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复数域数学模型传递函数

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复数域数学模型传递函数结构图

复数域数学模型传递函数结构图

1 ejt e jt estdt 0 2j
1 1
1

2j

s

j

s

j


s2
2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
(t)
函数的表达式为
O
t

(t)



0
t0 t0
且

(t)dt 1

1 e stdt 1 e st
0
s
0


1 [0 s
1]

1 s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.单位斜坡函数
f(t)
数学表达式为
t t ≥0
f
(t
)

t

1(t
)


0
其拉氏变换为
t0
O
斜 率 =1
t
F (s) [L f (t )] f (t )estdt t estdt
此时，
d ƒs
dt
即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复 数域中乘以s的运算。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
3.积分定理
设F(s)=L
[f(t)]
，则有
L
f
(1) (t )

1 F(s) s
1 s
f (1) (0)
当 f (n)(0) L f (1)(0) 时的积分法则：
L
f
(n) (t )

1 sn
F(s)

传递函数的基本性质

传递函数的基本性质

Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
(2.18)
当输入为阶跃电压ur(t)= u0·1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得 uc(t)的变化规律:
大量资料 天天更新
uc
(t)
u0
(1
e
t RC
)
uc
(0)e
t RC
式中第一项称为零状态响应， 由U(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压Uc (0)决定的 分量。
第二节 控制系统的复数域数学模型
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、典型环节及其传递函数
大量资料 天天更新
引言
• 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数 学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以 得到系统的输出响应。但如果系统的某个参数变化或者结 构形式改变时，便需要重新列写并求解微分方程。
(2.19)
图2-5表示各分量的变化曲线， 电容电压Uc (t)即为两者的合成。
图2-5 RC网络的阶跃响应曲线
大量资料 天天更新
在式(2.19 )中，如果把初始电压Uc(0)也视为一个输入作用，
则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压Ur(t)
和初始电压Uc(0)作用时，电路的输出响应。若Uc(0) =0，则
• 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统 在复数域的数学模型----传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研 究系统的结构或参数变化时对系统性能的影响。传递函数 是经典控制理论中最基本、最重要的概念
大量资料 天天更新
一、传递函数的概念

控制系统的复数域数学模型

控制系统的复数域数学模型

4）传递函数的拉氏反变 换就是系统的脉冲响应
5）令传递函数分子为零可求得系统的零点； , 令传递函数分母为零可求得系统的极点； ,
传递函数与结构图(P45)
R(s)
Φ(s)
C(s) (s ) R (s )
C(s)
1 Y(s) X(s) Ts 1
X(s)
1 Ts 1
Y(s)
R(s)•Φ(s)=C(s)
Y(s)
R(s)
Φ(s)
C(s)
Ts+1
X(s)
这样可以吗？
几个典型元件的传递函数(P51) 电机
d m ( t ) Tm m ( t ) K 1ua ( t ) K 2 M c ( t ) dt d m ( t ) Tm m ( t ) K m ua ( t ) K c M c ( t ) dt
封 面
制作人南京航空航天大学王凤如
xwfr01@
2-3目录
1、传递函数的定义和性质 2、传递函数的零点和极点 3、零点和极点对输出的影响 4、典型元部件的传递函数
传递函数的定义和性质(P45) 线性定常系统的传递函 数定义为：零初始条件 下， 系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之 比。
பைடு நூலகம்
电机控制的双容器液流系统(补充)
I(s) 输入信号
电机 阀门
Q1
Q2 Q3 输出信号
I(s) 输入信号
1 s5
Q1
1 Q2 s2
1 s3
Q3 输出信号
LC d 2 uo ( t ) dt 2 RC duo ( t ) uo ( t ) ui ( t ) dt
uo ( t ) 1 i ( t )dt C

