第十二 章全等三角形全章导学案(2020人教版)

第十二章全等三角形12.1 全等三角形一、课前预习（一）全等形1.定义：能够完全_____的两个图形.2.特点：_____和_____完全相同.二、全等三角形1.定义：能够完全_____的两个三角形.2.对应元素：两个全等的三角形重合在一起有如下对应元素(1)对应顶点：_____的顶点.(2)对应边：_____的边.(3)对应角：_____的角.3.表示方法：(1)表示：△ABC和△DEF全等，记作△ABC___△DEF.(2)注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在_____位置上.4.性质：(1)全等三角形的_______相等.(2)全等三角形的_______相等.思维诊断(打“√”或“×”)(1)两个形状相同的图形是全等形.( )(2)比例尺相同的两张中国地图是全等形.( )(3)所有的正方形都是全等形.()(4)全等三角形的面积相等.()(5)两个三角形全等时，两个三角形中最长的边是对应边. ()二、课内探究知识点 1 找全等三角形的对应元素【例1】如图所示，△ABC≌△EDA，∠BAC与∠DEA是对应角，AB与ED是对应边，写出其他对应边及对应角.【解题探究】1.两个三角形全等时，对应角所对的边是对应边，由∠BAC与∠DEA是对应角可得的一组对应边是什么？2.AB与ED是一组对应边，那么另一组对应边是什么？3.根据对应边所对的角是对应角，可知这两个三角形中未知的两组对应角是什么？【互动探究】此题还有另外的方法找对应边和对应角吗？提示：可以根据所给字母的顺序确定对应关系.【总结提升】确定两个全等三角形对应边、对应角的方法(1)确定对应边的“三种方法”①若全等三角形中有公共边，则公共边是对应边.②若已知对应角或对应顶点，则对应角或对应顶点所对的边为对应边.③若已知全等三角形中有最长(或最短)边，则一对最长(或最短)边是对应边.(2)确定对应角的“四种方法”①若全等三角形中有公共角，则公共角为对应角.②若全等三角形中有对顶角，则对顶角为对应角.③若已知全等形的对应顶点，则以对应顶点为顶点的角为对应角.④若已知全等三角形中有最大(或最小)角，则一组最大(或最小)角是对应角.知识点 2 全等三角形性质的应用【例2】如图所示，已知△ABD≌△ACE，AD=6 cm，AC=4 cm，∠ABD=50°，∠E=30°，求BE的长及∠COD的度数.【思路点拨】△ABD≌△ACE→求AE，AB的长→BE的长；根据∠ABD和∠E的大小→∠BOE的大小→∠COD的大小【总结提升】全等三角形性质的两点应用(1)求线段：全等三角形的对应边相等，可以直接确定对应边的数量关系，也可以间接求解相关线段的长度等.(2)求角：全等三角形的对应角相等，可以直接确定对应角的数量关系，也可以间接求解相关角的大小等.三、限时练习1.一个图形经过下列变换得到的图形与原图形不全等的是( )A.平移B.旋转C.翻折D.放大2．下列四个图形中，与图1全等的是( )3．如图所示，△ABC≌△CDA，且AB与CD是对应边，那么下列说法错误的是( )A.∠1与∠2是对应角B.∠B与∠D是对应角C.BC与AC是对应边D.AC与CA是对应边3题4题5题6题4．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是( )A.POB.QPC.MOD.MQ5.如图所示，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌______，AB的对应边是______，AC的对应边是______，∠B的对应角是______，∠BCA的对应角是______.6.如图，△ABC≌△ADE，写出其对应顶点、对应边、对应角.7．△ABC与△DEF的边长均为整数，且△ABC≌△DEF，若AB=2，BC=4，△DEF的周长为奇数，则DF的取值为( )A.3B.4C.3或5D.3或4或58．如图，△ABC绕点A旋转到△ADE，则下列说法不正确的是( )A. AB与DE是对应边B. △ABC≌△ADEC. ∠BAD=∠CAED. AC=AE9．如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是( )A.5B.4C.3D.210．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果AD=9 cm，DE=2.4 cm,∠BAF=60°，则AF=________cm,EF=________cm, ∠DAE=________.8题9题10题11题11．如图所示，将△ABC沿直线BC平移到点D，使BC=CD.(1)相等的边有________，相等的角有________.(2)∠ACE=∠E吗？为什么？四、自助练习1.如果∆ABC ≌∆ADC ，AB=AD ，∠B=70°,BC=3cm,那么∠D=____,DC=____cm.2.如果 ∆ABC ≌∆DEF,且∆ABC 的周长为100 cm,A,B 分别与D,E 对应, AB=30 cm,DF=25 cm,则BC 的长为( )A.45 cmB.55 cmC.30 cmD. 25 cm3.如图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果 AD=7cm,DM=5cm,则AN=___cm,NM=___cm.4.如图所示，已知△ABD ≌△ACE ，AD=6 cm ，AC=4 cm ，∠ABD=50°， ∠E=30°，求BE 的长及∠COD 的度数.5.如图，△ABD ≌△EBC ，AB=2 cm,BC=5 cm,求DE 的长.6、【想一想错在哪？】如图，△ABC ≌△DEF ，则此图中相等的线段有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对M DNBC12.2 三角形全等的判定第1课时 SSS一、课前预习1.判定三角形全等的方法： 已知：△ABC.画△A ′B ′C ′，使A ′B ′=AB,B ′C ′=BC,A ′C ′=AC. 请同学们参照下面的步骤画△A ′B ′C ′. (1)画B ′C ′=___.(2)分别以B ′，C ′为圆心，线段___，___长为半径画弧， 两弧相交于点A ′.(3)连接线段_______，_______，得△A ′B ′C ′. 请同学们把画得的△A ′B ′C ′剪下来，放到△ABC 上， 观察可发现△A ′B ′C ′与△ABC_________，即 △A ′B ′C ′___△ABC.【归纳】(1)判定方法： 分别相等的两个三角形全等. (简写成_______或____)(2)应用格式：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(____).2.用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是 .(打“√”或“×”)(1)当两个三角形的三边和三角中有两个条件分别相等时，这两个三角形不一定全等.( ) (2)当两个三角形的三边和三角中有三个条件分别相等时，这两个三角形可能全等.( ) (3)当一个三角形的三边确定时，这个三角形的形状就确定了. ( ) (4)两个三角形中，只要三条边分别相等，这两个三角形就一定全等.( )AB A B ,BC B C ,AC A C ,=''⎧⎪=''⎨⎪=''⎩∵二、课内探究知识点1 应用“SSS”证明两个三角形全等【例1】如图,点B，C，D，F在同一直线上,已知AB=EC, AD=EF,BC=DF,探索AB与EC的位置关系，并说明理由.【思路点拨】先判定AB与EC的位置关系，由BC=DF先证出BD=CF，再由SSS证出△ABD与△ECF全等，得出∠B=∠ECF，从而得出答案.【总结提升】证明三角形全等的步骤及寻找边相等的方法(1)证明三角形全等的“四个步骤”①准备条件：未知的条件要先证明(公共边相等可以直接应用，不必推理说明).②写出在哪两个三角形中.③列出三个条件用大括号括起来.④写出全等结论.(2)寻找边相等的“三种方法”①图形中的隐含条件，如公共边.②利用线段中点的定义说明边相等.③多条线段共线时，利用线段的和(差)关系证明边相等.知识点2 “SSS”的实际应用【例2】如图是工人师傅自己设计的测量垂直的仪器.仪器中的AB=AC，D是BC的中点，让BC平行于地面，当铅锤经过D点时，工人师傅就断定AD垂直于地面.工人师傅的判断有道理吗？你能说明理由吗？【思路点拨】证△ABD≌△ACD→∠ADB=∠ADC→∠ADB=90°→AD⊥BC→BC∥地面→结论【总结提升】利用“SSS”解决实际问题“三步法”(1)建模：把实际问题转化为数学问题，构造两个三角形.(2)证明：利用“SSS”证明两个三角形全等.(3)应用：应用全等三角形的性质说明线段或角的大小关系.三、限时训练1.下列说法中正确的个数为( )①周长相等的两个三角形全等②周长相等的两个等腰三角形全等③周长相等的两个等边三角形全等④有三条边分别相等的两个三角形全等A.1B.2C.3D.42.如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是( )A.△ABD≌△ACDB.∠ADB=90°C.∠BAD是∠B的一半D.AD平分∠BAC3.如图，在△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定( )A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACEC.△BDE≌△CDED.以上答案都不对2题3题4题5题4.如图，若AB=AC，AD=AE，则需要______条件就可根据“SSS”判断△ABE≌△ACD.5.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=__________.6.如图，已知AB=DC，DB=AC，(1)求证：∠ABD=∠DCA.（注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据.）(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的目的是什么？7为稳固电线杆，从A处拉了两根等长的铁丝AC，AD，且C，D到杆脚B的距离相等，则有( )A.∠1>∠2B.∠1<∠2C.∠1=∠2D.∠1与∠2大小不能确定8.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB=CD，AD=CB，下列判断不正确的是( )A.∠A=∠CB.∠ABC=∠CDAC.∠ABD=∠CDBD.∠ABD=∠C9.长为3 cm，4 cm，6 cm，8 cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3 cm和4 cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为( )A.一个人取6 cm的木条，一个人取8 cm的木条B.两人都取6 cm的木条C.两人都取8 cm的木条D. B，C中的两种取法都可以10．如图为一三角形钢架(AB=AC)，为使钢架更坚固，需在点A和BC间做一个支架，且使AD⊥BC于D，但只有一把可测长度的皮尺，应如何确定点D的位置.7题8题10题四、自助练习1、如图，D ，F 是线段BC 上的两点，AB=EC ，AF=ED ，要使△ABF ≌△ECD, 还需要条件2、如图，在四边形ABCD 中AB=CD ，则∠A=∠C ，请说明理由。

