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应用多元统计分析习题解答主成分分析.doc

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主成分分析6.1 试述主成分分析的基本思想。

答：我们处理的问题多是多指标变量问题，由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性，人们希望能通过线性组合的方式从这些指标中尽可能快的提取信息。

当第一个组合不能提取止。

这就是主成分分析的基本思想。

6.2 主成分分析的作用体现在何处？答：一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。

以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向量；主成分分析的作用就是在降低数据“维数”6.3 简述主成分分析中累积贡献率的具体含义。

答：主成分分析把p 个原始变量12,,,p X X X L 的总方差()tr Σ分解成了p 个相互独立的变量p 个主成分的，忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来太大的影响。

这里我们()m p <个主成分，则称11pmm kkk k ψλλ===∑∑ 为主成分1,,m Y YL 的累计贡献率，累计贡献率表明1,,m Y Y L 综合12,,,p X X X L 的能力。

通常取m ，使得累计贡献率达到一个较高的百分数（如85％以上）。

答：这个说法是正确的。

即原变量方差之和等于新的变量的方差之和6.5 试述根据协差阵进行主成分分析和根据相关阵进行主成分分析的区别。

答：从相关阵求得的主成分与协差阵求得的主成分一般情况是不相同的。

从协方差矩阵出发的，其结果受变量单位的影响。

主成分倾向于多归纳方差大的变量的信息，对于方差小的变量就可能体现得不够，也存在“大数吃小数”的问题。

实际表明，这种差异有时很大。

我6.6 已知X =()’的协差阵为试进行主成分分析。

解：=0计算得当时，同理，计算得时，易知相互正交单位化向量得，,综上所述，第一主成分为第二主成分为第三主成分为6.7 设X=()’的协方差阵(p为, 0<p<1证明：为最大特征根，其对应的主成分为。

证明：==,为最大特征根当时，=所以，6.8利用主成分分析法，综合评价六个工业行业的经济效益指标。

行业名称资产总计固定资产净值平均余额产品销售收入利润总额煤炭开采和选业6917.2 3032.7 683.3 61.6石油和天然气开采业 5675.9 3926.2 717.5 33877 黑色金属矿采选业 768.1 221.2 96.5 13.8 有色金属矿采选业 622.4 248 116.4 21.6 非金属矿采选业 699.9 291.5 84.9 6.2 其它采矿业 1.6 0.5 0.3 0解:令资产总计为X1，固定资产净值平均余额为X2，产品销售收入为X3，利润总额为X4，用SPSS 对这六个行业进行主成分分析的方法如下：1. 在SPSS 窗口中选择Analyze →Data Reduction →Factor 菜单项，调出因子分析主界面，并将变量15X X -移入Variables 框中，其他均保持系统默认选项，单击OK 按钮，执行因子分析过程（关于因子分子在SPSS 中实现的详细过程，参见7.7）。

得到如表6.1所示的特征根和方差贡献率表和表6.2所示的因子载荷阵。

第一个因子就可以解释86.5%表6.1 特征根和方差贡献率表表6.2 因子载荷阵2. 将表6.2中因子载荷阵中的数据输入SPSS 数据编辑窗口，命名为a 1。

点击菜单项中的Transform →Compute ，调出Compute variable 对话框，在对话框中输入等式： z 1=a 1 / SQRT (3.46)，计算第一个特征向量。

点击OK 按钮，即可在数据编辑窗口中得到以z 1为变量名的第一特征向量。

z1 x1 0.509 x2 0.537 x3 0.530 x40.413根据表6.3得主成分的表达式：4413.03530.02537.01509.0Y1X X X X +++=3. 再次使用Compute 命令，调出Compute variable 对话框，在对话框中输入等式：4*413.03*53.02*537.01*509.0y1xxxx+++=根据六个工业行业计算所的y1的大小可得石油和天然气开采业的经济效益最好，煤炭开采和选业其次，接着依次是黑色金属、非金属、有色金属和其他采矿业。

