最新人教版八年级上第十二章全等三角形导学案2013.9.9

新人教版八年级数学上册第十二章全等三角形导学案一、本章地位中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等．对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础．本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程．由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础．二、课程学习目标（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质．（2）经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实（“边边边”“边角边”和“角边角”）和定理（“角角边”），能判定两个三角形全等．（3）能利用三角形全等证明一些结论．（4）探索并证明角平分线的性质定理，能运用角的平分线的性质．三、本章知识结构图四、课时安排：共安排11课时（仅供参考）12．1 全等三角形 1课时12．2 三角形全等的判定6课时12．3 角的平分线的性质 2课时数学活动小结 2课时五、教学建议1．用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形，对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识，本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯穿全章的教学．2．让学生充分经历探究过程本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动，包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动．教学中可以让学生充分经历这个探究过程，在明确探究目标、形成探究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件．本章在编排中将画图与探究三角形的全等条件结合起来，既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等，又有用技术手段根据已知数据画三角形．教学中要充分利用探索画图方法的过程对形成结论的价值，让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等，在活动中发现结论．3．重视对学生推理论证能力的培养本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要内容，主要包括证明两个三角形全等，通过证明三角形全等从而证明两条线段或两个角相等．教学中要在学生已有推理论证经验的基础上，利用三角形全等的证明，进一步培养学生推理论证的能力．按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标，本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系，书写严谨的证明格式，对于以文字形式给出的几何命题，从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤．六、具体内容 12．1 全等三角形【教学重点】1．理解全等三角形的概念；2．能识别全等三角形中的对应边、对应角； 3．初步掌握并能运用全等三角形的性质． 【教学难点】在全等三角形中正确地找出对应边、对应角． 第一课时：全等三角形 【参考例题】1．下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角．2．如图1，△ADC ≌△AEB ， 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小．3．如图2，△EFG ≌△NMH ，∠F 和∠M 是对应角，在△EFG 中，FG 是最长边，在△NMH 中，MH 是最长边，EF =2.1㎝，EH =1.1㎝，HN =3.3㎝．求线段MN 及线段HG 的长度．4．如图3，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35度，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ，已知 ∠A ′DC =90°，则∠A = ．o OB ACD AB C D AB CDCA B DC A BD O A BC D C BDDA B C D C A B D B C AD FE AB CD E图1 图2图3N B C A D M D F EA B C 练习:1．全等用符号 表示，读作： ．2．若△ABC ≌△DEF ，则∠B = ，∠BAC = ，BC = ， AC = ． 3．判断题1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（ ） 2）全等三角形的周长相等．（ ） 3）全等三角形的面积不相等．（ ） 4．找一找① 若△AOC ≌△BOD ，AC =_______ ∠A ＝______ ② ②若△ABD ≌△ACE ，BD ＝ ∠BDA ＝③若△ABC ≌△CDA ，AB = ∠BAC ＝_____ 5．拼一拼请你利用两个全等三角形画出有公共顶点或公共边或公共角的图形． 有公共边： 有公共点： 6．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO ≌△NMO ，则只需测出其长度的线段是A ．POB ．PQC ．MOD ．MQ7．如图，长方形ABCD 沿AM 折叠，使D 点落在BC 上的N 点处，AD =7cm ，DM =5cm ，∠DAM =39°，则△ABC ≌△ EFD AN =___cm ， NM =___cm ， ∠NAB =___． 8．△ABC ≌△FED（1）写出图中相等的线段，相等的角；（2）图中线段除相等外，还有什么关系吗．CA DBO B AC D E AD BCB HAD CA DBC12．2 三角形全等的判定 【教学重点】1．探索判定三角形全等的条件； 2．利用三角形全等进行简单的证明． 【教学难点】利用三角形全等的判定方法进行推理论证． 第二课时：三角形全等的判定SSS (一) 【参考例题】1．如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，BH ＝CH ，图中有几组全等的三角形．它们全等的条件是什么．2．如图，已知AB =CD ，BC =DA ．你能说明△ABC 与△CDA 全等吗．你能说明AB ∥CD ，AD ∥BC 吗．为什么．练习：1．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ．求证：∠B =∠D ． 2．如图，已知点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AB =DE ，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是A .∠BCA =∠F B. AD =CF C.BC ∥EF D. ∠A =∠EDF3．如图，等腰梯形ABCD 中，点M 是AD 的中点，且MB =MC ，若AD =4，AB =6，BC =8，则梯形ABCD 的周长为A ．22B ．24C ．26D ．28 4. （202X 广西玉林）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论： ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）ABCDEFDFOE 第三课时：三角形全等的判定SAS (二) 【课堂练习】练习一 ：在下列图中找出全等三角形，并把它们用线连起来．【例题】1．如图，AC =BD ，∠CAB = ∠DBA ，你能判断∠C =∠D 吗．说明理由． 2．如图，有—池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么．练习：1．如图CE =CB ，CD =CA ，∠DCA =∠ECB ，求证：DE =AB ．2．如图，AB =AE ，AD =AC ，∠BAD =∠EAC ，BC 、 DE 交于点O ． 求证：∠ABC =∠AED ．Ⅰر30º8 cm9 cmⅥ30º8 cm8 cmⅣ Ⅳ8cm5 cmⅡ30ºر8cm5 cmⅤ3xm8 cmⅧ8 cm5 cmر30º8cm9 cmⅦⅢر30º8cm8cmⅢ OEDCBAA BCD3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．求证：（1）△ABD ≌△ACD ，（2）BE =CE4．小明用六根竹签做了一个如图所示的风筝，其中ED =FD ，HE =HF ．小明不测量就能知道EO =FO ．你知道小明是怎样想的．5. (202X 杭州)如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD 平分∠BAC ，点M 、N 分别在AB 、AC 边上，AM =2MB ，AN =2NC ，求证：DM =DN6.（202X 燕山毕业）如图，点E ，F 在线段AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ． 求证：BE ＝DF ．7. （202X 丰台一模）已知：如图，点B ，F ，C ，E 在 一条直线上，BF ＝CE ，AC ＝DF ，且AC ∥DF . 求证：∠B =∠E .8. （202X 平谷一模）如图，AB =AD ，AC =AE ，∠CAD =∠EAB ．求证：BC =DE ．C BN M AA B C D E F F D E CB AMDECBA第四课时：三角形全等的判定ASA ，AAS (三) 【参考例题】 1．已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB =AC ，∠B =∠C ， 求证：BD =CE ． 2．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =2cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC =BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF =5cm ，则AE = cm ．3．如图，点A 、B 、D 、E 在同一直线上，AD =EB ，BC ∥DF ，∠C =∠F ，求证：AC =EF ．练习：1．如图，在△AEC 和△DFB 中，∠E =∠F ，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，有如下三个关系式：①AE ∥DF ，②AB =CD ，③CE =BF ．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，，那么”） ，（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．2．如图，在△ABC 中，o90C ∠=，点D 是AB 边上一点，DM AB ⊥且DM AC =，过点M 作ME ⊥BC ，交AB 于点E ．求证：△ABC ≌△MED ．3. （202X 永州）如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE =CD ，AB =5，AE =2，则CE = ．4. （202X 通辽）如图，四边形ABCD 中，E 点在AD 上，其中∠BAE =∠BCE =∠ACD =90°，且BC =CE ，求证：△ABC 与△DEC 全等．DB E AOCFDCBAE5.（202X 海淀一模）如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ． 求证： BE=CD ．6. （202X 门头沟一模）如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A =∠F ，AB =FD ．求证：AE =FC ．7. 如图，点O 是直线l 上一点，点A 、B 位于直线l 的两侧，且∠AOB =90°，OA =OB ，分别过A 、B 两点作AC ⊥l ，交直线l 于点C ，BD ⊥l ，交直线l 于点D ．求证：AC =OD ．8. （202X 西城一模）如图，∠C =∠E ，∠EAC =∠DAB ，AB=AD ．求证：BC=DE ．9. （202X 昌平二模）如图，AB AD ⊥，AE AC ⊥，E C ∠=∠，DE BC =． 求证：AD AB =10. （202X 海淀二模）如图，已知∠BAC =∠BCA ，∠BAE =∠BCD =90°， BE=BD ．求证：∠E =∠D ．11. （202X 朝阳二模）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D . 