12.1全等三角形班级 小组 姓名 【学习目标】1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边. 【重点难点】全等三角形的性质；找全等三角形的对应边、对应角.预习案【预习导学】预习课本第31-32页的内容，并完成下列问题：1.能够完全重合的两个图形叫做___________ .2.能够完全重合的两个三角形叫做____________，重合的顶点叫做 ， 重合的边叫做___________，重合的角叫做_________，全等用符号_____表示，读作___________.3.如图所示，△ABC ≌△DEF.对应顶点有： ；对应角有： ；对应边有： .4.全等三角形的性质： .探究案探究一：图形的平移、翻折、旋转 如图甲：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；如图乙：将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ； 如图丙：将△ABC 旋转180°得△AED ．甲DCABFE 乙DCAB丙DCABE上述各图中的两个三角形全等吗？得出： ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．你能得到什么结论： 探究二 : 找对应顶点、对应边、对应角如图，△ABC ≌△CDA ，指出它们的对应顶点、对应边、对应角，并思考在书写两个三角形全等时，应该注意什么问题？探究三：全等三角形的性质的应用 1.如图,△ABC ≌△CDA,求证：AB ∥CD.ABC DEFABCDE2.如图,△ABC ≌△DEC,∠B=∠FCB.求证：ED ∥CF.训练案1.如图，已知△ABE ≌△ACD ，指出它们的对应边和对应角．2.已知如图△ABC ≌△ADE ，试找出对应边、对应角．3.如图所示，若△OAD ≌△OBC,∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD= .4.如图，若△ABC ≌△DEF ，回答下列问题：⑴若△ABC 的周长为17 cm ，BC=6 cm ，DE=5 cm ，则DF = cm ； ⑵若∠A =50°，∠E=75°，则∠B= .5.如图，△ABN ≌△ACM.⑴写出它们的对应边和对应角； ⑵求证：BM=CN.DC ABEONMCBAF EDCB A ECADBOC 'B 'A 'CBA12.2 .1三角形全等的判定(SSS)班级 小组 姓名 【学习目标】1能自己试验探索出判定三角形全等的SSS 判定定理． 2.会应用判定定理SSS 进行简单的推理判定两个三角形全等． 【重点难点】三角形全等的条件；寻求三角形全等的条件.预习案【旧知回顾】1.什么是全等三角形？全等三角形有些什么性质？2.如图，ABC ∆≌C B A '''∆那么相等的边是： ； 相等的角是： . 【预习导学】预习课本第35-36页的内容，并完成下列问题：任意画出一个ABC ∆，再画一个C B A '''∆，使ABC ∆与C B A '''∆满足三边相等、三角相等六个条件中的一个.⑴一边或一角对应相等的两个三角形全等吗？ 请画图说明.⑵两边或两角对应相等的两个三角形全等吗？ 请画图说明⑶一角一边对应相等的两个三角形全等吗？ 请画图说明探究案通过预习我们研究了满足全等三角形中的一个或两个条件的情况，现在我们探究满足全等三角形中三个条件（三边对应相等）的情况： 探究：三角形全等的判定方法1已知△ABC ，再画一个△C B A '''，使AB B A =''，BC C B =''，AC C A =''，比较这两个三角形，看它们是否全等？由此你能够得到什么结论？判定方法1： . 简写成： 或 . 用数学语言表述： 在△ABC 和中△C B A ''',∵⎪⎩⎪⎨⎧===AC BC AB ∴△ABC ≌ ( )练习：如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架． 求证：△ABD ≌△ACD ．探究二：用尺规作图作一个角等于已知角. 已知：∠AOB. 求作：∠DEF,使∠DEF=∠AOB训练案1.下列说法中，错误的有（ ）个 ⑴周长相等的两个三角形全等. ⑵周长相等的两个等边三角形全等. ⑶有三个角对应相等的两个三角形全等. ⑷有三边对应相等的两个三角形全等A.1B.2C.3D.42.如图，OA=OB ，AC=BC.求证：△AOC ≌△BOC.3.已知：如图，AD=BC,AC=BD. 求证：∠OCD=∠ODC.4.如图，AB=AE ，AC=AD ，BD=CE ，求证：△ABC ≌△ADE.D CBACOAB AO B12.2.2三角形全等的判定(SAS)班级 小组 姓名 【学习目标】1能自己试验探索出判定三角形全等的SAS 判定定理． 2.会应用判定定理SAS 进行简单的推理判定两个三角形全等． 【重点难点】三角形全等的条件；寻求三角形全等的条件.预习案【旧知回顾】全等三角形的判定方法1： . 【预习导学】预习课本第37-39页的内容，并完成下列问题：任意画出一个ABC ∆，再画一个C B A '''∆，使ABC ∆与C B A '''∆满足两边和一角对应相等.⑴两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等吗？ 请画图说明.⑵两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等吗？ 请画图说明.探究案探究：三角形全等的判定方法2已知△ABC ，再画一个△C B A '''，使AB B A =''，AC C A =''，A A ∠='∠，比较这两个三角形，看它们是否全等？由此你能够得到什么结论？判定方法2： . 简写成： 或 . 用数学语言表述： 在△ABC 和中△C B A ''',∵⎪⎩⎪⎨⎧==∠=AC A AB ∴△ABC ≌ ( )练习：如图，AC 和BD 相较于点O,OA=OC,OB=OD.求证：AB=CD.训练案1.如图，AC 和BD 相较于点O,OA=OC,OB=OD.求证：AB ∥CD.2.如图，AB=AC,AD=AE.求证：∠B=∠C.3.如图，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C ，求证：∠A=∠D.4.如图，CD ＝CA ，∠1＝∠2，EC ＝BC.求证：DE ＝AB.EABCD12DCABE12.2.3三角形全等的判定(ASA)班级 小组 姓名 【学习目标】1能自己试验探索出判定三角形全等的ASA 判定定理． 2.会应用判定定理ASA 进行简单的推理判定两个三角形全等． 【重点难点】三角形全等的条件；寻求三角形全等的条件.预习案【旧知回顾】全等三角形的判定方法1： . 全等三角形的判定方法2： . 【预习导学】预习课本第39-340页的内容，并完成下列问题：1.任意画出一个ABC ∆，再画一个C B A '''∆，使ABC ∆与C B A '''∆满足两角和它们的夹边分别相等，这两个三角形全等吗？ 请画图说明.2.满足下列哪种条件时,就能判定△ABC ≌△DEF 的是( ) A.∠A ＝∠E,BC=EF, ∠D ＝∠C; B.AB=DE,BC=EF, ∠C ＝∠F C.∠A ＝∠D,AB=DE, ∠B ＝∠E; D.∠A ＝∠D,∠B ＝∠E, AC=EF探究案探究：三角形全等的判定方法3已知△ABC ，再画一个△C B A '''，使AB B A =''，A A ∠='∠，B B ∠='∠，比较这两个三角形，看它们是否全等？由此你能够得到什么结论？判定方法3： . 简写成： 或 . 用数学语言表述： 在△ABC 和中△C B A ''',∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠==∠B AB A ∴△ABC ≌ ( )练习：如图， AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE.D CABE训练案1.如图，AB⊥BD，ED⊥BD，BC=CE，求证：AB=DE.2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD.3.如图，已知AF=CD，AB∥DE，EF∥BC，求证：AB=DE.4.如图，AB∥DC，AE⊥BD，CF⊥BD，BF＝DE，求证：AE=CF.ABC DEF12AB CDEFAB CDEC 'B 'A 'C B A 12.2.4三角形全等的判定(AAS)班级 小组 姓名 【学习目标】1能自己试验探索出判定三角形全等的AAS 判定定理． 2.会应用判定定理AAS 进行简单的推理判定两个三角形全等． 【重点难点】三角形全等的条件；寻求三角形全等的条件.预习案【旧知回顾】全等三角形的判定方法1： . 全等三角形的判定方法2： . 全等三角形的判定方法3： . 【预习导学】预习课本第39-340页的内容，并完成下列问题：1.任意画出一个ABC ∆，再画一个C B A '''∆，使ABC ∆与C B A '''∆满足两角和其中一个角对边分别相等，这两个三角形全等吗？ 请画图说明.2.满足下列哪种条件时,就能判定△ABC ≌△DEF 的是( ) A.AB=DE,BC=EF, ∠A ＝∠E; B.AB=DE,BC=EF, ∠C ＝∠F C.∠A ＝∠E,AB=EF, ∠B ＝∠D; D.∠A ＝∠D,∠B ＝∠E, AC=DF探究案探究：三角形全等的判定方法4如图，在△ABC 和△C B A '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠，C B BC ''=，求证：△ABC ≌△C B A '''.判定方法4： . 简写成： 或 . 用数学语言表述： 在△ABC 和中△C B A ''',∵⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠AB A C ∴△ABC ≌ ( )练习：如图， AD=AE ，∠B=∠C ．求证：AB=AC.D CABE训练案1.如图，已知BC=EF ，AB ∥DE ，∠B=∠E ，求证：AB=DE.2.如图，AE ⊥BE ，AD ⊥DC ，CD =BE ，∠DAB=∠EAC ．求证：AB =AC3.如图，E ，F 在线段AC 上，AD ∥CB ，AE = CF ．若∠B =∠D ，求证：DF =BE ．4.如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE. 求证：△ACD ≌△CBE.ABCD E A B CD EFABCDEABCDEF12.2.5直角三角形全等的判定(HL)班级 小组 姓名【学习目标】1.理解并掌握直角三角形全等的判定方法（HL ）；2.学会利用直角三角形全等的判定方法（HL ）解决问题. 【重点难点】直角三角形全等的判定方法（HL ）；灵活运用直角三角形全等的判定方法（HL ）解决问题.预习案【旧知回顾】1.判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 .2.如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 .3.如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，下列情况下，△ABC 与△DEF 全等吗？ ①若∠A=∠D ，AB=DE ： . ②若∠A=∠D ，BC=EF ： . ③若AB=DE ，BC=EF ： . ④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ： .【预习导学】预习课本第39-41页的内容，并完成下列问题：任意画出一个Rt ABC ∆，再画一个Rt C B A '''∆，使Rt ABC ∆与Rt C B A '''∆满足斜边和直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ 请画图说明.探究案探究：直角三角形全等的判定方法已知Rt △ABC 中，∠C=90°，再画一个Rt △C B A '''，使∠C '=90°，BC C B =''，AB B A =''，比较这两个直角三角形，看它们是否全等？由此你能得到什么结论？直角三角形的判定方法： . 简写成： 或 . 用数学语言表述：在Rt △ABC 和Rt △C B A '''中, ∵⎩⎨⎧==BC AB ∴Rt △ABC ≌ ( )练习：如图，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE =BF ． 求证：AE =DF ．训练案1.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，求证：D 是BC 的中点.2.如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？3.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，BE ＝CF. 求证：AD 是△ABC 的角平分线.5.如图，DE ⊥AC 于E 点，BF ⊥AC 于F 点，若AB=CD,AF=CE,BD 交AC 于M 点. 求证：MB=MD,ME=MFA B C DEF12.2三角形全等的判定复习班级 小组 姓名 【学习目标】1.进一步理解巩固三角形全等的判定方法；2.学会灵活选择三角形全等的判定方法解决问题. 【重点难点】三角形全等的判定方法；灵活选择三角形全等的判定方法解决问题. 【学前准备】1.全等三角形有哪些性质？2.判断全等三角形的方法有哪些？【典型例题】例1：如图，AC=BD ，AB=DC ，求证：∠B=∠C.例2：如图，AB=AD ，CD=CB ，∠A+∠C=180°，试探索CB 与AB 的位置关系.例3:如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 、CE 交于点O ，且OD=OE ，求证：AB=AC.例4：已知AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，AD 是∠BAC 的角平分线， 求证：AC+CD=AB.DCBADCB AEODCBAECBDA例5：如图，AD 是△ABC 的高，∠B=2∠C ，求证：CD=AB+BD.例6：在△ABC 中，AB=AC ，在AB 上取一点D ，在AC 的延长线上取一点E ，使BD=CE ，连结DE 交BC 于F ，求证：DF=EF.例7：如图，OA=OB ，C 、D 分别是OA ，OB 上两点，且OC=OD ，连结AD 、BC 交于E ， 求证：OE 平分∠AOB.例8：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ， BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD-BE.ACBD FEDCBAEDCBAON M EDCBA12.3角的平分线的性质（1）班级小组姓名【学习目标】1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理;2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．【重点难点】掌握角的平分线的性质定理；角平分线定理的应用.预习案【旧知回顾】1.请说出三角形的判定方法：2.直角三角形有哪些判定方法：【预习导学】认真阅读课本P48-49，完成下列问题：1.怎样画一个角的平分线？画出图形，并写出做法.2.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E 为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论 .PD PE第一次第二次第三次探究案探究一：角平分线的性质求证：角平分线上的点到角的两边的距离相等.（提示：先画出图形，写出已知和求证，然后在证明.）小结：证明一个几何命题的步骤有那些？探究二：如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点, 问PE=PD? 为什么?小结：在应用角平分线定理时应注意哪些问题：训练案1.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE ⊥AB 于E ，则 ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长.2.如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF,求证：CF=EB3.如图,在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝， 求BE 的长OA BED C PED CBA EDCBA12.3角的平分线的性质（2）班级小组姓名【学习目标】1.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．3.激情参与，享受成功.【重点难点】角平分线的性质及其应用；灵活应用两个性质解决问题.预习案【旧知回顾】1.请写出角平分线定理：2.证明一个几何命题的步骤有那些？【预习导学】认真阅读课本P48-49，完成下列问题：1.画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？探究案探究一：求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）探究二：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.PNMCBA探究三：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，训练案1.如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°ADCB第十二章全等三角形检测题班级小组姓名一.选择题（每小题3分，共30分）1.如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.52.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，则下列结论.①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC.其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（）对全等三角形。