6.9 下表是我国2003年各地区农村居民家庭平均每人主要食品消费量，试用主成分方法对地区粮食蔬菜食油猪牛羊肉家禽蛋类及其制品水产品食糠酒北京134.05 92.78 9.15 14.6 2.17 10.13 4.25 2.92 14.42天津150.2 69.99 10 11.07 0.84 10.8 8.35 0.72 10.14河北216.72 55.97 6.59 7.1 0.54 6.36 2.25 0.65 7.29山西218.91 80.87 5.72 5.36 0.24 6.15 0.47 1.15 2.59内蒙207.3 70.77 2.79 21.18 1.41 3.82 1.45 1.34 10.77辽宁194.39 178.59 5.9 16.45 2.51 9.59 4.49 0.73 10.8吉林255.99 115.2 6.27 11.42 3.23 8.64 3.6 0.75 13.64黑龙江195.08 111.7 7.62 7.85 2.61 6.26 3.35 0.9 15.09上海189.44 76.6 8.59 16.37 7.4 7.51 16.11 2.12 16.77江苏251.98 109.12 8.27 12.05 4.5 6.72 9.09 1.3 8.82浙江208.46 83.91 5.81 16.42 6.03 5.33 14.64 2.13 24.15安徽228.35 80.97 6.87 9.07 4.27 5.04 5.43 1.42 10.61福建198.27 99.92 5.19 16.51 5.14 3.55 13.3 2.35 16.84江西264.8 144.22 8.77 13.24 3.31 3.5 5.19 1.13 7.31山东229.06 118.19 6.96 8.09 2.7 11.61 4.01 1 10.81河南236.97 100.11 4.22 6.48 1.23 8.01 1.35 1.13 4.23湖南227.39 159.76 9.4 19.86 2.74 3.86 8.1 0.92 7.29湖北247.21 149.44 8.35 17.51 3.89 3.28 6.89 1.13 4.02广东233.75 130.22 6.73 22.27 10.4 2.83 13.3 2.16 3.33广西205.65 108.94 4.92 14.44 7.33 1.12 3.57 1.18 6.14海南236.31 86.61 5.7 15.4 9.77 1.31 14.75 1.24 3.88x6，水产品为x7，食糠为x8，酒为x9，用SPSS进行主成分分析的具体方法参见6.8，分析结果如下：表6.4 特征根和方差贡献率表表6.5 因子载荷阵表6.6 特征向量矩阵z1z2z3x1 0.001169 -0.55035 -0.00518 x2 0.054359 -0.32014 0.616746 x3 0.005261 0.185239 0.697829 x4 0.455914 -0.07584 0.167341 x5 0.509689 -0.14229 -0.05521 x6 -0.32908 0.408063 0.269126 x7 0.500921 0.118795 0.112136 x8 0.388112 0.332893 -0.13025 x90.140866 0.4933 -0.01984根据表6.6得主成分的表达式：9141.08388.07501.06329.0551.04456.03005.02054.01001.01X X X X X X X X X Y +++-++++=9493.08333.07119.06408.05142.04076.03185.0232.0155.02X X X X X X X X X Y ++++--+--=902.08130.07112.06269.05055.04167.03698.02617.01005.03X X X X X X X X X Y --++-+++-=分别计算出以上三项后，利用公式321321Y Y Y Y ∑∑∑++=λλλλλλ得到综合得分并排序如下表：地区y1 y2 y3 y 北京 14.92 -90.42 67.81 -10.16 天津 11.80 -93.48 54.76 -15.31 上海 24.39 -115.46 57.85 -16.51 福建 24.55 -129.93 68.56 -19.17 浙江 25.14 -126.00 59.51 -19.43 辽宁 19.55 -154.56 118.72 -19.47 黑龙江 13.27 -131.90 76.07 -23.38 湖南 23.53 -169.91 108.84 -24.97 广东 29.80 -167.06 88.93 -25.29 广西19.18-144.89 72.06 -25.99内蒙15.93 -130.47 48.84 -27.33海南24.93 -154.57 60.04 -29.19山东11.81 -152.64 81.06 -30.09湖北21.71 -179.61 100.93 -30.74安徽14.06 -143.12 56.46 -30.92江苏18.07 -164.93 76.08 -32.51河北7.10 -129.83 40.94 -32.73山西 6.20 -141.44 55.18 -34.15吉林14.54 -166.90 78.26 -34.32江西18.74 -185.62 97.04 -34.94河南8.32 -156.36 66.62 -35.93最后的分类可以根据最终得分Y的值来划分，由于没有给出具体的分类标准，具体分类结果根据各人的主观意愿可以有多种答案。