求证：BE=CD ．EA DFB C E D C B ADA C.,,AD BC BD AC AD BD BC AC ==⊥⊥求证：如图，例第五课时 ： 全等三角形的判定（四） HL 【参考例题】练习：1.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗．请说明你的理由． 2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水 平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系．3．求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等． 4．如图6，A ，F 和B 三点在一条直线上，CF ⊥AB 于 F ， AF ＝FH ， CF ＝FB ．求证： BE ⊥AC ． 第六课时：全等三角形的习题课 【复习小结】全等的常见图形判定两个三角形全等的方法有：______________________________________________.A CAD E D ABEFAC BDEA B OD CABODCAE FCDABED C BACD O F BCADB DCAEBAEDBEACD【练习】1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，求AE．3．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．4.如图，点B在射线AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE．求证：AC=AD．5．如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．6.（202X宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．3 角的平分线的性质（一）【教学重点】1．探索并证明角的平分线的性质定理及其逆定理；2．能用角的平分线的性质解决简单问题．【教学难点】利用角的平分线的性质定理解题． 【参考例题】1．如图1，AB =AC ，BD =CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：DE =DF ．2．如图2，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE =BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等． 求证：AD 平分∠BAC ． 练习：1．已知△ABC 中，∠A =80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC = ．2．如图，已知相交直线AB 和CD ，及另一直线EF ．如果要在EF 上找出与AB 、CD 距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个．3.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm ,则△DEB 的周长为 A .9 cmB .5 cmC .6 cmD .不能确定4.如图，AB //CD ，CE 平分∠ACD ，若∠1=250，那么∠2的度数 是 . 5．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥， 垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是E F B C A D 图1AB C D FE 图2APA ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP6. （202X •永州）如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，BA 和CD 的延长线交于点E ，若点P 使得S △P AB =S △PCD ，则满足此条件的点P （ ） A ．有且只有1个 B ．有且只有2个 C ．组成∠E 的角平分线D ．组成∠E 的角平分线所在的直线（E 点除外） 角平分线的性质（二）【复习】1．如图所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．2．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 ． 3．如图，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 ． 4.AD 是△BAC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下列结论中错误的是 A ．DE =DF B ．AE =AF C ．BD =CD D ．∠ADE =∠ADF5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC3题图 DCBA于E ，且OE =2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 ． 6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点【例题】1．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和△DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC +BD •相等吗．请说明理由．2．在△ABC 中，∠B =60°，∠A ，∠C 的角平分线AE ，CF 相交于点O ， （1）如图1，若AB =BC ，求证：OE =OF ；（2）如图2，若AB ≠BC ，试判断线段OE 与OF 是否相等，并说明理由练习：1.如图，已知BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB ＝DC ，∠BAC ＝40o，∠ADG ＝130o，则∠DGF ＝_________(1题图) （2题图） （3题图） 2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90o，AM 是∠CAB 的平分线，CM ＝20cm ，那么M 到AB 的距离为 ．3.如图，∠B ＝∠C ＝90o，M 是BC 上一点，且∠AMD ＝90o，DM 平分∠ADC ， 求证：AM 平分∠DAB ．DCABEABCD EFGM CB AMD CBAEDFCBAFED CBAABCDEONMP CBA DCBA4.如图，BD ＝CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ．求证：D 在∠BAC 的角平分线上．（4题图） （5题图） （6题图） 5.已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o，AC ＝BC ，AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB 垂足为E ，求证△DBE 的周长等于AB ．6.如图，已知P A ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且P A ＝PB ．∠MON ＝50o，∠OPC ＝30o，求∠PCA的大小．专题练习1：常见辅助线 1.倍长中线法【例1】如图，△ABC 中，AD 为中线．(1)求证：AB +AC >2AD ；(2)若AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是_________________． 【例2】如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点．试比较BE +CF 与EF 的大小．练习：1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB =AE ， AC =AF ，∠BAE =∠F AC =90°.试探究线段AD 与EF 数量和位置关系.提示：F2．如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ， 提示：交AD 于F ，且AE =EF ．求证：AC =BF2. 截长补短法【例1】如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠ABC ，CD 过点E ．求证：AB ＝AD +BC ．【例2】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 180A C ︒∠+∠=．练习：1. 已知: 如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 为△ABC 外一点， ∠ABD = 60︒，∠ADB = 90︒ -12∠BDC . 求证: AB = BD + DC提示：ABCDEFGAB CE FDDEOEDCBA3.借助角平分线造全等【例1】如图，已知在△ABC 中，∠B =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 相交于点O ，求证：OE =OD【例2】如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .（1） 说明BE =CF 的理由；（2）如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长. 练习：1.已知△ABC 中，∠B =2∠A ，AB =2BC求证：△ABC 是直角三角形.提示：4.三垂直问题 基本图形：E DGFCBAA B CB 【例1】如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F ， 求证：△ABE ≌△CBF练习：如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论. 5.共顶点的两个特殊的图形（手拉手） 基本图形【例1】 已知：如图，ABC ∆中，AB =BC ，90ABC ∠=︒，点D 在 AC 上，90DBE ∠=︒ ，BE =BD .求证：CD =AE .【例2】 如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC ．求证：（1）EC =BF ，（2）EC ⊥BF练习：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．A C ED B ∠1=∠2⇒∠AOC=∠BODA EB M CFAB C D E 21ODCBA七、与中考链接 （一） 基础题1．(06北京) 已知：如图，AB ∥ED ，点F 、点C 在AD 上，AB =DE ，AF =DC ． 求证：BC =EF ．2. (07北京)已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC OB OD ==，．求证：AB CD =．3．(08北京) 已知：如图，C 为BE 上一点， 点A 、D 分别在BE 两侧，AB ∥ED ，AB =CE ，BC =ED ． 求证：AC =CD ．4．(09北京) 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC上，CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB =FC ．5．(10北京) 已知：如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，EA AD ⊥，FD AD ⊥，AE DF =，AB DC =．求证：ACE DBF ∠=∠．6．(11北京) 已知：如图，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，BE //DF ，A F ∠=∠，AB FD =．求证：AE FC =．7． (12北京) 已知：如图，点E ，A ，C 在同一直线上，AB // CD ，AB CE =，AC CD =．BC F EDAEB ACO D P求证：BC ED =．8． (13北京) 已知：如图，D 是AC 上一点，AB =DA ，DE ∥ AB ，B DAE ∠=∠．求证：BC =AE ．9． (14北京) 已知：如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =．求证：A E ∠=∠．10.（15北京）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，BE AC ⊥于点E .求证：CBE BAD ∠=∠.AB C D E。

