第2讲 绝对值的化简(教师版)

华师大版数学七年级绝对值教学设计课题绝对值单元 2.4 学科数学年级七年级学习目标1、借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值；2、会利用绝对值的概念进行有关绝对值的计算；3、理解绝对值的非负性质，并能应用这一性质解决问题；重点借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值；难点理解绝对值的非负性质，并能应用这一性质解决问题；教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、复习与练习1、汽车向东行驶5千米，记作+5千米，那么汽车向西行驶5千米，记作千米；+5的相反数是；如果汽车千米耗油0.2升，那么汽车向东行驶5千米耗油升，汽车向西行驶5千米耗油升。

2、如图所示：A点表示的数是；它在原点的旁，与原点相距单位长度；B点表示的数是，它在原点的旁，与原点相距单位长度；A点和B点表示的数互为，它们与原点的距离；二、提出问题有一些量的计算中，有时并不注重其方向，如何表示这些量呢？直接回答直接回答思考复习巩固引出新课讲授新课一、绝对值的概念1、绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.2、举例子：（1）在数轴上表示+3的点与原点的距离是，读并理解直接回答数形结合所以+3的绝对值是，记作；（2）在数轴上表示－6的点与原点的距离是，所以－6的绝对值是，记作；（3）在数轴上表示+2.5的点与原点的距离是，所以+2.5的绝对值是，记作；（4）在数轴上表示－7.2的点与原点的距离是，所以－7.2的绝对值是，记作；（5）在数轴上表示0的点与原点的距离是，所以0的绝对值是，记作；3、绝对值符号的理解（1）|+1.8|表示的绝对值，结果是；（2）|－1.8|表示的绝对值，结果是；（3）|0|表示的绝对值，结果是；（4）|a|表示的绝对值，结果是；二、绝对值法则1、完成课本P23页的试一试。