第十二章§ 12． 1全等三角形教课目的( 一 ) 知识技术 :1、认识全等形及全等三角形的观点。

2、理解掌握全等三角形的性质。

3、能够正确辩认全等三角形的对应元素。

( 二 ) 过程与方法：1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观点，培育几何直觉。

2、在察看发现生活中的全等形和实质操作中获取全等三角形的体验。

( 三 )感情态度与价值观：在研究和运用全等三角形性质的过程中感觉到数学活动的乐趣。

教课要点 : 全等三角形的性质．教课难点：找全等三角形的对应边、对应角．预习导航 : 什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？全等三角形有哪些性质？教课过程( 一 ) 提出问题，创建情境A A1出示投电影：1. 问题：你能B C B1C1发现这两个图形有什么美好的关系吗？这两个图形是完整重合的．2. 那同学们能举出现实生活中能够完整重合的图形的例子吗003F生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完整重合的。

形状与大小都完整相同的两个图形就是全等形．3．学生自己着手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己预先准备好的三角板按在纸上，画以下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完整相同．4．获取观点让学生用自己的语言表达：全等形、全等三角形、对应极点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．记作：△ ABC ≌ △ A ’ B’ C’符号“≌ ”读作“全等于”ADB C E F甲（注意重申书写时对应极点字母写在对应的地点上）（二）．新知研究利用投电影演示1. 活动：将△ ABC沿直线 BC平移得△ DEF；将A△ABC沿 BC翻折 180 获取△ DBC；将△ ABC旋转D E 180°得△ AED．B C A2.议一议：各图中的两个三角形全等吗？B C启迪：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位D丙置变化了， ?但形状、大小都没有改变，因此平移、乙翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们经过运动的方法追求全等的一种策略．3.察看与思虑：找寻甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（指引学生从全等三角形能够完整重合出发找等量关系）获取全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等．（三）例题解说[ 例 1] 如图，△ OCA≌△ OBD， C 和 B， A 和 D是对应极点，?说出这两个三角形中相等的边和角．C BOA D1.剖析：△ OCA≌△ OBD，说明这两个三角形能够重合， ?思虑经过如何变换能够使两三角形重合？将△ OCA翻折能够使△ OCA与△ OBD重合．由于 C 和 B、A 和 D 是对应极点， ?因此 C 和 B 重合， A和 D重合．∠ C=∠B；∠ A=∠ D；∠ AOC=∠ DOB． AC=DB； OA=OD； OC=OB．2.总结：两个全等的三角形经过必定的变换能够重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．[ 例 2] 如图，已知△ ABE≌△ ACD，∠ ADE=∠ AED，∠ B=∠ C， ?指出其余的对应边和对应角．A1. 剖析：对应边和对应角只好从两个三角形中找，B D EC 因此需将△ ABE和△ ACD从复杂的图形中分别出来．2小结：找对应边和对应角的常用方法有：（1）有公共边的，公共边是对应边.（2）有公共角的，公共角是对应角.（3）有对顶角的，对顶角是对应角一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边 .(4)一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角（5）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．(6)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角（四）讲堂练习1、填空点 O是平行四边形 ABCD的对角线的交点 , △ AOB绕 O旋转180° , 能够与△ ______重合，这说明△ AOB≌△ ______ ．这两个三角形的对应边是AO与 _____， OB与_____， BA与______；对应角是∠AOB与 ________，∠ OBA与 ________，∠BAO与 ________．2、判断题1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。