第 1 页第十二章《全等三角形》复习导学案学习目标：（1）回顾全等三角形的概念、性质、判定方法，利用全等三角形的性质和判定进行计算和证算。

（2）让学生经历观察、猜想、证明、归纳的过程，发展学生合情合理的推理能力，渗透转化的数学思想。

（3）引导学生共同参与，激发数学求知欲，并养成良好的数学学习惯。

学习重难点：重点：利用全等三角形的性质和判定进行计算和证明。

难点：全等三角形的构造与证明。

一、构建全等三角形知识结构图二、自主学习重难点一 全等三角形的对应关系例1 如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，请指出这两个三角形中相等的边和角． 跟踪训练1.如同△ABC ≌△CDA,且AB=CD,则下列结论错误的是（ ） A.AC 和CA 是对应边 B.∠B 和∠D 是对应角 C.DA 和BC 是对应边 D.∠DAC=∠BAC重难点二 全等三角形的性质例2 已知△ABC ≌△A ’B ’C ’,且△ABC 的周长为20。

AB=8,BC=5,则A ’C ’等于 分析：根据全等三角形对应边相等可以得到全等三角形的周长相等。

跟踪训练重难点三 三角形全等的判定 重难点四 角平分线的性质 重难点五 文字命题的证明步骤：1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

三、合作研讨3、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN于M ，BN ⊥MN 于N 。

求证：MN=AM+BN 。

4、如图，△AEC 和△DFB 中，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，有如下四个关系式： ①AE∥DF， ②AB=CD， ③CE=BF ④∠E=∠F，。

（1）请用其中三个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，，，那么”）；（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。

