2016-2017学年苏科版九年级下册数学第7章《锐角三角函数》提优测试卷

第7章锐角三角函数7.1～7.3阶段-苏科版九年级数学下册专题培优训练一、选择题1、如图，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A.513 B. 1213 C. 512 D. 13122、如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tanB 的值为( ) A.45 B.35 C.34 D.433、如图，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t 的值是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．34、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是( )A.12B. 2C.22D ．15、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tanA ＝34，则AC 的长是( )B ．4C ．6D ．8C ＝90°，则下列式子中错误的是( )A ．tanA·tanB ＝1 B ．sinA ＝cosBC ．cosA ＝sinBD ．sinA ＝sinB7、关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 8、△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误的是( )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝19、如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α＝（ ） A ．21 B ．53 C ．25 D ．55210、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AD ＝BC ，则cos ∠B ＝ ．11、如图所示是一张简易活动餐桌，测得OA ＝OB ＝30cm ，OC ＝OD ＝50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌脚的张角∠COD 的度数大小应为( ) A ．100° B ．120° C ．135° D ．150°12、在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°二、填空题13、在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则∠A 的正弦值、余弦值和正切值分别为____,_____,____ ． 14、在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=23，那么tanB 的值是（ ） A ．5 B ．5 C ．25D ．2315、如图，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cosB ＝45，则AC ＝____．16、如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是_____．17、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若cos∠BDC ＝35，则BC 的长是_______．18、已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于________．19、如图，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为__________.20、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB的值是．21、如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．∠=______．22、如果2-+=，那么A2sin7sin30A A23、若（2cos A﹣）2+|tan B﹣1|＝0，则△ABC的形状是__________24、在△ABC中，（tan A﹣）2+|﹣cos B|＝0，则∠C的度数为___________三、解答题25、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于点D，求tan∠BCD的值．26、如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连结AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H，求sin∠EAC的值．27、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，求sin∠ABE的值．28、（1）在△ABC 中，∠B ＝45°，cos A ＝．求∠C 的度数． （2）在直角三角形ABC 中，已知sin A ＝，求tan A 的值．29、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为23，2 AC ，求B sin 的值． DOCAB30、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AD 交AB 于点E ，以AE 为直径作⊙O ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝3，BC ＝4，求BE 的长；（3）在（2）的条件下求tan ∠EDB 的值．31、计算：（1）2﹣2﹣2cos60°+|12|+（π﹣3.14）0． （2）tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°．（3）tan 230°﹣（cos75°﹣cot10°）0+2cos60°﹣2tan45°第7章锐角三角函数7.1～7.3阶段-苏科版九年级数学下册专题培优训练(答案)一、选择题1、如图，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A.513 B. 1213 C. 512 D. 1312[答案] C2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tanB 的值为( ) A.45 B.35 C.34 D.43[解析AB 上的中线，CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝10.在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8，∴tan B ＝AC BC ＝68＝34.故选C.3、如图，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t 的值是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．3[解析] C 过点A 作AB ⊥x 轴于点B .∵点A (t ，3)在第一象限，∴AB ＝3，OB ＝t . 又∵tan α＝AB OB ＝32，∴t ＝2.4、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是( C )A.12B. 2C.22D ．15、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tanA ＝34，则AC 的长是( )A ．3B ．4C ．6D ．8[解析] D 因为tan A ＝34＝BC AC，所以设BC ＝3x ，AC ＝4x (x >0)．由勾股定理，得BC 2＋AC 2＝AB 2，即(3x )2＋(4x )2＝100，解得x ＝2， 所以AC ＝4x ＝4×2＝8.故选D.6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列式子中错误的是( A )A ．tanA·tanB ＝1 B ．sinA ＝cosBC ．cosA ＝sinBD ．sinA ＝sinB7、关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( B )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8、△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误的是( C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝19、如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α＝（ ） A ．21 B ．53 C ．25 D ．552【解析】过D 作EF ⊥l 1，交l 1于E ，交l 4于F ，∵EF ⊥l 1，l 1∥l 2∥l 3∥l 4，∴EF 和l 2，l 3，l 4的夹角都是90°，即EF 与l 2，l 3，l 4都垂直， ∴DE ＝1，DF ＝2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，∴∠ADE +∠CDF ＝90°， 又∵∠α+∠ADE ＝90°，∴∠α＝∠CDF ，∵AD ＝CD ，∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△ADE ≌△DCF ，∴DE ＝CF ＝1， ∴在Rt △CDF 中，CD=，∴sin α＝sin ∠CDF=．故选：B ．10、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AD ＝BC ，则cos ∠B ＝ ．【解析】设AD ＝BC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A +∠ACD ＝∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，∴△ABC ∽△CBD ，∴，即，∴BD x （负根已经舍弃），∴cos ∠B． 故答案为．11、如图所示是一张简易活动餐桌，测得OA ＝OB ＝30cm ，OC ＝OD ＝50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌脚的张角∠COD 的度数大小应为( B ) A ．100° B ．120° C ．135° D ．150°12、在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( D ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【解析】 由题意得sin A ＝12，cos B ＝12，则∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠C ＝90°.故选D.二、填空题13、在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则∠A 的正弦值、余弦值和正切值分别为____,_____,____ ． 【解析】∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，∴222213512AC AB BC =-=-=.∴5sin 13BC A AB ==， 12cos 13AC A AB ==， 5tan 12BC A AC ==.14、在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=23，那么tanB 的值是（ ） A ．52B ．53C ．255D ．23【解析】∵sin A =AC BC =23，∴设BC =2x ，AB =3x ， 由勾股定理得：AC =22AB BC -=5x ，∴tan B =AC BC =5x 2x=52，故选A.15、如图，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cosB ＝45，则AC ＝_5 ___．16、如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是__ 55___．17、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若cos∠BDC ＝35，则BC 的长是___4 cm _____．18、已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于__153或103______．19、如图，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为__________.[解析] 连结PP′，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，∴PC＝PC′＝6，∠PCP′＝60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′＝PC＝6.∵△ABC为等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA，∴△PCB≌△P′CA(SAS)，∴P′A＝PB＝10.∵62＋82＝102，∴PP′2＋PA2＝P′A2，∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，∴sin∠PAP′＝PP′P′A＝610＝35.20、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB的值是．【解答】解：∵在直角△COD中，OD＝1，CD＝2，∴OC＝，∴cos∠AOB＝＝．21、如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵∠COD＝90°，∴CD是直径，即CD＝10，∵C（0，5），∴OC＝5，∴OD＝＝5，∵∠OBC＝∠ODC，∴cos∠OBC＝cos∠ODC＝＝＝．故答案为：．22、如果22sin 7sin 30A A -+=，那么A ∠=______．【解析】解：原方程可化为：()()sin 32sin 10A A --=，解得：sin 3A =或1sin 2A =， ∵0sin 1A ≤≤，∴1sin 2A =．所以A ∠=30°故答案为：30°．23、若（2cos A ﹣）2+|tan B ﹣1|＝0，则△ABC 的形状是__________【解答】解：∵（2cos A ﹣）2+|tan B ﹣1|＝0，又∵（2cos A ﹣）2，≥0，|tan B ﹣1|≥0，∴cos A ＝，tan B ＝∴∠A ＝30°，∠B ＝30°，∴∠A ＝∠B ，∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．