新人教版八年级数学上册第十二章全等三角形导教案一、本章地位中学阶段要点研究的两个平面图形间的关系是全等和相像，本章以三角形为例研究全等．对全等三角形研究的问题和研究方法将为后边相像的学习供给思路，并且全等是一种特别的相像，全等三角形的内容是学生学习相像三角形的重要基础．本章还借助全等三角形进一步培育学生的推理论证能力，主要包含用剖析法剖析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程．因为利用全等三角形能够证明线段、角等基本几何元素相等，因此本章的内容也是后边将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础．二、课程学习目标（1）理解全等三角形的观点，能辨别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质．（2）经历研究三角形全等条件的过程，掌握判断三角形全等的基本领实（“边边边”“边角边”和“角边角” ）和定理（“角角边”），能判断两个三角形全等．（3）能利用三角形全等证明一些结论．（4）研究并证明角均分线的性质定理，能运用角的均分线的性质．三、本章知识构造图四、课时安排：共安排11 课时（仅供参照）12． 1全等三角形 1 课时12． 2三角形全等的判断 6 课时12． 3角的均分线的性质 2 课时数学活动小结 2 课时五、教课建议1．用研究几何图形的基本思想和方法贯串本章的教课学生在前面的几何学习中研究了订交线与平行线、三角形等几何图形，关于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了必定的认识，本章在教课中要充足利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯串全章的教课．2．让学生充足经历研究过程本章在编排判断三角形全等的内容时建立了一个完好的研究活动，包含研究的目标、研究的思路和分阶段的研究活动．教课中能够让学生充足经历这个研究过程，在明确研究目标、形成研究思路的前提下，按计划逐渐研究两个三角形全等的条件．本章在编排中将绘图与研究三角形的全等条件联合起来，既实用尺规画一个三角形与已知三角形全等，又实用技术手段依据已知数据画三角形．教课中要充足利用研究绘图方法的过程对形成结论的价值，让学生自主研究绘图的步骤、创建多种画法、解说作图依照等，在活动中发现结论．3．重视对学生推理论证能力的培育本章是初中阶段培育逻辑推理能力的重要内容，主要包含证明两个三角形全等，经过证明三角形全等进而证明两条线段或两个角相等．教课中要在学生已有推理论证经验的基础上，利用三角形全等的证明，进一步培育学生推理论证的能力．依照整套教科书对推理能力培育的顺序渐进的目标，本章的教课要点是指引学生剖析条件与结论的关系，书写谨慎的证明格式，关于以文字形式给出的几何命题，从详细问题的证明中总结出证明的一般步骤．六、详细内容12．1 全等三角形【教课要点】1．理解全等三角形的观点；2．能辨别全等三角形中的对应边、对应角；3．初步掌握并能运用全等三角形的性质．【教课难点】在全等三角形中正确地找出对应边、对应角．第一课时：全等三角形【参照例题】1．下边是两个全等的三角形，按以下图形的地点摆放，指出它们的对应极点、对应边、对应角．ADB C AA C CoOOB EC FDA D BDBDAAC CCD DDCDC CBD B AAD BBABB2．如图 1，△ADC≌△ AEB，A43 , B30，求ADC的大小．3．如图 2，△ EFG ≌△ NMH ，∠ F 和∠ M 是对应角，在△EFG 中， FG 是最长边，在△NMH 中，MH 是最长边， EF=2.1 ㎝， EH =1.1 ㎝， HN =3.3 ㎝．求线段MN 及线段 HG 的长度．4．如图 3，把△ ABC 绕点 C 顺时针旋转35 度，获得△ A ′ ′′ ′交 AC 于点 D，已知B C，A B∠ A′ DC=90 °，则∠ A=．ADEB C图 1图 2图 3练习 :1．全等用符号表示，读作：．2．若△ ABC≌△ DEF ，则∠ B=，∠ BAC=， BC=， AC=．3．判断题1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（）2）全等三角形的周长相等．（）3）全等三角形的面积不相等．（）4．找一找ADA DC E DOBB CA CB①若△ AOC≌△ BOD ， AC=_______ ∠A＝ ______② ②若△ ABD ≌△ ACE ， BD＝∠ BDA＝③若△ ABC≌△ CDA， AB =∠ BAC＝_____5．拼一拼请你利用两个全等三角形画出有公共极点或公共边或公共角的图形．有公共边：有公共点：6．如图，小强利用全等三角形的知识丈量池塘两头M、 N 的距离，假如△PQO ≌△ NMO ，则只要测出其长度的线段是A．PO B． PQ C．MO D．MQ7．如图，长方形 ABCD 沿 AM 折叠，使 D 点落在 BC 上的 N 点处，AD =7cm，DM =5cm，∠ DAM =39°，则△ ABC≌△ EFD AN =___cm， NM =___cm，∠ NAB=___．8．△ ABC≌△ FED（1）写出图中相等的线段，相等的角；（2）图中线段除相等外，还有什么关系吗．A D AD B CEMFB N C12． 2 三角形全等的判断【教课要点】1．研究判断三角形全等的条件；2．利用三角形全等进行简单的证明．【教课难点】利用三角形全等的判断方法进行推理论证．第二课时：三角形全等的判断SSS(一 ) 【参照例题】1．如图， AB＝ AC，BD ＝CD ，BH＝ CH ，图中有几组全等的三角形．它们全等的条件是什么．2．如图，已知 AB=CD， BC=DA．你能说明△ ABC 与△ CDA 全等吗．你能说明 AB∥ CD ，AD ∥ BC 吗．为何．ADBH CADBC练习：1．如图，在四边形ABCD 中， AB=AD， CB=CD．求证：∠ B=∠ D．2．如图，已知点A， D， C， F 在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使△ ABC ≌△ DEF ，还需要增添一个条件是B EA D C FA . ∠ BCA=∠F B. AD =CF∥ EF D. ∠ A=∠ EDF3．如图，等腰梯形ABCD 中，点 M 是 AD 的中点，且MB=MC ，若 AD =4， AB=6，BC=8 ，则梯形ABCD 的周长为A ．22B． 24C． 26D． 284.（ 2015 广西玉林）依据图中尺规作图的印迹，先判断得出结论：，而后证明你的结论（不要求写已知、求证）第三课时 ：三角形全等的判断SAS (二 )【讲堂练习】练习一 ：在以下图中找出全等三角形，并把它们用线连起来．8?8830ocm 8cm8cm ⅠⅡcmⅢcm30o9cm30o5 cmⅢ Ⅳ ??Ⅳ5 cm3xm8 cm8 30o8 cm8?ⅤⅥcmⅧcm9530o8cmⅦcmcm【例题】1．如图， AC =BD ，∠ CAB= ∠DBA ，你能判断∠ C=∠D 吗．说明原因．2．如图， 有—池塘， 要测池塘两头 A 、B 的距离， 可先在平川上取一个能够直接抵达 A 和 B 的点 C ，连结 AC 并延伸到 D ，使 CD ＝ CA ，连结 BC 并延伸到 E ，使 CE ＝CB ．连结 DE ，那么量出 DE 的长就是 A 、 B 的距离，为何．CDA B练习：1．如图 CE=CB ，CD =CA ，∠ DCA=∠ ECB ，求证： DE =AB ．2．如图， AB =AE ， AD=AC ，∠ BAD =∠EAC ， BC 、 DE 交于点 O ． 求证：∠ ABC=∠AED ．ADDCOEFBEO3．如图，在△ ABC 中， AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上．求证：（1）△ ABD ≌△ ACD ，（2） BE=CE4．小明用六根竹签做了一个以下图的风筝，此中ED =FD ，HE =HF ．小明不丈量就能知道EO=FO ．你知道小明是如何想的．5.(2015 杭州 )如图，在△ ABC 中，已知 AB=AC， AD 均分∠ BAC，点 M、 N 分别在 AB、 AC 边上， AM=2MB， AN=2NC，求证： DM =DNAABM N EFB DCDC6.（ 2015 燕山毕业）如图，点E， F 在线段 AC 上， AB∥ CD， AB＝ CD， AE＝CF ．求证： BE ＝DF ．7. （ 2015 丰台一模）已知：如图，点 B，F，C，E 在一条直线上， BF ＝ CE，AC＝ DF ，且 AC∥ DF .求证：∠ B=∠E.AAE CCBF EB DD8.（ 2015 平谷一模）如图， AB =AD，AC=AE，∠ CAD=∠EAB．求证： BC=DE ．第四课时：三角形全等的判断ASA， AAS (三 )【参照例题】1．已知：点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和 CD 订交于点O，AB=AC，∠ B=∠ C，求证：BD =CE ．2．在 Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°， BC=2cm ， CD ⊥AB，在 AC 上取一点 E，使 EC=BC，过点 E 作EF ⊥ AC 交 CD 的延伸线于点 F ，若 EF=5cm ，则 AE=cm．3．如图，点A、 B、 D、 E 在同向来线上，AD =EB， BC∥ DF ，∠ C=∠ F，求证： AC=EF．ADEOBC练习：1．如图，在△AEC 和△ DFB 中，∠ E=∠F ，点 A， B， C，D 在同向来线上，有以下三个关系式：①AE∥ DF ，② AB=CD ，③ CE=BF．M （ 1）请用此中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你以为正确的全部命题（用序号写出命题书写形式：“假如，，那么”），C （ 2）选择（ 1）中你写出的一个命题，说明它正确的原因．ADE B 2．如图，在△ ABC 中，C9 0o，点 D 是 AB 边上一点， D M A B且DMAC，过点 M 作3.（ 2015 永州）如图，在△ME ⊥BC，交 AB 于点 E．求证：△ ABC ≌△ MED ．ABC 中，已知∠ 1=∠2， BE=CD， AB=5，AE =2，则 CE=．EFA B C D4.（ 2015 通辽）如图，四边形 ABCD 中，E 点在 AD 上，此中∠ BAE=∠ BCE=∠ ACD=90°，且 BC=CE ，求证：△ ABC 与△ DEC 全等．5.（ 2015 海淀一模）如图，点A，B，C， D 在同一条直线上，AB=FC ，∠ A=∠ F ，∠ EBC=∠ FCB ．求证：BE=CD ．6.（ 2015 门头沟一模）如图，点 A、 B、 C、 D 在同一条直线上， BE∥ DF ，∠ A=∠ F ，AB=FD ．求证： AE=FC ．EFA CB D7. 如图，点 O 是直线 l 上一点，点 A、B 位于直线l 的双侧，且∠°，分别过 A、AOB=90 ， OA=OBB 两点作 AC⊥ l ，交直线 l 于点 C， BD⊥ l，交直线 l 于点 D ．求证： AC=OD．8. （ 2015 西城一模）如图，∠C=∠E，∠ EAC=∠ DAB， AB=AD ．求证： BC=DE ．EEA CD CDA BB9. （ 2015 昌平二模）如图，ABAD ，AE AC， E C，DEBC．求证： ADAB10. （ 2015 海淀二模）如图，已知∠BAC=∠ BCA ，∠ BAE=∠ BCD=90 °，BE=BD ．求证：∠ E=∠D ．11.（ 2015 旭日二模）已知：如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=BC ， BE⊥ CE 于点 E，AD⊥ CE 于点 D.求证： BE=CD ．第五课时：全等三角形的判断（四）HL【参照例题】例如图，AC BC ,BD AD ,AC BD求证：BC AD.练习： 1.如图，两根长度为12 米的绳索，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗．请说明你的原因．2. 如图，有两个长度同样的滑梯，左侧滑梯的高度AC 与右侧滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ ABC 和∠ DFE 的大小有什么关系．