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课时规范练14《素养分级练》P357基础巩固组1.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:(1)如果不超过200元,则不给予优惠;(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款()A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元答案:C解析:某人两次去购物,分别付款168元与423元,根据商场的优惠规定,168元的商品未优惠,而423元的商品是按九折优惠后的,则实际商品价格为423÷0.9=470(元),如果他一次性购买同样的商品,即总价格168+470=638(元)的商品时,应付款500×0.9+(638-500)×0.7=450+96.6=546.6(元),故选C.2.(2023·黑龙江哈尔滨高三检测)“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激励教育,它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能,使成绩在原来的基础上有不同程度的提高,特别对于成绩在中等偏下的学生来讲,其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化,构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位:天)增加总分数f(t)(单位:分)的函数模型:f(t)=kP1+lg(t+1),k为增分转化系数,P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分,且f(60)=16P.现有某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分,依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为()(lg 61≈1.79)A.440分B.460分C.480分D.500分答案:B解析:由题意得f(60)=kP1+lg61≈kP2.79,∴kP2.79≈16P,∴k≈2.796=0.465.∴f(100)=0.465×4001+lg101=1861+lg100+lg1.01≈1863=62,∴该学生在高考中可能取得的总分约为400+62=462≈460分.3.(2023·江西南昌高三检测)茶文化起源于中国,中国饮茶据说始于神农时代.现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃,给出三个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=at+b(a<0);②T=log a t+b(0<a<1);③T=20+b·a t(b>0,0<a<1).根据生活常识,从这三个函数模型中选择一个,模拟茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的关系,并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为()(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)A.2.72分钟B.2.82分钟C.2.92分钟D.3.02分钟 答案:B解析:依据生活常识,茶温一般不会低于室内温度,因此选择模型③,得到{80=20+ba ,68=20+ba 2,解得{a =45,b =75,因此20+75·45t ≤60⇒45t ≤815⇒t ≥3lg2-lg3-lg52lg2-lg5=4lg2-lg3-13lg2-1≈2.82. 4.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少还需要“打水漂”的次数为( )(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)A.4B.5C.6D.7答案:C解析:设石片第n 次“打水漂”时的速率为v (n ),则v (n )=100×0.9n-1.由100×0.9n-1<60,得0.9n-1<0.6,则(n-1)ln 0.9<ln 0.6,所以n-1>ln0.6ln0.9=lg0.6lg0.9=lg2+lg3-12lg3-1≈-0.222-0.046≈4.826,故n>5.826.又n ∈N *,所以至少需要“打水漂”的次数为6.5.(2022·浙江温州模拟)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t (单位:min)后的温度是T ,则T-T a =(T 0-T a )12t ℎ,其中T a 称为环境温度,h 为常数.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡,放在21 ℃的房间中,如果咖啡降到37 ℃需要16 min,那么这杯咖啡要从37 ℃ 降到25 ℃,还需要 min . 答案:16解析:由题意知T a =21 ℃.令T 0=85 ℃,T=37 ℃,得37-21=(85-21)·1216ℎ,∴h=8.令T 0=37 ℃,T=25 ℃,则25-21=(37-21)12t 8,∴t=16.综合提升组6.(2023·河南郑州高三检测)在国家大力发展新能源汽车产业政策下,我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年年底新能源汽车保有量为1 500辆,2020年年底新能源汽车保有量为2 250辆,2021年年底新能源汽车保有量为3 375辆.(1)根据以上数据,试从y=a ·b x (a>0,b>0且b ≠1),y=a ·log b x (a>0,b>0且b ≠1),y=ax+b (a>0)三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由),设从2019年年底起经过x 年后新能源汽车保有量为y 辆,求出新能源汽车保有量y 关于x 的函数关系式; (2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长,且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同,2019年年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆,预计到2024年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)解:(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知,应选择的函数模型是y=a ·b x (a>0,b>0且b ≠1),由题意得{a ·b 0=1 500,a ·b 1=2 250,解得{a =1 500,b =32,所以y=1 500·32x . (2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r ,依题意得,50 000(1-r )5=50 000(1-10%),解得1-r=0.915.设从2019年年底起经过x 年后的传统能源汽车保有量为y 辆,则有y=50 000(1-r )x =50 000(0.915)x ,设从2019年年底起经过x 年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车,则有1 500·32x>50 000(0.915)x , 化简得3·32x>100(0.915)x ,所以lg 3+x (lg 3-lg 2)>2+x 5(2lg 3-1),解得x>2-lg315+35lg3-lg2≈8.09,故从2019年年底起经过9年后,即2028年年底该地区的新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.创新应用组7.长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=水库实际蓄水量÷水库总蓄水量×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:(ⅰ)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100]; (ⅱ)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; (ⅲ)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.记x 为调度前某水库的蓄满指数,y 为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y 关于x 的函数解析式:①y=-120x 2+6x ;②y=10√x ;③y=10x50;④y=100sin π200x.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 . 答案:②④解析:①y=-120x 2+6x=-120(x 2-120x )=-120(x-60)2+180,该函数在x=60时函数值为180,超过了范围,不符合题意;②y=10√x 为增函数,且x ∈[0,100],y ∈[0,100],且√x ≤10,则x ≤10√x ,符合题意;③y=10x 50,当x=50时,10x 50=10<50,不符合题意;④y=100sin π200x ,当x ∈[0,100]时,π200x ∈0,π2,故该函数在[0,100]上单调递增,又y=100sin π200x ∈[0,100],设g (x )=100sin π200x-x ,x ∈[0,100],g'(x )=100·π200·cos π200x-1,x ∈[0,100],即g'(x )=π2·cos π200x-1,易知g (x )'=π2·cos π200x-1在[0,100]上单调递减.又g'(0)>0,g'(100)<0,则存在x 0∈[0,100],有g'(x 0)=0,当x ∈[0,x 0)时,g'(x )>0;当x ∈(x 0,100]时,g'(x )<0.故g (x )在[0,x 0)上单调递增,在(x 0,100]上单调递减.g (0)=0,g (100)=0,故在[0,100]上,g (x )≥0,即在[0,100]上,100sin π200x ≥x ,符合题意.。