新人教版八年级上册数学第十二章《全等三角形》导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．【重点难点】1、找全等三角形的对应边、对应角．2、全等三角形的性质．知识概览图新课导引如右图所示，把△ABC 绕点A 旋转一定角度，得到△ADE ．【问题探究】这个图形中有哪些线段相等?哪些角相等?为什么? 【解析】相等的线段：AB 和AD ，AC 和AE ，BC 和DE ，相等的角：∠B 和∠D ，∠C 和∠E ．∠BAC 和∠DAE ，∠DAB 和∠EAC ．教材精华知识点１全等三角形的有关概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC ≌△A ′B ′C ′．当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形对应边相等 对应角相等 全等三角形性质规律方法小结在全等三角形中找出对应角和对应边，关键是先找出对应顶点，然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角．全等三角形的面积一定相等，但是面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．√常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型．(1)平移型：如图11-2和11-3所示，△ABC向右平移，得到△DEF，则△ABC≌△DEF．(2)旋转型：如图11-4所示的两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图11-4(1)的旋转中心为点A，有公共部分∠1；图11-4(2)的旋转中心为点O，有一对对顶角∠1和∠2．(3)翻折型：如图11-5所示，两对三角形的全等属于翻折型，其中图11-5(1)中有公共边AB，图11-5(2)中有公共角∠A．知识点2全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．拓展(1)全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依据．(2)全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的平分线也相等．(3)全等三角形的周长和面积相等．规律方法小结在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；(4)全等三角形中一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角)．课堂检测基本概念题1、如图11-6所示的两个三角形全等．(1)若按对应顶点写在对应位置上，应写为△ABC≌；(2)找出对应边和对应角：AB＝，BC＝，CA＝，∠ABC＝，∠ACB＝，∠BAC＝．基础知识应用题2、如图11-9所示，已知△ABD≌△ACE．试说明BE＝CD，∠DCO＝∠EBO．综合应用题3、如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为( )A．15°B．20°C．25°D．30°4、如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上．判断AD与BC的位置关系，并加以说明．探索创新题5、如图所示，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得到△AEF．(1)△ABC与△AEF的关系如何?(2)求∠EAB的度数；(3)△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时，旋转后的△AEF的顶点F和△ABC的顶点C和A 在同一条直线上?体验中考1、如图11-18所示，AC，BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图11-19所示，△ACB≌△A′C′B′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )A．20°B．30°C．35°D．40°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查三角形全等的符号表示，以及全等三角形中的对应边、对应角．答案：(1)△CDA(2)CD DA AC∠CDA∠CAD∠DCA【解题策略】(1)对于全等三角形的书写，要注意通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，再根据顶点的对应关系写对应边或对应角．(2)表示角时一般用三个大写字母．2、分析本题主要考查全等三角形的性质及应用．解：∵△ABD≌△ACE(已知)．∴AD＝AE，AB＝AC，∠D＝∠E(全等三角形的性质)．∵AD-AC＝AE-AB(等式的性质)，即DC＝BE.又∵∠DCO＝∠A＋∠E，∠EBO＝∠A＋∠D(三角形的外角的性质)，∴∠DCO＝∠EBO．规律·方法全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等；(3)全等三角形的周长相等；(4)全等三角形的面积相等；(5)全等三角形中，对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线也分别相等．3、分析本题主要考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠C，∠A＝∠BED＝∠DEC．又∵∠BED＋∠DEC＝180°，∴∠BED＝∠DEC＝90°，∴∠A＝90°．在△ABC中，∠ABD＋∠DBE＋∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°．故选D．4、分析本题主要考查全等三角形的性质与平行线的综合应用．由图形可以初步判断AD和BC的位置关系是平行，欲说明AD∥BC，需说明∠3＝∠4，要说明∠3＝∠4，需要利用三角形外角的性质．解：AD与BC的位置关系是AD∥BC．理由如下：∵△ADF≌△CBE(已知)，∴∠1＝∠2，∠F＝∠E．又∵点E，B，D，F在一条直线上，∴∠3＝∠1＋∠F，∠4＝∠2＋∠E(三角形的外角的性质)，∴∠3＝∠4(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．5、分析本题主要考查全等三角形的定义及灵活应用．解：(1)∵△AEF是由△ABC绕其顶点A旋转形成的，∴△ABC≌△AEF(全等三角形的定义)．(2)∵△ABC≌△AEF(已证)，∴∠BAC＝∠EAF(全等三角形的性质)．∴∠BAC－∠BAF＝∠EAF－∠BAF(等式的性质)，即∠FAC＝∠EAB．又∵∠FAC＝30°(已知)，∴∠EAB＝30°(等量代换)．(3)当△AEF的顶点F和△ABC的顶点A和C在同一条直线上时，△ABC应绕其顶点A顺时针旋转180°．体验中考1、分析本题考查全等三角形的概念．与△ABC全等的三角形共有4个，分别为△CDA，△DCB，△DCE，△BAD．故选D．2、分析本题考查全等三角形的性质．由△ACB≌△A′CB′，得∠BCA＝∠B′CA′，∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°．故选B12.2全等三角形的判定学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握两个三角形全等的判定方法SAS.2、掌握尺规作图：已知两边及夹角作三角形.3、掌握用SAS 的判定证明两个三角形全等，掌握证明三角形全等的书写格式.4、通过探索三角形全等的判定过程，体会探索研究问题的方法，培养分类讨论的数学思想.【重点难点】1、探索两个三角形全等的判定方法SAS ；2、用SAS 的方法证明两个三角形全等，进而证明角相等、线段相等与平行及证明三角形全等时的书写格式.知识概览图 新课导引由全等三角形的性质可知：当两个三角形全等时，它们的三组对应边、三组对应角分别相等. 那么，如果两个三角形△ABC 和△A ’B ’C ’满足三条边对应相等，三个角对应相等，即：AB=A ’B ’，AC=A ’C ’，BC=B ’C ’，∠A=∠A ’，∠B=∠B ’，∠C=∠C ’这六个条件，能保证这两个三角形全等吗？（能）提问：两个三角形全等，是否一定需要六个条件？如果只满足上述六个条件的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？（学生讨论各种情况，并加以总结） 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形对应边相等 对应角相等 全等三角形性质A A'1、满足一个条件⎩⎨⎧一角对应相等一边对应相等)2()1(2、满足两个条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等)3()2()1(3、满足三个条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等三边对应相等)4()3()2()1( 列出一种情况，就通过画图讨论是否成立.教材精华知识点１全等三角形的判定1——SSS判定1：三边对应相等的两个三角形全等（简写：SSS ）.注意：1. 证明三角形全等的书写格式. 2. 两个三角形的对应顶点应写在对应位置上.知识点2全等三角形的判定2——SAS判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写：SAS ）.