2、绝对值法则（1）文字表述：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数。

绝对值化简中考要求內容 基本要求 略咼要求较咼要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的 绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问例题精讲绝对值的几何意义： 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离•数a 的绝对值记作a绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数： O 的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算 > 运算符号是“，求一个数的绝对值 > 就是根据性质去掉绝对值符号② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.⑷ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号•绝对值是5.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0 •那么这若干个非负数都必为0.例如：若 IalblCO ' WJ a 0 ∙ b 0 > c 0绝对值的其它重要性质：(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数 > 也不小于这个数的相反数 > 即 ⑵若Ia Ib •则a b 或a b ;(3)SbaI b ; b M (b 0);(4)Ia ∣2∣a 2∣a 2 ；(5)IIaIbll ≡b a ∣b,对于Ia b ∣ IaI Ib ，等号当且仅当a ・b 同号或a ・b 中至少有一个0时，等号成立;对于Ia blab •等号当且仅当a 、b 异号或a ・b 中至少有一个0时，等号成:⅛.板块一：绝对值代数意义及化简求字母a 的绝对值：a(a 0) 0(a 0) a(a 0)利用绝对值比较两个负有理数的大小： a(a 0) a(a 0) a(a 0)a(a 0)两个负数，绝对值大的反而小.【例1】(2级)(1)下列各组判断中，正确的是A•若Ia b >则一定有a b B .若I ab >则一定有a【巩固】已知X O 乙Xy O. y ∣Z ∣x ＞那么XZy 【例5] abcde 是一个五位自然数，其中a 、b ・c ・dy 为阿拉伯数码，且abed 侧ab Ib IC d ∣ Ide 的最大值是.【例6】已知yxbx20xb20,其中0b20,b ＜x ＜20.那么y 的最小值为 __________________________________________ 【例71【巩 设a, b, C 为整数，且ab Ca求C ，那么 Ca ∂a b Cb IbC 的值已知a1,b ∣ 2,C3■且 a b【例 (68】级）（1）（第10届希望杯2试）已知X1999.则4x 2 5x94 X 2 2x 23x7(2) （第12届希望 2试）满足(a b)2(b a) a bab ( ab0）有理数 a 、b.疋不满足的矢系疋（A ab 0 B. ab 0 C. a b 0 D a b 0（3）（第7届希望杯2试）已知有理数a ・b 的和a b 及差a b 在数轴上如图所示，化简2a b 2 a b 7 ._ 3∙4∙b ・ θ∙b ・-1 0 1这道題冃体现了一种重要的 先估算+后化简+再代入求值”的思想•（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉＞若 a > b 时，(a b)2 (ba) a b (a b)2 (a b)2 0込 若 a b 时，(a b)2 (b a) a b (a b)2 (b a)2 2(a b)2 ab ,从平方的非负性我们如道abθ，且 ab 0.所以 ab O.则答案A —定不满足 （3）由图可知Oab1, a b1C∙若a b ，则一疋有abD ・b ,则一定有a 22b⑵如果a 2 > b?,则A. a bB. a >C.D a V b（3）下列式子中正确的是 A. a 3 B ."（4｝对于m 1，下列结论正确A. m 1 >∣ m | B . m (5喏 X 21 WImI Cx2 0,求X 的取值范围.【例2】已知：⑴ a5, b2，且 a b ：(2)1 WImI 1• b 的值【例3】已知2x【巩固】 【例 4】 3 3 2x ，求X 的取值范围（4级）若ab 且ab,则下列说法正确的是（A. a 一定：是正数B.a —定是负数C. .b求出所有满足条件非鑿 b ab 1的非负整数对a ,b） 一定是正数D・b 一定是负数n 5 O •所有这样的整数组 m,n 共有【巩 固】如果有理数a 、b y 在数轴上的位老如图所示，求 IabblaClC 的值.ZXy两式相加可得： 2a O ' a O 进而可判断出b O ，此时2a b O ∙ b 7 O •所以 2a b 2a b 7(2a b) 2( a) (b 7)7・【巩固】（8级）（第9届希望杯若m 1998，则m 2 11m 999∏√ 22m 999 20【解 m 2 Ilm999 m(m 11)999 1998 1987 9990 >析】m 22m999 m(m 22)999 1998 1976 9990 >故(m 211m999) (m 2 22m999) 20 20000 .【补V充】 (8 级)若X 0.239,求 X 1x3Lx 1997∣ IX2LX 1996 的值.【解法1： V X 0.239 > 贝 U原式 (XI)(X 3)Li (x 1997)x(x 2) L (X 1996X 1 X 3 X 5L X 1997 xx2 LX 19961 (3 2) (5 4)L(1997 1996)1 1 L 1 999法2 :由 x<ab >可得X bX a b a * 贝 U原式,<x 1 x) (x3x2) L(x 1997X 1996)1 1 L 1 999点评：解法二的这种思维方法叫做构造法・这种方法对于显示题冃中的矢系，简化解题步骤有着重 要作用・5a 1 3a 的值是一个定值，就必须使得 4 5a0.且1 3a < 0， 1 4原式 2a 4 5a (1 3a) 3 ,即.w a < —原式的值永远为3.35【巩固】（8级）若x4x2x3Lx 2008的值为常数•试求X 的取值范围.【解析】要使式子的值为常数，X 得相消完，当1004<x< 1005时 > 满足题意・【例“】（2级）数a,b 在数轴匕对应的点如右图所示•试化简a b b a b a a ∣aOb【解析】abbabaa ∣【例9](40 级)设 AIXb因为ObVXV 20,所以A X 2b > X20∣ IX b 20 ,其中 0 X b > 0, X 20 < 0 ,) 20 •所以A 的最小值为b<x<20.试证明A 必有屐小值b 20 0.进而可以得到： 20【例 （8 ）若2a 10] 级〕5a I 3a 的值是一个定值，求a 的取值范圉•【解析】要想使2aa b b a b 2a b .【巩固】（2级）实数a, be 在数轴上的对应点如图 > 化简【解 析】由题意可如：J a 0, c b O. a b 0, a c 0 ,所以原式 2c a【巩固】 O （级）若b 且・ ,化简abab 0a bab■【解析】若ab 且*b, a 0,b0, a b O,ab 0aba baba b a bab ab2a【例12】（8级）（北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试）设a,b,c 为非零实数，且aaθ t ab ab , CCO 简b a b∣c b a c .【解析】a a 0 ・ a a , a < 0； ab ab , ab > 0 ； CC0, cc, c > 0所以可以得到a 0, bθ. cO ；b a b IC b IababCbaCb .【例13】（6级）如果0 m 10并且mV χ< 10 *化简IX m x 10 x m 10・【巩固】（6级）若a b >求b a 1 ab5的值・ 【解析】ba 1 ab5ba1ab5【巩固】（8级）（第7届希望杯2试）若aθ , ab 0，那么b 5等于【巩固】〈2级）化简：（1）3 x（2）χ ι×23 X X 32x3x2【解析】⑴原式；⑵原式1 2 w X 1x3x>32x 3 X > 1【解析】aθ, ab 0 ,可得：b 0 ■所以b a【巩固】（2级）已知Kx5，化简1 xx5【解析】因为Kx 5，所以1 xwθ,x5 0•原式ICbabaC【解析】XmX10 IX m 10 XmIO XmlO X 20 x.【例14】（8级）已知X 3,化简3 2 1 X.(AftftM【解析】当X 3时，3 2 1 X] 32 1X3【巩固】（8级）（第16届希望杯培训试题）已知IXlXl【解析】由x1 x1 2的几何意义 > 我们容易判断出4 ∣3 43x ∣1【例16】（8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知abed 25，求 b a ∣ ∣d c 的值【解析】因 a b w 9. c d < 16 •故 a bl ∣c d < 925 abed abdcwabd c w 25 •所以 a b x2x9. cd16∙故原式【例 (8级4)若XOHL 简•⑸IX 3 Ixl X 2χX 2x 3x【解析】X 3 X 3 X X3板块二：矢于O 的探讨应用a【例仃】（6级切已如a 是非零有理数，求【解析】那么a2 33 诺 aθ > a a 23a讣11 1那么a; a 2...a 3 r11113 X 3 3 X X X.