第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念及运算第2课命题与简易逻辑第3课充分条件与必要条件第二章不等式第4课不等关系与不等式第5课二次函数的图象和性质第6课二次函数的最值第7课二次方程根的分布第8课一元二次不等式的解法第9课简单的线性规划问题第10课基本不等式第三章函数第11课映射与函数第12课分段函数第13课函数的单调性与最值第14课函数的奇偶性第15课函数的周期性第16课指数与指数函数第17课对数与对数函数第18课幂函数第19课抽象函数第20课函数的图象第21课函数与方程第22课函数模型及应用第四章导数第23课变化率与导数、导数的计算第24课利用导数来研究函数的单调性第25课利用导数研究函数的极值或最值第26课导数的综合应用第27课生活中的优化问题举例第五章平面向量与复数第28课向量的概念与线性运算第29课平面向量的基本定理与坐标表示第30课平面向量的数量积第31课复数第六章三角函数第32课任意角的三角函数第33课同角关系式及诱导公式第34课两角和与差及二倍角公式第35课简单的三角变换第36课三角函数的图象第37课三角函数的性质(1)第38课三角函数的性质(2)第39课正弦定理、余弦定理第40课解三角形的应用举例第七章数列第41课数列的概念与简单表示法第42课等差数列第43课等比数列第44课递推数列求通项（1）第45课递推数列求通项（2）第46课数列求和(1)第47课数列求和(2)第48课数列的综合应用第八章立体几何第49课空间几何体的结构第50课空间几何体的表面积与体积第51课空间几何体的三视图和直观图第52课空间点、线、面的位置关系第53课空间中的平行关系第54课空间中的垂直关系第55课立体几何中的探究性问题第56课立体几何中的翻折问题第57课空间直角坐标系第九章直线与圆第58课直线的方程第59课两直线的位置关系第60课圆的方程第61课对称问题第62课直线与圆、圆与圆的位置关系第十章圆锥曲线第63课椭圆及其标准方程第64课椭圆的简单几何性质第65课双曲线及其标准方程第66课双曲线的简单几何性质第67课抛物线第68课轨迹方程的求法第69课直线与圆锥曲线的位置关系第70课圆锥曲线的综合问题第十一章概率第71课随机事件的概率第72课古典概型第73课几何概型第十二章统计第74课抽样方法与统计图表第75课数字特征与总体估计第76课变量的相关性与统计案例第十三章算法初步第77课算法与框图第78课基本算法语句第十四章推理与证明第78课推理与证明第十五章选考部分第79课参数方程第80课极坐标第81课几何证明选讲。

课时规范练49《素养分级练》P327基础巩固组1.(2022·江西重点中学协作体二模)千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”等,小明同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”这一谚语,观察了所在地区A 的100天日落和夜晚天气,得到如下表格:并计算得到χ2≈19.05,小明对所在地区天气的下列判断正确的是( ) A.夜晚下雨的概率约为15B.未出现“日落云里走”,但夜晚下雨的概率约为12C.出现“日落云里走”,夜晚一定会下雨D.依据α=0.001的独立性检验,可认为“日落云里走是否出现”与“当晚是否下雨”有关 答案:D解析:根据表中数据可知,夜晚下雨的概率约为P=25+25100=12,所以A 错.未出现“日落云里走”,但夜晚下雨的概率约为P=2525+45=514,故B 错.χ2≈19.05>10.828=x 0.001,对照临界值表可知,依据α=0.001的独立性检验,可认为“日落云里走是否出现”与“当晚是否下雨”有关,但不能认为夜晚一定会下雨,故C 错,D 对.2.(2022·山东济宁二模)为研究变量x ,y 的相关关系,收集得到下面五个样本点(x ,y ),若由最小二乘法求得y 关于x 的经验回归方程为y ^=-1.8x+a ^,则据此计算残差为0的样本点是( ) A.(5,9) B.(6.5,8)C.(7,6)D.(8,4)答案:C解析:由题意可知,x =5+6.5+7+8+8.55=7,y =9+8+6+4+35=6,所以经验回归方程的样本中心点为(7,6),因此有6=-1.8×7+a ^⇒a ^=18.6,所以y ^=-1.8x+18.6,在收集的5个样本点中,(7,6)一定在y ^=-1.8x+18.6上,故计算残差为0的样本点是(7,6).3.(多选) (2023·广东惠州模拟)有一散点图如图所示,在5个样本点(x ,y )数据中去掉D 样本点(3,10)后,下列说法错误的是( )A.残差平方和变小B.相关系数r 变小C.决定系数R 2变小D.解释变量x 与响应变量y 的相关性变弱 答案:BCD解析:从散点图可分析出,若去掉D 点,则解释变量x 与响应变量y 的线性相关性变强,且是正相关,所以相关系数r 变大,决定系数R 2变大,残差平方和变小,故选BCD .4.(2022·安徽蚌埠一模)文旅部门统计了某景点在2022年3月至7月的旅游收入y (单位:万元),得到以下数据:(1)根据表中所给数据,用相关系数r 加以判断,是否可用一元线性回归模型拟合y 与x 的关系?若可以,求出y 关于x 之间的经验回归方程;若不可以,请说明理由.(2)为调查游客对该景点的评价情况,随机抽查了200名游客,得到如下列联表,请填写下面的2×2列联表,依据α=0.001的独立性检验,能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”.参考公式:相关系数r=∑i=1(x i -x )(y i -y )√∑i=1(x i -x )2∑i=1(y i -y )2,参考数据:√10≈3.162.经验回归方程:y ^=b ^x+a ^,其中b ^=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x ,χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ).临界值表:解:(1)由已知得:x =5,y =13,∑i=15(x i -x )2=10,∑i=15(y i -y )2=64,∑i=15(x i -x )(y i -y )=20,r=√10×64=2√10=√104≈0.791, 因为|r|≈0.791接近于1,说明y 与x 的线性相关关系很强,可用一元线性回归模型拟合y 与x 的关系, ∴b ^=2010=2,a ^=y −b ^x =13-10=3,则y 关于x 的经验回归方程为y ^=2x+3. (2)2×2列联表如下所示:零假设H 0:游客是否喜欢该景点与性别无关联,根据列联表中数据,χ2=200×(70×60-40×30)2100×100×110×90≈18.182>10.828=x 0.001,依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H 0不成立,即游客是否喜欢该景点与性别有关联.