24、在△ABC 中，（tan A ﹣）2+|﹣cos B |＝0，则∠C 的度数为___________ 【解答】解：∵（tan A ﹣）2+|﹣cos B |＝0， ∴tan A ﹣＝0，﹣cos B ＝0，∴tan A ＝，cos B ＝， ∴∠A ＝60°，∠B ＝45°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝75°，三、解答题25、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥AB 于点D ，求tan ∠BCD 的值．解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝52－32＝4. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝34.26、如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连结AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H ，求sin ∠EAC 的值． 解：由题意知EC ＝2，AE ＝10.过点E 作EM ⊥AC 于点M ，∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°，∴△EMC 是等腰直角三角形，∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.27、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C ，求sin ∠ABE 的值．解：由折叠的性质知∠BA′E ＝∠A ＝90°，A′E ＝AE ，A′B ＝AB ＝6.在Rt △A′BC 中，A′C ＝BC 2－A′B 2＝102－62＝8.设AE ＝A′E ＝x ，则CE ＝x ＋8，DE ＝10－x.在Rt △CDE 中，由勾股定理得(x ＋8)2＝62＋(10－x)2，解得x ＝2.∴BE ＝22＋62＝210. ∴sin ∠ABE ＝AE BE ＝2210＝1010.28、（1）在△ABC 中，∠B ＝45°，cos A ＝．求∠C 的度数．（2）在直角三角形ABC 中，已知sin A ＝，求tan A 的值．【解答】解：（1）∵在△ABC 中，cos A ＝，∴∠A ＝60°，∵∠B ＝45°，∴∠C ＝180°﹣∠B ﹣∠A ＝75°；（2）∵sin A ＝＝，设BC ＝4x ，AB ＝5x ，∴AC ＝3x ，∴tan A ＝＝＝．29、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为23，2 AC ，求B sin 的值． D OCA B答案：sinB=3230、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AD 交AB 于点E ，以AE 为直径作⊙O ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝3，BC ＝4，求BE 的长；（3）在（2）的条件下求tan ∠EDB 的值．【解答】（1）证明：连接OD ，如图所示．在Rt △ADE 中，点O 为AE 的中心，∴DO ＝AO ＝EO=21AE ，∴点D 在⊙O 上，且∠DAO ＝∠ADO ． 又∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAO ，∴∠ADO ＝∠CAD ，∴AC ∥DO ．∵∠C ＝90°，∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥BC ． 又∵OD 为半径，∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：∵在Rt △ACB 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5．设OD ＝r ，则BO ＝5﹣r ．∵OD ∥AC ，∴△BDO ∽△BCA ， ∴，即，解得：r =815， ∴BE ＝AB ﹣AE ＝5－415=45． （3）解：∵OD =815，OB =825， 在Rt △ODB 中，BD =，∴CD ＝BC ﹣BD =23， 在Rt △ACD 中，tan ∠CAD ，∵AE 为直径，∴∠ADE ＝90°， ∴∠EDB +∠ADC ＝90°，∵∠CAD +∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＝∠EDB ，∴tan ∠EDB =2131、计算：（1）2﹣2﹣2cos60°+|12|+（π﹣3.14）0． （2）tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°．（3）tan 230°﹣（cos75°﹣cot10°）0+2cos60°﹣2tan45°【解析】解：（1）原式=11118322134243+-⨯+=+= （2）原式2243332131312242⎛-⨯=+-= ⎝⎭⎝⎭． （3）原式=23121222-+⨯-=11123-+=123。

～第一学期初三数学第一学期第七单元测试卷一、选择题：（本小题共10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的14，则∠A的正切值……（）A．缩小为原来的14；B．扩大为原来的4倍；C．缩小为原来的12；D．没有变化；2.（•怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=45，AC=6cm，则BC的长度为…………（）A．6cm；B．7cm；C．8cm；D．9cm；3.（•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，5sin13A=，则tanB的值为…………………（）A．1213；B．512；C．1312；D．125；4.（•扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为……………………（）A．①②；B．②③；C．①②③； D．①③；5.（•牡丹江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=62，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于…………………………………………………………………………（）A．2；B．3；C．32；D．23；6. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=2，则点B的坐标为…………（）A.()2,1；B.()1,2； C.()21,1+； D.()1,21+；7.等腰三角形的底边长为10㎝，周长为36㎝，则底角的余弦值为……………………（）A.135； B.1312； C.1310； D.125；8.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65π㎝2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为………………………………………………………………………（）A.512； B.513； C.1013； D.1213；9.（•苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北第（4）题第（8）题第（6）题第（5）题偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为……（ ）A ．4km ；B ．()22+km ；C ．22km ；D ．()42-km ； 10．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2x 上，第二象限的点B 在反比例函数k y x=上，且OA ⊥OB ，cosA=33，则k 的值为…………………………………………………（ ） A. -3； B. -4； C. -6； D. 23-；二、填空题：（本小题共8小题，每小题3分，共24分） 11.已知()232sin 1tan 03A B -+-=，∠A ，∠B 为△ABC 的内角，则∠C= ° 12. 如图，当小杰沿坡度i=1︰5的坡面由B 到A 行走了26米时，小杰实际上升高度AC= 米．（可以用根号表示）13. （•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 .14. 若∠A 是锐角，且cos A 的值是方程22310x x -+=的一个根，则cos A = . 15.如图，O 在△ABC 内，且到三边的距离相等.若∠BOC=120°,则tan A = . 16.（.新疆）如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为 ｍ（结果保留根号）.第（9）题 第（10）题第（15）题第（17）题第（16）题第（13）题第12题图17.（•连云港）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ．如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N ．若AD=2，则MN= ．18.如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在线段AB 的延长线上，BP=OB=2，点M 在⊙O 上，PM 交⊙O 于另一点N ，如果MO ⊥AN ，则tan ∠OMN= ． 三、解答题：（本题共10大题，满分76分） 19.（本题满分13分） 计算或化简：1、2tan 304sin30cos 45︒+︒︒；2、()()20162713tan 602016---︒+-；3、()2012014sin 60323π-⎛⎫+-+︒+- ⎪⎝⎭；4、已知α是锐角，且()3sin 15α+︒=，求()10184cos 3.14tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值.20.（本题满分6分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，24a b +=，∠A=∠B ，解这个直角三角形.21.（本题满分6分）如图，海岸上有AB 两点，相距200米，又A 、B 两点观测海上一灯塔C ，测得∠CAB=60°,∠CBA=45°,求灯塔C 到海岸AB 的距离.第（18）题22. （本题满分6分）（•包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=45，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）23. （本题满分6分）（•茂名）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．（1）求教学楼与旗杆的水平距离AD；（结果保留根号）（2）求旗杆CD的高度．24. （本题满分8分）小美和同学一起到游乐场游玩．游乐场的大型摩天轮的半径为20m，匀速旋转1周需要12min．小美乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光，请回答下列问题：（参2≈1.4143≈1.732）（1）1.5min后小美离地面的高度是 m；（精确到0.1m）（2）摩天轮启动多长时间后，小美离地面的高度将首次达到10.5m？（3）摩天轮转动一周，小美在离地面10.5m以上的空中有多长时间？25. （本题满分7分）（•资阳）如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）26. （本题满分7分）如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100ｍ，山坡坡度i 1︰2，且O、A、B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.（测角仪高度忽略不计，结果保留根号形式）27. （本题满分8分）（•南京）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=12，tanβ＝32，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m2取1.41，结果精确到0.1m）？28. （本题满分9分）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O5（1）则线段AP= CB= ；（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；（3）如果tan∠E=32，求DE的长．～学年第一学期初三数学第一学期第七单元测试卷参考答案一、选择题：1.D ；2.C ；3.D ；4.D ；5.A ；6.C ；7.A ；8.B ；9.B ；10.B ； 二、填空题：11.105°；13. 12；14. 12；16. 17. 13；； 三、解答题：19.（1）13+（2）0；（3）12；（4）3；20. 12124545a b c A B =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪∠=︒⎪∠=︒⎪⎩；21. 300-22.（1）8；（2）143；23.（1）（2）12；24.（1）6.4；（2）2分钟；（3）8分钟； 25. （1）（2）(60-海里； 26. （1）（227.（1）33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）水面上升1m ，水面宽约为2.8米． 28.（1）2，2；（2）略；（3）3；。

