三角形专题

八年级数学三角形专题复习50道一、选择题：1.一定在△ABC内部的线段是（）A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2.已知AB=1.5,AC=4.5,若BC的长为整数，则BC的长为（）A.3B.6C.3或6D.3或4或5或63.一定在△ABC内部的线段是（）A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C.任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线4.如图，为估计池塘岸边A,B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A,B间的距离不可能是（）A.20米B.15米C.10米D.5米5.如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的邻补角，则∠1＋∠2＋∠3等于( )A.90°B.180°C.210°D.270°6.按照定义，三角形的角平分线（或中线、或高）应是（）A.射线B.线段C.直线D.射线或线段或直线7.如图中有四条互相不平行的直线L.L2.L3.L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列1何者正确( )A.∠2=∠4+∠7B.∠3=∠1+∠6C.∠1+∠4+∠6=180°D.∠2+∠3+∠5=360°8.三角形三条高的交点一定在（）A.三角形的内部B.三角形的外部C.三角形的内部或外部.D.三角形的内部、外部或顶点9.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是△ABC一条角平分线，则∠CAD度数为( )A．40° B．45° C．50° D．55°10.△ABC中，AB=AC=4，BC=a,则a的取值范围是( )A.a＞0B.0＜a＜4C.4＜a＜8D.0＜a＜811.如图，在△ABC中，∠A=,角平分线BE.CF相交于点O，则∠BOC=( )A.90°+B.90°-C.180°＋D.180°-12.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A.1cm，2cm，3.5cmB.4cm，5cm，9cmC.5cm，8cm，15cmD.6cm，8cm， 9cm13.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 ( )A.10cm的木棒B.20cm的木棒;C.50cm的木棒D.60cm的木棒14.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( )A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°15.如图，直角△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，且∠ACB的度数为(5x-10)°，则x的值可能是(A)10 (B)20 (C)30 (D)4016.如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°17.如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S=4cm2，则S△ABC的值为△BEF（）A.1cm2B.2cm2C.8cm2D.16cm218.若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=（）A．a+b+c B．﹣a+3b﹣c C．a+b﹣c D．2b﹣2c19.已知三角形的周长为9,且三边长都是整数,则满足条件的三角形共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个20.已知△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A.7B.11C.7或11D.7或10二、填空题：21.若等腰三角形的周长为21，其中两边之差为3，则各边长分别为。

解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=(2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 105660b ,c ,C ==∠=(4) 23630a ,b ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b C c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有A B C D交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bC a D。

第四讲三角形的基本概念及性质题型一三角形的基本概念1.下面说法错误的是 ( )A．三角形的三条角平分线交于一点B．三角形的三条中线交于一点C．三角形的三条高交于一点D．三角形的三条中线一定交于三角形内部一点2.以下说法错误的是（）A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点3.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列不正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高5.下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②同角或等角的余角相等；③相等的角是对顶角；④三角形的三条高交于一点．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6.下列说法正确的是（）A.两点之间，直线最短；B.过一点有一条直线平行于已知直线；C.和已知直线垂直的直线有且只有一条；D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.7．判断两角相等,错误的是（）A.对顶角相等B两条直线被第三条直线所截,内错角相等C.两直线平行,同位角相等D.∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.8.生活中，我们经常会看到如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（）A、稳定性B、全等性C、灵活性D、对称性9.已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、锐角三角形或钝角三角形10.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A、∠B+∠A=∠CB、∠A：∠B：∠C=2：3：5C、∠A=2∠B=3∠CD、一个外角等于和它相邻的一个内角11.如图，∠ACB =90º，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列结论错误的是（ ）A 、图中有三个直角三角形B 、∠1=∠2C 、∠1和∠B 都是∠A 的余角D 、∠2=∠A题型二 三角形的内角和外角1、已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为 ( ) A .60°,90°,75° B .48°,72°,60° C .48°,32°,38° D .40°,50°,90°2、如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和，那么这个三角形一定是（ ） (A )锐角三角形 (B )直角三角形 (C )钝角三角形 (D )等腰三角形 3.△ABC 中，∠A =2∠B =3∠C ，则这个三角形中最小的角是________________度． 4.如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）A ．60°B ．100°C ．80°D ．45°．5.如图2，在△ABC 中,∠B =∠C ,FD ⊥BC ,DE ⊥AB ,∠AFD =158°, 则∠EDF = 。

专题18三角形【考查题型】【知识要点】知识点一三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形的表示：用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形的分类：1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形2）三角形按角分类：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。

三角形三边的关系：1）三角形的任意两边之和大于第三边。

2）三角形的任意两边之差小于第三边。

几何描述：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

3）判断三条线段能否组成三角形，只需判断上述两个条件满足其一即可。

【解题技巧】已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的稳定性:三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。

【注意事项】1）三角形具有稳定性;2）四边形及多边形不具有稳定性;3）要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

考查题型一三角形的稳定性题型1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D ．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．题型1-1．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（）A ．平行四边形B ．三角形C ．长方形D ．正方形考查题型二三角形的三边关系题型2．（2022·江苏淮安·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．3，3，6B ．3，5，10C ．4，6，9D ．4，5，9【答案】C【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【详解】A.∵336+=，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B.∵3510+<，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C.∵469+>，649-<，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D.∵459+=，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．题型2-1．（2022·浙江衢州·中考真题）线段a b c ，，首尾顺次相接组成三角形，若13a b ==，，则c 的长度可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6题型2-2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a 的值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a ．则底边长为6﹣2a ．题型2-3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（）A ．1B ．2C ．7D ．8在ABC 中，5115a -<<+，即46a <<，在CDE 中，1111b -<<+，即02b <<，所以48a b <+<，26a b <-<，在ACE △中，a b d a b -<<+，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．题型2-4．（2022·青海西宁·中考真题）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2B．5C．10D．11【答案】B【分析】根据三角形三边关系定理得出6-4＜a＜6+4，求出a的取值范围，即可求解．【详解】解：由三角形三边关系定理得：6-4<a<6+4，即2<a<10，即符合的整数a的值是5，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形三边关系定理得出4-3＜a＜4+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．题型2-5．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．知识点二与三角形有关的线段三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。

B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。

9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。

②多边形的外角和等于360°。

三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。

全等三角形的判定证明专题一、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等.②全等三角形的对应角相等。

二、全等三角形的判定定理①角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)。

②边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS)。

④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）。

三、一般思考方法1、已知两边对应相等—1。

第三边；2。

夹角；3。

直角2、一角及邻边对应相等—1。

角的另一边;2.边的另一角；3。

边的对角3、一角及对边对应相等—1.另一角4、两角相等-1。

夹边；2。

一已知角的对边第一部分简单证明例题分析例1：已知：如图AC=BD,∠CAB=∠DBA.求证：∠CAD=∠DBC。

例2：已知：AB=CD,AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB例3：已知：在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD，BF⊥AD.求证：CE=BF例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。

求证：AG平分∠BAC.例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠ACB，DE=FC.求证：△ADE≌△EFC例6:已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。

求证:△ABG≌△BCH≌△CAD。

自我检测1、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。

求证：∠ABE=∠ACD.2、已知:AB=DC,AC=BD ，AC 交BD 于E.求证：AE=DE.3、已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC.求证：BF=DE4、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。