朱玉华自动控制原理第2章 数学模型2-3

朱玉华自动控制原理第2章 数学模型2-3

G(s) C(s) ……① R(s)
若已知线性定常系统的微分方程为
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中，c(t)为输出量，r(t)为输入量。
§2.3 传 递 函 数
一、传递函数的基本概念
指导思想：在零初始条件下，通过拉氏变换，将微分 方程变为s域（复数域）内的代数方程，在s 域内研究系统 的运动规律。必要时，通过拉氏反变换转化为时域形式。
s域（复数域）内的代数方程（即数学模型），称为 传递函数。
1、传递函数的定义
在初始条件为零时，线性定常系统输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比，定义为该系统的传递函数。
RC
du0 (t) dt
u0 (t)
RC
dui (t) dt
G(s) RCs Td s RCs 1 Td s 1
只有当Td<<1时，才有G(s)≈Tds，实际的微分环节趋 于理想微分环节
再如:RL网络,其电路方程为
du0 (t) dt
R L
u0 (t)
dui (t) dt
G(s) Ls Td s Ls 1 Td s 1
如
G(s)
C(s) R(s)
b1s a0s2
b2 a1s
a2
S的代数方程：
(a0s2 a1s a2 )C(s) (b1s b2 )R(s)
用 d 置换s后得相应的微分方程 dt
a0
d 2c(t) dt 2

复数域数学模型

复数域数学模型
入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。
R (s )
1 Ts 1
C (s )
运动方程： 传递函数：
dc(t) T c(t) Kr(t) dt
G(s) K Ts 1
频率特性：
K G(jω ) jTω 1
例1：直流电机
输入量: ud ——电枢电压 输出量： id ——电枢电流 因为 d
【说明】
（1）分子分母均分解成“标准因子”乘积 （2）各因子中，系数都是实数，且具有鲜明的物理概念。 （3）该形式适合绘制对数幅频曲线（Bode）。 （4）该形式适于观察低频增益
D 传递函数的“部分分式”形式
rj w j fh gi ( s i ) G( s ) 2 2 s ph n1 (s i ) wi j 1 (s j ) 2 w2 h 1 j
C1 (s) R(s) G1 (s) C2 (s) R(s) G2 (s)
1 4s 2 C1 ( s) s ( s 1)(s 2) 1 1.5s 2 C2 ( s ) s ( s 1)(s 2)
c1(t ) = 1 + 2e- t - 3e- 2t
C (s ) 6(s + 3) G (S ) = = R (S ) (s + 1)(s + 2)
当输入r (t ) = r1 + r2e - 5t r1 r2 对应R (S ) = + s s+ 5 6(s + 3) r1 - 1 C (s ) = l [ ?( (s + 1)(s + 2) s
c(t ) = l - 1[C (s )] c(t ) = 9r1 - r2e - 5t + (3r1 - 12r2 )e - 1t + (3r1 - 2r2 )e - 2t

2-2 复数域数学模型-传递函数

2-2 复数域数学模型-传递函数

同样求出
两端进行拉氏反变换，得
1 10 3t 2 t y (t ) 4e e 3 3
三 传递函数的概念和表达形式
1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。
线性定常系统微分方程的一般形式为：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
1 C j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j
1
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
分母 D(s) a0 s a1s
n
n1
an1s an
称为系统的特征多项式，S的最高阶次n即为 系统的阶次。 D(s)=0称为系统的特征方程。
传递函数的三大表达形式：
b 0s m b1s m 1 b m-1s b m G(s) a 0s n a1s n 1 a n-1s a n
例6.已知系统的微分方程式为：
d 2 y (t ) dt 2'
并且设：
y(0) 1, y (0) 2
dy(t ) 5 6 y (t ) 2 dt
，试求微分方程的解。
解：方程两边进行拉氏变换 2 2 ' s Y (s) sy(0) y (0) 5sY (s) 5 y(0) 6Y (s) s 微分性质 代入初始值变换形式可得

传递函数

传递函数是经典控制理论中对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具。

如何获得传递函数：对标准的微分方程进行拉普拉斯变换（Laplace变换），可将其化为代数方程。

再将代数方程右端变量的算子除以左端变量的算子，则可获得传递函数。

传递函数好处：（1）不仅将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作量。

（2）通过传递函数导出的频率特性（见第四章）还具有明确的物理意义，有利于对系统分析、研究、识别。

传递函数在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。

零初始条件：t<0时，输入量及其各阶导数均为0；输入量施加于系统之前，系统处于稳定的状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也均为0系统的初始状态或初态：一般将外界输入作用前的输出初始条件xo (0-), xo(1) (0-), …,xo(n-1) (0-)为系统的初始状态或初态1传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。

传递函数表征了系统内在的固有动态特性。

2传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。

即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。

3不同的系统可以具有相同类型的传递函数。

4传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。

5传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。

6传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；7传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。

因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；简化公式应用的前提条件：1)整个方框图只有一条前向通道；2)各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。