② 反例：知识点3全等三角形的判定3——ASA判定3：两角和它们的公共边对应相等的两个三角形全等（简写：ASA ）.AC D E注：在一个图形中，有多个垂直关系时，常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等，或用“等量代换”证明垂直关系.说明：（1）连结公共边是一种常用的辅助线；（2）原则是尽量不拆分待证元素．知识点4全等三角形的判定4——AAS知识点5全等三角形的判定5——HL判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写：HL）[强调] 1. HL只对直角三角形适用.2. 判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.首选HL，再选其它方法.课堂检测基本概念题1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（3）若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） （4）若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）基础知识应用题例1、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架. 求证：△ABD ≌△ACD证明：∵D 是BC 中点（已知） …… (1)准备条件 ∴BD=CD （中点定义）在△ABD 和△ACD 中， …… (2)指明范围⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已证）（已知）AD AD CD BD AC AB …… (3)列齐条件∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）…… (4)得出结论提问：此题还能得到哪些结论？① 三组角对应相等；② AD 平分∠BAC ；③ AD ⊥BC. 注意：1. 证明三角形全等的书写格式. 2. 两个三角形的对应顶点应写在对应位置上. 例2、如图，AC=EF ，BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB. 求证：∠C=∠E证明：∵AD=FB （已知） …… (1)准备条件 ∴AD+DB=FB+DB 即AB=FD在△ABC 和△FDE 中， …… (2)指明范围⎪⎩⎪⎨⎧===（已证）（已知）（已知）FD AB DE BC EF AC …… (3)列齐条件ABFECD ACD∴△ABC ≌△FDE （SSS ） …… (4)得出结论 ∴∠C=∠E （全等三角形的对应角相等）提问：此题还能得到哪些结论？① 另两组角对应相等；② AC ∥EF ；③BC ∥DE.小结：证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决.例2、如图，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2. 求证：∠B=∠C分析：先看∠B 、∠C 分别在哪两个三角形中，再证那两个三角形全等.证明：方法1、（证△ABE ≌△ACD ，过程略） 方法2、（证△ABD ≌△ACE ） ∵D 、E 在BC 上∴∠1+∠3=180º，∠2+∠4=180º（邻补角定义） ∵∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等） 在△ABD 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（已知）（已证）（已知）CE BD 43AE AD ∴△ABD ≌△ACE(SAS)∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）提问：此题还能得到哪些结论？①AB=AC ；②∠BAD=∠CAE ；③∠BAE=∠CAD.例1、如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD. 求证：BC=AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD （已知）∴∠C=∠D=90º（垂直定义） 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，3421BADEADC⎩⎨⎧==（已知）（公共边）BD AC BA AB∴ Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ） ∴ BC=AD （全等三角形的对应边相等）例2、已知：如图，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠ACB=∠A ’C ’B ’，CD 和C ’D ’都是高，且AC=A ’C ’，CD=C ’D ’. 求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’ 证明：∵CD 和C ’D ’是高 ∴∠ADC=∠A ’D ’C ’=90º 在Rt △ADC 和Rt △A ’D ’C ’中⎩⎨⎧==（已知）（已知）'D'C CD 'C 'A AC∴ Rt △ADC ≌Rt △A ’D ’C ’（HL ） ∴∠A=∠A ’ 在△ABC 和△A ’B ’C ’中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠'A A 'C 'A AC 'B 'C 'A ACB∴△ABC ≌△A ’B ’C ’ （ASA ）综合应用题1、已知：如图，AD ＝BE ，AC ＝BC ，CD ＝CE. 求证：△AEC ≌△BDC证明：AD BE = AD DE BE DE ∴+=+ 即AE BD =在AEC ∆和BDC ∆中AE BD AC BC CE CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩ AEC BDC ∴∆≅∆ （SSS ） *还能得到什么结论（相等关系）？ 2、已知：如图，AB=DC ，AD=BC. 求证：(1)∠A=∠C ；CABABCDA'B'C'D'D CB A(2) AB ∥CD ，AD ∥BC .分析：连BD （或AC ）证三角形全等即可，只需证明ABD CDB ∆≅∆ （SSS ） 即可得A C ∠=∠（全等三角形对应角相等）说明：（1）连结公共边是一种常用的辅助线；（2）原则是尽量不拆分待证元素．例1、如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA. 连接BC 并延长到E ，使CE=CB. 连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离. 为什么？分析：要证AB=DE ，只需证△ABC ≌△DEC. 在△ABC 和△DEC 中，已知CA=CD ，CB=CE ，又隐含了∠1=∠2，故全等条件具备，可证. 证明：在△ABC 和△DEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（已知）（对顶角相等）（已知）CE CB 21CD CA ∴ △ABC ≌△DEC （SAS ）∴ AB=DE （全等三角形的对应边相等）提问：此题还能得到哪些结论？①另两组角对应相等；②AB ∥DE.小结：1、SAS ——两边及夹角对应相等. 大括号中的条件应按SAS 的顺序书写.2、证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决.3、在实际生活中，常利用三角形全等原理，把不能直接度量的物体“移到”可以直接度量的位置上来度量.例2、如图，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2. 求证：∠B=∠C分析：先看∠B 、∠C 分别在哪两个三角形中，再证那两个三角形全等.证明：方法1、（证△ABE ≌△ACD ，过程略） 方法2、（证△ABD ≌△ACE ）BA21C3421ACDE∵D 、E 在BC 上∴∠1+∠3=180º，∠2+∠4=180º（邻补角定义） ∵∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等） 在△ABD 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（已知）（已证）（已知）CE BD 43AE AD ∴△ABD ≌△ACE(SAS)∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）提问：此题还能得到哪些结论？①AB=AC ；②∠BAD=∠CAE ；③∠BAE=∠CAD.如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答： 理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义） 在Rt △ 和Rt △ 中⎩⎨⎧==_______________________________ ∴ ≌ （ ）[中@#国教育出~&版*网] ∴∠ = ∠ （ ） ∴ （内错角相等，两直线平行）例3、如图，线段AC 、BD 交于点O ，AB=CD ，BF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，AE=CF.