专题01 三角形六大重难题型一．中线分周长（分类讨论）1．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是10．试题分析：先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长公式即可求出结果．答案详解：解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，∴AD＝CD．∵AB＝5，△ABD的周长为12，∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．解得BD+AD＝7．∴BD+CD＝7．则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．所以答案是：10．2．已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是17和15，△ABC的周长是22，则AD的长为5．试题分析：根据三角形的周长公式列式计算即可得解．答案详解：解：∵△ABD与△ACD的周长分别是17和15，∴AB+BC+AC+2AD＝17+15＝32，∵△ABC的周长是22，∴AB+BC+AC＝22，∴2AD＝32﹣22＝10，∴AD＝5．所以答案是：5．3．如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为2 cm．试题分析：根据三角形中线的定义得到BD＝CD，求得△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，于是得到结论．答案详解：解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵AB＝7cm，AC＝5cm，∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．所以答案是：2．二．中线之等分面积4．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．5试题分析：根据三角形的面积公式即可得到结论．答案详解：解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，∴S△ABD=12S△ABC＝4，∵E是AB的中点，∴S△BDE=12S△ABD=12×4＝2，所以选：A．5．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．试题分析：易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．答案详解：解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×2＝1（cm2）．所以答案是1．三．三角形的高的辨别6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有6个．试题分析：由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．答案详解：解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．所以答案是：6．7．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD．试题分析：根据三角形的高的概念解答即可．答案详解：解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，所以答案是：AD四．多边形的内角和与外角和8．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．试题分析：根据多边形的内角和公式求出边数即可．答案详解：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，所以答案是：五．9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）A．240°B．360°C．540°D．720°试题分析：根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．答案详解：解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，所以选：B．10．一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（）A．4B．6C．7D．9试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1260°，然后解方程即可．答案详解：解：设这个多边形的边数为n，∴（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9，∴这个多边形为九边形；从这个多边形的一个顶点出发共有：9﹣3＝6（条）．所以选：B．五．三角形的内角和11．如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，BD，CE相交于点F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，则∠EFD的度数是（）A．115°B．120°C．135°D．105°试题分析：由△ABD的内角和为180°，可以求∠ADB，由△AEC内角和为180°，可以求∠AEC，再根据四边形AEFD内角和为360°，可求∠EFD．答案详解：解：在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°，在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣20°＝100°，在四边形AEFD中，∠A+∠AEC+∠ADB+2∠EFD＝360°，∴∠EFD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADB＝360°﹣60°﹣85°﹣100°＝115°，所以选：A．12．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD 分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（）A．35°或20°B．20°或27.5°C．35°或25°或32.5°D．35°或20°或27.5°试题分析：分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠APC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．答案详解：解：由折叠的性质知：∠BPD＝∠APD=12∠BP A，∠BDP＝∠ADP＝90°．当AP＝AC时，∠APC＝∠C＝70°，∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝55°，∴∠B＝90°﹣55°＝35°；当AP＝PC时，∠P AC＝∠C＝70°，则∠APC＝40°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝70°，∴∠B＝90°﹣70°＝20°；当PC＝AC时，∠APC＝∠P AC，则∠APC＝55°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝62.5°，∴∠B＝90°﹣62.5°＝27.5°．所以选：D．13．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．19°B．20°C．22°D．25°试题分析：延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=12（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．答案详解：解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P=12（∠A﹣∠D），∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P=12（48°﹣10°）＝19°．所以选：A．14．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．42°B．46°C．52°D．56°试题分析：根据折叠得出∠D＝∠B＝28°，根据三角形的外角性质得出∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF ＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．答案详解：解：∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，∴∠D＝∠B＝28°，∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠B+∠2+∠D，∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，所以选：D．15．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°试题分析：先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．答案详解：解：由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝131°，∴∠2＝180°﹣131°＝49°，所以选：A．16．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2=12∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．试题分析：首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求得∠4．答案详解：解：∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，∴∠3＝20°，∵∠2=12∠3，∴∠2＝10°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝35°，∵∠4＝∠2+∠ABE，∴∠4＝45°．17．如果在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的3倍，那么这个三角形中最小的一个角等于22.5度．试题分析：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．由“直角三角形的两个锐角互余”的性质知，x+3x＝90°．通过解方程即可求得x的值．答案详解：解：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．则x+3x＝90°，即4x＝90°，解得，x＝22.5°，即这个直角三角形中最小的一个角等于22.5°．所以答案是：22.5．六．新定义类18．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“2倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．答案详解：解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，所以答案是：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．19．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为2倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为22.5°＜α＜30°．（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．试题分析：（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．答案详解：解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，所以答案是：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．所以答案是22.5°＜α＜30°．（3）∵AE 平分∠BAO ，AF 平分∠AOG ，∴∠EAB ＝∠EAO ，∠OAF ＝∠F AG ，∴∠EAF ＝∠EAO +∠OAF =12（∠BAO +∠OAG ）＝90°，∵△EAF 是4倍角三角形，∠F 显然大于∠E ,∴∠E =14×90°或15×90°， ∵AE 平分∠BAO ，OE 平分∠BOQ ，∴∠E =12∠ABO ，∴∠ABO ＝2∠E ，∴∠ABO ＝45°或36°．20．在△ABC 中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称△ABC 为n 倍角三角形．例如，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝75°，∠C ＝25°，可知∠B ＝3∠C ，所以△ABC 为3倍角三角形．（1）在△ABC 中，∠A ＝55°，∠B ＝25°，则△ABC 为 4 倍角三角形；（2）若△DEF 是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求△DEF 的最小内角；（3）若△MNP 是2倍角三角形，且∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°，请直接写出△MNP 的最小内角的取值范围．试题分析：（1）由∠A ＝55°，∠B ＝25°，可求∠C 的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围． 答案详解：解：（1）∵∠A ＝55°，∠B ＝25°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝100°，∴∠C ＝4∠B ，所以答案是：4（2）设最小的内角为x °，则3倍角为3x °①当最小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时， 即：x =13（90°﹣3x ），解得：x ＝15°②3倍内角的度数是最小内角的余角的度数的13时， 即：3x =13（90°﹣x ），解得：x ＝9°，因此，△DEF 的最小内角是9°或15°．（3）设∠M 的度数为x ，则其它的两个角分别为2x ，（180°﹣3x ），由∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°可得：2x ＜90°且180°﹣3x ＜90°且2x ≠180°﹣3x∴30°＜x ＜45°且x ≠36°．答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°且x ≠36°．21．若△ABC 中刚好有∠B ＝2∠C ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A 称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）A ．45°或36°B ．72°或36°C ．45°或72°D ．45°或36°或72° 试题分析：分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案．答案详解：解：①设三角形底角为α，顶角为2α，则α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，所以选：C．22．若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是60或90度．试题分析：根据“智慧三角形”及“智慧角”的意义，列方程求解即可．答案详解：解：在有一个角为60°的三角形中，①当另两个角分别是100°、20°时，“智慧角”是60°；②α+β＝120°且α＝3β，∴α＝90°．，即“智慧角”是90°．所以答案是：60或90．。

专题11 三角形知识点1：与三角形有关的线段1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

知识点2：与三角形有关的角1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°2.有两个角互余的三角形是直角三角形。

3.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

4.三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点3：多边形与内角和1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°8.多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

