高中数学第1章立体几何初步1.3_1.3.2空间几何体的体积苏教版必修
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第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2指数函数分数指数幂指数函数2.3对数函数对数对数函数2.4幂函数2.5函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6函数模型及其应用数学2第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第4章平面解析几何初步4.1直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学3第5章算法初步5.1算法的意义5.2流程图5.3基本算法语句5.4算法案例第6章统计6.1抽样方法6.2总体分布的估计6.3总体特征数的估计6.4线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2古典概型7.3几何概型7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数8.1任意角、弧度8.2任意角的三角函数8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1向量的概念及表示9.2向量的线性运算9.3向量的坐标表示9.4向量的数量积9.5向量的应用第10章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数10.2二倍角的三角函数10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入6．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。
高中数学第1章立体几何初步1.3空间几何体的表面积与体积1.3.2空间几何体的体积课件苏教版必修2
复习回顾：
平面展开图 侧面展开图
——表面积(全面积) ——侧面积
S直棱柱侧＝ch
( c－底面周长，h－高 )
S正棱锥侧＝ 12ch
( c－底面周长，h－斜高 )
S正棱台侧＝12(c＋c)h (c，c－上、下底面周长，h－斜高)
S圆柱侧＝cl＝2rl (c－底面周长，l－母线长 ，r－底面半径)
h
h
情境问题1 柱、锥、台体的体积公式如何表示，如何推导？
体积公式
V柱体＝Sh ( S－底面积，h－高 )
1 S 锥体= 3Sh
( S－底面积，h－高 )
S 台体= 13h(S＋
SS＋S) (S，S－上下底面积，h－高 )
推导
V柱体=Sh
S=S S 台体=31h(S＋ SS＋S) S=0
例3 正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为 10cm，全面积为512cm2，求此正四棱台的体积．
A1 DM11O1B1C1 D
C
A
NO M
B
小结： 体积公式：
V柱体＝Sh ( S－底面积，h－高 )
1 S 锥体= 3Sh
( S－底面积，h－高 )
S 台体= 13h(S＋
SS＋S) (S，S－上下底面积，h－高 )
作业：
课本54页练习与57页习题．
V台＝V－V'
x S r
＝1 (h＋x)S－1 xS'
3
3
h
S
r
其中，S' ＝ πr' 2 S πr2
＝ r' 2 ＝ x2
S' S
＝
x x＋h
，
即
x＝
S'h S－ S'
平面展开图 侧面展开图
——表面积(全面积) ——侧面积
S直棱柱侧＝ch
( c－底面周长，h－高 )
S正棱锥侧＝ 12ch
( c－底面周长，h－斜高 )
S正棱台侧＝12(c＋c)h (c，c－上、下底面周长，h－斜高)
S圆柱侧＝cl＝2rl (c－底面周长，l－母线长 ，r－底面半径)
h
h
情境问题1 柱、锥、台体的体积公式如何表示，如何推导？
体积公式
V柱体＝Sh ( S－底面积，h－高 )
1 S 锥体= 3Sh
( S－底面积，h－高 )
S 台体= 13h(S＋
SS＋S) (S，S－上下底面积，h－高 )
推导
V柱体=Sh
S=S S 台体=31h(S＋ SS＋S) S=0
例3 正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为 10cm，全面积为512cm2，求此正四棱台的体积．
A1 DM11O1B1C1 D
C
A
NO M
B
小结： 体积公式：
V柱体＝Sh ( S－底面积，h－高 )
1 S 锥体= 3Sh
( S－底面积，h－高 )
S 台体= 13h(S＋
SS＋S) (S，S－上下底面积，h－高 )
作业：
课本54页练习与57页习题．
V台＝V－V'
x S r
＝1 (h＋x)S－1 xS'
3
3
h
S
r
其中，S' ＝ πr' 2 S πr2
＝ r' 2 ＝ x2
S' S
＝
x x＋h
，
即
x＝
S'h S－ S'
高中数学第一章立体几何初步1.3.2空间几何体的体积学案苏教版必修2
3 OD＝ 6 ×30＝5 3(cm) ，
6/9
所以棱台的高 h＝ O′O＝ D′D2－ OD－O′D′ 2
13 3
10 3
＝
3 2－ 5 3－ 3 2
＝ 4 3(cm) ． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
h V＝ ( S上 ＋ S下＋ S上× S下 )
3
＝
4
3
3
×（
3 4×
20
2＋
3 4×
30
1. 柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系
S′＝ S
1
S′＝ 0
1
V 柱体 ＝Sh
V
台体
＝
h( 3
S＋
SS′ ＋ S′）――→ V 锥体 ＝3Sh.