3．求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．4．如图 6，A， F 和 B 三点在一条直线上，CF⊥ AB 于 F， AF ＝FH ，CF＝ FB．求证：BE⊥ AC．第六课时：全等三角形的习题课【复习小结】全等的常有图形BA B A CA BO OC O DD D C DA D D AB EC F F B E C BA AB DB DBE C EC A BA BFE F ECD CD AAC B F C EA ADB DC E C 判断两个三角形全等的方法有：________________________ ______________________.【练习】1．如图，在△ ABC 中，点 D 是 BC 的中点，作射线AD ，在线段 AD 及其延伸线上分别取点E、F ，连结 CE、 BF ．增添一个条件，使得△ BDF≌△ CDE，并加以证明．你增添的条件是．（不增添协助线）．2．在 Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°， BC=2cm ， CD ⊥ AB，在 AC 上取一点E，使 EC=BC，过点 E 作EF⊥ AC 交 CD 的延伸线于点 F，若 EF=5cm ，求 AE．3．如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB =AC，∠ B=∠C．求证： BE=CD ．4.如图，点 B 在射线 AE 上，∠ CAE=∠ DAE ，∠ CBE=∠DBE ．求证： AC =AD ．5．如图，点A、 B、 D、 E 在同向来线上，AD =EB， BC∥ DF ，∠ C=∠ F．求证： AC =EF ．6. （ 2015 宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中 AD=CD， AB=CB，詹姆斯在研究筝形的性质时，获得以下结论：① AC⊥ BD ；② AO=CO= AC ；③△ABD≌△ CBD ，此中正确的结论有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个-11-12． 3 角的均分线的性质（一）【教课要点】1．研究并证明角的均分线的性质定理及其逆定理；2．能用角的均分线的性质解决简单问题．【教课难点】利用角的均分线的性质定理解题．【参照例题】1．如图 1，AB =AC ，BD=CD ， DE⊥ AB 于 E， DF ⊥ AC 于 F．A 求证： DE =DF ．E EFBDAC F图 1B D C图 22．如图 2，D 、E、 F 分别是△ ABC 的三边上的点，CE =BF ，△ DCE 和△ DBF 的面积相等．求证： AD 均分∠ BAC．练习：1．已知△ ABC 中，∠ A=80°，∠ B 和∠ C 的角均分线交于O 点，则∠ BOC =．2．如图，已知订交直线AB 和 CD，及另向来线EF．假如要在EF 上找出与AB、 CD 距离相等的点，方法是，这样的点起码有个，最多有个．3.以下图，已知△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC，AD 均分∠ CAB，交 BC 于点 D，DE⊥ AB 于点 E，且 AB=6 cm, 则△ DEB 的周长为A . 9 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 不可以确立4. 如图， AB// CD ，CE 均分∠ ACD ，若∠ 1=250，那么∠ 2 的度数是.5．如图， OP 均分AOB ， PA OA，PB O B ，A 垂足分别为 A，B．以下结论中不必定建立的是A．PA P B B．PO均分APBC．OA O B D．AB垂直均分O P6.（ 2015?永州）如图，在四边形 ABCD 中， AB=CD ，BA 和 CD 的延伸线交于点E，若点 P 使得S△PAB=S△PCD，则知足此条件的点P（）A ．有且只有 1 个B ．有且只有 2 个C．构成∠ E 的角均分线D ．构成∠E 的角均分线所在的直线（ E 点除外）角均分线的性质（二）【复习】1．以下图，在△ABC 中，∠ A＝90°， BD 均分∠ ABC， AD ＝ 2 cm，则点 D 到 BC 的距离为________ cm．AC D B2．如图，在△ABC 中，∠ C＝900， BC＝ 40，AD 是∠ BAC 的均分线交 BC 于 D，且 DC∶ DB＝ 3∶5，则点 D 到 AB 的距离是．3．如图，已知BD 是∠ ABC 的内角均分线，CD 是∠ ACB 的外角平分线，由 D 出发，作点 D 到 BC、AC 和 AB 的垂线 DE 、DF 和 DG ，垂足分别为E、F 、G，则 DE 、DF 、DG 的关系是．4. AD 是△ BAC 的角均分线，自 D 向 AB、 AC 两边作垂线，垂足为E、F，那么以下结论中错误的选项是A ． DE =DF B． AE=AF C．BD=CD D．∠ADE =∠ ADF5．如图，已知AB∥ CD ，O 为∠ A、∠ C 的角均分线的交点，OE⊥AC于 E，且 OE=2，则两平行线间AB、 CD 的距离等于．6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C．三条边的垂直均分线的交点 D ．三条角均分线的交点【例题】1．如图，已知AC∥ BD、EA 、EB 分别均分∠ CAB 和△ DBA ， CD 过点 E，则 AB 与 AC+BD?相等吗．请说明原因．CED 2．在△ ABC 中，∠ B=60°，∠ A，∠ C 的角均分线AE ，CF 订交于点O，（ 1）如图 1，若 AB=BC，求证： OE=OF；（ 2）如图 2，若 AB≠BC，试判断线段OE 与 OF 能否相等，并说明原因A B练习：1. 如图，已知BD ⊥ AE 于 B， DC ⊥ AF 于 C，且 DB ＝ DC，∠ BAC＝ 40o，∠ ADG ＝130o，则∠ DGFD C＝_________F BGCMDA B E C AM A B( 1 题图 )（2题图）（3题图）2．如图，在△oABC 中，∠ C＝ 90 ， AM 是∠ CAB 的均分线， CM ＝ 20cm，那么 M 到 AB 的距离为．o，M 是 BC 上一点，且∠o，DM 均分∠ ADC ，3. 如图，∠ B＝∠ C＝ 90AMD ＝ 90求证： AM 均分∠ DAB ．4. 如图， BD ＝CD ， BF ⊥ AC， CE⊥ AB．求证： D 在∠ BAC 的角均分线上．NBCAED CD OPA EB BA MF C（4 题图）（5 题图）（6 题图）o， AC＝ BC， AD 为∠ BAC 的均分线， AE＝ BC， DE⊥ AB 垂5. 已知：如图， Rt △ABC 中，∠ C＝ 90足为 E，求证△ DBE 的周长等于 AB．6. 如图，已知PA⊥ ON 于 A， PB⊥ OM 于 B，且 PA＝ PB．∠ MON ＝ 50o，∠ OPC＝ 30o，求∠ PCA的大小．A专题练习 1：常有协助线1.倍长中线法【例 1】如图，△ ABC 中， AD 为中线．(1)求证： AB+AC>2AD ；B D C(2)若 AB=5， AC=3，则中线 AD 的取值范围是 _________________ ．A【例 2】如图，△ ABC 中， E、F 分别在 AB 、AC 上， DE ⊥ DF ，D 是中点．E 试比较 BE+CF 与 EF 的大小．F 练习： 1. 已知：如图， AD 是△ ABC 的中线， AB=AE，B CD AC=AF ，∠ BAE=∠ FAC=90° .尝试究线段AD 与 EF 数目和地点关系.提示：EEN7FFA 6 5A341B DC BD 2CM2．如图，已知AD 是△ ABC 的中线， BE 交 AC 于 E，提示：交 AD 于 F，且 AE=EF．求证： AC=BFAAEFBD CEFBD CG2.截长补短法【例 1】如图， AD∥ BC， EA， EB 分别均分∠ DAB，∠ ABC， CD 过点 E．求证： AB＝ AD+BC．【例 2】如图，在四边形ABCD 中， BC＞ BA， AD ＝CD ， BD 均分ABC ，求证：AA DC 180．ADEBC BC练习： 1.已知:如图，在△ ABC中，AB = AC，D为△ ABC外一点，∠ABD = 60，∠ADB = 90 1 ∠BDC.2求证: AB=BD+DC提示：DDE3.借助角均分线造全等【例 1】如图，已知在△ ABC 中，∠B=60°，△ ABC 的角均分线AD，CE 订交于点O，求证：OE=ODA AEO EGBCB C FDD【例 2】如图，△ ABC 中， AD 均分∠ BAC， DG⊥ BC 且均分 BC，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F.（1）说明 BE=CF 的原因；（ 2）假如 AB= a， AC=b，求 AE、BE 的长 .练习： 1. 已知△ ABC 中，∠ B=2∠ A，AB=2BC求证：△ ABC 是直角三角形 .A提示：C B4.三垂直问题基本图形：【例 1】如图，∠ ABC＝ 90°， AB＝ BC， D 为为 E、F，求证：△ ABE≌△ CBFAE CDFA EB C AC 上一点，分别过A、 C 作 BD 的垂线，垂足分别DB练习：如图，已知AC⊥ AB，DB⊥ AB，AC＝ BE，AE＝ BD ，试猜想线段 CE 与 DE 的大小与地点关系，并证明你的结论 .5.共极点的两个特别的图形（手拉手）基本图形O21C D1= 2AOC= BODAB【例 1】已知：如图，ABC 中，AB=BC，ABC90 ，点D在AC上， DBE90，BE=BD .求证： CD=AE .FA EE A DAE DMB C B CB C【例 2】以下图，已知AE⊥ AB， AF⊥ AC， AE=AB， AF=AC．求证：（ 1） EC=BF，（ 2）EC ⊥BF练习：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°， AC=2AB，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图搁置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，连结 BE、 EC．试猜想线段BE 和 EC 的数目及地点关系，并证明你的猜想．七、与中考链接（一）基础题A1． (06 北京 ) 已知：如图， AB∥ED ，点 F、点 C 在 AD 上，FEAB =DE， AF =DC ．求证： BC=EF．BCD2. (07北京)已知：如图，OP是AOC 和BOD 的均分线，OO A OC， OB OD ．求证： AB CD ．A B DC 3． (08 北京 ) 已知：如图， C 为 BE 上一点，点 A、D 分别在 BE 双侧， AB∥ ED，AB=CE ，BC=ED ．P求证： AC=CD．4． (09 北京 ) 已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB=90 °， CD⊥ AB 于点 D，点 E 在 AC上， CE =BC，过 E 点作 AC 的垂线，交 CD 的延伸线于点 F ．求证： AB =FC ．5． (10 北京 ) 已知：如图，点A、 B 、 C 、 D 在同一条直线上， EA AD ，FD AD，AE DF ，AB DC．求证：AC E DBF ．6． (11 北京 ) 已知：如图，点A、C、B、D 在同一条直线上，BE //DF ，A F，ABFD ．求证： AE F C ．7． (12 北京 ) 已知：如图，点 E，A， C 在同向来线上， AB// CD ，EABCE，ACCD．新人教版八年级数学上册第十二章全等三角形导教案 21 / 21求证：BC ED ．8． (13 北京 ) 已知：如图， D 是 AC 上一点， AB =DA ， DE ∥ AB ，B DAE ．求证： BC=AE ．9． (14 北京 ) 已知：如图，点B 在线段 AD 上， BC ∥ DE ， A B ED ，BCDB ． 求证： AE ．10.（ 15 北京）如图，在求证：ABC 中， ABAC ，AD 是 BC 边上的中线， B E AC 于点 E. CBEBAD .AEB D C-20-。