6.10 根据习题5.10中2003年我国省会城市和计划单列市的主要经济指标数据，利用主成分分析法对这些地区进行分类。

解：用SPSS进行主成分分析的具体方法参见6.8，分析结果如下：表6.7 特征根和方差贡献率表表6.8 因子载荷阵表6.6 特征向量矩阵z1 z2x1 0.29 0.47x2 0.28 0.48x3 0.14 -0.29x4 0.31 -0.37x5 0.40 -0.20x6 0.40 -0.27x7 0.31 0.39x8 0.39 0.12x9 0.39 -0.24青岛35237.27 14552.46 28597.44 大连31830.56 17629.53 27272.03 济南25149.73 16499.39 22372.97 福州22734.16 16326.97 20677.45 乌鲁木齐22284.54 15284.68 20037.59 沈阳23184.99 12310.22 19694.19 武汉23909.27 9770.56 19370.75 长春21524.95 14179.21 19166.96 成都33808.79 -17638.73 17294.14 太原19445.42 9809.99 16352.45 郑州18561.81 9822.90 15756.62 兰州16568.97 13769.80 15670.44 海口17666.70 11325.77 15631.26 昆明18494.34 8579.72 15311.75 呼和浩特16128.60 13359.10 15239.59 长沙18845.23 6252.54 14802.98 石家庄18229.33 7399.62 14752.99 西安16764.15 4871.97 12946.76。

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(完整word版)应用多元统计分析习题解答主成分分析

(完整word版)应用多元统计分析习题解答主成分分析

主成分分析6.1 试述主成分分析的基本思想。

答：我们处理的问题多是多指标变量问题，由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性，人们希望能通过线性组合的方式从这些指标中尽可能快的提取信息。

当第一个组合不能提取止。

这就是主成分分析的基本思想。

6.2 主成分分析的作用体现在何处？答：一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。

以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向量；主成分分析的作用就是在降低数据“维数”6.3 简述主成分分析中累积贡献率的具体含义。

答：主成分分析把p 个原始变量12,,,p X X X 的总方差()tr Σ分解成了p 个相互独立的变量p 个主成分的，忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来太大的影响。

这里我们()m p <个主成分，则称11pmm kkk k ψλλ===∑∑ 为主成分1,,m Y Y 的累计贡献率，累计贡献率表明1,,m Y Y 综合12,,,p X X X 的能力。

通常取m ，使得累计贡献率达到一个较高的百分数（如85％以上）。

答：这个说法是正确的。

即原变量方差之和等于新的变量的方差之和6.5 试述根据协差阵进行主成分分析和根据相关阵进行主成分分析的区别。

答：从相关阵求得的主成分与协差阵求得的主成分一般情况是不相同的。

从协方差矩阵出发的，其结果受变量单位的影响。

主成分倾向于多归纳方差大的变量的信息，对于方差小的变量就可能体现得不够，也存在“大数吃小数”的问题。

实际表明，这种差异有时很大。

我6.6 已知X =()’的协差阵为 试进行主成分分析。

解：=0计算得当时，同理，计算得时，易知相互正交单位化向量得，,综上所述，第一主成分为第二主成分为第三主成分为6.7 设X=()’的协方差阵(p为, 0<p<1证明：为最大特征根，其对应的主成分为。

证明：==,为最大特征根当时，=所以，6.8利用主成分分析法，综合评价六个工业行业的经济效益指标。

应用多元统计分析习题解答_朱建平_第七章

应用多元统计分析习题解答_朱建平_第七章

Abbo无私奉献，只收1个金币，BS收5个金币的…何老师考简单点啊……第七章 因子分析7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。

答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。

②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。

因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。

因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。

如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。

因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。

而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。

此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。

7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？ 答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。