苏科版九年级数学下册《第7章锐角函数》单元检测卷-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB 等（ ）A ．45B ．35C ．34D ．√10102．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，若sinA ＝35，则tanB 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．43 D ．343．如图AD 是△ABC 的高AB =4，∠BAD =60°，tan∠CAD =12则BC 的长为（ ）.A ．√3+1B ．2√32C ．2√3+1D ．√3+44．如图，为了测量河岸A 、B 两地间的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ABC =α那么A 、B 两地的距离等于（ ）A ．a tanαB ．a ⋅tanαC ．a ⋅sinαD ．a ⋅cosα5．如图，直线MN 是矩形ABCD 的一条对称轴，点E 在AD 边E 上，将△BAE 沿BE 折叠，使点A 的对应点F 落在直线MN 上，若AB =4，则BE 的长是（ ）A．5B．5√3C．4√3D．8√336．如图，已知AB是△O的直径，弦CD△AB，垂足为E，且△BCD＝30°，CD＝4√3．则图中阴影部分的面积S阴影＝（）A．2πB．83πC．43πD．38π7．在北京举行的2022年冬季奥运会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B时高度上升了100m，最后到达终点C．已知BC=300m，且BC段的运行路线与水平面的夹角为37°，他从点A运行到点C垂直上升的高度约是（）(结果保留整数．参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘=0.80，tan37∘≈0.75)A．280m B．300m C．325m D．340m8．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB△CF，△F＝△ACB＝90°，△E＝45°，△A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（）A．5B．5√3C．10-5√3D．15-5√3二、填空题9．已知在矩形ABCD中，点E在直线AD上，CE平分△BCD，若CD=4，AE=1，连接AC，则tan△DAC的值为．10．在平面直角坐标系中，点A(0，4)，B(2，0)将线段AB绕点A逆时针旋转120°，则点B的对应点C的横坐标是.11．定义：在Rt△ABC中∠C=90°，把△Ａ的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA.等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为.12．如图，ΔABC中∠ACB=90°，AB=3AC=6，O是AB边上一点，满足CA=CO，将ΔABC绕点A 顺时针旋转至△AB′C′，使点C′落在射线CO上，连结BB′，交CC′的延长线于点F，则FB的长为.13．如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O 是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值是.14．如图，在矩形纸片ABCD中AB=5，BC=3将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则sin∠ADF的值为.15．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合.若DE△BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为.16．衢州儿童公园有摩天轮，水上乐园等娱乐设施，其中的摩天轮半径为20米，水上乐园的最高处到地面的距离为32米；如图，当摩天轮的座舱A旋转至与水上乐园最高处高度相同时，地面某观测点P与座舱A，摩天轮圆心O恰好在同一条直线上，此时测得∠APC=30°，则PC的距离为米；此时另一座舱B位于摩天轮最低点，摩天轮旋转一周要12分钟，若摩天轮继续逆时针旋转一周，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了分钟.三、解答题17．先化简，再求值：(1a+1−a+1a2−1)÷2a+1，其中a=2sin60°+1.18．如图，在△ABC中，△B=90°和cosA=57，D是AB上的一点，连结DC，若△BDC=60°，BD= 2√3．试求AC的长．19．如图，在△ABC中，△B＝30°，tanC＝43，AD△BC于点D.若AB＝8，求BC的长.20．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造，供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间的距离为300( √3+1)米，求供水站M分别到小区A，B的距离.(结果可保留根号)21．如图，某教学兴趣小组想测量某建筑物的高度，他们在A点测得屋顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前进10米，到达B点，在B点测得屋顶C的仰角为60°，已知测量仪AE的高度为1米，请你根据他们的测量数据计算建筑物CF的高度（结果保留根号）.22．金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高.他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1米，点距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E，F，D在同一条直线上.求旗杆AB的高.（计算结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3=1.73）答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】43或4510．【答案】2√3−111．【答案】√24或3√77 12．【答案】14313．【答案】√5514．【答案】81715．【答案】5√316．【答案】22√3；52或23217．【答案】解：(1a+1−a+1a 2−1)÷2a+1=[a−1(a+1)(a−1)−a+1(a+1)(a−1)]⋅a+12=a−1−a−1(a+1)(a−1)⋅a+12=11−a. ∵a =2sin60°+1=2×√32+1=√3+1 ∴原式=11−a =1−√3−1=−√33. 18．【答案】解：在△ABC 中，△B=90°，cosA ＝ 57∴AB AC ＝57．设：AB=5x ，AC=7x由勾股定理 得BC ＝2 √6 xFF0C在Rt△DBC 中，△BDC=60°，BD=2 √3∴BC=BDtan60°=2 √3 × √3 =6∴2 √6 x=6解得 x= √62∴AC=7x= 7√62 ． 19．【答案】解：∵AD△BC∴△ADB ＝△ADC ＝90°.∵在Rt△ADB 中，△B ＝30°，AB ＝8∴AD ＝4，BD ＝ 4√3∵在Rt△ADC 中，tanC ＝ 43，AD ＝4 ∴CD= 4tanC∴CD ＝3.∴BC ＝BD+CD ＝ 4√3+3 .20．【答案】解：如下图：过点M 作MN△AB 于N设MN=x 米.在Rt△AMN 中，∵△ANM=90°，△MAN=30°，∴MA=2MN=2x ，AN= √3 MN= √3 x.在Rt△BMN 中，∵△BNM=90°，△MBN=45°，∴BN=MN=x ，MB= √2 MN= √2 x.∵AN+BN=AB ，∴√3 x+x=300（ √3 +l ），解得：x=300，∴MA=2x=600，MB= √2 x=300 √2 .故供水站M 到小区A 的距离是600米，到小区B 的距离是300 √2 米. 21．【答案】解：∵△CAD=30°，△CBD=60°∴△ACB=30°∴△ACB=△CAB∴BA=BC=10在Rt△CBD 中，sin△CBD=sin60°=CD CB∴√32=CD 10解得：CD=5√3∴CF=CD+DF=CD+AE=5√3+1.答：建筑物CF的高度为（5√3+1）m.22．【答案】解：过点C作CM△AB于M.则四边形MEDC是矩形∴ME=DC=3.CM=ED在Rt△AEF中，△AFE=60°，设EF=x，则AF=2x，AE= x在Rt△FCD中，CD=3，△CFD=30°，∴DF=3在Rt△AMC中，△ACM=45°∴△MAC=△ACM=45°，∴MA=MC∵ED=CM，∴AM=ED∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF，∴x﹣3=x+3 ，∴x=6+3∴AE= （6+3 ）=6 +9，∴AB=AE﹣BE=9+6 ﹣1≈18.4米.答：旗杆AB的高度约为18.4米.。

第七章 锐角三角函数 单元提高卷一、选择题(每小题3分,共24分)1．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝Rt ∠，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A . sin A =B . tanA ＝12C . cos B =D . tanB =2．已知∠A 是锐角，且sin A =，那么∠A 等于 ( )A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°3．已知a 为锐角，则sin cos m a a =+的值 ( ) A . m ＞l B . m ＝1 C . m ＜1 D . m ≥14= ( )A . 1B . 1C .1- D . 1 5．如图2，先锋村准备在坡角为a 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的 距离AB 为 ( )A . 5cos aB .5cos a C . 5sin a D ．5sin a6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝43，BC ＝8，则AC 等于 ( ) A . 6 B .323C . 10D . 12 7．如图3，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点．BP ＝2cm ，则tan ∠OP A 等于 ( )A .32 B . 23C . 2D . 128．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图4那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是 ( )A . 247 B . C . 724D .13二、填空题(每小题3分，共24分)9. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，5sin 13B =，则cos B = ．10. 在△ABC 中，若2sin (cos )02A B -=，则∠C ＝ 度． 11．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanB ＝512，6a =，则b = ．12．在△ABC 中，若∠A =30°，∠B =45°，AC =BC ＝ ．13. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为5米，则这个坡面的坡度为 ．14. 如图5，在坡形屋顶的设计图中，AB ＝AC ，屋顶的宽度BC 为10米，坡角a 为30°，则坡形屋顶的高度h 为 米． 1.732，结果保留三位有效数字)15. 如图6所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为 米(精确到0.1米)．(sin 35°≈0．57,cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70；sin 52°≈0.79，cos 52°≈0.62，tan 52°≈1.28) 16·如图7，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，AB ＝5cm ，点D 是AB 的中点，则cos ∠ACD ＝ ．三、解答题(本大题共52分)17．(4分)，计算：22sin 30cos 4560tan 45︒+︒︒⋅︒18．(每小题4分，共8分)由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°：(1)已知c＝20，∠A=45°；＝12，∠B＝60°．(2)已知a c19．(8分)如图8，△ABC内接于圆O，若圆的半径是2，AB＝3，求sinC．20．(8分)如图9，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50 m的两根电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100 m到达B处，测得∠CBF＝60°，求河流的宽度CF的值．(结果精确到个位)21．(8分)如图10，在某广场上空飘着一只气球P，A，B是地面上相距90米的两点，它们分别在气球的正西和正东，测得仰角∠P AB＝45°，仰角∠PBA＝30°，求气球P的高度．(精确到0.1 1.732)22．(8分)如图11，斜坡AC的坡度(坡比)为1AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．23．(8分)在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图12所示的办公楼靠街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°．问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量的?(精确到整数米)(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58)参考答案1．1～8．DCABBADC9．1213 10．90° 11．5212．2 13．1 14．2.8915．3.5 16．45 17．3 ；18．(1) ∠B ＝45°，a ＝b ＝(2) ∠A ＝30°, a ＝4，b ＝c ＝8； 19．3420．43 m 21．32.9米； 22．6米； 23．48米。