9.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

（2）n边形共有23)-n(n条对角线。

三角形是初中数学中几何部分的基础图形，定义、概念、定理、性质比较多，要想深刻理解和吃透知识点很难，所以要有方法和策略。

初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知AO=OB ，OC=OD ，AD 和BC 相交于点E ，则图中全等三角形有（ ）对．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 2．两个同心圆的半径分别是 5 和 4，则长为 6 的大圆的弦一定和小圆（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定 3．在△ABC 中，AB =8，BC =15，AC =17，则下列结论正确的是( ) A ．△ABC 是直角三角形，且△A =900B ．△ABC 是直角三角形，且△B =900 C ．△ABC 是直角三角形，且△C =900D ．△ABC 不是直角三角形 4．若菱形ABCD 的对角线8AC =，60ABC ∠=，则菱形ABCD 的面积为（ ） A ．16 B ．C ．D ．5．用10根等长的火柴棒拼成一个三角形（火柴棒不允许剩余，重叠和折断），这个三角形一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形 6．下列命题：△任何实数的0次幂都等于1；△有两个角相等的等腰三角形是等边三角形；△三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三条边的距离相等；△若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形．正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．菱形的两条对角线分别是12和16，则该菱形的边长是( )A ．10B ．8C ．6D ．5 8．如图，下列条件中，不能证明△ABC △△DCB 的是（ ）A ．AB ＝DC ，AC ＝DBB ．AB ＝DC ，△ABC ＝△DCB C ．△ACB ＝△DBC ，△A ＝△D D ．AB ＝DC ，△DBC ＝△ACB 9．如图，把ABC 纸片沿EG 折叠，当点A 落在ABC 外部的点F 处，此时测得2104∠=︒，30A ∠=︒，则1∠的度数为（ ）A ．40︒B ．44︒C ．46︒D ．48︒ 10．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 、AF 交于点G ，AF 的中点为H ，连接BG 、DH ．给出下列结论：△AF DE ⊥；△85DG =；△HD BG ∥；△ABG 与DFH 相似．其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．411．下列条件中，能判定△ABC△△DEF 的是( )A ．AB=DE ，BC=EF ，△A=△EB ．△A=△E ，AB=EF ，△B=△DC ．△A=△D ，△B=△E ，△C=△F D ．△A=△D ，△B=△E ，AC=DF 12．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，点P 是ABC 所在平面内一点，则222PA PB PC ++取得最小值时，下列结论正确的是（ ）A ．点P 是ABC 三边垂直平分线的交点B ．点P 是ABC 三条内角平分线的交点 C ．点P 是ABC 三条高的交点D ．点P 是ABC 三条中线的交点13．下列命题中，真命题是（ ） A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等14．已知直角三角形两边的长分别为6和8，则此三角形的周长为（ ）A ．24B ．14C ．14+24D ．14+15．如图，点A 的坐标为（﹣3，2），△A 的半径为1，P 为坐标轴上一动点，PQ 切△A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（﹣2，0）D ．（﹣3，0） 16．如图1，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（ ）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n + 17．如图，若 AC 、BD 、EF 两两互相平分于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．27cmB ．228cmC ．242cmD ．249 cm 19．如图，在□ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE △AB ，垂足E 在线段AB上，连接EF 、CF ，则下列结论中：△△DCF ＝12△BCD ；△EF ＝CF ；△S △BEC ＜2S △CEF ；△△DFE ＝4△AEF ．一定成立的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．420．如图，等边ABC 内部有一点D ，3DB =，4DC =，150BDC =∠︒，在AB 、AC 上分别有一动点E 、F ，且AE AF =，则DE DF +的最小值是( )A ．5B ．C ．D ．7二、填空题21．等腰三角形的两边长为2和3，则等腰三角形的周长为________．22．若3，m ，5=______． 23．如图，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，且BP ＝BC ，则△DPC ＝______°．24．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，70B ∠=︒，D ，E 分别是边AB 、AC 上的点，将A ∠沿DE 折叠，使点F 落在AB 的下方，当FDE 的边EF 与BC 平行时，ADE ∠的度数是_________．25．《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB 为x 尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）．26．如图，ABC ∆和ABE 关于直线AB 对称，ABC ∆和ADC ∆关于直线AC 对称，CD 与AE 交于点F ，若32ABC ∠=︒，18ACB ∠=︒，则CFE ∠的度数为______．27．如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．28．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△A ＝40°，CD ∥AB ，则△BCD 的度数是______．29．如图△ABC 中，△A =96°，延长BC 到D ，△ABC 的平分线与△ACD 的平分线交于点A 1，△A 1BC 的平分线与△A 1CD 的平分线交于点A 2，以此类推，△A 4BC 的平分线与△A 4CD 的平分线交于点A 5，则△A 5的大小是___30．ABC 中，AB 15=，BC 12=，AC 9=，圆O 是ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为________．（结果不取近似值）31．如图所示，一水库迎水坡AB 的坡度1:2i =，则求坡角α的正弦值sin α______．32．一根旗杆在离地面4.5 m 的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6 m 外，则旗杆折断前的高度是________．33．如图，O 的弦AB 长为2，CD 是O 的直径，30,15ADB ADC ∠=︒∠=︒．△O 的半径长为_________．△P 是CD 上的动点，则PA PB +的最小值是_________．34．直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为___________．35．如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是____.36．在等边ABC 中，点D 在BC 边上，若4AB =，AD =BD 的长为______．37．如图，已知△MON =30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1=2，则△A 5B 5A 6的边长为________．38．已知点G是面积为227cm的ABC的重心，那么AGC的面积等于____39．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.40．如图，平行四边形ABCD中，点P为边AD上一个动点，连接BP，将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BQ，连接AQ，若△ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，则线段AQ 的取值范围是______．三、解答题41．如图，已知ACB DBC AC BD，，求证：A D∠=∠=∠=∠．∠交AC于点D，E为AB中点，过点A作42．已知：如图ABC中，BD平分ABCAF BD，交DE延长线于点F.∥(1)求证：AF BD=(2)当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形?请证明你的结论.43．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，△B＝90°，连接AC．(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？44．尺规作图=．（保留作图痕迹，不如图，ABC中，2B C∠=∠，在AC边上找一点P，使PB PC写作法）45．如图，在直角△ABC中，△ACB=90°，CD是高，△1=35°，求△2、△B与△A的度数.46．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：△AED△△CFB；（2）试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．