注意：若不满足以上两个前提条件，应先按等效规则和移动规则进行简化。

2.2 复数域数学模型


m1
m2
G(s)
K s
( js 1) ( k 2s2 2 k k s 1)
j 1
k 1
n1
n2
(Tis 1) (Tl2s2 2 lTl s 1)
i 1
l 1
22
2.2.2 传递函数极点和零点对输出的影响
传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统 自由运动的模态。
G(s) C(s) 6(s 3) , R(s) (s 1)(s 2)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
若uc(0)=0
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
或
G(s) Uc(s) 1 1
Ur (s) RCs 1 Ts 1
式中 T=RC
4
1、定义
零初始条件下，输出量拉氏变换 输入量拉氏变换
r(t)—输入量， c(t)—输出量 R(s)=L[r(t)], C(s)=L[c(t)]
控制系统中常用的典型环节有:比例环节、惯性环节 、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。
25
1. 比例环节（放大环节） 微分方程：C(t) Kr(t) 传递函数：G(s) K(增益、放大系数）
方框图： R(s) K C(s)
特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。 举例：机械系统中略去弹性的杠杆、无弹性变形的杠杆、 放大器、分压器、齿轮、减速器等等，在一定条件下都可以 认为是比例环节。Leabharlann 26+ E
-
u(t)
+
(t) •
(s)
U (s)
K
电位器
G(s) U(s) K

传递函数的基本性质


(2.19)
图2-5表示各分量的变化曲线， 电容电压Uc (t)即为两者的合成。
图2-5 RC网络的阶跃响应曲线
在式(2.19 )中，如果把初始电压Uc(0)也视为一个输入作用，
则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压Ur(t)
和初始电压Uc(0)作用时，电路的输出响应。若Uc(0) =0，则
图2-10(b)为积分调节器。积 分时间常数为RC。
图2-10 积分环节
（四）微分环节 理想微分环节传递函数为:
G(s) = T s
(2.27)
输入是单位阶跃函数1(t)时，理想微分环节的输出为c(t)=Td(t)，
是个脉冲函数。
理想微分环节的实例示于图2-11(a)、(b)。(a)为测速发电机。 图2-11(b)为微分运算放大器。
传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各 阶导数在t =0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t =0 时的值也为零。
二、传递函数的性质
从线性定常系统传递函数的定义式(2.23)可知，传递函数具 有以下性质：
1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m小
在实际系统中，微分环节常带有惯性，它的传递函数为：
G(s) T1s T2s 1
(2.28)
它由理想微分环节和惯性环节组成，如图2-11(c)、(d)所示。在 低频时近似为理想微分环节，否则就有式(2.28)的传递函数。
图2-11 微分环节
（五）振荡环节
振荡环节的传递函数为：
G(s)
T
2s2
1
2T
图2-13 延滞环节
延滞环节的传递函数可求之如下：

(电气)自动控制原理4(数学模型)