第7章锐角三角函数及其应用单元测试一、选择题1.已知，下列各式正确的是30∘<α<60∘( )A. B. 22<cosα<3232<cosα<12C.D.12<cosα<3212<cosα<222.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东方向上，航行半60∘小时后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是30∘( )A. 10分钟B. 15分钟C. 20分钟D. 25分钟3.中，已知，则的面积是△ABC ∠A =30∘，AB =2，AC =4△ABC ( )A. B. 4C. D. 243234.在中，若且，则等于△ABC sinA =12∠B =90∘−∠A sinB ( )A.B. C. D. 11222325.如图，在中，，点分别在边上若△ABC ∠C =90∘D ，E AC ，AB .，则下列结论正确的是∠B =∠ADE ( )A. 和互为补角∠A ∠BB. 和互为补角∠B ∠ADEC. 和互为余角∠A ∠ADED. 和互为余角∠AED ∠DEB 6.若把三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角的正切值Rt △ABC ∠A ( )A. 扩大为原来的5倍B. 不变C. 缩小为原来的5倍D. 不能确定7.的值等于sin 60∘( )A.B. C. D. 122232338.直角三角形中，若各边的长度都扩大5倍，那么锐角的正弦∠A ( )A. 扩大5倍B. 缩小5倍C. 没有变化D. 不能确定9.的值等于2sin 45∘+4sin 30∘⋅cos 60∘( )A. B. 2 C.D. 52254二、填空题10.如图，斜坡AB 的坡度：3，该斜坡的水平距离i =1米，那么斜坡AB 的长等于______ 米AC =6.11.如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为，测得河对岸A 处的俯角为、45∘30∘(A B 、C 在同一条直线上，则河的宽度AB 约为)______ 精确到参考数据：m(0.1m).(2≈1.41，3，1.73)12.面积为48的四边形ABCD 的对角线交于点O ，若，AC ，BD AC =16，BD =12则 ______ 度∠AOB =.Rt△ABC∠C=90∘AB=2AC tanA=13.在中，，若，则______ ．(0.001)sin55∘≈tan45∘23′≈14.利用计算器求值结果精确到：______ ；______ ．三、解答题.15.如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅把折叠椅完全平躺时如图2，长度MC=180AM=50厘米，厘米，B是CM上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，45∘AB//ME30∘AM与地面ME成角，，椅背BC与水平线成角，其中BP是30∘躺椅的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于．(1)(MB>BC)若点B恰好是MC的黄金分割点，人躺在上面才会比较舒适，.()求此时点C与地面的距离结果精确到1厘米(2)(1)午休结束后，老师会把AM和伸缩支架BP收起紧贴AB，在的条件下，.()(求伸缩支架BP可达到的最大值结果精确到1厘米参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)16.计算：．tan 45∘3tan 30∘−2sin 45∘−cos 230∘cot 30∘17.如图，海中有一个小岛P ，它的周围25海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东方向上，航60∘行30海里到达B 点，此时测得小岛P 在北偏东方30∘向上．求渔船在B 点时与小岛P 的距离？(1)如果鱼船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．(2)18.如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角45∘30∘.(为，楼底D的俯角为求楼CD的高结果保留)根号．19.计算(1)sin45∘+tan30∘cos60∘(2)tan60∘sin60∘−tan30∘tan45∘【答案】1. C2. B3. D4. C5. C6. B7. C8. C 9. B10.21011. 15.312. 30或150 13. 314. ；0.819 1.01315. 解：点B 是MC 的黄金分割点，(1)∵(MB >BC)，∴MBMC =5−12≈0.6，BCMC =MC−AB MC≈1−0.6≈0.4厘米，∵MC =180厘米，∴BC ≈0.4×180≈72厘米．CE =CD +DE =MA ⋅sin 45∘+BC ⋅sin 30∘=50×22+72×12≈71答：此时点C 与地面的距离约为71厘米．，且物理力学知识得知，(2)∵30∘<∠BPM ∠BPM <90∘()在其取值范围内为单调递增函数，∴sin∠BPM 又，∵BP =DEsin∠BPM当接近时，BP 最大，此时厘米．∴∠BPM 30∘BP =DE sin 30∘=MA ⋅sin 45∘sin 30∘≈70答：伸缩支架BP 可达到的最大值约为70厘米．16. 解：原式=13×3−2×2−(32)23=13−2−34=3+2−34．=334+217. 解：分别在点A 和点B 的正北方向取点D 、画射(1)E.线BE ．根据题意得：，∠DAP =60∘，∠EBP =30∘，∴∠PAB =30∘，∠ABP =120∘，∴∠APB =∠PAB 海里；∴PB =AB =30()没有触礁危险．(2)理由：过点P 作与F ．PF ⊥AB ，∵∠PBF =90∘，∠EBP =60∘在直角中，∴△PBF ，PF =PB ⋅sin∠PBF =30×32=153，∵PF 2=675，252=625，∴PF >25没有触角危险．∴18. 解：延长过点A 的水平线交CD 于点E ，则有，四边形ABDE 是矩形，米．AE ⊥CD AE =BD =39，∵∠CAE =45∘是等腰直角三角形，∴△AEC 米．∴CE =AE =39在中，，Rt △AED tan∠EAD =EDAE米，∴ED =39×tan 30∘=133米．∴CD =CE +ED =(39+133)答：楼CD 的高是米．(39+133)19. 解：原式，(1)=22+33⋅32=22+12原式(2)=3⋅ 32−33⋅1=32−33。

苏科版九年级数学下册第7章：锐角三角函数 单元检测试卷（含答案）一、单选题（共10题；共30分）1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是（ ）A. 35B. 45C. 34D. 532.在 RtΔABC 中， ∠C =90 °, ∠B =40 °，AB=5，则BC 的长为( )A. 5tan40°B. 5cos40°C. 5sin40°D. 5cos 40° 3.在△ABC 中，若|sinA-12|+（cosB-12）2=0，则∠C 的度数是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA 的值为（ ）A. 34B. 43C. 35D. 455.若sinα=0.5，则锐角α等于（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°6.如图，延长RT △ABC 斜边AB 到点D ，使BD=AB ，连接CD ，若tan ∠BCD=13 ， 则tanA=（）A. 32B. 1C. 13D. 237.已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC=5，则cosA 的值是（ ）A. 512B. 125C. 513D. 12138.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．若AC=2，BC=1，则sin ∠ACD=（）A. √53B. 2√55C. √52D. 23 9.已知等腰△ABC 的周长为36cm ，底边BC 上的高12cm ，则cosB 的值为 ( )A. 12B. √32C. 1213D. 513 10.如图，直线y =√3x ，点A 1坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1B ，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 的垂线交直线于点B 2 ， 以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3 ， …，按此做法进行下去，点A 5的坐标为( )A. (16,0)B. (12,0)C. (8,0)D. (32,0)二、填空题（共10题；共30分）11.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA= 12 ，那么cosA=________．12.如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC ．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A 到观景长廊BC 的距离AD 的长约为________米．（ sin 56°≈0.8 ， tan 56°≈1.5 ）13.如图，若点A 的坐标为 (1，√3) ，则sin ∠1=________．14.如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1m ，则旗杆高BC 为________ m （结果保留根号）．15.如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．若tan ∠BAC= 13 ，AC=6，则BD 的长是________．16.如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A 观测放置于B ，C 两处的标志物，数据显示点B 在点A 南偏东75°方向20米处，点C 在点A 南偏西15°方向20米处，则点B 与点C 的距离为________ 米．17.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=1，现给出下列结论：①sinA=√32；②cosB=2√55；③tanA=2；④sinB=12 ， 其中正确的是________18.在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，BC=2 √3 ，则AB=________．19.如图，在5×5的正方形网格中，△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在格点上，则tanA 的值为________20.在平面直角坐标系xOy 中，点A 1 ， A 2 ， A 3 ， …和B 1 ， B 2 ， B 3 ， …分别在直线y=kx+b 和x 轴上．△OA 1B 1 ， △B 1A 2B 2 ， △B 2A 3B 3 ， …都是等腰直角三角形，如果A 1（1，1），A 2（ 72,32 ），那么点A n 的纵坐标是________．三、解答题（共8题；共60分）21.计算： |−1|−12√8−(5−π)°+4cos45° ．22.如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．23.图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD 的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118∘时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin28∘≈0.47，cos28∘≈0.88，tan28∘≈0.53）.24.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知CD=2m，经测量得到∠CAH=37°，∠DBH=60°，AB=10m，求GH的长．（参考数据：tan37°≈0.75，√3≈1.732，结果精确到0.1m）25.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时（如图②），人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO=15°，AO=30cm，∠OBC=45°，求AB的长度．（结果精确到1cm）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√2≈1.414）26.如图，某河大堤上有一颗大树ED，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿坡度为1：2的斜坡AC 攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，已知ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，求大树ED的高度．（精确到1米）（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，√5=2.236）27.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：√3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）28.（2017•黔东南州）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）答案解析部分一、单选题1. B2.B3. D4. A5. B6. A7.C8. B9.D 10.A二、填空题11.√3212. 60 13.√3214. 10 √3+1 15. 216. 20√217.②③ 18. 4 19.1320.（32）n﹣1三、解答题21.【答案】解：|−1|−12√8−(5−π)°+4cos45°，= 1−12×2√2−1+4×√22，= √2．22.【答案】解：作AD⊥BC,垂足为D.设AD= xm，∵∠ABC=45°，∴BD＝AD= xm，∵∠ACB=30°，∴DC＝ADtan30°＝√3xm，∵AD+DC=BC ,且BC＝40m，∴x+√3x=40，解得，x=20√3−20，答：则河的宽度为(20√3−20)m23.【答案】如图，过点C作CE⊥DH交于点E，过点A作AF⊥CE交于点F，又∵AH⊥BD，∴四边形AFEH是矩形，∴∠HAF=90°，EF=AH=3.4m，∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°，在Rt△ACF中，∵AC=9m，∠CAF=28°，∴CF=AC·sin∠CAF=9×sin28°≈9×0.47=4.23（m），∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m）.答：操作平台C离地面的高度为7.6m．24.【答案】解：延长CD交AH于点E，如图所示：根据题意得：CE⊥AH，设DE=xm，则CE=（x+2）m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°= ，tan60°= ，∴AE= ，BE= ，∵AE﹣BE=AB，∴﹣=10，即﹣=10，解得：x≈5.8，∴DE=5.8m，∴GH=CE=CD+DE=2m+5.8m=7.8m．答：GH的长为7.8m．25.【答案】解：过O点作OD⊥AB交AB于D点．在Rt△ADO中，∵∠A=15°，AO=30，∴OD=AO•sin15°=30×0.259=7.77（cm）AD=AO•cos15°=30×0.966=28.98（cm）又∵在Rt△BDO中，∠OBC=45°，∴BD=OD=7.77（cm），∴AB=AD+BD=36.75≈37（cm）．答：AB的长度为37cm26.【答案】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，∵ED⊥CD，CD∥AB，∴D、E、F三点共线，∴四边形CDFG是矩形，∴CD=GF，DF=CG．在Rt△ACG中，∵坡度为1：2，∴CG：AG=1：2，∴AG：AC=2：√5．∵AC=20米，∴AG=8 √5米，CG=4 √5米．在Rt△CDE中，∠ECD=76°，设CD=x米，则ED=CD•tan76°≈4.01x（米）．在Rt△EAF中，∵∠EAF=45°，∴EF=AF，即ED+DF=AG+GF，∴4.01x+4 √5=8 √5+x，∴x=2.99，∴ED=4.01×2.99=12（米）．答：大树ED的高约为12米．27.【答案】解：如图，在Rt△BDF中，∵∠DBF=60°，BD=4km，∴BF= BDcos60°=8km，∵AB=20km，∴AF=12km，∵∠AEB=∠BDF，∠AFE=∠BFD，∴△AEF∽△BDF，∴AEAF = BDBF，∴AE=6km，在Rt△AEF中，CE=AE•tan74°≈20.9km．故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km．28.【答案】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD•sin60°=12× √32=6 √3米，CE=CD•cos60°=12× 12=6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE=D′E′=6 √3米．∵∠D′CE′=39°，∴CE′= D′E′tan39°≈ 6√30.81≈12.8，∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．。