47．如图，在△ABC 中，△ABC ＝△ACB ，E 为BC 边上一点，以E 为顶点作△AEF ，△AEF 的一边交AC 于点F ，使△AEF ＝△B ．(1)如果△ABC ＝40°，则△BAC ＝ ；(2)判断△BAE 与△CEF 的大小关系，并说明理由；(3)当△AEF 为直角三角形时，求△AEF 与△BAE 的数量关系．48．如图，在平面直角坐标系内有一正方形OABC ，点C 坐标为(0,4)，点D 为AB 的中点，直线142y x =-+经过点C ，D 并交x 轴于点E ，BCD △沿着CD 折叠，顶点B 恰好落在OA 边上方F 处，连接BE ，点P 为直线CD 上的一动点，点Q 是线段BE 的中点．连接BP ，PQ ．（1）求点F 的坐标；（2）求出点P 运动过程中，PO PA +的最小值；（3）是否存在点P ，使其在运动过程中满足EQP EBC △∽△，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．49．在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90°至CE ，连结DE ，过C 作CF DE ⊥交AB 于F ，连结BE ．（1）求证：AD BE=．（2）试探索线段AD，BF，DF之间满足的等量关系，并证明你的结论．（3）若15CD=，求BF．ACD=︒∠，1（注：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）50．如图1，在ABC中，△A＝90°，AB＝AC+1，点D，E分别在边AB，AC 上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，如图2，连接CE，BD，CD．(1)当0°＜α＜90°时，求证：CE＝BD；(2)如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)在旋转过程中，求BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．参考答案：1．D【分析】由条件可证△AOD △△BOC ，可得△A ＝△B ，则可证明△ACE △△BDE ，可得AE ＝BE ，则可证明△AOE △△BOE ，可得△COE ＝△DOE ，可证△COE △△DOE ，可求得答案．【详解】解：在△AOD 和△BOC 中OA OBAOD BOC OD OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ △△AOD △△BOC （SAS ），△△A ＝△B ，△OC ＝OD ，OA ＝OB ，△AC ＝BD ，在△ACE 和△BDE 中A BAEC BEDAC BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACE △△BDE （AAS ），△AE ＝BE ，在△AOE 和△BOE 中OA OBA BAE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOE △△BOE （SAS ），△△COE ＝△DOE ，在△COE 和△DOE 中OE OECOE DOEOD OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△COE △△DOE （SAS ），故全等的三角形有4对，故选：D ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．2．B【分析】连接OB，作OC AB⊥，根据垂径定理求出132BC AB==，根据勾股定理求出OC，即可得到判断．【详解】解：连接OB，作OC AB⊥，△6AB=，△132BC AB==，在Rt OBC中，4OC=，△点C在小圆上，△OC AB⊥，△长为6的大圆的弦和小圆相切，故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系，正确理解垂径定理是解题的关键．3．B【详解】22281517+=, △△ABC是直角三角形，△AC是斜边,△△B=900,故B正确;故选B.4．C【分析】过A作AE△BC于E，由菱形性质和△ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，解Rt△ABE求得AE即可解答；【详解】解：由题意作图如下，过A作AE△BC于E，由菱形的性质可得：AB=BC，△△ABC=60°，△△ABC是等边三角形，△AB=BC=AC=8，Rt△ABE中，AE=AB sin△B=△菱形ABCD面积=BC•AE=故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数等知识；掌握菱形的性质是解题关键．5．B【分析】根据题意可知三角形的周长为10，再根据三角形的三边关系找到符合条件的三边，看符合哪类三角形即可．【详解】根据题意可知三角形的周长为10，又因为三角形任意两边之和大于第三边，△最大边要小于5，△三角形的三边可以为4，2，4或4，3，3．△这个三角形一定是等腰三角形．故选B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系及等腰三角形的判定．三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．6．B【分析】根据0指数幂的定义，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定，线段垂直平分线性质逐个进行判断即可．【详解】解：△0的0次幂不存在，△△错误；△有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故△错误；△三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故△错误；△若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形，故△正确△正确的个数为：1个．故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，0指数幂的定义，等腰三角形性质，等边三角形的判定的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，任何不等于0的0次幂等于1，能理解性质和法则是解此题的关键．7．A【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分别为12和16，求得OA 与OB ，再由勾股定理即可求得菱形的边长．【详解】如图，△菱形ABCD 中，A C=12，BD =16，△OA =12AC =6，OB =12BD =8，AC △BD ，△AB ．即菱形的边长是10.故选：A.【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的关键．8．D【详解】解：根据题意知，BC =BC ．A 、由“SSS”可以判定△ABC △△DCB ，故本选项不符合题意；B 、由“SAS”可以判定△ABC △△DCB ，故本选项不符合题意；C 、由“AAS”可以判定△ABC △△DCB ，故本选项不符合题意；D 、由“SSA”不能判定△ABC △△DCB ，故本选项符合题意．故选：D ．9．B【分析】设EF 与AB 交于D ，由折叠可得30F A ∠=∠=︒，根据三角形的外角性质得到21043074ADE A ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1ADE F ∠=∠-∠，则由1ADE F ∠=∠-∠，即可求解．【详解】解：设EF 与AB 交于D ，如图，△21043074ADE A ∠=∠-∠=︒-︒=︒，又1ADE F ∠=∠-∠，1743044ADE F ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，故选：B ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形外角的性质与折叠的性质是解题的关键．10．B【分析】利用正方形的性质和线段中点性质，证明()SAS ADF DCE ≌，得到DAF CDE ∠=∠，即可判断△；利用勾股定理求AF =DG 的长，即可判断△；利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得到DH HF =，进而得到HDF HFD ∠=∠，然后根据平行线的性质，得到HDF HFD BAG ==∠∠∠，由勾股定理求出AG =△；根据ABG DFH ∽，得到ABG DHF =∠∠，又因为AB AG ≠，得到ABG AGB ∠≠∠，进而得到AGB DHF ≠∠∠，即可判断△． 【详解】解：四边形ABCD 为正方形，90ADC BCD ，AD CD BC ==， E 、F 分别是BC 、CD 的中点，11222DF CD BC EC ∴====， 在ADF △和DCE 中，AD CD ADC BCD DF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADF DCE ∴≌，DAF CDE ∴∠=∠，90ADG CDE ADC ∠+∠=∠=︒，90ADG DAF ∴∠+∠=︒，90AGD ∴∠=︒，AF DE ∴⊥，△结论正确；4AD =，122DF CD ==，AF ∴=，1122ADF S AD DF AG DG =⋅=⋅，AD DF DG AF ⋅∴==△结论错误； H 为AF 的中点，90ADC ∠=︒，12DH HF AF ∴=== HDF HFD ∴∠=∠，AB CD ∥，HFD BAG ∠=∠∴，HDF HFD BAG ∠=∠=∠∴，AG AD ==4AB =，52AG DF ∴==AB AB DH HF ==， AB AG DH DF∴=， ABG DFH ∴∽，△结论正确；ABG DHF ∴∠=∠，4AB =，AG = AB AG ∴≠，ABG AGB ∠≠∠∴，AGB DHF ∴∠≠∠，HD ∴与BG 不平行，△结论错误，综上可知，正确的结论为：△△，故选B ．【点睛】本题考查了三角形全等的证明与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的斜边中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题关键．11．D【详解】解：A ．