12．2 三角形全等的判定(1)1．掌握三角形全等的判定(SSS )，掌握简单的证明格式．2．初步体会尺规作图．重、难点：掌握三角形全等的判定(SSS )．一、自学指导自学1：自学课本P35－36页“探究1，探究2及例1”，掌握三角形全等的判定条件SSS ，并掌握简单的证明格式，了解三角形的稳定性，完成填空．(7分钟)画△ABC：①使AB ＝3 cm ；②使AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ；③使AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，AC ＝5 cm ；④使∠A＝30°；⑤使∠A＝30°，∠B ＝50°；⑥使∠A＝30°，∠B ＝50°，∠C ＝100°.每画完一个，与同桌画的三角形对比一下，形状与大小是一样的吗？总结归纳：(1)已知三角形的一个或两个元素，三角形的形状和大小不能确定，三个角相等的三角形形状确定，但大小不确定． (2)三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS ．(3)三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．自学2：自学课本P36－37页“探究与例题”，利用尺规作图画一个角等于已知角，初步体会尺规作图．(3分钟)点拨精讲：用尺规作图作一个角等于已知角的依据是“三边对应相等的两个三角形全等”，可通过添加辅助线构造全等三角形加以证明．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．在△ABC 和△DEF 中，若AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，则△ABC ≌△DEF ．2．若两个三角形全等，则它们的三边对应相等；反之，若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等．3．下列命题正确的是(A )A ．有一边对应相等的两个等边三角形全等B ．有两边对应相等的两个等腰三角形全等C ．有一边对应相等的两个等腰三角形全等D ．有一边对应相等的两个直角三角形全等4．已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝6，EF ＝3，FG ＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG ＝6．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B＝∠D.证明：(1)连接AC ，在△ABC 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS )．(2)∵△ABC≌△ADC，∴∠B ＝∠D.点拨精讲：在证明过程中善于挖掘如“公共边”这个隐含条件，可以考虑添加辅助线．探究2 如图，△ABC 是一个风筝架，AB ＝AC ，AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，求证：AD⊥BC.证明：∵点D 的BC 中点，∴BD ＝CD ，∴在△ABD 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，BD ＝AC ，∴△ABD ≌△ACD(SSS )，∴∠ADB ＝∠ADC，∵∠ADB ＋∠ADC＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°，∴AD ⊥BC.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，AD ＝BC ，AC ＝BD ，求证：(1)∠DAB＝∠CBA；(2)∠ACD＝∠BDC.证明：(1)在△ABD 与△BAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，AD ＝BC ，AC ＝BD ，∴△ABD ≌△BAC(SSS )，∴∠DAB ＝∠CBA.(2)在△ADC 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝CD ，AD ＝BC ，AC ＝BD ，∴△ADC ≌△BCD(SSS )，∴∠ACD ＝∠BDC.点拨精讲：三角形全等的判定与性质的应用经常交替使用．(3分钟)本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS ，并利用它可以证明简单的三角形全等问题．添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)1、在最软入的时候，你会想起谁。