第七章锐角三角函数单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，BC=3，则∠B的正切值为()A.3B.13C.√1010D.3√10102. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，若sin A=35，则cos B的值是()A.4 5B.35C.34D.433. 若α=40∘，则α的正切值ℎ的范围是（）A.1 2<ℎ<√22B.√33<ℎ<√32C.1<ℎ<√3D.√33<ℎ<√34. Rt△ABC中，∠C=90∘，若AB=4，∠A=θ，则AC的长为()A.4sinθB.4cosθC.4sinθD.4cosθ5. 已知α为锐角，sin(α−20∘)=√32，则α＝（）A.20∘B.40∘C.60∘D.80∘6. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子中不一定成立的是()A.tan A=sin Acos AB.sin2A+sin2B=1C.sin2A+cos2A=1D.sin A=sin B7. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=34，则cos B的值为（）A.√74B.34C.35D.458. 某市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境．已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450√3a元B.225√3a元C.150√3a元D.300√3a9. 如图，已知△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=√3，OA=OC=√6，则∠OAB的度数为（）A.10∘B.15∘C.20∘D.25∘10. 如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（）A.a米B.a cotα米C.a cotβ米D.a(tanβ−tanα)米二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，），那么AB=________．11. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，sin A=1612. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，AB=5，则sin B=________.13. 如图，△ABC中，∠ACB=90∘，sin B=4，则tan A=________．514. 如图，有A、B两艘船在大海中航行，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻这两艘船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15∘方向有另一艘船C，那么此时船C与船B的距离是________海里（结果保留根号）．15. 如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60∘，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30∘，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是________m．16. 如图，小宁想知道校园内一棵大树的高度，已知树垂直于地面，他测得CB的长度为10m，∠ACB=50∘，请你帮他算出树高AB约为________m（参考数据：sin50∘≈0.77，cos50∘≈0.64，tan50∘≈1.2）．17. 一名长跑运动员沿着斜角为30∘的斜坡，从B点跑至A点，已知AB=1000米，则运动员的高度下降了________米．18. 一艘船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的北偏东60∘，距离为60海里的A处；上午9时到达C处，看到灯塔在它的正北方向．则这艘船航行的速度为________海里/时．19. 新平县城在“旧城改造”中，计划在城内一块如图所示空地上，种植草皮美化环境，已知这种草皮每平米要80元，买这种草皮至少需________元．20. 青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃，如图所示，一天，灰太狼在自家城堡顶部A 处测得懒羊羊所在地B 处的俯角为60∘，然后下到城堡的C 处，测得B 处的俯角为30∘．已知AC =40米，若灰太狼以5m/s 的速度从城堡底部D 处出发，则至少需________秒钟后能抓到懒羊羊．（结果精确到个位√3≈1.7321）三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计60分 ， ） 21. 计算： （1）cos 60∘−tan 45∘tan 60∘−2tan 45∘；（2）2cos 30∘−2sin 30∘+5tan 60∘；（3）12sin 60∘+√22cos 45∘+sin 30∘cos 30∘；（4）tan230∘+2sin60∘cos45∘+tan45∘−tan30∘−cos230∘．22. 已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF>∠AOE．（1）求证：tan∠AOF>tan∠AOE；（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．23. 某学校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动，如图，她在山坡脚A处测得这座楼房顶B点的仰角为60∘，沿山坡向上走到C处再测得B点的仰角为45∘，已知OA=200m，山坡的坡度i=，且O、A、D在同一条直线上．求：√3（1）楼房OB的高度；（2）小红在山坡上走过的距离AC（结果保留根号）24. 在矩形ABCD中，点E，F在边DC上，EF=10米，点G在AB上，AG=52米，若∠EAB= 36∘，∠FGB=72∘，求BC的长（精确到个位）．（参考数据：sin36∘≈0.59，cos36∘≈0.81，tan36∘≈0.73，sin72∘≈0.95，cos72∘≈0.31，tan72∘≈3.08）25. 如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方4m的C处出发，沿斜面坡度i=1:1的斜坡CD前进3√2m到达D处，在D处垂直地面放置测量仪DE，测得旗杆顶部A的仰角为30∘．测量仪DE的高为1.5m，求旗杆AB的高度．26. 某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的北岸边A点处，测得河的南岸边的点B在其南偏东45∘方向，然后向北走20米到达C点，测得点B在点C的南偏东33∘方向，求出这段河的宽度.（结果精确到1米，参考数据：sin33∘≈0.54，cos33∘≈0.84，tan33∘≈0.65，√2≈1.41）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，BC=3，∵ ∠B的正切值为：ACBC =13.2.【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，∵ ∠A+∠B=90∘，∵ cos B=sin A.，∵ sin A=35．∵ cos B=35故选B．3.【答案】D【解答】解：∵ tan30∘=√3，tan60∘=√3，一个角的正切值随角的增大而增大，3∵ tan30∘<tan40∘<tan60∘，<ℎ<√3，即√33故选D．4.【答案】B解：Rt△ABC中，∠C=90∘，若AB=4，∠A=θ，cos A=AC，AB∵ AC=4cosθ.故选B.5.【答案】D【解答】∵ α为锐角，sin(α−20∘)=√3，2∵ α−20∘＝60∘，∵ α＝80∘，6.【答案】D【解答】，sin2A+cos2A=1，sin B=sin(90∘−∠A)=解：根据同角的三角函数的关系：tan A=sin Acos Acos A，可知只有D不正确．故选D．7.【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘得∠B+∠A=90∘．由一个角的正弦等于它余角的余弦，得cos B=sin A=34，故选：B．8.【答案】C【解答】解：如图，作BD⊥AC于点D，在直角△ADB中，BD=AB⋅sin60∘=10√3，则△ABC的面积是12⋅AC⋅BD=12×30×10√3=150√3．因而购买这种草皮至少需要150√3a元．故选C．9.【答案】B【解答】解：∵ AC2=AB2+BC2=32+(√3)2=12，AO2+CO2=(√6)2+(√6)2=12，∵ AC2=AO2+OC2，∵ ∠O=90∘，∵ OA=OC，∵ ∠OAC=45∘，在Rt△ACB中，∵ tan∠BAC=√33，∵ ∠BAC=30∘，∵ ∠OAB=45∘−30∘=15∘，故选B．10.【答案】D【解答】作DE⊥AB于点E．在直角△AED中，ED＝BC＝a，∠ADE＝α∵ tan∠ADE=AEDE，∵ AE＝DE⋅tan∠ADE＝a⋅tanα．同理AB＝a⋅tanβ．∵ DC＝BE＝AB−AE＝a⋅tanβ−a⋅tanα＝a(tanβ−tanα)．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】18【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，sin A=16=BCAB，∵ AB=3×6=18．故答案为：18．12.【答案】4【解答】解：∵ ∠C=90∘，AC=4，AB=5，∵ sin B=ACAB =45.故答案为：45．13.【答案】34【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∵ sin B=bc ，tan A=ab，a2+b2=c2．∵ sin B=45，设b=4x，则c=5x，a=3x．∵ tan A=ab =3x4x=34．14.【答案】20√2【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：∠BAC=45∘，∠ABC=90∘+15∘=105∘，则∠ACB =180∘−∠BAC −∠ABC =30∘，在Rt △ABD 中，BD =AB ⋅sin ∠BAD =20×√22=10√2， 在Rt △BCD 中，BC =BDsin ∠BCD =20√2．答：此时船C 与船B 的距离是20√2海里．故答案为20√2．15.【答案】 30【解答】解：作DF ⊥AB 于F ，交BC 于G ．则四边形DEAF 是矩形，∵ DE =AF =10m ，∵ DF // AE ，∵ ∠BGF =∠BCA =60∘，∵ ∠BGF =∠GDB +∠GBD =60∘，∠GDB =30∘，∵ ∠GDB =∠GBD =30∘，∵ GD =GB ，在Rt △DCE 中，∵ CD =2DE ，∵ ∠DCE =30∘，∵ ∠DCB =90∘，在△DCG 和BFG 中，∵ {∠DGC =∠BGF ，∠DCG =∠BFG ，DG =BG ，∵ △DGC≅△BGF(AAS)，∵ BF=DC=20m，∵ AB=20+10=30m，故答案为：30.16.【答案】12【解答】，解：由题意得出：tan C=ABBC，∵ tan50∘=AB10∵ AB=10×tan50∘=10×1.2=12(m)，故答案为：12．17.【答案】500【解答】解：在Rt△ABC中，∵ AB=1000米，∠BAC=90∘，∵ BC=AB sin∠BAC=1000sin30∘=500（米）．故答案为：500．18.【答案】30√3【解答】解：易得∠ABC=30∘，AB=60．∵ BC=AB×cos∠ABC=30√3（海里）．∵ 这艘船航行的速度为30√3÷(9−8)=30√3（海里/时）．19.【答案】30000【解答】解：作CD⊥AB交BA的延长线于D，∵ ∠BAC=150∘，∵ ∠CAD=30∘，∵ AC=50m，∵ CD=AB×sin30∘=25m，×30×25=375m2，∵ S△ABC=12∵ 所需费用为375×80=30000元，故答案为30000．20.【答案】7【解答】解：根据题意得：∠BCD=90∘−30∘=60∘，∠ABD=60∘，在Rt△BCD中，∵ ∠BCD=60∘，∵ 则BD=CD⋅tan60∘=√3CD，在Rt△ABD中，∵ ∠ABD=60∘，∵ ADBD=tan60∘，即√3CD=√3，解得：CD=20，∵ t=√3CD5≈355=7，∵ 约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊．故答案为：7．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）原式=12−1√3−2=2+√32；（2）原式=2×√32−2×12+5√3=6√3−1；（3）原式=√34+12+√34=√3+12；（4）原式=13+√3×√22+1−√33−34=6√6−4√3+712．【解答】解：（1）原式=12−1 3−2=2+√32；（2）原式=2×√32−2×12+5√3=6√3−1；（3）原式=√34+12+√34=√3+12；（4）原式=13+√3×√22+1−√33−34=6√6−4√3+712．22.【答案】增大．【解答】解：（1）∵ CA⊥AO，∵ △FOA和△EOA均为直角三角形．∵ tan∠AOF=AFOA ，tan∠AOE=EAOA．∵ tan∠AOF>tan∠AOE．（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．23.【答案】高楼OB的高度为200√3m，小玲在山坡上走过的距离AC为200(2√5−√15)m．【解答】解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO=60∘，OA=200m．∵ tan60∘=OBOA，即OBOA=√3，∵ OB=√3OA=200√3(m)．（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．