AB=DE ，BC=EF ，△A=△E ，SSA 不能确定全等；B ．△A=△E ，AB=EF ，△B=△D ，AB 和EF 不是对应边，不能确定全等；C ．△A=△D ，△B=△E ，△C=△F ，AAA 不能确定全等；D ．△A=△D ，△B=△E ，AC=DF ，根据AAS ，能判断△ABC△△DEF ．故选D ．12．D【分析】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则222PA PB PC ++=()22820032333x y ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，可得P (2，83)时，222PA PB PC ++最小，进而即可得到答案．【详解】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (6，0)，C (0，8)，设P (x ，y )，则222PA PB PC ++=()()22222268x y x y x y ++-+++-=22331216100x y x y +--+=()22820032333x y ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， △当x =2，y =83时，即：P (2，83)时，222PA PB PC ++最小， △由待定系数法可知：AB 边上中线所在直线表达式为：883y x =-+， AC 边上中线所在直线表达式为：243y x =-+， 又△P (2，83)满足AB 边上中线所在直线表达式和AC 边上中线所在直线表达式，△点P是ABC三条中线的交点，故选D．【点睛】本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．13．D【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．【详解】A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误；C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误；D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．14．C【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于8是直角边还是斜边不能确定，故应分8是斜边或x为斜边两种情况讨论．【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x，△当8为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，10x=，此时这个三角形的周长=6+8+10=24；△当8为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，22x8627,此时这个三角形的周长=△此三角形的周长为：24．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，二次根式的化简，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．15．D【分析】连接AQ、P A，如图，利用切线的性质得到△AQP=90°，再根据勾股定理得到PQ=AP△x轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标．【详解】解：连接AQ、P A，如图，△PQ切△A于点Q，△AQ△PQ，△△AQP＝90°，△PQ当AP的长度最小时，PQ的长度最小，△AP△x轴时，AP的长度最小，△AP△x轴时，PQ的长度最小，△A（﹣3，2），△此时P点坐标为（﹣3，0）．故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理，垂线段最短．16．C【分析】根据条件可得图1中△ABD△△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD△△ACD，△BDE△△CDE，△ABE△△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．【详解】解：△AD是△BAC的平分线，△△BAD=△CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，△BAD=△CAD，AD=AD，△△ABD△△ACD．△图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE△△ACE，△BE=EC，△△ABD△△ACD．△BD=CD，又DE=DE，△△BDE△△CDE，△图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．17．D【分析】根据AC、BD、EF两两互相平分于点O，则有OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；图中的对顶角有△AOB与△DOC，△AOE与△COF，△BOF与△DOE，△AOD与△BOC；根据两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS）可得△AOB△△DOC；△AOE△△COF；再利用前面所证全等三角形，易证四边形ABCD是平行四边形，故△BOF△△DOE；△AOD△△BOC．【详解】解：△AC、BD、EF两两互相平分于点O△OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；△△AOB=△DOC，△AOE=△COF，△BOF=△DOE，△AOD=△BOC；△△AOB△△DOC（SAS）△AOE△△COF（SAS）△OA＝OC，OB＝OD；△四边形ABCD是平行四边形，△ AD△BC，AD=BC△△EDO=△FBO，△AOD△△BOC△△BOF△△DOE故图中所有的全等三角形有6对，分别是△AOB△△DOC；△AOE△△COF；△BOF△△DOE；△AOD△△BOC；△ABD△△CDB；△ABC△△CDA．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定；找寻全等三角形时要从最明显的开始，由易到难，不重不漏．18．D【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，从而可解决问题．【详解】解：△所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，△正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又△a2+b2=x2，c2+d2=y2，△正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．19．C【分析】△先证出AF =FD =CD ，得到△DFC =△DCF ，再根据平行线性质得到△DFC =△FCB ，即可得到△DCF =△BCF ，可得△DCF =12 △BCD ，故△正确；△做辅助线延长EF ，交CD 延长线于M ，先证△AEF △△DMF （ASA ），得到FE =MF 即12FE EM =，再通过在Rt ECM 中斜边上的中线等于斜边的一半得到12FC EM =，即可得到CF =EF ，故△正确；△根据EF =FM ，可得EFC CFM S S =，那么2ECM CFE S S =△△，再通过MC ＞BE ，得到BEC ECM S S △△＜，即2BEC CEF S S △△＜，故△的正确；△先证FC =FE ，设△FCE =x ，那么90DCF x ∠=︒-，再通过证△DCF =△DFC ，那么90DCF DFC x ∠=∠=︒-，则1802EFC x ∠=︒-，进一步证得9018022703EFD x x x ∠=︒-+︒-=︒-，即可证得3DFE AEF ∠=∠，故△错误．【详解】解：△△F 是AD 的中点，△AF =FD ，△在ABCD 中，AD =2AB ，△AF =FD =CD ，△△DFC =△DCF ，△//AD BC ，△△DFC =△FCB ，△△DCF =△BCF ，△△DCF =12△BCD ，故△正确；△延长EF ，交CD 延长线于M ，△四边形ABCD 是平行四边形，△//AB CD ，△△A =△MDF ，△F 为AD 中点，△AF =FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， △△AEF △△DMF （ASA ），△FE =MF ，即12FE EM =，△AEF =△M ， △CE △AB ，△△AEC=90°，△△AEC =△ECD =90°， △12FC EM =△12FE EM =， △CF =EF ，故△正确；△△EF =FM ，△EFC CFM S S =，△2ECM CFE S S =△△，△MC ＞BE ，△BEC ECM S S △△＜△2BEC CEF S S △△＜故△正确；△设△FEC =x ，△CE △AB ，//AB CD ，△90ECD BEC ∠=∠=︒，△F 是EM 的中点，△FC =FE ，△△FCE =x ，△90DCF x ∠=︒-，△//AD BC△△FCB =△DFC△△DCF ＝△FCB ；△△DCF =△DFC△90DCF DFC x ∠=∠=︒-△1802EFC x ∠=︒-，△9018022703EFD x x x ∠=︒-+︒-=︒-，△90AEF x ∠=︒-，△△DFE =3△AEF ，故△错误．综上所述正确的是：△△△．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，能准确找到边与边之间、角与角之间的关系是解答此题的关键．20．A【分析】过C 作HC CD ⊥于C ，使CH BD =，连接DH ，FH ，根据SAS 证明BED CFH ≅△△，得出FH DE =，则DE DF FH DF +=+，当FH DF +的最小时，DE DF +最小，当D 、F 、H 在同一条直线时，FH DF +最小，根据勾股定理算出结果即可．