3V 2. 在三棱锥 A－ BCD中，若求点 A 到平面 BCD的距离 h，可以先求 VA－ ， BCD h＝ S△BCD. 这种
方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中
5. 如图 (1) 所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为
1 cm 和底面半径为 3 cm
的两个圆柱组成的简单几何体 . 当这个几何体如图 (2) 水平放置时，液面高度为 20 cm ，当
这个几何体如图 (3) 水平放置时，液面高度为
28 cm ，则这个简单几何体的总高度为
________ cm.
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作
2 正方体的对角面有 r 2＝ 2 a，如图 ②．
(3) 长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体
对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为
a， b， c，则过球心作长方体的对
2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1.3.2空间几何体的体积课件苏教版必修2
1．如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝ ∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥 P-ABC 的体积．
[解] ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC 为正三角形，设 D 为 BC 的中点，连结 AD，PD，作 PO⊥平面 ABC. ∵∠PAB＝∠PAC 且 AB＝AC， ∴O∈AD. 作 PE⊥AB 于点 E，连结 OE， 则 OE⊥AB.
第1章 立体几何初步
1.3 空间几何体的表面积和体积 1.3.2 空间几何体的体积
学习目标
核心素养
1.了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不
要求记忆公式)．(重点)
通过学习本节内容来提
2.会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易 升学生的直观想象、数学
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
体积 V＝43πR3＝43π 46a3＝ 86πa3.
处理有关几何体外接球的问题时，要注意球心的位置与几何体的 关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在几何体的特殊位置， 比如中心、对角线中点等．该类问题的求解就是根据几何体的相关数 据求球的直径或半径．
3．已知过球面上三点 A，B，C 的截面到球心的距离等于球半径 的一半，且 AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．
[解] 如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合 体，高的和 AB＝5，
底面半径 DC＝ACA·BBC＝152， 故 S 表＝π·DC·(BC＋AC)＝854π， V＝13π·CD2·DA＋13π·CD2·BD ＝13π·CD2·(DA＋BD)＝458π.
几何体的外接圆内切球的问题
[探究问题] 1．如果两个球的体积之比为 8∶27，那么两个球的表面积之比 为多少？
高中数学1.3.2空间几何体的体积教案苏教版必修2
132 空间几何体的体积教学目标:1•了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；2•了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；3 •培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力.教材分析及教材内容的定位：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合.教学重点：柱、锥、台的体积计算公式及其应用.教学难点：运用公式解决有关体积计算问题.教学方法：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合.教学过程：一、问题情境类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积.一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少.长方体的长、宽、高分别为a, b, c,那么它的体积为V长方体=abc或V长方体=Sh（这里，S, h分别表示长方体的底面积和高.）二、学生活动阅读课本P65 “祖暅原理”.思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？三、建构数学1.柱体的体积.棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积.V柱体=sh2.锥体的体积.类似地，底面积相等，高也相等的两个锥体的体积也相等.V锥体1Sh3.台体的体积.上下底面积分别是S' , S,高是h,则V台体§h（S、SS' S'）柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？4.球的体积.一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积有什么样神奇的关系呢？一一相等.1 12 4-V球R2屮-R2屮-R3，所以V球-R3.2 3 3 3四、数学运用例1有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm 3）六角螺帽共重6kg ,已知底面是正六边形，边长为12mm内孔直径为10mm高为10mm问这堆螺帽大约有多少个（n取3. 