12.2 三角形全等的判定第1课时边边边一、新课导入1.导入课题：通过上节课的学习，大家知道：两个三角形全等时，三条对应边相等，三组对应角相等，那么判定两个三角形全等，是否一定需要满足六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?从这节课开始，我们来探究全等三角形的判定.2.学习目标：（1）通过三角形的稳定性，体验三角形全等的“边边边”条件.（2）会运用“边边边”定理判定两个三角形的全等．3.学习重、难点：重点:寻求三角形全等的条件的方法.难点:寻求三角形全等的条件的依据.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究1:两个三角形的六个对应元素中满足一个或两个对应元素相等的两个三角形是否一定全等.探究2:三条边对应相等的两个三角形是否一定全等.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：按探究中的要求画三角形、剪三角形、重叠三角形，并观察归纳得出自己的结论.（4）探究提纲：动手画出符合给出条件的两个三角形，小组内比较一下，看画出的图形是否全等.a.小组长任意给出一个条件（一条边或一个角），小组的所有成员动手画出符合条件的三角形，小组内比较一下，你们画出的图形一样吗？b.小组长任意给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？发现按这些条件画出的两个三角形不能保证一定全等.c.给出三个条件画三角形，画画看有几种可能的情况.d.已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？你能得出什么结论？通过上面的操作，你得出的结论：三边分别相等的两个三角形全等简写为“边边边”或“SSS”.2.自学：学生结合探究提纲进行探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：学生对自学提纲中的a、b两种情形，能够很快得出不全等的结论，但对于自学参考提纲中的c情形，学生可以得出很多结论，因此教师在肯定学生的前提下，不要过多的停留在这个问题上，要迅速引导学生回到今天探讨的重点上.②差异指导：根据学生学习中存在的问题予以分类指导.(2)生助生：在动手画图的过程中，小组之内需要合作探究，相互交流帮助.4.强化：(1)定理的文字表述：三边分别相等的两个三角形全等.(2)定理的几何表述：如图，在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF.（特别注意对应的顶点写在对应的位置上.）1.自学指导：(1)自学内容：教材第36页例1到教材第37页探究3前的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：认真阅读教材上的内容，思考回答自学提纲中的问题.(4)自学参考提纲：①判定两个三角形全等，今天学习了什么方法？SSS②图中D是BC的中点，你可以得出哪个结论？等腰三角形“三线合一”.③你学会了证明两个三角形全等的基本格式了吗？④请仿照课本作图：已知∠AOB.a.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB，认真阅读作法，理解什么是尺规作图？然后写出这样作图的理论依据.依据：三边分别相等的两个三角形全等（SSS）.b.剪下△COD和△C′O′D′，重叠地放置在一起，看一看有什么结果？全等.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：重点了解学生对证明的符号语言的运用及作图中的作法表述规范完整.②差异指导：a.指导学生的证明过程；b.纠正学生尺规作图的作法不当之处；c.引导说明每步作图的目的和依据.(2)生助生：对尺规作图的理论依据及规范操作进行交流，对困难学生予以帮助.4.强化：(1)结论、方法、要领：①用：“SSS”判定两个三角形全等的依据.②用“SSS”证明两个三角形全等的表达格式.③符号“∵”“∴”表示的意义.④公共边是对应边.⑤等量的运用：等式性质.(2)练习：如图，A、D、B、F在一条直线上，BC=DE，AC=EF，BF=AD，求证：△ABC≌△FDE.证明：∵BF=AD,∴BF+BD=AD+DB,即DF=AB.在△ABC和△FDE中，BC=DE,AC=FE,AB=FD,∴△ABC=△FDE(SSS).三、评价1.学生的自我评价：通过本节课的学习，让学生代表谈谈自己的收获或困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和收获进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师自我评价(教学反思):本课时教学时应抓住以下重点：(1)分类问题：教师让学生从实践入手，给定三角形三边，学生在薄纸上画，然后小组的同学看所画三角形是否重合，探索归纳、形成结论.(2)教师可用多媒体展示现实生活中的实际例子：如桥梁、铁塔、自行车的三角架等，从中体验三角形的稳定性，认识“边边边”可作为三角形全等的判定依据.(3)强调思路分析和书写规范.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）1.下面判断两个三角形全等的条件中，正确的是（D）A.一条边对应相等B.两条边对应相等C.三个角对应相等D.三边对应相等2.如图，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由SSS可以判定（B）A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACEC.△BDE≌△CDED.以上答案都不对3.如图，AB=AC，EB=CD，要使△ABE≌△ACD，依据SSS，则还需要添加条件AE=AD.4.如图，AB=AD，CB=CD，△ABC 与△ADC全等吗？为什么？解：全等.∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS).二、综合应用（每题15分，共30分）5.如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE，求证△ACD≌△CBE 证明：∵C是AB的中点，∴AC=CB.在△ACD和△CBE中，AC=CB,AD=CE,CD=BE,∴△ACD≌△CBE（SSS）.6.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：∠A=∠D.证明：∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中，AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF(SSS).∴∠A=∠D.三、拓展延伸（20分）7.已知∠AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与OA平行的直线. 解：作图如图所示：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E;（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点F；（3）以点F为圆心，DE长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点P;（4）过C，P两点作直线，直线CP即为要求作的直线.专题练习：图形的轴对称基础训练1．下列交通标志图案是轴对称图形的是(C)2．下列图形中，所有轴对称图形的对称轴条数之和为(B)(第2题图)A. 13B. 11C. 10D. 83．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是(C)4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有(C)(第4题图)A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种5．如图，直线y＝－33x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿着直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是(A)(第5题图)A. (3，3)B. (3，3)C. (2，23)D. (23，4)6．若点A(m＋2，3)与点B(－4，n＋5)关于y轴对称，则m＋n＝__0__．(第7题图)7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B 恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE＝71°．8．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(－3，－1)．(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标．(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．(第8题图)解：(1)如解图所示△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为(－2，－1)．(2)如解图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为(1，1)．(第8题图解)9．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH.(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第9题图)解：(1)证明：由折叠知AE ＝AD ＝EG ，BC ＝CH . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ， ∴EG ＝CH .(2)∵∠ADE ＝45°，∠FGE ＝∠A ＝90°，AF ＝2， ∴DG ＝FG ＝2，DF ＝2， ∴AD ＝AF ＋DF ＝2＋2.由折叠知∠AEF ＝∠GEF ，∠BEC ＝∠HEC ，∴∠GEF ＋∠HEC ＝90°，∠AEF ＋∠BEC ＝90°， ∵∠AEF ＋∠AFE ＝90°， ∴∠BEC ＝∠AFE . 在△AEF 与△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠BEC ，∠A ＝∠B ＝90°，AE ＝BC ，∴△AEF ≌△BCE (AAS )， ∴AF ＝BE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝22＋2.拓展提高10．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为(C ),(第10题图))A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°11．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为点E ，下列结论不一定成立的是(C )(第11题图)A. AB ＝ADB. AC 平分∠BCDC. AB ＝BDD. △BEC ≌△DEC12．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有_3_种．(第12题图)13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B′F的长为4 5．(第13题图)14．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN 的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值是2．(第14题图)15．在▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝23，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在▱ABCD所在的平面内，连结B′D.若△AB′D是直角三角形，则BC 的长为__4或6__．16．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G，点E，F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．,(第16题图))(1)求证：△ABG≌△C′DG.(2)求tan∠ABG的值．(3)求EF的长．解：(1)证明：∵△BDC ′由△BDC 翻折而成，∴∠C ＝∠C ′＝∠BAG ＝90°，C ′D ＝AB ＝CD ，∠BGA ＝∠DGC ′. 在△ABG 与△C ′DG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAG ＝∠C ′，∠AGB ＝∠C ′GD ，AB ＝C ′D ，∴△ABG ≌△C ′DG . (2)解：∵由(1)可知△ABG ≌△C ′DG ，∴GD ＝GB . 设AG ＝x ，则GB ＝GD ＝AD －AG ＝8－x .在Rt △ABG 中，∵AB 2＋AG 2＝BG 2，即62＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝74，∴tan ∠ABG ＝AG AB ＝746＝724. (3)解：∵△AEF 是△DEF 翻折而成， ∴EF 垂直平分AD .∴HD ＝12AD ＝4.∴tan ∠ABG ＝tan ∠ADE ＝724.∴EH ＝HD ×724＝4×724＝76.∵EF 垂直平分AD ，AB ⊥AD ，∴HF 是△ABD 的中位线． ∴HF ＝12AB ＝12×6＝3.∴EF ＝EH ＋HF ＝76＋3＝256.17．如图，已知在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D处，折痕为EF (点E ，F 分别在边AC ，BC 上)．(第17题图)(1)若△CEF 与△ABC 相似．①当AC ＝BC ＝2时，AD 的长为__2__； ②当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为．(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由． 解：(1)若△CEF 与△ABC 相似．(第17题图解①)①当AC ＝BC ＝2时，△ABC 为等腰直角三角形，如解图①，连结CD . 此时点D 为AB 边中点，AD ＝22AC ＝ 2.②当AC ＝3，BC ＝4时，有以下两种情况：(第17题图解②)(Ⅰ)若CE ∶CF ＝3∶4，如解图②所示．∵CE ∶CF ＝AC ∶BC ，∴EF ∥BC .由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴BC ＝5.∴cos A ＝35.AD ＝AC ·cos A ＝3×35＝1.8.(第17题图解③)(Ⅱ)若CF ∶CE ＝3∶4，如解图③所示，连结CD ，与EF 交于点Q .∵△CEF ∽△CBA ，∴∠CEF ＝∠B .由折叠性质可知，∠CEF ＋∠ECD ＝90°，又∵∠A ＋∠B ＝90°.∴∠A ＝∠ECD ，∴AD ＝CD .同理可得∠B ＝∠FCD ，CD ＝BD .∴此时AD ＝12AB ＝12×5＝2.5.综上所述，当AC ＝3，BC ＝4时，AD(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似．理由如下：如解图③.∵CD 是Rt△ABC 的中线，∴CD ＝DB ＝AD .∴∠DCB ＝∠B .由折叠性质可知，∠CQF ＝∠DQF ＝90°，∴∠DCB ＋∠CFE ＝90°.∵∠B ＋∠A ＝90°，∴∠CFE ＝∠A .又∵∠ECF ＝∠BCA ，∴△CEF ∽△CBA .第2课时 等腰三角形的判定1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．重点等腰三角形的判定方法．难点等腰三角形的判定方法的证明．一、提出问题出示教材第77页“思考”．学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？学生猜想它们所对的边相等．即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如何证明？二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证．已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD⊥BC，或AD 平分∠BAC，但不能作BC 边上的中线．学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C，作△ABC 的角平分线AD.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠B ＝∠C，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD(AAS )，∴AB ＝AC.归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”．三、应用举例1．出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明．学生讨论后，自己完成证明过程．例 2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.(如图所示)求证：AB＝AC.分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C 与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.让学生自学例3.例3 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：(1)作线段AB＝a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC＝h.(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．四、课堂小结1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题13.3第2，8，10题．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．。