【详解】解：如图，过C 作HC CD ⊥于C ，使CH BD =，连接DH ，FH ，90HCA ACD ∴∠+∠=︒，150BDC ∠=︒，18015030DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒，()ABD ACD ABC ACB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠+∠，△ABC 为等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，AB AC =，1203090ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒，HCA ABD ∴∠=∠， =AE AF ，BE CF ∴=，△在BED 和FCH 中BE CF HCA ABD CH BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BED CFH ∴≅△△，FH DE ∴=，DE DF FH DF ∴+=+，∴当FH DF +的最小时，DE DF +最小，∴当D 、F 、H 在同一条直线时，FH DF +最小，在Rt DCH △中，3CH =，4DC =，5DH ∴，△DE DF +的最小值是5，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明BED CFH ≅△△．21．7或8【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：△当腰长为2时，△当腰长为3时，解答出即可．【详解】解：根据题意，△当腰长为2时，周长=2+2+3=7；△当腰长为3时，周长=3+3+2=8，故答案为：7或8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答．22．3m ﹣18．【分析】先根据三角形三边关系确定m 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简即可．【详解】△三角形的三边长分别为3、m 、5，△2＜m ＜8，=|2﹣m |﹣2|m ﹣8|=m ﹣2﹣2(8﹣m )=3m ﹣18．故答案为：3m ﹣18．【点睛】本题主要考查三角形三边关系和二次根式的性质，掌握三角形三边关系和二次根式的性质是解题的关键．23．112.5【分析】根据正方形的性质，可以得到△PBC 的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，求得△BPC 的度数，即可求得△DPC 的度数．【详解】解：△点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，△△PBC =45°，△BP =BC ，△△BPC =△BCP =180452︒-︒=67.5°， △△DPC =180°-△BPC =112.5°，故答案为：112.5．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．24．25︒或25度【分析】根据三角形内角和，得A ∠的角度，根据折叠得，A F ∠=∠，ADE EDF ∠=∠；又根据EF BC ∥，得90FEC C ∠=∠=︒，再根据三角形内角和，求出EGF ∠，最后根据三角形的外角和，即可求出ADE ∠．【详解】△ABC 中，90C ∠=︒，70B ∠=︒△18020A C B ∠=︒-∠-∠=︒△DEF 是DEA △折叠得到的△20A F ∠=∠=︒，ADE EDF ∠=∠△EF BC ∥△90FEC C ∠=∠=︒△18070EGF FEC F ∠=︒-∠-∠=︒△70EGF DGC ∠=∠=︒△70A ADG ∠+∠=︒△270A ADE ∠+∠=︒△25ADE ∠=︒．故答案为：25︒或25度．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形内角和、外角和定理． 25．26320x x --=【分析】先表示出BC 的长，再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：由题可知 1丈=10尺，门的对角线距离恰好为1丈，∴门的对角线距离恰好为10尺，△高比宽多6尺，设门高 AB 为x 尺，△()6BC x =-尺，△可列方程为：()222610x x +-=，整理得：26320x x --=故答案为：26320x x --=．【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．26．118【分析】根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案为：118°．【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．27．（6）（3）（5）【分析】利用全等图形的概念可得答案．【详解】解：（1）与（6）是全等图形，（2）与（3）（5）是全等图形，故答案为：（6），（3）（5）．【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．28．110°##110度【分析】根据等腰三角形性质，可得△B＝△ACB＝70°，再根据平行线的性质，即可求出△BCD的度数．【详解】解：△AB＝AC，△A＝40°，△△B＝△ACB＝12（180°－40°）＝70°，△CD AB∥，△△B＋△BCD＝180°，△△BCD＝110°．故答案为：110°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用已知条件，进行正确的推理计算．29．3°##3度【分析】先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求△A1=12△A，再依此类推得，△A 2=212△A ；…△A 5=512 △A ；找出规律，从而求△A 5的值． 【详解】△BA 1C +△A 1BC =△A 1CD ，2△A 1CD =△ACD =△BAC +△ABC ，△2(△BA 1C +△A 1BC )=△BAC +△ABC ，2△BA 1C +2△A 1BC =△BAC +△ABC ，而2△A 1BC =△ABC ，△2△BA 1C =△BAC ，同理，可得2△BA 2C =△BA 1C ，2△BA 3C =△BA 2C ，2△BA 4C =△BA 3C ，2△BA 5C =△BA 4 C ，△△BA 5C =12 △BA 4C =14△BA 3C =18 △BA 2C =116 △BA 1C =132 △BAC =96°÷32=3°， 故△A 5=3°．故答案为：3°．【点睛】此题考查三角形的外角性质，解题关键在于找到规律30．549π-【分析】由15AB =，12BC =，9AC =，得到222AB BC AC =+，根据勾股定理的逆定理得到ABC 为直角三角形，于是得到ABC 的内切圆半径1291532+-==，图中阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去圆的面积，分别利用它们的计算公式即可得到图中阴影部分的面积【详解】△ 15AB =，12BC =，9AC =，△ 222AB BC AC =+，△ ABC 为直角三角形，△ ABC 的内切圆半径1291532+-==， △ 图中阴影部分的面积2112935492ππ=⨯⨯-⋅=-． 故答案为549π-【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理的逆定理，对于不规则图形的面积要灵活转化为规则图形的求法是解题的关键31 【分析】过点A 作AC BC ⊥于C ，根据坡度与坡角的概念得1tan 2AC BC α==，设AC x =，2BC x =，根据勾股定理求出AB 的长，再根据锐角三角函数的概念即可求出答案．【详解】过点A 作AC BC ⊥于C ，△AB 的坡度1:2i =， △1tan 2AC BC α==， 设AC x =，2BC x =，△AC BC ⊥，△AB ，△sinAC AB α==【点睛】本题考查了坡度坡角的知识与解直角三角形的知识，熟练掌握坡度坡角的概念与勾股定理的应用是解本题的关键．32．12米【详解】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB= =7.5（米）． 故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．故答案为：12米．33． 2 【分析】△连接,OA OB ，易证AOB 是等边三角形，弦AB 长为2，2OA OB ==，即可得到答案；△先证90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，再用勾股定理求出AE 即可．【详解】解：△连接,OA OB ，△30,ADB ∠=︒△60AOB ∠=︒,△OA OB =，△AOB 是等边三角形，△弦AB 长为2，△2OA OB ==，即O 的半径长为2，故答案为：2△△15ADC ∠=︒，△230AOC ADC ︒∠=∠=,△90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，△60BAO ∠=︒，△2OA OE ==，△30OAE AEB ︒∠=∠=，△90BAE BAO OAE ∠=∠+∠=︒，△AE ==即PA PB+的最小值是故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．34．6【分析】利用勾股定理求解出另一条直角边，即可求解．【详解】解：△直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，△．×3×4=6．该直角三角形的面积S=12故答案为6．【点睛】本题考查了了勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理求直角边．35．36°【分析】如图所示，△ABF中，根据内角和外角的关系，△2=△A+△B；△EDG中，△1=△D+△E；根据三角形内角和等于180°，得到△1+△2+△C=180度．于是△A+△B+△C+△D+△E=180°，由于五个角的度数是相同，即可求得每一个角的度数．【详解】△△2=△A+△B；△1=△D+△E，△1+△2+△C=180°，△△A+△B+△C+△D+△E=180°，△五个角的度数是相同，则每一个角的度数都是180°÷5=36°，故答案为36°【点睛】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理，结合三角形内角和外角的关系，将所有角转化到一个三角形内，体现了数形结合思想和转化思想在解决数学问题时的魅力．36．1或3。