14 , 可用计算器）？分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量.^3 210 2 3 3解：V 12 6 10 3.14 （）10 2956（mm ）2.956（cm ）,4 2所以螺帽的个数为6 1000 （7.8 2.956）260 （个）答：这堆螺帽大约有260 个.例2圆锥形封闭容器，高为 h ,圆锥内水面高为h,h -，若将圆锥倒置后，圆锥内3 水面高为h 2，求h ,.分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面， 此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比.该西瓜体积大约有多大 ？练习：1•直三棱柱 ABGA' B' C 各侧棱和底面边长均为 a ,点D 是CC 上任意一点，连结 A B , BD A DAD 则三棱锥 A - A BD 的体积是多少？2•将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体 积是原三棱柱体积的倍；3.表面积为324 n 的球，其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面积.五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容1.理解柱体、锥体、台体之间的关系；2.球的表面积和体积公式.解:VS AB-h (J)3 h巡匹倒置后： V 水:V 锥 h 23：h 3 19h 2119以 3h 至h V 锥 27 2727 330 cm,高度为5 cm,V S CD27例3用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为。
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
6π [S＝2π×1×2＋2π×12＝6π.]
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
苏教版高中数学教材目录【精选文档】
必修一第一章集合1.1集合的含义及其表示1。
2子集、全集、补集1。
3交集、并集第二章函数2。
1函数的概念和图象2.2指数函数2.3对数函数2.4幂函数2。
5函数与方程2。
6函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1。
1空间几何体1。
2点、线、面之间的位置关系1。
3空间几何体的表面积和体积第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2。
2圆与方程2.3空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1算法的含义1.2流程图1.3基本算法语句1。
4算法案例第二章统计2。
1抽样方法2。
2总体分布的估计2。
3总体特征数的估计2。
4线性回归方程第三章概率3.1随机事件及其概率3。
2古典概型3。
3几何概型3.4互斥事件必修四第一章三角函数1。
1任意角、弧度1。
2任意角的三角函数1.3三角函数的图象与性质第二章平面向量2.1向量的概念与表示2。
2向量的线性运算2.3向量的坐标表示2。
4向量的数量积2.5向量的应用第三章三角恒等变换3。
1两角和与差的三角函数3.2二倍角的三角函数3。
3几个三角恒等式必修五第一章解三角形1.1正弦定理1。
2余弦定理1.3正弦定理、余弦定理的应用第二章2.1数列2。
2等差数列2.3等比数列第三章3.1不等关系3.2一元二次不等式3。
3二元一次不等式组与简单线性规划3.4《基本不等式》选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1。
2充分条件与必要条件1。
3简单的逻辑联结词1。
4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2。
1椭圆2。
2双曲线2。
3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3。
2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1—2第一章统计案例1。
1回归分析的基本思想及其初步应用1。
2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2。
1合情推理与演绎推理2。
2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3。
2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图选修2—1第一章常用逻辑用语1。
高中数学第1章1.3.2空间几何体的体积课件苏教必修2.ppt
学习目标 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的体积计算公 式(不要求记忆公式)； 2．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆 锥、圆台和球的体积．
1 3.2
．
课前自主学案
空
间 几
课堂互动讲练
何
体
的
知能优化训练
体
积
课前自主学案
温故夯基
1．正方体的体积公式：V＝_a_3_(a为正方体的 棱长)． 2．长方体的体积公式：V＝abc(a，b，c分别 为长方体的长、宽、高)．
解：设熔化前金属球的半径为 R，熔化后的小金属球的半 径为 R′，则由题意知43πR3＝64×43πR′3，即 R＝4R′.
若设小金属球需要油漆
x
kg
，
则
S大金属球 64×S小金属球
＝
2.4 x
，
即
64×4π4πRR2 ′2＝2x.4，解得 x＝9.6，即需要油漆 9.6 kg.
