛-⎫⎪⎝⎭取到最小值3122--． 【点睛】本题主要考查三角函数的周期、最值，属于基础题．17．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.（1）求证：//AC 平面PDB ； （2）求二面角P AB C --的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CECP的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）217-;（Ⅲ）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）证线面平行，则要在平面PDB 找一线与之平行即可，显然分析//DB AC 即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为()()2,3,11,3,010PC AB ⋅=-⋅-=-≠u u u r u u u r，所以PC 与AB 不垂直，故不存在 试题解析：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以3AD =，所以60DBA ∠=o .因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=o ， 又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB ⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ， 所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.以,,DB DA DP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则由已知可知()1,0,0B ，()0,3,0A ，()0,0,1P ，()2,3,0C .平面ABC 的法向量()n 0,0,1=r，设()m ,,x y z =u u r为平面PAB 的一个法向量，则由m 0,{m 0BA BP ⋅=⋅=u u u r u u u r u u r u u r可得令1y =，则3,3x z ==，所以平面PAB 的一个法向量m 3,1,3=u u r，所以m n 321cos m,n 71m n ⋅===⨯u u r ru u r r u u r r所以二面角P AB C --的余弦值为21. （Ⅲ）由（Ⅱ）可得()1,3,0AB =-u u u r ，()3,1PC =-u u u r，因为()()3,11,3,010PC AB ⋅=-⋅-=-≠u u u r u u u r，所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足113n n n n S S a n++=+⋅（*n N ∈），且11a =. （Ⅰ）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析（2）94n S =-931423nn ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：证明数列为等比数列，就是要证明等比数列符合等比数列的定义，所证数列的通项恰好就是最好的暗示，从已知利用11n n n S S a ++-=把条件转化为1n a +与n a 的关系，进而得到证明；再利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（Ⅰ）依题意可得：113n n n n S S a n++-=⋅， 113n n n a a n ++∴=⋅，1113n n a an n+∴=⋅+. 又11a =，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比13q =的等比数列.（Ⅱ）令n n a b n =，113n n b b +∴=.又1111ab ==Q ， ∴数列{}n b 是以1为首项，13为公比的等比数列.1111133n n n b b --⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.113n n a n -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭（*n N ∈）.01111233n S ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 2133L ⎛⎫⋅++ ⎪⎝⎭ ()2111133n n n n --⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111133n S ⎛⎫∴⋅=⋅+ ⎪⎝⎭ 23112333⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ()111133n nn n -⎛⎫⎛⎫+-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴两式相减得：122111333n S ⎛⎫⎛⎫∴⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 313⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L 11133n nn -⎛⎫⎛⎫-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11112331313n n S -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭∴⋅=-1332nn ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭ 3123nn ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.94n S ∴=-931423nn ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】数列问题是高考必考问题，特别是等差数列和等比数列，使用12,n n n n a S S -≥=-这个公式是解决数列问题的关键；数列求和要掌握几种基本方法，19．已知函数()()21ln 3f x t x tx t =+++，t ∈R .（1）若0t =，求证:当0x ≥时，()2112x f x x -≥+； （2）若()4f x x ≥对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求t 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）[)1,+∞．【解析】（1）将0t =代入解析式得()ln f x x =，从而有()()1ln 1f x x +=+，令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，求导判断函数的单调性，从而求出最值得出结论；（2）由题意得()21ln 340t x tx t x +++-≥，令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，先根据()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，从而可推出函数()x ϕ在[)1,+∞递增，从而得出结论． 【详解】（1）证：当0t =时，()ln f x x =，()()1ln 1f x x +=+，即证()21ln 12x x x -≥+； 令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，则()201xg x x '=>+，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ≥=， 即()2112x f x x -≥+；（2）解：由()()241ln 340f x x t x tx t x ≥⇒++-≥+，令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，首先由()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，因为1t ≥所以()16810t t ∆=-+≤， 所以()0h x ≥恒成立，即()0x ϕ'≥，()x ϕ在[)1,+∞递增， 故()()1440x t ϕϕ≥=-≥， 综上：t 的取值范围[)1,+∞． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查恒成立问题，属于难题． 20．已知函数()()12f x lnx ax a R x=++∈在2x =处的切线经过点()4,2ln2- （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式2211lnx m x x>--恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()f x 在()0,+∞单调递减；（2）(],0-∞. 