综合提升组5.(2023·江苏盐城高三检测)我国为全面建设社会主义现代化国家,制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x (单位:亿元)对年盈利额y (单位:亿元)的影响,研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间最近10年年研发资金投入额x i 和年盈利额y i 的数据.通过对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx 2,②y=e λx+t,其中α,β,λ,t 均为常数,e 为自然对数的底数.令u i =x i 2,v i =lny i (i =1,2,…,10),经计算得如下数据:请从相关系数的角度分析,模型拟合程度更好是 (填函数模型序号①或②);利用模型拟合程度更好的模型以及表中数据,建立y 关于x 的经验回归方程为 (系数精确到0.01).附:相关系数r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1(x i -x )2∑i=1(y i -y )2,经验回归方程y ^=a ^+b ^x 中:b ^=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2,a ^=y −b ^x .答案:② y ^=e0.18x+0.56解析:设u 与y 的相关系数为r 1,x 与v 的相关系数为r 2,由题意,r 1=∑i=110(u i -u )(y i -y )√∑i=1(u i -u )2∑i=1(y i -y )2=√11 250×2=1315≈0.87,r 2=∑i=110(x i -x )(v i -v )√∑i=1(x i -x )2∑i=1(v i -v )2=√65×2.6=1213≈0.92,则|r 1|<|r 2|,因此从相关系数的角度分析,模型y=e λx+t 的拟合程度更好.先建立v 关于x 的经验回归方程,由y=eλx+t,得ln y=t+λx ,即v=t+λx ,λ^=∑i=110(x i -x )(v i -v )∑i=110(x i -x )2=1265≈0.18,t ^=v −λ^x =5.36-1265×26=0.56,所以v 关于x 的经验回归方程为v ^=0.18x+0.56,所以ln y ^=0.18x+0.56,则y ^=e 0.18x+0.56. 6.(2023·山东淄博模拟)小叶紫檀是珍稀树种,因其木质好备受人们喜爱,其幼苗从观察之日起,第x 天的高度为y cm,测得数据如下:成对数据的散点图如图所示:为近似描述y 与x 的关系,除了一次函数模型y ^=bx+a 外,还有y ^=b √x +a 和y ^=bx 2+a 两个函数模型可选.(1)从三个函数模型中选出“最好”的曲线拟合y 与x 的关系,并求出其经验回归方程(b ^保留到小数点后1位);(2)判断说法“高度从1 000 cm 长到1 001 cm 所需时间超过一年”是否成立,并给出理由. 参考公式:b ^=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .参考数据(其中u i =√x i ,v i =x i 2):x =20,u =4,v =668,y =8,∑i=17x i 2=4 676,∑i=17u i 2=140,∑i=17v i 2=7 907396,∑i=17x i y i =1 567,∑i=17u i y i =283,∑i=17v i y i =56 575.解:(1)由散点图可知,这些数据形成的曲线的形状与函数y=√x 的图象很相似,因此可以用类似的表达式y ^=b √x +a 来描述y 与x 的关系,即三个函数中y ^=b √x +a 的图象是拟合y 与x 的关系“最好”的曲线.令u=√x ,则y ^=b ^u+a ^,根据已知数据,得u =4,y =8,∑i=17u i y i =283,∑i=17u i 2=140,所以b ^=∑i=17u i y i -7u ·y∑i=17u i2-7u 2=283-7×4×8140-7×16=5928≈2.1,又经验回归直线y ^=b ^u+a ^经过点(4,8),所以a ^=8-2.1×4=-0.4,所以y 关于u 的经验回归方程为y ^=2.1u-0.4,即y 与x 的经验回归方程为y ^=2.1√x -0.4. (2)说法“高度从1 000 cm 长到1 001 cm 所需时间超过一年”成立.设其幼苗从观察之日起,第m 天的高度为1 000 cm,有1 000=2.1√m -0.4,解得m ≈226 939,第n 天的高度为1 001 cm,有1 001=2.1√n -0.4,解得n ≈227 393,n-m=227 393-226 939=454天,所以说法“高度从1 000 cm 长到1 001 cm 所需时间超过一年”成立.创新应用组7.为了增强学生的身体素质,提高适应自然环境、克服困难的能力,某校在课外活动中新增了一项登山活动,并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,得到如图所示的等高堆积条形统计图,则下列说法中正确的有 (填序号).①被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多 ②被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多③若被调查的男女生均为100人,依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,则可以认为喜欢登山和性别有关④无论被调查的男女生人数为多少,依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,都可以认为喜欢登山和性别有关 答案:①③解析:因为被调查的男女生人数相同,由等高堆积条形统计图可知,喜欢登山的男生占80%,喜欢登山的女生占30%,所以①正确,②错误;设被调查的男女生人数均为n ,则由等高堆积条形统计图可得列联表如下:可得χ2=2n×(0.8n×0.7n -0.3n×0.2n )21.1n×0.9n×n×n=50n99. 当n=100时,χ2=50n 99=50×10099>50>10.828=x 0.001,可以判断喜欢登山和性别有关,故③正确; 而χ2=50n99,所以χ2的值与n 的取值有关.故④错误.。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。