方法感悟
几何体的体积的求法有以下几种 (1)直接法：即直接套用体积公式求解； (2)等体积转化法：在三棱锥中，每一个面都 可作为底面，为了求解的方便，我们经常需 要换底，此法在求点到平面的距离时也常用 到；
【思路点拨】 借助公式，求出球的半径， 再根据表面积或体积公式求解．
【解】 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm， ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)．
体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4， ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2356π. (3)∵V 球＝43πR3＝5300π， ∴R3＝125，R＝5，
∴S 球＝4πR2＝1ห้องสมุดไป่ตู้0π.
1 3.2
．
课前自主学案
空
间 几
课堂互动讲练
何
体
的
知能优化训练
体
积
课前自主学案
温故夯基
1．正方体的体积公式：V＝_a_3_(a为正方体的 棱长)． 2．长方体的体积公式：V＝abc(a，b，c分别 为长方体的长、宽、高)．
解：设熔化前金属球的半径为 R，熔化后的小金属球的半 径为 R′，则由题意知43πR3＝64×43πR′3，即 R＝4R′.
若设小金属球需要油漆
x
kg
，
则
S大金属球 64×S小金属球
＝
2.4 x
，
即
64×4π4πRR2 ′2＝2x.4，解得 x＝9.6，即需要油漆 9.6 kg.
方法感悟
几何体的体积的求法有以下几种 (1)直接法：即直接套用体积公式求解； (2)等体积转化法：在三棱锥中，每一个面都 可作为底面，为了求解的方便，我们经常需 要换底，此法在求点到平面的距离时也常用 到；
【思路点拨】 借助公式，求出球的半径， 再根据表面积或体积公式求解．
【解】 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm， ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)．
体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4， ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2356π. (3)∵V 球＝43πR3＝5300π， ∴R3＝125，R＝5，
∴S 球＝4πR2＝1ห้องสมุดไป่ตู้0π.
高中数学第一章1.3.2空间几何体的体积配套课件苏教版必修
所以一个螺帽的体积 V＝3.74×103－0.785×103 ≈2.96×103(mm3)＝2.96(cm3)．
研一研· 问题探究、课堂更高效
因此约有 5.8×103÷ (7.8×2.96)≈2.5×102(个)．
答 这堆螺帽约有 250 个．
小结 求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组 成，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积怎样求，然后相 加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体 积，然后相加或相减．
填一填· 知识要点、记下疑难点
2．球的体积
4 3 πR 3 球的半径为 R，那么它的体积 V＝ .
2 4π R 球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ .
3．球的表面积
研一研· 问题探究、课堂更高效
[问题情境] 上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对 平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，本 节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面 积问题．
3 ． 为________
解析 因正六棱锥的高为 5－12＝2，
1 1 3 所以 V＝ Sh＝ ×6× ×2＝ 3. 3 3 4
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
4．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面，则该圆
3 π 3 锥的体积为________ ．
解析
先利用圆锥侧面积公式求出半径．
设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，高为 h，
π·a· 2a＝2πa2， 圆柱的底面积 S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积 S4＝πa2， ∴组合体上底面积 S5＝S3－S4＝3πa2， ∴旋转体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4 3＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个 圆锥的体积． V 柱＝Sh＝π· (2a)2· 3a＝4 3πa3.
高中数学第1章立体几何初步1.3空间几何体的表面积和体积课件苏教版必修2
(2R)2 a2 ( 2a)2,得：R 3 a 2
S 4R2 3a2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——a。2
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=2— —a2 。
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．
r
l
长方形
宽＝ l
长 ＝2r
S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
(2)锥体的侧面积
①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜 高为h′，则
S正棱锥侧＝ 1∕2ch. ′
②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那 么
S圆锥侧＝ πrl.
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
【思路点拨】 (1)证明△AED为直 角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出 侧面积与底面积．
【解】 (1)设正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长
为 x.