所以 4 2x1]4∣2 1【巩固】 （8级）（四中）已知2a 4b4 4b 3 2a 3 a 2b2a 4b0,∙∙∙ 2a 4b(2 a 4 b) 2(a2b)..2a 4b (a 2b)22(a 2b) (a 2b)22 ~2b又∙ ∙ ∙ 2b4 a 2b(a 2b)4a2b 〒∙∙ ∙O鲁224b 3― a 34b 3 (2 a 3)2a 4b212a 4b a 2brs —μ2 4 J⅞χΛ a2b a 2bJ 3 a2b a2b点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子 X ,再去绝对值的符号.a t b,cd 是有理数.16 25,又因为5【巩固】（6级）当m3时，化简 【解析】m3，m3 Cb当m3,即m30时.当m3,即m30时，m3m3> 所以一_•1 m 3m 3 (m 3) 所以一」1 m 3【巩（2级）下列可能正确的是（)Aab1 BB b abcab£ A3 .a bC dDabed abed【解 选D.排除法比较好或特殊值法「「「1■【巩固】【解析】(6 级)如果 2ab0 JIJB1 H2 b 写I【例18】（10级）（2006年第二届••华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知 卫£农，且a be 都b C abc不等于0 ■求X 的所有可能值 【解析】4或0或4 【巩 （10级）（北京市迎春杯竞费试題）已知 a∙b,c 是非零整数，且a b固】 的值 因为a. be 是非零有理数，且abc 0 •所以a, b 1 C 中必有一正二负,则原式aA abc abc abc 0，求——C θ⅛c a bC I abC不妨设3【解析】1: Ial1 •重要结论一定要记得•【巩固】（2级）若aθ侧 ________________ ；若80•则Ua lb2a 1 b2 A. 0 B ・ Bb 的值是( a b 1 C ・ 3 ) D ・ 4 【解 ⑴C •特殊值法: 取 a 0.5, b 1.5代入计算即 析】 【例19】（8级）（2009年全国初中数学竞费黄冈市选拔费试题）若 A. 2B . 3 C ・ 4 DOa 1 >2002 2002 2002(AftftM【例 （8级）如果bcθ, abcθ ,贝 U —的值等于（）20】IaA. 1 B •C . 0D • 3200220022∞2【解 易知一 1b1 C1'所以原式1，故选择析】I-b∙ C（8级）a, b. c 为非零有理数，且a be Cb 则理里申的值等于多少？Ialb Ib C Iqa由abc 0可如a . b , c 里存在两正一负或者一正两负：空匹浬 a bb ICC 亘 a b ∣b c ∣c a a b Ib C IC a 若两正一负，那么a B b Ec 旦4 1 11 :Ial b IbI C 忖 aab ac be 的值.abc 0 , •••a ・b ・c 三个数都不为零 a ' b ・ C 三个数都是正数 > 则ab ^aC^bC 也都是正数 ,故原式值为；・ a ' b ・ C 中两正、一负 > 贝y ab acbc 中一正、两负• 故原式值为；・ a ' b ・ C 中一正、两负，贝y ab acbc 中一正、两负• 故原式值为中三a b ⅝C 中三负*贝U ab 、 ac 、 bc 正 ' 故原式值为3 ■（6级J若 a , b , C 均不为零，求I Ibl C EC全为正数 > 则原式 一正两负 > 则全为负数，则原式1 ；3. 【例22]（6级）（第13届希望杯1试）如果2ab由2a bθ得b的值.【解 析]2a ，进而有B*b 2a2 Ia2T0 >则石1凶2 b0侧石'冋2 b（6级）若* .A h c ∩C 均不为零，且CaUUu>求专专；•根据条件可得a.C 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为【巩 固】【例23]（8级）已知abcabBC右a >b∙ c 两正一负，则原式若若若若1 2若•正两负，那么:专羔综上所得壬壬辽ab I bCCa【巩固】（8级）（第13届希望杯培训试题）如果abcθ. abcθ＞ abcθ＞求（占严（吕严（占严的值.囘 I b l I C l【解析】由abcθl abcθ. abcO,两两相加可得：a 0, b 0. c 0.所以原式结果为1 •若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c.求b 1等于多少？ 从总体出发：C a ）2008 「所以原式1111 .【巩 （8级）有理数a,b, C 均不为零，且abcθ,设X固】【例25】（8 级 ◎有理数a. be 均不为零，且a bcθ 设XIb a Cb a C＞则代数式a b200X 4X 2007的值为多少？【聲 由a b c 0易知a 1b, c 中必有「正两负或两正一负＞ 不妨设a0,b0, Co 或 a 0. b所以Xa b C 1或者X a b C仁所以x 1 ，所以原式2004a b a c a b b c a ca b0,c0当X 1时•原式2098所以X4或者X1.所以当）（1时，原式1902【例（8级）（“祖冲之初中数学邀请费试题）设实数a ,b ・c 满足ab C 0 •及 abc 0 C 八÷τ∙∙a b C XV a(l ±)b (丄 A) c(!1r \ ・ fir? Z zμ*⅛=⅛iV 3xy 的值为Ial Ibl ICl b Ca C ab【解 由 a b c 0 及 abc0.知实数a . b , c 中必有两个负数，一个正数 ＞从而有X 1 .■ K1 1 11 1 1 abc乂 y 3()b (-h rα C C(Ah )=abc3 •贝 U X 2y 3xy1 69 2・的值为多少？由abcθ易知a ,b, C 中必有一正两负或两正一负,,若 i 巩固】 （‘° 级）a b C abIaCL-X lab Cabac bc0，所以原式"…则代数式X 19 99x 2000b c a c a b不妨设 aθ, bθ. Co 或 aθ. bθ, CO（海口市竞费题）三个数B 小， 求 a ×3 bxcx 【解析】a , b , C 中必为• C 的积为负数，和为正数，且xa ： 1的值•负两正，不妨设a OJIJ b 0,c 0 ；［巩固］(8级)已知a 、b ・c 互不相等 > 求们b)(bC) ① C)(C a)(C 岬b)的值. (a b)(b C) (b C)(C a)(C a)(a b)【解析】由题意可得(a b)(b C)(C a) O 且(a b) (b C) (C a) 0,把a b. b c, c a 当成整体分类讨论：①两正一负，原式值为1;②两负一正•原式值为1・(8级)(第18届希望杯2试)若有理数 En 、P 满足1一2 1 ,求加叩的值m n P∣3mnp由匸£1可得：有理数m 5、p 中两正一负，所以mnp 0 >所以讪卩m n P ImnPl2mnp 2 mnp 2 3mnp3 mnp3・【巩固】(6级)已知有理数a, be 满足一,则舐(a b cIabCIA. 1 B ・1 C ・OD •不能确定【解析】提示：其中两个字母为正数 > 一个为负数，即abc 0(8级)有理数a . b , c . d 满足兰巴abed若含有1个负数，贝U ・ 【例271(6 幺 及)已知abθ.求旦 abb的值【解÷C1(谐 a,b 异号，则.ab b(2帘 a, b 都是正数，则 A a b b 2(3帘 a, b 都是负数，则旦 b2b【例26］【巩 固】,abed ,由abed1 知 abed 0 ,所以 a , b ,d 里含有1个负数或3个负数:【巩固】 (6级) 已知abθ.求1 *a •的值・b【解分类讨论:当aθ,b 0时•a b 1 1 0.ab< 4 ta当a 0 ,b0时•1■ Il! a ∣ ∣b 1 12a b综上所述,1a b I的值为20 t 2当 a O. b 当 aθ.b1 a 0时» a1 11 B 0时，a b1(1)2 b1 1b1 ( 11Ωb(AftftM【例（6级切若a,b,c 均为非零的有理数'a b C 的值 — 28】 （1）当a ，b C 都是正数时，原式a b C b £3 【解析】 ⑵当a, b, C 都是负数时，原式' a b c 3⑶当a ，b, c 有两个正数一个负数时， 原式 1 （4）当a ，b, c 有两个负数一个正数时， 原式 1（6级）（第16届希望杯培训试题）若abcO,求abc 的值.冋坷ICl 由abcθ可得，a ・b ・c 中有3个负数或1个负数>［巩 当sb 、C 中有3个负数时，原式11 （1） 1 ; 当a 、b 中有1个是负数时，原式1 1 1 1;当C 是负数时，原式 Il （I ） 3・ 板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例29】（4级）（2005年云南省中考试題）阅读下列材料并解决相笑问題:xxθ我们知道X 0x0 •现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式•如化简代数式x1 X2时，可令x1 0和x2 0,分别求得×1,x2 （称4,2分别为x 1与x 1和x 2可将全 零点值），在有理数范围内'零点值X 情况：体有理数分成不重复且不易遗漏的如下■⑴当X 1时•原式Xl X2 2x1⑵当1 <x2时，原式 （3）当 x> 2 时，原式 X 1 X 2 2x 12x 1 X 1综上讨论，原式 3 1< x22x 1 X > 2通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1吩别求出X 2和X 4的零点值 ⑵化简代数式x2x42x2x2所以综上讨论 ' 原式6 2 Wx4 【解析】 （1另别令x2 0和X 4 0，分别求得X 2和x4>所以X 2和X 4的零点值分别为X2 和x4 ⑵当X 2时，原式x2 X4 X 2 X 4 2x 2 ； 当2Wx 4时，原式x2 x4 6 ；当x>4时，原式X 2 X 4 2x 2。