集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。

(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。

(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。

(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

2．集合间的基本关系A B或B A3.集合的基本运算1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。

2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。

3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。

4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。

5．记住以下结论(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。

(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。

小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。

故选C。

【答案】 C2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B ＝{0,1,2}，则集合B有________个。

【解析】由题意知B⊆A，则集合B有8个。

【答案】8二、双基查验1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}【解析】M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。

故选B。

【答案】 B2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝() A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)【解析】∵x2<1，∴－1<x<1。

课堂过关第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系. ② 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. ③ 集合含义中掌握集合的三要素.④ 不要求证明集合相等关系和包含关系．1. (必修1P 7第1题改编)集合{x ∈N |x<5}可以用列举法表示为________． 答案：{0，1，2，3，4}解析：∵ x<5且x ∈N ，∴ x ＝0，1，2，3，4，特别注意0∈N .2. (必修1P 7第4题改编)已知集合A ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，0≤y<2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析：用集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y<2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A ＝[1，4)，B ＝(－∞，a)，A ⊆ B ，则a ∈________． 答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．4. (必修1P 7第4题改编)由x 2，x 组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则实数x 的取值不可以是________．答案：0和1解析：由x 2＝x 可解得．5. (必修1P 17第8题改编)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为________个．答案：10解析：x ＝5，y ＝1，2，3，4，x ＝4，y ＝1，2，3，x ＝3，y ＝1，2，x ＝2，y ＝1，共10个．1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、V enn 图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N 或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系． (2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆ B 或B ⊇ A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”．② 真包含关系：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n －1个，非空真子集有2n －2个.题型1 集合的基本概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时，这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a ＝0.变式训练下列三个集合：① {x|y ＝x 2＋1}；② {y|y ＝x 2＋1}；③ {(x ，y)|y ＝x 2＋1}． (1) 它们是不是相同的集合？ (2) 它们的各自含义是什么？ 解：(1) 它们是不相同的集合．(2) 集合①是函数y ＝x 2＋1的自变量x 所允许的值组成的集合．因为x 可以取任意实数，所以{x|y ＝x 2＋1}＝R .集合②是函数y ＝x 2＋1的所有函数值y 组成的集合．由二次函数图象知y ≥1，所以{y|y ＝x 2＋1}＝{y|y ≥1}．集合③是函数y ＝x 2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．备选变式（教师专享）已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．解：∵ －3∈A ，∴ －3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.题型2 集合间的基本关系例2 若集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆ A ，求由m 的可取值组成的集合．解：当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅ ，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴ 2≤m ≤3.故m<2或2≤m ≤3，即所求集合为{m|m ≤3}． 变式训练已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 014＋b 2 015的值．解：由于a ≠0，由ba＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1.所以a 2 014＋b 2 015＝1.备选变式（教师专享）若集合P ＝{x|x 2＋x －6＝0}，S ＝{x|ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合． 解：P ＝{－3，2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求a 的取值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.题型3 根据集合的关系求参数的取值范围例3 (2015·南通期末)已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤2.若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a<0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a>2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a>－12， ∴ －12<a<0；当a>0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a≥2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2，∴ 0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.备选变式（教师专享）已知A ＝{－1，1}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}．若B ⊆A ，求实数a ，b 的值． 解：∵ B ⊆A ＝{－1，1}，∴ B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1，1}． 若B ＝∅，则方程x 2－ax ＋b ＝0无实数根， 即Δ＝(－a)2－4×1×b<0，此时a 2<4b.若B ＝{－1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，此时a ＝－2，b ＝1.若B ＝{1}时，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根1， 即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且12－a ×1＋b ＝0，若B ＝{－1，1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，12－a ×1＋b ＝0，此时a ＝0，b ＝－1.综上所述，当a 2<4b 时，不论a ，b 取何值，A ⊆B ； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1时，B ⊆A. 1. (2015·南京、盐城一模)设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若N ⊆M ，则实数x 的值为________．答案：1解析：由N ⊆M 知1∈M ，则x ＝1. 2. (2015·南师附中模拟)若A ＝{a}，B ＝{0，a 2}，A ⊆B ，则A ＝________． 答案：{1}解析：若a ＝0，则a 2＝0，B 中元素不满足互异性；若a ＝a 2，则a ＝0(舍)或a ＝1(满足互异性)．3. 若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. 已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个． 答案：6解析：当M 中奇数只有3时：{3}，{2，3}；当M 中奇数只有5时：{5}，{2，5}；当M 中奇数有3，5时：{3，5}，{2，3，5}，∴ 共有6个这样的集合．5. (2015·昌平期中)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，求b －a 的值．解： 由{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴ b －a ＝2.1. (2015·浙江)已知集合A{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则A 与B 的关系是________． 答案：B A解析：A ＝{x|－1<x<2}，∴ B 真属于A. 2. (2015·佛山期中)若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z ︱z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为________．答案： 3解析：容易看出x ＋y 只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A ，3∉ A ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]解析：因为2∈A ，所以2a －12－a＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A ，则3a －13－a＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3∉A 时，13≤a ≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]．4. 若集合A 中有且仅有三个数1、0、a ，若a 2∈A ，求a 的值． 解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a 2≠0. 若a 2＝1，则a ＝±1，∵ 由元素的互异性知a ≠1，∴ a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求． 综上可知a ＝－1.1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅ 和A ≠∅两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、V enn 图帮助分析．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．①在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示．1. (必修1P13第3题改编)已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝________．答案：(－2，1]解析：本题考查集合概念及基本运算．2. (必修1P13习题2题改编)已知集合A＝{x|x2－16＝0}，B＝{x|x2－x－12＝0}，则A∪B ＝________．答案：{－4，－3，4}解析：∵ A＝{－4，4}，B＝{－3，4}，∴A∪B＝{－4，－3，4}．3. (必修1P14习题10改编)已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案：{1，2}解析：由题意，阴影部分表示A∩(∁U B)．因为∁U B＝{x|x<3}，所以A∩(∁U B)＝{1，2}．4. (必修1P13习题2题改编)设集合I＝{x||x|<3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪(∁I B)＝________．答案：{0，1，2}解析：I＝{－2，－1，0，1，2}，∁I B＝{0，1}，∴A∪(∁I B)＝{0，1，2}．5. (必修1P10习题4题改编)设集合A、B都是全集U＝{1，2，3，4}的子集，已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，A∩B＝ ，则A＝________．