∵△ABC 是正三角形，
∴AE⊥BC.
又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C，且交线为 BC，
∴AE⊥侧面 BB1C1C， 在 Rt△AED 中，由 AE＝DE，得
知识点三、球的表面积和体积
（
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S2，S3...Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
V V1 V2 V3 ... Vn
第二步：求近似和
Si
hi
S 4R2 3a2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——a。2
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=2— —a2 。
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．
r
l
长方形
宽＝ l
长 ＝2r
S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
(2)锥体的侧面积
①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜 高为h′，则
S正棱锥侧＝ 1∕2ch. ′
②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那 么
S圆锥侧＝ πrl.
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
【思路点拨】 (1)证明△AED为直 角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出 侧面积与底面积．
【解】 (1)设正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长
为 x.
∵△ABC 是正三角形，
∴AE⊥BC.
又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C，且交线为 BC，
∴AE⊥侧面 BB1C1C， 在 Rt△AED 中，由 AE＝DE，得
知识点三、球的表面积和体积
（
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S2，S3...Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
V V1 V2 V3 ... Vn
第二步：求近似和
Si
hi
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对于球体的体积公式可以类比锥体的体积公式形象 地记忆为13(4πR2)·R，其中 4πR2 为球的表面积．
题型 1 柱体、锥体的体积
[典例 1] (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条 对角线长为 2，且与该侧面内的底边所成的角为 45°，求 此三棱柱的体积．
(2)如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 是边长为 1 的正方形，PA⊥CD，PA＝1， PD＝ 2，求此四棱锥的体积．
[学习目标] 1.了解柱、锥、台的体积公式，能运用 公式求解有关体积计算问题(重点).2.了解柱体、锥体、台 体空间结构的内在联系，感受它们的体积之间的关系(难 点).3.了解并会用球的表面积和体积计算问题(重点)．
1．①棱柱的体积公式：V 棱柱＝Sh(S 为底面面积，h 为柱体的高)；
1 ②棱锥的体积公式：V 棱锥＝__3_S_h__ (S 为底面面积，h 为棱锥的高)； ③棱台的体积公式：V 棱台＝_13_(_S_′＋____S_S_′__＋__S_)_h_ (S′， S 为两底面面积，h 为棱台的高)．
S 侧＝4×12×(10＋20)×E1E，即 780＝60E1E， 解得 E1E＝13 cm.
在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5 cm， OE＝12AB＝10 cm， 所以 O1O＝ E1E2－（OE－O1E1）2＝ 132－52＝
2．①圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh＝πR2h(R 为底面圆 的半径，h 为圆柱的高)；
②圆锥的体积公式：V 圆锥＝__13_S_h___＝__13_π_R_2_h___ (R 为底面圆的半径，h 为圆锥的高)；
③圆台的体积公式：V 圆台＝_13_(_S_′_＋___S_S_′__＋__S_)_h_＝ __13_π_(_r_2＋__r_R_＋__R__2)_h_____ (r，R 为两底面圆半径，h 为 圆台的高)． 3．球的体积公式：V 球＝___43_π_R_3_____ (R 为球半径)．
解：如图所示，由题意可知，圆台的上底圆半径为 4 cm，于是 S 圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
圆台的高为 h＝BC＝ BD2－（OD－AB）2＝ 102－（6－4）2＝4 6(cm)，
V
圆
台
＝
1 3
h(S
＋
பைடு நூலகம்
SS′
＋
S′)
＝
1 3
×
4
6 × (16π ＋
16π·36π＋36π)＝3043 6π(cm3)．
解析：(1)设圆锥侧面展开图的弧长为 l，
则 l＝2401°8×0°π·1＝43π.
设圆锥的底面半径为 r，则43π＝2πr，r＝23. V＝π3·232× 12－49＝43π2 · 59＝4815π. (2)设正方体棱长为 1，则 S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4，设圆 柱的底面半径为 r，则 2πr·1＝4，r＝π2，V 正方体＝1，V 圆 柱＝ππ22·1＝π4.