第02讲_绝对值知识图谱绝对值知识精讲一．非负性绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作绝对值的代数意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即：对于一个数a，例：若，则k需要满足什么条件？k-6与6-k互为相反数，故k-6是负数，k<6绝对值的非负性绝对值具有非负性．即对于任意实数a，总有．如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如：若，则，，．*非负性的应用：1、若多个非负数之和为0，则它们都为0（1）若，则a、b的值为多少？绝对值是非负数，故a-3=0，b+2=0，即a=3，b=-2（2）若，则m、n的值为多少？绝对值和平方数都是非负数，故m+7=0，n-9=0，即m=-7，n=9 2、若有最大值，则c的值为多少？越小，原式值越大，，故当=0，即c=-8时，原式有最大值2二．绝对值的几何意义三点剖析一．考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．绝对值的计算1、 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值． 即对于任意实数a ，2、乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商． 即对于任意实数a 、b ，，3、绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：，绝对值的几何意义数轴上一个数所对应的点到原点的距离．即的 几何意义就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 推而广之：代数式的 几何意义就是数轴上数x 、数a 所对应的两点之间的距离． 例：表示数m 到7的距离；表示数n 到-5的距离几何含义的应用1、在数轴上到3的距离为8的数字是？，故x=11或-52、已知，求的值，x -y 的值为6或2二．重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．三．易错点：1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a ，总有a a ≥，a a ≥-．2． 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，a a =-． 3． 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，ab a b =，a ab b =(0)b ≠．4． 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面． 例如：22a a =，22a b a b =．非负性例题1、 ﹣2的绝对值是（ ）A.﹣2B.﹣12C.2D.12【答案】 C【解析】 因为|﹣2|=2例题2、 已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 【答案】 ±4【解析】 绝对值是4的数有两个，4或﹣4． 例题3、 设a 是实数，则|a|﹣a 的值（ ） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数 【答案】 B【解析】 （1）a ≥0时，|a|﹣a=a ﹣a=0； （2）a ＜0时，|a|﹣a=﹣a ﹣a=﹣2a ＞0． 故选B ．例题4、 当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a|的值是（ ） A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 【答案】 B【解析】 当1＜a ＜2时， |a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1．例题5、 已知|a+2|+|b ﹣1|=0，则（a+b ）﹣（b ﹣a ）=______． 【答案】 -4【解析】 ∵|a+2|+|b ﹣1|=0，∴a+2=0，b ﹣1=0，即a=﹣2，b=1， 则原式=a+b ﹣b+a=2a=﹣4．例题6、 已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【答案】 2a =，5b =-，13c =-．【解析】 由绝对值的非负性知，245310a b c -=+=+=．随练1、 若|a|=﹣a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧【答案】 B【解析】 ∵|a|=﹣a ， ∴a 一定是非正数，∴实数a 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．随练2、 12-的绝对值是（ ）A.12-B.12C.2D.2-【答案】 B【解析】 1122-=绝对值的几何意义例题1、 如果a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，那么a d -=__________． 【答案】 3【解析】 可通过数轴画出得a d -=3例题2、 （1）x 的几何意义是数轴上表示____的点与____之间的距离；x _____0x -（选填“>”，“=”或“<”） （2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________ （3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________ （4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________【答案】 （1）x ；原点；=（2）x ；3；2或4（3）x ；2-；0或4-（4）1x + 【解析】 x a -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示a 的点之间的距离例题3、 如果对于某一给定范围内的x 值，13p x x =++-为定值，则此定值为________，此时x 的取值范围是___________【答案】 4；13x -≤≤【解析】 利用绝对值的几何意义，结合数轴解题．当13x -≤≤时，13x x ++-为定值：()314--= 随练1、 若|a ﹣b|=b ﹣a ，且|a|=3，|b|=2，则（a+b ）3的值为（ ） A.1或125 B.﹣1 C.﹣125 D.﹣1或﹣125 【答案】 D【解析】 ∵|a ﹣b|=b ﹣a ， ∴a ＜b ，∴a=﹣3，b=±2．（1）a=﹣3，b=﹣2时，（a+b ）3=﹣125； （2）a=﹣3，b=2时，（a+b ）3=﹣1． 随练2、 探究题：（1）比较下列各式的大小：23-+______23-+，35-+-______()()35-+-，05+-______()05+-．（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳出当a 、b 为有理数时，a b +与a b +的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当55x x +=-时，求x 的取值范围． 【答案】 （1）>；=；=．（2）a b a b +≥+（3）0x ≤ 【解析】 （1）235-+=，231-+=，所以2323-+>-+；358-+-=，()()358-+-=，所以()()3535-+-=-+-；055+-=，()055+-=，所以()0505+-=+-．（2）通过比较（1）中的结论，不难发现a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取“=”）． （3）结合（2）中的结论，若55x x +=-，则应满足50x -≥，即0x ≤．随练3、 如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若|a|+|b|=3，则原点是（ ）A.M 或NB.M 或RC.N 或PD.P 或R【答案】B【解析】∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；综上所述，此原点应是在M或R点．随练4、如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．（1）A、B两点的距离AB= ，A 、C两点的距离AC= ；（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= ；（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．【答案】（1）2，5；（2）|x+3|；（3）4【解析】（1）如图所示：AB=2，AC=5．故答案为：2，5；（2）根据题意可得：AE=|x+3|．故答案为：|x+3|；（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．故答案为：4．绝对值综合知识精讲一．绝对值的化简利用代数意义去绝对值号化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即0a>，0a<还是0a=）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号．如：计算1b-=_____________()1b<．由于1b<，所以10b-<，根据绝对值的代数意义，应有()111b b b-=--=-+．*注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化．当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来．例如，计算3x-：当3x≥时，33x x-=-；当3x<时，()333x x x-=--=-．利用零点分段法去绝对值号对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简．例如：化简12x x+--．第一个绝对值内部为1x+，当1x=-时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为2x-，当2x=时第二个绝对值为零．我们将1-、2称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论．1、当1x <-时，1x +、2x -均为负值， 于是()()12123x x x x +--=-+---=-⎡⎤⎣⎦；2、当12x -≤<时，1x +为非负值、2x -为负值， 于是()121221x x x x x +--=+---=-⎡⎤⎣⎦；3、当2x ≥时，1x +、2x -均为非负值， 于是()()12123x x x x +--=+--=．零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负．零点分段法的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．二．绝对值的最值问题 （一）和最小x a x b -+-的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）：0 2如计算的最小值．（1）将使两个绝对值分别为时的值标在数轴上（如图），数轴被分为个区域；（2）假设代表动点的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即． （3）在个区域中分别画出线段并比较，可以发现当时，两线段和最小，为定值． *若将题目改为计算的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．当为奇数时，在处取最小值，即在个点的中心点处；当为偶数时，在区域取最小值，即数轴被个点分成段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++-的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++． （二）差最大类比绝对值之和最小值问题，计算12x x ---的最大值求差的最大值，需要被减数越大1x -，减数2x -越小，从几何意义分析即x 与1距离远，与2距离近，当x 在1、2之间时，无论如何变化，距离之差始终不超过1；当x=2时，x 与2的距离最小，为0，此时原式结果恰好为1和2之间的距离，等于1；若x 继续增大，两距离之差依然为1。