答案：{3，4}解析：画出韦恩图，知A＝{3，4}．1. 集合的运算(1) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．作一个全集，通常用U 来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集(或余集)，记作∁S A ，即∁S A ＝{x|x ∈S ，但x ∉ A}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A ∩A ＝A ，A ∩∅ ＝∅，A ∩B ＝B ∩A ； (2) A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A ； (3) A ∩(∁U A)＝∅，A ∪(∁U A)＝U ；(4) A ∩B ＝A ⇔ A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ；(5) ∁U (A ∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U (A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)． [备课札记]题型1 集合的运算 例1 全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，且(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，则m ＋n 的值为________．答案：－1解析：∵ U ＝{1，2，3，4，5}，(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 2∈A.又A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，∴ 2是关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，得m ＝6且A ＝{2，3}，∴ ∁U A ＝{1，4，5}．而(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 3∈B.又B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，∴ 3一定是方程x 2＋nx ＋12＝0的一个根，∴ n ＝－7且B ＝{3，4}，∴ m ＋n ＝－1.变式训练设集合A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B. 解：由9∈A ，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}；当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}．题型2 根据集合的运算求参数的取值范围例2 设A ＝{x|a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，当a 为何值时， (1) A ∩B ≠∅ ； (2) A ∩B ＝A ； (3) A ∪(∁R B)＝∁R B.解：(1) A ∩B ≠∅，∵ 集合A 的区间长度为3， ∴ 由图可得a<－1或a ＋3>5，解得a<－1或a>2， ∴ 当a<－1或a>2时，A ∩B ≠∅．(2) ∵ A ∩B ＝A ，∴ A ⊆ B.由图得a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A ∩B ＝A.(3) 由补集的定义知∁R B ＝{x|－1≤x ≤5}， ∵ A ∪(∁R B)＝∁R B ，∴ A ⊆∁R B.由图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.变式训练已知A ＝{x|ax －1>0}，B ＝{x|x 2－3x ＋2>0}． (1) 若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围； (2) 若A ∩∁R B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：(1) 由于A ∩B ＝A 得A ⊆B ，由题意知B ＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>1a≥2，得0＜a ≤12；若a ＝0，则A ＝∅，成立；若a ＜0，则x ＜1a ＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a ≤12.(2) ∁R B ＝{x|1≤x ≤2}，若a ＝0，则A ＝∅，不成立；若a ＜0，则x ＜1a＜1，不成立；若a ＞0，则x ＞1a ，由1a ＜2得a ＞12.综上所述，a ＞12.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|0≤ax ＋1≤3}．若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值组成的集合．解：∵ A ∪B ＝B ，∴ A ∅B ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＋1≤3，0≤2a ＋1≤3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，－12≤a ≤1.∴ －12≤a ≤1.∴ 实数a 的取值组成的集合为⎣⎡⎦⎤－12，1. 题型3 集合的综合应用例3 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A)∩B ＝，求m 的值．解：A ＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B ＝∅，得B ⊆A ， 当m ＝1时，B ＝{－1}，符合B ⊆A ； 当m ≠1时，B ＝{－1，－m}，而B ⊆A ， ∴ －m ＝－2，即m ＝2. ∴ m ＝1或2.备选变式（教师专享）50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数有___________人．答案：25解析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x 人；仅跳远及格的人数为40－x 人；仅铅球及格的人数为31－x 人；两项测验成绩都不及格的人数为4人 .∴ 40－x ＋31－x ＋x ＋4＝50，∴ x ＝25.题型4 集合运算有关的新定义问题例4 定义集合A 、B 的运算A*B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B ，但x A ∩B}，设A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，5，6，7}，则(A*B)*A ＝________．答案：{1，2，5，6，7}解析：A *B ＝{3，4，5，6，7}，∴ (A *B)A ＝{1，2，5，6，7}． 备选变式（教师专享）(必修1P 14习题13改编)对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉ N}，M*N ＝(M －N)∪(N －M)，设M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }，则M*N ＝________．答案：{y|y>3或－3≤y<0}解析：∵ M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }＝{y|y ≥0}，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }＝{y|－3≤y ≤3}，∴M －N ＝{y|y>3}，N －M ＝{y|－3≤y<0}，∴ M*N ＝(M －N)∪(N －M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．1. (2015·安徽)已知集合A ＝{0，2，4，6}，∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B ＝________．答案：{1，4，6，－3，3}解析：∵ ∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∴ U ＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁U B ＝{－1，0，2}，∴ B ＝{1，4，6，－3，3}．2. (2015·泰州调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x<－1或2≤x<3}，B ＝{x|－2≤x<4}，则(∁U A)∪B ＝________．答案：{x|x ≥－2}解析：由图1数轴得∁U A ＝{x|－1≤x<2或x ≥3}，再由图2数轴得(∁U A)∪B ＝{x|x ≥－2}．图1图23. (2015·射阳中学期末)已知函数f(x)＝x ＋1，g(x)＝x 2，集合D ＝[－1，a](a>－1)，集合A ＝{y|y ＝f(x)，x ∈D}与集合B ＝{y|y ＝g(x)，x ∈D}相等，则实数a 的值等于________．答案：0或1＋52解析：一次函数f(x)＝x ＋1，x ∈[－1，a](a>－1)是单调递增函数，∴ A ＝[0，a ＋1]．而B 集合是指定了定义域的二次函数的值域，分如下三类情况讨论：① 若a ∈(－1，0)，则g(x)单调递减，B ＝[a 2，1]，不可能与集合A 相等；② 若a ∈[0，1]，则B ＝[0，1]，要与A 相等，须a ＋1＝1，∴ a ＝0；③ 若a ∈(1，＋∞)，则B ＝[0，a 2]，要与A 相等，须a ＋1＝a 2，∴ a＝1±52，但1－52＜1，舍去．综上得a ＝0或1＋52.4. (2015·淮阴中学期末)已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 答案：0或3 解析：因为A ∪B ＝A ，所以B A ，所以m ＝3或m ＝m.若m ＝3，则A ＝{1，3，3}，B ＝{1，3}，满足A ∪B ＝A.若m ＝m ，解得m ＝0或m ＝1.若m ＝0，则A ＝{1，3，0}，B ＝{1，0}，满足A ∪B ＝A.若m ＝1，A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，显然不成立．综上m ＝0或m ＝3.5. (2015·宿迁中学期中)设集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1) 若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为________；(2) 若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为________． 答案：(1)－1或－3 (2)a ≤－3解析：(1) ∵ A ＝{1，2}，A ∩B ＝{2}，∴ 2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x|x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x|x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，a 的值为－1或－3.(2) 对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝4(2a ＋6)， ∵ A ∪B ＝A ，∴ B ⊆A.① 当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅ ，满足条件； ② 当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ② 当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1，2}．由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2（a ＋1），1×2＝a 2－5⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－ 3.1. 已知A 、B 均为集合U ＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B)∩A ＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2，4}，则B ∩(∁U A)＝________．答案：{5，6}解析：依题意及韦恩图可得，B ∩(∁U A)＝{5，6}．2. (2015·山东)已知集合A ＝{x||x －1|<2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －b x ＋2<0.若A ∩B ≠∅ ，则实数b 的取值范围是________．答案：(－1，＋∞)解析：A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|(x －b)(x ＋2)<0}．因为A ∩B ≠∅，所以b>－1. 3. (2015·无锡期中)已知A ＝{x||x －a|<4}，B ＝{x||x －2|>3}． (1) 若a ＝1，求A ∩B ；(2) 若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，A ＝{x|－3<x<5}，B ＝{x|x<－1或x>5}． ∴ A ∩B ＝{x|－3<x<－1}．(2) ∵ A ＝{x|a －4<x<a ＋4}，B ＝{x|x<－1或x>5}，且A ∪B ＝R ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1，a ＋4>51<a<3. ∴ 实数a 的取值范围是(1，3)．4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞费，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？解：设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示，所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示，设只参加语文竞赛的有x 人，只参加数学竞赛的有y 人，只参加英语竞赛的有z 人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．根据题意，可作出如图所示Venn 图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意：(1) 勿忘对空集情形的讨论；(2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；(4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围问题时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5～6页)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．