分析：(1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求 体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明 PA⊥底 面 ABCD，再利用公式求体积．
解： (1)如图所示，由条件知此三棱柱为正三棱柱． 因为正三棱柱的面对角线 AB1＝2， ∠B1AB＝45°，
所以 AB＝2×sin 45°＝ 2＝BB1. 所以 V 三棱柱＝S△ABC·BB1＝ 43×( 2)2× 2＝ 26. (2)在△PAD 中，PA＝AD＝1，PD＝ 2， 所以 PA2＋AD2＝PD2. 所以 PD⊥AD，又 PA⊥CD，且 AD∩CD＝D， 所以 PA⊥平面 ABCD，从而 PA 是底面 ABCD 上的高． 所以 V 四棱锥＝13S 正方形 ABCD·PA＝13×12×1＝13.
规律总结 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言， 高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形．对 棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因 为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线得到的垂线段的 长度．
[变式训练] 1．(1)一圆锥母线长为 1，侧面展开图圆心角为 240°， 则该圆锥的体积为________． (2)一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正 方体与圆柱的体积之比为________．
所以 V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. 答案：(1)4815π (2)π∶4
题型 2 台体的体积 [典例 2] 圆台上底的面积为 16π cm2，下底半径为 6 cm，母线长为 10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是 多少？ 分析：作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可
将梯形分割为直角三角形和矩形．
多面体与旋转体的体积性质及各几何体体积间的转 化关系
1．多面体和旋转体的体积性质：①完全相同的几何 体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个 等积体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两 个柱体(或锥体)体积相等．等积转化是今后求相关几何体 的体积的重要策略．
2．对于柱、锥、台的体积公式可以从它们间的转化 关系上加强记忆：
规律总结 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化到 平面图形(三角形或特殊四边形)中来计算．对于棱台往往 要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转 轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．
[变式训练] 2．正四棱台两底面边长为 20 cm 和 10 cm，侧面积 为 780 cm2，求其体积． 解：如图所示，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，A1B1 ＝10 cm，AB＝20 cm.取 A1B1 的中点 E1，AB 的中点 E， 连接 E1E，则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高．设 O1，O 分别是 上，下底面的中心，则四边形 EOO1E1 是直角梯形．
第1章 立体几何初步
1.3 空间几何体的表面积和体积 1．3.2 空间几何体的体积
[情景导入] 空间几何体的度量是几何研究的重要 内容之一，在生活中有着重要应用的不仅是度量几何体的 表面积还有度量体积．如图所示，在一个圆锥形的空杯子 上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢 出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？
题型 1 柱体、锥体的体积
[典例 1] (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条 对角线长为 2，且与该侧面内的底边所成的角为 45°，求 此三棱柱的体积．
(2)如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 是边长为 1 的正方形，PA⊥CD，PA＝1， PD＝ 2，求此四棱锥的体积．
[学习目标] 1.了解柱、锥、台的体积公式，能运用 公式求解有关体积计算问题(重点).2.了解柱体、锥体、台 体空间结构的内在联系，感受它们的体积之间的关系(难 点).3.了解并会用球的表面积和体积计算问题(重点)．
1．①棱柱的体积公式：V 棱柱＝Sh(S 为底面面积，h 为柱体的高)；
1 ②棱锥的体积公式：V 棱锥＝__3_S_h__ (S 为底面面积，h 为棱锥的高)； ③棱台的体积公式：V 棱台＝_13_(_S_′＋____S_S_′__＋__S_)_h_ (S′， S 为两底面面积，h 为棱台的高)．
S 侧＝4×12×(10＋20)×E1E，即 780＝60E1E， 解得 E1E＝13 cm.