求证：BO=OD 证明：（以图1为例）∵BF ⊥AC ，DE ⊥AC （已知）∴∠1=∠2=90º（垂直定义）AFBE CO 4321∵AE=CF （已知） ∴AE+EF=CF+EF 即AF=CE在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧==（已证）（已知）CE AF CD AB∴ Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） ∴ BF=DE （全等三角形的对应边相等）在△BFO 和△DEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠（已证）（对顶角相等）（已证）DE BF 4321 ∴ △BFO ≌△DEO （AAS ） ∴ BO=DO （全等三角形的对应边相等）例1、如图，DC=EA ，EC=BA ，DC ⊥AC ，BA ⊥AC ，垂足分别是C 、A. 求证：BE ⊥DE.证明：∵DC ⊥AC ，BA ⊥AC （已知）∴∠A=∠C=90º（垂直定义） 在△AEB 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（已知）（已证）（已知）DC EA C A EC BA ∴△AEB ≌△CDE(SAS)∴∠B=∠2（全等三角形的对应角相等） ∵∠A =90º ∴∠B+∠1=90º ∵∠B=∠2（已证） ∴∠1+∠2=90º（等量代换） ∵∠AEC=180º ∴∠BED=90º∴BE ⊥DE （垂直定义）例2、如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90º，AN 是过A 的任一条直线，BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E. 求证：DE=BD -CE. 证明：∵BD ⊥ANAFBECDO 653421图1图2AD32AEDBC21∴∠ADB =90º（垂直定义） ∴∠1+∠2=90º ∵∠BAC=90º∴∠2+∠3=90º∴∠1=∠3（同角的余角相等） ∵BD ⊥AN ，CE ⊥AN∴∠ADB=∠CEA=90º（垂直定义） 在△ABD 和△CAE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠（已知）（已证）（已证）C A B A EA C DB A 31 ∴△ABD ≌△CAE (AAS)∴AE=BD ，CE=AD （全等三角形的对应边相等）∵DE=AE -AD∴DE=BD -CE （等量代换）注：在一个图形中，有多个垂直关系时，常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等，或用“等量代换”证明垂直关系.例3、如图，两条直线AC 、BD 相交于O ，AB ∥CD ，AB=CD ，直线EF 过点O 且分别交BC 、AD 于点E 、F. 求证：OE=OF 证明：∵AB ∥CD （已知）∴∠B=∠D （两直线平行，内错角相等） 在△ABO 和△CDO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠（已知）（对顶角相等）（已证）CD AB COD AOB D B∴ △ABO ≌△CDO （AAS ）∴ BO=DO （全等三角形的对应边相等） 在△EBO 和△FDO 中，EBD AFOC21⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠（对顶角相等）（已证）（已证）21DO BO D B∴△EBO ≌△FDO （ASA ）∴OE=OF （全等三角形的对应边相等）例4、如图，AB=CD ，AD=BC ，DE=BF. 求证：BE=DF 分析：可连接公共边构造全等. 证明：连接DB在△ABD 和△CDB 中⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已知）（已知）BD DB CD AB CB AD∴△ABD ≌△CDB （SSS ）∴∠ADB=∠CBD （全等三角形的对应角相等） ∵∠ADB+∠EDB=180°，∠CBD+∠FBD=180° ∴∠EDB=∠FBD （等角的补角相等） 在△EDB 和△FBD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已证）（已知）BD DB FBD EDB BF DE∴△EDB ≌△FBD （SAS ）∴BE=DF （全等三角形的对应边相等）注：连接公共边构造全等是一种常用的添加辅助线的方法.探索创新题2、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2.A B21CBADEF求证：△ABD ≌△ACE（本题主要是让学生能结合图形挖掘“公共角”的隐含条件，为证明全等提供依据）3、已知：如图，AD 为ABC ∆的中线．求证：2AB AC AD +>． 证明：延长AD 至E ，使DE AD =． 则有ADC EDB ∆≅∆ （SAS ） BE AC ∴=在ABE ∆中，AB BE AE +>，即2AB AC AD +>例2、求证：两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.（P27 12）已知：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，AB=A ’B ’，BC=B ’C ’，AD 、A ’D ’分别是BC 、B ’C ’边上的中线，AD=A ’D ’.求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’证明：∵AD 、A ’D ’分别是BC 、B ’C ’边上的中线∴BD=21BC ，B ’D ’=21B ’C ’∵BC=B ’C ’ ∴BD=B ’D ’在△ABD 和△A ’B ’D ’中⎪⎩⎪⎨⎧===（已知）（已证）（已知）'D 'A AD 'D 'B BD 'B 'A AB ∴△ABD ≌△A ’B ’D ’（SSS ）∴∠B=∠B ’（全等三角形的对应角相等） 在△ABC 和△A ’B ’C ’中ADC BEABCDA'B'C'D'⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（已知）（已证）（已知）'C 'B BC 'B B 'B 'A AB ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（SAS ） 小结：证明几何命题的的一般步骤：（P21）①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并结合图形，用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程.例3、已知如图，ΔABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF ，试判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.分析：有中点，就有等长的线段， 故可通过旋转180°构造全等.结论：BE ＋CF>EF证明：延长FD 至点G ，使DG=DF ，连接EG 、BG. ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△BGD 和△CFD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF DG CDF BDG CD BD ∴△BGD ≌△CFD (SAS) ∴BG=CF∵DE ⊥DF ∴∠EDG=∠EDF=90° 在△EDG 和△EDF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF DG EDF EDG EDED∴△EDG ≌△EDF ∴EG=EFFDAC EHF D ABCE∵在△EBG中，BE＋BG>EG ∴BE＋CF>EF 注：有中点、中线时，可通过旋转180°构造全等体验中考学后反思12.3等腰三角形学习目标、重点、难点【学习目标】1、等腰三角形的定义、性质和判定；2、等边三角形的定义、性质和判定；3、直角三角形的性质； 【重点难点】1、等腰三角形的定义、性质和判定；2、等边三角形的定义、性质和判定；3、直角三角形的性质；知识概览图新课导引如右图所示，在海上A ，B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A ＝∠B ，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?【问题探究】 若想判断能否同时到达出事地点，就是要判断OA 与OB 是否相等，如何判断OA 与OB 的大小呢?【解析】 如右图所示，过点O 作OC ⊥AB ，C 为垂足，则在△AOC 与△BOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,OC OC BCO ACO B A 故△AOC ≌△BOC (AAS)，故AD ＝BO ．定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 (1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)等边三角形直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° (1)三个角都相等的三角形是等边三角形 (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形等腰三角形性质判定教材精华知识点1等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．知识点2等腰三角形的性质性质1：等腰三角形是轴对称图形．性质2：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．