①会分析四种命题的相互关系.②会判断必要条件、充分条件与充要条件.③能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. (课本习题改编)命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是________.答案：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5解析：将原命题的条件和结论互换，可得逆命题．2. (课本习题改编)命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．答案：2解析：当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC 为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．3. (课本习题改编)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的________条件.答案：必要而不充分解析：由a－c>b－d变形为a－b>c－d，因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，所以a－c>b－d a>b.而a>b并不能推出a－c>b－d，所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．4. (课本习题改编)若命题p：2是偶数；命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是________．(填序号)①“p∨q”为假；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真.答案：②解析：命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．5. (课本习题改编)命题p：∀x>1，log2x>0，则⌝p是________．答案：x>1，log2x≤0解析：全称命题的否定是存在性命题．1. 四种命题及其关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇒q.(3) 如果p⇒q，q⇒/p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q⇒p，p⇒/q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 一个命题p的否定记作⌝p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x) ∃x∈M，⌝p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，⌝p(x)题型1四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1) 如果两圆外切，那么两圆的圆心距等于两圆半径之和；(2) 奇数不能被2整除．解：(1) 逆命题：如果两圆的圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2) 逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．变式训练判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则判断a≥1”的逆否命题的真假.解：原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．备选变式（教师专享）设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．解：逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．题型2充分条件和必要条件例2 证明：“方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1”的充要条件是“a＋b＋c＝0”．证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上，命题得证．备选变式1（教师专享）不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 解：令f(x)＝x 2－2mx －1.要使x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，只需f(x)＝x 2－2mx －1在[1，3]上的最小值大于0即可． 当m ≤1时，f(x)在[1，3]上是增函数， f(x)min ＝f(1)＝－2m>0，解得m<0， 又m ≤1，∴ m<0；当m ≥3时，f(x)在[1，3]上是减函数，f(x)min ＝f(3)＝8－6m>0，解得m<43，又m ≥3，∴ 此时不成立； 当1<m<3时，f(x)min ＝f(m)＝－m 2－1＝－(m 2＋1)>0不成立． 综上所述，m 的取值范围为m<0. 备选变式2（教师专享）下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1) p ：x ＝1；q ：x －1＝x －1.(2) p ：－1≤x ≤5；q ：x ≥－1且x ≤5.(3) p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形． 解：(1) 充分不必要条件．当x ＝1时，x －1＝x －1成立； 当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2.(2) 充要条件．－1≤x ≤5x ≥－1且x ≤5.(3) 充分不必要条件．等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．题型3 逻辑联结词例3 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：设g(x)＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，∴ 函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴ －2<a<2.∵ 函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数， ∴ 3－2a>1， ∴ a<1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a<2，a ≥1，∴ 1≤a<2；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a<1，∴ a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a<2，或a ≤－2. 备选变式1（教师专享）已知p ：⎝⎛⎭⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，若“⌝ p ⇒ ⌝q ”为假命题，“⌝q ⇒⌝p ”为真命题，求m 的取值范围．解：设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x|－2≤x ≤10}，Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}， 由⌝q ⇒⌝p 为真，⌝p ⇒⌝q 为假，得P ⊆ Q ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，m>0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，m>0，解得m ≥9. 备选变式2（教师专享）已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“⌝q ”都是假命题，求x 的值． 解：非q 假．∴ q 真． 又p 且q 假，∴ p 假．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x|<6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6<x 2－x<6，x ∈Z ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<3，x ∈Z ， ∴ x ＝－1、0、1、2.题型4 全称命题与存在命题例4 已知命题p ：“x ∈R ，m ∈R 使4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题⌝p 是假命题，则实数m 的取值范围为________．答案：m ≤1解析：命题⌝p 是假命题，即命题p 是真命题，也就是关于x 的方程4x －2x ＋1＋m ＝0有实数解，即m ＝－(4x －2x ＋1)，令f(x)＝－(4x －2x ＋1)，由于f(x)＝－(2x －1)2＋1，所以当x ∈R 时f(x)≤1，因此实数m 的取值范围是m ≤1.备选变式1（教师专享） 写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0； (4) 有些质数是奇数．解：(1) 有些自然数的平方不是正数． (2) 存在实数x 不是方程5x －12＝0的根． (3) 存在实数x ，对所有实数y ，有x ＋y ≤0. (4) 所有的质数都不是奇数． 备选变式2（教师专享）若命题“∃ x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案：－4≤m ≤0解析：“∃x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则“∀ x ∈R 有x 2－mx －m ≥0”是真命题，即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴ －4≤m ≤0.1. (2015·徐州期中)命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”及其逆否命题的真假情况是________．答案：真解析：因为原命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a 、b 都小于1，则a ＋b<2”，显然为真，所以原命题为真．2. (2015·盐城三模)若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x ，则k ＝2是函数f(x)为奇函数的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：由k ＝2，得f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；反之，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，得k 2＝4，则k ＝±2，而不是k ＝2.故k ＝2是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件．3. (2015·南京三模)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－3]解析：由A ＝(－3，2)，B ＝(a ，＋∞)，AB ，则a ∈(－∞，－3]．4. (2015·芜湖调研)命题p ：ax ＋b>0的解集为x>－ba；命题q ：(x －a)(x －b)<0的解为a<x<b.则p ∧q 是________(填“真”或“假”)命题．答案：假解析：命题p 与q 都是假命题．5. (2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案：1解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则m 大于或等于函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值．因为函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，所以函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即实数m 的最小值为1.1. (2015·南通二调)命题“x ∈R ，2x ＞0”的否定是“________”．答案： ∀x ∈R ，2x ≤0解析：含有量词的命题否定要将存在换成任意，p 改成非p. 2. (2015·象山中学调研)“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点”的________条件．答案：充分不必要解析：若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点；若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0.3. 已知命题p ：x 2－5x ＋6≥0；命题q ：0<x<4.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2. ∵ 命题q 为假， ∴ x ≤0或x ≥4.则{x|x ≥3或x ≤2}∩{x|x ≤0或x ≥4}＝{x|x ≤0或x ≥4}． ∴ 满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 4. (2015·无锡期中)已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列说法：① M 的元素都不是P 的元素； ② M 中有不属于P 的元素； ③ M 中有P 的元素；④ M 中元素不都是P 的元素． 其中正确的个数为________个． 答案：2解析：结合韦恩图可知②④正确．1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可．2. 充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．3. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2) 要注意区间端点值的检验．4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2) p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3) 綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．5. 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。