在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5 cm， OE＝12AB＝10 cm， 所以 O1O＝ E1E2－（OE－O1E1）2＝ 132－52＝
2．①圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh＝πR2h(R 为底面圆 的半径，h 为圆柱的高)；
②圆锥的体积公式：V 圆锥＝__13_S_h___＝__13_π_R_2_h___ (R 为底面圆的半径，h 为圆锥的高)；
③圆台的体积公式：V 圆台＝_13_(_S_′_＋___S_S_′__＋__S_)_h_＝ __13_π_(_r_2＋__r_R_＋__R__2)_h_____ (r，R 为两底面圆半径，h 为 圆台的高)． 3．球的体积公式：V 球＝___43_π_R_3_____ (R 为球半径)．
解：如图所示，由题意可知，圆台的上底圆半径为 4 cm，于是 S 圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
圆台的高为 h＝BC＝ BD2－（OD－AB）2＝ 102－（6－4）2＝4 6(cm)，
V
圆
台
＝
1 3
h(S
＋
பைடு நூலகம்
SS′
＋
S′)
＝
1 3
×
4
6 × (16π ＋
16π·36π＋36π)＝3043 6π(cm3)．
解析：(1)设圆锥侧面展开图的弧长为 l，
则 l＝2401°8×0°π·1＝43π.
设圆锥的底面半径为 r，则43π＝2πr，r＝23. V＝π3·232× 12－49＝43π2 · 59＝4815π. (2)设正方体棱长为 1，则 S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4，设圆 柱的底面半径为 r，则 2πr·1＝4，r＝π2，V 正方体＝1，V 圆 柱＝ππ22·1＝π4.
分析：(1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求 体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明 PA⊥底 面 ABCD，再利用公式求体积．
解： (1)如图所示，由条件知此三棱柱为正三棱柱． 因为正三棱柱的面对角线 AB1＝2， ∠B1AB＝45°，
所以 AB＝2×sin 45°＝ 2＝BB1. 所以 V 三棱柱＝S△ABC·BB1＝ 43×( 2)2× 2＝ 26. (2)在△PAD 中，PA＝AD＝1，PD＝ 2， 所以 PA2＋AD2＝PD2. 所以 PD⊥AD，又 PA⊥CD，且 AD∩CD＝D， 所以 PA⊥平面 ABCD，从而 PA 是底面 ABCD 上的高． 所以 V 四棱锥＝13S 正方形 ABCD·PA＝13×12×1＝13.
规律总结 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言， 高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形．对 棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因 为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线得到的垂线段的 长度．
[变式训练] 1．(1)一圆锥母线长为 1，侧面展开图圆心角为 240°， 则该圆锥的体积为________． (2)一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正 方体与圆柱的体积之比为________．
所以 V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. 答案：(1)4815π (2)π∶4
题型 2 台体的体积 [典例 2] 圆台上底的面积为 16π cm2，下底半径为 6 cm，母线长为 10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是 多少？ 分析：作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可
将梯形分割为直角三角形和矩形．
多面体与旋转体的体积性质及各几何体体积间的转 化关系
1．多面体和旋转体的体积性质：①完全相同的几何 体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个 等积体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两 个柱体(或锥体)体积相等．等积转化是今后求相关几何体 的体积的重要策略．
2．对于柱、锥、台的体积公式可以从它们间的转化 关系上加强记忆：
规律总结 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化到 平面图形(三角形或特殊四边形)中来计算．对于棱台往往 要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转 轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．
[变式训练] 2．正四棱台两底面边长为 20 cm 和 10 cm，侧面积 为 780 cm2，求其体积． 解：如图所示，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，A1B1 ＝10 cm，AB＝20 cm.取 A1B1 的中点 E1，AB 的中点 E， 连接 E1E，则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高．设 O1，O 分别是 上，下底面的中心，则四边形 EOO1E1 是直角梯形．
第1章 立体几何初步
1.3 空间几何体的表面积和体积 1．3.2 空间几何体的体积
[情景导入] 空间几何体的度量是几何研究的重要 内容之一，在生活中有着重要应用的不仅是度量几何体的 表面积还有度量体积．如图所示，在一个圆锥形的空杯子 上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢 出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？