目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。

具体来说，①因子分析可以用于分类。

如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。

即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。

对我们进一步研究与探讨指示方向。

在社会调查分析中十分常用。

③因子分析的另一个作用是用于时空分解。

如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。

7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。

答：对于因子模型1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++++ 1,2,,i p =因子载荷阵为11121212221212(,,,)m m m p p pm a a a a a a A A A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Ai X 与j F 的协方差为：1Cov(,)Cov(,)mi j ik k i j k X F a F F ε==+∑=1Cov(,)Cov(,)mikk j i j k aF F F ε=+∑=ij a若对i X 作标准化处理，=ij a ,因此 ij a 一方面表示i X 对j F 的依赖程度；另一方面也反映了变量iX 对公共因子jF 的相对重要性。

多元统计分析整理版.doc

多元统计分析整理版.doc

1、主成分分析的目的是什么？主成分分析是考虑各指标间的相互关系，利用降维的思想把多个指标转换成较少的几个相互独立的、能够解释原始变量绝大部分信息的综合指标，从而使进一步研究变得简单的一种统计方法。

它的目的是希望用较少的变量去解释原始资料的大部分变异，即数据压缩，数据的解释。

常被用来寻找判断事物或现象的综合指标，并对综合指标所包含的信息进行适当的解释。

2、主成分分析基本思想？主成分分析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标。

同时根据实际需要从中选取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来的指标的信息。

● 设p 个原始变量为 ，新的变量(即主成分)为 ，主成分和原始变量之间的关系表示为?3、在进行主成分分析时是否要对原来的p 个指标进行标准化？SPSS 软件是否能对数据自动进行标准化？标准化的目的是什么？需要进行标准化，因为因素之间的数值或者数量级存在较大差距，导致较小的数被淹没，导致主成分偏差较大，所以要进行数据标准化； 进行主成分分析时SPSS 可以自动进行标准化；标准化的目的是消除变量在水平和量纲上的差异造成的影响。

求解步骤⏹ 对原来的p 个指标进行标准化，以消除变量在水平和量纲上的影响 ⏹ 根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 ⏹ 求出协方差矩阵的特征根和特征向量⏹ 确定主成分，并对各主成分所包含的信息给予适当的解释版本二：根据我国31个省市自治区2006年的6项主要经济指标数据，表二至表五，是SPSS 的输出表，试解释从每张表可以得出哪些结论，进行主成分分析，找出主成分并进行适当的解释：（下面是SPSS 的输出结果，请根据结果写出结论） 表一：数据输入界面p 21p x x x ，，， 21p ，21p y y y ，，， 21表二：数据输出界面a）此表为相关系数矩阵，表示的是各个变量之间的相关关系，说明变量之间存在较强的相关系数，适合做主成分分析。

观察各相关系数，若相关矩阵中的大部分相关系数小于0.3，则不适合作因子分析。

应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第七章习题解答

应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第七章习题解答


7-4 设总体X＝(X1,…,Xp)′～Np(μ,Σ) (Σ＞0),等概率密度
椭球为
(X-μ)′Σ-1(X-μ)=C2(C为常数).
试问椭球的主轴方成分分析
7-5 设3维总体X的协差阵为
试求总体主成分.
4 0 0
0 4 0
0 0 2
解:总体主成分为
Zi Xi(i1,2,3)
1
1
(2) 求X
(3) 试问当ρ取多大时才能使第一主成分的贡献率达95%以上.
解:
5
第七章 主成分分析
6
第七章 主成分分析
7-3 设p维总体X的协差阵为
21
1
1
(01).
(1)
Z1 1p(X1X2Xp);
(2) 试求第一主成分的贡献率.
7
第七章 主成分分析
解:
1
8
第七章 主成分分析
2
12
13 14
12 2
14 13
13 14 2
12
14
13
12 2
,
其中 1 21 31,421 4 21.3
试求X的主成分.
12
第七章 主成分分析
解:
13
第七章 主成分分析
7-8
14
第七章 主成分分析
15
第七章 主成分分析
7-9
16
第七章 主成分分析
主成分向量为
Z ( X 1 ,X 2 ,X 3 ) 或 Z ( X 2 ,X 1 ,X 3 )
三个主成分的方差分别为4,4,2.
10
第七章 主成分分析
7-6
设3维总体X的协差阵为
2 2
2 2