课时规范练44《素养分级练》P376基础巩固组1.(2022·山东青岛一模)若双曲线ky2-8x2=8的焦距为6,则该双曲线的离心率为()A.3√24B.32C.3D.103答案:A解析:因为ky2-8x2=8为双曲线,所以k≠0,化为标准方程为y 28 k −x21=1.由焦距为6可得c=√8k+1=3,解得k=1.所以双曲线为y 28−x21=1.所以双曲线的离心率为e=ca =√8=3√24.2.(2022·湖南常德一模)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点F到渐近线的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线C的离心率为()A.√5B.√2C.√72D.√52答案:A解析:不妨设F(c,0),一条渐近线方程为y=ba x,即bx-ay=0,所以√b2+a2=2a,即b=2a,b2=4a2=c2-a2,所以e=ca=√5.3.(2023·湖南娄底高三期末)已知双曲线C:x 24−y25=1的左焦点为F1,M为双曲线C右支上任意一点,D的坐标为(3,1),则|MD|-|MF1|的最大值为() A.3 B.1 C.-1 D.-3答案:D解析:双曲线的实半轴长为a=2,右焦点为F2(3,0),所以|MD|-|MF1|=|MD|-(|MF2|+2a)=(|MD|-|MF2|)-2a≤|F2D|-2a=√(3-3)2+(1-0)2-4=-3,当且仅当M,F2,D三点共线,且M位于第四象限时,等号成立.4.(2022·山东潍坊一模)如图,某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮,建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质,该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a>0,b>0)上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36,F 到渐近线的距离为12,则该双曲线的离心率为( )A.53 B.54C.43D.45答案:B解析:点F (0,c )到渐近线y=ab x ,即ax-by=0的距离d=√a 2+b 2=b=12.又由题意可知{a +c =36,a 2+122=c 2,解得{a =16,c =20,所以e=c a =2016=54. 5.(2022·广东佛山二模)已知双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)以正方形ABCD 的两个顶点为焦点,且经过该正方形的另两个顶点.若正方形ABCD 的边长为2,则E 的实轴长为( ) A.2√2-2 B.2√2+2 C.√2-1 D.√2+1答案:A解析:由图知,c=1,易知D (1,2),代入双曲线方程得1a 2−4b 2=1,又a 2+b 2=1,联立求解得{a 2=3-2√2,b 2=2√2-2或{a 2=2√2+3,b 2=-2√2-2(舍去),所以a=√2-1,所以双曲线E 的实轴长为2√2-2.6.定义实轴长与焦距之比为黄金数√5-12的双曲线叫黄金双曲线,若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)是黄金双曲线,则a 2b 2等于()A.√5-12B.3-√52C.√5-22D.9-4√54答案:A解析:由题可知2a2c=√5-12,所以2a 2=(3-√5)c 2=(3-√5)(a 2+b2),解得a 2b 2=√5-12.故选A .7.(2023·山东济南历城二中模拟)设F 1,F 2分别是双曲线x 24−y 245=1的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且3|PF 1|=5|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于 ( )A.14√3B.7√15C.15√3D.5√15答案:C解析:设|PF 1|=5x (x>0),则|PF 2|=3x ,则由双曲线的定义可得|PF 1|-|PF 2|=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故|PF 1|=10,|PF 2|=6. 又|F 1F 2|=14,故cos ∠F 1PF 2=100+36-1962×10×6=-12,故sin ∠F 1PF 2=√32.所以△PF 1F 2的面积为12×10×6×√32=15√3.8.(多选)(2022·河北唐山三模)已知F 1,F 2为双曲线C :y 23-x 2=1的两个焦点,P 为双曲线C 上任意一点,则( ) A.|PF 1|-|PF 2|=2√3B.双曲线C 的渐近线方程为y=±√33x C.双曲线C 的离心率为2√33D.|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2√3 答案:CD 解析:双曲线C :y 23-x 2=1的焦点在y 轴上,a=√3,b=1,c=√a 2+b 2=2.对于A,||PF 1|-|PF 2||=2a=2√3,而点P 在哪支上并不确定,故A 错误; 对于B,焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y=±ab x=±√3x ,故B 错误; 对于C,e=ca =√3=2√33,故C 正确;对于D,设P (x ,y ),则|PO|=√x 2+y 2=√x 2+(3x 2+3)=√3+4x 2≥√3(当x=0时,等号成立),因为O 为F 1F 2的中点,所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2√3,故D 正确.故选CD . 9.(2023·广东鹤山高三检测)若双曲线C :x 2a 2−y 24=1的一条渐近线与直线l :3x+2y-2=0相互垂直,则双曲线C 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为 . 答案:2√13解析:易知与直线l 垂直的双曲线C :x 2a 2−y 24=1的渐近线方程为2x-ay=0,由两直线垂直得,2×3-2a=0⇒a=3,∴c 2=a 2+b 2=13,∴双曲线的焦点坐标为F 1(√13,0),F 2(-√13,0). ∵虚轴的一个端点坐标为B (0,2),∴S△F1BF2=12·|F1F2|·|OB|=12×2√13×2=2√13.10.(2022·全国甲,文15)记双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值. 答案:2(答案不唯一,只要1<e≤√5即可)解析:由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±ba x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需ba≤2即可.由ba ≤2,得c2-a2a2≤4,所以e2≤5,故1<e≤√5.11.(2023·江苏华罗庚中学高三检测)已知双曲线x 23-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为.答案:5+2√3解析:由双曲线方程知a=√3,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0).由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a=2√3,∴|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+2√3≥|QF2|+2√3(当且仅当P在线段QF2上时,等号成立).又|QF2|=√(-2-2)2+(3-0)2=5,∴(|PQ|+|PF1|)min=5+2√3.综合提升组12.已知F1,F2分别是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,2)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(2,3)答案:A解析:在△PF1F2中,因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以|PF1|=3|PF2|.又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a.在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|得3a+a>2c,即2a>c,所以e=ca<2.又e>1,所以1<e<2.故选A.13.(多选)(2022·山东聊城一模)已知双曲线C:x 29-k +y2k-1=1(0<k<1),则()A.双曲线C 的焦点在x 轴上B.双曲线C 的焦距等于4√2C.双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于√1-kD.双曲线C 的离心率的取值范围为1,√103答案:ACD解析:对于A,因为0<k<1,所以9-k>0,k-1<0,所以双曲线C :x 29-k−y 21-k=1(0<k<1)表示焦点在x 轴上的双曲线,故A 正确;对于B,由A 知a 2=9-k ,b 2=1-k ,所以c 2=a 2+b 2=10-2k ,所以c=√10-2k ,所以双曲线C 的焦距2c=2√10-2k (0<k<1),故B 错误;对于C,设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),焦点坐标为(±c ,0),则渐近线方程为y=±bax ,即bx ±ay=0,所以焦点到渐近线的距离d=√a 2+b 2=b ,所以双曲线C :x 29-k−y 21-k=1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于√1-k ,故C 正确;对于D,双曲线C 的离心率e=√1+b 2a 2=√1+1-k9-k =√2-89-k ,因为0<k<1,所以1<2-89-k <109,所以e=√2-89-k ∈1,√103,故D 正确.故选ACD .14.(2023·山东济宁模拟)过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线,设切点为A ,直线FA 交直线bx-ay=0于点B ,若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线C 的渐近线方程为 . 答案:y=±√2x解析:因为直线FA 交直线bx-ay=0于点B ,直线FA 与圆x 2+y 2=a 2切于点A , 所以OA ⊥FA ,|OA|=a ,|OF|=c. 因为a 2+b 2=c 2,所以|FA|=b.在Rt △FAO 中,sin ∠OFA=ac ,tan ∠OFA=ab ,所以直线FA 的方程为y=ab (x+c ). 由{y =ab (x +c ),bx -ay =0,得x=ac b ·ab b 2-a 2=a 2c b 2-a 2,即点B 的横坐标为a 2cb 2-a 2. 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),在Rt △FAO 中,根据等面积可得y A =abc . 因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以y B =3y A =3ab c . 因为y B =b a x B =ba ·a 2cb 2-a 2=abcb 2-a 2,所以abcb 2-a 2=3ab c,所以c 2=3b 2-3a 2,所以a2+b2=3b2-3a2,所以4a2=2b2,所以2a=√2b,所以ba=√2.所以双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±√2x.15.(2023·湖南长郡中学模拟)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的左顶点为A,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,其中点Q在y轴右侧,若|AQ|≥2|AP|,则该双曲线的离心率的取值范围是.答案:1,√213解析:由题意,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨设双曲线的渐近线为y=bax,由{y=bax,x2+y2=c2,解得{x=a,y=b或{x=-a,y=-b,∴Q(a,b),P(-a,-b).又A为双曲线的左顶点,∴A(-a,0),∴|AQ|=√(a+a)2+b2,|AP|=√[-a-(-a)]2+b2=b.∵|AQ|≥2|AP|,∴√(a+a)2+b2≥2b,即4a2≥3(c2-a2),∴e2≤73.又e>1,∴e∈1,√213.创新应用组16.(2022·山东日照二模)如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cos∠BAC=-45,AB⊥BD,则E的离心率为.图1图2答案:√102解析:如图,连接F1B,F1A,则F1,A,C和F1,B,D都三点共线,设|F2B|=x,则|F1B|=x+2a.因为cos∠F1AB=cos(π-∠BAC)=45,所以sin∠F1AB=√1-cos2∠F1AB=35,所以tan∠F1AB=sin∠F1ABcos∠F1AB =34.又AB⊥BD,所以tan∠F1AB=|F1B||AB|=34,即|AB|=43|F1B|,sin∠F1AB=|F1B||F1A|=35,即|F1A|=53|F1B|.又|F2A|=|AB|-|F2B|,所以|F1A|-|F2A|=43x+23a=2a,即x=a.在Rt△F1F2B中,(2c)2=(x+2a)2+x2=10a2,即c2=52a2.故e=√102.。