性质3：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称等腰三角形“三线合一”)．拓展(1)当等腰三角形的顶角为90°时，则此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．(2)利用等腰三角形的性质2，可以证明两个角相等．(3)利用等腰三角形“三线合一”可以证明线段相等、垂直或角相等．(4)另外，等腰三角形还有以下性质：①等腰三角形两腰上的中线、高线相等．②等腰三角形两底角的平分线相等．③等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．知识点3 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．拓展(1)等腰三角形的判定有以下几种方法：①定义．②判定定理．③垂直平分线的性质．(2)“等边对等角”是等腰三角形的性质，先有边相等，进而得出角相等．“等角对等边”是判定三角形为等腰三角形的依据，先有角相等，进而得出边相等，即为等腰三角形．“等边对等角”或“等角对等边”只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不成立．(3)等腰三角形的底角只能是锐角，顶角可以是锐角、直角或钝角．(4)由三角形两边之和大于第三边可知等腰三角形的腰长大于底边的一半．知识点4 等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．性质：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定：(1)三边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形．(4)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．拓展等边三角形的判定条件不相同，选择的方法也不相同．四种方法要灵活选用．知识点5 含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．拓展此性质的大前提是“在直角三角形中”，如果没有这个条件，即使有30°角，结论也不成立．课堂检测基础知识应用题1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°B．120°C．20°或120°D．36°2、已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝．综合应用题3、如图12－74所示．在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线．点P 是线段CH上不与端点重合的任意一点．连接AP交BC于点E，连接BP交AC 于点F．(1)求证∠CAE＝∠CBF；(2)求证AE＝BF；(3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G)．记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC 和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC＝S△ABG，求∠ACB的取值范围．探索创新题4、如图12－78所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD＝BC，AE＝AC．判断∠DCE的大小是否与∠A有关．如果有关，说明理由；如果无关，求∠DCE的度数．体验中考1、如图所示，△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是( )A．0＜x＜3 B．x＞3C．3＜x＜6 D．x＞62、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( )A ．两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C ．有两个锐角的和等于90°D ．内角和等于180°3、如图所示，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，在BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝CD ．求证BD ＝DE ．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 此题应分两种情况：当顶角与底角度数之比为1∶4时，三个角的度数之比为1∶4∶4，因此三个内角分别为180°×91＝20°，180°×94＝80°，180°×94＝80°．当顶角与底角度数之比为4∶1时，同理可求得三个内角度数分别为120°，30°，30°．因此这个等腰三角形的顶角为120°或20°．故选C ．本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，也可用排除法，因为有两种情况，所以可直接选C ．2、分析 本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的综合应用．因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ＝60°，因为∠A ＝180°－∠B －∠C ，所以∠A ＝180°－60°－60°＝60°．故填60°．3、分析本题考查了等腰三角形与全等三角形的综合应用．第(3)问应注意进行分类讨论． 证明：(1)∵△ABC 是等腰三角形，CH 是底边上的高线， ∴AC ＝BC ，∠ACP ＝∠BCP ．又∵CP ＝CP ，∴△ACP ≌△BCP ， ∴∠CAP ＝∠CBP ，即∠CAE ＝∠CBF ．(2)∵∠ACE ＝∠BCF ，∠CAE ＝∠CBF ，AC ＝BC ， ∴△ACE ≌△BCF ，∴AE ＝BF ．解：(3)由(2)知△ABG 是以AB 为底边的等腰三角形， ∴S △ABC ＝S △ABG 等价于AE ＝AC ．①当∠ACB 为直角或钝角时，在△ACE 中，不论点P 在CH 何处，均有AE ＞AC ，∴结论不成立．②当∠ACB 为锐角时，∠BAC ＝90°－21∠ACB ，而∠CAE ＜∠BAC ， 要使AE ＝AC ，只需使∠ACB ＝∠CEA ， 此时，∠CAE ＝180°－2∠ACB ， 只需180°－2∠ACB ＜90°－21∠ACB ， 解得60°＜∠ACB ＜90°．4、分析 本题主要考查利用等腰三角形的性质探索问题的能力． 解：∠DCE 的大小与∠A 无关，∠DCE ＝45°．理由如下： ∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ． ∴∠BDC ＝21 (180°－∠B )＝90°－21∠B ． 又∵AE ＝AC ，∴∠AEC ＝∠ACE ．∴∠AEC ＝21 (180°－∠A )＝90°－21∠A ． ∴∠AEC ＋∠BDC ＝(90°－21∠A )＋(90°－21∠B )＝180°－21(∠A ＋∠B )． 又∵∠ACB ＝90°，∴∠BDC ＋∠AEC ＝180°－21×90°＝135°． ∴∠DCE ＝45°．体验中考1、分析 本题考查等腰三角形中三边之间的关系，由底边BC ＝6，两腰长为x 可知2x ＞6，所以x ＞3．故选B ．2、分析 本题主要考查等腰三角形特有的“三线合一”的性质，选项A 和选项D 是所有三角形都具有的；选项C 是直角三角形独有的；选项B 是等腰三角形独有的．故选B ．3、分析 本题主要考查等边三角形的性质和等腰三角形的判定． 证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°． ∵D 是AC 的中点，∴BD 平分∠ABC ．∴∠CBD ＝21∠ABC ＝21×60°＝30°． ∵CD ＝CE ，∴∠E ＝∠CDE ．又∵∠E ＋∠CDE ＝∠ACB ＝60°，∴∠E ＝30°．∴∠CBD ＝∠E ．∴BD ＝DE ．12.3角的平分线的性质学习目标、重点、难点【学习目标】1、熟练掌握角平分线的尺规作图．2、能应用三角形全等的知识，解释尺规作角平分线的原理．3、掌握几种基本的三角形作图．【重点难点】1、利用尺规作已知角的平分线．2、角平分线的性质.知识概览图新课导引如右图所示，需在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且使集贸市场离公路与铁路交叉点A 处500米．则这个集贸市场应建在何处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000)?【问题探究】要使集贸市场到公路、铁路的距离相等，则可连接S 区与公路、铁路的交叉点，利用三角形全等的知识找到两个全等的直角三角形，进而找到集贸市场的位置，可证出连接集贸市场与公路、铁路交叉点A 的直线平分公路与铁路的夹角，问题可求．【解析】作出公路与铁路夹角的平分线，以其顶点为端点，作出一条长为2．5厘米的线段，则这条线段的另一端点即为所求．教材精华知识点１ 角平分线的作法已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线．作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ． (2)分别以M ，N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．(3)画射线OC ，射线OC 即为∠AOB 的平分线．拓展 (1)这是最常见的尺规作图，也是最基本的作图之一，必须掌握．(条件) 点在角的平分线上(结论) (结论) 点到角的两边的距离相等 (条件)判定性质。