则OE=CH，EC=OH．根据题意，知i=CHAH =√3，可设CH=x，AH=√3x．在Rt△BEC中，∠BCE=45∘，∵ BE=CE，即OB−OE=OA+AH．∵ 200√3−x=200+√3x．解得x=200(2−√3)．在Rt△ACH中，∵ AC2=AH2+CH2，∵ AC2=(2x)2+x2=5x2．∵ AC=√5x=√5×200(2−√3)=200(2√5−√15)(m)．答：高楼OB的高度为200√3m，小玲在山坡上走过的距离AC为200(2√5−√15)m．24.【答案】BC的长约为40米．【解答】解：过点F作FM // AE，交AB于点M，过点F作FN⊥AB，垂足为点N，∵ 矩形ABCD，∵ AB // CD，∵ EF=10米，∵ AM=EF=10米，∵ AG=52米，∵ MG=42米，∵ ∠FMN=∠EAG=36∘，∠FGN=72∘，∵ ∠MFG=36∘，∵ FG=MG=42米，在△FGN中，BC=FN=42×sin72∘≈42×0.95≈40（米），25.【答案】解：延长ED交BC于F，过E作EG⊥AB于G，=1，∵ i=DFCF∵ DF=CF，设DF=CF=x，则2x2=(3√2)2，∵ x=3，∵ DF=CF=3(m)，∵ BG=EF=3+1.5=4.5(m)，GE=BF=4+3=7(m)，在Rt△AGE中，AG=GE⋅tan30∘=7×√33=73√3(m)，∵ AB=AG+BG=(4.5+7√33)m.【解答】解：延长ED交BC于F，过E作EG⊥AB于G，∵ i=DFCF=1，∵ DF=CF，设DF=CF=x，则2x2=(3√2)2，∵ x=3，∵ DF=CF=3(m)，∵ BG=EF=3+1.5=4.5(m)，GE=BF=4+3=7(m)，在Rt△AGE中，AG=GE⋅tan30∘=7×√33=73√3(m)，∵ AB=AG+BG=(4.5+7√33)m.26.【答案】解：如图，记河南岸为BE，延长CA交BE于点D，则CD⊥BE．由题意知，∠DAB=45∘，∠DCB=33∘，设AD=x米，则BD=x米，CD=(20+x)米，=tan∠DCB，在Rt△CDB中，DBCD≈0.65，∵ x20+x解得x≈37．答：这段河宽约为37m.【解答】解：如图，记河南岸为BE，延长CA交BE于点D，则CD⊥BE．由题意知，∠DAB=45∘，∠DCB=33∘，设AD=x米，则BD=x米，CD=(20+x)米，=tan∠DCB，在Rt△CDB中，DBCD≈0.65，∵ x20+x解得x≈37．答：这段河宽约为37m.。

苏科新版九年级下学期《第7章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题（共13小题）1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（）A．3B．2C．D．2．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC＝，则的值为（）A．B．C．2D．34．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sin A的值为（）A．B．C．D．5．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定6．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．07．若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3＝0，则α等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知：一个等腰直角三角形腰长为a，三边上的高之积为P，一个等边三角形边长为a，三边上的高之积为Q，则P和Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．无法确定9．如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE＝4，CE＝2，BC＝6，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，求tanα的取值范围（）A．≤tanα＜B．＜tanα＜C．tanα＝D．＜tanα＜310．如图，斜坡AB坡度为1：2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼EF，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼EF的高度是（）（精确到米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，≈1.73）A．125米B．105米C．85米D．65米11．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i＝1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC＝100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cos l2°≈0.98）A．200B．250C．300D．54012．如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A．（﹣1）小时B．（+1）小时C．2小时D．小时13．在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A．km B．km C．km D．km二．填空题（共15小题）14．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是．15．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为．16．已知tanα＝，那么sinα＝．（其中α为锐角）17．在Rt△ABC中，已知，则cosα＝．18．若tanα•tan50°＝1，则锐角α＝度．19．（tan70°）2009•（3tan20°）2009＝．20．计算：（﹣）2﹣2cos60°＝；21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则sin＝．22．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为．B．用科学计算器计算：sin69°≈（精确到0.01）．23．先用计算器求：cos20°≈，cos40°≈，cos60°≈，cos80°≈，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来：．归纳：余弦值，角大值．24．在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．25．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，cos B＝，AC＝．26．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的倍．（结果保留两个有效数字）．27．如图，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶为10°，已知山坡的坡脚为15°，则树AB的高＝（精确到0.1m）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）．28．如图，小车从4米高的A处沿斜坡滑到B处，若斜坡坡度为i＝1：2，则斜坡AB的水平宽度BC为米．三．解答题（共20小题）29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值．30．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°（1）tan A与sin A，cos A之间有什么关系？并说明理由．（2）若＝，求tan A的值．31．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．32．求值：（1）tan30°•tan60°+cos230°﹣sin245°•tan45°；（2）2cos30°+tan45°﹣tan60°+（﹣1）0．33．计算：．34．计算：（1）1﹣2sin30°cos30°（2）．35．计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°36．计算：+×（）﹣1﹣|1﹣cos45°|37．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中，a是方程x2+3x+1＝0的根．38．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．（1）已知sinα＝0.5018，求锐角α；（2）已知tanθ＝5，求锐角θ．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．40．在△ABC中，∠B＝135°，AB＝，BC＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．41．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝67.5°．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）求tan C的值．42．如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，求tan C的值．43．如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°＝；cos75°＝；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）44．为了打通抚松到万良的最近公路，在一座小山的底部打通隧道．甲、乙两施工队按如图所示进行施工，甲施工队沿AC方向开山修路，乙施工队在这座小山的另一边E处沿射线CA方向同时施工．从AC上的一点B，取∠ABD＝155°，经测得BD＝1200m，∠D＝65°，求开挖点E与点B之间的距离（结果精确到1m）．【参考数据：sin65°＝0.906，cos65°＝0.423，tan65°＝2.145．】45．某市A，B两镇相距42千米，分别从A，B处测得某风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，15千米为半径的圆，tanα＝1.673，tanβ＝1.327．为了开发旅游，有关部门要设计修建连接A，B两市的县级公路．问连接A，B的两镇的县级公路是否穿过风景区，请说明理由．46．某市需要新建一批公交车候车厅，设计师设计了一种产品（如图①），产品示意图的侧面如图②所示，其中支柱DC长为2.1m，且支柱DC垂直于地面DC，顶棚横梁AE长为1.5m，BC为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°，要求使得横梁一端点E在支柱DC 的延长线上，此时经测量得镶接点B与点E的距离为0.35m（参考数据：≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结果精确到0.1m）．（1）求EC的长；（2）求点A到地面DG的距离．47．某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为5米，∠ACB＝21.5°（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．（参考数据：sin21.5°＝，cos21.5°＝，tan21.5°＝）48．盱眙第一山景区为提高某景点的安全性，决定将到达景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面）（1）改善后的台阶坡面会加长多少？（就是问AD比AB长多少？）（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）（就是求BD的长）苏科新版九年级下学期《第7章锐角三角函数》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（）A．3B．2C．D．【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．【解答】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，∴BE＝BN．∴∠NBE＝90°．∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠ABN，∴△NAB≌△EAB．设EC＝MN＝x，AD＝a，则AM＝a，DE＝2a﹣x，AE＝AN＝a+x，∵AD2+DE2＝AE2，∴a2+（2a﹣x）2＝（a+x）2，∴x＝a．∴tan∠AEB＝tan∠BNM＝＝3．故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．2．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】先解出方程的两根，讨论sinα，tanβ的值．∵在三角形中，角的范围是（0，180°），∴sinα必大于0，此时只要考虑tanβ的值即可，若tanβ＞0，则β为锐角；tanβ小于0，则β为钝角．再把x的两个值分别代入sinα，tanβ中，可求出α，β的值，从而判断△ABC的形状．【解答】解：由2x2﹣3x+1＝0得：（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1．∴sinα＞0，tanβ＞0若sinα＝，tanβ＝1，则α＝30°，β＝45°，γ＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴△ABC为钝角三角形．若sinα＝1，tanβ＝，则α＝90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．故选：B．【点评】本题易在α，β上的取值出错，学生常常解出方程的两根后不知道如何判断，因此在解答时我们可对x的值分类讨论，从而判断出△ABC的形状．3．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC＝，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据切线长定理先证明∠ACB＝90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC＝＝，得两圆弦长的比；进一步求半径的比．