课时规范练11 对数与对数函数基础巩固组1.(2021浙江宁波效实中学高三月考)“a b>1”是“ln(a-1)>ln(b-1)”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021北京东城高三月考)已知函数f (x )={log 2(x 2+1),x ≤2,f (x -3),x >2,则f (f (4))=( )A.1B.2C.3D.43.(2021湖南长沙高三期中)若函数f (x )=lo g 12(ax 2+2x+c )的定义域为(-2,4),则f (x )的单调递增区间为( ) A.(-2,1] B.(-2,2] C.[1,2)D.[1,4)4.(2021江苏宿迁高三期中)已知函数f (x )=1lnx ,则其大致图象为( )5.(2021江苏淮安高三二模)已知函数f (x )=ln x -1x+1,设a=f (40.4),b=f ((√54)3),c=f (250.2),则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b6.(2021山东济南高三模拟)为了广大人民群众的食品健康,国家倡导农户种植绿色蔬菜.绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产,并要经过专门机构认定,获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格.农药的安全残留量是其很重要的一项指标,安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准.为了防止一种变异的蚜虫,某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”,经过大量试验,发现该农药的安全残留量为0.001 mg/kg,且该农药喷洒后会逐渐自动降解,其残留按照y=a e -x 的函数关系降解,其中x 的单位为小时,y 的单位为mg/kg .该农药的喷洒浓度为2 mg/kg,则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准,至少需要( )(参考数据ln 10≈2.3) A.5小时 B.6小时 C.7小时D.8小时7.(2021安徽蚌埠高三期中)已知log 2x=log 3y=log 5z>1,则2x ,3y ,5z 的大小排序为( ) A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y<2x8.已知m>0,n>0,log 2m=log 4n=log 8(4m+3n ),下列结论正确的是( ) A.n=2m B.lnmlnn=-2ln 2 C.e 1m lnn =2D.log 3m-2log 9n=2log 329.(2021湖南岳阳高三月考)若函数f (x )=log 2(x 2-3ax+2a 2)的单调递减区间是(-∞,a 2),则实数a= .综合提升组10.(2021四川眉山高三模拟)已知a>0,若函数f (x )=log 3(ax 2-x )在[3,4]上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A.13,+∞ B.13,1 C.-∞,13D.0,1311.(2021山东潍坊高三期中)已知函数f (x )=|ln x|,若0<a<b ,且f (a )=f (b ),则a+4b 的取值范围是( ) A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(5,+∞)D.[5,+∞)12.(2021辽宁沈阳高三期中)若函数f (x )=lo g 12(ax 2-2x+4)(a ∈R )的值域为(-∞,1],则实数a 的值为 .13.(2021山东烟台高三期末)已知函数f (x )=|ln(x-1)|,f (a )>f (b ),给出以下说法:①若a>2,则a>b ;②若a>b ,则a>2;③若a>2,则1a+1b<1;④若a>2,则1a+1b>1,其中正确的序号是 .创新应用组14.(2021江苏南京高三三模)已知a ,b ,c 均为不等于1的正实数,且ln a=c ln b ,ln c=b ln a ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c>a>b B.b>c>a C.a>b>cD.a>c>b15.(2021湖南娄底高三月考)已知函数f (x )={2+log 12x ,14≤x <1,2x,1≤x ≤2,若a ,b ∈R ,a<b ,f (a )=f (b ),则b-a 的取值范围为 .课时规范练11 对数与对数函数1.B解析: a b >1⇒a b -1>0⇒a -bb >0⇒(a-b )b>0,ln(a-1)>ln(b-1)⇒{a -1>0,b -1>0,a -1>b -1⇒a>b>1,因为(a-b )b>0推不出a>b>1,而a>b>1能推出(a-b )b>0,所以“ab >1”是“ln(a-1)>ln(b-1)”成立的必要不充分条件,故选B .2.A 解析: 由题意,f (4)=f (1)=log 2(12+1)=1,所以f (f (4))=f (1)=log 2(12+1)=1,故选A .3.D 解析: 由题意可知ax 2+2x+c>0的解集为(-2,4),即-2和4是方程ax 2+2x+c=0的两个根,解得a=-1,c=8,所以f (x )=lo g 12(-x 2+2x+8),设t=-x 2+2x+8,则y=lo g 12t 在(-2,4)上单调递减,t=-x 2+2x+8在[-2,1)上单调递增,在[1,4)上单调递减,故f (x )在[1,4)上单调递增,故选D .4.B 解析: 当x>1时,ln x>0,所以1lnx >0,所以f (x )>0,所以选项A,C,D 均错误,故选B . 5.C 解析: (√54)3=50.75,250.2=50.4,所以(√54)3>250.2>40.4>1,由函数解析式知(x-1)(x+1)>0,即x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞),又因为f (x )=ln 1-2x+1在(1,+∞)上单调递增,所以b>c>a ,故选C . 6.D 解析: 由题意知,当x=0时,y=2,所以2=a·e -0,解得a=2,所以y=2e -x .要使该农药喷洒后的残留量达到安全残留量标准,则2e -x ≤0.001,解得x ≥-ln 0.0012=3ln 10+ln 2≈3×2.3+ln 2=6.9+ln 2,因为ln e 12<ln 2<ln e,即0.5<ln 2<1,所以6.9+ln 2∈(7.4,7.9),所以要使该农药喷洒后的残留量达到安全残留量标准,至少需要8小时,故选D .7.D 解析: (方法1)设log 2x=log 3y=log 5z=k>1,则2x =21-k ,3y =31-k ,5z =51-k ,又因为1-k<0,所以21-k >31-k >51-k ,可得5z <3y <2x .(方法2)由log 2x=log 3y=log 5z>1,得1-log 2x=1-log 3y=1-log 5z<0,即log 22x =log 33y =log 55z <0,可得5z <3y <2x ,故选D .8.C 解析: 由题意设log 2m=log 4n=log 8(4m+3n )=k ,则m=2k ,n=4k ,4m+3n=8k ,所以4×2k +3×4k =8k ,所以4×14k +3×12k =1,所以4×12k 2+3×12k -1=0,所以12k =14或12k=-1(舍),解得k=2,所以k=2,m=4,n=16,n=4m ,故A 错误;lnmlnn =ln4ln16=12≠-2ln 2,故B 错误;e 1m lnn=e 14ln16=e 14ln 24=2,故C 正确;log 3m-2log 9n=log 34-2log 916=log 34-2log 34=-2log 32,故D 错误,故选C .9.0或1 解析: x 2-3ax+2a 2=(x-a )(x-2a ),当a=0时,显然符合题意;当a<0时,因为2a<a ,所以f (x )的单调递减区间为(-∞,2a ),由a 2=2a ,得a=0或2,均不合题意;当a>0时,因为2a>a ,所以f (x )的单调递减区间为(-∞,a ),由a 2=a ,得a=0(舍去)或1.综上,a=0或a=1.10.A 解析: 要使f (x )=log 3(ax 2-x )在[3,4]上单调递增,则y=ax 2-x 在[3,4]上单调递增,且y=ax2-x>0恒成立,即{12a≤3,9a -3>0,解得a>13.故选A .11. C 解析: 由f (a )=f (b )得|ln a|=|ln b|.根据函数y=|ln x|的图象及0<a<b ,得-ln a=ln b ,0<a<1<b ,所以1a =b.令g (b )=a+4b=4b+1b ,易得g (b )在(1,+∞)上单调递增,所以g (b )>g (1)=5.12.27 解析: 因为f (x )=lo g 12(ax 2-2x+4)(a ∈R )的值域为(-∞,1],所以ax 2-2x+4>0,且函数y=ax 2-2x+4的最小值为12,即{a >0,4×4a -(-2)24a=12,解得a=27.13.①②③ 解析: 对于①,由图象可得,f (x )在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以若a>2,则a>b ,故①正确;对于②,因为f (a )>f (b ),a>b ,所以a>2,故②正确;对于③,当a>2时,若b ≥2,则1a +1b <1,若1<b<2时,f (a )>f (b ),即|ln(a-1)|>|ln(b-1)|, 所以ln(a-1)>-ln(b-1),即ln(a-1)(b-1)>0=ln 1,所以ab-b-a+1>1,1a +1b <1,故③正确,④错误. 14.A 解析: 因为ln a=c ln b ,ln c=b ln a ,且a ,b ,c 均为不等于1的正实数,则ln a 与ln b 同号,ln c 与ln a 同号,从而ln a ,ln b ,ln c 同号.①若a ,b ,c ∈(0,1),则ln a ,ln b ,ln c 均为负数,ln a=c ln b>ln b ,可得a>b ,ln c=b ln a>ln a ,可得c>a ,此时c>a>b ;②若a ,b ,c ∈(1,+∞),则ln a ,ln b ,ln c 均为正数,ln a=c ln b>ln b ,可得a>b ,ln c=b ln a>ln a ,可得c>a ,此时c>a>b.综上所述,c>a>b.故选A .15.0,74解析: 因为函数f(x)在14,1上单调递减,在[1,2]上单调递增,又因为f(a)=f(b)(a<b),所以14≤a<1,1≤b≤2,且2+lo g12a=2b,令2+lo g12a=2b=k,则2<k≤4,所以a=1 2k-2,b=log2k,所以b-a=log2k-12k-2.设函数g(x)=log2x-12x-2,x∈(2,4],因为g(x)在(2,4]上单调递增,所以g(2)<g(x)≤g(4),即0<g(x)≤74,所以b-a的取值范围为0,74.。