专题01 绝对值的三种化简方法绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。

并且，在压轴题中，常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。

【知识点梳理】1.绝对值的定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |2.绝对值的意义①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。

3.绝对值的化简： 类型一、利用数轴化简绝对值例1．有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图，则a c a b b c --++-的值为（ ）．A ．2aB ．222a b c +-C ．0D ．2c -例2．有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式11a b a b a b a b -++--+的值是( )A ．-1B ．1C ．3D ．-3【变式训练1】已知，数a 、b 、c 的大小关系如图所示：化简||||2||3||a c b a a c b c +----+-=____．【变式训练2】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（1）判断正负，用“>”或“<”填空：b c - 0，a b + 0，a c -+ 0．（2）化简：||||c|b c a b a -+++-+∣【变式训练3】有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示：（1）填空：b a -______0；1b -______0；1a +______0；（填“＜”、“＞”或“＝”）（2）化简：11b a b a ---++【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)用“＞”或“＜”填空a _____0，b _____0，c ﹣b ______0，ab_____0．(2)化简：|a |+|b +c |﹣|c ﹣a |．类型二、利用几何意义化简绝对值例1.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5-（-2）|=________；（2）同样道理|x +1008|=|x -1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x =________；（3）类似的|x +5|+|x -2|表示数轴上有理数x 所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x ，使得|x +5|+|x -2|=7，这样的整数是__________．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x -3|+|x -6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【变式训练1】阅读下面的材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，∣AB ∣＝∣OB ∣=∣b ∣=∣a -b ∣；当A 、B 两点都不在原点时：①如图2，点A 、B 都在原点的右边：∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=b -a =∣a -b ∣；②如图3，点A 、B 都在原点的左边：∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=-b -（-a ）=∣a -b ∣；③如图4，点A 、B 在原点的两边：∣AB ∣=∣OA ∣+∣OB ∣=∣a ∣+∣b ∣=a +（-b ）=∣a -b ∣，综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB ∣=∣a -b ∣．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；(2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是________，如果∣AB ∣=2， 那么x 为__________．(3)当代数式∣x +1∣+∣x -2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________．【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离可以表示为|m ﹣n |．那么，数轴上表示数x 与5两点之间的距离可以表示为 ，表示数y 与﹣1两点之间的距离可以表示为 ．（2）如果表示数a 和﹣2的两点之间的距离是3，那么a ＝ ；若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a +4|+|a ﹣2|的值；（3）当a ＝ 时，|a +5|+|a ﹣1|+|a ﹣4|的值最小，最小值是 ．【变式训练3】（问题提出）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少？（阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a 的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么1a -可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1的距离；12-+-a a 就可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究12-+-a a 的最小值． 我们先看a 表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a 在1的左边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，a 在1，2之间（包括在1，2上），看出a 到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，a 在2的右边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a 在1，2之间（包括在1，2上）时，12-+-a a 有最小值1．（问题解决）（1）47a a -+-的几何意义是 ，请你结合数轴探究：47a a -+-的最小值是 ． （2）请你结合图④探究123a a a -+-+-的最小值是 ，由此可以得出a 为 ．（3）12345a a a a a -+-+-+-+-的最小值为 ．（4）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值为 ．（拓展应用）如图，已知a 使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a 的取值范围是 ．类型三、分类讨论法化简绝对值例1.化简：214x x x --++-.【变式训练1】若0,0a b c abc ++<>，则23a ab abc a ab abc ++的值为_________．【变式训练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a ，b 均不为零，求a b x a b =+的值． 请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a ，b 中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a ，b 中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a ，b 中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a ，b 均不为零，求x 的值为 ． （2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a ，b ，c 均不为零，求a b c x a b c=+-的值． ②若a ，b ，c 均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b c a c a b a b c +++++的值．。

专题02绝对值化简的三种考法【知识点精讲】1.绝对值的意义绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作a 2.绝对值的性质绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a≥0，即：,00,0,0a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩互为相反数的两个数绝对值相等3.绝对值与数的大小1）正数大于0，0大于负数。

2）理解：绝对值是指距离原点的距离所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。

类型一、利用数轴化简绝对值）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解．【答案】（1）6或8．(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b -a 0；c -(2)化简：2b a c b a c----+，一个当-2≤x ≤5时，|x +2|+|x -5|=x +2+5-x =7，当x ＜-2时，|x +2|+|x -5|=-x -2+5-x =-2x +3＞7，∴使得|x +2|+|x -5|=7的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5，∵-2+（-1）+0+1+2+3+4+5=12，故答案为：12；【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答．【变式训练2】综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A B 、在数轴上分别表示有理数a b AB 、，、两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A B 、两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和2-的两点之间的距离是__________；独立思考：（2）数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为__________；（3）试用数轴探究：当|2|3m -=时m 的值为__________．实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：（4）利用数轴求出|1||4|x x -+-的最小值，并写出此时x 可取哪些整数值？（5）当|1||9||16|m m m ++-+-的值最小时，m 的值为__________（直接写出答案即可）．【答案】（1）65,；（2）|3|x +；（3）5或1-；（4）31234；、、、；（5）9【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离；（2）根据定义用代数式表示；（3）分两种情况：m 点在2的左边；m 点在2的右边；分别列式计算便可；（4）确定x 与1的距离加上x 与4的距离之和最小时，x 的取舍范围，再在该范围内求整数；（5）|1||9||16|m m m ++-+-表示数轴上某点到表示1-、9、16三点的距离之和，依此即可求解．【详解】解：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是：71=6-；数轴上表示3和2-的两点之间的距离是3(2)=3+2=5--，故答案为：6；5；（2）数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为|3|x +，故答案为：|3|x +；（3）|2|3m -=表示数m 的点与表示数2的点距离为3，当表示数m 的点在2的左边时，=23=1m --，当表示数m 的点在2的右边时，=2+3=5m ，所以1m =-或5，故答案为：1-或5；（4）|1|x - 表示数轴上x 和1两点之间的距离，|4|x -表示数轴上x 和4两点之间的距离，当且仅当14x 时，两距离之和最小，x \可取的整数有：1，2，3，4．（5）|+1|m 表示数轴上m 和1-两点之间的距离，|9|m -表示数轴上m 和9两点之间的距离，|16|m -表示数轴上m 和16两点之间的距离，∴当且仅当=9m 时，距离之和最小，∴当|1||9||16|m m m ++-+-的值最小时，m 的值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．课后训练，首先判断三个式子的正负，然后判断积的符号；两数在数轴上所对应的两点之间的距离；AC=-=，则819587232(1)abc0，c＋a0，c－b0(请用“＜”，(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|。

整式与绝对值的化简三、师生合作，共同解题1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，（1） c－b____0，则|c－b|= ；a＋b 0，则|a＋b|= .(2)化简：|c－b|＋|a＋b|.老师给出一个练习，让学生先进行思考后，老师做引导，总结出带有绝对值的整式如何化简？如何利用所学的知识对整式化简。

学生自己思考题目后，交流、讨论，先自己思考对于带有绝对值的整式应如何化简？再跟着老师一起理解并掌握整式与绝对值的化简。

鼓励学生相互交流，让他们先想、先说、先做，再规范学生的解题过程，避免了老师的单独说教，又激发了学习兴趣。

四、课堂练习2.已知a，b，c在数轴上的位置如图．化简：|a＋1|－|c－b|＋|b－1|.3.有理数a ,b，c在数轴上的位置如图，且表示数a的点和数b的点与原点的距离相等..bcaba--++化简：c ab04.若a<0，b>0，化简|b－a|＝___．|a－b|＝ .5．已知a，b，c在数轴上的位置如图,化简：|2a－b|＋|b－c|－2|c－a|.师生共同总结了绝对值与整式的化简方法后，老师给出课堂练习，巡视课堂，对还不太懂的同学进行单独指导。