【解析】试题分析：(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数a 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论m 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数b 满足()0g x b >> ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为0 . 试题解析：（1）由题意得()221,0f x a x x x=+->'∴()324f a '=+，∴()f x 在2x =处的切线方程为()()()222y f f x '-=-即32214y a x ln ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，∵点()4,22ln -在该切线上，∴1a =-，∴()()22212110x f x x x x--=--=≤' 函数()f x 在()0,+∞单调递减； （2）由题意知0x >且1x ≠， 原不等式2211lnx m x x >--等价于21121lnx x m x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，设()()22111211g x lnx x f x x x x⎛⎫=-+= ⎪--⎝⎭， 由（1）得()f x 在()0,+∞单调递减，且()10f =，当01x <<时， ()()0,0f x g x >>；当1x >时， ()()0,0f x g x ； ∴()0g x >，假设存在正数b ，使得()0g x b >>，若01b <≤，当1x b >时， ()22111lnx g x b x x x=+<<-； 若1b >，当11x b <<时， ()22111lnx g x b x x x =+<<-；∴不存在这样的正数b ，使得()0g x b >>，∴()g x 的值域为()0,+∞ ∴m 的取值范围为(],0-∞.点睛：(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将分离系数后考查恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．。

重庆市南开中学2020届上学期期中考试高三数学（理）试题考试说明：试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1.若复数2323z i i i =-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A ．4B ．．2 D2.已知集合{}2340A x x x =+-≤，}11|{<=xx B ，那么=B A （ ） A.]1,4[- B.[]1,4- C.),1(+∞ D.)0,4[- 3.若递增的等比数列{}n a 满足1442425364=+-a a a a a a ，则=-35a a （ ） A.6 B.8 C.10 D.12 4.若R c b a ∈,,，则下列说法正确的是（ ） A.若b a >则22b a > B.若b a >则ba 11< C.若b a >则c b c a ->- D.若b a >则22bc ac > 5.已知向量)1,1(),,2(-==x ，且)//(+，则=⋅b a （ ） A.4 B.2 C.1- D.6 6.已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示，将)(x f 的图象向左平移4π个单位，则得到的新函数图象的解析式为（ ）A.)32cos(π+=x y B.cos(2)6y x π=+ C.)1272sin(π+=x y D.)122sin(π+=x y7.我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（ ）日两马相逢A.16B. 12C.9D.88.设0,0>>y x 且4=+y x ，则2122+++y y x x 的最小值是（ ） A.716 B.37 C.1023D.499.如图是2017年上半年某五省GDP 情况图，则下列叙述正确的是（ ） ①与去年同期相比，2017年上半年五个省的GDP 总量 均实现了增长；②2017年上半年山东的GDP 总量和增速均居第二； ③2016年同期浙江的GDP 总量高于河南；④2016和2017年上半年辽宁的GDP 总量均位列第五. A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④10.正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且2,,n n n a S a （*N n ∈）成等差数列，n T 为数列}{n b 的前n 项和，且21nn a b =，对任意*N n ∈总有)(*N K K T n ∈<，则K 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+++>-=)0(21)0(ln )(2x a x x x x x a x f 的最大值为)1(-f ，则实数a 的取值范围是（ ） A.]2,0[2e B.]2,1(2e C.]2,0[3e D.]2,(3e e12.已知单位向量,,,满足：,3||,=-⊥向量)sin (cos 2222⋅+⋅=θθ （R ∈θ），则)()(-⋅-的最小值为（ ） A.23B.1C.122-D.21第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13.已知向量,a b 的夹角为45，且1,210a a b =-=，则b =14.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上周期为2的奇函数，当]1,0(∈x 时，)1lg()(+=x x f ，则=+14lg )52018(f 15.已知ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且22cos 2sin 22=+CC , 若c b a ,,成等比数列，则A sin =16.为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同学用数字1和9构成数列}{n a ，满足：11=a ，在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个9)(*N k ∈，即1,9,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9，……，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2050()m S m N *=∈，则=m三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为*,N n S n ∈，公差0≠d ，153=S ， 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设142++=n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和.18.（本小题满分12分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是21和32，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是21，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为0），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. （Ⅰ）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（Ⅱ）设X 表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知向量)1,(cos ),43,(sin -==x n x m ，设x f ⋅+=)(2)(（Ⅰ）若23)(=x f ，求x 的所有取值； （Ⅱ）已知锐角ABC ∆三内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，求)(A f 的取值范围.20.（本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，以短轴为直径的圆O 面积为π2，椭圆上的点到左焦点的最小距离是22-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 和圆O 的方程；（Ⅱ）如图，B A ,为椭圆的左右顶点，N M ,分别为圆O 和椭圆C 上的点，且x MN //轴，若直线BN AN ,分别交y 轴于E D ,两点（N M ,分别位于y 轴的左、右两侧）. 求证：MD ME ⊥，并求当314||=⋅∆DEN S OD 时直线AN 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数xx x a x f 1ln 2)(+-=. （Ⅰ）若2=a ，求)(x f 在)0,1(处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 对任意]1,0(∈x 均有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：2111ln 1()2nk k n N k n *=+<-∈+∑.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。