专题01 三角形的基本概念和性质知识对接考点一、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6．三角形具有稳定性.专项训练一、单选题1．（2021·福建九年级其他模拟）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（）A．GD，EI，MH B．GF，EF，MF C．DE，GH，MI D．AD，AG，GD 【答案】A【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．【详解】A、拿掉GD，EI，MH后，剩下的图形如下：图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；B、拿掉GF，EF，MF后，剩下的图形如下：图形中有4个三角形，此项不符题意；C、拿掉DE，GH，MI后，剩下的图形如下：图形中有6个三角形，此项不符题意； D 、拿掉AD ，AG ，GD 后，剩下的图形如下：图形中有9个三角形，此项不符题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．2．（2021·黑龙江九年级三模）有长度分别为1,2,3cm cm cm 的小木棒若干，从中任取三根首尾顺次相接组成三角形，则能组成形状不同的三角形（ ） A ．4种 B ．5种C ．6种D ．7种【答案】B 【分析】根据三角形三边的关系任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分类讨论即可． 【详解】 解：∵1+2=3，∵三边长只能组成等边三角形或者等腰三角形，∵长度分别为1,1,1cm cm cm ，2,2,2cm cm cm ，3,3,3m cm cm 组成等边三角形，边长不等，但形状相同，则为一种；∵当两边长相等时有：2,2,1cm cm cm ，3,3,1cm cm cm ，2,2,3cm cm cm ，3,3,2cm cm cm ，4种形状不同的三角形； 因此共有5种，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键在于根据任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分析．3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级其他模拟）锐角∵ABC中，∵B＝45°，BC则AC的长可以是（）A．1B C D【答案】D【分析】作CD∵AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】解：作CD∵AB于D，如图所示：∵∵B＝45°，∵∵BCD是等腰直角三角形，∵BD＝CD＝sin=1BC B，∵BCD＝45°，当AC＝1时，点D与A重合，∵ABC是直角三角形，选项A不符合题意；当AC1AD CD==，则∵ACD是等腰直角三角形，∵ACD＝45°，∵∵ACB＝90°，∵ABC是直角三角形，选项B不符合题意；当AC AC＜CD，∵∵ACD＞∵A，则∵ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；当AC时，12AD CD ==<∵∵ACD＜∵A，则∵ABC是锐角三角形；选项D符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·连云港市新海实验中学九年级二模）如图，在Rt ABC 中，∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到∵A 'B 'C '， M 是BC 的中点，P 是A 'B '的中点， 连接PM ，则线段PM 的最大值是（ ）A ．4B ．2C ．3D．【答案】C 【分析】连接PC ，分别求出PC ，CM 的长，然后根据PM MC PC ≤+即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接PC ， ∵∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°， ∵AB =2BC =4，由旋转的性质可知：=90A CB ACB ''=∠∠，4A B AB ''==， ∵P 、M 分别是A B ''、BC 的中点， ∵122PC A B ''==，112CM BC ==，∵3PM MC PC ≤+=，∵PM 的最大值为3，且此时P 、C 、M 三点共线， 故选C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·福建省同安第一中学）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3，4，8 B ．5，6，11C ．4，4，8D ．8，8，8【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A 、3+4＜8，不能构成三角形； B 、5+6=11，不能构成三角形； C 、4+4=8，不能构成三角形； D 、8+8＞8，能构成三角形． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．6．（2021·福建九年级其他模拟）若某三角形的两边长分别为5和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A ．4 B ．5C ．14D ．15【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系即可得． 【详解】设该三角形第三边的长为a ，由三角形的三边关系得：9559a -<<+，即414a <<， 观察四个选项可知，只有选项B 符合， 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． 本号资料皆来源于微信公众号：数学第六*感7．（2021·辽宁）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则S ∵ABC 的面积为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】C 【分析】利用割补法求∵ABC 面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可． 【详解】解：在网格中添加字母如图， S ∵AEB =1112122AE BE ⋅=⨯⨯=， S ∵AFC =1123322AF FC ⋅=⨯⨯=， S ∵BGC =11313222BG GC ⋅=⨯⨯=，S 正方形=9EF FC ⋅=，∵S ∵ABC = S 正方形- S ∵AEB - S ∵AFC - S ∵BGC =9-1-3-3722=． 故选择C ．【点睛】本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键． 8．（2021·福建宁德市·）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．2，3，5C ．2，2，4D ．2，2，5【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，3+2＞4，能够组成三角形； 符合题意 B 中，2+3＝5，不能组成三角形；不符合题意 C 中，2+2＝4，不能组成三角形；不符合题意 D 中，2+2＜5，不能组成三角形．不符合题意 故选：A ． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．9．（2021·陕西咸阳市·九年级一模）如图，CM 是ABC ∆的中线，BCM 的周长比ACM ∆的周长大3cm ，8cm BC =，则 AC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】C 【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵CM 为∵ABC 的AB 边上的中线， ∵AM =BM ，∵∵BCM 的周长比∵ACM 的周长大3cm ， ∵（BC +BM +CM ）-（AC +AM +CM ）=3cm ， ∵BC -AC =3cm ， ∵BC =8cm ， ∵AC =5cm ， 故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键． 本号资*料皆来源于微信公众号：数学第六感10．（2021·福建省厦门第六中学九年级三模）如图，在ABC 中，BC 边上的高是（ ）A ．CDB ．AEC ．AFD ．AH【答案】C 【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论． 【详解】由图可知，过点A 作BC 的垂线段AF ， 则ABC 中，BC 边上的高是AF ， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 二、填空题11．（2021·内蒙古包头市·）在ABC 中，,A B ∠∠都是锐角，且满足2sin cos 0A B ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则三角形的形状是__． 【答案】钝角三角形 【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,A B ∠∠,再根据三角形内角和定理求得C ∠,判断三角形的形状即可． 【详解】2sin 0cos 0A B ⎫≥≥⎪⎪⎝⎭∴sin0A=cos0B=45,30A B∴∠=︒∠=︒1804530105C∴∠=︒-︒-︒=︒∴ABC是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．12．（2021·浙江九年级专题练习）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．【答案】2 5【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：3、5、83、5、103、5、133、8、103、8、133、10、135、10、135、8、105、8、138、10、13其中能组成三角形的有：∵3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；∵5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；∵5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；∵8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；所以有4种方案符合要求，故能构成三角形的概率是P=410=25，故答案为：2 5 .【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.13．（2021·扬州市梅岭中学）判断命题“若ABC的边a、b、c满足22a b ac bc-=-，则ABC 是等腰三角形”的真假，答：_________．（选填“真命题”或“假命题”或“无法判断”）【答案】真命题【分析】根据22a b ac bc-=-变形即可求得,,a b c的关系，再进行判断即可【详解】22a b ac bc-=-()()()a b a b c a b∴+-=-a b c+≠a b∴-=a b∴=∴ABC是等腰三角形故答案为：真命题【点睛】本题考查了命题，因式分解，三角形三边关系，等腰三角形的定义，因式分解后根据三角形三边关系判断是解题的关键．14．（2021·内蒙古包头市·）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F 在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G ，则AGF的面积是________．【答案】5611．【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH∵CD，交AB于N，先证明∵ABE∵∵MCE，由CF=3DF，可求DF =1，CF =3，再证∵ABG ∵∵MFG ，则利用相似比可计算出GN ，再利用两三角形面积差计算S ∵DEG 即可． 【详解】解：延长AG 交DC 延长线于M ，过G 作GH ∵CD ，交AB 于N ，如图， ∵点E 为BC 中点， ∵BE =CE ，在∵ABE 和∵MCE 中， ABE MCE BE CEAEB MEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵ABE ∵∵MCE （ASA ）， ∵AB =MC =4，∵CF =3DF ，CF +DF =4，∵DF =1，CF =3，FM =FC +CM =3+4=7， ∵AB∥MF ，∵∵ABG =∵MFG ，∵AGB =∵MGF ， ∵∵ABG ∵∵MFG ， ∵47AB GN MF GH ==， ∵4GN GH +=， ∵1628,1111GN GH ==， S ∵AFG =S ∵AFB -S ∵AGB =1111165644422221111AB HN AB GN ⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=， 故答案为5611．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运用相似比计算线段的长是解题关键．15．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）如图，在Rt∵ABC中，AB＝AC，D、E 是斜边BC上两点，且∵DAE＝45°，将∵ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到∵AFB，连接EF，下列结论：∵∵AED∵∵AEF；∵AE ADBE CD=；∵∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵BE2+DC2＝DE2；∵BE＝EF﹣DC；其中正确的选项是_____________（填序号）【答案】∵∵∵【分析】∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF，因为∵BAC=90°，∵DAE=45°，所以∵CAD+∵BAE=45°，可得∵EAF=45°=∵DAE，由此即可证明∵AEF∵∵AED；∵当∵ABE∵∵ACD时，该比例式成立；∵根据旋转的性质，∵ADC∵∵ABF，进而得出∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵据∵知BF=CD，EF=DE，∵FBE=90°，根据勾股定理判断．