学生在掌握了绝对值与整式的化简的方法后，进行课堂练习，做好后学生小组相互交流，最终学生展示答案。

通过练习来进一步掌握绝对值域整式的化简。

通过学生展示答案来培养学生的口头表达能力。

a b c1。

内容基本要求略高要求较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，中考要求例题精讲绝 对 值 化 简对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．板块一：绝对值代数意义及化简【例1】 （2级）⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b⑶ 下列式子中正确的是 ( ) A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥-⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值范围．【例2】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值 【例3】 已知2332x x -=-，求x 的取值范围【巩固】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数【例4】 求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【巩固】 已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【例5】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ． 【例6】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为 【例7】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【巩固】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例8】 （6级）（1）（第10届希望杯2试）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）（第12届希望杯2试）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +<（3）（第7届希望杯2试）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---．a-ba+b这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【巩固】 （8级）（第9届希望杯1试）若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【解析】 211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->，222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【补充】（8级）若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】 法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++- 135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++- 111999=+++=法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---111999=+++=点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重 要作用．【例9】 （10级）设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值 【解析】 因为020b x <≤≤，所以0200200x b x x b ----<≥，≤，，进而可以得到： 2220A x b x x x =--=--≥≥，所以A 的最小值为20-【例10】 （8级）若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【巩固】 （8级）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围． 【解析】 要使式子的值为常数，x 得相消完，当10041005x ≤≤时，满足题意．【例11】 （2级）数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--【解析】 ()()()2a b b a b a a a b b a b a b ++-+--=-++-+--=．【巩固】 （2级）实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-【解析】 由题意可知：0000a c b a b a c <->+<-<，，，，所以原式2c a =-【巩固】 （2级）若a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++.【解析】 若a b <-且0ab>，0,0a b <<，0,0a b ab +<>2a b a b ab a b a b ab ab a -+++=-+--+=-【例12】 （8级）(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【例13】 （6级）如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--. 【解析】 1010101020x m x x m x m x m x x -+-+--=-+-++-=-.【巩固】 （2级）化简：⑴3x -； ⑵12x x +++【解析】 ⑴原式()()3333x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥；⑵原式()()()232121231x x x x x --<-⎧⎪=-<-⎨⎪+-⎩≤≥【巩固】 （6级）若a b <，求15b a a b -+---的值. 【解析】 15154b a a b b a a b -+---=-++--=-.【巩固】 （8级）（第7届希望杯2试）若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于 ．【解析】 0a <，0ab <，可得：0b >，所以0b a ->，0a b -<，15154b a a b b a a b -+---=-++--=-．【巩固】 （2级）已知15x <≤，化简15x x -+-【解析】 因为15x <≤，所以1050x x --<≤，，原式154x x =-+-=【例14】 （8级）已知3x <-，化简321x +-+.【解析】 当3x <-时，3213213333x x x x x x +-+=+++=++=--=-=-.【巩固】 （8级）（第16届希望杯培训试题）已知112x x ++-=，化简421x -+-． 【解析】 由112x x ++-=的几何意义，我们容易判断出11x -≤≤．所以421x -+-421434311x x x x x =-+-=--=-+=+=+．【例15】 （8级）若0x <，化简23x x x x---．【解析】 223333x x x x xx x xx x----===----+．【巩固】 （8级）（四中）已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a ba b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++--∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子x ，再去绝对值的符号．、【例16】 （8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知a b c d ，，，是有理数，916a b c d --≤，≤，且25a b c d --+=，求b a d c ---的值【解析】 因916a b c d --≤，≤，故91625a b c d -+-+=≤，又因为()()2525a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-≤≤，所以916a b c d -=-=，，故原式7=-板块二：关于a a的探讨应用【例17】 （6级）已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】 若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例18】 （10级）（2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知a b c abc x a b c abc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值 【解析】 4或0或4-【巩固】 （10级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=--【巩固】 （2级）若0a >，则_____aa=；若0a <，则_____a a =.【解析】 1；1-.重要结论一定要记得.【巩固】 （6级）当3m ≠-时，化简33m m ++【解析】 3m ≠-，30m +≠，当3m >-，即30m +>时，33m m +=+，所以313m m +=+； 当3m <-，即30m +<时，3(3)m m +=-+，所以313m m +=-+.【例19】 （8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若01a <<，21b -<<-，则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．3- D ．4-【解析】 ⑴ C ．特殊值法：取0.5a =, 1.5b =-代入计算即可．【巩固】 （2级）下列可能正确的是（ ）A ．1a ba b+= B ．2a b c a b c ++=C ．3c da b a b c d+++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd +++++++= 【解析】 选D ．排除法比较好或特殊值法1，1，1，1-．【巩固】 （6级）如果20a b +=，则12a ab b-+-等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 B【例20】 （8级）如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．3 【解析】 易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例21】 （8级）已知0abc ≠，求ab ac bcab ac bc++的值． 【解析】 ∵0abc ≠，∴a 、b 、c 三个数都不为零．若a 、b 、c 三个数都是正数，则ab 、ac 、bc 也都是正数，故原式值为3． 若a 、b 、c 中两正、一负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若a 、b 、c 中一正、两负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若 a 、b 、c 中三负，则ab 、ac 、bc 中三正，故原式值为3．【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，求a b ca b c ++.【解析】 若a ，b ，c ，全为正数，则原式3=；若a ，b ，c ，两正一负，则原式1=；若a ，b ，c ，一正两负，则原式1=-；若a ，b ，c ，全为负数，则原式3=-.【例22】 （6级）（第13届希望杯1试）如果20a b +=，求12a ab b-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a ab a a a===⋅--⋅，122a a a b a a ==-⋅- 若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=， 若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求a b cabc++. 【解析】 根据条件可得a ，b ，c 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为1或1-【例23】 （8级）a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c aa b b c c a ++的值等于多少？ 【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a b b c c a a b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-．综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【巩固】 （10级）（海口市竞赛题）三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【解析】 a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【巩固】 (8级)（第13届希望杯培训试题）如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值． 【解析】 由0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，两两相加可得：0a >，0b >，0c >，所以原式结果为1．若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c ，求1b =等于多少？从总体出发：2008()1aa =，所以原式1111=-+=．【例24】 （8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b c x a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______． 【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b ca b c---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例25】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？ 【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，， 所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【巩固】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设ab cx b c a c a b =+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，， 所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【巩固】 （8级）已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a -当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例26】 （8级）（第18届希望杯2试）若有理数m 、n 、p 满足1m n p m n p ++=，求23mnp mnp 的值．【解析】 由1m n p m n p++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-， 222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【巩固】 （6级）已知有理数a b c ，，满足1a b c a b c ++=，则abcabc=（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不能确定【解析】 提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即0abc <【巩固】 （8级）有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd =-，求a b c da b c d+++的值． 【解析】由1abcdabcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数： 若含有1个负数，则2a b c d a b c d +++=；若含有3个负数，则2a b c da b c d+++=-．【例27】 （6级）已知0ab ≠，求a ba b +的值【解析】 ⑴若a b ，异号，则0a bab += ⑵若a b ，都是正数，则2a ba b += ⑶若a b ，都是负数，则2a ba b+=-【巩固】 （6级）已知0ab ≠，求a b ab--的值．【解析】 分类讨论：当0a >，0b >时，110a b ab --=-=．当0a >，0b <时，1(1)2a b a b --=--=．当0a <，0b >时，112abab--=--=-．当0a <，0b <时，1(1)0abab--=---=．综上所述，a b ab--的值为2-，0，2．【例28】 （6级）若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值 【解析】 ⑴当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++= ⑵当a b c ，，都是负数时，原式3=- ⑶当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=- ⑷当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-【巩固】 （6级）（第16届希望杯培训试题）若0abc <，求a b ca b c+-的值． 【解析】 由0abc <可得，a 、b 、c 中有3个负数或1个负数，当a 、b 、c 中有3个负数时，原式11(1)1=----=-；当a 、b 中有1个是负数时，原式1111=-+-=-； 当c 是负数时，原式11(1)3=+--=．板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例29】 （4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【解析】 ⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式 ()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥【例30】 （6级）求12m m m +-+-的值．【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例31】 （4级）化简：212x x ---【解析】 由题意可知：零点为102x x ==，当12x <时，原式1x =--当122x <≤时，原式33x =- 当2x ≥时，原式1x =+【巩固】 （4级）(2005年淮安市中考题)化简523x x ++-． 【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段． 当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【巩固】 （6级）(北京市中考模拟题)化简：121x x --++.【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段． ⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．【例32】 （6级）（选讲）（北京市中考题）已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5； 当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．【巩固】 （8级）（第10届希望杯2试）已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ． 【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5； （2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很 容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【巩固】 （6级）如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值 【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-【巩固】 （6级）（2001年大同市中考题）已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值．【解析】 法1：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当，79x =时两者的距离 差最小为329-，即()m i n 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即m a x (13)4x x --+=． 法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x --≤≤时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．练习 1． （2级）若ab ab <，则下列结论正确的是 ( ) A. 00a b <<， B. 00a b ><， C. 00a b <>， D. 0ab < 【解析】 答案BC 不完善，选择D ．练习 2． （2级）(人大附期中考试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c++--+的值.【解析】 原式()()()0a b a c b c =-++-++=练习 3． （6级）已知0,0,x z xy y z x <<>>>，求x z y z x y +++--的值. 【解析】 由0,0x z xy <<>可得：0y z <<，又y z x >>，可得：y x z <<； 原式0x z y z x y =+---+=.练习 4． （8级）（第13届希望杯培训试题）若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ． 【解析】 因为200122002x =，所以23x <<，原式(1)(2)(3)(4)(5)9x x x x x x =+-+-------=．课后练习练习 5． （6级）（2006年七台河市中考题）设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求y 的最小值.【解析】 2020(20)(20)40y x b x x b x b x x b x =-+-+--=------=-，则20x =时，y 有最小值为20.练习 6． （4级）若0a <，化简a a --. 【解析】 22a a a a a a --=+==-.练习 7． （6级）若0a <，试化简233a a a a--．【解析】 2323553443a a a a a a a a a a-+===-----．练习 8． （6级）若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？ 【解析】 要使245134x x x +-+-+的值恒为常数，那么须使450x ->，130x -<，即1435x <<，原式2451342453147x x x x x x =+-+-+=+-+-+=.练习 9． （8级）（第6届希望杯2试）a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值．【解析】 从图中可知a b c <<且0a <，0b <，0c >，所以0a b -<，0b c -<，0c a ->，0ab >，0ac <， 所以0ab ac ->，原式(1)(1)112=---++=．练习 10． （8级）若0a b c ++=，0abc >，则b c c a a ba b c+++++= ． ∵0a b c ++=，0abc >，∴a 、b 、c 中一正二负，∴1b c c a a b a b ca b c a b c+++---++=++=． 练习 11． （6级）求15y x x =--+的最大值和最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得答案；法2：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论：当5x ≤-时，15156y x x x x =--+=-++=； 当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--； 当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-； 综上所得最小值为6-，最大值为6．练习 12． （6级）（第2届希望杯2试）如果12x <<，求代数式2121x x xx x x ---+--的值．【解析】 当12x <<时，0x >，10x ->，20x -<，原式21111121x x xx x x--=++=-++=--．。