第十二章 全等三角形学习内容： 12.1全等三角形学习目标: 1.能说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号语言表示两个三角形全等。

2.能在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。

3.能说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质。

学习重点：探究全等三角形的性质学习难点: 掌握两个全等三角形的对应边、对应角 学习方法：小组讨论，合作探究一 课前预习：阅读课本P31-32，解决下列问题 (一)、全等形、全等三角形的概念阅读课本P31内容，回答课本思考问题，并完成下面填空： 1．能够完全重合的两个图形叫做 ．全等图形的特征：全等图形的 和 都相同． 2．全等三角形．两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

（二）、全等三角形的对应元素及表示阅读课本P31第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：1． 平移 翻折 旋转甲DCABFE 乙DCAB丙DCABE启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，•但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2．全等三角形的对应元素（说一说）（1）对应顶点（三个）——重合的（2）对应边（三条） ——重合的 （3）对应角（三个） ——重合的第（4）题图EBAE 第（1）题图E BFCB第（2）题图D C B 3．寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是 ；（2）有公共角的，公共角是 ； （3）有对顶角的，对顶角是 ；（4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．简单记为：（1）大边对应大边，大角对应 ;(2) 公共边是对应边，公共角是 ，对顶角也是 ;4．“全等”用“ ”表示，读作“ ”如图甲记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC 全等于△DEF 如图乙记作： 读作： 如图丙记作： 读作： 注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．（三）、全等三角形的性质阅读课本P32第二个思考及下面内容，完成下面填空：课堂探究（小组讨论 合作交流）活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题：（1） 如图（1）△ABC ≌△DEF ，BC 的对应边是 ，即可记为BC= 。