∵根据∵知道∵AEF∵∵AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确．【详解】解：∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF．本号资料皆来源于微@信公众号：数学第*六感∵∵BAC=90°，∵DAE=45°，∵∵CAD+∵BAE=45°，∵∵EAF=45°，∵∵AED∵∵AEF；故本选项正确；∵∵AB=AC，∵∵ABE=∵ACD；∵当∵BAE=∵CAD时，∵ABE∵∵ACD，∵AE AD BE CD=；当∵BAE≠∵CAD时，∵ABE与∵ACD不相似，即AE AD BE CD≠；∵此比例式不一定成立，故本选项错误； ∵根据旋转的性质知∵ADC ∵∵AFB ，∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ABF =S 四边形AFBD ，即三角形ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积，故本选项正确；∵∵∵FBE =45°+45°=90°， ∵BE 2+BF 2=EF 2．∵∵ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到∵AFB ， ∵∵AFB ∵∵ADC ， ∵BF =CD ． 又∵EF =DE ，∵BE 2+DC 2=DE 2，故本选项正确；∵根据∵知道∵AEF ∵∵AED ，得CD =BF ，DE =EF ，∵BE +DC =BE +BF ＞DE =EF ，即BE +DC ＞FE ，故本选项错误．综上所述：正确的说法是∵∵∵． 本@号资料皆来源于微信公众号：数学@第六#感 故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系． 三、解答题16．（2021·浙江）如图，在84⨯的正方形网格中，按ABC 的形状要求，分别找出格点C ，且使5BC =，并且直接写出对应三角形的面积．【答案】见解析；10S =；252S =；12S =【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可【详解】解：钝角三角形时，如图，∵BC∵BD，BC=5，∵∵ABC是钝角三角形，根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,∵11=45=10 22S BC BD=⨯⨯⨯；直角三角形时，如图，取格点F使得BF=4，FC=3，根据勾股定理，得BC，∵AE=BF=4，EB=FC=3，∵AEB=∵BFC=90°，∵∵AEB∵∵BFC，∵∵EAB=∵FBC，∵∵EAB+∵EBA=90°，∵∵FBC+∵EBA=90°，∵∵ABC =90°，∵∵ABC是直角三角形，根据勾股定理，得AB，∵11=5522S BA BC=⨯⨯⨯252=；锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，根据勾股定理，得BC，根据直角三角形时的作图，知道∵ABN=90°，本号资料皆来源于微信公众号：#数学第六感∵∵ABC＜∵ABN，∵∵ABC＜90°∵AB=BC，∵∵ABC是等腰三角形，∵∵A=∵C＜90°，∵∵ABC是锐角三角形，∵1462S=⨯⨯=12；【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．17．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：BF CE=；（2）若ACE的面积为4，CED的面积为3，求∵ABF的面积．本号资料#皆#来源于微信公众号：数学第*六感【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据垂直，中线的性质，证明∵CDE∵∵BDF即可；（2）根据三角形全等，确定∵BDF和∵CDE的面积相等，根据中线的性质，得∵ABD和∵ACD 的面积相等，计算即可．【详解】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∵CE ∵AF ，BF ∵AF ， ∵∵CED =∵F =90°， ∵∵CDE =∵BDF , ∵CED F CDE BDF DC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵CDE ∵∵BDF , ∵CE =BF ；（2）解：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∴ΔΔABD ACD S S =，Δ4ACE S =，3CEDS=∴ΔΔACD ACE CEDS S S =+43=+7=∴7ABDS=由（1）已证：∵CDE ∵∵BDF ,∴ΔΔ3BDF CDE S S == ∴ΔΔΔABF ABD BDF S S S =+73=+10=． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法，灵活运用三角形中线与三角形面积的关系是解题的关键．18．（2021·吉林九年级其他模拟）图∵、图∵、图∵均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图∵中画一个钝角三角形，在图∵中画一个直角三角形，在图∵中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图∵面积为12；图∵面积为1；图∵面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．19．（2021·江苏九年级月考）如图，在Rt ∵ABC 中，∵C =90°，点D 是AB 的中点，AC ＜BC ． (1)试用无刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．，在BC 上作一点E ，使得直线ED 平分ABC 的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若DE 分Rt ∵ABC 面积为1﹕2两部分，请探究AC 与BC 的数量关系．【答案】(1)作图见解析；(2)BC=3AC 【分析】（1）在BC 上用圆规截取BF=AC ，然后再作FC 的垂直平分线，其与BC 的交点即为E 点，最后连接DE 即可．（2）连接DC ，由点D 是AB 的中点，则S ∵ADC =S ∵BCD ;设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ，则有（x+y ）：（x -y ）=2:1，解得x=3y ，即E 为BC 的三等分点，即可说明BC=3EC;有EC=EF=BF=AC,即BC=3AC ． 【详解】解：（１）如图：DE 即为所求；（2）连接DC ∵点D 是AB 的中点 ∵S ∵ADC =S ∵BCD设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ， ∵S ∵BDC :S 四边形CADE =1:2∵(S ∵BDC -S ∵DCE ):( S ∵ADC +S ∵DCE )=1:2, ∵2（x -y ）=x+y ，即x=3y∵点E 为BC 的三等分点, 即BC=3EC ∵EC=EF=BF=AC ∵BC=3AC ．【点睛】本题考查了尺规作图、三角形中线的性质、三角形n 等分点的性质等知识点，其中根据题意完成（1）是解答本题的关键．20．（2021·广东）若a,b,c 为∵ABC 的三边长 （1）化简：-+2+-||a b c a b c b a c -+---（2）若a,b ()220b -=，且c 是整数，求c 的值. 【答案】（1）2a ；（2）1<c<5． 【分析】（1）由a ，b ，c 为三角形ABC 的三边，利用三角形的两边之和大于第三边列出关系式，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． （2）根据非负数的性质列式求出a 、b ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可． 【详解】（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵a+b>c ，即−a−b+c<0，a+c>b ，即a−b+c>0，b−a−c<0，则|−a−b+c|+2|a−b+c|−|b−a−c|=a+b−c+2(a−b+c)+b−a−c=a+b−c+2a−2b+2c+b−a−c=2a ； （2）由题意得，a−3=0，b−2=0， 解得a=3，b=2， ∵3−2=1，3+2=5， ∵1<c<5． 【点睛】此题考查二次根式的性质，绝对值，三角形三边关系的应用，解题关键在于利用两边之和大于第三边.21．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级一模）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值． 解：∵2222690m mn n n ++-+=∵2222690m mn n n n +++-+=∵22()(3)0m n n ++-= ∵0,30,m n n +=-=∵3, 3.m n =-=问题（1）若∵ABC 的三边长a b c 、、都是正整数，且满足22661830a b a b c +--++-=，请问∵ABC 是什么形状?说明理由.（2）若224212120x y xy y +-++=，求y x 的值．（3）已知24,6130a b ab c c -=+-+=，则a b c ++= ．【答案】（1）∵ABC 是等边三角形，理由见解析；（2）14；（3）3 【分析】（1）先把a 2+b 2-6a -6b +18+|3-c |=0，配方得到（a -3）2+|3-c |=0，根据非负数的性质得到a =b =c =3，得出三角形的形状即可；（2）首先把x 2+4x 2-2xy +12y +12=0，配方得到（x -y ）2+3(y +2)2=0，再根据非负数的性质得到x =-2，代入求得值即可；（3）首先根据a -b =8，ab +c 2-16c +80=0，应用因式分解的方法，判断出（a -4）2+（c -8）2=0，求出A 、B 、C 的值各是多少；然后把a 、b 、c 的值求和，求出a +b +c 的值是多少即可.【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，理由如下：由题意得()()223330a b c -+-+-=∵3a b c ===∵∵ABC 是等边三角形．（2）由题意得()()22320x y y -++=∵2x y ==-． ∵14y x =． （3）∵24,6130a b ab c c -=+-+=，即a =b +4，（b +4)b +c 2 –6c +13=0，∵（b 2+4b +4 ）+（c 2 –6c +9）=0，∵b +2=0，c –3=0，∵b = –2，c =3，a =2，∵a +b +c =3．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于弟三边；任意两边之差小于第三边.22．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作ABC的高AM；（2）在图2中，作ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）格点ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF∵AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE∵AC交AC与点D，又三角形的三条高所在的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC 与点N，即AN为所求．【详解】（1）如图1，∵格点ABC中AB=AC且垂直，∵以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM∵BC（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线∵过点C 且是4×1格的对角线即为如图所示的CF ，∵CF ∵AB同理AC 是4×3格的对角线，∵过点B 且是3×4格的对角线即为如图所示的BE∵BE ∵AC∵三角形的三条高所在的直线交于一点∵连接AG 并延长交BC 与点N ，即AN 为所求．【点睛】本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m ×n 格的对角线与n ×m 格的对角线互相垂直；三角形的三条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键． 23．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级其他模拟）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：∵以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，BC 于点D ，E ；∵分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的相同长度为半径作弧，两弧交于点F ； ∵作射线BF 交AC 于点G ．（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果8AB =，12BC =，那么ABG 的面积与CBG 的面积的比值是________．【答案】（1）见解析；（2）23【分析】 （1）根据尺规作图要求,按给定的步骤与作法画图即可；（2）根据角分线性质，两三角形的AB 与BC 边上的高相等，可得面积比为底的比即可．【详解】解：（1）根据步骤（1）得弧线交AB ，BC 于点D ，E ，根据步骤（2）得两弧交点F ，根据步骤（3）得射线BG ，根据作图的步骤与图形结合得BG 平分∵ABC ；如图所示，即为所求．（2）过点G 作GH ∵BC 于H ，GM ∵射线AB 于M ，∵BG 平分∵ABC ，∵GM =GH ，S ∵ABG =118422AB GM GM GM ⋅=⨯⨯=， S ∵BCG =1112622BC GH GH GH ⋅=⨯⨯=， S ∵ABG : S ∵BCG =4:64:62:3GM GH GH GH ==，故答案为：23． 【点睛】本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积，掌握尺规作图步骤与要求，角平分线性质，三角形面积，利用角平分线性质得出两三角。