1全等三角形 导学案 一、学习目标：1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。

2.掌握全等三角形的性质，并运用性质解决有关的问题。

3.会用符号表示全等三角形及他们的对应元素，培养大家的符号意识。

二、重点难点：运用全等三角形的性质解决相关的计算及证明等问题。

三、学习过程（一）、自主预习课本内容，回答下列问题：1、能够________的图形就是全等图形, 两个全等图形的_______和________完全相同。

2、一个图形经过______、______、_________后所得的图形与原图形 。

3、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。

“全等”用“ ”表示，读作 。

4、如图所示，△OCA ≌△OBD ，对应顶点有：点___和点___，点___和点___，点___和点___； 对应角有：____和____，_____和_____，_____和_____； 对应边有：____和____，____和____，_____和_____.5、全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等。

（二）、练一练1．如图，△AB C ≌△CDA ，AB 和CD ，BC 和DA 是对应边。

写出其他对应边及对应角。

2如图，△ABN ≌△ACM ，∠B 和∠C 是对应角，AB 与AC 是对应边。

写出其他对应边及对应角。

《课内探究》1.如图△EFG ≌△NMH,∠F 和∠M 是对应角.在△EFG 中，FG 是最长边. 在△NMH 中，MH 是最长边.EF=2.1㎝,EH=1.1㎝,HN=3.3㎝. （1）写出其他对应边及对应角. （2）求线段MN 及线段HG 的长.2.如图，△ABC ≌△DEC,CA 和CD,CB 和CE 是对应边.∠ACD 和∠BCE 相等吗？ 为什么？课题：《三角形全等的判定》(SSS)导学案【学习目标】 1、能自己试验探索出判定三角形全等的SSS 判定定理。

第十二章全等三角形路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

屈原《离骚》 原创不容易，【关注】，不迷路！12．2全等三角形的判定 第4课时“斜边、直角边”学习目标：1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2．掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题． 3．在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理．重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题． 难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．一、知识链接1．我们学过的判定三角形全等的方法有． 2．如图，AB ⊥BE 于C ，DE ⊥BE 于E ． （1）若∠A =∠D ，AB =DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）；（2）若∠A =∠D ，BC =EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）；（3）若AB =DE ，BC =EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）．二、新知预习如图，已知AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ． （1）△ABC 与△DEF 全等吗？自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分1．复习引入 （见幻灯片3-6）（2）若∠B=∠E=90°，猜想Rt△ABC是否全等于Rt△DEF．动手画一画．三、我的疑惑一、_______________________________________________________二、要点探究探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？作图探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°．再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？知识要点：文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．几何语言：课堂探究教学备注配套PPT讲授2．探究点新知讲授（见幻灯片7-21）在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，'','',AB A B BC B C =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′(HL)． 判一判：判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （） （2）一条直角边和斜边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等； （） （4）两直角边对应相等；（） （5）一条直角边和斜边对应相等．（）典例精析例1：如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC ﹦BD ，求证：BC ﹦AD ．【变式1】如图，∠ACB =∠ADB =90°，要证明△ABC ≌△BAD ，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由．（1）（） （）（） （3）（） （4）（）【变式2】如图，AC 、BD 相交于点P ，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C 、D ，AD =BC ．求证：AC =BD ．【变式3】如图：AB ⊥AD ，CD ⊥BC ，AB =CD ，判断AD 和BC 的位置关系．PDCBA教学备注A BD C例2：如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE ．求证：BC ＝BE ．方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已条件．例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？二、课堂小结 直角三角形判定简称图示 符号语言 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”“HL ”在R △ABC 和Rt △A 1B 1C 1中，∴Rt △ABC ≌Rt △A 1B 1C 1(HL)．注意：利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形中．1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（） A ．两条直角边对应相等B ．斜边和一锐角对应相等 C ．斜边和一条直角边对应相等D ．两个锐角对应相等CADB当堂检测教学备注配套PPT 讲授3．课堂小结 （见幻灯片29）4．当堂检测 （见幻灯片22-28）2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，C⊥AB于点E，AD、CE交于点，BC ＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？参考答案自主学习一、知识链接1．SSS、SAS、ASA、AAS2．（1）全等ASA（2）全等AAS（3）全等SAS二、新知预习（1）不一定全等（2）全等三、我的疑惑课堂探究三、要点探究探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）问题可以作图探究重合判一判（1）AAS（2）×（3）AAS（4）SAS（5）．（2）当P运动到与C点重合时，AP＝AC．在Rt△ABC与Rt△PQA中，∵AB＝PQ，AC＝PA，∴Rt△ABC≌Rt△PQA(．综上，当AP＝5cm或10cm时，△ABC和△APQ全等．【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。