(n ≥ m ) R(s ) Y (s )
G (s)
是复数域的表达式。 s = σ + jω 反映系统的输入量与输出量之间的 传递关系。 针对单输入、单输出的系统。
《自动控制原理》
第二章 控制系统的数学模型
传递函数:
Y (s) b m s m + b m − 1 s m − 1 + L + b1 s + b 0 G (s) = = a n s n + a n−1 s n−1 + L + a1 s + a 0 R(s)
一阶惯性环节
dy(t ) T + y(t ) = r (t ) dt
RC、RL电路
Y ( s) 1 G( s) = = R( s) Ts + 1
时间常数
《自动控制原理》
第二章 控制系统的数学模型
积分环节
1 y(t ) = TI
∫ r ( t )dt
1 Y ( s) = G( s) = R ( s ) TI s
《自动控制原理》
第二章 控制系统的数学模型
某自动控制系统的框图模型
H2H2 (s)
R(s)
G1(s)
G2(s) 2
G3(s) H1 H1H1 (s)
G4(s) 4
Y(s) Y(s)
Y(s)
H3H3 (s)
Y(s)
方框 信号线
《自动控制原理》
相加点 分支点
第二章 控制系统的数学模型
பைடு நூலகம்
反馈控制系统的框图模型
自动控制原理
朱英华
Email: zyh09@sina. com
西南交通大学电气工程学院
第二章 控制系统的数学模型
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直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变 换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接 查到的原函数的形式。
第一章 自动控制的一般概念
序号 拉氏变换 F(s) 时间函数 f (t)
1
1
(t)
2
1
s
3
1
s2
4
1
s3
1
5
s n1
1
6
sa
1
7
(s a)2
1
8
(s a)m1
1(t )
t
t2 2 tn n!
引入传递函数的概念(复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内(根轨迹法)和频域内(频率法) 分析和设计系统成为可能。
第一章 自动控制的一般概念
2-2 复数域数学模型—传递函数
项目
内容
教学目的
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。
F (s) 1 1 1 s s 1 (s 1)2
f (t) L1[F (s)] 1 et tet
第一章 自动控制的一般概念
留数法
numerator
F(s)
N(s) D(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
2
(2)积分性质
L[ f (t)dt] 1 F(s) 1 f 1(0)
s
s
(3)微分性质
L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
第一章 自动控制的一般概念
(4)终值定理
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
(5)初值定理
lim f (t) lim sF (s)
教学难点
传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思 维方法。对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及 注意事项
注重微分方程同传递函数的对比。
第一章 自动控制的一般概念
本节的学习思路：从多个方位 来观察我们将要研究的对象—传递 函数，为下一步深入细致的讨论(第 四章和第五章)做准备。
第一章 自动控制的一般概念
第一章 自动控制的一般概念
配方法
例1：求
FБайду номын сангаасs)
1
(s a)(s b)
的拉氏反变换。
解： F(s)
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
则f (t) L1[F (s)] eat ebt ba
例2：求
F (s)
s2
1 的拉氏反变换。
(s 1)
解：
F(s)
本节内容
❖ 拉式变换 ❖ 拉式反变换 ❖ 传递函数的概念和表达形式 ❖ 系统传递函数的建立 ❖ 典型环节的传递函数
第一章 自动控制的一般概念
2-2 传递函数
一 拉氏变换
❖1.定义：设函数 f(t)当 t 0时有定义，设
原函数
F(s) L f t f (t)estdt
且积分存在，则称F(s)是0 f(t)的拉普拉斯变换。
t 0
s
(6)时间比例尺(相似)定理
L[ f ( t )] aF(as) a
第一章 自动控制的一般概念
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延
迟 ，则其象函数应乘以 es。
L[ f (t )] es F (s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以e at。即
L[eat f (t)] F (s a)
第一章 自动控制的一般概念
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 氏反变换。记为 L1[F(s)] 。由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
s (1/ T ) ln a
1
16
1 eTs
eat cost
at /T
T (t) (t nT ) n0
第一章 自动控制的一般概念
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开 成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可 以查到。
展开的常用方法有：
配方法 比较系数法 留数法
0
0
0
(2)例2 求阶跃函数 f (t) R 1(t)的拉氏变换。
F (s) Restdt R est R
0
s 0s
单位阶跃函数 f (t) 1(t) 的拉氏变换为 1 。
s
第一章 自动控制的一般概念
❖3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
F(s)
f(t)
F(s)
(t)
1
sin t
简称拉氏变换。
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
象函数
f t L1 F(s)
第一章 自动控制的一般概念
❖2.常用函数的拉氏变换
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t) (t) 的拉氏变换。
0
F(s) (t)estdt (t)es0dt es0 (t)dt es0 1
第一章 自动控制的一般概念
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
第一章 自动控制的一般概念
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？ 如何求解得到的微分方程式？ 对于高阶线性微分方程如何求解？ 使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？
第一章 自动控制的一般概念
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运算 变换成代数运算或查表) ，容易求出系统对 输入的响应。
e at
te at
t m eat m!
序号 9 10
拉氏变换 F(s) a
s(s a) ba
(s a)(s b)
时间函数 f (t)
1 eat eat ebt
11
s2 2
s
12
s2 2
13 (s a)2 2
sin t
cost
eat sin t
14
sa (s a)2 2
1
15
1 s2 (s 1)
1 s2
1 1 s s 1
f (t) L1[F (s)] t 1 et
第一章 自动控制的一般概念
比较系数法
例3
求F (s)
1 s(s 1)2
的拉氏反变换。
解：F (s)
a s
s
b 1
(s
c 1) 2
则a(s 1)2 bs(s 1) cs 1
对应项系数相等得a 1,b 1, c 1
s2 2
1(t )
1 s
cost
s
s2 2
t
1 s2
eat sint
(s a)2 2
eat
1 sa
eat cost
sa
(s a)2 2
第一章 自动控制的一般概念
❖4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L[af (t) bf (t)] aL[ f (t)] bL[ f (t)]
1
2
1