知识引入知识导航经典例题1写出下列各数的绝对值：2绝对值大于3已知4已知有理数1已知2如果有理数3已知知识引入知识导航经典例题1计算：2计算下列各题：知识导航经典例题经典例题1已知2出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作课后作业123下列各式中，等号不成立的是（B.D.已知有理数41已知2已知1计算：2计算：3计算4计算：学霸笔记我的改错本榜样的力量完美过程，让我们的思维更加严谨说说心里话欲事之无繁,则必劳于始而逸于终.——（宋）苏轼《决壅蔽》第二天，go on~你的姓名：_______________________________________________________________第二节课的感觉：①so easy②perfect③a little difficult这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________例题有没有没听懂的：_____________________________________________________本讲作业用时：_______________________________________________________________作业有没有不会的：_________________________________________________________想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】。

《绝对值的化解》教学设计【例题】阅读下列内容，并回答问题。

丨4-1丨表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；丨4+1丨可以看作丨4-（-1）丨，表示4与-1的差的绝对值，也可以理解为4与-1两数在数轴上所对应的两点间的距离。

（1）丨4-（-1）丨=_____；（2）丨5+2丨=____；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得丨x+3丨=5，则x=________；（4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得丨x+3丨+丨x-2丨=5，这样的整数有哪些？【讲授过程】（1）根据绝对值的意义直接计算出结果；（2）根据绝对值的几何意义，画出图形，从图形上即可确定所有符合条件的整数。

解：（1）丨4-（-1）丨=___5__；（2）丨5+2丨=_7___；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得丨x+3丨=5，则x=_-8或2_______；（4）结合数轴，根据绝对值的几何意义，到点-3与到点2的距离之和等于5的整数点共有6个，即数：-3、-2、-1、0、1、2，所以符合条件的所有整数有：-3、-2、-1、0、1、2。