【解答】解：如图，连接O2B，O1A，过点C作两圆的公切线CF，交于AB于点F，作O1E⊥AC，O2D⊥BC，由垂径定理可证得点E，点D分别是AC，BC的中点，由弦切角定理知，∠ABC＝∠FCB＝∠BO2C，∠BAC＝∠FCA＝∠AO1C，∵AO1∥O2B，∴∠AO1C+∠BO2C＝180°，∴∠FCB+∠FCA＝∠ACB＝90°，即△ACB是直角三角形，∴∠ABC＝∠BO2D＝∠ACO1，设∠ABC＝∠BO2D＝∠ACO1＝β，则有sinβ＝，cosβ＝，∴tanβ＝•＝•，∴（tanβ）2＝＝2．故选：C．【点评】本题综合性较强，综合了圆的有关知识，所以学生所学的知识要系统起来，不可单一．4．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝＝，设AD＝2a，则AC＝5a，根据勾股定理得到CD＝a，因而sin A＝＝．故选：B．【点评】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED∽△ABC是解决本题的关键．5．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定【分析】cos A＝sin（90°﹣A），再根据余弦函数随角增大而减小进行分析．【解答】解：∵cos A＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sin A＜cos A，即sin A﹣cos A＜0．故选：B．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．6．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0【分析】将两式分别两边平方，利用sin2α+cos2α＝1，求出sinαcosα的值，解答即可．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．【点评】本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α＝1来进行化简求值的．7．若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3＝0，则α等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据0°＜α＜90°可知α为锐角，再根据sin60°＝即可求解．【解答】解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3＝0，∴sinα＝．∴α＝60°．故选：C．【点评】解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．8．已知：一个等腰直角三角形腰长为a，三边上的高之积为P，一个等边三角形边长为a，三边上的高之积为Q，则P和Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．无法确定【分析】分别求得等腰直角三角形和等边三角形三边上的高的积，然后利用做差法比较两者的大小，从而求得结果．【解答】解：如左图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠A＝90°，过A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝a，∠A＝90°，∴BD＝DC＝a，∴P＝a×a×a＝a3，如右图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝a过A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝60°BD＝DC＝a，∴AD＝a，同理，其它边上的高也与AD相等．∴Q＝（a）3＝a3，∵P﹣Q＝a3﹣a3＞0，∴P＞Q．故选：A．【点评】主要考查等腰直角三角形和等边三角形的性质，考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程．9．如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE＝4，CE＝2，BC＝6，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，求tanα的取值范围（）A．≤tanα＜B．＜tanα＜C．tanα＝D．＜tanα＜3【分析】根据球的运动轨迹可知四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等，由于DE＝4，CE＝2，可得CF＝BC，再根据正切的定义即可得到tanα的取值范围．【解答】解：如图：∵DE＝4，CE＝2，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等，∴CF＝BC＝2，∴在Rt△CEP中，tanα＝＝．故选：C．【点评】考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．10．如图，斜坡AB坡度为1：2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼EF，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼EF的高度是（）（精确到米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，≈1.73）A．125米B．105米C．85米D．65米【分析】首先证明四边形BGEH是矩形，由题意BG：AG＝1：2.4，在Rt△ABG中，根据AB＝52米，由勾股定理可得BG＝20米，AG＝48米，在Rt△BHF 中，可知tan77°＝，推出≈4.33，推出FH＝4.33BH，在Rt△AEF中，由∠CAF＝60°，可知EF＝AE，可得（48+BH）＝20+4.33BH，解方程求出BH即可解决问题．【解答】解：∵BG⊥AC，BH⊥EF，∴四边形BGEH是矩形，∴BH＝EG，BG＝EH，由题意BG：AG＝1：2.4，在Rt△ABG中，∵AB＝52米，由勾股定理可得BG＝20米，AG＝48米，在Rt△BHF中，∵∠DBF＝77°，∴tan77°＝，∴≈4.33，∴FH＝4.33BH，在△Rt△AEF中，∵∠CAF＝60°，∴EF＝AE，∴（48+BH）＝20+4.33BH，解得BH≈24.25，∴EF＝（48+BH）≈125米．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角、坡度问题、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i＝1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC＝100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cos l2°≈0.98）A．200B．250C．300D．540【分析】根据坡度的概念和俯角的概念解答即可．【解答】解：由题意得，∠EAC＝45°，EC＝100米，∴AC＝EC＝100米，∵BE的坡度为1：3，∴BC＝3EC＝300米，∴AB＝300+100＝400米，设DF＝x米，∵BE的坡度为1：3，∴BD＝3DF＝3x米，∵∠DAF＝12°，tan12°≈0.2，∴AD＝5DF＝5x米，则8x＝400，解得x＝50，∴AD＝250米．故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形、熟记锐角三角函数的定义、根据题意列出方程是解题的关键．12．如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A．（﹣1）小时B．（+1）小时C．2小时D．小时【分析】连接MC，过M点作MD⊥AC于D．根据三角函数的定义，在Rt△ADM 中可得AD＝MD，在Rt△BDM中可得BD＝MD，根据垂径定理可得BC ＝2MD，依此求出BC：AB的值即可求解．【解答】解：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．在Rt△ADM中，∵∠MAD＝30°，∴AD＝MD，在Rt△BDM中，∵∠MBD＝45°，∴BD＝MD，∴BC＝2MD，∴BC：AB＝2MD：（﹣1）MD＝2：+1．故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（+1）小时．故选：B．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题关键是得到AD＝MD，BC＝2MD．13．在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A 地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A．km B．km C．km D．km【分析】根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．【解答】解：如图．由题意可知，AB＝5km，∠2＝30°，∠EAB＝60°，∠3＝30°．∵EF∥PQ，∴∠1＝∠EAB＝60°又∵∠2＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4＝∠2＝30°．∴∠ACB＝∠4+∠3＝30°+30°＝60°．∴AC＝＝＝（km）．故选：A．【点评】本题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．二．填空题（共15小题）14．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是10．【分析】根据正弦函数的定义得出sin A＝，即＝，即可得出AB的值．【解答】解：∵sin A＝，即＝，∴AB＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．15．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为3．【分析】根据点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，可以求得t的值．【解答】解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，∴tanα＝＝．解得t＝3．故答案为：3．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是明确锐角三角函数的定义和第一象限点的特点．16．已知tanα＝，那么sinα＝．（其中α为锐角）【分析】根据锐角三角函数的定义，设∠A＝α，放在直角三角形ACB中，设BC ＝4x，AC＝3x，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝＝，设BC＝4x，AC＝3x，由勾股定理得：AB＝＝5x，∴sinα＝sin∠A＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数等知识点，解此题的关键是把所求角放在直角三角形中，思路是根据锐角三角函数的定义和直角三角形求出即可．题目较好，难度不大．17．在Rt△ABC中，已知，则cosα＝．【分析】据三角函数的定义，＝，因而可以设a＝8，c＝17根据勾股定理可以求得b的长，然后利用余弦的定义即可求解．【解答】解：∵＝，∴设a＝8，c＝17，∴由勾股定理得到b＝15，∴cosα＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的定义，正确理解三角函数可以转化成直角三角形的边的比值，是解题的关键．18．若tanα•tan50°＝1，则锐角α＝40度．【分析】根据锐角三角函数的定义得出如果tanα•tan50°＝1，那么α+50°＝90°，即可求出答案．【解答】解：∵在△ACB中∠C＝90°，∠A＝α，∠B＝50°，∵tan A＝，tan B＝，∴tan A•tan B＝×＝1，∴∠A+∠B＝90°，∵tanα•tan50°＝1，∴α＝90°﹣50°＝40°．故答案为：40．【点评】本题主要考查对互余两角的三角函数的关系，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．19．（tan70°）2009•（3tan20°）2009＝1．【分析】首先根据幂运算的性质：（ab）m＝a m b m，a m a n＝a m+n，进行整理；再根据互为余角的正切值互为倒数即可计算．【解答】解：（tan70°）2009•（3tan20°）2009＝（）2009（tan70°）2009•32009（tan20°）2009＝1．【点评】注意幂运算的性质和锐角三角函数性质的综合运用．20．计算：（﹣）2﹣2cos60°＝﹣；【分析】先算平方，特殊角的三角函数值，再算减法即可求解．【解答】解：（﹣）2﹣2cos60°＝﹣2×＝﹣1＝﹣．故答案为：﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握60°的余弦值．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则sin＝．【分析】根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，可以求得∠A正弦值，从而可以求得∠A的度数，进而可求得sin的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴sin A＝，∴∠A＝60°，∴sin＝sin30°＝，故答案为：．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．22．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为π．B．用科学计算器计算：sin69°≈ 2.47（精确到0.01）．【分析】A．根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．B．直接使用科学计算器进行计算．【解答】解：A．∵AB＝BC，CD＝DE，∴＝，＝，∴+＝+，∴∠BOD＝90°，∴S阴影＝S扇形OBD＝＝π．B．sin69°≈2.47．故答案是：π；2.47．【点评】A．考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．B．考查了计算器的使用．23．先用计算器求：cos20°≈0.9397，cos40°≈0.7660，cos60°≈0.5，cos80°≈0.1736，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来：cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°．归纳：余弦值，角大值小．【分析】利用计算器分别计算各个三角函数值，然后根据角的增大，来观察余弦数值的变化．【解答】解：利用计算器可算出：cos20°≈0.9397，cos40°≈0.7660，cos60°＝0.5，cos80°≈0.1736，∴cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°∴在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，即余弦值，角大值小．