分析：结合数轴我们能够知道：-3到2的距离为5，要使丨x+3丨+丨x-2丨=5，则x 在数轴上的位置必须介于-3到2之间（包括-3和2），即-3≦x≦2，这样的整数有6个，分别是-3，-2，-1，0，1,2.教学总结：本题要求学生对基础知识掌握得比较牢，比如去括号，合并同类项等，这些基础知识在本次微课中一带而过，若学生对此类问题有疑问需自行巩固，本次微课主要讲授绝对值化简中涉及到分类讨论思想，而分类讨论是初中数学学习过程中一个重要思想方法，在初一就教会学生是非常有利于学生的逻辑思维发展，培养缜密的数学思想方法。

1.2.4绝对值(化简) 教案人教版数学七年级上册教材分析《绝对值》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（华东师大版）七年级上册，是初一数学的一个难点，也是重点。

教学目标要求从代数与几何两个角度初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。

通过应用绝对值解决实际问题，使学生体会绝对值的意义和作用，感受数学在生活中的价值。

但对于从来没有学习过类似知识的学生来说，接受起来比较困难，尤其是难以理解“如果a＜0，那么a=”。

a-教学目标1、掌握绝对值的几何意义和代数意义;2、学会利用绝对值的性质解决相关问题;3、掌握化简绝对值的一般步骤。

教学重难点学会利用绝对值的性质解决相关问题教学过程【学习环节一：自学质疑】基本知识点回顾：1绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示表示数a的点到的距离.数a的绝对值记作a.2绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它的______，即当a___0，则a=_____.一个负数的绝对值是它的______，即当______，则___________.0的绝对值是_______，即当______，则____________.符号语言【学习环节二：讨论领悟】基本题型： 1.5a =，则a = . 若0a =，则a = .2. 绝对值的化简按符号化简：若0a >，则_____aa =；若0<b ，则=b b【学习环节三：知识应用】例1：有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)用“＞”或“＜”填空a_____0， b+c_____0, a ﹣c______0．(2)化简：|a|+|b+c|﹣|a ﹣c|．【学习环节四：知识小结】第一步：确定绝对值内代数式的符号。

第二步：去绝对值符号，添括号。

第三步：去括号并合并同类项。

【学习环节五：检测巩固】变式1:若9x =-，则x = ；若21 3.5x -=，则x = 。

变式2：如果b a 、互为相反数，d c 、互为倒数，x 的绝对值为2,求2()ax cd xb +- 的值. 第一关 基础性作业（1）求下列各数的绝对值：010*******.386，，，，，，--- （2）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．①判断正负，用“>”或“<”填空：a 0，b 0，c 0．②化简│a │= ，│b │= ，│c │= ．第二关 发展性作业（1）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．①判断正负，用“>”或“<”填空：b c - 0，a b + 0，c a - 0．②化简：|||||b c a b c a -+++-∣（2）已知，数a 、b 、c 的大小关系如图所示：化简||||2||3||a c b a a c b c +----+-配套练习 第一关 基础性作业（1）求下列各数的绝对值：0100112259.386，，，，，，--- （2）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．①判断正负，用“>”或“<”填空：a 0，b 0，c 0．②化简│a │= ，│b │= ，│c │= ．恭喜你通过了第一关的考验！开启第一个宝箱的提示问题是：绝对值的意义和绝对值的化简是什么？2.作业时间（8分钟）3.作业分析和设计意图第（1）题“投石问路”，求0100112259.386，，，，，，---的绝对值与教材中问题串的展开过程是相同的，认识绝对值，难度不大。

专题01绝对值化简的四种考法
【知识点精讲】
1.绝对值的意义
绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作a 2.绝对值的性质
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a
≥0，即：,00,0
,0a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
互为相反数的两个数绝对值相等3.绝对值与数的大小1）正数大于0，0大于负数。

2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。

类型一、利用数轴化简绝对值
【答案】22b c
+
(1)用“＜”连接：a ,a -,b ,b -,c ,c -；a b c c b a ∴<<-<<-<-；
(1)填空：A ，B 之间的距离为______，B ，(2)化简：22a b c b c a +--+-．
利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是
【答案】4b
(1)在如图所示的数轴上将a ，b ，c 三个数表示出来；
（2）解：根据数轴位置关系，可得：0a >、0b c +<、
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式
【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键．。

专题02绝对值化简的三种考法【知识点精讲】1.绝对值的意义绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作a 2.绝对值的性质绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a≥0，即：,00,0,0a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩互为相反数的两个数绝对值相等3.绝对值与数的大小1）正数大于0，0大于负数。

2）理解：绝对值是指距离原点的距离所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。

类型一、利用数轴化简绝对值【答案】（1）6或8．(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b -a 0；c -(2)化简：2b a c b a c----+当-2≤x ≤5时，|x +2|+|x -5|=x +2+5-x =7，当x ＜-2时，|x +2|+|x -5|=-x -2+5-x =-2x +3＞7，∴使得|x +2|+|x -5|=7的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5，∵-2+（-1）+0+1+2+3+4+5=12，故答案为：12；【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答．【变式训练2】综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A B 、在数轴上分别表示有理数a b AB 、，、两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A B 、两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和2-的两点之间的距离是__________；独立思考：（2）数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为__________；（3）试用数轴探究：当|2|3m -=时m 的值为__________．实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：（4）利用数轴求出|1||4|x x -+-的最小值，并写出此时x 可取哪些整数值？（5）当|1||9||16|m m m ++-+-的值最小时，m 的值为__________（直接写出答案即可）．【答案】（1）65,；（2）|3|x +；（3）5或1-；（4）31234；、、、；（5）9【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离；（2）根据定义用代数式表示；（3）分两种情况：m 点在2的左边；m 点在2的右边；分别列式计算便可；（4）确定x 与1的距离加上x 与4的距离之和最小时，x 的取舍范围，再在该范围内求整数；（5）|1||9||16|m m m ++-+-表示数轴上某点到表示1-、9、16三点的距离之和，依此即可求解．【详解】解：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是：71=6-；数轴上表示3和2-的两点之间的距离是3(2)=3+2=5--，故答案为：6；5；（2）数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为|3|x +，故答案为：|3|x +；（3）|2|3m -=表示数m 的点与表示数2的点距离为3，当表示数m 的点在2的左边时，=23=1m --，当表示数m 的点在2的右边时，=2+3=5m ，所以1m =-或5，故答案为：1-或5；（4）|1|x - 表示数轴上x 和1两点之间的距离，|4|x -表示数轴上x 和4两点之间的距离，当且仅当14x 时，两距离之和最小，x \可取的整数有：1，2，3，4．（5）|+1|m 表示数轴上m 和1-两点之间的距离，|9|m -表示数轴上m 和9两点之间的距离，|16|m -表示数轴上m 和16两点之间的距离，∴当且仅当=9m 时，距离之和最小，∴当|1||9||16|m m m ++-+-的值最小时，m 的值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．课后训练AC=-=，则819587232显然，当点P位于A点左侧或者C点右侧时，+=当点P位于A、C之间时，PA PC(1)abc0，c＋a0，c－b0(请用“＜”，(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|。