故答案是0.9397，0.7660，0.5，0.1736，小．【点评】本题考查了计算器求三角函数值，注意小数点后保留3位或4位有效数字．24．在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA＝＝5，∴cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．25．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，cos B＝，AC＝8．【分析】根据∠A＝90°，BC＝10，cos B＝，根据三角函数可得BC的长，从而可以得到AC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，cos B＝，cos B＝，∴BC＝6．∴AC＝．故答案为：8．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确锐角三角函数指的是哪两条边的比值．26．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的 2.3倍．（结果保留两个有效数字）．【分析】根据题意：设光速为tm/s，则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，根据平行四边形的性质和三角函数的定义，可求得A移动的距离约为2.3tm；故交点A的移动速度是光速的2.3倍．【解答】解：如图，根据题意设光速为tm/s，则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，过A'作CA'⊥AC于A'，在Rt△ACA'中，∠A'AC1＝10°÷2＝5°，A'C＝0.2tm，∴AA'＝CA'÷sin5°≈2.3，∴A移动的距离约为2.3tm；故交点A的移动速度是光速的2.3倍．【点评】本题考查图形的平移变换．注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行．27．如图，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶为10°，已知山坡的坡脚为15°，则树AB的高＝23.2m（精确到0.1m）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）．【分析】根据题意可以分别求得DP、AE的长，由CD＝1.5m，从而可以求得AB 的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，BD＝50m，CD＝1.5m，∠ACE＝10°，∠DBP＝15°，∴DP＝BD•sin15°≈50×0.26＝13m，BP＝BD•cos15°≈50×0.97＝48.5m，∵CE＝BP，∴AE＝CE•tan10°≈48.5×0.18＝8.73m，∴AB＝AE+CD+DP＝8.73+1.5+13＝23.23≈23.2m．故答案为：23.2m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确特殊角的三角函数，运用特殊角的三角函数解答问题，注意最后要精确到0.1m．28．如图，小车从4米高的A处沿斜坡滑到B处，若斜坡坡度为i＝1：2，则斜坡AB的水平宽度BC为8米．【分析】根据坡度定义直接解答即可．【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴BC＝4×2＝8m．故答案为：8．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义是解题的关键．三．解答题（共20小题）29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值．【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，则sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．30．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°（1）tan A与sin A，cos A之间有什么关系？并说明理由．（2）若＝，求tan A的值．【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，分别表示出tan A与sin A，cos A的值，然后找出其中的关系即可；（2）分式的分子和分母同时除以cos2A，然后解关于tan A的方程即可．【解答】解：（1）∵tan A＝，sin A＝，cos A＝，∴tan A＝．（2）分式的分子、分母同时除以cos2A得：．整理得：3tan2A﹣5tan A﹣2＝0．解得：tan A＝2，或tan A＝﹣（舍去）．∴tan A的值为2．【点评】本题主要考查的是同角三角函数的关系，由三角函数的定义求得tan A ＝，然后得到关于tan A的方程是解题的关键．31．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出tan30°cos60°+tan45°cos30°的值．【解答】解：tan30°cos60°+tan45°cos30°＝＝＝．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．32．求值：（1）tan30°•tan60°+cos230°﹣sin245°•tan45°；（2）2cos30°+tan45°﹣tan60°+（﹣1）0．【分析】根据tan30°＝，tan60°＝，cos30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，a0＝1（a≠0），即可计算出（1）和（2）的值．【解答】解：（1）tan30°•tan60°+cos230°﹣sin245°•tan45°；＝＝1+＝；（2）2cos30°+tan45°﹣tan60°+（﹣1）0＝＝＝2．【点评】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂，解题的关键是明确特殊角的三角函数值、除0以外的任何数的零次方都等于1．33．计算：．【分析】把特殊角的三角函数值代入，根据二次根式的运算法则计算即可．【解答】解：原式＝＝﹣﹣2+．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值和二次根式的计算，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．34．计算：（1）1﹣2sin30°cos30°（2）．【分析】把特殊角的三角函数值代入代数式，计算即可得到答案．【解答】解：（1）1﹣2sin30°cos30°＝1﹣2××＝；（2）＝﹣1＝0．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值并且正确进行计算．35．计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°【分析】先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．【解答】解：原式＝，＝，＝．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．36．计算：+×（）﹣1﹣|1﹣cos45°|【分析】分别根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．【解答】解：+×（）﹣1﹣|1﹣cos45°|，＝1+﹣1+，＝．故答案为：．【点评】本题考查的是实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．37．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中，a是方程x2+3x+1＝0的根．【分析】（1）分别根据零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先把已知代数式进行化简，再根据a是方程x2+3x+1＝0的根求出a的值，代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣9+1﹣4×，＝+2，＝﹣8；（4分）（2）原式＝[+]×（2分）＝（+）×＝＝（a2+3a），（4分）∵a是方程x2+3x+1＝0的根，∴a2+3a+1＝0，∴a2+3a＝﹣1，（5分）∴原式＝．（6分）故答案为：﹣8，﹣．【点评】本题考查的是实数的综合运算能力及代数求值，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算是解答此类题目的关键．38．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．（1）已知sinα＝0.5018，求锐角α；（2）已知tanθ＝5，求锐角θ．【分析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可．【解答】（1）∵sinα＝0.5018，∴α≈30.1191°．∴a≈30°7′9″；（2）∵tanθ＝5，∴θ＝78.6900°≈78°41′24″．【点评】本题考查了计算器的用法，是基础题，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算即可．。

苏科版九年级数学下册第七章【锐角三角函数】单元测试卷一、单选题（共10题；共29分）1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA=1，sinB= ，你认为△ABC最确切的判断是（）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB= =（）A. B. C. D.3.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘座缆车到C，另一种是沿着盘山公路开车上山到C，已知在A处观铡到C，得仰角∠CAD=3l°，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，索道BC的坡度i=1：1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，则山篙CD为（）米；（参考数据：tan31°≈0.6．cos3l°≈0.9）A. 680B. 690C. 686D. 6934.若α是锐角，tanα•tan50°=1，则α的值为（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°5.某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（）A. 8B. 9C. 10D. 126.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M，N分别在AB，AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则sin∠MCN=（）A. B. C. D. ﹣27.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=，则sinB的值得是（）A. B. C. D.8.如图，在反比例函数y= 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= 的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A. ﹣3B. ﹣6C. ﹣9D. ﹣129.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m ，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．A. 3.5mB. 3.6mC. 4.3mD. 5.1m.10.如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（）A. （﹣4，﹣2﹣）B. （﹣4，﹣2+ ）C. （﹣2，﹣2+ ）D. （﹣2，﹣2﹣）二、填空题（共10题；共30分）11.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+ =0，则α+β=________．12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于________．13.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB=5，AC=3，则tan∠ADC =________．14.在△ABC中，已知∠C=90°，sinA= ，则cosA= ________，tanB= ________.15.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．16.已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为________（备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）17.已知菱形的边长为3，一个内角为60°，则该菱形的面积是________．18.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________ 米．19.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA= ，则PB+PC=________．20.（2017•贵港）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为________．三、解答题（共8题；共58分）21.计算．22.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）23.如图，小明家在学校O的北偏东60°方向，距离学校80米的A处，小华家在学校O的南偏东45°方向的B处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）24.如图，某湖心岛上有一亭子，在亭子的正东方向上的湖边有一棵树，在这个湖心岛的湖边处测得亭子在北偏西°方向上，测得树在北偏东°方向上，又测得、之间的距离等于米，求、之间的距离（结果精确到米）．（参考数据：，°，°，°，°）25.某海船以海里/小时的速度向北偏东70°方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40°方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65°方向，求此时灯塔B到C处的距离。